David Madore's WebLog: 2013-12

This WebLog is bilingual, some entries are in English and others are in French. A few of them have a version in either language. Other than that, the French entries are not translations of the English ones or vice versa. Of course, if you understand only English, the English entries ought to be quite understandable without reading the French ones.

Ce WebLog est bilingue, certaines entrées sont en anglais et d'autres sont en français. Quelques-unes ont une version dans chaque langue. À part ça, les entrées en français ne sont pas des traductions de celles en anglais ou vice versa. Bien sûr, si vous ne comprenez que le français, les entrées en français devraient être assez compréhensibles sans lire celles en anglais.

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Entries published in December 2013 / Entrées publiées en décembre 2013:

(mardi)

Qu'est-ce qu'une géométrie, et autres pensées de fin d'année

J'ai passé la fin de la semaine dernière principalement à comater (pendant que mon poussinet était parti rendre visite à sa tante à Majorque) : c'est surtout en voyant combien j'ai dormi que je prends conscience de combien j'étais fatigué. En particulier, je n'ai pas continué ma série sur la géométrie hyperbolique, et il est probable que ma motivation à le faire décroisse rapidement avec le temps (j'ai déjà parlé de la nature épisodique de mes intérêts ? je ne retrouve pas). Encore que je voudrais vraiment trouver le moment de comprendre un peu en profondeur ces histoires d'automates finis en lien avec les groupes de Coxeter (intéressants dans le cas hyperbolique), et il faut que j'en discute avec mon voisin de bureau qui est spécialiste des automates. Bref.

Il y a une question qui m'a tracassé même dans ma torpeur, cependant, une question posée innocemment à propos de ma description faisant un grand parallèle entre la géométrie euclidienne, sphérique et hyperbolique : pourquoi n'y a-t-il que trois types de géométrie ? — en fait, s'il n'est pas très difficile de répondre à cette question en dimension 2, la question sous-jacente qui me tracasse, c'est surtout : qu'est-ce que c'est, au fait, une géométrie ? — et je dois avouer que je n'ai pas vraiment de réponse satisfaisante.

Ce n'est pas vraiment une question mathématique, ou en tout cas ce n'est pas une question mathématiquement bien formulée : c'est une question de trouver une définition satisfaisante, c'est-à-dire, puisque c'est moi qui me pose la question, une définition qui me satisfasse, qui satisfasse mon sens de l'esthétique mathématique. Comme je crois profondément à la philosophie proposée par notre maître Felix Klein, je suis persuadé que la bonne réponse est une certaine sorte de quotient d'un groupe de Lie (réel, entendu qu'on parle de géométries réelles), ou du moins quelque chose de fortement lié à ça.

[Attention, ce qui suit est un rant de matheux qui ne sait pas trop ce qu'il raconte. Faites semblant de comprendre même si ce n'est pas le cas : vous n'y perdrez pas grand-chose.]

Il y a des gens (je pense notamment à Sharpe, dans son livre Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program) qui prennent une définition très générale : une géométrie de Klein, c'est un quotient d'un groupe de Lie par un sous-groupe fermé ; le livre de Sharpe explique ensuite qu'il est possible de se servir de ces géométries de Klein comme des modèles pour définir les géométries de Cartan, qui sont des courbures de celles-ci, c'est-à-dire des espaces qui localement ressemblent à une géométrie de Klein modèle mais qui peuvent varier de point en point (si on part de la géométrie euclidienne comme géométrie modèle, on obtient la notion de variété riemannienne, mais on peut définir énormément d'autres types de structure, un pour chaque géométrie de Klein) : je trouve ça fascinant, ça fait des années que je me dis que je voudrais bien trouver le temps d'y réfléchir plus et d'essayer de comprendre comment me représenter toute cette zoologie de structures et comment elles interagissent entre elles, mais je trouve ça un chouïa trop général pour que ça corresponde à ce que je voulais ici (déjà, en dimension 2, ça fait un peu trop de géométries de Klein).

Il y a aussi la notion classique d'espace symétrique, qui peut être défini comme une variété riemannienne possédant suffisamment de « symétries » ou comme un quotient bien particulier d'un groupe de Lie : ces espaces sont complètement classifiés, indiscutablement ils sont d'une grande beauté conceptuelle, et on peut les regrouper en une famille plutôt « sphérique » (les espaces symétriques compacts) et une famille plutôt « hyperbolique » ; bref, c'est certainement une bonne partie de la réponse de ce que doit être une géométrie, mais on n'y trouve pas forcément la combinatoire (points, droites, etc.) que je m'attends à trouver dans une « géométrie ». Je ne suis donc pas non plus complètement satisfait par cette réponse-là.

