David Madore's WebLog: Les octonions sont-ils intéressants ? (première partie)

Complexes

J'imagine que tous mes lecteurs assez intéressés par les maths pour lire ce genre d'entrée (et/ou qui sont passés par un bac scientifique) savent déjà ce que sont les nombres complexes : ce sont des expressions de la forme a + b·i où a et b sont des nombres réels et où i est un objet formel dont la propriété essentielle est de vérifier i²=−1. L'addition des nombres complexes se fait terme à terme, c'est-à-dire (a+b·i) + (a′+b′·i) = (a+a′) + (b+b′)·i (c'est dire, en fait, que 1 et i forment une base des complexes sur les réels), et la multiplication des complexes se calcule en développant et en utilisant la formule i²=−1, ce qui donne (a+b·i) × (a′+b′·i) = (a·a′−b·b′) + (a·b′+b·a′)·i. Tout ceci se résume dans la table de multiplication suivante :

Le nombre réel a s'appelle la partie réelle du complexe a+b·i, et le nombre réel b sa partie imaginaire ; il va de soi que si la partie imaginaire est nulle on a affaire à un nombre réel, et on dit aussi qu'un nombre de la forme b·i (=de partie réelle nulle) est imaginaire pur. Il est par ailleurs naturel de voir la partie réelle et la partie imaginaire d'un nombre complexe comme l'abscisse et l'ordonnée d'un point dans le plan, et on fera souvent cette identification tacitement (par exemple en disant que la droite réelle est l'axe des abscisses).

Les nombres complexes vérifient les mêmes propriétés algébriques essentielles que les nombres réels (existence d'un 0 neutre pour l'addition, associativité et commutativité de l'addition, existence d'opposés pour celle-ci, distributivité de la multiplication sur l'addition et linéarité par rapport aux réels, existence d'un 1 neutre pour la multiplication, associativité et commutativité de la multiplication, et existence d'inverses des éléments non nuls pour la multiplication) : on dit qu'il s'agit d'un corps, et il va falloir se résigner à perdre certaines de ces propriétés si on veut aller plus loin parce qu'il n'existe aucun corps contenant strictement les nombres complexes et qui soit de dimension finie sur eux.

On appelle conjugué (complexe) d'un nombre complexe z = a+b·i le nombre z^* := a−b·i (plus souvent noté avec une barre au-dessus, c'est-à-dire quelque chose comme z̄, mais je vais préférer z^* dans l'espoir que ce soit plus lisible en HTML), autrement dit le nombre obtenu en changeant le signe de la partie imaginaire b (ou, géométriquement, le symétrique orthogonal par rapport à l'axe réel). Ce conjugué a notamment la propriété que le produit z·z^* = a²+b² est un nombre réel, qu'on notera N(z) et qu'on appellera module-au-carré de z (le module est, bien sûr, la racine carrée de cette quantité ; le N dans ma notation est l'initiale du mot norme, mais il y a une certaine ambiguïté quant à savoir si la norme d'un complexe vaut a²+b² ou sa racine carrée, donc je préfère le mot module et noter N(z) = a²+b² le module-au-carré). Le fait que N(z₁·z₂) = N(z₁)·N(z₂) est fondamental, mais la terminologie pour refléter ce fait est un peu fluctuante (selon les propriétés exactes qu'on met sous le N, on peut parler d'algèbre de composition, ou d'algèbre à division normée), donc je n'insiste pas trop.

L'existence d'inverses est claire compte tenu de ce que je viens de dire : pour tout complexe z non nul, il existe un unique complexe z′ (appelé inverse de z) tel que z·z′=1 : précisément si z=a+b·i on obtient son inverse z′ par la formule z′ = z^*/N(z), c'est-à-dire en divisant le conjugué z^* = a−b·i de z par le nombre réel non nul N(z)=z·z^*=a²+b² (ce qui revient à diviser chaque composante par cette quantité).

Quaternions

Les quaternions, eux, sont des expressions de la forme a + b·i + c·j + d·k où a,b,c,d sont des nombres réels et où i, j, k sont des objets formels dont les propriétés essentielles sont de vérifier i² = j² = k² = i·j·k = −1 (relation que Hamilton a gravée sous Broom Bridge à Dublin). L'addition se fait encore terme à terme (et je ne répéterai plus ce genre de choses : tout ce qu'on veut construire sont des sortes d'algèbres — de dimension finie — et en particulier des espaces vectoriels sur les nombres réels), et la multiplication s'obtient grâce à la table suivante :

Cette table n'est pas symétrique (la multiplication n'est pas commutative, comme je vais le souligner), donc il faut la lire dans le bon sens : le facteur de gauche du produit détermine la ligne et le facteur de droite la colonne, par exemple i·j=k alors que j·i=−k. On peut mémoriser ce tableau soit en mémorisant la relation de Hamilton soit en retenant que le produit de deux unités consécutives dans l'ordre cyclique i,j,k est égal à la troisième, alors que dans le sens contraire on obtient l'opposé.

Le nombre réel a s'appelle partie réelle du quaternion a+b·i+c·j+d·k, mais les nombres b,c,d n'ont pas de nom particulier (non, on ne dit pas partie imaginaire, partie jmaginaire et partie kmaginaire). En revanche, un quaternion dont la partie réelle est nulle est dit imaginaire pur (c'est le cas de i, j et k eux-mêmes).

Bien sûr, il faut garder à l'esprit que ce qu'on appelle i,j,k est un peu arbitraire. Il faudra un jour que j'écrive un petit discours sur ce que ça signifie que deux objets soient égaux ou indiscernables en mathématiques (il y a des problèmes philosophiques et mathématiques pas évidents là-dessous), mais disons que je veux souligner au moins deux choses. D'abord, de façon assez triviale, que si par exemple je changeais la table de multiplication de façon à redéfinir k en −k, c'est-à-dire en −i·j au lieu de i·j, on aurait quand même affaire au même objet, i.e., l'étiquetage des unités et les signes de la table de multiplication sont juste une question de convention, il se trouve juste que Hamilton a gravé dans la pierre (c'est le cas de le dire) la convention pour les quaternions i·j=k, donc tout le monde est d'accord dessus (ce ne sera plus le cas pour les octonions). Mais il y a un deuxième sens, qui est plus subtil, consistant à se demander dans quelle mesure je suis capable de retrouver, en supposant que j'ai des quaternions sous la main et que je sache les multiplier, lesquels s'appellent i, j et k : et la réponse est que non on ne peut pas (encore moins que pour les complexes où on a juste la possibilité d'échanger i et −i), et je vais devoir m'expliquer un peu mieux à ce sujet.

