David Madore's WebLog

This WebLog is bilingual, some entries are in English and others are in French. A few of them have a version in either language. Other than that, the French entries are not translations of the English ones or vice versa. Of course, if you understand only English, the English entries ought to be quite understandable without reading the French ones.

Ce WebLog est bilingue, certaines entrées sont en anglais et d'autres sont en français. Quelques-unes ont une version dans chaque langue. À part ça, les entrées en français ne sont pas des traductions de celles en anglais ou vice versa. Bien sûr, si vous ne comprenez que le français, les entrées en français devraient être assez compréhensibles sans lire celles en anglais.

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(lundi)

Fichue tendinite

J'ai déjà raconté que je n'avais pas les épaules symétriques : alors que mon épaule gauche se place naturellement dans le plan où les livres d'anatomie disent qu'elle est censée être, mon épaule droite a toujours tendance à être avancée par rapport à ça (plus ou moins avancée selon la manière dont je tourne les bras, mais toujours au moins un peu décalée vers l'avant). Et sans doute en rapport avec ça (même si le lien de causalité exact m'échappe), (a) j'ai beaucoup moins de mobilité dans l'épaule droite, et (b) j'ai beaucoup plus facilement mal à elle. Je me suis plusieurs fois fait des tendinites à l'épaule droite en faisant de la muscu (surtout les exercices consistant à lever les bras vers le côté ou vers l'avant), jamais à la gauche, et je dois toujours veiller, sur ce genre d'exercices, à régler la charge bien en-deçà de ce que je crois être capable de porter. (Plusieurs fois je me suis dit que j'allais essayer de forcer mon épaule dans la position où elle devrait être pour faire l'exercice, mais j'ai l'impression que c'est encore pire.)

Le problème, en outre, avec les traumatismes aux tendons à l'effort, c'est que souvent ils ne préviennent pas tout de suite : on peut ne pas du tout se rendre compte qu'on a trop forcé, et le découvrir le soir même, voire le lendemain, ou même le surlendemain, lorsque la douleur s'installe. Et il faut facilement des semaines, parfois des mois, pour revenir à un semblant de normalité (en plus de ça, pendant ces semaines ou ces mois, les muscles participant secondairement à l'effort pour contrôler la position des membres ont tendance à fondre énormément, donc si on reprend au niveau où on croit en être, c'est la garantie de réactiver la tendinite : il faut recommencer très progressivement). Bref, au moindre excès, on perd des mois d'entraînement, et je dis ça alors que je fais de la muscu juste pour le plaisir, je n'ose imaginer ce que ça donne chez ceux qui s'y prennent vraiment sérieusement.

Bon, mais là je me suis fait mal à l'épaule non pas en salle de sport mais, vendredi, en retenant une moto qui allait tomber (à essentiellement 0km/h, je précise — c'est là que l'équilibre est précaire) : j'ai eu le réflexe de l'empêcher de verser à droite, et c'était une très mauvaise idée, parce que c'est beaucoup plus lourd qu'un vélo et que mon épaule droite n'a pas apprécié du tout. Alors certes je savais que la moto pouvait être dangereuse, mais je ne pensais pas du tout à ce genre de choses.

Et ce qui est insidieux, c'est que je ne m'en suis quasiment pas rendu compte sur le coup. Ça a un peu tiré, mais la douleur à ce moment-là était très modérée et elle a disparu presque immédiatement. Je suis rentré sans m'apercevoir que je m'étais fait mal. Dès que je suis arrivé chez moi je me suis rendu compte que quelque chose n'allait pas, parce que ma main droite était comme ankylosée ; cette impression-là n'a pas duré non plus. Mais la douleur à l'épaule a vraiment crû tout au long du week-end.

Ça tombe vraiment mal (comme toujours), parce que mon poussinet et moi avions déjà des tracas en tête dont nous cherchions à nous distraire en passant un week-end du côté de la Champagne. Je ne recommande pas spécialement, en tout cas à ceux qui comme nous ne boivent pas d'alcool : à part que la Montagne de Reims offre de jolies vues (notamment dans le hameau fort peu originalement dénommé Bellevue) et quelques balades en forêt, on a vraiment l'impression que toute la région est entièrement consacrée à leur fameux vin pétillant, et notamment la ville d'Épernay m'a fait une très mauvaise impression (à la seule exception du très mignon parc de l'Hôtel de Ville) — notamment, l'avenue de Champagne, alignement de sièges de grandes maisons de champagne, me fait l'effet de ces quartiers d'affaires où s'alignent les sièges de grandes sociétés — architecturalement beaux, mais complètement déshumanisés. Mais évidemment, c'est encore pire si on a du mal à penser à autre chose qu'au fait qu'on a mal à l'épaule.

Enfin, dans la journée, ça va : je suis handicapé parce que je n'arrive pas à lever le bras droit au niveau de l'épaule[#], mais si je le laisse juste se reposer, je n'ai pas mal ou quasiment pas. Mais la nuit, c'est vraiment autre chose…

[#] Problème : je donne un cours mercredi matin. À moins d'une amélioration spectaculaire d'ici là, je ne serai pas capable d'écrire au tableau. Je me demande s'il vaut mieux que j'essaie de faire déplacer ce cours, que je convainque un collègue de me remplacer, que je le donne en montrant les transparents qu'un collègue a faits pour une vieille version de ce cours, que je le donne sans écrire au tableau, ou encore que je demande à un élève de me servir de scribe. Toutes ces options sont assez pourries.

J'ai l'habitude de dormir sur le côté : sur le dos ou sur le ventre je me réveille vite en ayant l'impression d'étouffer (ce n'est pas clair pour moi dans quelle mesure j'étouffe vraiment ou simplement j'ai développé cette impression à force de me forcer à dormir sur le côté pour éviter de ronfler)[#2]. Sur le côté droit, en l'occurrence, c'est hors de question (ça m'est arrivé, lors de précédentes tendinites, de conster que dormir sur le tendon douloureux était, en fait, moins douloureux, mais cette fois-ci j'ai essayé et ce n'est pas envisageable). Mais même sur le gauche, je n'ai pas réussi à trouver une position qui ne me fasse pas mal, que le bras droit soit le long du corps et reposant dessus, le long du corps en dévers, replié, ou d'aucune autre façon : il y a toujours quelque part où ça tire. Mon poussinet a fini par avoir l'idée de mettre un oreiller entre mon corps et mon bras, ça aide un peu (essentiellement parce que ça permet plus de positions stables, le bras étant retenu par le frottement sur l'oreiller), mais mon sommeil reste très précaire : j'ai mal dormi la nuit de vendredi à samedi, encore plus mal de samedi à dimanche, et la suivante était encore pire (j'espère que ça va commencer à s'améliorer !). Essentiellement par blocs de 1h ou 2h entrecoupés de réveils causés par la douleur. Et à force, la fatigue me pèse vraiment.

[#2] Je viens de m'acheter une orthèse censée aider avec ce problème, mais je suis un peu sceptique sur le fait qu'il soit vraiment possible de dormir avec ce machin en bouche.

Je suis bien sûr allé voir un médecin. Et je mesure bien sûr la chance que j'ai de vivre dans un pays avec un système de santé qui me permet de consulter un généraliste dans la journée (et pour une somme plus que raisonnable). Mais j'ai quand même une remarque ou deux à faire à ce sujet.

J'avais pris l'initiative de prendre dès le premier jour du naproxène pour calmer l'inflammation (2×550mg/j les premiers jours, plus de l'oméprazole pour protéger mon estomac), un gel au kétoprofène en application locale, et du tramadol+paracétamol la nuit pour calmer la douleur (je n'aime vraiment pas prendre du tramadol vu que c'est un opiacé, mais il faut bien que j'arrive à dormir un peu). Il me restait de tout ça d'une précédente tendinite (où je n'avais quasiment rien consommé de ces médicaments). Le médecin m'a prescrit exactement ce que [je lui avais dit que] je prenais (moins le kétoprofène) : ce qui est normal — même patient, même médecin, mêmes symptômes (quoique plus graves) ⇒ même traitement. Il m'a aussi prescrit de faire faire une échographie et une radiographie de l'épaule, je vais y revenir. Mais quand j'ai parlé de ma difficulté à dormir parce que je ne trouvais aucune position où je n'avais pas mal, ça n'a pas semblé susciter le moindre commencement d'intérêt chez lui. Alors je comprends bien que son temps est précieux et qu'il y a des gens qui vont beaucoup plus mal que moi et que ce n'est pas son boulot de m'aider à trouver exactement quel mouvement me fait mal et comment je pourrais me mettre pour dormir, ni forcément d'écouter mes petits tracas qui ne sont pas directement d'ordre médical. Mais je suis persuadé que c'est une des raisons qui font que beaucoup de gens se tournent vers les charlataneries qu'on qualifie de médecines douces ou médecines alternatives : que si j'allais voir un osthéopathe, au moins, il y a des chances qu'il prenne le temps de discuter avec moi de ce genre de choses et peut-être de trouver des astuces comme celle que mon poussinet a imaginée avec l'oreiller.

La deuxième remarque concerne l'échographie de l'épaule. C'est un peu le parcours du combattant d'obtenir un rendez-vous (rapide) pour une échographie de l'épaule : et le problème n'est pas, apparemment, d'un manque de radiologues (en tout cas pas à Paris), le problème est l'ultra-spécialisation du domaine. Moi je pensais qu'il y avait une division des actes en grands domaines du genre : radiographie, échographie cardiaque, échographie gynécologique, échographie viscérale, échographie des membres — des choses comme ça. Mais non ! Par exemple, j'ai trouvé un centre d'imagerie qui pratique de échographies des chevilles, genoux et coudes mais pas des épaules (j'ai vraiment du mal à comprendre, là). Et comme la typologie n'a pas l'air standardisée, un site comme Doctolib ne permet pas de chercher le premier rendez-vous disponible pour une échographie de l'épaule sur tout Paris : il faut essayer un par un les centres d'imagerie, regarder comment ils classifient l'échographie de l'épaule, et demander quel rendez-vous ils peuvent proposer. Au final, j'ai bien trouvé un rendez-vous rapide (cette semaine), mais il y a vraiment un problème d'organisation qui pourrait être améliorée.

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(mercredi)

Les mystères du contre-braquage d'un deux-roues

Quand on circule avec un deux-roues (vélo, cyclomoteur, moto) à basse vitesse (disons à vitesse infinitésimale), pour tourner, on tourne le guidon dans la direction où on veut aller. Et pour ça, on applique un couple (deux forces opposées sur les deux poignées du guidon) de même sens que la rotation qu'on veut effectuer, faisant pivoter la roue avant dans ce sens. C'est le braquage qu'on pourrait qualifier de « normal ».

Bon, mais maintenant, quand on applique un couple à une roue en train de tourner autour de son axe, dès lors que le couple n'est pas purement aligné avec la rotation de la roue (i.e., ne tend pas simplement à accélérer ou ralentir cette rotation), il se produit un effet de précession gyroscopique, c'est-à-dire que l'axe de la roue va lui-même subir un mouvement de rotation (précession) ; cette précession se fait à angle droit de ce qu'on imagine intuitivement. Je pourrais essayer de faire des dessins pourris pour le montrer, mais je trouve que cette vidéo est parfaite pour expliquer le phénomène (sans mathématiques), et j'encourage à la regarder. Si vous voulez faire l'expérience vous-mêmes, je conseille le parapluie : faites tourner votre parapluie rapidement autour de son manche (c'est mieux si le pommeau est droit plutôt que courbe, comme ça ce sera un bel axe de rotation), en le tenant au niveau du centre de gravité, et essayez de pousser un peu le pommeau horizontalement : le parapluie s'inclinera vers le haut ou vers le bas.

Sur un deux-roues circulant vers l'avant à vitesse assez élevée, du phénomène de précession gyroscopique résultent deux choses successives :

  • (A) Si j'appuie sur (disons) la partie gauche du guidon (en tirant sur la partie droite ou en laissant l'axe du guidon produire la force opposée du couple), la roue avant va avoir tendance à pencher vers la gauche sous l'effet de ce couple. Si la roue avant était seule, le mouvement continuerait ensuite en précession de l'axe (comme si on fait rouler une pièce de monnaie et qu'une force l'incline un peu) ; mais la roue avant ne peut pas s'incliner seule, donc le deux-roues penche en bloc vers la gauche.
  • (B) Mais une fois que le deux-roues est penché vers la gauche, la gravité et la réaction du sol constituent un nouveau couple, et l'effet gyroscopique va être, cette fois, de pivoter vers la gauche[#]. Comme la roue avant peut pivoter autour de l'axe (vertical) du guidon tandis que la roue arrière ne peut que tourner autour de son propre axe, la roue avant pivote vers la gauche (donc dans le sens contraire à celui vers lequel on a produit le couple initial), la roue arrière suit la roue avant, et le véhicule dans son ensemble tourne vers la gauche.

