David Madore's WebLog: 2018-03

J'avais déjà fait le coup il y a quelques mois, mais il y a une autre émission d'Arte que je voudrais recommander, c'est Quand l'Histoire fait dates. Il y a une certaine similitude avec ce que je disais à propos de Mystères d'archives :

Il s'agit là aussi d'une série de documentaires de 26 minutes, chacun consacré au commentaire et à l'analyse de faits historiques, précisément datés. Les épisodes sont intitulés par une année/date et un nom qui évoque l'événement. Par exemple 20 juin 1789 · Le serment du Jeu de paume.

Le ton ressemble un peu à un cours magistral, je conçois qu'on puisse trouver ça agaçant, mais le contenu est quand même vraiment bien fait, notamment parce que l'émission s'attache non seulement à remettre l'événement son contexte historique et géographique mais aussi à évoquer la manière dont cet événement a été vu et interprété ultérieurement.

Comme le site web d'Arte est vraiment bizarre et mal fait, je souligne une fois de plus que les épisodes ne restent visibles en ligne qu'un temps limité mais qu'on peut les télécharger avec l'excellent programme youtube-dl (il faut penser à utiliser l'option -f pour choisir le format, par exemple -f HTTPS_EQ_1 pour la version française en 720×406 ; l'option -F permet de lister tous les formats connus). Il semble que les épisodes listés sur cette page (adresse qui ne sera certainement pas valable longtemps…) sont ceux actuellement disponibles, alors que si on fait une recherche sur le site, on tombe sur des épisodes pas encore disponibles (remplacés en attendant par un court extrait de deux-trois minutes), et peut-être sur des épisodes qui ne le sont plus (au moment où j'écris je crois qu'il n'y en a pas dans cette catégorie).

Ceci est la 2500e entrée de ce blog. Pas que le nombre 2500 soit spécialement remarquable, mais c'est à peu près le quart du nombre d'entrées que je me suis réservé la possibilité d'écrire sans modification du schéma d'URL que j'utilise. (Ce ne sera[it] vraiment pas très compliqué de le changer le cas échéant, y compris sans casser les liens existant, donc ce n'est pas vraiment un cas de 640K ought to be enough for anyone ; mais ça m'amuse parce qu'en commençant, il y a pas tout à fait quinze ans, je me suis dit que j'avais très peu de chances de dépasser les 1000 entrées, et j'ai prévu un chiffre de plus au cas où. Accessoirement, je dis à peu près le quart, parce que comme un idiot je n'ai pas commencé à compter à zéro, du coup je n'ai laissé la place que pour 9999 entrées, et pas 10000.)

Mercredi j'ai de nouveau passé un certain nombre d'heures à corriger des copies (d'Analyse cette fois) : c'est le genre de choses qui donne envie d'avoir un punching-ball à portée de main, alors, faute de punching-ball, je vais me défouler en pondant un rant interminable sur mon blog. Non, plus sérieusement, je ne suis pas trop du genre à répertorier les perles de mes copies ou à étaler la certitude que mes étudiants sont les plus mauvais de l'Univers (de toute façon, tous les étudiants sont toujours les plus mauvais de l'Univers comme tous les bébés sont toujours les plus beaux de l'Univers) : ce qui est le plus frustrant, en fait, ce ne sont pas les copies nulles, ce sont les gens qui font des raisonnements faux trahissant des erreurs profondes mais un peu subiles, et qui arrivent quand même, dans l'ensemble, à rendre une copie où il y a des choses justes, donc auront sans doute une note passable, ne chercheront pas à en savoir plus, si bien qu'on ne les détrompera jamais. Un peu comme quand someone is wrong on the Internet, ce qui est le plus frustrant ce n'est pas tant le gros troll vert et velu et bien reconnaissable, mais celui qui est habilement déguisé en argument valable — et quand on ne peut pas lui répondre parce que le fil de discussion est vieux et fermé ou à sens unique pour n'importe quelle raison.

Bref.

L'enseignement des maths est centré sur la notion de raisonnement correct. Ce qui, dit comme ça, est normal, mais ce que je veux souligner, c'est qu'on accorde des points pour un raisonnement correct sans pénaliser spécifiquement un raisonnement incorrect (c'est-à-dire, pas plus que l'absence de réponse). Dans ces conditions, l'étudiant qui ne sait pas répondre à une question a intérêt à essayer de répondre n'importe quoi dans l'espoir que ça soit juste ou, de façon plus subtile, que le correcteur ne se rende pas compte[#] que c'est n'importe quoi. Ce n'est pas tout à fait vrai (qu'un étudiant ait toujours intérêt à tenter sa chance), parce qu'il perd du temps à écrire un n'importe quoi qui a peu de chances d'être juste, et aussi qu'il risque fort d'irriter le correcteur lequel, même s'il ne sanctionne pas spécialement l'erreur, sera moins disposé à pardonner une absence de justification plus loin ; mais c'est néanmoins assez tentant pour que beaucoup essaient.

[#] Cette dernière possibilité est d'ailleurs presque toujours illusoire : chaque question possède en général un point crucial que vérifie principalement le correcteur — comme le choix du bon théorème ou l'invocation de la bonne hypothèse : il est peu probable qu'un raisonnement faux passe justement par ce point crucial, et quand il n'est pas présent le correcteur passe en mode « c'est louche, trouvons l'erreur ».

Toujours est-il qu'il y a des copies qui essaient sciemment d'arnaquer, et il y a aussi des copies qui écrivent des raisonnements faux en pensant qu'ils sont justes. Il y a des situations où quelques indices permettent de deviner dans quel cas on est, mais généralement ce n'est pas possible ; et la distinction n'est pas forcément totalement claire même en théorie : cela peut arriver à tout le monde de commencer à tenir un raisonnement (que ce soit en maths ou autre chose), d'avoir une partie de soi qui dit c'est de la mauvaise foi, là, et de l'ignorer sans chercher à regarder de plus près, peut-être en se disant si ce n'est pas bon, de toute façon, je ne sais pas faire autrement.

Mais ce n'est pas juste qu'on ne pénalise pas les raisonnements incorrects : on n'apprend pas vraiment aux étudiants à les détecter, à les identifier, à les analyser. Or apprendre à produire des raisonnements corrects n'est pas vraiment la même chose qu'apprendre à reconnaître les raisonnements incorrects. (De même, mon père me fit jadis remarquer que dans un cours de littérature au lycée on fait lire aux élèves les bons auteurs, et on les leur fait analyser, comprendre pourquoi ces bons auteurs écrivent bien… mais il pourrait être intéressant de faire aussi lire des textes mal écrits, à toutes sortes de niveaux, pour les critiquer et comprendre en quoi ils sont mauvais.)

Peut-être, d'ailleurs, (c'est une idée développée ici par un bloggueur anonyme que j'ai déjà mentionné) que le but de l'enseignement des mathématiques (fût-ce au niveau post-bac) n'est pas tellement l'enseignement des mathématiques mais l'enseignement du raisonnement logique et structuré ; et qu'il est alors important d'insister sur les deux aspects : raisonner correctement, mais aussi, détecter quand quelqu'un d'autre ne raisonne pas correctement.

Je me demande donc dans quelle mesure il y aurait vertu pédagogique à proposer des exercices, ou mener des évaluations, du type chercher l'erreur dans le raisonnement suivant ou l'argument suivant est-il correct ? ou autres variantes.

Il y a assurément des raisons d'être réticent. D'abord, il faut trouver des raisonnements incorrects mais néanmoins intéressants à faire analyser, et ce n'est pas forcément si évident (ça demande d'arriver à comprendre quel genre d'erreurs les étudiant sont susceptibles de ne pas détecter) — heureusement, à ce niveau-là, il y a une source quasi inépuisable, ce sont les copies qu'on reçoit, en se disant que si quelqu'un a fait une erreur, quelqu'un d'autre risque de la commettre aussi ou de se laisser berner par elle. Plus sérieusement, il y a la crainte que l'exposition au raisonnement incorrect soit contaminante et qu'il vaille mieux le confiner à des endroits où on ne risque pas de le voir. Par exemple, on m'a souvent dit que quand on enseigne il ne faut jamais écrire de chose fausse au tableau, même temporairement, parce que la loi de Murphy veut qu'il y aura toujours un étudiant qui suit distraitement, qui lève la tête au pire moment, et qui recopie justement ça sur son cahier. Je ne sais pas dans quelle mesure c'est exagéré, mais dans le doute, il vaut mieux s'abstenir, pour ce qui est d'écrire au tableau. Pour ce qui est de proposer des exercices sur ce thème, je m'interroge.