Voici une autre façon de définir ou de présenter les quaternions : au lieu de prendre quatre nombres réels a,b,c,d, on peut les voir comme un nombre réel a et un vecteur en trois dimensions, v=(b,c,d). L'addition ne présente pas plus de difficulté (ou d'intérêt) sous cette forme, on ajoute simplement la composante réelle et la composante vectorielle ; pour la multiplication, si je note [a,v] le quaternion de partie réelle a et vectorielle v, je définis [a,v] · [a′,v′] = [(a·a′−v·v′), (a·v′+a′·v+v×v′)], où v·v′ et v×v′ désignent respectivement le produit scalaire et le produit vectoriel (usuels) de deux vecteurs en dimension 3. On verra facilement l'analogie avec la formule que j'ai écrite pour la multiplication de deux complexes, le terme essentiellement nouveau étant le v×v′ qui reflète la manière dont on multiplie deux quaternions imaginaires purs, c'est-à-dire de composante réelle a nulle. L'avantage de cette présentation est d'éviter de faire appel à un choix de i,j,k, et on peut d'ores et déjà facilement se convaincre que n'importe quel choix de trois vecteurs formant une base orthonormée directe de l'espace de dimension 3 peut mériter les noms de i,j,k (et donc, comme on le verra plus loin, que les rotations de l'espace de dimension 3 sont des automorphismes des quaternions) ; c'est ainsi que les quaternions ont un lien si fort avec les rotations en trois dimensions.

Comme le produit vectoriel n'est pas commutatif (il est même anticommutatif), ou simplement parce que i·j=k alors que j·i=−k, les quaternions ont perdu la commutativité de la multiplication par rapport aux nombres complexes. Ils ont encore les autres propriétés que j'ai citées, notamment l'associativité de la multiplication et l'existence d'inverses. Pour résumer en un mot les propriétés d'un corps moins la commutativité de la multiplication, je dirai que les quaternions sont un corps-gauche (avec un trait d'union parce que les corps-gauches ne sont pas des corps pour ma terminologie) ou une algèbre à divisions. On a encore des notions de conjugué et de module : le produit d'un quaternion q = a+b·i+c·j+d·k et de son conjugué q^* := a−b·i−c·j−d·k est un nombre réel N(q) := a²+b²+c²+d² appelé module-au-carré de q, et si q≠0 l'unique quaternion q′ (appelé inverse de q) tel que q·q′ = q′·q = 1 se calcule en divisant q^* par N(q) (i.e., comme pour les complexes, on a q′ = q^*/N(q)).

Une formule amusante sur les quaternions (et assez choquante quand on a les nombres complexes à l'esprit) est que le conjugué q^* d'un quaternion q est donné par la formule « linéaire » q^* = −½·(q + i·q·i + j·q·j + k·q·k). (En fait, toute application ℝ-linéaire ℍ→ℍ peut être définie comme une somme d'au plus quatre termes de la forme a·q·b, où on peut faire parcourir à a les valeurs {1,i,j,k} si on veut, ce qui rend d'ailleurs les b correspondants uniques.)

De même que les nombres complexes s'identifient au plan réel, les quaternions s'identifient à l'espace euclidien de dimension 4 : par euclidien je veux dire qu'on n'a pas seulement une structure linéaire (addition et multiplication par un réel : ce qui forme un ℝ-espace vectoriel), on a une notion de distance (la distance à l'origine est ce que j'ai appelé le module d'un quaternion) et d'orthogonalité (ainsi, 1, i, j et k sont orthogonaux entre eux). Notamment, les quaternions de module 1 s'identifient à la sphère de dimension 3 (celle qui vit dans un espace de dimension 4) et les quaternions imaginaires purs de module 1 s'identifient à la sphère de dimension 2 (la sphère au sens usuel, celle qui vit dans un espace de dimension 3, en l'occurrence celui des quaternions imaginaires purs). Signalons que le produit scalaire euclidien de deux quaternions q et q′ est la partie réelle de q·q′^* (ceci est bien symétrique entre q et q′) : notamment, deux quaternions sont orthogonaux si et seulement si le produit de l'un avec le conjugué de l'autre est un quaternion imaginaire pur.

Il faut aussi que je souligne la chose suivante : on a tendance à identifier le corps ℂ des complexes aux quaternions de la forme a+b·i, mais il va de soi qu'on pourrait aussi le faire en mettant j ou k à la place de i ; et surtout, plus subtilement, si u est n'importe quel quaternion purement imaginaire (i.e., de partie réelle nulle) et de module 1, on peut « voir » u comme l'unité i des nombres complexes, et les quaternions de la forme a+b·u forment une algèbre de nombres complexes dans les quaternions (en particulier, u vérifie u²=−1, ce qui est d'ailleurs complètement équivalent à u est purement imaginaire et de module 1 comme on s'en convainc facilement). Mais ceci signifie que tout quaternion qui n'est pas réel appartient à une et une seule algèbre de nombres complexes dans les quaternions (en effet, on peut toujours l'écrire sous la forme a+b·u pour un u purement imaginaire de module 1, qui est alors unique au signe près) : donc, tant qu'on n'a affaire qu'à un seul quaternion, les calculs se font exactement comme sur les nombres complexes (la direction de la partie imaginaire est fixée).

Interprétation géométrique, automorphismes des quaternions

Les nombres complexes ont une interprétation géométrique évidente, que j'ai déjà mentionnée, comme des points du plan (on identifie le nombre z=a+b·i au point de coordonnées (a,b) dans un repère euclidien fixé une fois pour toutes : on dit parfois que le nombre complexe z est l'affixe du point en question). Mais il y en a une autre : les nombres complexes non nuls s'interprètent aussi comme des similitudes (vectorielles) directes du plan (une similitude vectorielle directe étant la composée d'une homothétie centrée à l'origine et d'une rotation également centrée à l'origine) ; en l'occurrence, si z≠0 est un nombre complexe, identifié au point du plan qui lui correspond (dont il est l'affixe), la similitude associée est l'unique similitude (vectorielle directe) envoyant 1 sur z : il s'agit simplement de la multiplication par z vue comme une transformation du plan. Un cas particulier est formé des nombres complexes de module 1 : vus comme des points ce sont les points du cercle unité a²+b²=1, et vus comme des similitudes ce sont les rotations du plan (vectorielles, i.e., centrées à l'origine), c'est-à-dire les similitudes de rapport 1.

Si on introduit l'exponentielle exp(z) d'un nombre complexe z comme la somme de la série convergente 1 + z + (z²/2) + (z³/3!) + ⋯ (la série habituelle de l'exponentielle), on montre que l'exponentielle de a+b·i vaut e^a · (cos(b)+sin(b)·i) (enfin, c'est plus ou moins la définition du cosinus et du sinus). Ceci conduit à revoir toutes sortes de choses : les nombres complexes de module 1 peuvent s'écrire sous la forme exp(i·θ) où θ est un réel défini modulo 2π, et qui est l'angle de la rotation correspondante ; et les nombres complexes non nuls en général peuvent s'écrire sous la forme ρ · exp(i·θ), où ρ>0 est le module, qui est aussi le rapport de l'homothétie, et θ toujours défini modulo 2π, son angle, qui s'appelle l'argument du nombre complexe considéré.

Les quaternions ont des interprétations géométriques à la fois concernant les rotations en trois et en quatre dimensions (c'est d'ailleurs la cause d'une certaine confusion possible).

Pour en parler, commençons par considérer les quaternions de module 1, c'est-à-dire vérifiant a²+b²+c²+d²=1 : ils forment visiblement une sphère en dimension 4 (donc elle-même de dimension 3), et ils sont un groupe pour la multiplication (c'est-à-dire que la multiplication de deux quaternions de module 1 est encore un quaternion de module 1, et que l'inverse d'un quaternion de module 1 en est encore un). Je vais expliquer que ce groupe est un groupe appelé Spin₃ qui est « presque » le groupe des rotations en trois dimensions, mais d'abord voyons ce qu'on peut faire en quatre dimensions.