[#] En fait, il y a un deuxième effet qui fait qu'un deux-roues a tendance à tourner vers la gauche s'il penche vers la gauche, c'est l'effet de la chasse, c'est-à-dire le fait que l'axe autour duquel la roue avant peut pivoter n'est pas verticale mais oblique (plus avancé à la base qu'au sommet). L'effet gyroscopique et l'effet de chasse sont de même signe, mais j'ignore quelle est leur importance relative dans des circonstances typiques.

On appelle l'ensemble de ce phénomène le contre-braquage[#2] : pour tourner vers la gauche, on pousse (vers l'avant) sur la partie gauche du guidon (ou on tire sur la droite), ce qui est exactement inverse de ce qu'on fait à basse vitesse. Au final, pour faire tourner vers la gauche une moto qui va assez vite, on appuie sur la partie gauche du guidon.

[#2] Du moins, c'est ce que j'appelle contre-braquage dans cette entrée. Il faut noter que, dans ce contexte, le guidon, au final, tourne bien dans le sens dans lequel le deux-roues tourne (certains guides de conduite à moto prétendent que le guidon ne peut pas tourner, mais c'est faux, il s'oriente bien dans le sens du virage : simplement, c'est le sens contraire de celui dans lequel on a poussé, et par ailleurs, cette rotation est faible puisqu'on ne prend pas des virages très serrés à grande vitesse). Certains veulent réserver le terme de contre-braquage pour des cas où le guidon est effectivement tourné dans le sens contraire du sens du virage, mais les circonstances sont assez inhabituelles (il doit y avoir dérapage), donc oublions ça.

Pour plus de précisions ou d'autres descriptions du phénomène, voir cette page (assez orientée pratique) et les vidéos qu'elle contient, cette entrée Wikipédia (beaucoup plus théorique), ou encore cet extrait de l'émission de vulgarisation C'est pas sorcier consacré à la moto.

Le point (B) est raisonnablement intuitif (tout le monde « sait bien » que pour tourner à gauche en vélo ou en moto, on se penche vers la gauche) ; le deuxième point contribue, d'ailleurs, à la stabilité d'ensemble du véhicule (s'il n'est pas parfaitement droit, au lieu de tomber, il tourne, ce qui est plus facilement corrigeable ; et plus il va vite, plus il est stable).

Le point (A) est plus problématique, ou en tout cas la combinaison des deux l'est. Pas que j'aie la moindre doute sur l'exactitude d'ensemble de la description physique que je viens d'esquisser : c'est assez simple à comprendre, et j'ai eu l'occasion de tester expérimentalement par moi-même (si j'avais eu le moindre doute sur le sujet). Mais ceci soulève deux-trois questions :

  1. Si à basse vitesse, appliquer un couple sur le guidon fait tourner celui-ci et dirige le deux-roues dans le sens « intuitif », et qu'à haute vitesse il a pour effet de faire pencher le deux-roues et de le diriger dans l'autre sens, que se passe-t-il à des vitesses intermédiaires ? Comment se diriger quand les deux effets se compensent ?
  2. Pourquoi le fait de pousser sur le guidon dans le sens opposé au braquage normal n'est-il pas atrocement contre-intuitif ? Comment se fait-il que le contre-braquage s'apprenne facilement ? (car expérimentalement, c'est le cas).
  3. Pourquoi l'effet gyroscopique ne joue-t-il que deux fois (les points (A)&(B) ci-dessus) ? Autrement dit, pourquoi n'y a-t-il pas ensuite un troisième point (C) en fait, comme le deux-roues commence à tourner à gauche, ça va le faire repencher vers la droite, puis (D) comme il penche vers la droite, il va tourner à droite, et ainsi de suite indéfiniment en mouvement de précession, comme c'est le cas pour une toupie inclinée ?

Un autre point qui m'échappe (mais relié aux deux premiers que je viens de lister) est dans quelle mesure le contre-braquage, et spécifiquement le point (A), est applicable sur un vélo (à des vitesses raisonnablement atteignables par quelqu'un qui n'est pas coureur cycliste) ou une moto légère.

C'est là que je manque cruellement de sens physique. Mettre ce problème en équations serait franchement compliqué (voir cette page Wikipédia qui, bien que très simplifiée, est déjà assez longue et complexe !) ; j'ai un certain nombre de pistes pour répondre aux questions ci-dessus, mais je ne suis pas sûr de savoir comment elles se relient entre elles (certains de ces éléments d'explications sont probablement des reformulations du même, d'autres sont peut-être faux, je ne sais pas bien quoi en penser).

Concernant le premier problème, l'argument un peu idiot pour l'exposer consiste à appliquer le théorème des valeurs intermédiaires : si à vitesse très faible appliquer un couple sur le guidon fait tourner le deux-roues dans un sens et qu'à vitesse élevée cela le fait tourner dans l'autre sens, il doit y avoir un point où le couple ne fait pas tourner le deux-roues, et alors on peut se demander comment on fait pour diriger la moto à cette vitesse intermédiaire. En fait, l'argument tel quel est assez bidon, parce que rien ne dit que le couple doive être appliqué de façon constante (il se met en place une dynamique assez complexe quand on agit sur le guidon, on ne se contente pas d'exercer un couple fixe), et aussi parce qu'il y a d'autres façons de pencher le vélo ou la moto que de contre-braquer (preuve en est qu'il est possible de diriger un vélo sans les mains). D'où les éléments de réponse possibles suivants à l'objection nº1 :

  • Il y a, en fait, plusieurs phases (dans le temps) quand on prend un virage à deux-roues. Dans un premier temps, on exerce un couple sur le guidon qui est toujours dans le sens contraire au sens intuitif (contre-braquage), mais qui peut être presque imperceptible à basse vitesse, puis, une fois que le la configuration désirée est atteinte, on maintient la rotation du guidon avec un couple soutenu, qui peut être dans l'un ou l'autre sens selon le régime de vitesse, mais que le pilote ressent à travers ses bras.
  • Il y a, en fait, plusieurs régimes de couples (et l'effet couple appliqué ↦ braquage obtenu n'est pas monotone, même si le couple est maintenu constant). Un couple faible sur le guidon fait pencher le deux-roues par « effet contre-braquage » (effet qu'on peut accentuer en se penchant soi-même, et c'est sans doute nécessaire pour utiliser réellement cette technique à faible vitesse) jusqu'à un point extrémal où le couple réussit à faire quitter à la roue avant le plan de symétrie du deux-roues, et ensuite celui-ci tourne à cause de ça (« braquage normal »), mais à vitesse raisonnablement élevée, sur une moto, il n'est pas humainement possible d'atteindre ce point extrémal (qui serait, de toute façon, hors du domaine de stabilité).
  • Il y a trois régimes de vitesse dans la pratique : (i) à basse vitesse, on dirige le deux-roues en tournant le guidon de façon intuitive, (ii) à vitesse intermédiaire le deuxième des points évoqués ci-dessus s'applique mais le second est insuffisant, donc on dirige le deux-roues en se penchant, mais on se penche en jouant avec son corps plus que par une action quelconque sur le guidon (cas du vélo qu'on guide sans les mains), et (iii) à vitesse assez élevée on utilise la technique de contre-braquage pour de diriger. (Autrement dit, l'implication pencher⇒tourner se met en place avant l'implication pousser⇒pencher.)
  • Ce qui importe n'est pas tant le geste qu'on fait que le fait qu'on le fasse plus ou moins brusquement : quelle que soit la vitesse, un geste suffisamment brusque produira un effet de contre-braquage, tandis que tourner doucement le guidon fait aller dans la direction intuitive (et la frontière entre brusque et doux dépend, justement, de la vitesse et des autres paramètres du deux-roues).

Il y a sans doute une part de vrai dans chacune de ces pistes de réponse, mais je ne comprends pas bien comment elles se relient entre elles.

Le caractère intuitif du contre-braquage est encore plus mystérieux a priori.

Quand j'en ai entendu parler, je me suis dit mais ça a l'air impossiblement contre-intuitif ! pousser à gauche quand on veut tourner à gauche, c'est tellement contre-nature que je n'y arriverai jamais, et on m'a répondu si, si, en fait, tout le monde y arrive, et j'ai pu constater par moi-même que c'est vrai, on fait deux-trois essais sur le plateau à des vitesses variées et hop, on prend le pli immédiatement. Apprendre à doser le freinage, par exemple, ou à se déplacer de façon stable à faible allure, sont des choses beaucoup plus difficiles qu'apprendre le contre-braquage. Témoignage concordant de cette entrée de blog d'un apprenti motard de la même auto-école que moi qui écrit j'ai appris sur le tas le contre-braquage au cours de sa première heure de circulation (donc, sur l'autoroute : le phénomène est tellement intuitif qu'on peut lancer sur l'autoroute quelqu'un qui n'avait jamais conduit un deux-roues et il y arrive).

Comment est-ce possible ?

Il ne suffit pas de se dire on retient que les commandes sont en quelque sorte inversées, et tout va bien : ça ça ne marcherait pas du tout. Preuve en est l'expérience de la bicyclette inversée (vidéo très drôle à regarder si vous ne l'avez pas déjà fait) : quelqu'un a construit un vélo dont le guidon est relié à la roue avant par un engrenage supplémentaire, ce qui fait qu'il est purement et simplement inversé. Eh bien conduire cette bicyclette, sans un effort énorme d'apprentissage, est humainement impossible : personne n'a réussi à lui faire faire une distance de ne serait-ce que quelques mètres sans poser le pied à terre. Le propriétaire de la bicyclette a persisté à essayer cinq minutes par jour et au bout de huit mois, quelque chose a fait clic dans son cerveau et il a fini par y arriver (mais en ce faisant, il a oublié comment conduire une bicyclette normale ! il aurait dû essayer de passer cinq minutes sur chaque type de bicyclette, dans un ordre aléatoire, et voir combien de temps ça lui prenait). Je trouve cette expérience fascinante pour ce qu'elle nous apprend sur le fonctionnement du cerveau et le temps d'apprentissage (cf. aussi ce que je racontais dans cette entrée).

Le contre-braquage n'est donc clairement pas de cette nature. Il est étonnamment intuitif. Mais comment cela se fait-il ? Là aussi, j'ai quelques éléments d'explication, mais je ne sais pas vraiment les relier les uns aux autres :

  • En fait, le contre-braquage se fait déjà à vélo (à toute petite vitesse, il est imperceptible, mais à vitesse moyenne, il y a bien un petit coup dans la direction opposée du virage) ; ce qui change à moto est le temps pendant lequel on soutient le couple contre-braquant, mais le cerveau doit forcément s'être habitué au fait que ce temps (et la valeur du couple soutenu) doivent dépendre de toutes sortes de paramètres. Globalement, le contre-braquage n'est pas vraiment un braquage inversé : c'est juste la première phase du braquage, qui dure plus ou moins longtemps selon les circonstances.
  • Une moto qui roule assez vite est remarquablement stable. (Petite anecdote ici à ce sujet.) Le cerveau a donc tout le temps de réagir calmement à l'effet que produit telle ou telle action sur le guidon, il n'est pas en train de contrôler des oscillations autour d'un point d'équilibre instable (ou métastable).
  • On décompose intuitivement en deux parties : (B) pencher⇒tourner est extrêmement naturel, et pour ce qui est de (A) pousser⇒pencher, le fait que le guidon ne quitte quasiment pas le plan de symétrie de la moto aide à ce qu'on ne confonde pas mentalement avec le braquage normal.
  • On me suggère aussi la piste suivante pour expliquer pourquoi le sens du mécanisme (A) pousser⇒pencher est intuitif : si on tourne vers la droite le guidon (i.e., si on pousse sur la poignée gauche) pendant que le deux-roues est à l'arrêt, alors ce dernier tend à tomber vers la gauche : ce serait peut-être cette intuition qu'on aurait en tête (pour pencher la moto vers la gauche, je pousse sur la poignée gauche et elle tombera plutôt dans ce sens).

