David Madore's WebLog: 2015-04

Pour les ~7×10⁹ d'entre vous qui n'ont pas pu assister à mon exposé tout à l'heure au séminaire Codes sources (dont j'ai déjà parlé) consacré à l'explication de mon labyrinthe hyperbolique (toujours le même), les transparents sont ici — ou du moins, les transparents de la première partie de mon exposée, dédiée à l'exposition des idées mathématiques sous-jacentes ; ensuite j'ai commenté le code directement dans un éditeur, donc je ne peux que renvoyer vers les commentaires de celui-ci. Il y a évidemment beaucoup de choses que j'ai dites qui ne sont pas sur les transparents, mais ils donneront au moins une idée de ce dont j'ai parlé.

Dans l'entrée que j'ai postée hier je mentionnais le groupe Spin(3), revêtement double du groupe SO(3) des rotations de la sphère, c'est-à-dire qu'il distingue une rotation par un tour complet de pas de rotation du tout ; et je mentionnais que le groupe Spin(3), lui, est simplement connexe (on ne peut pas le revêtir à son tour) : tout lacet, i.e., tout chemin qui revient à son point de départ, dans Spin(3), et notamment celui qui fait faire deux tours complets à la sphère, peut être contracté en rien du tout. J'ai essayé d'illustrer ce fait par une vidéo que je viens de mettre sur YouTube :

La sphère en haut à gauche (celle numérotée 0) fait deux tours complets pendant une période (=8 secondes) de la vidéo ; celle en bas à droite (numérotée 27) ne bouge pas. Chacune des sphères intermédiaires effectue un mouvement qui part et arrive à la même position de référence, et chacun de ces mouvements est très proche des mouvements de la sphère précédente et suivante. Ceci illustre le fait qu'on peut passer continûment de deux tours complets à zéro. Chose qui ne serait pas possible pour un seul tour (ou si on avait affaire à un cercle, quel que soit le nombre non-nul de tours).

Ceci étant, je n'y vois toujours pas grand-chose à la manière dont cette déformation se fait ou pourquoi elle n'est pas possible pour un seul tour (mon espoir était d'acquérir une intuition visuelle sur le groupe spin, pour le comprendre autrement que juste intellectuellement, et ce n'est pas franchement un succès). J'ai aussi produit une version séquentielle de la vidéo, où la sphère fait des mouvements successifs au lieu qu'on les voie tous simultanément, je ne sais pas si c'est plus clair :

OK, je vois bien que l'idée très grossière est que l'axe qui sert d'axe de rotation dans le premier mouvement (suivre des yeux le point de rencontre des trois pentagones verts) se met, au cours des différents mouvements, à faire des tours, si bien que la sphère n'a plus vraiment besoin de tourner autour de lui, puis ce tour qu'il décrit est lui-même recontracté à rien du tout, mais cette description est vraiment vague, et ne me fournit pas une explication visuelle intuitive de pourquoi on a besoin de faire deux tours pour contracter.

Puisque j'ai publié une première entrée sur les octonions, je me dis qu'il faudrait que je fasse un peu de vulgarisation sur la notion de groupe de Lie et sur leur classification — et pourquoi c'est un résultat mathématique majeur. Voici une tentative pour raconter quelques choses dans cette direction.

Comme d'habitude quand je fais de la vulgarisation mathématique, (1) je ne sais pas bien à quel niveau de public je m'adresse (et ce niveau va d'ailleurs varier de façon incohérente au cours du texte, même pas forcément de façon monotone vu qu'il m'arrive de faire des digressions pour revenir ensuite à des choses plus basiques), et (2) je vais chercher à « raconter » les maths plus qu'énoncer des définitions et des résultats précis (j'essaie très fort de ne rien dire de faux, mais je dois souvent me réfugier dans un certain niveau de flou quand je veux cacher quelques détails techniques) : mon but est de donner un petit aperçu de ce à quoi ressemble cette théorie classique, certainement pas de l'enseigner précisément (pour ça, il y a toutes sortes de livres, d'ailleurs j'en suggère quelques uns). L'idée est que — qu'on me corrige si ce que je pense est en fait assez stupide — ça peut intéresser des gens de lire des choses à ce sujet, et de regarder les petits dessins que sont les diagrammes de Dynkin et de Satake, sans avoir envie d'apprendre (et/ou le temps de comprendre) ce qu'est précisément, par exemple, un système de racines, une involution de Cartan, ou en fait, un groupe de Lie.