Si u est un quaternion de module 1, la multiplication à gauche par u, c'est-à-dire l'application q↦u·q (sur les quaternions q) est une rotation (puisque le module de u·q est égal au module de q) : mais comme le groupe SO₄ des rotations en dimension 4 est de dimension 6 contre seulement 3 pour les quaternions de module 1, on ne les attrape certainement pas toutes de cette manière. La multiplication à droite par un quaternion u de module 1, c'est-à-dire l'application q↦q·u, donne aussi une rotation, et pour la même raison pas toutes ; pour que les choses marchent mieux dans la suite, je vais plutôt considérer, ce qui ne change rien à ce stade, la multiplication à droite par l'inverse u^* de u (c'est aussi son conjugué puisque u a été supposé de module 1), bref l'application q↦q·u^*. Maintenant, et je ne le prouverai pas, si on prend deux quaternions, u₁ et u₂, tous deux de module 1, alors il s'avère que l'application T_(u1,u2):q↦u₁·q·u₂^* de multiplication à gauche par l'un et à droite par le conjugué de l'autre, qui est toujours une rotation, peut cette fois atteindre toutes les rotations possibles en quatre dimensions, et de plus de façon presque unique au sens où les seuls couples (u₁,u₂) qui donnent la rotation triviale sont (1,1) et (−1,−1). L'avantage d'avoir mis u₂^* à droite plutôt que bêtement u₂ est qu'on a T_(u1,u2)∘T_{(u′1,u′2)} = T_{(u1·u′1,u2·u′2)} c'est-à-dire qu'on a affaire à un morphisme T depuis le produit de deux copies du groupe des quaternions de module 1 vers le groupe SO₄ des rotations en quatre dimensions, qui est « presque » un isomorphisme (le « presque » étant à cause de ce (−1,−1)). Le groupe sur lequel on a effectivement un isomorphisme et le groupe noté Spin₄ qui est le revêtement double de SO₄, c'est-à-dire qu'il distingue une rotation d'un tour complet de pas de rotation du tout (ou, si on ne trouve pas ça très satisfaisant comme façon de dire les choses, on peut prendre pour définition de Spin₄ qu'il s'agit des couples de quaternions de module 1, opérant comme rotation via le T qu'on a défini).

Ceci constitue le lien avec les rotations en dimension 4. Et en dimension 3 maintenant ? Cette fois, on va chercher les rotations qui fixent 1, c'est-à-dire celles qui ne touchent qu'aux composantes imaginaires b,c,d (ou à la composante vectorielle v, dans une autre présentation que j'ai donnée) du quaternion, et qu'on voit comme une rotation sur cette partie-là. Or pour que T_(u1,u2):q↦u₁·q·u₂^* fixe le nombre 1, il faut et il suffit que u₁·u₂^* = 1, ce qui équivaut à u₁=u₂. Si on simplifie la notation et qu'on note alors simplement T_u l'application q↦u·q·u^* (toujours pour u un quaternion de module 1), vue comme une rotation en trois dimensions par restriction aux quaternions imaginaires purs, les rotations en trois dimensions se voient donc toutes sous la forme T_u et de nouveau on a T_u∘T_u′ = T_u·u′ c'est-à-dire qu'on a un « presque » isomorphisme entre le groupe des quaternions de module 1 et le groupe SO₃ des rotations en trois dimensions, plus exactement un isomorphisme avec le groupe Spin₃. (De nouveau, Spin₃ est le « revêtement double » de SO₃ qui considère qu'un tour complet n'est pas l'identité ; et, si on n'aime pas cette définition, on peut définir Spin₃ comme les quaternions de module 1 opérant comme rotation via le T qu'on a défini.) Au passage, on voit que Spin₃×Spin₃ ≅ Spin₄, c'est-à-dire qu'une rotation en quatre dimensions est « presque » la même chose que deux rotations en trois dimensions (presque signifiant que c'est la même chose si on est prêt à oublier le problème du −1, ou bien à monter au groupe Spin pour que ce problème disparaisse).

Ceci suggère un certain nombre de questions ou d'observations. Par exemple, peut-on identifier directement les deux facteurs Spin₃ à l'intérieur de Spin₄ ? Ce sont essentiellement les rotations définies par deux angles égaux ou opposés pour une certaine orientation des axes de la rotation. On peut aussi remarquer qu'on a défini une façon de faire agir (un élément u de) Spin₃ sur un espace de dimension 4, à savoir la multiplication à gauche q↦u·q par le quaternion u de module 1 sur l'ensemble des quaternions (ou par la multiplication à droite par son conjugué, mais via la conjugaison, justement, ces deux actions sont équivalentes) : il s'agit là de la représentation de spin de Spin₃ (et les quaternions q sur lesquels il agit peuvent s'appeler spineurs : on remarquera que faire subir un tour complet, u=−1, à un spineur transforme celui-ci en son opposé !). Pour ce qui est de l'action de Spin₄, les représentations de spin des deux copies de Spin₃ qui le constituent s'appellent les représentations de demi-spin.

L'application T_u:q↦u·q·u^* peut aussi être vue comme l'automorphisme intérieur défini par le quaternion u de module 1 (multiplication à gauche par lui et à droite par son inverse) : il est évident qu'on a T_u(q+q′) = T_u(q)+T_u(q′) et aussi T_u(q·q′) = T_u(q)·T_u(q′), c'est-à-dire que T_u définit bien un automorphisme du corps-gauche des quaternions (=une bijection préservant à la fois l'addition et la multiplication). Mais réciproquement, il est facile de se convaincre que tout ℝ-automorphisme des quaternions (c'est-à-dire, une bijection ℝ-linéaire préservant la multiplication) doit être une rotation préservant le quaternion 1, donc doit être de cette forme, et il s'avère que tout automorphisme est nécessairement un ℝ-automorphisme. C'est-à-dire que le groupe des automorphismes des quaternions est précisément le groupe SO₃ des rotations en trois dimensions (opérant sur la partie imaginaire pure, ou sur la sphère unité de celle-ci), et ce sont tous des automorphismes intérieurs.

Remarquons que contrairement aux nombres complexes, pour lesquels la conjugaison est un automorphisme de corps, ce n'est pas le cas pour les quaternions, parce qu'elle inverse le sens de la multiplication (qui est maintenant important) : il n'y a donc que les rotations et non les réflexions qui constituent des automorphismes des quaternions.

Cette description des automorphismes nous permet de voir de nouveau que le choix des unités i,j,k était arbitraire : n'importe quels trois vecteurs formant une base orthonormée ayant la bonne orientation pouvaient convenir (pour le dire autrement, si je veux former un automorphisme des quaternions, je choisis l'image de i arbitrairement dans les quaternions imaginaires purs de module 1, puis l'image de j arbitrairement dans les quaternions imaginaires purs de module 1 orthogonaux au précédent, et l'image de k est bien sûr alors déterminée par le produit, ou si on veut le produit vectoriel, des deux précédents ; et c'est bien de la même manière qu'on fabrique une rotation en dimension 3).