⁂ Je glisse sur un sujet connexe. Un de mes problèmes d'enseignant, dont j'ai déjà parlé à plusieurs reprises, c'est que j'ai comme mission (largement self-inflicted, certes) d'enseigner en un temps absurdement court (1h30) les rudiments de la calculabilité. C'est-à-dire, en se dispensant d'une formalisation précise particulière (machine de Turing, λ-calcul, fonctions générales récursives), d'expliquer ce que sont un ensemble décidable (=calculable, =récursif), et semi-décidable (=récursivement énumérable), pourquoi un ensemble est décidable ssi lui et son complémentaire sont semi-décidables, pourquoi un ensemble (non vide) est semi-décidable ssi il est l'image d'une fonction calculable, ce qu'est une machine universelle, et surtout, ce qu'est le problème de l'arrêt et pourquoi il n'est pas décidable. Forcément, les élèves ne comprennent pas grand-chose (voire, moins que rien : il y a des questions auxquelles ils savent répondre si on leur demande y a-t-il un algorithme permettant de <truc> ? mais plus si on la tourne comme <truc> est-il décidable ?) ; et je m'arrache les cheveux pour trouver moyen d'améliorer ça. Et quand je pose des questions là-dessus à l'examen, essentiellement personne ne sait monter un raisonnement correct. Or je viens de mener une expérience : puisqu'ils ne savent pas trouver un raisonnement correct en calculabilité, voyons s'ils sont capables d'en reconnaître un juste d'un faux : dans cet examen (un rattrapage, qui a eu lieu hier), plutôt que de leur demander de montrer que <machin> est ou n'est pas (semi-)décidable, j'ai proposé deux fois un raisonnement correct (quoique rapide) et un raisonnement complètement bidon, de conclusions opposées, en demandant d'expliquer lequel est valable (et de pointer du doigt les erreurs de l'autre). La question que je me pose, c'est s'ils feront statistiquement strictement mieux qu'un tirage aléatoire en la matière ! On verra ça quand j'aurai corrigé les copies.

Tonight something unusual happened. Captain Gale was reciting Crispin's day speech while we few—we happy few—we band of brothers—sat in circle around him. Young Scott, as he harked to Gale's pellucid voice delivering the words of Henry V, was visibly struggling to contain his tears. Upon reaching the last line, the Captain silently moved next to him, sat down, opened his arms and hugged him. And then, while we stared incredulously, gently, very gently, laid a kiss at the base of Scott's neck. Scott whispered something that none of us could hear; his cheeks were wet but now he made no effort to hide them from us.

Then I saw Derek grasp Vivian's hand: Vivian turned to face him, smiled, and squeezed back. And in a minute, as if in response to an unspoken command, we had all paired with our closest sitting confederate and found solace in the trust of fraternal embrace.

As the giant Conrad was holding me, as I felt the warmth of his breath in my hair and the firmness of his muscular chest on my back, I drowned myself in his odour, friendly, familiar, comforting. He smelled of dust and sweat and homeliness, and a whiff of battle half-remembered. In that moment, a bond was formed: no longer my mere fellow soldier, Conrad was my moiety.

Tomorrow we are the sacred band. Tomorrow we fight as one.

⁂ I got my inspiration from a dreamlike vision I had tonight while remembering the lines from Shakespeare; and the scene in question has been pursuing me all day, begging to be written, so, here it is.

Cher Internet,

Je sais que tu t'ennuies parfois au point de passer des heures à regarder des vidéos de chats qui font des bêtises, alors j'ai une petite enquête à te proposer, certes pas aussi passionnante que la précédente que je t'avais suggérée, mais qui m'intéresserait personnellement :

Voilà, j'ai passé l'essentiel de mon enfance à Orsay (où mes parents habitent toujours), et il est bien connu que la gare de RER d'Orsay s'appelle Orsay-Ville (sur la ligne B, qui prolonge l'ancienne ligne de Sceaux de Denfert à Saint-Rémy voire Limours). La gare en question date, si je t'en crois, cher Internet, des années 1850 (tu te contredis un peu sur l'année exacte, tantôt on apprend que la gare d'Orsay date de 1854, tantôt que le terminus était alors au Guichet, mais ne chipotons pas pour quelques années, j'ai l'habitude que tu te hésites un petit peu).

Maintenant, j'ai l'impression de comprendre que la gare d'Orsay-Ville s'appelle Ville parce qu'il existait une autre gare d'Orsay, et je ne parle pas du Guichet (qui s'appelle, justement, le Guichet et pas Orsay-Truc), mais de la gare d'Orsay-État, située sur l'ancienne ligne de Paris (ou : Ouest-Ceinture) à Chartres via Gallardon, et appelée État parce que la ligne en question faisait partie du réseau de l'État.

Je connais bien cette ligne, indirectement, parce qu'une partie de son parcours (au-delà de la section qui semble avoir été réutilisée pour la LGV Atlantique) a été transformée en la bretelle de Chevreuse (D188) reliant la A10 à la N118 et aux Ulis : une bretelle qui passait juste derrière le lycée où j'ai étudié (et que des copains et moi franchissions souvent par ce pont pour nous promener dans les bois pendant que le loup n'y était pas), et juste derrière chez mes parents (je passais donc régulièrement dessous pour aller aux Ulis) ; d'ailleurs j'ai toujours été inexplicablement fasciné par ce viaduc [de Mondétour] dont le métope (si je peux me permettre d'appeler ça un métope) est orné de bas-reliefs en forme d'arches qui évoquent les arches du pont lui-même, ça titillait mon sens de la symétrie, ou des fractales ou quelque chose comme ça, en tout cas je me disais que ce viaduc était trop beau pour une bête bretelle d'autoroute. Même si cette bretelle est bien pratique pour relier Orsay à Paris en voiture, d'ailleurs je m'en suis servi pas plus tard qu'hier dans le joujou polluant que le poussinet s'est acheté il y a deux semaines et avec lequel il compte me forcer à pratiquer ma conduite, mais je digresse, et tu sais déjà tout ça, cher Internet, puisque tu lis mon blog. Je connais aussi bien de cette ancienne ligne de train le joli viaduc des fauvettes [ou de Montjay], où j'allais me balader avec mon papa et titiller mon vertige avec l'absence de rambarde — c'était bien avant qu'il soit tout retapé pour que les amateurs d'escalade puissent y pratiquer leur loisir sachant que de toute façon tout le monde ignorait l'arrêté interdisant l'accès au pont : mais tu sais déjà tout ça, tu as même des photos avant et après le retapage, tu aimes bien le vertige, et zut, je suis de nouveau en train de digresser. Je connaissais aussi les restes de rails de l'aérotrain Bertin que mon papa m'avait montrés du côté de Gometz et qui utilisaient cette ancienne ligne.

Je connaissais cette ligne, mais je ne savais pas qu'il y avait eu, ou peut-être prévu d'avoir, une station Orsay-État : je l'apprends en consultant cette carte, par ailleurs excellente, donc merci pour elle, cher Internet. Mais bizarrement, toi qui sais normalement tout, tu sembles avoir très peu d'informations sur cette gare. Tu as quelques idées sur Villebon-État, qui était apparemment juste avant (en venant de Paris), si j'en crois la carte en question [ajout : visible ici sur Google Street View]. Mais concernant Orsay-État, tout ce que tu sembles avoir à me proposer est un bout d'un forum de passionnés de train où deux ou trois personnes affirment que son BV (bâtiment voyageurs) était dans le même modern style (moi j'appellerais ça art déco) que celui de Villebon-État. Je suppose qu'il datait aussi de 1930, et la ligne semble avoir cessé de fonctionner en 1939.

Mais où était-il exactement ? Qu'est-il devenu ? Où peut-on en trouver des photos ? Là, franchement, tu me déçois, cher Internet. Qu'il y ait eu une gare juste derrière mon lycée ou juste derrière chez mes parents, déjà, tu aurais pu me le dire plus tôt au lieu d'attendre un quart de siècle, et ensuite, une fois que tu m'as avoué ça, tu pourrais faire l'effort de me trouver des précisions à son sujet.