Bref, c'est très intuitif, mais je ne sais pas bien pourquoi.

Un autre aspect un peu mystérieux, c'est qu'il y a un certain nombre de vidéos comme celle-ci (par ailleurs intéressante si on aime l'accent australien…) qui prétendent expliquer la technique du contre-braquage, mais en fait je pense qu'il est tout simplement impossible de prendre un virage à vitesse élevée en moto autrement que par cette technique (à moyenne vitesse on peut sans doute déplacer le poids de son corps suffisamment, comme ce qu'on fait quand on dirige un vélo sans les mains, mais ça doit devenir essentiellement impossible à partir d'un certain point) : quelqu'un qui sait tourner à moto sait forcément contre-braquer. (Et c'est peut-être même déjà le cas à vélo.) Ce point est d'ailleurs souligné par plusieurs commentaires de la vidéo que je viens de lier. Mais alors, pourquoi est-il nécessaire d'expliquer comment faire ? J'imagine que c'est parce que les gens ne se rendent pas compte de ce qu'ils font, ou font quelque chose de différent mais qui marche presque fortuitement (dans cette vidéo, par exemple, le narrateur explique qu'il pensait qu'il fallait pousser vers le bas sur le guidon pour pencher cette partie vers le bas, alors qu'il faut pousser vers l'avant, mais ça devait marcher un peu parce qu'en poussant vers le bas on pousse sans doute un peu vers l'avant incidemment). Ceci étant, la première vidéo du paragraphe semble décrire une technique un peu plus poussée que le contre-braquage « de base », mais je ne comprends pas exactement quoi.

Tout ça est tout de même assez confus.

Pour ce qui est du troisième problème que j'évoque ci-dessus, un élément de réponse est simplement que le deux-roues a deux roues et qu'il ne peut donc pas précesser librement, mais le fait est qu'il y a bien des régimes d'oscillations plus ou moins amorties ou amplifiées comme le montrent ces courbes sur Wikipédia. (À vrai dire, je ne suis pas sûr de bien comprendre le problème que je soulève moi-même, donc a fortiori je ne sais pas vraiment quoi y répondre.)

Toujours est-il que je comprends globalement ce qui se passe, mais il y a plein de petites subtilités qui m'échappent, et j'espère avoir réussi à bien partager ma confusion. 😁

Sinon, une expérience que j'aimerais bien voir menée (apparemment quelque chose de la sorte l'a été, mais je voudrais plus de détails) consiste à fabriquer un vélo, ou une moto, dont chaque roue est doublée d'un volant d'inertie, de même moment d'inertie que la roue en question, et qui tourne en permanence en sens inverse à la même vitesse, de manière à annuler aussi précisément que possible l'effet gyroscopique de la roue en question. Quel effet cela fait-il de conduire un tel engin ? À quelles vitesses est-il raisonnablement stable et pilotable ? L'expérience a été menée pour vérifier que l'effet gyroscopique n'était pas nécessaire pour assurer la stabilité d'un vélo en ligne droite à basse ou moyenne vitesse, mais on s'interroge, logiquement, sur l'effet que cela ferait de tourner dans ces circonstances, ou d'aller vraiment vite. S'il y a des gens assez fous pour tenter l'expérience de fabriquer une moto « agyroscopique » comme ça…

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(dimanche)

Une méditation sur le nombre 24 et la causalité en mathématiques

Dans cette entrée, je vais commencer par parler de maths, mais ensuite je veux me servir de ce que j'aurai raconté pour soulever une question de philosophie (ou peut-être, de psychologie) des maths. Ces deux parties n'ont pas vraiment de rapport sauf que la première sert d'illustration pour la seconde : on doit pouvoir sauter la première partie (ou la lire en diagonale) et quand même comprendre quelque chose à la seconde, enfin, j'espère. (Mais bon, je ne suis pas content de ce que j'ai écrit dans la seconde partie, donc ça n'a peut-être pas d'intérêt.)

*

Je racontais récemment que le nombre 24 était particulièrement magique à cause de l'existence de certains objets exceptionnels, notamment le réseau de Leech en dimension 24 (défini dans l'entrée en question). Maintenant, considérons le fait suivant (problème des boulets de canon, conjecturé par Édouard Lucas autour de 1875 et démontré par George Watson en 1918) :

L'équation 0² + 1² + ⋯ + n² = m² a exactement trois solutions, à savoir quand (n,m) vaut (0,0), (1,1) ou (24,70). Autrement dit, à part les deux cas triviaux (0²=0² et 0²+1²=1²), la seule situation où la somme des carrés des premiers entiers naturels est encore un carré est donnée par 0² + 1² + ⋯ + 24² = 70².

(La somme 0²+1²+⋯+n² vaut encore n·(n+1)·(2n+1)/6, mais si on écrit l'équation comme n·(n+1)·(2n+1) = 6m², on ne voit pas vraiment pourquoi elle est intéressante.)

Ce n'est pas très facile à montrer, mais ce n'est pas ça qui m'intéresse.

On pourrait dire que le fait que la somme des carrés des entiers naturels jusqu'à 24 est un carré (et qu'à part les cas triviaux c'est le seul) est une propriété remarquable du nombre 24. Pas franchement passionnante, mais bon. Mais a priori, on se dit que cette propriété n'a aucun rapport particulier avec les propriétés magiques du nombre 24 que j'ai évoquées dans mon autre entrée.

Sauf qu'en fait, si.

Pour expliquer ce rapport, considérons d'abord l'espace minkowskien de dimension 25+1, défini comme l'ensemble des 26-uplets de nombres réels (x0,…,x24,t), que je vais plutôt noter (x0,…,x24|t) pour bien séparer la dernière coordonnée que j'appelle t (bref, c'est juste ℝ26 mais noté un peu spécialement). Je définis la norme-carrée lorentzienne[#] d'un tel vecteur comme x0² + ⋯ + x24² − t² (avec un signe moins sur la coordonnée spéciale), et le produit scalaire lorentzien de (x0,…,x24|t) et (x0′,…,x24′|t′) comme x0x0′ + ⋯ + x24x24′ − tt′. C'est le genre de produit scalaire qu'on utilise en relativité restreinte (avec, ici, une dimension de temps et 25 dimensions d'espace). Je définis le vecteur w := (0,1,2,…,24|70), qui est de norme-carrée nulle — on peut aussi appeler ça un vecteur isotrope — à cause du fait énoncé ci-dessus. On dira qu'un vecteur est orthogonal à w lorsque son produit scalaire lorentzien avec w est nul, c'est-à-dire x1 + 2x2 + ⋯ + 24x24 − 70t = 0 ; c'est le cas de w lui-même, comme je viens de le dire, ou, bien sûr, de n'importe quel multiple de w. Maintenant, considérons l'ensemble U = ⟨w/⟨w⟩ des vecteurs orthogonaux à w modulo les multiples de w, c'est-à-dire les vecteurs vérifiant x1 + 2x2 + ⋯ + 24x24 − 70t = 0 mais où on identifie deux tels vecteurs (x0,…,x24|t) et (x0′,…,x24′|t′) lorsque leur différence est un multiple (réel) de w (c'est-à-dire, si on veut, que xi′−xi = i·(x1′−x1) pour 0≤i≤24, et t′−t = 70·(x1′−x1)). La norme-carrée d'un élément de U est simplement donnée par sa norme-carrée lorentzienne x0² + ⋯ + x24² − t². Ce U est simplement un espace euclidien de dimension 24 (pour la norme que je viens de définir : ce n'est pas difficile de voir qu'elle est positive définie), et on peut se demander pourquoi j'ai fait tout ce boulot juste pour définir un espace euclidien qu'on pourrait identifier à ℝ24 pour sa norme euclidienne usuelle (il n'y a qu'un espace euclidien de chaque dimension).

Voici la raison : considérons maintenant l'ensemble (généralement noté II25,1, une notation indiciblement pourrie) des (x0,…,x24|t) tels que (A) toutes les coordonnées (xi et t) sont entières ou bien toutes sont entières-et-demi (c'est-à-dire un entier plus ½), et (B) la somme x0+⋯+x24+t de toutes les coordonnées est paire. C'est notamment le cas du vecteur w := (0,1,2,…,24|70) que j'ai introduit. Faisons exactement comme ci-dessus avec les contraintes (A)&(B) d'intégralité que je viens d'introduire : appelons Λ l'ensemble des vecteurs vérifiant (A)&(B) (i.e., appartenant à II25,1) orthogonaux à w modulo les multiples (forcément entiers) de w.

[#] Re terminologie : il y a toujours un doute, quand on parle de la norme, dans un contexte quadratique, comme ça, pour savoir si c'est la forme quadratique elle-même ou sa racine carrée ; c'est vraiment pénible, parce que les deux valeurs sont plus ou moins naturelles selon le contexte. Quelqu'un devrait inventer deux termes qui lèvent totalement l'ambiguïté. Faute de mieux, j'écris norme-carrée, mais je ne suis pas content de ce terme, parce que dans ce contexte, la norme-carrée peut évidemment être négative (c'est plutôt la norme-sans-carré qui est la/une racine carrée de la norme-carrée que la norme-carrée qui le carré de la norme-sans-carré…).

Je répète, donc : Λ est l'ensemble des 26-uplets (x0,…,x24|t) de réels qui (A) sont tous entiers ou tous entiers-et-demi, (B) dont la somme est paire, et qui de plus sont orthogonaux à w au sens où x1 + 2x2 + ⋯ + 24x24 − 70t = 0, et où on identifie ceux qui diffèrent par un multiple (forcément entier) de w ; et la norme-carrée d'un tel élément est donnée par x0² + ⋯ + x24² − t² (et elle est forcément positive, et n'est nulle que si le vecteur est nul [c'est-à-dire représenté par un multiple de w]). À titre d'exemple, (2,0,0,…,0|0) est un vecteur de Λ (de norme-carrée 4) puisqu'il vérifie (A)&(B) et que son produit scalaire lorentzien avec w est nul ; c'est le même élément de Λ que (2,1,2,3,4,…,24|70) ou que (2,2,4,6,8,…,48|140) (puisque ceux-ci diffèrent par des multiples de w).

Eh bien ce Λ est le réseau de Leech.

Ce que je veux dire par est, c'est qu'on peut identifier les points du Λ que je viens de définir avec ceux du réseau de Leech que j'ai défini dans cette entrée de façon compatible à l'addition et à la norme (à un facteur multiplicatif près, qui doit être √8) : la disposition des points de Λ dans l'espace euclidien U défini ci-dessus est celle du réseau de Leech (et réalise, par exemple, l'empilement optimal des sphères d'une certaine taille).

(J'avoue que je n'ai pas d'isomorphisme explicite sous la main entre les deux réseaux. Je ne suis même pas sûr de savoir lister les 196 560 points de norme-carrée 4.)

Bon, tout ça peut toujours ressembler à une sorte de coïncidence superficielle. Mais ce n'est pas que ça : cette description du réseau de Leech via le réseau minkowskien II25,1 et le vecteur w particulier donné par la solution du problème des boulets de canon 0² + 1² + ⋯ + 24² = 70² est au cœur de l'explication uniforme par Borcherds des 23 constructions du réseau de Leech trouvées par Conway et Sloane (cf. ce que je racontais dans l'entrée sur Leech au sujet des « réseaux de Niemeier »).

*

Bon, alors, pour résumer ce que j'ai dit dans la première partie, il y a « un rapport » entre :

  • l'identité numérique 0² + 1² + ⋯ + 24² = 70², qui est en gros la seule de son type, et
  • l'existence d'un réseau remarquable en 24 dimensions appelé le réseau de Leech (et qui réalise, notamment, la façon optimale d'empiler les sphères en cette dimension).

« Un rapport » étant au moins compris dans le sens que l'existence de cette identité permet commodément de construire le réseau. (Si vous n'avez pas été convaincus par le côté naturel de la construction que j'ai donnée, essayez de me croire : c'est vraiment quelque chose d'assez naturel à faire que de considérer ⟨w/⟨w⟩, et l'autre ingrédient de la construction, le réseau minkowskien II25,1 qui, lui, n'a rien d'« exceptionnel » parce qu'il fait partie de la famille tout à fait évidente IIk, lorsque k est multiple de 8, est aussi un objet vraiment standard.)