Définition et premières propriétés

Pour passer des nombres complexes aux quaternions, on abandonnait une propriété, la commutativité de la multiplication. Pour passer aux octonions, on en abandonne une autre, l'associativité : le coût serait totalement exorbitant si on n'en préservait pas au moins une forme faible. Cette version affaiblie de l'associativité s'appelle l'alternativité, qui peut s'exprimer par deux quelconques des trois propriétés suivantes (la troisième étant alors automatique) : x·(x·y)=(x·x)·y, x·(y·x)=(x·y)·x et y·(x·x)=(y·x)·x. Grâce à l'addition, l'alternativité peut aussi s'exprimer comme le fait que l'associateur {x,y,z} := (x·y)·z − x·(y·z) (qui serait identiquement nul dans une algèbre associative) est totalement antisymétrique en x,y,z.

Au prix de manipulations algébriques pas franchement évidentes, on peut déduire de cette propriété d'alternativité des identités apparemment un peu plus fortes, dites identités de Moufang (du nom de la mathématicienne allemande Ruth Moufang), et qui seraient la bonne hypothèse à prendre (pour affaiblir l'associativité) si on n'avait qu'une multiplication sous la main : x·(y·(x·z))=(x·y·x)·z, (x·y)·(z·x)=x·(y·z)·x et ((y·x)·z)·x=y·(x·z·x).

Une autre version faible de l'associativité vérifiée par les octonions sera le fait (démontré par Artin dans toute algèbre-alternative) que deux octonions quelconques engendrent toujours une algèbre associative (autrement dit, dans toute expression faisant intervenir au plus deux quantités, on peut applique l'associativité) ; en fait, deux octonions engendreront toujours une algèbre isomorphe soit aux réels, soit aux complexes, soit en général aux quaternions. Par ailleurs, il va de soi que les nombres réels s'associent avec n'importe quoi puisque la multiplication des octonions est ℝ-bilinéaire.

D'autre part, dans les octonions, on aura toujours l'existence d'inverses : pour chaque octonion x≠0 il existe un (unique) octonion x′ tel que x·x′=1 et x′·x=1, et on peut montrer qu'on a alors (y·x)·x′=y pour tout octonion y et x′·(x·y)=y, ce qui rend ces inverses pas totalement inutiles. Et on disposera toujours d'un module(-au-carré) avec N(x₁·x₂)=N(x₁)·N(x₂).

Passons maintenant à la définition. On va utiliser une base formée de huit éléments : contrairement aux quaternions pour lesquels Hamilton a fixé la notation une fois pour toutes (dans la pierre, comme je l'ai expliqué), les conventions pour les octonions sont assez divergentes, comme je l'expliquerai plus bas. Pour ce texte, je vais noter i, j, k, ℓ, i·ℓ, j·ℓ, k·ℓ les sept unités imaginaires pures : les choses à retenir sont que i, j, k se comportent comme les quaternions (et on les identifiera aux unités de même nom des quaternions), mais aussi n'importe lequel des trois avec ℓ (par exemple, ℓ·i = −i·ℓ et ℓ·(i·ℓ) = i sur le modèle de j·i = −i·j et j·(i·j) = i), et enfin que trois unités qui n'appartiennent pas à une même algèbre de quaternions s'anti-associent toujours, par exemple i·(j·ℓ) = −(i·j)·ℓ = −k·ℓ. Ceci donne la table de multiplication suivante :

On vérifie différentes choses concernant les signes dans cette table de multiplication (le signe est ce qui est le plus intéressant) : elle est antisymétrique si on excepte évidemment la diagonale et la ligne et la colonne des 1 ; et deux lignes quelconques ont des signes qui coïncident sur quatre colonnes et qui diffèrent sur les quatre autres (et de façon symétrique entre lignes et colonnes, bien sûr).

Une autre construction fréquemment invoquée pour fabriquer les octonions est le doublement de Cayley-Dickson : il consiste à définir un octonion comme une paire [q,r] de quaternions (qui représente en fait q+r·ℓ dans la notation ci-dessus), avec le produit [q,r] · [q′,r′] = [(q·q′−r′^*·r), (r′·q+r·q′^*)] et la conjugaison [q,r]^* = [q^*,−r]. L'intérêt de cette construction est que ces mêmes formules permettent de définir les complexes à partir des réels, les quaternions à partir des complexes, et les octonions à partir des quaternions. Mais ce côté systématique est trompeur, et je n'en suis pas fan, au moins sous cette formulation : impossible de mémoriser dans quel ordre on met les facteurs et où on met les conjugaisons (est-ce r·q′^*, r·q′, r^*·q′, q′^*·r ? et comment retenir ça ?) : j'ai retrouvé la formule ci-dessus à partir de la table de multiplication que j'ai écrite et pas le contraire (chaque facteur en détermine un quadrant, il faut péniblement trouver le bon ordre des facteurs et les conjugaisons à mettre pour avoir exactement les signes du quadrant).

Cependant, la construction de Cayley-Dickson est encore équivalente aux formules suivantes, où q,q′,r,r′ désignent des quaternions : (1) q·(r′·ℓ) = (r′·q)·ℓ, (2) (r·ℓ)·q′ = (r·q′^*)·ℓ et (3) (r·ℓ)·(r′·ℓ) = −r′^*·r. (Une façon de les retenir est de savoir que, si w est un quaternion de module 1, alors on définit un automorphisme des octonions — j'en reparlerai plus tard — en envoyant q sur q, c'est-à-dire en fixant les quaternions, et en envoyant r·ℓ sur (w·r)·ℓ : cette multiplication se fait par w à gauche justement à cause de la non associativité, et alors cela contraint fortement les formules (1), (2) et (3) si bien qu'on se trompe difficilement.)

Comme je l'ai déjà expliqué, on obtient ainsi une algèbre-alternative (le trait d'union entre algèbre et alternative étant là pour rappeler qu'une algèbre-alternative n'est pas une algèbre [associative]), c'est-à-dire qu'on a les propriétés suivantes : existence d'un 0 neutre pour l'addition, associativité et commutativité de l'addition, existence d'opposés pour celle-ci, distributivité de la multiplication sur l'addition et linéarité par rapport aux réels, existence d'un 1 neutre pour la multiplication, et la version faible de l'associativité de la multiplication qui s'exprime par les lois alternatives ou les identités de Moufang. Avec en plus l'existence d'inverses des octonions non nuls, on parlera d'algèbre-alternative à divisions. Le module-au-carré N(x) d'un octonion x se définit comme le produit de x avec son conjugué x^* qui s'obtient en changeant le signe devant chacune des sept unités imaginaires pures i, j, k, ℓ, i·ℓ, j·ℓ, k·ℓ, et ce N(x) est un nombre réel, et on a N(x₁·x₂)=N(x₁)·N(x₂), ce qui permet de calculer l'inverse de x comme x^*/N(x).