(Je l'imagine vaguement dans ce coin, la gare en question : justement sur le chemin où nous allions refaire le monde entre deux cours et nous promener dans les bois pendant que le loup n'y était pas, et imaginer un monde parfait où le loup s'étendrait près de l'agneau. Après, il y a le viaduc qui me fascinait, et je suppose qu'on ne met pas de gare au niveau d'un viaduc ; et avant, je ne vois pas non plus bien d'endroit plausible. Je suppose qu'il a été démoli, parce que j'ai patrouillé tout le coin et si un tel bâtiment existait dans le coin je l'aurais sûrement vu.)

Allez hop, au boulot, cher Internet. Tu pourrais, par exemple, faire apparaître la réponse dans le fil de commentaires de mon blog (que je pourrais ensuite reproduire par ici), ce serait une bonne idée.

Ajout (2018-03-18T23:35+01:00) : On me signale en commentaires ici une photo de la gare, ici une photo du chantier de construction de la ligne à cet endroit (images tirées de cette page). J'ai l'impression que ça pourrait correspondre à cet endroit, ce qui mettrait la gare vers ici ; je pense qu'il n'y a rien à cet emplacement à part une piste cyclable qui monte aux Ulis, peut-être que la gare a été détruite pour faire passer l'échangeur avec la N118.

Nouvel ajout (2018-03-19T22:35+01:00) : On (=toujours Typhon, qui gagne donc un deuxième Point Internet) me fait remarquer que l'IGN permet d'accéder a des photos aériennes prises à toutes sortes de dates différentes : en superposant une photo du 1952-08-27 (la numéro 137 de cette mission : le site ne semble pas permettre de faire un lien vers la photo exacte) avec une capture d'écran de Google Maps actuel, j'ai produit ce GIF animé tout pourri. Il n'y a dès lors plus de doute que la gare d'Orsay-État était située à cet endroit, ou ici sur Street View (un tout petit peu plus à l'est que ce que j'avais conclu au paragraphe précédent), juste à l'endroit où passe actuellement la N118, et elle a donc dû être détruite pour faire place à cette dernière, et ce aux alentours de 1970 (en 1973 il est certain qu'elle n'existe plus, en 1969 j'ai l'impression qu'elle y est encore). Au passage, ceci résout le mystère qu'avait toujours été pour moi la rue de Courtabœuf (qui semble ne mener nulle part : en fait, elle menait à la gare et, au-delà des voies de chemin de fer, au plateau et peut-être aux carrières qui s'y trouvaient), et dans une certaine mesure, la forme tarabiscotée de la piste cyclable. (Par ailleurs, il semble qu'il eut existé un pont à peu près ici entre les deux qui sont encore là. Je me demande si on peut en trouver quelque trace sur le terrain.) Bref, merci Internet !

Signé : un bloggueur trop flemmard pour aller consulter des vrais livres (faut que je me prépare à aller voir Ready Player One et à anticiper le monde où il n'existera rien d'autre qu'Internet).

On n'a pas, quand on est locuteur natif d'une langue, une bonne apréciation de la complexité de celle-ci : il est nécessaire pour se rendre bien compte de certains phénomènes grammaticaux, de les enseigner à un étranger, ou d'essayer de programmer un ordinateur, ou de codifier très précisément ce que sont les règles. (Désolé pour l'enfonçage de portes ouvertes en matière d'introduction.) J'ai commencé à prendre conscience de la complexité du système de pronoms français quand j'étais petit et que j'avais essayé de programmer (en Turbo Pascal…) un petit générateur de phrases aléatoires — c'était essentiellement un petit jeu oulipien, mais je voulais quand même qu'il soit un minimum sophistiqué et qu'il reprenne correctement par le bon pronom les personnes ou objets déjà évoqués. J'ai vite compris mon malheur. Et plus tard, j'ai eu plusieurs occasions de découvrir de nouvelles bizarreries que je n'avais pas encore remarquées.

Dans un certain nombre d'autres langues que je connais, les pronoms ne sont pas trop compliqués : leur forme est définie par des paramètres tels que la personne (1re, 2de, 3e) et/ou le type (personnel, démonstratif, relatif, interrogatif…), le nombre (singulier, pluriel, éventuellement duel), le genre (masculin, féminin, neutre), et la fonction dans la phrase ou le cas (sujet=nominatif, objet=accusatif, ce genre de choses). Il y a des complications (par exemple des distinctions entre pronoms animés et inanimés même pour un genre donné), mais globalement, ce modèle marche pour plein de langues que je connais (ce qui est certainement un signe que je connais très peu de langues), et certainement pour plein de langues du sprachbund européen ou quelque chose comme ça.

Mais le français fait vraiment des bizarreries. Il suffit pour s'en convaincre de regarder quelque chose d'aussi banal que moi, je [fais quelque chose] : pourquoi diable est-ce que moi et je, qui sont tous les deux des pronoms personnels de la 1re personne au singulier, diffèrent ainsi, alors qu'ils sont tous les deux à ce qu'on appellerait classiquement un nominatif ? On peut expliquer cette différence par le fait que je est un pronom « clitique » ou « conjoint » ou « faible » tandis que moi est un pronom « disjoint » ou « fort » : mais c'est une distinction qu'on n'apprend pas à l'école ; le pronom clitique est forcément associé à un verbe (on ne dit pas je tout court, même en réponse à une question comme qui est là ?), et varie selon la fonction, tandis que le pronom fort a une analyse syntaxique plus proche des noms (par exemple ils peuvent prendre un adjectif : moi seul alors qu'on ne dit jamais *je seul ; ils peuvent se coordonner : toi et moi, pas *tu et je ; et ainsi de suite).

Déjà, cette distinction entre pronoms clitiques et forts est compliquée et bizarre, mais surtout, les règles présidant au choix de l'une ou de l'autre forme (ou à la place des pronoms clitiques, qui est très rigide : contraster tu me le présentes et tu le lui présentes — le pronom indirect a changé de place), sont invraisemblablement complexes et ne semblent exister que sous forme d'un défilé interminable de cas et de sous-cas. On peut par exemple consulter le Bon Usage de Grevisse (§660–674 au moins) pour se rendre compte de la cascade d'exemples qui partent dans tous les sens et qui échappent à tout semblant de logique. Bien sûr, toutes les langues ont leurs exceptions bizarres aux règles, mais là, je ne sais même pas quelles sont les règles qui permettraient vaguement de mettre de l'ordre dans cette myriade de cas qui semblent échapper à toute cohérence d'ensemble.

Je donne juste un exemple de subtilité qui m'avait particulièrement frappé quand j'en ai pris conscience :

• • Je parle à ma mère → Je lui parle
  • J'obéis à mon chef → Je lui obéis
  • Je téléphone à mes amis → Je leur téléphone
  • J'annonce la nouvelle à mes proches → Je leur annonce la nouvelle
  • Je donne des pièces à un mendiant → Je lui donne des pièces
  • Je prends son sac à mon voisin → Je lui prends son sac
• Mais :
  • Je pense à ma mère → Je pense à elle (et pas *Je lui pense)
  • Je songe à mes enfants → Je songe à eux (et pas *Je leur songe)
  • Je renonce à mes amis → Je renonce à eux (et pas *Je leur renonce)
  • Je m'adresse à mon compagnon → Je m'adresse à lui (et pas *Je me lui adresse)
  • Je m'en remets aux dieux → Je m'en remets à eux (et pas *Je me leur en remets(?))
  • Je prends garde à mon ennemi → Je prends garde à lui (et pas *Je lui prends garde(?))

Manifestement il y a des verbes à construction indirecte avec la préposition à qui admettent le pronom clitique indirect (la première série d'exemples) et d'autres qui ne l'admettent pas (Grevisse §662(b)3º). Pourquoi tant de haine ? Et ce n'est même pas aussi simple que le choix du verbe : la comparaison entre je lui prends son sac et je prends garde à lui montre que le verbe prendre accepte le pronom clitique indirect (comme, de façon générale, les verbes construits avec un « complément d'objet second ») mais plus quand il fait partie de la locution verbale prendre garde (qui a été lexicalisée). Aussi, la présence d'un pronom clitique objet direct sauf le, la ou les interdit la présence du pronom clitique objet indirect (Grevisse §662(b)2º) : on dit je te le présente (le est objet direct, te est objet indirect) mais je me présente à toi, pas *je te me présente (il est vrai que, dans l'autre sens, je le présente à toi ne choque en rien). Et ce n'est là qu'un minuscule fragment des nombreuses difficultés liées à ce choix de pronoms.