Après, je peux aussi en profiter pour parler à un public plus averti pour lui dire, par exemple regardez le groupe SO*(2n) comme il est tout gentil et tout mimine, pourquoi est-ce que personne n'en parle jamais, de ce pauvre petit groupe ?, ou pour partager mon agacement qu'il soit si difficile de trouver des informations fiables et précises sur certaines choses (celui qui veut traverser le pont de la mort doit répondre aux questions suivantes : quel est le sous-groupe compact maximal de la forme déployée algébriquement simplement connexe de E₇ ? combien sa forme déployée adjointe algébriquement connexe a-t-elle de composantes réelles ? quelle est sa couleur préférée ?).

Table des matières

• Table des matières
• La notion de groupe et de groupe de Lie
  • Symétries discrètes
  • Symétries continues
• Groupes de Lie isogènes, linéarisation et algèbres de Lie
• Briques élémentaires ; algèbres de Lie semisimples, réductives
• La classification de Killing-Cartan (des algèbres de Lie simples)
  • Le cas complexe
  • Le cas réel
• Un mot sur les espaces riemanniens symétriques
• Quelques références

La notion de groupe et de groupe de Lie

Symétries discrètes

Pour commencer, si je devais m'adresser à un public qui n'a aucune connaissances mathématiques particulières, je présenterais un groupe comme les formes de symétries que peut posséder un objet mathématique (en étant délibérément vague sur ce que objet mathématique peut recouvrir, et en recouvrant sous le terme symétrie tout ce qui « ne change pas » cet objet, cf. les exemples et commentaires ci-dessous). Cette définition est assez floue, mais elle a le mérite de permettre de comprendre pourquoi il s'agit d'un concept extrêmement central en mathématiques (alors que si on prend la vraie définition comme un ensemble muni d'une loi de composition binaire vérifiant les axiomes gnagnagna, ça ne saute pas forcément aux yeux pourquoi cette définition est la bonne et pourquoi le concept est essentiel).

Par exemple, si je considère un pentagone régulier (ou de façon équivalente, une étoile à cinq branches comme ceci), cette figure a dix symétries : quatre rotations autour du centre du pentagone (de façon à amener un sommet sur un des quatre autres, ce qui donne des angles de ±72° ou ±144° mais peu importe), cinq symétries axiales (les réflexions par rapport à des axes passant par un des cinq sommets du pentagone), et la « symétrie » consistant à ne rien faire, qu'on appelle symétrie identité, ou élément neutre du groupe, et que les mathématiciens incluent toujours parce que cela rend la notion de groupe bien plus commode. L'ensemble de ces dix symétries s'appelle le groupe diédral du pentagone (et on dit qu'il est d'ordre 10, parce qu'il y a dix éléments dedans). Soit dit en passant, si on considère une étoile à cinq branches entrelacée (c'est-à-dire où on voit dans quel sens une branche passe au-dessus d'une autre, comme sur cette version du drapeau marocain), la figure n'a plus que cinq symétries (les cinq rotations de ±72° et ±144°, ou plus exactement, les quatre rotations et l'élément neutre / identité qui est une rotation de 0°), parce qu'une symétrie axiale changerait le sens d'entrelacement de l'étoile : ce groupe s'appelle alors le groupe cyclique à cinq éléments (et c'est un exemple d'un sous-groupe, en l'occurrence un sous-groupe du groupe diédral du pentagone : en ajoutant une structure à un objet mathématique, on restreint ses symétries). Remarquons que la plupart des figures géométriques (prenez un triangle quelconque, par exemple) n'ont pas du tout de symétrie, ou plutôt, ils n'ont que la symétrie idiote consistant à ne rien faire (l'identité ou élément neutre, comme je l'ai appelée ci-dessus), et leur groupe de symétrie est appelé le groupe trivial, ou groupe à un seul élément.