Maintenant, la question que je veux illustrer avec ça, c'est : y a-t-il une notion de causalité en mathématiques ? et si oui, comment peut-on l'approcher, au moins informellement ? Peut-on dire que c'est « à cause » de l'égalité 0² + 1² + ⋯ + 24² = 70² que le réseau de Leech existe ? Ou au contraire, que c'est « à cause » du réseau de Leech que cette égalité est vraie ?

C'est quelque chose de très bizarre. La causalité (A cause B) normalement s'imagine en faisant l'expérience de pensée si A ne se produisait pas, alors B ne se produirait pas non plus (i.e., dans un monde parallèle où A n'a pas lieu, B n'a pas lieu non plus), et ça, en mathématiques, ce n'est pas possible : les mathématiques sont comme elles sont, il est vraiment difficile d'imaginer des mathématiques différentes (enfin, on peut toujours jouer à essayer, mais à part jouer avec les axiomes ce qui n'est pas du tout le point ici, ou à part trouver des analogies et des situations parallèles, ça ne marche pas vraiment). Pourtant, il y a des situations où on a vraiment l'impression qu'un phénomène mathématique en « explique » un autre, ou même qu'on a envie de dire qu'il le « cause ».

Pour prendre un exemple simple, prenez une calculatrice et calculez (1+√2)n pour des n de plus en plus grands : on obtient des nombres de plus en plus proches d'un entier (et qui sont alternativement juste un peu en-dessous d'un entier et juste un peu au-dessus) : l'« explication » est que (1+√2)n + (1−√2)n, lui, est exactement un entier (comme on le voit en développant), si bien que (1+√2)n est égal à un entier moins (1−√2)n, et que 1−√2 vaut approximativement −0.4, donc il est négatif et surtout, plus petit que 1 en valeur absolue (donc (1−√2)n est alternativement positif et négatif, et tend vers 0). En disant ça, j'ai démontré le phénomène observé, mais on est tenté de dire que je ne l'ai pas seulement démontré, je l'ai aussi expliqué ; et on a tendance à dire que c'est à cause du fait que |1−√2|<1 que (1+√2)n devient proche d'un entier pour n grand.

Un autre exemple classique (que j'ai peine à croire que je n'ai jamais mentionné sur ce blog !) est le fait que exp(π·√163) est presque un entier (il vaut 262 537 412 640 768 743.999 999 999 999 25…, très proche de 640 320³ + 744), ce qui s'« explique » par le fait que la valeur de l'invariant modulaire j (peu importe ce que c'est exactement) en τ = (1+√−163)/2 vaut exactement −640 320³, ce qui s'« explique » à son tour par des raisons de théorie des nombres, et que j(τ) admet un développement qui commence par 1/q + 744 + 196 884·q + ⋯ (dont les coefficients ne croissent pas trop vite) où q = exp(2iπ·τ), si bien que pour τ = (1+√−163)/2, la quantité 1/q = −exp(π·√163) vaut −640 320³ − 744 − 196 884·q − ⋯ est très proche de la somme des deux premiers termes. Ce qui est intéressant, là, c'est qu'un logiciel de calcul numérique quelconque, si on fait attention aux précisions des développements, peut démontrer que exp(π·√163) est proche d'un entier, simplement en calculant sa valeur ; mais on a cette démonstration n'est pas « explicative » : on constate que c'est le cas, mais on n'a pas de « raison », alors qu'en faisant intervenir l'invariant modulaire, on a une explication de pourquoi 163 a cette propriété.

Et cette notion de causalité en mathématiques, bien que problématique à cerner, est non seulement utile mais même prédictive : c'est en observant des traces de pas qu'on peut parfois dire qu'une licorne ou un éléphant blanc est passé par là et a causé les traces de pas. Un des signes qui a permis de détecter le groupe Monstre (que je range dans la catégorie « éléphant blanc ») était le calcul de sa table de caractères (peu importe ce que c'est exactement) : une table des caractères doit vérifier énormément de relations, et le fait que ces relations « marchent » était le signe qu'il y avait quelque chose qui les « causait », l'explication la plus naturelle étant, justement, l'existence d'un tel groupe.

Mais en même temps, ça semble complètement impossible, et futile d'essayer, de distinguer clairement une notion de « démonstration explicative » d'une notion de « démonstration non-explicative ». (Conway et Sloane ont montré par des calculs explicites que chacun des 23 réseaux de Niemeier permettait de construire le réseau de Leech, Borcherds a fourni une démonstration uniforme à base de (0,1,2,…,24|70), on considère cette dernière comme plus explicative, mais ce n'est vraiment pas clair ce que ça veut dire au juste.)

Bon, mes méditations tournent un peu en rond donc je vais mettre un terme à cette entrée, mais pour moi, c'est un des mystères des mathématiques : il y a toute une série d'objets exceptionnels qui sont reliés les uns aux autres parfois de façon très surprenante, on a envie de croire qu'ils se « causent » les uns les autres, qu'ils sont là pour une raison, d'autant que la manière dont ils apparaissent fait l'effet psychologique d'une mécanique bien huilée, mais on est obligé de se rappeler que tout ça ne veut pas dire grand-chose, les mathématiques sont comme elles sont, c'est tout.

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(vendredi)

Ruxor passe le permis, lancement de la saison 2 : le permis moto

Vous avez été nombreux à aimer la série Ruxor passe le permis de conduire diffusée en deux parties sur ce blog : (A) L'épreuve théorique générale (entre août 2016 et juillet 2017, incluant des rebondissements comme difficultés administratives imprévues et le mystère de l'origine des questions) et (B) Les leçons de conduite qui durent, qui durent, qui durent (entre août 2017 et février 2018 ; comme cette deuxième partie comptait trop d'épisodes, elle a été coupée au montage). Il y a même eu un spinoff, Le poussinet s'achète une tuture (qui se fait prestement emboutir), mais celui-ci n'a pas eu le succès de la série d'origine.

Les producteurs ont donc décidé de revenir aux fondamentaux avec une deuxième saison de la série Ruxor passe le permis de conduire, intitulée Le permis A2 (ou permis moto).

Bref, je me suis inscrit pour passer le permis moto — et au moment où j'écris j'ai fait 3 séances de 3h de formation.

Hein, quoi ? Mais pourquoi ?

Comme plusieurs personnes ont réagi comme ça, je suppose que c'est une réaction naturelle, mais je suis tenté de demander pourquoi pourquoi ? ? en retour. Je veux dire, je comprends qu'on puisse s'étonner de (l'intérêt de) l'existence même des motos (qui sont vraiment beaucoup plus dangereuses que les voitures, et plus inconfortables de surcroît, pour une consommation à peine plus basse au kilomètre, et dont le seul intérêt semble être de passer les embouteillages), et je ne compte pas essayer de répondre à ça, mais la question semblait plutôt porter sur moi spécifiquement. Par exemple parce que j'ai beaucoup d'aversion au risque, ou bien parce que j'ai galéré pour obtenir le permis voiture et que la conduite d'une moto est certainement plus difficile que celle d'une voiture : je vais revenir sur ces points. Mais je soupçonne aussi que l'expression d'étonnement traduit surtout juste une préconception à mon sujet, à quoi je ne vois pas quoi répondre à part désolé si je ne me colle pas aux préjugés que vous avez sur moi. ☺

Ceci étant, la question n'est pas infondée, et je peux essayer d'y répondre, même si la réponse ne sera pas forcément meilleure que pas vraiment de raison à part que j'en ai envie.

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(jeudi)

Les trois magiciens du nombre 24 : le code de Golay, le réseau de Leech et le module de Moonshine

S'il y a un nombre magique en mathématiques, c'est bien 24. (Je pense que Douglas Adams a juste inversé les chiffres.) Le nombre 8 vient presque à égalité, et 12, peut-être 6 et 16 ont aussi quelques propriétés magiques (qui, globalement, sont toujours liées à celles de 24), mais celui qui est vraiment farabuleux (pardonnez le néologisme), c'est 24.

Je voudrais dans cette entrée essayer de témoigner de la magie de 24 en définissant deux et en évoquant le troisième de trois objets exceptionnels qui font que 24 est si spécial. On pourrait aussi les appeler les trois générations de « magiciens » qui tirent leur pouvoir magique du nombre 24. Ces objets sont : le code de Golay binaire (première génération), le réseau de Leech (deuxième génération), et le module de Moonshine (troisième génération). Mon but est donc d'en parler un peu, en définissant proprement les deux premières générations, en essayant que ce que je dis sur la première soit accessible à un très large public, et en disant quelques mots de la troisième. Ou du moins, mon but était tout ça, parce que je me suis pas mal embourbé et je ne suis pas du tout content de ce que j'ai écrit : je donne certes une définition du code de Golay binaire et du réseau de Leech, mais je crois ne pas avoir du tout réussi à passer l'idée de pourquoi ils sont intéressants au fond. Et comme souvent, je crois que je me retrouve à présupposer de mon lecteur un niveau de connaissances mathématiques préalables qui varie de façon assez incohérente d'un endroit à l'autre (au début je m'efforce vraiment de ne rien supposer, et à la fin, il sera certainement nécessaire d'avoir au moins une intuition de ce qu'est un groupe). Néanmoins, maintenant que tout ça est écrit, je ne vais pas ne pas le publier, donc prenez-le pour ce que ça vaut.

Comme par ailleurs, le nombre 8 est aussi magique (quoiqu'un peu moins que 24), je peux aussi parler de deux des trois[#] générations de magiciens qui tirent leur pouvoir magique de celui-ci : le code de Hamming de longueur 8 et le réseau E₈, parce qu'ils sont utiles pour approcher leurs analogues du nombre 24.

[#] Je crois que le troisième qui complète la série serait l'algèbre d'opérateurs de sommets dont Griess parle dans son article A vertex operator algebra related to E₈ with automorphism group O⁺(10,2), mais je ne comprends décidément pas bien tout ça.

Bref, le tableau à garder en tête (juste pour le plan : je vais expliquer ce que tout ça veut dire) est quelque chose comme :

Nombre magique1re génération2e génération3e génération
24Code de Golay binaireRéseau de LeechModule de Moonshine
8Code de Hamming de longueur 8Réseau E₈[Voir note #]

Le terme de génération évoque l'idée que les objets de la deuxième génération se définissent en termes de ceux de la première, et ceux de la troisième en termes de ceux de la deuxième, et qui plus est, il y a une certaine similarité entre la manière dont ces objets s'enfantent les uns les autres (je ne prétends pas que c'est rigoureusement la même, ni entre les colonnes, ni entre les lignes : notemment, il n'y a pas de « foncteur » dans l'affaire, juste une certaine analogie).

Je vais aussi évoquer, à chaque fois, les groupes de symétrie de ces différents objets, qui ressembleront à la numérologie suivante (là aussi, je dois expliquer ce que sont ces machins, mais à chaque fois, je donne le nom du groupe de symétrie et son ordre, c'est-à-dire le nombre de symétries) :

Nombre magique1re génération2e génération3e génération
24
M24
244 823 040
Co₀
8 315 553 613 086 720 000
Monstre (F₁)
808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000
8
C₂³⋊PSL(3,2)
1 344
W(E₈)
696 729 600
O(10,2,+) [???]
46 998 591 897 600

Plan de la suite :

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(dimanche)

Sur l'éclectisme (et sur ce blog)

Le mot éclectique vient du verbe grec ἐκλέγω (ἐκ+λέγω) dont le sens est quelque chose comme choisir parmi (extraire de, prendre en-dehors) : on remarquera que le mot élire vient du latin eligo (ex+lego) qui est le calque du mot grec en question. (J'ai toujours été fasciné de découvrir des parallèles comme ça, depuis que j'avais cru comprendre, quand j'étais petit, que atome et insecte, signifiaient tous les deux indécoupable : en fait, s'agissant du second, c'est une erreur, insecte signifie au contraire plutôt divisé en morceaux, segmenté, mais si ce n'était vrai, c'était au moins bien trouvé. Cf. aussi ce que je racontais ici au sujet du fait que composition, en grec, se dit synthèse. Zut, je veux parler d'éclectisme, et je suis déjà en train de digresser sur tout et n'importe quoi. 😉)

En fait, je considère que l'éclectisme est une de mes principales caractéristiques, mais je ne sais pas si j'utilise ce mot correctement. Le TLF définit le mot comme suit (j'abrège un peu) :

A. (Philos.) Méthode intellectuelle consistant à emprunter à différents systèmes pour retenir ce qui paraît le plus vraisemblable et le plus positif dans chacun, et à fondre en un nouveau système cohérent les éléments ainsi empruntés.