En fait, je voudrais bien qu'il y ait une notion de géométrie associée à chaque groupe de Lie semi-simple de sorte qu'on ait un type d'objet pour chaque nœud du diagramme de Dynkin : la géométrie projective (sous un avatar ou un autre) serait celle associée à la série An, les différents nœuds du diagramme de Dynkin de An correspondant aux points, droites, plans, etc., jusqu'aux hyperplans ; la géométrie sphérique ou elliptique serait celle associée aux séries Bn et Dn, avec les points, droites, etc., jusqu'à la moitié de la dimension (au-delà c'est redondant parce que la polarité fondamentale met en dualité points et hyperplans, droites et plans de codimension 2, etc.). Et, pour reprendre ma fascination avec E₈, il devrait y avoir une géométrie exceptionnelle avec 8 types d'objets et certaines notions d'incidence entre elles (mais au lieu que ce soient points, droites, plans, etc., jusqu'à la dimension 7, il y aurait un type qui « brancherait » des autres comme sur le diagramme de Dynkin).

Ce genre de choses existe et est bien connu : ce sont les sous-groupes paraboliques maximaux du groupe de Lie, ou plutôt les quotients du groupe de Lie par ses sous-groupes paraboliques maximaux (ou les « géométries de Klein » données par ces quotients) : il y a bien un sous-groupe parabolique maximal par nœud du diagamme de Dynkin, et dans le cas de An ils définissent naturellement les points, droites, plans, etc. Ces objets, ou les géométries de Cartan modelées sur eux (en les « courbant ») sont étudiés et s'appellent les géométries paraboliques. Mais je ne suis toujours pas content, parce que dans le cas du groupe spécial orthogonal (Bn ou Dn), les quotients paraboliques correspondent pas aux points, droites, etc., de la sphère (d'ailleurs, dans le cas réel compact, ils sont tout simplement vides) : ce sont les points, droites, etc., isotropes, c'est-à-dire dans le cas hyperbolique les points idéaux, droites idéales, etc. — ce n'est pas ce que je veux. (Même si je ne sais pas exactement ce que je veux.) Je veux quelque chose qui ressemble plus aux espaces symétriques classiques, mais qui ait une combinatoire naturelle comme les nœuds du diagramme de Dynkin (peut-être des orbites d'éléments assez généraux dans les représentations fondamentales, mais je n'ai pas les idées super claires sur ce que ça peut être).

La réponse à ma question est peut-être dans le très remarquable (rien que par son prix !) livre de Boris Rosenfeld, Geometry of Lie Groups, mais il faut bien le dire, ce livre est aussi brouillon qu'il est fascinant, et plus je le regarde plus j'ai les idées confuses.

Ce qui est sûr, c'est que parmi les géométries intéressantes, il y a les espaces projectifs réels, complexes et quaternioniques (de toute dimension), et la droite et le plan projectif octonionique (sur les octonions, on ne peut pas faire plus qu'un plan projectif, parce que le théorème de Desargues est automatique à partir de la dimension 3), ainsi que leurs analogues hyperboliques ; le plan projectif octonionique a d'ailleurs un lien intéressant avec plusieurs groupes de Lie exceptionnels (au moins F₄ et E₆), comme il sera raconté dans ma mythique page sur les octonions quand j'aurai fini de l'écrire (mais ce n'est pas forcément si loin que ça, justement !). Il existe aussi une géométrie intéressante, que je ne connaissais pas du tout : celle dont les « points » sont des algèbres de nombres complexes dans les octonions (ou, de façon équivalente, la sphère des des octonions imaginaires purs de module 1) et dont les « droites » (sans doute pas le meilleur terme) sont des algèbres de quaternions dans les octonions (ce sont les quotients de G₂ par quelque chose comme SU₃ et Spin₃×Spin₃), ça a l'air extrêmement joli, et je ne sais pas du tout quel est son nom classique.

Bon enfin bref. Bonne année.

(mardi)

Quel sens y a-t-il à « pardonner » Turing ?

La reine Élisabeth II, sur le conseil de son Lord Chancelier, a officiellement fait grâce à Alan Turing, plus de 60 ans après les faits, pour sa condamnation pour actes homosexuels (gross indecency) ; cette condamnation l'avait fait subir, pour ne pas aller en prison, un « traitement » hormonal, dont on peut légitimement penser qu'il l'a poussé au suicide. Un tel traitement est indigne en toute circonstance, mais y soumettre l'inventeur de l'informatique et le héros de guerre qu'était Turing avait quelque chose de remarquable dans la bassesse. (On se référera à sa célèbre biographie par Andrew Hodges pour les détails des mérites de Turing. J'avais pour ma part lu cette biographie — trouvée chez un ami — quand j'étais ado, et elle m'avait beaucoup ému, surtout que je n'avais aucune idée que Turing était homo et je venais à peine de comprendre que je l'étais moi-même.)

Je traduis pardon par grâce, parce qu'en France on parle du droit de grâce, mais il y a peut-être plusieurs concepts non équivalents (pardon, grâce, clémence…), et Wikipédia ne m'éclaire pas énormément sur ce qu'ils recouvrent exactement. Mais je n'aime guère le terme de pardon ou de grâce, parce que cela suggère qu'il y avait quelque chose à pardonner ou à gracier. Or c'est le Royaume-Uni, pas Turing, qui a à demander pardon. Ce qu'il a fait en 2009, par la voix de son Premier ministre Gordon Brown :

Thousands of people have come together to demand justice for Alan Turing and recognition of the appalling way he was treated. While Turing was dealt with under the law of the time and we can't put the clock back, his treatment was of course utterly unfair and I am pleased to have the chance to say how deeply sorry I and we all are for what happened to him.