Autre bizarrerie que je trouve frappante : l'impératif à la forme positive (non-négative) impose une postposition du pronom objet : ne le regarde pas devient regarde-le ; et cette postposition demande un pronom fort pour la 1re et 2de personne du singulier (Grevisse §661(c), voir aussi §683) : donc ne me regarde pas devient regarde-moi. Quelle combinaison bizarre de conditions ! En fait, l'impératif positif a ses règles tellement spécifiques et incompréhensibles que le français ne sait pas vraiment retirer la négation de ne m'en donne pas ou ne m'y mène pas : est-ce donne-m'en ou donne-moi[s???]-en ou donnes-en-moi ? mène-m'y ou mène-moi[s???]-y ou mènes-y-moi ? Je pourrais dire que je ne sais pas, mais en fait, personne ne sait. (Les espèces-de-pronoms en et y sont des horreurs particulièrement absconses de la grammaire française, et je renonce à y comprendre quoi que ce soit. Par ailleurs, il faudrait faire une note sur cette bizarrerie des impératifs qui prennent une ‘s’ inopinée quand ils sont suivis d'un de ces pronoms, comme si c'était le but de faire croire que va prend une ‘s’ vu qu'on dit vas-y parce que ce serait vraiment trop simple sinon, hein.)

Et il n'y a pas que les pronoms personnels avec leur distinction byzantine entre clitiques et forts qui posent problème. Considérons les interrogatifs et les relatifs : la distinction entre qui et que est une distinction sujet/objet s'agissant des relatifs (bon, j'ai déjà écrit un roman sur les relatives, je ne recommence pas) ; mais tout d'un coup, lorsqu'ils sont interrogatifs, c'est une distinction entre personne et non-personne(?). Et donc dans une tournure (fréquente) telle que qui est-ce qui t'a touché ?, le premier qui, qui est interrogatif, fonctionne selon la distinction personne/non-personne (comparer qui est-ce qui t'a touché ? et qu'est-ce qui t'a touché ?) tandis que le second qui, qui est relatif, fonctionne selon la distinction sujet/objet (comparer qui est-ce qui t'a touché ? et qui est-ce que tu as touché ?). Mais le plus amusant dans l'histoire, c'est qu'il manque plus ou moins un pronom interrogatif sujet non-personne :

• Qui est-ce que tu vois ? → Qui vois-tu ? [personne objet]
• Qu'est-ce que tu vois ? → Que vois-tu ? [non-personne objet]
• Qui est-ce qui t'a touché ? → Qui t'a touché ? [personne sujet]
• Qu'est-ce qui t'a touché ? → ??? [non-personne sujet]

Théoriquement on peut dire quoi t'a touché ? ou même que t'a touché ?, mais les deux sonnent vraiment très bizarre. Qu'est-ce que c'est que cette langue pourrie qui n'a même pas un pronom interrogatif sujet pour les choses ?

Bien sûr, Grevisse (§731(a)) a toutes sortes d'exemples d'écrivains qui peinent à s'en sortir avec quoi et que et de tournures qui sonnent quand même marcher : • Avec quoi : Quoi de neuf ? — Quoi donc t'étonne ? [Flaubert, Madame Bovary] — Mais quoi donc, alors, ou qui donc [...] secouera assez cette nation [...] ? [Montherlant] — Quoi, dans la vie, lui donnait le droit de parler ainsi ? [Daniel-Rops] — Qui ou quoi vous a donné cette idée ? — Car quoi résiste au regard humain [...] ? [Claudel] — Mais, à la fin, quoi vous autorise à croire... [Crommelynck] • Avec que (très rare hors expressions figées) : Qu'est-ce ? [Rostand, Cyrano II, 3] — Que me vaut tant d'honneur ? — Qu'avait bien pu pousser papa à quitter brusquement sa tribu [...] ? [Ragon]

Franchement, je ne voudrais pas enseigner le français. On peut toujours essayer de répéter le mantra contentez-vous d'écouter, ça viendra tout seul, mais j'ai de sérieux doutes. Et l'ironie est que les Français sont souvent persuadés que l'allemand est une langue très compliquée parce qu'il y a des déclinaisons et tout et tout : je crois bien que, si j'étais chinois, je préférerais mille fois apprendre le système de déclinaisons et de pronoms de l'allemand que les zillions de cas du système de pronoms français ! (Trouvez-moi un Chinois qui a appris à la fois l'allemand et le français, si possible simultanément et à un rythme comparable, jusqu'à les parler couramment, pour confirmer ou infirmer ma conjecture.)

J'avais raconté l'an dernier comment je corrige des copies, et ce n'est pas un hasard si je reviens sur un sujet proche à peu près un an plus tard.

En gros, ma méthode est la suivante : ouvrir un tableur avec une ligne par copie (= par élève, λ), une colonne par question du contrôle (i) ; et remplir chaque case avec un nombre réel x_λ,i entre 0 (question complètement fausse ou non traitée) et 1 (question traitée de façon parfaitement satisfaisante). Puis décider d'un barème, c'est-à-dire un poids p_i pour chaque question : a priori la note (N_λ de la copie λ) est la somme des x_λ,j pondérée par les p_j, c'est-à-dire N_λ := ∑_j(p_j·x_λ,j) ; sauf qu'en fait, j'ai envie de pouvoir ajuster plus commodément le coefficient multiplicatif : donc au lieu que p_i soit directement le nombre de points sur lequel est notée la question i, ça va être un poids relatif, je choisis un total N_max sur lequel est noté le contrôle, et j'applique la formule N_λ := N_max·∑_j(p_j·x_λ,j)/∑_j(p_j). Traditionnellement, en France, les notes sont exprimées sur 20, mais N_max peut prendre une autre valeur, par exemple quand le sujet était trop long et qu'on n'exige pas de tout traiter pour obtenir la note maximale, je mettrai N_max à 21, 22 ou plus. Le fait de choisir indépendamment N_max et les p_j signifie que je peux ajuster librement le poids relatif des questions (typiquement p_j vaudra 1 pour une question « normale », 0.5 pour une question simple et facile, 1.5 pour une question plus complexe, 2 pour une question particulièrement longue et discriminante… si le poids devient plus grand que ça, je vais généralement subdiviser la question en plusieurs sous-questions) sans avoir à me préoccuper d'arriver au bon total : la question i sera notée, au final, sur N_max·p_i/∑_j(p_j), et tant pis si je me retrouve avec un exercice noté sur, disons, 7.737 et deux sur 6.632.

L'avantage de ce système est que je n'ai pas le carcan d'une granularité du point, demi-point ou quart de point. Pour chaque question je me fais un sous-barème mental (du genre : ici, une réponse correcte mais non justifiée vaudra 0.6, c'est-à-dire 60% de la valeur de la question ; dans tel ou tel raisonnement, une bonne idée qui n'aboutit pas peut valoir 0.2, ou 0.4, ou selon ce que j'estime qu'il vaut). Au final, mes notes sont des rationnels essentiellement arbitraires que j'arrondis à 0.1 point par excès avant de les envoyer à l'administration.

Tout cela est assez facile à faire avec LibreOffice : disons que j'inscris les notes x_λ,i entre 0 et 1 dans les lignes 2 à 32, colonnes D à R d'un tableur (la ligne 1 contient les intitulés des colonnes, les colonnes A à C me servant typiquement à entrer le nom et prénom, et un 1 si l'élève était effectivement présent) ; je mets le barème p_j dans la ligne 34 (cellules D34 à R34), la note maximal théorique N_max dans la case S33, et la note dans la ligne λ de la colonne S sera calculée par la formule =SUMPRODUCT($Dλ:$Rλ,$D$34:$R$34)/SUM($D$34:$R$34)*$S$33 (copiée-collée dans toutes cellules S2 à S32).

Je n'aime pas la manière dont les tableurs incitent à faire travailler avec des numéros de ligne et des lettres de colonne explicites, et obligent à tout stocker dans des cellules d'une structure 2d, on se croirait à l'époque du BASIC où il fallait numéroter les lignes de programme. Il est vrai qu'il y a des moyens d'éviter ça au moins partiellement (on peut donner des noms symboliques à des cellules ou groupes de cellules) et j'avoue que je n'ai pas fait l'effort d'apprendre à m'en servir. Mais ce que je déteste particulièrement avec les tableurs, en fait, c'est surtout la manière dont on se retrouve à reproduire les formules à coup de copier-coller, parfois on cible mal le copier-coller (on sélectionne une ligne de moins en haut ou en bas, ou pas le bon ensemble de feuilles) et du coup la formule d'une cellule n'est pas changée avec toutes les autres et il y a un risque important de ne pas s'en apercevoir parce que toute la colonne est censée être uniforme. Et je déteste aussi le fait qu'on doive marquer tout ce qui est « absolu » par un $ alors que, dans ce que je manipule, il y a typiquement beaucoup plus de références lignes et colonnes absolues que relatives.