B. (P. anal.) Attitude, disposition d'esprit portant à choisir sans exclusive parmi des catégories de choses ou de personnes très diverses ; qualité d'un ensemble de choses révélant cette disposition.

Je l'utilise par extension dans un sens qui doit être quelque chose comme : Attitude, disposition d'esprit consistant à s'intéresser à tout et à n'importe quoi, sans souci particulier de cohérence. Mais du coup, qui prend tout et n'importe quoi, cela commence à devenir un auto-antonyme par rapport au sens étymologique qui était qui prend le meilleur : la célèbre phrase biblique il y a beaucoup d'appelés, mais peu d'élus (Matthieu 22:14) est, dans l'original, πολλοὶ γάρ εἰσιν κλητοὶ ὀλίγοι δὲ ἐκλεκτοί (littéralement quelque chose comme beaucoup en-effet sont appelés peu-nombreux cependant élus, ἐκλεκτός étant un pseudo-participe passé, je ne sais pas comment les grammairiens appellent ça, du verbe ἐκλέγω), le sens est clairement que Dieu prend les heureux élus, pas tout et n'importe qu(o)i. Dieu est éclectique dans le sens original, pas dans le mien.

Enfin bref.

Je m'intéresse à tout et n'importe quoi. Mais là aussi les mots sont trompeurs : tout et n'importe quoi, en français, ça veut vraiment dire un peu de tout, sans logique particulière, pas tout. Je ne m'intéresse pas à tout (personne ne s'intéresse à tout), il y a évidemment plein de choses qui ne m'intéressent pas spécialement (parmi les choses qui semblent motiver beaucoup de gens : les voyages, le sport professionnel, le dessin, les voitures/avions/bateaux, la cuisine quand il s'agit de la faire au lieu de la manger, le vin et les autres alcools… ; parmi les choses qui semblent motiver les geeks : les jeux vidéos, les séries télé, les romans de SF ou heroic fantasy en 42 volumes de 1729 pages, etc.). Après, les choses méritent une certaine nuance, parce que parfois, même si je ne m'intéresse pas à quelque chose, je peux m'intéresser au fait que des gens s'y intéressent (la religion, par exemple), et les limites ne sont pas toujours claires, et puis il y a des exceptions (il y a des jeux vidéos que j'ai aimés, des séries télé que j'ai aimés, etc.) ; il y a des choses qui m'intéressent mais pas pour en parler (le sexe ?), des choses qui m'intéressent pour en parler mais pas pour en faire (la politique ?) ; il y a évidemment plein de choses où il m'intéresse d'écouter quelqu'un parler mais où je n'ai personnellement rien d'intéressant à dire (la musique ?). Bref, le découpage du monde en zones d'intérêts et de non-intérêts est plus complexe qu'un découpage binaire. Mais ce qui est sûr, c'est qu'il n'est pas particulièrement cohérent, en ce qui me concerne, et je n'ai pas un petit nombre bien délimité de centres d'intérêts.

Je crois quand même avoir au moins une qualité, c'est que j'arrive à trouver un centre d'intérêt commun avec à peu près n'importe qui, et je suis prêt à faire des efforts pour m'intéresser à quelque chose qui ne me passionne pas a priori si ça promet une conversation fructueuse. Comme je le remarque ci-dessus, même si je ne m'intéresse pas à X, en fait, écouter quelqu'un parler de X et m'intéresser à son intérêt pour X est souvent possible : je peux souvent embrayer en lui demandant comment il en est venu à cet intérêt, combien il y passe de temps, ce genre de choses — les gens, en fait, sont toujours intéressants quand ils sont eux-mêmes intéressés.

Tout ça pour dire que je parle de beaucoup de choses sur ce blog, qu'il s'agisse de choses dont je suis « spécialiste »[#] (les maths, dans une certaine mesure l'informatique et peut-être la physique), de choses sur lesquelles j'ai acquis un petite expertise à force de m'y plonger (quelques aspects de la linguistique), des choses sur lesquelles je vient ponctuellement de me documenter assez précisément, de choses sur lesquelles je n'ai pas de connaissance particulière mais j'espère apporter un point de vue un petit peu nouveau ou différent (la philo, le droit, la politique), des points précis sur lesquels je veux émettre un avis, ou de choses sur lesquelles j'ai simplement envie de parler (ma vie, les films que je vois, les livres que je lis, les fragments littéraires que j'écris). Là aussi, les frontières entre ces domaines sont floues.

[#] Je n'aime pas ce terme, en fait, spécialiste, ou alors je ne me considère comme spécialiste de rien. (J'adore la phrase suivante de Heinlein : A human being should be able to change a diaper, plan an invasion, butcher a hog, conn a ship, design a building, write a sonnet, balance accounts, build a wall, set a bone, comfort the dying, take orders, give orders, cooperate, act alone, solve equations, analyze a new problem, pitch manure, program a computer, cook a tasty meal, fight efficiently, die gallantly. Specialization is for insects. Je ne suis probablement pas un être humain compétent selon cette liste d'exigences, mais j'espère au moins ne pas être un insecte.) Je ne sais plus où, j'avais lu André Weil expliquer qu'il s'était donné pour but, en mathématiques, d'en savoir sur tout domaine un peu moins que le spécialiste mais un peu plus que le non-spécialiste (et qu'il avait « évidemment » échoué), mais j'aime bien cet état d'esprit.

Et justement, il y a une chose que je veux souligner : mes centres d'intérêts sont peut-être nombreux et difficiles à cerner, mais ils sont connexes au sens où je pense qu'il est impossible de les séparer en deux domaines généraux sans qu'il y ait plein de sujets qui prennent un malin plaisir à se rattacher aux deux.

Et c'est notamment pour expliquer ça que j'écris cette entrée. « On » m'a plusieurs fois demandé : pourquoi ne sépares-tu pas ce blog entre un blog mathématique et un blog non-mathématique ? On, dans l'histoire, n'est pas du tout intéressé par les maths mais intéressé par le reste ; mais je conçois que pour d'autres valeurs de on, ce serait le contraire : j'imagine qu'il y a plein de mes lecteurs qui n'ont absolument rien à b****er des histoires des jardins que je visite en Île-de-France ou de quand je parle de linguistique ou de mes délires philosophiques, et ça ne me vexe pas du tout, c'est normal, j'ai moi-même plein d'amis aux goûts tout aussi éclectiques que les miens, et évidemment ils ne sont jamais identiques aux miens, donc certaines des choses qui les passionnent m'emmerdent plus ou moins.

Mais ce que je prétends, c'est qu'un tel découpage est impossible à faire. Je peux imaginer que chacun de mes lecteurs aurait envie que je fasse un découpage de ce blog en les bouts qui l'intéressent et les bouts qui ne l'intéressent pas, mais il y aurait autant de découpages que de lecteurs. Moi, je perçois une profonde unité entre toutes les choses que l'on peut savoir (et peut-être même quelques autres), et une profonde unité au sein de ce qui m'intéresse.

Concrètement, si je faisais un blog de maths et un blog de non-maths, où est-ce que ça laisserait la physique, par exemple ? Si je fais un blog scientifique et un blog non-scientifique, l'informatique serait coupée en deux entre sa partie science et sa partie technique (d'ailleurs, je pense que on ne s'intéresse pas trop à cette dernière). Quand je parle de la différence entre ‘A’, ‘Α’ et ‘А’ dans les systèmes d'écriture en général et dans Unicode en particulier est-ce que ça rentre dans la partie science et techniques ? Et la linguistique, est-ce que je range ça dans les sciences ? Et quand je parle de vulgarisation mathématique, est-ce que c'est encore des maths ? D'enseignement des mathématiques ? Quand j'écris des fragments littéraires qui s'appuient sur les maths ? Quand je décris mon propre ressenti personnel devant tel ou tel aspect des maths (la symétrie, les ordinaux…) ?

Je suppose que la plupart des mathématiciens sont, à différents degrés, comme moi, c'est-à-dire qu'ils tendent à voir l'ensemble du monde à travers le prisme des mathématiques (ne serait-ce que pour des choses idiotes : par exemple, dès que des types ou catégories — j'emploie ici ces mots au sens courant, pas au sens mathématique — s'intersectent, commencer à penser leur diagramme de Venn, se demander ce qu'il y a dans chaque case ou combinaison booléenne ; ou encore, veiller scrupuleusement à comprendre les modalités et l'ordre des quantifications dans n'importe quel énoncé). Donc à la limite, ma pensée est complètement impossible à séparer des mathématiques : je suis incapable de penser autrement que comme ça. S'il y a des gens pour s'imaginer que ça me rend incapable d'apprécier la poésie ou la musique, de faire preuve d'empathie ou de discernement psychologique, ou encore de comprendre que le monde n'est pas toujours logique, je ne sais pas bien quoi répondre à part que c'est idiot (par contre, m'intéresser aux mécanismes qui font que les gens pensent ça, c'est fascinant ☺). Mais c'est pour dire que tout ce que je raconte a toujours un certain lien, à un certain niveau, avec les maths, simplement parce que c'est comme ça que je pense : par exemple, quand je dis que mes centres d'intérêts sont connexes, je pense vraiment à la définition d'un espace topologique connexe en mathématiques (qu'on ne peut pas partitionner en deux ouverts).

J'ai essayé d'introduire des catégories pour les entrées dans ce blog, mais c'est un peu un échec (il y a plein de choses qui rentrent mal dans les catégories, et la catégorie maths est trop énorme, je devrais la subdiviser mais je ne sais pas bien comment m'y prendre concrètement). Cela fait partie, aussi, de ma façon de penser, que j'aime bien faire des typologies et des classifications, mais qu'en même temps j'ai du mal parce qu'à chaque fois que je le fais je me rends compte que toutes les frontières sont floues et que tout est à cheval sur tout (ce n'est pas de ma faute, évidemment, le monde est comme ça).

Bref, pour mes lecteurs qui s'intéressent à certaines des choses que je raconte mais pas à toutes, et de loin, je peux simplement dire que c'est normal, je conçois difficilement qu'il en soit autrement, je suis conscient du « problème », j'en suis navré, mais je pense qu'il est structuralement insoluble. (Par contre, ça ne sert vraiment à rien de poster un commentaire sur une entrée pour dire tout ça n'avait aucun intérêt comme il m'arrive — rarement — d'en recevoir.)

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(mardi)

Typologie des risques de l'Internet des Objets

L'Internet des Objets, ou en anglais Internet of Things (IoT), désigne l'ensemble des objets parfois qualifiés d'intelligents (et qui, fort logiquement, brillent souvent par leur stupidité) ou de connectés : de la smartwatch à la voiture autonome en passant par l'assistant électronique et la maison dont on peut contrôler les alarmes à distance, c'est une nébuleuse d'objets censément intelligents et qui deviennent vite un champ de mines pour la sécurité informatique.

Il n'aura pas échappé aux lecteurs réguliers de ce blog que je me méfie — et c'est un euphémisme — de l'Internet des Objets. Je ne vais pas essayer de développer longuement tous les problèmes qu'il peut poser (pour une approche humoristique, voir l'excellent compte Twitter Internet of Shit (@internetofshit) ; voir aussi cette entrée passée et les commentaires dessus). Mais il est utile d'essayer de faire une petite typologie des problèmes qui se posent, parce qu'il ne faut pas tous les confondre. Je distingue trois grands domaines de problèmes, que je divise ensuite en sous-problèmes :

  • La sécurité informatique épouvantablement pourrie.

    Ceci résulte d'une combinaison de facteurs. Les programmeurs sont généralement mauvais et mal formés, le public n'est pas conscient du problème et/ou ne juge pas les objets sur leur sécurité si bien que le constructeur n'a que très peu d'intérêt économique à améliorer la situation, et il est légalement difficile de le faire tenir pour responsable des problèmes qui peuvent survenir (quand un pont s'effondre, on peut au moins s'attendre à ce qu'un architecte ou un ingénieur, quelque part, perde son travail — en informatique, la culture de la responsabilité n'existe pas) ; et au niveau des mises à jour de sécurité : leur validation est problématique et peut être elle-même source de trous de sécurité, le public les voit comme un emmerdement (apportant parfois des bugs et rarement des fonctionnalités utiles à ses yeux), la pratique du logiciel propriétaire empêche qui que ce soit d'autre que le constructeur de faire des mises à jour (et donc qui que ce soit si le constructeur fait faillite), et les systèmes embarqués compliquent encore la chose.