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Il paraît que le recrutement de jeunes occidentaux par Dāʿiš (l'autoproclamé « état » « islamique » en Syrie et au Levant) doit beaucoup à une bonne maîtrise d'outils de propagande passant notamment par les « réseaux sociaux » (je n'aime pas ce terme, mais je n'en ai pas vraiment d'autre) comme Facebook et Twitter et les sites de vidéo tels que YouTube et DailyMotion. Il paraît que, à la différence d'al-Qāʿidaẗ qui faisait des vidéos franchement chiantes et pontifiantes, Dāʿiš est beaucoup plus doué question communication avec des gens qui ont peut-être plus l'habitude de regarder Game of Thrones ou de jouer à Grand Theft Auto XLII que lire le Coran : i.e., en cherchant plutôt à exploiter le désir d'aventure, l'envie de manier des armes pour faire le kéké, une forme romantique de naïveté politique et la rébellion d'ados contre papa-maman / la société, qu'une recherche de sainteté ou d'expériences religieuses par le jihād (autre terme que je n'aime pas utiliser : 1 partout). Il paraît que ces vidéos sont même dangereusement efficaces et convaincantes. (J'écris il paraît, non que je mette spécialement tout ça en doute, mais je n'ai aucun avis personnel sur la question, vu que je n'ai vu que des bribes de ce genre de vidéos, dans des documentaires sur la question.)

Tout le monde semble d'accord, par ailleurs, sur le fait que ce n'est pas en essayant de faire disparaître de telles vidéos qu'on combattra efficacement leur message : il faut plutôt, ou aussi, essayer d'avoir un contre-discours qui leur réponde. En revanche, je n'ai pas vraiment l'impression qu'on ait une idée claire sur ce que serait le contre-discours le plus efficace — analyse rationnelle démontant la propagande jihadiste et les mécanismes sectaires, témoignages de repentis, contre-arguments religieux, ou autres pistes. En tout cas, quelle que soit sa forme, la réponse antijihadiste a l'air assez inexistante (ou alors elle sombre dans une autre forme de puanteur, à laquelle il est également désolant de laisser le terrain : voyez par exemple le mouvement Pegida).

Peut-être que je ne suis pas doué pour faire des recherches en ligne, mais je n'ai pas trouvé grand-chose. Je suis surtout tombé sur cette vidéo du gouvernement français qui est, il faut le dire, vraiment sacrément nulle. À moins que leur but soit de faire parler d'elle à force qu'on se moque de sa nullité (et ce qui s'est plus ou moins passé, mais je ne pense quand même pas que c'était une stratégie audacieuse), je pense qu'on peut dire que c'est raté.

Et ce que je ne comprends pas, c'est qu'il y a l'air d'avoir tout le matériau nécessaire pour faire des vidéos humoristiques qui tournent efficacement le pseudo-« califat » en dérision. Je ne suis pas sûr que l'humour marche parfaitement, mais, une fois passée la réticence naturelle à traiter de façon comique la barbarie criminelle (ce qui est tout de même une tradition ancienne), on peut se dire que ça vaut certainement la peine d'essayer : j'aurais tendance à penser que le pire pour celui qui veut susciter des vocations fanatiques, ce n'est pas une réfutation structurée et rationnelle de sa propagande, c'est surtout de passer pour un bouffon, parce que l'héroïsme et la bouffonnerie se mélangent mal — donc, qu'on ferait mieux de s'attacher à présenter le « calife » al-Baġdādī et ses féaux comme de méchants clowns que comme des puissants (et donc potentiellement séduisants) seigneurs de guerre. Que de plus, ça tombe bien, il y a assez de choses grotesques et ridicules chez Dāʿiš pour qu'on puisse en tirer de bons sketchs. Et que si on veut faire une vidéo « virale » sur les « réseaux sociaux » (argh), ayant le plus de chances d'être vue par un maximum de gens, y compris ceux qui pourraient être touchés par les vidéos qu'on cherche à contrer, faire de l'humour est une bonne façon de s'y prendre (mais pensez à ajouter quelques chats, ça ne peut pas faire de mal). Alors que, bon, une vidéo préchi-précha du gouvernement français, sauf si c'est pour dire regardez combien c'est nul, ce n'est pas le genre de choses qu'un ado va avoir tendance à « liker » (re-argh) sur Facebook et à partager avec ses potes.