Alan and the many thousands of other gay men who were convicted as he was convicted under homophobic laws were treated terribly. Over the years millions more lived in fear of conviction.

This recognition of Alan's status as one of Britain's most famous victims of homophobia is another step towards equality and long overdue.

But even more than that, Alan deserves recognition for his contribution to humankind… It is thanks to men and women who were totally committed to fighting fascism, people like Alan Turing, that the horrors of the Holocaust and of total war are part of Europe's history and not Europe's present

So on behalf of the British government, and all those who live freely thanks to Alan's work I am very proud to say: we're sorry, you deserved so much better.

— Même si ce n'est pas un acte juridique, je trouve ce texte beaucoup plus important, et beaucoup plus approprié, que la grâce royale (ou le pardon) dont il peut bénéficier aujourd'hui. À la limite, s'il fallait prendre un acte juridique, il m'aurait semblé plus approprié que ce fût un acte du Parlement (qui en a le pouvoir) effaçant rétroactivement toutes les condamnations pour homosexualité : effaçant, au sens qu'il n'y aurait pas à « pardonner » mais à réparer une erreur, et toutes, pas simplement celle de Turing, qui pour être plus héroïque n'était pas plus victime d'injustice que n'importe quel autre condamné.

Je ne sais pas bien quel est le sens juridique de ce genre d'actes posthumes. Pour ce qui est du droit français, il me semble qu'il est dans une ambivalence aberrante : l'action publique pour l'application de la peine s'éteint par la mort du prévenu (article 6 du Code de procédure pénale), ce qui va avec l'idée que la Justice est une affaire de vivants et pas de morts, néanmoins il existe une Cour de révision qui, s'il y a impossibilité de procéder à de nouveaux débats, notamment en cas […] de décès […], après l'avoir expressément constatée, statue au fond en présence des parties civiles, s'il y en a au procès, et des curateurs nommés par elle à la mémoire de chacun des morts ; en ce cas, elle annule seulement celles des condamnations qui lui paraissent non justifiées et décharge, s'il y a lieu, la mémoire des morts (article 625). Qu'est-ce que ça veut dire, au juste, décharger la mémoire des morts ? Est-ce purement symbolique ? Dans ce cas, ce n'est pas la fonction de la Justice de s'en occuper (en tout cas, pas plus que ceux qui seraient décédés avant d'avoir été poursuivis). Ou cela produit-il des effets juridiques positifs ? (Ou a contrario, une condamnation pénale continue-t-elle d'avoir des effets une fois que le condamné est décédé ?) Dans ce cas, je veux bien qu'on m'explique quels seraient ces effets, et pourquoi on considère qu'il est utile de les réévaluer si la personne a déjà été jugée mais pas si elle est décédée entre les faits et le jugement. Plus exactement, je ne comprends pas pour quelle raison on voudrait qu'il y eût une quelconque différence entre la situation où quelqu'un commet un crime et meurt d'une crise cardiaque cinq minutes avant que soit rendu un arrêt le condamnant définitivement et la situation où il meurt cinq minutes après : l'heure du décès n'a aucune importance sur les faits qu'il a commis, et ne devrait avoir aucune importance sur les effets juridiques — si elle en a, c'est un défaut du droit, qu'il faudrait corriger (soit en permettant de poursuivre pénalement les morts, si on considère que les effets d'une condamnation peuvent être importants de façon posthume, soit en supprimant tous ces effets ce qui me semble beaucoup plus sensé, mais alors il n'y a aucune raison de réviser les procès dont les condamnés seraient décédés). Si c'est purement pour le symbole, ça ne devrait pas être le boulot de la Justice, il y a des Historiens pour ça, on pourrait instaurer un comité spécial de la faculté d'Histoire qui aurait pour objet de réhabiliter solennellement les gens, de refaire le procès de Jeanne d'Arc ou de qui ils voudront. Bref, je déplore cette confusion des rôles que je vois aussi dans le « pardon » fait à Turing.

Et pour ce qui est de l'homophobie et de l'homophobie d'État, il vaut sans doute mieux s'occuper des vivants que des morts. À ce sujet, je viens de voir le récent documentaire en deux parties Out There de Stephen Fry (disponible sur YouTube — 1 et 2 — mais peut-être pas pour longtemps, alors à vos youtube-dl), consacré à l'homophobie dans différents pays du monde (Ouganda, États-Unis, Brésil, Russie, Inde) : il est à la fois drôle et triste, et en tout cas touchant, de le voir parler avec des croisés homophobes comme ce ministre de l'Ouganda (et ce prêtre qui refuse d'entendre qu'il n'y a pas d'implication ni dans un sens ni dans l'autre entre sodomie et homosexualité masculine) ou ce député russe, pour essayer de comprendre leur homophobie, qu'il compare dans l'introduction à une haine irrationnelle des téléphones de couleur rouge de quelqu'un qui aurait décidé de les éradiquer de la planète (mais pourquoi ?, par Hermès, pourquoi en vouloir aux téléphones rouges ?). J'ai déjà dit que j'aimais beaucoup Stephen Fry ? Ah oui, je l'ai déjà dit.