    Bref, un terreau fertile pour les pires problèmes : on doit malheureusement considérer que quasiment tout objet connecté à Internet peut être contrôlé à distance par des personnes malveillantes. Je vois deux principales sortes de problèmes avec les objets ainsi piratables :

    • L'objet (contrôlé en masse, sous forme de botnet de millions d'objets identiques) peut servir comme point de relais pour monter d'autres attaques, pas spécialement liées à l'Internet des Objets : typiquement des attaques déni de service distribué (DDoS) sur des services Internet cruciaux, l'Internet des Objets fournissant la bande passante de l'attaque. (Explication pour Madame Michu : imaginez par exemple que votre frigo connecté, comme cent millions d'autres dans le monde, contrôlés par un même pirate, se mette à saturer un site Web en le submergeant de requêtes, et le rende ainsi inutilisable.)

      Pour moi, ce risque-là est le plus sérieux et le plus problématique ; je n'écarte pas la possibilité que, par ce mécanisme, l'Internet des Objets mette en péril la civilisation (par exemple en cas d'attaques contre le réseau électrique). Et c'est entre autres à cause du fait que le grand public n'a aucune conscience de cette catégorie de risques (ou, même s'il en a conscience, s'en moque ; c'est un peu comme la pollution : même si on est conscient que la voiture pollue et contribue à un changement climatique mettant possiblement en danger la survie même de l'humanité, on n'est pas prêt à renoncer au confort qu'elle apporte). Les pirates qui constituent des botnets sont assez malins pour faire en sorte que leur action soit aussi transparente que possible pour le propriétaire de l'objet qu'ils piratent.

    • L'objet peut servir pour monter une attaque directe contre son propriétaire, sa vie privée ou son environnement : pensez à une télé qui peut vous filmer (parce que, évidemment, elle a une caméra, on ne sait pas trop pourquoi).

      Comme cas un peu hybride entre cet item et le précédent, je pense à la possibilité d'une attaque terroriste par les voitures autonomes : le jour où il y aura des centaines de milliers de voitures autonomes sur les routes et où quelqu'un les reprogrammera pour, à partir du même moment, chercher à heurter les passants au lieu de chercher à les éviter et qu'on aura des centaines de milliers de fois l'attentat de Nice simultanément, peut-être qu'on prendra ce problème au sérieux — mais ce serait bien si on pouvait le prendre au sérieux avant.

      Indépendamment de la possibilité d'une attaque de grande ampleur, je ne comprends pas qu'on envisage sérieusement d'autoriser les voitures autonomes (l'argument statistique selon lequel elles causent moins d'accidents que les conducteurs humains est valable et sérieux quand on l'applique aux bugs qui se produisent aléatoirement, mais il ne vaut rien quand on l'applique aux possibilités de piratage qui sont des grandes déviations non étudiables statistiquement).

  • Les pannes logicielles diverses ne se rapportant pas à la sécurité.

    Autrement dit, des objets tout le temps en panne pour des raisons stupides, si bien qu'on se retrouve à avoir des problèmes logiciels sur des objets (voitures, frigos, ampoules(!)) qui auparavant ne connaissaient aucun concept de logiciel. On peut subdiviser en deux sortes de problèmes :

    • les objets momentanément indisponibles pour une raison idiote, les plus fréquentes étant un problème Internet (exemple aléatoire) ou une mise à jour logicielle (veuillez ne pas tenter d'éteindre votre ampoule, une mise à jour est en cours(!!!), je ne plaisante pas ; l'ironie est qu'il s'agit précisément du genre de problèmes qui donnent une mauvaise image aux mises à jour de sécurité et encouragent les utilisateurs à chercher à les éviter, aggravant d'autant le problème du grand point précédent),
    • les objets définitivement cassés (bricked : pétrifiés ?) parce que, par exemple, une mise à jour a échoué, un bug ridicule empêche de s'en servir, parce qu'ils ont subi une attaque (soit ayant pour but délibéré de casser soit ayant mal fonctionné), ou parce que le constructeur a fait faillite et arrêté de faire tourner un service vital (voir plus bas sur l'obsolescence logicielle).

    C'est ce type de problèmes que le compte Twitter @internetofshit signale le plus souvent. À un certain niveau on peut dire tant pis pour les gens qui choisissent d'acheter de telles merdes, mais dans certains domaines devient de plus en plus difficile d'acheter des objets qui ne soient pas des merdes connectées.

  • Le fait que le constructeur conserve un pouvoir à distance sur l'objet, dont on n'est donc jamais vraiment propriétaire.

    (Disons qu'il s'agit là de tous les problèmes qui n'ont pas trait aux bugs ou aux problèmes de sécurité mais à la malice ou à l'incurie générale du constructeur.)

    Il s'agit là d'un problème d'érosion du droit de propriété et du droit à la vie privée. Je vois un certain nombre d'exemples, que je ne sais pas très bien organiser (et qui souvent débordent de l'Internet des Objets vers les questions de propriété intellectuelle) :

    • Le constructeur peut contrôler quand et comment on peut se servir de l'objet dans sa fonction primaire. Il peut limiter son usage, y compris en ajoutant des limitations plus tard dans le temps. Il peut utiliser son pouvoir pour verrouiller des marchés (par exemple ne permettre l'usage de l'objet qu'avec d'autres objets de sa gamme — mais là on s'écarte des problèmes particuliers de l'Internet des Objets).
    • Le constructeur peut utiliser son pouvoir pour limiter des droits secondaires. Par exemple, il peut empêcher qu'on prête ou revende l'objet (tuer le marché de la seconde main) en liant l'objet à un compte informatique.
    • Le constructeur peut cesser de maintenir l'objet (soit volontairement parce qu'il ne commercialise plus ce modèle, soit simplement parce qu'il fait faillite) et le rendre ainsi inutilisable parce que l'objet a besoin d'accéder à un service en ligne chez ce constructeur. (À titre d'exemple, beaucoup de liseuses électroniques cesseront de fonctionner le jour où leur constructeur fera faillite. Ce fait n'est généralement pas clair pour qui les achète.) Il s'agit donc d'une forme d'obsolescence programmée (je n'aime pas trop insister sur l'obsolescence programmée, qui est réelle mais touche parfois à la théorie du complot chez ceux qui veulent la voir partout et à tout propos — mais dans le cas de l'Internet des Objets, c'est une évidence).
    • Le constructeur peut obtenir des informations personnelles sur l'utilisateur ou ses habitudes, et les monétariser ou même s'en servir pour espionner. Ici, on rejoint mon premier point, mais avec le constructeur lui-même à la place d'un pirate. (Dans les petites anecdotes, on peut mentionner le gode vibrant qui vous espionne.)

Je ne sais pas si ma typologie est très bonne. Si vous avez une meilleure classification à proposer, n'hésitez pas. Il y a aussi sans doute toutes sortes de grandes catégories de problèmes que je n'ai pas évoquées : par exemple, le genre de choses qu'on pourrait espérer que l'Internet des Objets permît (du genre, pouvoir programmer soi-même n'importe quel objet connecté de façon Turing-complète et l'interfacer avec n'importe quel autre objet connecté), mais qu'il ne permet pas parce que les interfaces sont propriétaires et limitées (et parce que la possibilité de faire n'importe quoi ou de tout interfacer avec tout est souvent antagoniste de la sécurité).

Je suis pessimiste quant à l'avenir. Le grand public semble avoir un tout petit peu conscience des problèmes touchant à la vie privée, mais presque aucune des problèmes liés à la sécurité, et même les quelques problèmes dont il a conscience, il est généralement prêt à les ignorer complètement en échange de la promesse de n'importe quelle fonctionnalité luisante. Je n'ai même pas réussi à persuader mes propres parents de ne pas donner le mot de passe du wifi à leur télé[#]. C'est déprimant.

Ajout () :

On me signale que la RTBF a publié sur son site Web () une sorte de réponse à ce billet. Il aurait été sympa de leur part de me contacter avant, au moins pour me le dire, et peut-être pour me demander si je voulais être signalé autrement que comme un internaute, ce qui donne l'impression que je suis moins qualifié que le spécialiste, […] directeur technique chez […] une entreprise spécialisée dans la sécurité informatique qu'ils ont appelé pour me donner réponse, alors que, bon, si on veut jouer des titres, je suis maître de conférence chez une grande école spécialisée dans le monde numérique. Passons.

Disons surtout que c'est un peu dommage d'attirer l'attention sur ce billet qui ne prétendait être qu'une typologie (quels types de problèmes faut-il considérer) et pas une argumentation détaillant les problèmes eux-mêmes, sur lesquels je n'ai été qu'assez allusif (en tout cas par rapport aux tartines de mots que j'écris normalement sur de blog !) ; mais c'est la loi d'Internet, et une fois que je mets quelque chose en ligne, je ne peux pas me plaindre que ça soit lu.

Sur le fond, je n'ai pas trop de désaccord majeur avec l'article de la RTBF (je suis certainement d'accord avec le fait de ne pas accuser Linux !). Je reconnais que le manque de fiabilité des objets connectés peut avoir été compensé par d'autres avancées de la technique, et que la Tesla est sans doute plus fiable qu'une 2CV : mais la plupart des progrès de la technologie (certes pas tous) sont indépendants de l'aspect connecté, donc il est légitime de demander ces progrès sans les soucis qui vont avec ce mot. Je trouve cependant assez trompeuse la comparaison avec les avions (la phrase est : Si tout ce qui est connecté peut être piraté, l'exemple de l'aéronautique devrait nous rassurer), donc il est utile que je développe ce point :

Un avion n'est pas vraiment un objet connecté (en tout cas certainement pas au sens de l'Internet des Objets) : l'Internet n'y joue un rôle que pour le confort des passagers, pas pour le pilotage ni même pour l'assistance des pilotes, et l'industrie aéronautique a appris à séparer strictement les différents niveaux de criticités (même si je me suis inquiété par le passé qu'ils ne le fassent pas forcément au niveau des câbles, ils le font au moins strictement au niveau de la commutation : il ne doit y avoir aucune interaction entre le système de pilotage et le on-flight entertainment). C'est justement largement cette bonne pratique de faire que l'avion ne soit pas un objet connecté qui a permis d'assurer la sécurité (et de certifier des choses qui seraient, sinon, impossibles à certifier).

Comme je le dis dans un commentaire de cette entrée, sans doute que notre société dans son ensemble est beaucoup moins tolérante aux morts dus à l'aviation qu'aux morts dus à l'automobile (il y a plusieurs dizaines de milliers de fois plus de morts dus à la circulation automobile et pourtant on ne relâche pas la pression sur les constructeurs d'avions). Sans doute que l'industrie de l'aviation a acquis une attitude de saine méfiance vis-à-vis du logiciel et de ses failles (et de conservatisme prudent en général) que l'industrie automobile n'a pas. Toujours est-il que les voitures actuelles sont des passoires à sécurité, les avions ne le sont pas.

On peut évidemment espérer un progrès. Mais le bon niveau de la sécurité aérienne s'est construit par une forte réticence dès les origines par rapport à toute forme de « connexion » et certainement à Internet ; et il s'est construit sous l'effet d'une constante pression de la société, des pouvoirs publics et des organismes de certification ; il sera beaucoup plus difficile de revenir sur les mauvaises habitudes prises par l'industrie automobile. Personne n'imaginerait une seule seconde qu'un avion mette à jour son logiciel de vol par Internet : apparemment, pour une voiture, c'est « normal » !

[#] Mais ça permet de regarder des émissions en replay.Certes, mais si la télé peut le faire, l'ordinateur doit pouvoir le faire aussi, et sa sécurité est peut-être un peu moins épouvantable.Mais l'écran de l'ordinateur est moins commode. — Là j'aimerais bien répondre qu'il suffit alors de mettre le contenu sur clé USB et de la connecter à la télé, mais c'est vrai que c'est assez malcommode, surtout que tout va probablement être fait pour empêcher le replay d'être sauvegardé. Ceci dit, j'aimerais bien savoir ce que fait exactement la télé en question pour aller chercher le replay automagiquement.