Ce que j'ai décrit, là, c'est la manière dont j'utilise un tableur quand je suis tout seul (je pourrais tout aussi bien utiliser un format de données personnel, mais ça n'aurait pas grand intérêt puisque, justement, dans ce cadre-là, les tableurs ne sont pas encore trop pénibles). Là où les choses deviennent plus lourdingues, c'est quand je dois coordonner plusieurs correcteurs, ce qui est cas pour un cours dont j'avais signalé le poly ici. Je crée un tableau avec une feuille par correcteur selon le modèle décrit ci-dessus, et chacun remplit les x_λ,i (entre 0 et 1) pour ses copies. Déjà c'est plus pénible, parce que la gestion des feuilles, elle n'est pas aussi commode que celle des lignes et des colonnes (qui est déjà perfectible) : plus d'une fois je me suis retrouvé à faire accidentellement des modifications sur toutes les feuilles à la fois alors que je voulais les faire sur une seule, ou le contraire.

Certains de mes collègues utilisent un tableur Microsoft (je suppose que c'est Excel), donc je dois prier pour que l'import sous LibreOffice fonctionne correctement : pour juste des nombres, ça marche, mais pour les formules, je suis déjà plus méfiant. Par ailleurs, les cases d'un tableur viennent aussi avec des réglages de polices, tailles, couleurs et autres bizarreries que je ne comprends pas bien, qu'il me faut ensuite expurger (ou penser à demander de ne pas recopier). Voilà autre chose que je déteste : le mélange complètement bizarre entre le fond (les quantités dans le tableau) et la forme (la manière dont elles peuvent être formatées : dans certains cas, ça peut avoir un sens de considérer que ça fait partie du fond, mais, justement, le tableur ne semble pas permettre de distinguer ça proprement).

Un cas montrant à quel point tout ça est dangereux. Un de mes collègues m'a rendu un tableau dont les moyennes étaient particulièrement basses, et j'ai remarqué que les nombres étaient alignés bizarrement. En regardant de plus près, j'ai compris que les nombres comme 0.7 étaient considérés comme du texte (comme la chaîne de caractère 0.7) et pas comme des nombres (le réel 7/10), et comptaient comme zéro dans toutes les formules ; et ceci s'appliquait à tout nombre non-entier : autrement dit, le tableur avait effectivement transformé en zéro toutes les notes strictement comprises entre 0 et 1 mises par mon collègue à une question ! Des élèves auraient pu être lourdement pénalisés par une misfeature logicielle stupide.

Je suppose que la raison est qu'à un moment ou un autre, LibreOffice a décidé qu'il était en français et que le séparateur décimal en français est la virgule et pas le point.

Je digresse pour ranter à ce sujet. La seule convention qui fait sens est de considérer que la virgule ET le point sont tous les deux des séparateurs décimaux valables, quelle que soit la langue : c'est la position normalisée par la 22e Convention Générale des Poids et Mesures (résolution 10) et par le standard ISO 31-0 (après amendement 2) ; et c'est surtout la seule position conforme au principe de Postel. (Pour des raisons analogues, le séparateur de milliers doit être soit absent soit une espace insécable fine, mais en aucun cas une virgule ni autre chose.) Personnellement, j'ai pris l'habitude de systématiquement utiliser le point dans un contexte informatique (parce que la plupart des langages informatiques l'exigent et que ça simplifie le copier-coller), et la virgule quand j'écris à la main (parce qu'elle est plus visible que le point), et ce, que j'écrive en anglais ou en français. (De toute façon, je suis, par principe, favorable à adopter des conventions d'écriture et de typographie orthogonales aux langues dans lesquelles on écrit, mais j'ai déjà dit tout ça. Je ne sais pas pourquoi les gens ont tellement de mal à concevoir que « les deux sont permis » est la meilleure réponse possible à un grand nombre de choix de ce genre.) Toujours est-il que le programmeur qui a fait en sorte qu'un 0.7 tapé dans un tableau, fût-il en français, soit interprété comme une chaîne de caractères et pas comme le nombre réel 7/10, mérite une énorme paire de baffes. (Et méritent aussi une énorme paire de baffes ceux qui ont pondu le système de locales et qui n'ont prévu qu'un séparateur décimal et pas de mécanisme pour dire l'affichage utilisera tel séparateur, mais, en lecture, tel autre séparateur sera également accepté alors que c'est justement ce qu'imposent les standards !)

De toute façon, la gestion des nombres par LibreOffice a l'air tellement cassée et incohérente que je renonce à y comprendre quoi que ce soit. On m'a fait remarquer, par exemple, que suite à une opération de recherche-remplacement, LibreOffice réinterprète les chaînes comme des nombres si ce sont des nombres valables et que la case a effectivement été remplacée. Par exemple, si je rentre 0.7 comme chaîne de caractères (cela se fait en tapant '0.7) et que je fais une opération de recherche-remplacement globale de la chaîne 0.7 en 0.5, alors la case se transforme en nombre 0.5, bien que j'aie fait un remplacement sur des chaînes. (C'est complètement incohérent vu que, si je fais une opération de recherche-remplacement globale de la chaîne 0.7 en 0.7, évidemment, rien ne change.) C'est vraiment abominable, ça veut dire qu'il y a parfois du typage, mais parfois pas, et ce, de façon juste incohérente. Je n'ai pas cherché à comprendre plus loin.

Mais revenons à la notation de copies. Mes collègues se sont plaints, par le passé, que noter chaque question sur 1 (c'est-à-dire utiliser des réels entre 0 et 1) n'est pas très commode, parce que taper 0.25 en notant sur 1 est moins pratique que taper 1 en notant sur 4. J'ai donc ajouté une ligne à mes tableaux, disons la ligne 33, qui permet de spécifier sur combien on a noté la colonne (de façon complètement indépendante de son poids), et les nombres dans le tableau sont divisés par la ligne en question avant toute autre opération. La formule calculant la note devient alors un chouïa plus compliquée : =SUMPRODUCT(($Dλ:$Rλ)/($D$33:$R$33),$D$34:$R$34)/SUM($D$34:$R$34)*$S$33 c'est-à-dire N_λ := N_max·∑_j(p_j·(x_λ,j/x_max,j))/∑_j(p_j) en écrivant x_max,j pour le nombre sur lequel la question j a été notée. J'avoue au passage que je ne comprends pas bien les subtilités des fonctions de tableau de LibreOffice : par exemple, =SUM(Z1:Z42) somme les cellules Z1 à Z42 (disons que celles-ci contiennent des nombres), ce qui fait exactement comme =SUMPRODUCT(Z1:Z42) ; mais si on veut calculer, disons, la somme des sinus des valeurs en question, alors =SUM(SIN(Z1:Z42)) ne fonctionne pas (il renvoie #VALUE!) tandis que =SUMPRODUCT(SIN(Z1:Z42)) fonctionne : c'est probablement lié au fait que SUMPRODUCT est une fonction de tableu alors que SUM est… euh, je ne sais pas, autre chose. C'est probablement expliqué quelque part, mais en tout cas, c'est excessivement byzantin.

Bon, et quand on a plusieurs correcteurs, on peut avoir envie d'harmoniser les notes selon le principe que les correcteurs ne notent pas toujours aussi généreusement. La fonction d'harmonisation que j'ai envie de prendre est la fonction x ↦ x^γ, appliquée à la note de chaque question (entre 0 et 1, donc), avec γ un réel strictement positif (et plutôt proche de 1) choisi d'autant plus grand que le correcteur est généreux, ou d'autant plus petit qu'il est sévère : l'idée est que tout le monde sera d'accord pour dire qu'une question totalement fausse vaut 0 et qu'une question parfaite vaut 1, les divergences viennent surtout des cas où on décide de mettre une partie des points. Donc l'idée serait d'appliquer cette fonction, qui fixe 0 et 1, aux notes de toutes les questions mises par un correcteur. (D'autres fonctions seraient possibles, mais celle-ci a le mérite d'être simple et standard.) Idéalement, ce qu'il faudrait faire, c'est répartir les copies aléatoirement entre les correcteurs, pour pouvoir faire l'hypothèse que chaque tas est de même niveau, puis appliquer la fonction à la note de chaque question avec un γ choisi, correcteur par correcteur, pour que les notes soient de niveaux égaux (niveau mesuré par la moyenne, ou la médiane, ou quelque chose comme ça — peut-être la moyenne des n/2 notes médianes, histoire de faire un compromis entre les deux et écarter les queues de distribution sans trop faire d'hypothèse sur le centre). Mais sans aller jusqu'à un tel niveau de précision, appliquer un γ un peu au-dessus de 1 pour un correcteur qui a tendance à être trop généreux avec les points partiels, et un peu en-dessous de 1 pour un correcteur qui a tendance à être trop sévère avec eux, permet d'harmoniser un peu. (D'où l'intérêt, aussi, d'insister pour que les correcteurs mettent effectivement des fractions de points quand il y a quelques idées de juste : ce sera toujours ajustable derrière, tandis que des 0 et des 1 ne le sont pas trop.) À ce stade-là, les notes ne sont même plus des rationnels (ce sont des algébriques parce que je prends des γ rationnels, mais bon, on s'en fout, on ne va pas faire des calculs exacts dessus).