(D'ailleurs, dans le genre, je recommande aussi sa série consacrée à la visite des États-Unis : 1, 2, 3, 4, 5, 6, bonus. Là aussi, ça fait partie des choses qui apparaissent et disparaissent de YouTube — la copie que j'avais regardée a déjà été retirée — donc attendez-vous à ce que ces liens cassent d'ici quelques semaines ou mois.)

(dimanche)

Hunger Games (2) — et un brunch

(Juste pour prouver que je ne parle pas que de géométrie hyperbolique !)

Mon poussinet et moi sommes allés voir le deuxième volet de Hunger Games (2) sur les conseils de cette critique, qui est hilarante comme tout ce que fait The Onion, mais spécialement pour nous parce qu'elle tombait bigrement près des raisons pour lesquelles nous avions vu la première partie.

Ce qui m'a agréablement surpris, au-delà de l'aspect visuel, c'est que le scénario arrive à être moins simpliste que ce qu'on peut attendre d'un film hollywoodien pour adolescent(e)s — ou adolescent(e)s attardé(e)s. (1) Il y a des personnages qui ont une certaine profondeur, y compris des personnages secondaires qui ne sont pas totalement mono-dimensionnels. (2) L'héroïne hésite entre deux garçons, et il n'est pas complètement évident a priori lequel va l'emporter, et il y a même l'idée qu'une relation d'amitié entre un garçon et une fille est possible et peut présenter une certaine richesse. (3) La fin n'est pas totalement prévisible (je ne veux pas spoiler, mais j'ai été plutôt surpris). (4) Quitte à spoiler quand même un petit peu, il y a un personnage qui semble être un méchant et qui ne l'est pas, ressort scénaristique que je trouve beaucoup plus intéressant et plus difficile à utiliser que le contraire. (5) Le film passe largement le test de Bechdel, exigence extrêmement minimale mais malheureusement rarement satisfaite.

🍩

Après le film, nous avons pris un brunch à Bercy-Village (un de nos quartiers préférés dans Paris) dans un restaurant que nous n'avions encore pas essayé : Chai 33 (situé, comme son nom l'indique, au 33 de la cour Saint-Émilion) ; nous connaissions déjà le brunch de son concurrent d'en face, Le Saint M', qui est très bon, mais celui-là est encore meilleur, quoique plus cher : en fait, j'irais même jusqu'à dire que c'est sans doute le meilleur brunch que j'aie jamais mangé, et la cornucopée de bonnes petites choses à manger qu'on nous a servies sur un plateau était assez impressionnante à voir.

(samedi)

Surprises et bizarreries de la géométrie hyperbolique

Je promets que ce blog ne parlera pas de géométrie hyperbolique jusqu'à la fin des temps ! Mais il me reste encore un certain nombre de choses rigolotes à raconter. Notamment, ce que sont les cercles (cycles et horocyles) en géométrie hyperbolique et les trajectoires de rotations et translations ; comment les projections de Poincaré et de Beltrami-Klein sont reliées (et comment les réconcilier en projetant le plan hyperbolique sur une demi-sphère) ; ce que sont la pseudo-sphère et les surfaces de Dini et pourquoi elles nous permettent de voir un petit bout de la géométrie hyperbolique sur un modèle euclidien (mais juste un petit bout) ; et surtout, parler un peu des groupes de Coxeter et de leur automaticité, des pavages du plan hyperbolique, et de comment ceci permet de travailler informatiquement avec le plan hyperbolique, par exemple s'il s'agit de faire des jeux ou des simulations dessus. (Je ne garantis pas du tout que j'aurai le courage ou le temps de développer chacun de ces thèmes, mais ce serait bien.) De nouveau, je promets d'essayer de rendre les différentes entrées de cette série aussi indépendantes que possible les unes des autres, de façon à ce qu'on puisse lire le sous-ensemble qu'on veut dans l'ordre qu'on veut. Et je vais essayer de rendre autant que possible les choses accessibles à un bas niveau de connaissances mathématiques (même si je n'arriverai pas toujours à rester au niveau lycée), quitte à commettres des imprécisions que les experts, j'espère, me pardonneront.

Dans cette entrée je voudrais essayer de décrire quelques phénomènes très simples qui illustrent le comportement surprenant de la géométrie hyperbolique. Les quatre sous-parties sont d'ailleurs indépendantes les unes des autres. Le principe informel mais fondamental que je cherche à illustrer (au moins sur les deux premiers exemples) est le suivant :

Dans un espace hyperbolique, il n'y a essentiellement qu'une façon de relier deux points : même un chemin en zigzag ne peut pas se racourcir beaucoup.