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(lundi)

Des vacances, et encore des jardins et châteaux (Fontainebleau et Maintenon)

Il faut peut-être que je crée une nouvelle catégorie dans ce blog pour les visites de jardins et de châteaux et pour les entrées où je m'amuse avec la fonction « panorama » de mon Android : après Vaux-le-Vicomte, Champs-sur-Marne et Villarceaux, Chantilly et Provins, nos visites périfanciliennes ont été mises en pause parce que le poussinet est allé visiter la montagne magique du côté de Crans-Montana (dans le Valais, en Suisse), où je l'ai brièvement rejoint dans un chalet (appartenant à une amie de sa grand-tante) dont la vue depuis notre chambre sur la vallée du Rhône, il faut l'admettre, portait assez loin :

[Panorama depuis Crans-Montana]

Nous avons aussi eu l'occasion de visiter Lausanne sur le chemin de mon retour à Paris :

[Panorama de Lausanne]

(Décidément, je ne me lasse pas de la géométrie escherienne que crée cette fonction panorama.)

Ensuite, mon poussinet est rentré à son tour, et nous avons visité le parc du château de Breteuil (Yvelines, Île-de-France), qui contient un certain nombre de beaux arbres, tels ce magnifique Fraxinus excelsior dont la hauteur gigantesque (qui dépassait le champ vertical de mon appareil photo quelle que fût la manière dont je le tinsse) m'a fait comprendre pourquoi les anciens scandinaves pensaient qu'Yggdrasil reliait le ciel et la terre :

[Panorama du parc du château de Breteuil]

(Ça ne se voit pas sur la photo, mais il y a une belle pente entre le point d'où la photo est prise et la base de l'arbre.)

Puis mon poussinet a de nouveau fui dans les Alpes, cette fois-ci près du col du Mont-Cenis :

[Panorama du lac du Mont-Cenis]

Il a essayé de me faire faire le tour du lac quand je suis venu le voir, mais j'ai eu le vertige alors nous avons abandonné (et sommes allés, à la place, prendre une glace en Italie en voiture). Il faut dire que je ne suis vraiment pas fait pour la montagne : quand ça monte, je fatigue, quand ça descend, mes articulations se plaignent, et quand on suit une ligne de niveau, j'ai le vertige. Mais on a quand même trouvé une promenade en forêt qui ne m'a pas trop déplu, celle que j'ai mentionnée ici, et dont les passages dégagés avaient une belle vue :

[Panorama depuis Extravache]

Puis le poussinet est de nouveau rentré sur Paris et nous avons pu reprendre nos explorations de parcs et jardins.

*

La semaine dernière, nous avons visité Fontainebleau. C'était un peu un échec : nous sommes arrivés à pour nous entendre dire qu'il était trop tard pour visiter le château ; du coup nous nous sommes rabattus sur les jardins, dont mon poussinet a vérifié sur le site web qu'ils fermaient à 19h. Mais en fait, il y a trois jardins (le jardin anglais, le jardin de Diane et le grand parterre) sans compter le parc[#] et, bien sûr, la forêt autour ; nous avons gardé le jardin anglais pour la fin sans raison particulière, et nous sommes rendus compte trop tard qu'il y avait une petite note qui disait que les jardins fermaient à 19h mais que le jardin anglais fermait une heure plus tôt. (Je déteste les horaires qui écrivent quelque chose comme fermeture à 22h, dernière entrée 30min plus tôt au lieu d'être honnête et de dire fermeture 21h30, possibilité de rester encore 30min pour ceux qui sont déjà entrés ; en l'occurrence, ils auraient dû dire que les jardins fermaient à 18h et le grand parterre une heure plus tard.) Heureusement, le parc, lui, ne fermait pas, pas plus que la forêt :

[Panorama depuis Fontainebleau]

[#] La distinction entre parc et jardin n'était pas claire pour moi, mais apparemment les gens utilisent parc pour quelque chose de moins soigné qu'un jardin et dont l'entrée est souvent moins contrôlée.

Hier, nous sommes allés au château de Maintenon (en Eure-et-Loire, un tout petit peu au-delà de l'Île-de-France). Les jardins sont petits mais c'est impressionnant à quel point ils sont manucurés :

[Panorama des jardins du château de Maintenon]

Tout autour du parterre il y avait de la sauge bleue (Salvia farinacea) qui avait un succès incroyable auprès des bourdons en tous genres, et même quelques xylocopes violets (Xylocopa violacea — bon, je ne suis pas certain de l'espèce, ils ne restaient pas longtemps au même endroit, mais au moins des abeilles charpentières), une bestiole vraiment impressionnante par sa taille.

Au fond, il y a les ruines de l'aqueduc de Maintenon qui, si ce n'était le temps ensoleillé, auraient semblé tout droit sorties d'un tableau de Caspar David Friedrich.

Enfin, hier, nous nous sommes promenés dans la forêt de Meudon, en finissant par la terrasse juste en-dessous de l'observatoire, d'où on a une très jolie vue sur Paris :

[Panorama depuis la terrasse de Meudon]

(Cliquez sur n'importe laquelle des images précédentes pour zoomer un peu. Seulement un peu parce que, de toute façon, l'optique de mon téléphone n'est pas terrible, donc ça n'aurait pas beaucoup de sens de mettre une haute résolution. A priori j'avais l'intention de faire un peu de magie HTML/CSS/JavaScript qui charge initialement l'image en basse résolution en taille doublée puis, dès que l'image devient visible, charge l'image plus grande, mais j'ai reculé d'horreur devant la difficulté d'accomplir quelque chose d'aussi simple avec les technologies Web qui comme d'habitude ont l'air de permettre de faire tout et n'importe quoi sauf la chose évidente que tout le monde va vouloir faire — donc j'ai renoncé et il faut cliquer comme au bon vieux temps du Web 0.01.)

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(jeudi)

Le corps à un élément, et autres licornes mathématiques

Les chasseurs-prouveurs se rassemblaient comme chaque soir autour de l'équation de la chaleur et se racontaient les histoires de leurs aventures. Joueur-Atlas, qui était célèbre pour avoir autrefois attrapé un groupe parfait à 8 315 553 613 086 720 000 éléments évoqua le fils de « son » groupe, dont il avait aperçu la silhouette monstrueuse, à la lumière de la lune, en train de remuer près du nombre 196 883, et qu'il espérait voir un jour capturé. Mais ce soir, c'était au tour du vieux Bâtisseur-Alternatif de prendre la parole.

— Un jour, j'ai vu un corps comme je n'en avais jamais vu auparavant.

Il désigna une figure rupestre qu'il avait exécutée il y a longtemps, à la craie sur le tableau noir du Hilbertraum : un F pas tout à fait gras finissant par un 1 plutôt bas. Et il conclut théâtralement :

— Figurez-vous que ce corps n'avait qu'un seul élément.

Certains soupiraient d'entendre Bâtisseur-Atlernatif raconter toujours la même histoire à dormir debout, mais les jeunes chasseurs-prouveurs étaient fascinés :

— Un corps à un seul élément ? Mais ce n'est pas possible, grand-père !

— Pourtant je l'ai bien vu. Et attendez, ce n'est pas le plus incroyable… il était… sous l'anneau des entiers !

Cette révélation fit place à un silence choqué de la part de ceux qui n'avaient pas encore entendu cette légende. Un corps caché sous l'anneau des entiers ! Cela semblait si impossible — et en même temps si prometteur !

Bon, trêve d'humour à 1/1728 zorkmids.

Ce que j'appelle licorne mathématique, c'est un objet mathématique dont on aimerait croire à l'existence, un objet dont on a une certaine intuition et même des indices suggérant sa présence, qui, naïvement envisagé tel quel, n'existe pas, n'est pas possible, conduit à des paradoxes et des contradictions. On peut démontrer qu'il n'existe pas, que les propriétés qu'on lui attribue sont impossibles, et pourtant, on cherche quand même un moyen de le faire exister.

Ce qui fait que les licornes sont des licornes, c'est qu'on n'a pas trouvé la bonne définition ou la bonne théorie-cadre. Chasser la licorne, c'est donc chasser la définition ou la théorie qui lui permettra d'exister et de faire disparaître les paradoxes. Cela peut sembler bizarre : si on s'imagine qu'on donne naissance à un objet mathématique en le définissant, comment peut-il y avoir des objets qu'on poursuive sans parvenir à les définir ? Pourtant, cela se produit assez souvent (et je prends même ça pour un indice — certes pas terriblement concluant — dans le sens que les mathématiques existent indépendamment de l'homme).

*

L'exemple le plus simple est sans doute celui des nombres complexes. La manière dont je vais l'évoquer prend des libertés avec l'Histoire, qu'on m'en pardonne, mais mon but n'est past de raconter l'histoire des maths mais d'expliquer le concept d'une licorne. La racine carrée de −1, donc, était une licorne : un nombre qui, multiplié par lui-même, donne −1, c'est impossible a priori. Et on a une preuve de cette impossibilité : à savoir, que x soit positif ou négatif, son carré x² = x·x est forcément positif, donc ne peut jamais valoir −1. Bref, √(−1) est une licorne. Pourtant, quelqu'un prétend avoir vu des traces de la licorne : si on fait comme si elle existait, si on oublie cette impossibilité, si on mène les calculs comme si la racine carrée des nombres négatifs avait un sens, on arrive à résoudre des équations du troisième degré qu'on ne savait pas résoudre autrement (celles qui ont trois racines). Comment expliquer que quelque chose d'impossible conduise à une conclusion heureuse ? C'est cela qui fait soupçonner que la licorne existe vraiment, et qui donne envie de la capturer.

Maintenant on ne voit plus du tout que cette histoire a été une licorne : maintenant, √(−1) est un nombre complexe, quelque chose de tellement banal qu'on en oublie trop facilement que cela a pu représenter un paradoxe, une licorne. Pourtant, pour capturer cette licorne, il a fallu faire un saut conceptuel : abandonner l'idée que les nombres soient ordonnés, c'est un saut conceptuel gigantesque (les nombres ont été faits pour être ordonnés, pourrait-on dire ; les opérations algébriques sont une sophistication ajoutée sur le concept de comparaison). Mais une fois fait le saut conceptuel, une fois définie la notion de nombre complexe, la licorne est capturée, elle perd tout son mystère, on s'aperçoit que la définition antérieure de nombre était restrictive (ce qui ne signifie pas qu'elle n'ait pas de valeur !, il n'est pas question de remplacer systématiquement les nombres réels par des nombres complexes en mathématiques ou ailleurs).

Ce qui m'intéresse dans cette histoire, c'est la démarche où d'abord on aperçoit des traces de pas qui semblent paradoxales (cette bestiole marche comme un cheval, pourtant elle semble avoir une corne !), on traque le concept, et on finit par capturer la licorne, c'est-à-dire résoudre le paradoxe, rendre possible ce qu'on avait démontré impossible, en contournant l'impossibilité par une définition élargie. La licorne se capture par la définition. C'est inhabituel par rapport à la pratique générale des mathématiques qui consiste à chasser les preuves, pas les définitions (ni les licornes).

Méta : Dans la suite, je vais évoquer quelques autres licornes. Ne sachant pas à quel niveau de vulgarisation me placer, je n'ai pas vraiment pris de décision cohérente à ce sujet, et je suppose donc de la part de mon lecteur des connaissances variables de paragraphe en paragraphe : j'espère néanmoins avoir fait en sorte qu'on puisse comprendre un petit peu l'idée générale même si on ne comprend pas tel ou tel passage. D'autre part, comme mon but était de raconter une histoire plus que d'exposer des maths, il se peut que je dise des choses un peu abusées ici ou là (j'espère quand même avoir toujours été assez vague pour qu'on ne puisse pas m'accuser d'avoir écrit un énoncé indiscutablement faux, mais si c'est le cas, je mettrai la faute sur les licornes qui m'ont poussé).

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(lundi)

La nostalgie douce-amère des petits moments de bonheur passés

Il y a certainement une place dans le merveilleusement poétique Dictionary of Obscure Sorrows pour ce dont je veux parler — en fait, il est même possible qu'il y figure déjà, ou au moins que ses proches voisins dans la gégraphie compliquée des émotions humaines soient répertoriées.

Chaque rentrée qui arrive, chaque été qui se finit, est pour moi l'occasion d'une forme particulière d'anxiété — parfois légère, diffuse, éthérée, presque clémente, mais toujours palpable. L'incertitude quant aux changements que l'année va apporter. L'inquiétude de me voir rappeler par le cycle des saisons que la roue du temps tourne inexorablement. Or l'appréhension de l'avenir m'amène à contempler le passé.