Une fois évité l'écueil qui consisterait à s'attaquer à l'Islam lui-même[#], on ne peut pas dire que manquent les sujets sur lesquels se moquer. J'ai tendance à imaginer, par exemple, que des séries de sketchs avec des personnages hauts en couleur comme un calife qui se branlerait en secret en regardant des vidéos de décapitations qu'il ordonne à ses hommes de filmer, un vizir qui voudrait devenir calife à la place du calife (ça s'impose), des émirs locaux complètement corrompus, des combattants qui ont peur de ne pas monter au ciel s'ils sont tués par des femmes (authentique), des jeunes recrues naïves qui pensaient faire leur guerre d'Espagne et qui comprennent qu'ils risquent vraiment leur vie, et globalement une équipe qui combinerait l'intelligence des personnages de Kaamelott à l'honnêteté du héros éponyme de Blackadder, ça pourrait avoir du succès (ah oui, et un chat, n'oublions pas le chat, c'est important). Ces gens ont le ridicule d'un méchant caricatural comme Iznogoud dans une BD de Goscinny, il serait dommage de ne pas en profiter. Il y aurait évidemment une polémique pour savoir si la réponse est appropriée, si le ton n'est pas déplacé, et ce seraient certainement des questions légitimes, mais en tout cas on en parlerait ; et même si je ne sais pas si ce serait la meilleure réponse possible, ç'en serait au moins une, pas le silence assourdissant qui semble actuellement faire face aux vidéos de propagande de Dāʿiš.

Il faut que je note que je suis au courant de l'existence de sketchs humoristiques tels que celui-ci et celui-ci du Saturday Night Live (le second, qui a d'ailleurs fait polémique à sa manière, est une parodie d'une pub de Toyota qu'il vaut mieux voir d'abord pour le comprendre) : mais je ne les qualifierais pas vraiment d'antijihadistes, parce qu'on ne peut pas vraiment dire que ces vidéos se moquent de Dāʿiš, lequel est plutôt utilisé comme ressort comique que comme cible — ce qui est visé par l'humour, en l'occurrence, ce serait plutôt la télé ou pub américaine (spécifiquement, l'émission de télé-réalité Shark Tank et la pub de Toyota qui est parodiée).

Ajout : On me souffle des liens vers deux sketchs des Guignols de l'info, Jihadol et Les Barbuspapa, qui correspondent déjà mieux à ce dont je veux parler. [Mise à jour : Liens cassés, comme d'habitude. Le second est encore visible au sein de cette émission autour de 4′, mais je ne retrouve rien pour le premier.] Il paraît aussi qu'il y a des Turcs et des Égyptiens qui font des parodies de ce genre. [Mise à jour (2016-03-22) : la BBC parle de comédiens en Iraq et en Syrie, même dans les régions contrôlées par Dāʿiš, qui se moquent d'al-Baġdādī.]

[#] Pour ceux qui auraient la compréhension facilement distraite : je défends sans réserve le droit de se moquer de l'Islam, mais outre que je ne trouve généralement pas très drôle la façon dont c'est fait, ce serait en l'occurrence totalement contreproductif, donc un piège autour duquel il vaut mieux laisser une très grande marge de sécurité. En revanche, il y a certainement lieu de se moquer de la façon dont l'organisation qui se prétend de cette religion la détourne.

Il semble qu'il y ait un problème de logique (je ne sais pas s'il faut le qualifier de problème de maths…) posé dans une école à Singapour qui est en train d'avoir un petit côté « viral » sur le Web : il s'agit de déduire la date de naissance de Cheryl à partir d'un petit ensemble de possibilités et d'un dialogue entre deux personnes dont l'une à reçu l'information du mois et l'autre du jour dans le mois (cf. le lien précédent pour les détails). J'avais moi-même concocté, il y a une douzaine d'années, le problème suivant dans ce genre (et ce n'est certainement pas moi qui ai inventé le genre, même si je ne sais plus d'où je tirais l'idée) :

M. Magie dit, je vais secrètement choisir deux entiers entre 2 et 3000, et j'en dirai la somme à Stéphane et le produit à Pierre, et, bien sûr, il le fait. Pierre observe, je ne sais pas quels sont les deurs entiers. Stéphane remarque, ouais, je le savais. Sur quoi Pierre dit, ah ? eh bien maintenant je sais ce qu'ils sont. Et immédiatement Stéphane dit, maintenant moi aussi. M. Magie demande alors à Alice (qui écoutait aussi la conversation), savez-vous quels sont les deux nombres ?, et Alice répond bien sûr que non. Alors M. Magie donne à Alice le plus petit des deux entiers. Et Alice répond, maintenant je sais quel est l'autre.