Ma formule de calcul de note devient encore un peu plus compliquée : mathématiquement, c'est N_λ := N_max·∑_j(p_j·(x_λ,j/x_max,j)^γ)/∑_j(p_j), je vous la refais en MathML juste pour le plaisir d'écrire du MathML et de rappeler que Firefox est meilleur que Chrome,

${\displaystyle N_{\lambda }≔N_{\text{max}}\cdot \frac{\sum _j{p}_j{\left(\frac{x_{\lambda ,j}}{x_{\text{max},j}}\right)}^{\gamma }}{\sum _j{p}_j}}$

et dans LibreOffice, cela devient =SUMPRODUCT(POWER(($Dλ:$Rλ)/($D$33:$R$33),$A$36),$D$34:$R$34)/SUM($D$34:$R$34)*$S$33 si j'ai mis le γ affecté au correcteur dans la cellule A36 de sa feuille à lui. Ah oui, et il faut sans doute mettre un CEILING(…,0.1) si on veut arrondir tout ça. Voire ajouter des tests pour certaines notes particulières provoquant des effets de seuil (par exemple, en première année à Télécom, il y a un seuil à 6/20, donc il vaut mieux éviter une note comme 5.9). Ça commence à devenir vraiment fastidieux !

Difficulté suivante : communiquer les notes aux élèves. Bien sûr, mon école a une infrastructure prévue pour saisir les notes — mais il s'agit uniquement de la note finale du module. Si je veux communiquer aux élèves des notes intermédiaires, ou un décompte exercice par exercice, c'est à moi de me démerder. Et l'école ne veut pas non plus (ce qui est raisonnable) qu'on envoie à tout le monde un grand tableau avec les notes de tout le monde. La solution semble donc d'envoyer 150 mails individuels, et pour ça il est évident que je vais automatiser le processus. (Bien sûr, une meilleure solution aurait été que l'école s'arrange d'emblée pour que chaque élève se génère une paire publique/privée de clés cryptographiques et publie les clés publiques de tous les élèves : comme ça, j'aurais pu publier en une seule fois les informations pour chaque élève chiffrées de manière à ce qu'il soit le seul à pouvoir les déchiffrer. Mais ce n'est pas le cas, et par ailleurs je n'assure plus de cours de crypto, donc oublions.)

Or scripter l'envoi de mails est étonnamment difficile. Sous Unix, on peut bien invoquer /usr/lib/sendmail directement, mais encore faut-il que l'agent mail de la machine en question soit correctement configuré pour faire ce qu'il faut, ce qui est loin d'être évident ; et même si ça marche, il ne va pas s'occuper des choses pénibles adjacentes à l'envoi, comme l'encodage MIME et autres petites merdes de ce genre. Il y a toutes sortes de programmes comme mail et mailx qui sont censés être scriptables (même mutt, qui est mon agent utilisateur normal pour tout mon mail non-professionnel), mais, bien sûr, il n'y en a pas deux qui se comportent de la même manière (et plein de programmes différents peuvent se cacher sous le nom de mail, c'est une horreur). Le mieux que j'aie trouvé était, finalement, le programme s-nail. J'ai quand même passé beaucoup de temps à trouver quelles options lui donner pour qu'il arrive à parler au serveur de mon école (du genre : set smtp-use-starttls, set ssl-verify=ignore, set smtp-auth=login, set smtp-auth-user=mylogin@telecom-paristech.fr, set smtp-auth-password=mypassword et set smtp=smtp://z.mines-telecom.fr) et qu'il ne commette pas de crime de lèse-Unicode (set encoding=8bit et set sendcharsets=utf-8). Ensuite, il n'y a « plus qu'à » exporter le fichier des notes en CSV, et écrire un script Perl qui envoie les mails (je suppose, bien sûr, que j'aurais aussi pu trouver un module Perl qui fait le boulot d'envoyer les mails ; sauf qu'en fait j'aurais certainement trouvé douze modules différents, certains obsolètes, le rapport entre lesquels n'est pas clair, et dont les noms n'indiquent pas clairement ce qu'ils font). Et puis, bien sûr, personne n'a l'air de bien savoir combien de mails j'ai le droit d'envoyer par unité de temps.

Je ne peux que méditer les mots immortels du grand David M.*x : le chemin de l'enfer est pavé de petites crottes de ragondin.

C'est un peu banal de se moquer des perles de journalistes quand ils parlent de sciences, mais le texte qui suit m'avait particulièrement sauté aux yeux et mérite certainement quelques commentaires à la fois mathématiques et sociologiques. C'est tiré du numéro 3 (26 janvier au 1er février 2018) du magazine Ebdo, section Sciences, page 89, sous le chapeau Mathématiques ; voyez si vous pouvez repérer les petites erreurs (indication : à peu près tout, du début à la fin, est complètement faux) :

Même les infinis sont égaux

Deux chercheurs viennent de démontrer que l'ensemble des nombres entiers et celui des nombres réels sont de taille identique. Apportant ainsi une réponse à l'une des plus grandes énigmes mathématiques.

Deux infinis peuvent-ils être de tailles différentes ? La question ne vous empêche certainement pas de dormir, mais elle était en haut de la liste des 23 problèmes mathématiques les plus importants, établie en 1900 par David Hilbert. Elle vient d'être résolue par Maryanthe Malliaris, de l'université de Chicago, et Saharon Shelah, de l'université hébraïque de Jérusalem.

Pour répondre à la question, ils ont comparé deux ensembles connus pour être infinis. À ma droite, l'ensemble des nombres entiers. Si vous comptez de un en un à partir de 0, vous ne vous arrêterez jamais. L'ensemble des nombres entiers est donc infini. À ma gauche, l'ensemble des nombres dits réels. Il s'agit de comptabiliser les nombres entiers (dont on vient de parler), plus les nombres définis par des fractions (comme deux tiers), plus les nombres bizarres comme pi. Cet ensemble des nombres réels est donc lui aussi infini. Nous sommes bien face à deux ensembles infinis. Et comme l'ensemble des entiers est inclus dans l'ensemble des réels, l'un est forcément plus petit que l'autre. Nous serions donc face à deux infinis de taille différentes [sic]. Ce qui est paradoxal.

Les mathématiciens du monde entier sont tout aussi perplexes depuis cent dix-huit ans. Heureusement, l'Américaine Maryanthe Malliaris et l'Israélien Saharon Shelah ont prouvé que l'ensemble des nombres entiers et celui des nombres réels étaient bien de taille identique. Le détail de leur démonstration est disponible dans le Journal of the American Mathematical Society. Ces travaux pourraient leur valoir la plus prestigieuse récompense de mathématiques, la médaille Fields, qui n'a été décernée qu'à une seule femme dans toute l'histoire. • O.M.

Il y a sans doute une section particulière de l'enfer où on met les mathématiciens coupables d'avoir fraudé leurs publications et où on les torture en leur faisant lire des textes comme ça. En fait, ce qui est assez impressionnant, c'est que l'article n'est même pas particulièrement confus ou embrouillé : il dit assez clairement, et de façon répétée, des choses complètement fausses, et surtout, que ℕ (l'ensemble des entiers naturels) et ℝ (l'ensemble des nombres réels) auraient la même taille, et que la question serait restée ouverte pendant 118 ans ; en réalité, on sait depuis 140 ans que, justement, ℕ et ℝ n'ont pas la même taille (et surtout, on sait comment formuler cette affirmation précisément), et c'est même l'exemple qu'on donne dans n'importe quelle tentative de vulgarisation sur le sujet. Voyez par exemple cette vidéo de vulgarisation par PBS sur le sujet ou celle-ci par Ted-Ed, qui ne sont pas mal faites (je ne les ai pas réécoutées pour vérifier si elles ne contenaient pas de petites erreurs, mais en tout cas elles sont au moins globalement correctes, probablement compréhensibles, et sont de la vulgarisation décente — et toute tentative de vulgariser le sujet dira à peu près les mêmes choses). Bien sûr, on peut raconter plus de choses dans une vidéo de sept minutes que dans un article de 314 mots, mais tout de même, on aurait pu espérer que l'auteur de l'article trouvât le temps d'écouter une vidéo de sept minutes pour se renseigner un minimum sur le sujet qu'il prétendait traiter.