Autrement dit, si vous allez de A à B par un chemin en zigzag et que quelqu'un d'autre y va en ligne droite, il ne gagnera pas énormément par rapport à vous. Ou, pour dire les choses de façon plus décourageante, si vous avez marché un peu au hasard à partir de A, que vous vous retrouvez en B, et que maintenant vous voulez revenir à votre point de départ, vous allez devoir refaire toutes les méandres de votre chemin. Raconté de façon aussi informelle, ce principe peut être complètement faux, bien sûr (essentiellement parce que le plus court chemin entre deux points est une droite, pas un zigzag, même en géométrie hyperbolique), comme il peut être tout à fait vrai : mais si dans l'espace euclidien il n'y a aucun doute qu'il est faux, dans l'espace hyperbolique je vais essayer d'expliquer de quelle façon il est néanmoins vrai.

Ceux qui ont suivi mon conseil et essayé de jouer à HyperRogue se seront sans doute rendu compte à quel point il est difficile de retracer un chemin dans l'espace hyperbolique (surtout si vous êtes allés jusqu'au bout du jeu !) : voici donc une tentative d'explication de ces phénomènes. J'utiliserai les formules fondamentales de l'entrée précédente, mais si on ne l'a pas lue on peut se contenter de me croire sur parole quand j'affirme une relation métrique.

(mardi)

La formule fondamentale de la trigonométrie du triangle

Je continue une série commencée dans l'entrée précédente sur la géométrie elliptique et hyperbolique, mais, en fait, je vais tâcher de faire en sorte que ces entrées soient aussi indépendantes que possible, pour qu'on puisse les lire dans l'ordre qu'on veut. Je continue à me placer environ au niveau lycée (au moins dans les passages qui ne sont pas en petits caractères ; enfin, j'espère). Ici je veux parler un peu de la trigonométrie du triangle (la loi des cosinus et la loi des sinus). Dans une entrée ultérieure, je parlerai des spécificités et bizarreries de la géométrie hyperbolique.

A B C b a c α β γ

Considérons un triangle ABC (euclidien, sphérique ou hyperbolique, on verra plus tard) : j'appelle a la longueur BC (c'est-à-dire la longueur du côté opposé au sommet A), b la longueur CA, et c la longueur AB ; j'appelle α l'angle CAB (c'est-à-dire l'angle interne au sommet A), β l'angle ABC, et γ l'angle BCA. (On remarquera que ces notations, qui sont standard, sont symétriques si on permute les noms tant qu'on le fait de la même manière sur (A,B,C), (a,b,c) et (α,β,γ), et bien sûr tout ce qu'on pourra dire sur le triangle le sera aussi.)

On s'intéresse aux différentes relations qui peuvent exister entre les six quantités a,b,c et α,β,γ, et éventuellement, du coup, au problème de trouver les trois manquantes si on en connaît trois parmi les six (problème de la résolution du triangle).

Le triangle euclidien

Dans le cas euclidien, les trois angles d'un triangle ne sont pas libres : leur somme vaut π (radians, c'est-à-dire 180°) ; ceci sera la plus évidente différence avec le triangle sphérique ou hyperbolique.

Le théorème le plus célèbre de l'univers (sans doute le théorème que le plus grand nombre de personnes est capable de citer vaguement correctement) affirme que, en géométrie euclidienne, si le triangle est rectangle en C, c'est-à-dire si γ=π/2 (soit cos(γ)=0), alors c² = a² + b². Si on retire cette hypothèse d'être rectangle en C, la relation qui relie a, b, c et l'angle γ est la suivante :

c² = a² + b² − 2a·b·cos(γ)

(vendredi)

Quelques notions de géométrie sphérique et hyperbolique

Comme promis, je voudrais écrire un petit memento de géométrie, en insistant sur le parallèle entre la géométrie sphérique, la géométrie euclidienne, et la géométrie hyperbolique. Je précise que, pour une fois, je suppose très peu de connaissances mathématiques de mes lecteurs : juste un peu de géométrie euclidienne telle qu'on la voit au lycée. Un peu à la fin, et dans des entrées à venir, je supposerai qu'on sait ce que sont les lignes trigonométriques hyperboliques (cosh(t) = ½(exp(t)+exp(−t)) et sinh(t) = ½(exp(t)−exp(−t)), ainsi que tanh(t)=sinh(t)/cosh(t)), mais c'est essentiellement tout.

La géométrie euclidienne, donc je suppose que tout le monde sait ce que c'est : c'est celle qu'on apprend au lycée, la géométrie du plan (pour se limiter à la dimension 2), les points et les droites, avec la notion de distance et d'angle.