On peut décider de voir un octonion, comme un quaternion, comme la donnée d'une partie réelle a et d'une partie (imaginaire) vectorielle v, mais celle-ci a maintenant 7 dimensions. Si on demande que la formule de produit des octonions s'écrive [a,v] · [a′,v′] = [(a·a′−v·v′), (a·v′+a′·v+v×v′)] comme pour les quaternions, ceci définit un nouveau produit vectoriel v×v′ entre vecteurs en dimension 7 correspondant à la partie imaginaire de la multiplication d'octonions imaginaires purs. Comme son analogue en dimension 3, il a les propriétés d'être linéaire en chaque variable, d'être orthogonal à ses deux arguments, et d'avoir pour norme le produit des normes fois le sinus de l'angle entre les vecteurs ; une telle application n'existe qu'en dimension (1 trivialement,) 3 et 7. Mais ce produit vectoriel en dimension 7, contrairement à celui en dimension 3, n'est pas invariant par toutes les rotations, il ne l'est que par celles qui appartiennent au groupe G₂ des automorphismes des octonions, dont je vais parler plus loin.

On verra bien sûr les octonions comme un espace euclidien de dimension 8 : en particulier, quand on dit que deux octonions sont orthogonaux entre eux, cela signifie qu'ils le sont pour cette structure (et cela revient à dire que le produit de l'un par le conjugué de l'autre, dans n'importe quel ordre, est imaginaire pur). C'est le cas de 1 et des sept unités imaginaires pures i, j, k, ℓ, i·ℓ, j·ℓ, k·ℓ. Notons que le produit scalaire euclidien entre deux octonions x et x′ est donné par la partie réelle de x·x′^* (cette partie réelle étant symétrique entre x et x′).

Sous-algèbres des octonions

J'ai signalé à propos des quaternions que n'importe quel quaternion u purement imaginaire de module 1 vérifie u²=−1, et réciproquement, et qu'alors les quaternions de la forme a+b·u forment une algèbre isomorphe au corps des nombres complexes (on peut la noter ℝ ⊕ ℝu) ; et par ailleurs que tout quaternion non réel appartient à une et une seule algèbre de cette sorte. Exactement la même chose vaut encore pour les octonions : donc on comprend assez bien comment fonctionnent les algèbres de nombres complexes dans les octonions (il y en a une pour chaque u imaginaire pur de module 1, c'est-à-dire pour chaque point de la 6-sphère, le u étant alors déterminé au signe près).

Qu'en est-il des algèbres de quaternions dans les octonions ? (C'est-à-dire les sous-algèbres des octonions qui sont isomorphes à l'algèbre des quaternions — en fait, il suffit pour une sous-algèbre des octonions d'être de dimension 4 pour être automatiquement isomorphe à celle des quaternions.) C'est le cas évidemment de l'algèbre ℍ = ℝ ⊕ ℝi ⊕ ℝj ⊕ ℝk des quaternions, mais c'est aussi le cas par exemple de ℝ ⊕ ℝi ⊕ ℝℓ ⊕ ℝi·ℓ, ou en fait de ℝ ⊕ ℝu ⊕ ℝℓ ⊕ ℝu·ℓ pour tout quaternion u imaginaire pur de module 1. En fait, si u et v sont deux octonions imaginaires purs de module 1 orthogonaux quelconques, alors w=u·v est encore imaginaire pur et orthogonal à eux, et on a u² = v² = w² = u·v·w = −1 (la relation d'Hamilton !), de sorte que ℝ ⊕ ℝu ⊕ ℝv ⊕ ℝw forment une algèbre de quaternion dans les octonions — et elles s'obtiennent évidemment toutes de la sorte. Et si on prend deux octonions, on se convainc assez facilement qu'ils appartiennent toujours à une et, s'ils ne commutent pas entre eux, une seule algèbre de quaternions (celle qu'ils engendrent) : donc les calculs faisant intervenir deux octonions sont simplement des calculs quaternioniques (de même que les calculs n'en faisant intervenir qu'un sont des calculs sur les nombres complexes).

Une sous-algèbre des octonions (c'est-à-dire un sous-espace vectoriel des octonions qui soit stable par multiplication) ne peut être que de quatre sortes : (0) la droite réelle (qui est unique), (1) une algèbre de nombres complexes ℝ ⊕ ℝu (avec u octonion imaginaire pur de module 1, qui est alors déterminé au signe près), (2) une algèbre de quaternions ℝ ⊕ ℝu ⊕ ℝv ⊕ ℝw (avec u et v imaginaires purs de module 1 orthogonaux et w=u·v, ces trois éléments pouvant être choisis comme une base orthonormée directe quelconque de la sphère imaginaire pure de l'algèbre de quaternions en question), ou enfin (3) l'algèbre de tous les octonions (elle aussi unique). Le premier et le dernier cas ((0) et (3)) sont uniques ; les algèbres de complexes (cas (1)) sont en correspondance avec la sphère unité de dimension 6 (la sphère des octonions u imaginaires purs de module 1) modulo antipodie, ce qu'on appelle l'espace projectif réel de dimension 6 ; les algèbres de quaternions dans les octonions (cas (2)) forment un espace de dimension 8 (explication intuitive : il y a 6 dimensions impliquées dans le choix de u, puis 5 dans le choix de v qui doit lui être orthogonal, ce qui fait 11 au total, mais ceci définit une algèbre donnée avec une redondance de dimension 3 correspondant au choix d'une base orthonormée directe (u,v,w) sur la 2-sphère). Cet espace de dimension 8 (l'espace des algèbres de quaternions dans les octonions) possède d'ailleurs des propriétés géométriques intéressantes (c'est l'espace riemannien symétrique G₂/(SO₃×Spin₃)), et il faudra que j'en reparle.

Notons que deux algèbres de quaternions distinctes dans les octonions peuvent s'intersecter soit selon une algèbre de complexes (c'est-à-dire qu'elles ont en commun un u non réel, qu'on peut supposer imaginaire pur de module 1) soit seulement sur l'axe réel. Si on fixe une des deux algèbres, le premier cas se produit pour un espace de dimension 6.

Octonions de module 1, multiplications à gauche et à droite

La sphère unité des octonions, c'est-à-dire l'ensemble des octonions de module 1, est encore stable par multiplication (puisque le module des octonions est multiplicatif), et admet l'existence d'inverses. Mais contrairement à ce qui se passait dans le cas des quaternions (où je rappelle qu'on avait identifié la sphère unité au groupe Spin₃ qui double le groupe des rotations en trois dimensions), l'absence d'associativité fait qu'on n'a pas affaire à un groupe, seulement à une boucle de Moufang. Le rapport avec les rotations en huit ou sept dimensions va être plus délicat à décrire que dans le cas des quaternions. Je commence par regarder ce qu'on peut dire des multiplications à gauche et à droite par un octonion de module 1.

Si u est un octonion de module 1, la multiplication à gauche par u, c'est-à-dire l'application x↦u·x (sur les octonions x) est une rotation (puisque le module de u·x est égal au module de x) : appelons-la L_u. Là où la non-associativité des octonions a une conséquence horrible, c'est que L n'est pas un morphisme, c'est-à-dire que L_u∘L_u′ ne coïncide généralement pas avec L_u·u′, puisque L_u∘L_u′ est l'application x↦u·(u′·x) tandis que L_u·u′ est x↦(u·u′)·x. Notons quand même que L_u^* est l'inverse de L_u.