Rappelons très brièvement ce qui est vrai. (Ceux qui ne s'intéressent pas aux détails mathématiques peuvent ignorer les passages en exergue.)

Quand il s'agit de mesurer la taille des ensembles possiblement infinis, les mathématiciens utilisent des nombres dits cardinaux : on dit que deux ensembles ont le même cardinal lorsqu'on peut mettre en correspondance un-à-un les éléments de ces deux ensembles (c'est-à-dire, trouver une bijection entre eux). Lorsqu'un ensemble a le même cardinal qu'une partie d'un autre (c'est-à-dire qu'on peut l'injecter dans l'autre), on dit qu'il a un cardinal plus petit, mais il faut bien comprendre plus petit au sens large ici, parce que, par exemple, l'ensemble 2ℕ des entiers naturels pairs a le même cardinal que l'ensemble ℕ de tous les entiers naturels (puisqu'on peut mettre en correspondance les entiers naturels pairs avec les entiers naturels en divisant ou multipliant par 2), ce qui est certes un peu surprenant (cette observation remonte à Galilée). L'étude systématique des cardinaux (ainsi que celle des ordinaux, d'ailleurs) a été démarrée vers la fin des années 1870 par Georg Cantor, qui a notamment prouvé : (a) que donné deux cardinaux, il y en a toujours[#] un qui est plus petit que l'autre (autrement dit, donnés deux ensembles, on peut toujours injecter l'un dans l'autre, ce qui est loin d'être évident), ou, si on préfère, les cardinaux sont totalement ordonnés (si κ et λ sont deux cardinaux, on a soit κ<λ soit κ=λ soit κ>λ ; en fait, les cardinaux sont même bien ordonnés, c'est-à-dire que dans n'importe quel ensemble non vide de cardinaux il y en a un plus petit), et (b) que donné n'importe quel cardinal, il y en a toujours un qui soit strictement plus grand que lui (plus grand et pas égal), et plus précisément, que si E est un ensemble, l'ensemble 𝒫(E) de toutes les parties de E a un cardinal strictement supérieur à celui de E (on le note 2^κ si on note κ le cardinal de E), et, en particulier, l'ensemble ℝ des nombres réels (c'est-à-dire tous les nombres à virgule), dont il n'est pas difficile de voir qu'il a le même cardinal que l'ensemble 𝒫(ℕ) des ensembles d'entiers naturels, a un cardinal strictement supérieur à celui ℕ des entiers naturels (c'est-à-dire 0, 1, 2, 3, 4 et ainsi de suite).

[#] Je passe ici sous silence une chose importante à dire avant : c'est qu'on a effectivement un ordre sur les cardinaux, c'est-à-dire que si un ensemble E s'injecte dans un ensemble F et que F s'injecte dans E, alors on peut trouver une bijection entre E et F (au niveau des cardinaux : si κ≤λ et κ≥λ alors κ=λ). Ce fait a été énoncé sans démonstration par Cantor, et démontré précisément par différentes personnes (Dedekind, Schröder et Bernstein).

Les cardinaux finis sont précisément les entiers naturels (un ensemble fini peut avoir 0 éléments, ou 1, ou 2, ou 3, ou ainsi de suite). Les cardinaux infinis sont notés par la lettre hébraïque ℵ (alef) : on appelle ℵ₀ le plus petit cardinal infini, qui est le cardinal de l'ensemble ℕ des entiers naturels (ou des entiers pairs, ou des entiers positifs comme négatifs, ou, ce qui est peut-être surprenant, de tous les rationnels, ou de plein d'autres choses : on dit qu'il s'agit des ensembles dénombrables). On appelle ensuite ℵ₁ le plus petit cardinal après ça, puis ℵ₂ le suivant, et ainsi de suite (les alefs sont eux-mêmes étiquetés par des ordinaux, mais peu importe). L'ensemble ℝ des nombres réels a un cardinal noté 2^ℵ₀ (également noté 𝔠), qui est strictement supérieur à ℵ₀, c'est-à-dire au moins égal à ℵ₁. Cantor a posé vers 1880 la question de savoir si en fait 2^ℵ₀=ℵ₁, c'est-à-dire si le cardinal 2^ℵ₀ de ℝ est le plus petit infini après celui de ℕ, ou, si on préfère, si toute partie de ℝ est soit dénombrable (= de cardinal ℵ₀) soit en bijection avec ℝ (= de cardinal 2^ℵ₀). Ce problème porte le nom d'hypothèse du continu ; plus exactement, l'hypothèse du continu est l'affirmation que 2^ℵ₀=ℵ₁.

La question de démontrer ou de réfuter l'hypothèse du continu a beaucoup préoccupé les mathématiciens : David Hilbert (qui a été un des premiers et plus enthousiastes défenseurs de l'intérêt des théories de Cantor, comparant la théorie des ensembles à un paradis que Cantor nous a créé) a placé la question en tout premier dans sa très célèbre liste de (10 puis 23) problèmes pour le XXe siècle présentée au congrès international des mathématiciens en 1900. Mais la question a pris un tour inattendu : en 1940, Kurt Gödel a montré (en utilisant l'univers constructible) que les axiomes ZFC de la théorie des ensemble ne permettaient pas de réfuter l'hypothèse du continu (autrement dit, ils ne permettent pas de démontrer 2^ℵ₀>ℵ₁) ; et en 1963, Paul Cohen a démontré que ces mêmes axiomes ne permettent pas non plus de démontrer l'hypothèse du continu (ils ne permettent pas de démontrer 2^ℵ₀=ℵ₁) ; donc, globalement, les axiomes usuels ZFC de la théorie des ensembles ne tranchent pas la question (l'hypothèse du continu est indécidable dans ZFC). On peut ensuite avoir différents points de vue : soit considérer que, puisque les axiomes ne décident pas la question, on est libre d'admettre ou de refuser l'hypothèse du continu et que sa « vérité » n'a pas vraiment de sens ; soit considérer que sa vérité a bien un sens et qu'il nous faut trouver de meilleurs axiomes qui la décident (restent à savoir comment on doit choisir ces axiomes et sur la base de quoi on les valide) ; soit considérer qu'il y a plusieurs univers de théorie des ensembles, certains dans lesquels l'hypothèse du continu est vraie et d'autres où elle est fausse ; ou toutes sortes d'autres positions philosophiques ou épistémologiques sur la question (on peut aussi considérer, et c'est ce que font la grande majorité des mathématiciens, qu'on s'en fout complètement, vu que l'hypothèse du continu a très peu d'impact sur la recherche en-dehors de la théorie des ensembles, et que même en théorie des ensembles, ce qui importe est de publier des papiers où il est clair quels axiomes on prend et quelles conclusions on en tire).

J'insiste sur les points suivants : le fait que ℝ soit (de cardinal) strictement plus grand que ℕ (c'est-à-dire 2^ℵ₀>ℵ₀ ou, ce qui revient au même, 2^ℵ₀≥ℵ₁) est un fait indiscuté, facile (il est démontré dans les deux vidéos de vulgarisation que j'ai liées ci-dessus), et bien connu depuis environ 1880. La question plus délicate, posée par Cantor puis reprise par Hilbert, est celle de savoir s'il y a quelque chose entre les deux (c'est-à-dire si 2^ℵ₀>ℵ₁, l'hypothèse du continu étant la réponse non ici), mais même cette question-là est scientifiquement résolue depuis 1963 (les problèmes restants sont philosophiques, pas vraiment mathématiques). L'article d'Ebdo est donc spectaculairement faux : il présente un résultat bien connu depuis 1880 comme un problème ouvert depuis 1900 (en le confondant avec un problème qui s'est effectivement posé), et prétend qu'on y aurait apporté une solution qui est tout le contraire de ce qu'on sait depuis 1880. Et il retourne le couteau dans la plaie avec des phrases incroyablement idiotes comme : Nous serions donc face à deux infinis de tailles différentes. Ce qui est paradoxal. (Sans parler de ce petit bijou qu'est les nombres bizarres comme pi.)