(Digression : Si on oublie la notion de distance mais qu'on garde celle d'angle, on pourra parler de géométrie (euclidienne) conforme ; si on oublie à la fois la notion de distance et celle d'angle et qu'on ne garde que l'incidence — c'est-à-dire le fait qu'un point soit sur une droite ou qu'une droite passe par un point — et le parallélisme, alors on parle de géométrie affine. Si on oublie aussi le parallélisme, ne retenant que l'incidence, quitte à ajouter une droite à l'infini sur laquelle les droites parallèles sont réputées se croiser, on parle de géométrie projective. Dans l'esprit du fameux « programme d'Erlangen » de Felix Klein, à chacune de ces géométries est associé un groupe de transformations, c'est-à-dire celles qui préservent la géométrie en question du plan, à savoir le groupe des isométries planes pour la géométrie euclidienne, le groupe des similitudes pour la géométrie conforme, le groupe des affinités pour la géométrie affine, et le groupe des transformations projectives pour la géométrie projective. Il est intéressant de se rappeler ces différents niveaux, par exemple comme indiqué à la fin de cette entrée. Mais a priori, c'est bien avec la géométrie euclidienne classique, angles et distances, que je comparerai la géométrie sphérique et la géométrie hyperbolique.)

(mercredi)

HyperRogue, une version jouet de mon labyrinthe, et autres hyperboliqueries

J'ai passé un certain temps (pour ne pas dire plusieurs soirées et un week-end…) à jouer à HyperRogue, le jeu que je mentionnais dans mon entrée précédente et qui, comme mon labyrinthe hyperbolique (ici), se joue sur le plan hyperbolique.

Et je dois avouer qu'il est beaucoup plus intéressant que mon labyrinthe, ou, en tout cas, bien meilleur pour montrer comment « fonctionne » le plan hyperbolique, et, à tout le moins, pour se rendre compte à quel point il est immense et intrinsèquement labyrinthique : contrairement à mon labyrinthe, le monde d'HyperRogue n'est pas rendu périodique, il est au contraire potentiellement infini, et généré au fur et à mesure qu'on l'explore, et surtout, ce qui est intéressant et amusant, c'est que les limites entre les différents mondes sont (généralement) des droites, qui séparent le plan en demi-plans — sauf que dans le plan hyperbolique il y a plein de façons de couper le plan en demi-plans avec des droites qui ne se rencontrent pas et on se rend compte à quel point revenir d'où on vient, ou retrouver la droite frontière par laquelle on est entré dans le demi-plan, n'est pas facile du tout. (Mais heureusement pour le jeu, ce n'est pas grave si on se perd, c'est même un peu l'idée.)

Bref, je recommande vivement d'essayer ne serait-ce qu'un peu, si on n'est pas résolument hostile aux jeux sur ordinateur. Moi-même, je suis rarement intéressé par les jeux, mais celui-là a quand même capté mon attention.

Bien que ça s'appelle HyperRogue, ça n'a en fait pas énormément de rapport avec Rogue : c'est plus un jeu de tactique que d'aventure même s'il y a un peu des deux, il n'y a pas de système de points (les combats sont un peu de même nature qu'aux échecs : en marchant sur un monstre, on le tue, et il s'agit de ne pas se mettre à un endroit où un monstre pourrait vous tuer ; donc le but est de ne pas se faire avoir par des groupes de monstres), il n'y a pas vraiment de notion d'équipement non plus (les objets s'utilisent simplement en marchant dessus), il s'agit surtout d'explorer, de se perdre, de tuer des monstres, et de ramasser du trésor, pour accéder à de nouveaux mondes. Il n'y a aucun facteur vitesse (si on ne fait rien, rien ne se passe).

Aussi, les graphismes sont plutôt jolis et les musiques sont vraiment bien. Ça fonctionne sous Windows et Mac (je n'ai pas testé) et ça se compile sans difficulté sous Linux (ça utilise la SDL).

Il faut reconnaître néanmoins quelques aspects énervants : le fait qu'il n'y ait pas d'équipement est dommage, et le fait qu'on ne puisse pas sauver la partie est vraiment pénible. Le jeu, dans son ensemble, est difficile (on peut mourir vraiment rapidement ; et même en trichant, en modifiant le jeu pour me rendre invulnérable, j'ai eu une certaine difficulté à gagner, alors je suis vraiment admiratif de celui qui y arrive sans tricher !).

Ajout ultérieur : Voir cette entrée pour un nouveau jeu de labyrinthe hyperbolique dans lequel il n'y a aucun mur infranchissable.

Puisque ça m'a été suggéré, j'ai aussi fait une version jouet de mon labyrinthe hyperbolique : version jouet, ça signifie que le monde est beaucoup plus petit, au lieu de comporter 88110 cases (=¼·#PSL(2,89)), il n'en a que 30 (=¼·5!), et on en a vite fait le tour — le but n'est pas que le jeu soit intéressant, c'est plutôt d'essayer de visualiser la manière dont fonctionnent les quotients de l'espace hyperbolique (en l'occurrence le quotient est une surface de Riemann de genre 4 ayant le groupe symétrique sur cinq objets comme groupe de symétries, ou si on veut, on joue sur le graphe de Cayley de ce groupe).