Quels sont les deux nombres ?

Ce problème est fastidieux à résoudre parce qu'il y a beaucoup de cas à traiter (il faut utiliser un ordinateur) ; je ne sais d'ailleurs plus très bien comment je l'avais produit, mais certainement pas de tête. Mais le raisonnement basique est exactement celui expliqué (de façon assez claire) par le mathématicien Alex Bellos dans la vidéo sur le site de la BBC que j'ai liée un peu plus haut : en fait, ce raisonnement est très simple, il ne se fait qu'à un seul niveau de profondeur, si j'ose dire (c'est-à-dire que chacun tire des conclusions sur ce qu'une autre personne sait, mais on ne va pas plus loin). À la différence du problème des chapeaux de couleur, où il faut raisonner à une profondeur nettement plus élevée, mais où, pour compenser, les cas à traiter sont très limités. Il serait intéressant d'essayer de produire un problème qui combine un peu ces deux difficultés (disons au moins, demande des déductions au niveau de profondeur 2). Et il serait aussi intéressant de voir si et comment on peut résoudre systématiquement ce genre de problèmes (comme je le disais dans l'entrée sur les chapeaux de couleur, je ne vois pas vraiment mieux que d'invoquer la logique modale avec autant de modalités que de personnes, chacune suivant le système S5). J'avoue que je n'ai pas les idées aussi claires que je voudrais.

J'assistais cette semaine, dans le cadre du séminaire Codes sources (dont j'ai déjà dit un mot, et où j'interviendrai moi-même plus tard ce mois-ci), à un exposé de Greg Kroah-Hartman, un des principaux développeurs du noyau Linux (et le mainteneur des noyaux stables/longterm). L'exposé portait sur la manière dont le noyau a commencé à introduire des concepts de programmation orientée objet, en partant du struct device, qui s'est mis à « hériter » de struct kobject puis de struct kref (cet héritage étant cependant sans fait aucune sécurité de typage statique ni vérification à l'exécution, et assuré — de façon très efficace — par la magie de l'arithmétique de pointeurs et de la macro container_of, au sujet de laquelle voir par exemple ici). Je peux peut-être juste lui reprocher d'avoir été un peu rapide (par exemple quand il a discuté de la fonction kref_put_mutex — source ici, cherchez le nom de la fonction — et expliqué pourquoi elle marchait et pourquoi une version antérieure contenait une race-condition, je n'ai pas vraiment eu le temps de digérer). Mais une chose est certaine : malgré des efforts pour harmoniser les API et les rendre plus systématiques et pratiques, la programmation de pilotes de périphériques pour Linux est difficile (et la programmation de nouveaux bus est, à ce qu'a dit l'orateur, extrêmement difficile). (La question a évidemment été posée de si le noyau devrait ou pourrait être programmé dans un autre langage que le C. Greg KH a brièvement mentionné Rust — ce qui m'a fait plaisir, parce que c'est un langage qui me semble très prometteur — mais il est évident que pour l'instant c'est de la science-fiction de penser changer quelque chose d'aussi profond.)

Mais ceci m'amène à une question qui me fascine, et sur laquelle je pense qu'il faudrait vraiment lancer une recherche un peu approfondie :

Peut-on approximer le nombre de bugs (et si possible, plus finement : le nombre de trous de sécurité, par exemple) qui existent actuellement dans Linux ? Peut-on évaluer la probabilité qu'un organisme un tant soit peu motivé (au hasard : la NSA) ait connaissance d'un tel bug qu'il ne dévoilerait pas, voire, en ait planté un volontairement, et la difficulté d'une telle entreprise ?

Je parle d'essayer de faire mieux qu'une estimation « au doigt mouillé », mais de mettre en place des modèles probabilistes un peu sérieux, à la fois de l'apparition des bugs dans le code et de leur détection. Puis fitter ces modèles contre toutes les informations qu'on peut extraire de l'arbre des commits Git et les bugfixes dans les noyaux stables.