On va aussi définir la multiplication à droite R_u:x↦x·u (cette fois, pas la peine de se fatiguer à remplacer u par u^* vu que de toute façon on ne va pas avoir un morphisme, et il y a au contraire des raisons de laisser u comme on va le voir). Et on peut aussi définir la bimultiplication B_u:x↦u^*·x·u^* (grâce aux lois d'alternativité, cette expression a bien un sens sans parenthèses) ; la raison pour laquelle j'ai utilisé u^* et pas u est l'identité L_u∘R_u∘B_u=Id et de même pour n'importe quelle permutation des lettres L,R,B. Toutes ces applications L_u, R_u et B_u définissent des rotations en huit dimensions, ainsi que n'importe quelle composée de ces choses-là. La situation est un peu confuse : peut-on y voir plus clair ?

Aucun de L_u, R_u ou B_u, quand u parcourt la 7-sphère des octonions de module 1, ne peut à lui seul donner toutes les rotations en 8 dimensions, puisque ce groupe (SO₈) est de dimension 28, ce qui est strictement plus grand que 7. Mais en composant plusieurs de ces applications, même lorsqu'elles sont du même type L/R/B (à cause de l'absence d'associativité), on peut obtenir de nouvelles rotations. Peut-on tout obtenir de cette façon-ci ? La réponse est oui en raison du

Théorème : toute rotation en 8 dimensions s'obtient comme composée d'au plus 7 applications de la forme L_u, et la même chose vaut pour R_u ou pour B_u (de plus, le nombre 7 est optimal dans cet énoncé).

(En fait, pour les B_u, ce théorème est la conséquence du fait plus classique que toute rotation en huit dimensions peut s'écrire comme composée d'au plus huit réflexions, où de plus on peut imposer l'une de ces réflexions. En effet, B_u s'obtient en effectuant d'abord la réflexion qui transforme u en son opposé (réflexion par rapport à l'hyperplan orthogonal à u, donc, et qui s'écrit x↦−u·x^*·u) puis celle qui transforme 1 en son opposé, soit x↦−x^*. Pour l'énoncé sur les L et les R, le mieux est d'utiliser la trialité que je vais introduire juste après — ma présentation ne se fait pas tout à fait dans l'ordre logique.)

Malheureusement, il n'y a aucune sorte d'unicité dans l'histoire (ne serait-ce que pour des raisons de dimension : la composée de 7 applications L_u donne 7×7=49 degrés de liberté, alors que SO₇ en a seulement 28.)

Isotypies et trialité

La trialité est un phénomène mathématique profond en rapport avec les octonions, et qui justifie pour beaucoup leur importance. Je commence par revenir un peu sur les quaternions pour motiver les définitions qui vont suivre.

Rappelons que pour les quaternions, dès qu'une rotation (des quaternions, i.e., de quatre dimensions) fixe l'élément 1, donc définit une rotation des quaternions imaginaires purs, elle préserve en fait la multiplication des quaternions ; et on a vu que ces rotations s'écrivent de la forme T_u:q↦u·q·u^* (automorphisme intérieur défini par u) avec u de module 1 (qui est uniquement déterminé au signe près).

Les rotations plus générales des quaternions s'écrivent, elles, sous la forme T_(u1,u2):q↦u₁·q·u₂^* (avec u₁,u₂ de module 1). Ceci donne envie de se demander quel est le rapport entre une rotation U = T_(u1,u2) et la rotation V = T_(u2,u1) qui s'obtient en échangeant les deux paramètres u₁ et u₂, appelons-la son « amie » (je ne connais pas de terminologie standard, alors je prends un mot au hasard) : il est facile de voir que V(q)=(U(q^*))^*. On peut aussi reformuler ça de la façon suivante : cette relation d'« amitié » entre U et V est satisfaite si et seulement si la relation x·y=1 (avec x,y deux quaternions) implique U(x)·V(y)=1. Chaque élément U de SO₄ ou de Spin₄ a un unique élément « ami » V, et il est son propre « ami » si et seulement si U est, en fait, un automorphisme de ℍ (i.e., il préserve 1) ; et bien sûr l'« amitié » est un morphisme (i.e., l'« ami » de U₁∘U₂ est V₁∘V₂ si V₁ est l'ami de U₁ et V₂ celui de U₂). Cette description peut sembler un peu bizarre ou bizarrement compliquée, mais elle a l'avantage de montrer la voie vers les isotypies des octonions et la trialité.

On dira que trois rotations U,V,W des octonions (c'est-à-dire juste des rotations de l'espace euclidien à huit dimensions) forment une isotypie lorsque, quels que soient les octonions x,y,z vérifiant la relation x·y·z=1, on a aussi U(x)·V(y)·W(z)=1, i.e., la même relation après application des trois rotations aux trois octonions. (Rappelons que la relation x·y·z=1 a bien un sens, car si elle est satisfaite avec un parenthésage elle l'est aussi avec l'autre.) Cette définition des isotypies peut paraître un peu opaque, mais je vais essayer d'expliquer pourquoi elle est raisonnable.

On définit de plus la composition des isotypies : si (U₁,V₁,W₁) et (U₂,V₂,W₂) sont deux isotypies, alors les trois rotations (U₁∘U₂, V₁∘V₂, W₁∘W₂) obtenues par composition des trois rotations de l'une et de l'autre isotypie forment elles-mêmes une isotypie (c'est facile à vérifier), qu'on appelle fort logiquement isotypie composée de (U₁,V₁,W₁) et (U₂,V₂,W₂). Il en va de même pour la réciproque, et les isotypies forment donc un groupe (qui sera, comme je vais le dire dans un instant, le groupe Spin₈).

Un résultat qui n'est pas très difficile, mais qui est tout à fait remarquable, est le suivant :

Théorème : pour toute rotation U, il existe des rotations V et W telles que (U,V,W) forment une isotypie et, de plus, V et W sont uniques à un signe près commun sur V et W (il existe donc exactement deux isotypies commençant par U). Ou, pour dire les choses de façon un peu plus précise : le groupe des isotypies (U,V,W) des octonions (où la multiplication sur les triplets est la composition terme à terme, cf. ci-dessous) est le groupe Spin₈ (le groupe qui double le groupe SO₈ des rotations en 8 dimensions), en identifiant le morphisme envoyant l'isotypie (U,V,W) sur U avec le morphisme naturel (revêtement double) Spin₈ → SO₈.

J'ai pris U comme point de référence dans l'énoncé ci-dessus, mais en fait, U, V et W jouent des rôles complètement symétriques, et on peut les permuter arbitrairement. Ce phénomène s'appelle la trialité. Plus exactement, la trialité est le morphisme envoyant l'isotypie (U,V,W) sur (V,W,U) (permutation circulaire des trois variables), qui peut donc se voir comme un morphisme Spin₈ → Spin₈. (De façon plus informelle, la trialité envoie U sur V puis sur W : ceci n'a de sens qu'à signe près, c'est-à-dire si on ignore la différence entre Spin₈ et SO₈, mais c'est sans doute l'imagine intuitive qu'il faut en garder.)

Maintenant, si on a x·y·z=1, et si u est un octonion de module 1, il est assez facile en utilisant les lois de Moufang de voir que (u·x)·(y·u)·(u^*·z·u^*)=1, c'est-à-dire que L_u(x)·R_u(y)·B_u(z)=1. Ceci prouve que (L_u,R_u,B_u) forme une isotypie. On peut donc affirmer que :

Proposition : la trialité permute cycliquement L_u, R_u et B_u ; notamment, les images V et W d'une rotation U (en huit dimensions) par la trialité s'obtiennent en choisissant une écriture quelconque de U comme composée de différentes applications L_u et en remplaçant celles-ci par R_u pour V ou bien B_u pour W.