Bien qu'on arrive à voir un domaine fondamental complet et même au-delà (où qu'on soit, les cases trois crans à gauche, à droite, en haut et en bas sont toutes la même), je trouve quand même qu'il n'est pas facile de visualiser comment tout ceci s'emboîte. (J'ai illustré le même système de périodes sur cette vidéo et celle-ci, mais je ne trouve pas non plus que ça aide des masses.) On pourra éventuellement s'exercer à décider le chemin complet qu'on va suivre avant de faire le moindre mouvement, et effectuer le nombre minimal de déplacements. Ou peut-être à tourner en rond dans tous les sens jusqu'à « comprendre » la géométrie de la surface.

Ajout ultérieur : Voir les entrées suivantes au sujet de la surface (de Bring) définie par ce labyrinthe-jouet : 1, 2, et surtout 3.

Je vais sans doute avoir encore quelques choses à dire sur la géométrie hyperbolique dans les prochaines entrées, pour signaler quelques choses que j'ai apprises (certaines que j'aurais dû savoir, ou d'ailleurs que je savais mais dont je n'avais pas bien pris conscience — et d'autres que j'ignorais tout à fait).

Notamment, j'ai appris des choses, dont je n'avais pas vraiment idée, sur le rapport entre les groupes de Coxeter et les automates finis (du style : le fait qu'un mot sur les générateurs de Coxeter soit réduit — c'est-à-dire soit une représentation de longueur minimale de l'élément du groupe qu'il représente — se teste par un automate fini ; et on peut aussi ainsi tester différentes formes canoniques, par exemple le mot le premier mot dans l'ordre lexicographique parmi les mots les plus courts représentant un élément donné : cela fait partie du fait que les groupes de Coxeter sont automatiques, et ils le sont de façon très élégante). Ça tombe bien puisque j'enseigne en ce moment un cours sur les automates finis.

En attendant, je cherche un peu compulsivement tout ce qui pourrait se faire sur un damier euclidien pour me demander si ça aurait un sens intéressant de le transposer en hyperbolique (les dames ? les échecs ? le go ? c'est en pensant au jeu de la vie que je suis tombé sur les rapports entre groupes de Coxeter et automates).

Je dois avouer une chose : plusieurs fois au cours de mes études mathématiques, des gens ont essayé de me convaincre que la courbure négative est mathématiquement intéressante, et j'ai toujours haussé les épaules : en tant qu'algébriste j'ai toujours préféré rechercher les analogies et les parallèles entre la courbure positive et la courbure négative (comme entre les formes compactes et scindées des groupes réels), bref, je ne voyais pas bien pourquoi le plan hyperbolique serait plus intéressant que la sphère. Mais je me rends compte, à tout le moins, que j'étais loin d'apprécier toutes les subtilités des choses.

[#] Je suis tombé un peu par hasard sur ces quelques réflexions autour de ce que serait la vie dans un monde hyperbolique, et il y a effectivement des idées intéressantes qui pourraient peut-être être exploitées par un auteur de SF talentueux (si ça tant est que ça n'ait pas déjà été fait, auquel cas je veux bien qu'on me dise le nom de l'œuvre).

(lundi)

Bonus au labyrinthe

Suite à la demande populaire, mon labyrinthe hyperbolique (qui est ici) propose aussi la projection de Beltrami-Klein. Je ne l'avais pas mise initialement, parce que je me disais, sans doute avec raison, qu'on verrait clairement à trop peu de distance pour que ce soit jouable, mais c'est vrai que c'est intéressant de pouvoir essayer, ne serait-ce que pour comparer. Soit dit en passant, je crois que j'ai exhibé un bug d'Opéra dans l'affaire (il affiche n'importe quoi alors que Firefox et Chrome font ce que j'attendais).

J'ai mis une notice explicite indiquant que je mettais mon code dans le domaine public, comme ça d'autres gens peuvent faire joujou avec si ça les amuse (j'espère avoir tout raisonnablement commenté).

Dans le genre, mais en beaucoup plus abouti que mon petit labyrinthe, on me signale le jeu HyperRogue, un « rogue-like » sur le plan hyperbolique. Je n'ai fait que regarder la vidéo, ça a l'air amusant (et en plus la musique est plutôt bien faite). Je suis surtout curieux de savoir comment il s'en est tiré pour concilier la jouabilité avec un pavage irrégulier (nécessaire pour avoir des cases pas trop grandes), et comment il a résolu le problème de générer un monde hyperbolique, et d'avoir des coordonnées discrètes dessus qui soient manipulables par ordinateur.