Le modèle le plus grossier serait déjà de dire que chaque ligne de code ajoutée comporte une certaine probabilité — à déterminer — de contenir un bug, et que chaque unité de temps qu'elle reste dans le noyau apporte une certaine probabilité — à déterminer aussi — que ce bug soit détecté et corrigé. Rien qu'avec ce modèle grossier, en regardant depuis combien de temps existent les bugs qui sont corrigés dans les noyaux stables, on devrait pouvoir se faire une idée d'un ordre de grandeur du nombre de bugs et de trous de sécurité existant, et de combien de temps il faudrait continuer à maintenir un noyau stable/longterm pour qu'il y ait au moins 99% de chances qu'il ne contienne plus un seul trou de sécurité. Ensuite, on peut améliorer ce modèle de toutes sortes de façons : en raffinant selon l'auteur du code ou le sous-système où il s'inscrit (ou son mainteneur), en essayant d'estimer le nombre de fois que le code a été relu ou utilisé, en catégorisant finement les bugs, ou toutes sortes d'autres choses du genre.

C'est le genre d'idée extrêmement évidente dont je n'arrive pas à comprendre qu'elle n'ait pas déjà été poursuivie (et pourtant je ne trouve rien de semblable en ligne). Ça a pourtant tout pour plaire : on peut y glisser les mots-clés de sécurité informatique, de logiciel open source, de Big Data (la dernière connerie à la mode : il faut que tout soit à la sauce du Big Data maintenant), les conclusions d'une telle étude pourraient certainement intéresser la presse et leur fournir des gros titres racoleurs (cf. la NSA plus haut), ce serait d'ailleurs certainement le genre de choses qui aurait sa place dans, disons, une grande école spécialisée en télécommunications et informatique (exemple complètement au hasard). Mais bon, dans le monde actuel de la recherche, qui fonctionne par « projets » (i.e., par bullshit-scientifique-transformé-en-paperasse-administrative), tout est fait pour couper court à toute forme de créativité ou d'originalité : on ne peut faire quelque chose qu'en étant bien établi dans un domaine et en passant à travers un tel nombre d'obstacles dressés par des organismes à la con (ceux qui sont censés donner des sous pour aider la recherche, et qui dans la réalité servent surtout à faire perdre du temps) qu'il est quasiment impossible de se lancer — pour ma part, je serais certainement intéressé par un projet comme celui que je décris ci-dessus, mais pas au point de passer le temps délirant en écriture de rapports en tout genre qu'il faut soumettre pour obtenir quoi que ce soit de qui que ce soit.

Mon poussinet et moi sommes allés voir Dear White People (je ne sais pas pourquoi je ne l'avais pas repéré à sa sortie en France, qui date d'il y a déjà quelques semaines), et je voudrais le recommander très chaudement. C'est un film sur le racisme dans l'Amérique contemporaine, en l'occurrence sur le campus d'une université prestigieuse. Et ce qui le rend intéressant (à mes yeux), outre qu'il est drôle, bien monté et très bien joué, c'est qu'il n'est ni simpliste ni prédicateur ; il nous met (nous autres chers blancs éponymes, surtout quand nous sommes persuadés de n'être pas racistes) mal à l'aise, sans pour autant nous dire quoi penser ou sans nier que le racisme est un problème complexe et pas entièrement noir-et-blanc (ha, ha). Les personnages, donc, ont une certaine profondeur, bien servie comme je le disais par les acteurs, ils ne sont pas caricaturaux, et ils ont des positions différentes sur les relations entre Noirs, Blancs, métisses et autres, ou au sein de la communauté noire (par exemple entre hommes et femmes, homos et hétéros, et même geeks et non-geeks), sans qu'on puisse vraiment dire avec le(s)quel(s) le réalisateur est le plus en sympathie. Bref, on n'a pas l'impression de subir un tract militant, et c'est à nous de trouver la morale, s'il y en a.

Je dois néanmoins prévenir que c'est un film passablement verbeux : à mon avis, sur ce plan il devrait assez bien plaire à ceux qui ont aimé Le Déclin de l'empire américain (un film que j'aime beaucoup, et incontestablement verbeux), avec lequel je trouve une certaine similarité formelle — en tout cas, ceux qui ont horreur des dialogues plein de bons mots et débats animés devraient sans doute s'abstenir. (Par ailleurs, l'anglais peut être difficile à suivre à cause des références culturelles et du jargon estudiantin.)