Techniquement, ceci n'a de sens qu'au signe près (puisque la trialité est définie sur les isotypies, et qu'une isotypie n'est définie par une rotation qu'au signe près), mais on se débarrasse des problèmes de signes en voyant L_u, R_u et B_u comme des éléments de Spin₈ justement en identifiant L_u à l'isotypie (L_u,R_u,B_u) vue comme un élément de Spin₈.

Un point de vue différent est le suivant : on fixe Spin₈ avec son action usuelle (celle de SO₈) sur les octonions, et on regarde la trialité comme définissant deux autres actions. Ces actions sont alors précisément les représentations de demi-spin. C'est-à-dire que, par exemple, la rotation B_u:x↦u^*·x·u^* opère sur les deux représentations de demi-spin soit par multiplication L_u à gauche par u soit par multiplication à droite R_u. La trialité est alors le phénomène que ces espaces de demi-spineurs coïncident, en tant que représentations de Spin₈, avec la représentation usuelle, et on les a tous identifiés aux octonions.

Exercice : Si U est la rotation qui échange 1,i,j,k avec respectivement ℓ,i·ℓ,j·ℓ,k·ℓ, montrer que les images V et W de U par trialité sont (à un signe commun près) : celle V qui change le signe de i,j,k,ℓ (sans toucher à 1,i·ℓ,j·ℓ,k·ℓ), et celle W qui s'obtient en appliquant U et en changeant le signe de 1 et ℓ (sans toucher aux autres). On peut le faire, par exemple, en écrivant U=B_i∘B_j∘B_k∘R_ℓ.

Rotations, trialités et automorphismes

Un automorphisme d'une ℝ-algèbre-alternative est une application ℝ-linéaire g bijective qui préserve la multiplication (c'est-à-dire que l'image d'un produit s'envoie sur le produit des images : g(x·y)=g(x)·g(y) ; on vérifie alors facilement que g(1)=1). En principe il faudrait distinguer les automorphismes de ℝ-algèbre (ou ℝ-automorphismes) des automorphismes d'anneau-alternatif (qui préservent l'addition et la multiplication, mais pas forcément les réels), mais pour les octonions comme pour les quaternions, ces deux notions coïncident : on a automatiquement g(t)=t pour tout réel t.

Un tel automorphisme g des quaternions ou des octonions doit respecter la conjugaison, c'est-à-dire que g(x^*) doit être égal à g(x)^* (en effet, x·x^* vaut le réel N(x), envoyé sur lui-même par g), donc aussi la partie réelle ½(x+x^*). Comme le produit scalaire (euclidien) entre deux quaternions ou octonions x et y est donné par la partie réelle de x·y^*, l'automorphisme préserve le produit scalaire. Il s'agit donc d'une isométrie euclidienne sur la partie imaginaire des quaternions ou octonions. Il n'est pas difficile de se convaincre que l'orientation doit être préservée, donc il s'agit en fait d'une rotation.

Dans le cas des quaternions, je l'ai déjà expliqué, c'est la seule condition : la réciproque est vraie, toute rotation de la partie imaginaire des quaternions détermine un automorphisme des quaternions (forcément intérieur, c'est-à-dire de la forme x↦u·x·u^*). Ou, si on préfère, la seule condition sur une rotation U de ℍ (vu comme espace euclidien) tout entier pour être un automorphisme des quaternions, c'est d'envoyer 1 sur 1. Cela revient aussi à dire que la rotation U en question est égale à sa propre « amie » (qui a été définie comme l'unique rotation V telle que la relation x·y=1 avec x,y deux quaternions implique U(x)·V(y)=1).

Puisque les octonions ne sont pas associatifs, on ne peut pas en définir des automorphismes par la formule x↦u·x·u^*. Mais compte tenu de ce qui a déjà été dit, il n'est pas très difficile de montrer la :

Proposition : Dans une isotypie (U,V,W), si deux des trois rotations U,V,W fixent l'octonion 1, alors la troisième le fixe aussi ; et c'est le cas si et seulement si on a U=V=W. Les rotations en question (i.e., les U telles que (U,U,U) soit une isotypie) sont précisément les automorphismes des octonions.

Le groupe en question (des rotations U qui préservent le produit octonionique) est noté G₂ (si on veut être plus précis dans la terminologie, il s'agit ici de la forme « réelle compacte » de G₂).

Si on veut, il s'agit des rotations en sept dimensions qui préservent le produit vectoriel défini par la partie imaginaire du produit de deux octonions imaginaires purs.

Pour essayer de comprendre un peu mieux ce groupe G₂, on peut essayer d'imaginer comment on en fabrique un élément (par exemple s'il s'agit d'en tirer un au hasard ou de compter les dimensions). D'abord, regardons comment on fabrique un élément du groupe SO₈ des rotations en huit dimensions : cela revient simplement à choisir les images de 1,i,j,k,ℓ,i·ℓ,j·ℓ,k·ℓ, chacune devant être de module 1 et chacune orthogonale à toutes les précédentes (avec en plus une contrainte d'orientation sur le dernier élément) ; donc, choisir un élément g de SO₈ revient à choisir g(1) dans la 7-sphère des octonions de module 1, puis g(i) dans la 6-sphère des octonions de module 1 orthogonaux au choix précédent, et ainsi de suite (et, d'ailleurs, si on veut choisir g au hasard uniformément dans tout le groupe SO₈, il suffit de faire chacun de ces choix uniformément sur la sphère) ; ceci permet par exemple de se convaincre facilement que la dimension de SO₈ (ou Spin₈) vaut 7+6+5+4+3+2+1+0 = 28. De même, SO₇ (ou Spin₇), qu'on peut voir comme les rotations des octonions fixant 1, est de dimension 6+5+4+3+2+1+0 = 21.

Maintenant mettons que je veuille construire un élément g de G₂ de la même manière. Pour ce qui est de g(1), je n'ai pas le choix, c'est forcément 1. L'image de i, en revanche, est quelconque avec les seules contraintes d'être de module 1 et imaginaire pur (=orthogonale à 1), ce qui laisse 6 degrés de liberté. L'image de j a pour contraintes d'être de module 1 et orthogonale à 1 et à l'image de i, ce qui laisse 5 degrés de liberté. L'image de k est alors complètement définie en tant le produit des images de i et j : i.e., g(k) = g(i)·g(j). Ensuite, l'image de ℓ a pour seules contraintes d'être de module 1 et orthogonale à toute l'algèbre de quaternions définie par les images précédemment définies, ce qui laisse 3 degrés de liberté. Enfin, les images de i·ℓ,j·ℓ,k·ℓ sont alors complètement définies comme des produits. Il n'y a pas d'autres contraintes que celles que j'ai décrites, car elles garantissent que les images des différentes unités vérifieront toutes les relations par lesquelles j'ai défini la table de multiplication des octonions (i.e., deux unités anticommutent toujours, et trois qui ne sont pas reliées par un produit s'antiassocient). On a donc 6+5+3=14 degrés de liberté au total, et G₂ est de dimension 14.