(lundi)

Institutions londoniennes

Mon poussinet et moi étions à Londres ce week-end. Notre hôtel, sans doute un hôtel pour hommes d'affaires et banquiers friqués qui fait des prix le week-end pour remplir ses chambres avec les péquenots de touristes comme nous qui ne peuvent payer que 150£ la nuit, était situé juste en face de Saint Paul[#], dans la city of London. Si certains de mes lecteurs ne savent pas ce que la city a de remarquable à part d'être « le quartier d'affaires », et ont la flemme de lire l'article Wikipédia, je recommende l'excellente vidéo de CGPGrey (première partie, deuxième partie). Indiscutablement, la city, plus ancienne que la couronne d'Angleterre elle-même, et dont la reine doit demander permission avant de franchir la limite, fait partie de ces institutions héritées des temps immémoriaux et dont l'Angleterre a la spécialité de préserver la bizarrerie et l'archaïsme. Pendant mon voyage en Eurostar, j'ai essayé de comprendre l'organisation administrative de Londres (ou, en fait, des divisions locales de l'Angleterre), et j'avoue avoir renoncé : entre les 32 boroughs (non comptée la city), et les districts dont je ne sais pas bien ce qu'ils ont d'officiel et dont les frontières ne collent pas toujours avec celles des boroughs, et Greater London qui chapote tout ça (sauf, dans une certaine mesure, justement, la city), c'est déjà confus. (Par exemple, le boroughs de Westminster, comme la city of London, a un Lord Maire[#2], peut-être parce que c'est aussi une city, mais pas les autres boroughs. Quelques uns, aussi, ont le droit de s'appeler royal borough.) Quand j'ai appris qu'il y avait, en plus, des sortes d'enclave à l'intérieur même de la city of London, j'ai conclu que le Club Contexte avait indiscutablement élu domicile dans ce pays qui aime tellement les bizarreries et fictions juridiques[#3].

Bref, nous étions à Londres notamment pour voir ce genre d'institutions préservées dans le formol de la Tradition avec un grand ‘T’.

C'est ainsi que nous avons mangé à Simpson's-in-the-Strand, un restaurant où j'allais déjà occasionnellement avec mon papa quand j'étais petit, et qui est tellement semblable à lui-même que l'article Wikipédia peut énumérer quasiment chaque changement qui a été fait sur le menu depuis plus d'un siècle. Ce que j'ignorais jusqu'à récemment, c'est que c'est dans cet endroit (à l'époque un club d'échecs, dont ils ont gardé le logo au dessin d'un cavalier) que s'est jouée, en 1851, celle qui est sans doute la plus célèbre partie d'échecs de tous les temps, l'Immortelle (entre Anderssen et Kieseritzky, célèbre surtout pour le nombre impressionnant de sacrifices qu'y fait Anderssen avant de gagner) : j'ai été ému de l'apprendre parce que, bien que n'étant pas du tout féru d'échecs (et au demeurant complètement nul), je ne suis pas insensible à l'intérêt artistique de cette partie[#4].

Nous sommes ensuite allés voir la pièce The Mousetrap d'Agatha Christie, dans un théâtre près de Cambridge Circus où elle est donnée sans interruption depuis plus de 60 ans[#5]. En fait, je l'avais déjà vue, mais il y a suffisamment longtemps pour avoir oublié l'essentiel de l'intrigue. Que je ne révélerai pas (ils demandent aux spectateurs, à la fin, de ne pas divulguer le nom du meurtrier ; mais je signale que l'article Wikipédia contient tous les spoilers possibles). Je dirai juste qu'il y a un architecte qui s'appelle du même nom que Christopher Wren, ce qui nous ramène à Saint-Paul.

Pour aller avec ce tour des institutions de Londres, nous avons aussi acheté nombre de livres à Foyles. Qui n'existe que depuis 110 ans, mais c'est tout de même pas mal.

[#] Nous n'en avons pas profité pour nourrir les pigeons (mais la chanson me trottait sans arrêt dans la tête — il faut dire qu'elle est particulièrement belle).

[#2] Par contre, il semble que, contrairement au Lord Maire de Londres, le Lord Maire de Westminster n'a pas le droit au titre the Right Honourable.

[#3] Parfois ça fait rire (comme toutes les fictions ridicules qu'on invente pour contourner ou rendre inopérante une règle sans jamais l'abolir parce que c'est une Tradition ; ça a quelque chose de délicieusement talmudique). Mais pas forcément. C'est, après tout, au nom des bizarreries juridiques britanniques que les habitants de Gibraltar (qui est considéré comme un territoire britannique d'outre-mer mais pas comme faisant partie du Royaume-Uni), bien que faisant partie de l'Union européenne par une mention ad hoc dans les traités, n'ont pendant longtemps pas eu le droit d'élire des députés au parlement européen. (Il a fallu que la Cour européenne des Droits de l'Homme rende un arrêt, en 1999, condamnant le Royaume-Uni parce qu'elle n'a pas était convaincue par la mauvaise foi de la distinction byzantine territoire d'outre-mer britannique ne faisant pas partie du Royaume-Uni mais faisant quand même partie de l'Union européenne.)

[#4] Je m'en suis servi comme fil directeur dans un roman que j'ai écrit quand j'étais jeune ; en contrepoint d'une autre partie, jouée, elle, en 1850, à Paris au café de la Régence, entre Schulten et le même Kieseritzky.

[#5] Soit plus longtemps que La Cantatrice chauve au théâtre de la Huchette.

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