Maintenant, il y a quand même quelque chose qui a déclenché cet article : de quoi s'agit-il ? Il y a bien un résultat de Malliaris et Shelah qui démontre l'égalité 𝔭=𝔱 (c'est p=t si vous n'avez pas la police fraktur qui vous permet de lire ça) entre « deux infinis », mais c'est quelque chose de beaucoup plus pointu :

Il s'agit d'un sujet appelé les caractéristiques cardinales du continu : l'idée est que si le continu 𝔠:=2^ℵ₀, c'est-à-dire le cardinal de ℝ, vaut au moins ℵ₁, et que ZFC ne permet pas de savoir s'il y a des choses strictement entre les deux, on peut quand même définir des choses qui sont entre les deux au sens large, et voir ce que ZFC permet de dire entre ces choses. Ces choses, c'est-à-dire des cardinaux compris au sens large entre ℵ₁ et 𝔠=2^ℵ₀ (qui sont donc tous égaux si on suppose l'hypothèse du continu !), et définis de façon plus ou moins compliquée, sont appelées des caractéristiques cardinales du continu, et leur étude a été démarrée en 1939 par Rothberger (cf. ici). Un exemple d'un tel cardinal est : le plus petit cardinal possible d'un ensemble qui ne soit pas négligeable (= de mesure nulle) au sens de Lebesgue (voir ici pour la définition de négligeable) : comme tout ensemble dénombrable (= de cardinal ℵ₀) est négligeable, le plus petit cardinal possible d'un ensemble non-négligeable est au moins ℵ₁, et comme ℝ n'est pas négligeable, on sait au moins qu'il existe des ensembles non-négligeables de cardinal 𝔠=2^ℵ₀ ; quelque part entre les deux, il y a donc le plus petit cardinal possible d'un ensemble non-négligeable, généralement noté quelque chose comme non(ℒ). Comme maintenant on a ℵ₁≤non(ℒ)≤2^ℵ₀, on peut s'interroger sur les deux inégalités séparément : l'hypothèse du continu assure que ce sont toutes les deux des égalités, mais on peut se demander si ZFC seul démontrerait l'une ou l'autre égalité (en l'occurrence : non), ou ce qu'on peut, dans le cadre de ZFC, démontrer comme inégalités entre plusieurs de ces « caractéristiques cardinales du continu ».

Il y a tout un tas de caractéristiques définies de façon usuelle entre ℵ₁ et 𝔠=2^ℵ₀ (beaucoup sont notées par une lettre fraktur minuscule et appelé nombre de <quelque chose>, par exemple 𝔡, le nombre de domination, qui est le plus petit cardinal possible d'un ensemble de fonctions ℕ→ℕ tel que toute fonction ℕ→ℕ soit majorée, à partir d'un certain rang, par une fonction de l'ensemble ; ou encore 𝔟, le nombre de bornage, qui est le plus petit cardinal possible d'un ensemble de fonctions ℕ→ℕ tel qu'aucune fonction ℕ→ℕ ne majore, à partir d'un certain rang, toutes les fonctions de l'ensemble : on a ℵ₁≤𝔟≤𝔡≤𝔠, et ZFC seul ne permet pas de prouver la moindre égalité dans tout ça). Parmi ce zoo de caractéristiques, il y en a deux, pas franchement les plus célèbres, qui sont 𝔭, le nombre de pseudointersection, et 𝔱, le nombre de tour, qui vérifient ℵ₁≤𝔭≤𝔱≤𝔠 et dont on savait seulement que la première et la troisième inégalité pouvaient être strictes, et dont on pensait que la deuxième pouvait l'être aussi. Malliaris et Shelah ont montré que cette deuxième inégalité, en fait, ne pouvait pas être stricte : c'est-à-dire que (ZFC, sans hypothèse supplémentaire, démontre) 𝔭=𝔱 (égalité entre le nombre de pseudointersection et le nombre de tour ; leur résultat a été annoncé en 2013 [General topology meets model theory, on 𝔭 and 𝔱, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 110, 13300–13305] et publié en 2016 [Cofinality spectrum theorems in model theory, set theory, and general topology, J. Amer. Math. Soc. 29, 237–297]).

Pour plus de détails sur les caractéristiques cardinales du continu en général (leur définition précise et ce qu'on savait déjà sur elles), voir ce texte d'Andreas Blass de 2003, Combinatorial Cardinal Characteristics of the Continuum ; pour quelques explications spécifiquement sur 𝔭 et 𝔱 et sur le résultat de Malliaris et Shelah, voir cet article du blog de Gowers.

Je ne vais certainement pas prétendre que ce résultat de Malliaris et Shelah (𝔭=𝔱) n'est pas important ; mais il ne faut pas exagérer, ce n'est pas bouleversant, et je crois que personne ne suggère sérieusement que ça mérite une médaille Fields. (Shelah, par ailleurs, est nettement trop âgé pour avoir la médaille Fields : il est certainement l'un des plus importants théoriciens des ensembles vivant, et s'il méritait une médaille Fields, ou dans la mesure où il mérite un prix Abel, ce qui me semble raisonnable, ce serait pour d'autres choses qu'il a faites ou pour l'ensemble de son œuvre, dans laquelle 𝔭=𝔱 ne me paraît pas le résultat le plus important.) Par ailleurs, comme je l'explique, ce résultat n'est pas terriblement récent puisqu'il a été annoncé en 2013.

Néanmoins, de façon assez inexplicable, ce résultat a provoqué une petite frénésie médiatique à partir de fin 2017. Il semble que ça ait commencé par cet article de Quanta daté du 2017-09-12, qui a ensuite été reproduit par Scientific American (je ne sais pas si c'est paru dans leur version papier ou seulement en ligne) et ailleurs. Contrairement au massacre commis par Ebdo, l'article de Quanta semble globalement correct : on peut lui reprocher d'être excessivement vague, c'est ce qu'a fait John Baez sur Google+, mais au moins ce n'est pas un tissu de conneries. Je suppose que c'est cet article et la réponse par John Baez qui ont amené Gowers à en parler sur son blog, et cela a attiré encore plus d'attention. (J'ai deux collègues qui m'en ont parlé à ce moment-là et m'ont demandé ce que j'en pensais.) Bref, l'attention attire l'attention : j'ai déjà évoqué (à plusieurs reprises) cet effet « boule de neige », qui, selon moi, est la raison principale pour laquelle toute forme de succès, de popularité ou de célébrité est avant tout le fruit du hasard (quelque chose lance la boule de neige, parfois elle roule, parfois non, il ne faut pas chercher la logique). Ici on peut avoir l'impression trompeuse que le résultat est majeur parce qu'on en parle beaucoup.

Maintenant, la manière dont Ebdo a réussi à transformer quelque chose qui était quand même expliqué de façon globalement correcte jusqu'à ce point, en un ramassis impressionnant de contresens, m'échappe quand même. Je tombe ici sur une brève du quotidien suisse Le Temps (daté du 2018-02-14) qui évoque la situation :

L'Ebdo, dernier-né des hebdomadaires français, a voulu faire amende honorable après avoir publié un article scientifique immédiatement épinglé par ses lecteurs matheux, car tout simplement faux. Même les infinis sont égaux avait à l'origine été écrit par une journaliste. Mais un autre journaliste, le trouvant juste mais un peu complexe, l'a réécrit, dans une version plus claire, plus simple. Mais elle était fausse. Malaise, et explications dans un mea culpa maladroit qui met en lumière des pratiques de réécriture douteuses. Résumé : j'ai piqué le boulot d'une collègue qui avait réellement travaillé le sujet, j'ai écrit des stupidités, mais ce n'est pas grave, commente une internaute énervée. Journaliste et scientifique, c'est presque deux métiers.

Je n'ai pas trouvé d'autre référence en ligne à cet article, je ne sais pas si Ebdo a publié un correctif (je n'ai pas les numéros suivants : celui-là avait été acheté par hasard par mon poussinet, ça ne m'a pas vraiment donné envie d'en acheter d'autres). C'est dommage, j'aurais aimé en savoir plus sur la manière dont ce genre de choses se produit (est-ce que l'article d'Ebdo a été écrit sur la base de celui de Quanta ou y a-t-il peut-être eu une version intermédiaire ? quelle était la formation scientifique des personnes impliquées ?).

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