Voici encore une façon de voir les choses : le groupe Spin₈ des isotypies (U,V,W) est de dimension 28 ; si on impose à un quelconque parmi U,V,W d'envoyer 1 sur 1, on obtient un groupe Spin₇ de dimension 21, c'est-à-dire, si l'on veut, qu'on ajoute 7 contraintes (l'image de 1 sur la 7-sphère) : si on ajoute une nouvelle contrainte identique sur un autre parmi U,V,W, on a automatiquement U=V=W dans le groupe G₂ de dimension 14, avec pleinement 7 contraintes supplémentaires.

Pour dire les choses de façon encore un petit peu différente : à l'intérieur du groupe Spin₈ (de dimension 28) doublant les rotations de l'espace euclidien de dimension 8, on a trois copies du groupe Spin₇ (de dimension 21) : celui donné par les rotations qui préservent l'octonion 1, et les deux images de celui-ci par la trialité ; l'intersection de deux quelconques parmi les trois exemplaires de Spin₇ donne le groupe G₂ (de dimension 14) des automorphismes des octonions.

Quelques automorphismes explicites des octonions

La description que j'ai faite ci-dessus du groupe G₂ des automorphismes des octonions (les rotations telles que les trois membres de l'isotypie soient tous égaux) est certes mathématiquement élégante, mais elle n'est pas très parlante. Essayons de décrire les choses de façon plus parlante, ou en tout cas plus explicite.

Ce qu'il est facile de comprendre assez complètement, ce sont les automorphismes de l'algèbre 𝕆 des octonions qui laissent stable la sous-algèbre ℍ = ℝ ⊕ ℝi ⊕ ℝj ⊕ ℝk des quaternions. En particulier, un tel automorphisme doit définir un automorphisme des quaternions, donc sa restriction à eux doit être de la forme q↦u·q·u^* où u est un quaternion de module 1 ; il reste ensuite à décider de l'image des octonions orthogonaux aux quaternions, c'est-à-dire ceux qui appartiennent à ℝℓ ⊕ ℝi·ℓ ⊕ ℝj·ℓ ⊕ ℝk·ℓ : manifestement, l'image d'un tel octonion r·ℓ doit encore être de la même forme. Or si on appelle w le quaternion de module 1 (manifestement unique et bien défini) tel que l'image de ℓ par l'automorphisme vaille (w·u^*)·ℓ, alors il est facile de calculer que l'automorphisme prend la forme r·ℓ ↦ (w·r·u^*)·ℓ sur les octonions orthogonaux aux quaternions ; et réciproquement, toute valeur de u et w dans la sphère unité des quaternions définit, par ces formules, un automorphisme des octonions qui laisse stable l'algèbre des quaternions. Il y a mieux : si on appelle Φ_(u,w) cet automorphisme (celui défini par q ↦ u·q·u^* et r·ℓ ↦ (w·r·u^*)·ℓ), alors Φ_(u1,w1) ∘ Φ_(u2,w2) = Φ_{(u1·u2,w1·w2)}, c'est-à-dire que Φ définit un morphisme entre le produit de deux copies de la sphère unité Spin₃ des quaternions et le groupe G₂ des automorphismes des octonions : c'est presque un isomorphisme entre Spin₃ × Spin₃ et le sous-groupe de G₂ formé des automorphismes qui stabilisent les quaternions (presque parce que (−1,−1) s'envoie sur l'identité, c'est un isomorphisme si on quotiente par ce {±1}). En particulier, les isomorphismes des octonions qui fixent les quaternions sont ceux de la forme r·ℓ ↦ (w·r)·ℓ pour tout quaternion r (ce sont les Φ_(1,w)), et ils forment un sous-groupe isomorphe à Spin₃.

Il s'agit là des automorphismes des octonions qui laissent (globalement) stables les quaternions, mais la bonne nouvelle est que tout automorphisme des octonions stabilise une algèbre de quaternions, et comme par ailleurs on peut toujours amener une algèbre de quaternions quelconque sur l'algèbre de quaternions standard, que tout automorphisme des octonions est conjugué à un tel automorphisme. En fait, même, on peut se ramener à un tel automorphisme où on aurait, disons, u = exp(i·θ) = cos(θ) + sin(θ)·i, et w = exp(i·λ) = cos(λ) + sin(λ)·i : cet automorphisme fixe (1 et) i, effectue une rotation d'angle 2θ sur le plan ⟨j,k⟩, une rotation d'angle λ−θ sur le plan ⟨ℓ,i·ℓ⟩, et une rotation d'angle −λ−θ sur le plan ⟨k·ℓ,j·ℓ⟩ (tous ces plans sont orientés par l'ordre dans lequel j'ai donné les vecteurs unitaires les engendrant). Si on choisit d'appeler plutôt α₁,α₂,α₃ les angles 2θ,λ−θ,−λ−θ (dont la somme est nulle), on obtient la description suivante :

Description géométrique des automorphismes des octonions : Quel que soit l'automorphisme g des octonions, il existe (1) un octonion imaginaire pur de module 1, appelons-le û, fixé par g, (2) trois octonions imaginaires purs de module 1, disons e₁,e₂,e₃, tels que les huit octonions de module 1 1,û,e₁,û·e₁,e₂,û·e₂,û·e₃,e₃ soient orthogonaux (et mieux, on peut demander que l'application ℝ-linéaire qui envoie 1,i,j,k,ℓ,i·ℓ,j·ℓ,k·ℓ respectivement sur ceux-ci soit elle-même un automorphisme des octonions), et (3) trois angles α₁,α₂,α₃ de somme nulle, tels que g envoie (1 sur 1, û sur û et) e_ι sur cos(α_ι)·e_ι + sin(α_ι)·û·e_ι pour chacun de ι∈{1,2,3}. De plus, pour n'importe quel choix de û (imaginaire pur de module 1) et de e₁,e₂,e₃ (imaginaires pures de module 1, tous orthogonaux, orthogonaux à û, et orthogonaux à leurs produits avec û) et de trois angles α₁,α₂,α₃ de somme nulle, on obtient bien ainsi un automorphisme des octonions.

Un tel automorphisme fixe donc un « plan complexe » ℝ ⊕ ℝû, et stabilise trois algèbres de quaternions s'intersectant perpendiculairement sur ce plan, à savoir les trois ℝ ⊕ ℝû ⊕ ℝe_ι ⊕ ℝû·e_ι.

Qui plus est, cette description est généralement presque unique : un automorphisme assez général des octonions fixe exactement deux octonions imaginaires purs de module 1, on peut les appeler û et −û, et une fois fait le choix de û il n'y a (en général) que trois algèbres de quaternions stabilisées par l'automorphisme, et une fois numérotées ces trois algèbres, les angles α₁,α₂,α₃ sont bien définis (le choix des e_ι n'est défini qu'à rotation près entre e_ι et û·e_ι, avec éventuellement la contrainte supplémentaire e₁·e₂·e₃=−û, mais l'algèbre de quaternions, elle, l'est). Si on change û en −û, ceci transforme les trois angles en leur opposé.

(De la description que je viens de faire, on peut tirer, sans énormément d'effort, une description explicite des racines de G₂.)

Pour certains automorphismes bien particuliers, il peut y avoir plus que deux octonions imaginaires purs fixés, auquel cas la description n'est plus aussi unique, mais c'est après tout la même situation que pour les rotations.