De ces minutes de contemplation, des souvenirs émergent spontanément, et avec eux une sensation douce-amère : la nostalgie de certains instants du bonheur passé. Le désir de les revivre, de replonger dans la fraîcheur sucrée de ces moments trop vite vécus et pas assez appréciés. Comme si je voulais dire à mon moi d'hier : savoure cette seconde ! prends conscience que tu es heureux — comme si j'étais jaloux de ne plus être à sa place, de ne pas être plus jeune d'un jour, d'une semaine, d'un mois, d'un an, ou d'un quart de siècle. L'image que recrée ma mémoire m'apaise en même temps qu'elle me moque. À la manière d'une carte postale que je me serais envoyée : ici il fait très beau – dommage que tu ne sois pas là – bisous de jadis – signé : toi-même. Est-ce que je ne pourrais pas profiter de nouveau de ce nectar-là, ô dieux du temps ?

Les cartes postales se mélangent, elles ne sont même pas triées. Je regrette déjà l'après-midi ensoleillée que j'ai passée avant-hier à Fontainebleau avec mon poussinet, ou une balade en montagne il y a quelques semaines que, sur le moment, je n'ai pas vraiment aimée. Mais je me revois aussi petit, visitant le zoo de Toronto en suivant les grosses traces de pattes colorées qu'ils utilisaient pour baliser les parcours. Je repense à toutes ces promenades dans la vallée de Chevreuse avec mon père (qui maintenant ne peut presque plus marcher) pendant lesquelles il tâchait de m'intéresser à la physique. Je me remémore des heures passées à l'ENS à refaire le monde avec des copains (avec lesquels j'ai souvent perdu le contact). Il me revient aussi tout ce temps passé, quand j'étais ado, à jouer à des jeux d'aventure sur ordinateur[#] ou à programmer moi-même le jeu Légendes avec mes copains Laurent et Philippe (qui habitent tous les deux loin). Et il y a le jour où mon poussinet est devenu mon poussinet ; et cet autre jour, pas longtemps après, où nous avons déjeuné dans l'enceinte presque féérique du Petit Palais et je l'ai présenté à ma maman et à une amie de longue date de mes parents (maintenant décédée).

Les souvenirs qui me reviennent ainsi sont pour la plupart ceux d'un beau temps. Peut-être que la pluie délave la mémoire alors que le soleil la fige à la manière d'une plaque photographique. Peut-être n'envoie-t-on de cartes postales que d'un ciel serein.

L'utilisation du mot nostalgie est peut-être douteuse. Mais la limite des sentiments n'est pas claire entre le regret des temps que j'ai vécus et ceux de temps qui m'ont seulement été contés, peut-être faussement, ou que j'ai complètement inventés. Même les années que j'ai vécues sont en partie fausses, car j'ai sans doute écarté de ma mémoire les jours tristes — pluvieux — ennuyeux ; et parce que les souvenirs que je garde peuvent avoir été déformés. À force, tout se confond : j'étais heureux quand je sauvais des demoiselles en détresse.

Je suppose qu'il faut considérer les souvenirs non pas comme des cartes postales mais comme des sortes d'œuvres d'arts antiques — telle celle le poète écrit :

Le temps passe. Tout meurt. Le marbre même s'use.
Agrigente n'est plus qu'une ombre, et Syracuse
Dort sous le bleu liceul de son ciel indulgent ;

Et seul le dur métal que l'amour fit docile
Garde encore en sa fleur, aux médailles d'argent,
L'immortelle beauté des vierges de Sicile.

— José-Maria de Heredia, Les Trophées (Médaille antique)

Je retourne donc contempler ma collection de camées.

[#] Si vous avez mon âge plus ou moins quelques années, et si ce type de nostalgie peut vous atteindre, regardez les images de cette page et de celle-ci, c'est exactement le type d'art qui va bien avec le sentiment dont je parle dans cette entrée.

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(samedi)

Quelques conseils pour les étudiants en maths

À l'approche de la rentrée, je me dis qu'il peut être utile que je publie quelques conseils pour les étudiants en maths. Ceux-ci sont inspirés à la fois de ce que j'ai écrit dans ce fil Twitter et de ce que j'ai expliqué de vive voix à un élève de prépa qui me demandait de tels conseils : ayant ainsi un peu réfléchi à ce que j'avais à dire, autant le mettre sur ce blog.

Il s'agit là de conseils généraux (et sans doute d'une bonne dose de proverbial enfonçage de portes ouvertes à ma fidèle hache bénie +2 trempée dans la potion de banalités), s'adressant plutôt à des étudiants entre approximativement ce qui correspond, dans le système éducatif français, aux niveaux bac à bac+5 (disons) : grosso modo, avant ça, on ne fait pas tellement de maths au sens « raisonnement déductif » (ayant la démonstration comme méthode essentielle) ; et après, si vous en êtes arrivé là, vous avez assez de familiarité avec les mathématiques pour ne pas avoir besoin de mes conseils. Certaines des choses que je vais dire s'appliquent à d'autres disciplines adjacentes, comme la physique ou l'informatique (pour ce qui est de l'informatique théorique, mon avis est qu'il s'agit de toute façon d'une branche des mathématiques, même si elle ne s'assume pas toujours comme telle) ; quelques uns s'appliquent sans doute à n'importe quelle discipline, mais je me focalise quand même sur les maths.

On doit pouvoir tirer de ces conseils aux étudiants quelques conseils pour les enseignants (en appliquant la dualité étudiant-enseignant et le foncteur de réduction des platitudes), mais comme je n'aime pas donner des leçons à ce sujet, je vais laisser ça en exercice au lecteur.

✱ Conseil nº1 : aimer ce que l'on fait. C'est peut-être un peu idiot de dire ça, mais je suis persuadé qu'on ne peut correctement faire des maths que si on les trouve un minimum belles et intéressantes. Si on les conçoit comme une corvée, elles le resteront. Si on les conçoit comme (la métaphore que j'aime bien utiliser) l'exploration d'un palais magnifique et incompréhensiblement gigantesque, à la structure à la fois labyrinthique et élégante, on peut arriver à comprendre que ce soit à la fois excitant et séduisant, et en tirer la motivation nécessaire à leur étude.

Je ne peux évidemment pas donner de recette magique pour comprendre que les maths sont belles. C'est quelque chose que j'essaie de communiquer, mais il est évident que je ne vais pas transformer tout le monde en matheux. Mais, même si on a un a priori négatif (et certaines formes d'enseignement des mathématiques laissent hélas place à bien peu d'autre que la corvée rébarbative), il est au moins essentiel de garder l'esprit ouvert à cette possibilité, que les maths puissent être fascinantes. Je pense qu'il est au moins utile, même si on est réfractaire, de chercher les sous-domaines sur lesquels on accroche un peu plus, et de peut-être chercher à se renseigner sur l'allure générale du paysage mathématique, méditer sur la question de pourquoi certaines personnes y trouvent goût (est-ce qu'on a reçu une image déformée par un enseignement rébarbatif ou est-ce qu'on est véritablement hostile aux mathématiques ? dans ce dernier cas, il vaut certainement mieux arrêter de les étudier le plus rapidement possible et ne pas céder aux sirènes qui promettent une meilleure carrière ou quelque chose de ce genre). L'histoire des sciences peut aussi être une passerelle vers un intérêt pour les mathématiques elles-mêmes.

✱ Conseil nº1b : faire preuve de curiosité intellectuelle, et questionner ce que l'on fait. Apprendre le cours pour le cours est la meilleure garantie d'en rester là. Pour comprendre un cours de maths, il faut plutôt le questionner[#], le décortiquer, essayer de prendre du recul. Pour ça, le mieux est de garder à l'esprit toutes sortes de questions (pourquoi fait-on ça ?, où veut-on en venir ?, comment fonctionne cet objet ?) ; je vais donner des exemples plus précis de telles questions (à se poser à soi-même ou à poser à l'enseignant) dans les conseils suivants, mais le message plus général est que tout questionnement est bienvenu (voir aussi les conseils nº6 et 6b ci-dessous).

[#] Dans un cours de langue, si un étudiant demande pourquoi 95 en français de France se dit-il quatre-vingt-quinze ?, on ne peut pas vraiment lui donner de réponse sauf des choses comme c'est comme ça ou c'est un accident historique, peut-être accompagnées d'une histoire du phénomène (mais c'est déjà empiéter des langues sur la linguistique, et ça n'aidera pas tellement à l'apprentissage du français). L'enseignant en maths, lui, doit être prêt à se justifier de plus près que ça.

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(jeudi)

Des figures que j'en ai marre de refaire, et des histoires de kaléidoscopes

[Dessins des systèmes de racines de rang 2]Il y a des des figures que je me retrouve à refaire encore et toujours, à chaque fois que je veux réfléchir à un certain sujet. Parmi ceux que je reproduis avec une fréquence qui finit par devenir vraiment pénible, il y a ceux qui apparaissent ci-contre à droite, et que je me suis enfin de sorti les doigts du c** pour produire en PDF avec TikZ (suivez le lien pour le PDF). Comme je ne suis certainement pas le seul trouver ces figures utiles pour réfléchir, je les mets en ligne. Et du coup, je peux en profiter pour faire un peu de vulgarisation sur ce qu'ils représentent.

Je vais essayer d'expliquer ça sous l'angle de la géométrie euclidienne élémentaire, à travers la question de classifier et de comprendre les kaléidoscopes (simpliciaux). L'intérêt, outre que c'est peut-être plus parlant, est ne pas supposer que qui que ce soit ait lu mon récent rant interminable sur les groupes de Lie (mais en même temps, essayer de dire les choses de manière à quand même éclairer le rant en question). En fait, après coup, je ne suis rendu compte que ce n'était pas forcément une très bonne approche, et que cette entrée ressemble beaucoup à une accumulation de faits qui partent dans tous les sens et qui ne reflètent pas bien (pun unintended) l'élégance du sujet. En plus de ça, comme c'est un sujet que j'ai l'habitude de voir abordé autrement que comme de la géométrie euclidienne, je ne suis pas très sûr de l'ordre dans lequel les faits s'agencent logiquement, et je n'ai pas toujours une idée très claire de la difficulté qu'il y aurait à les démontrer dans une telle approche. Et aussi à cause de ça, il faut que j'avertisse que je n'ai pas vérifié très soigneusement (je veux dire, encore moins que d'habitude…) tous les résultats que j'énonce dans cette entrée, et qu'il est fort possible que j'aie oublié une hypothèse ou une autre pour me raccrocher à là où je veux en venir ; notamment, j'ai failli complètement négliger la « condition supplémentaire » que j'ai finalement trouvé utile d'introduire plus bas dans la définition d'un kaléidoscope. Malgré tout ça, j'espère que ce que je raconte est au moins un peu intéressant.

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(dimanche)

La mort comme construction sociale

Récemment j'ai parlé de l'apocalypse, et mes lecteurs ont, enfin, avez, été particulièrement nuls pour ce qui est de proposer ne serait-ce qu'un grain d'optimisme en contrepoint aux inquiétudes que je formulais. (Coucou !) Je donc évoquer aujourd'hui vais un sujet plus joyeux : la mort (individuelle).

J'ai donné à cette entrée un titre un peu clickbaity[#]… J'ai failli faire encore pire : la mort comme construction sociale, et comment l'éviter. Parce que je vais expliquer comment vous pouvez ne pas mourir, même si, évidemment, il y a un truc, du coup les grincheux ne seront pas d'accord et diront que c'est une arnaque :

I don't want to achieve immortality through my work; I want to achieve immortality through not dying. I don't want to live on in the hearts of my countrymen; I want to live on in my apartment.

— Woody Allen

[#] Tiens, j'ai appris cette traduction rigolote — quoiqu'un peu vulgaire, mais c'est de bonne guerre — de clickbait en français : putaclic. Un titre un peu putacliquesque, donc.

Bon, en fait, non seulement c'est une arnaque, mais en plus, je ne vais rien dire que je n'aie déjà dit. J'avais essayé de raconter essentiellement ce que je vais dire ici dans cette vieille entrée, mais je pense que je m'y suis très mal pris (évoquer Kant, notamment, était une erreur de tout point de vue). Puis je l'avais dit de façon complètement différente, et beaucoup plus pragmatique, ici, en inventant une peuplade appelée les Qriqrx[#2] constituée de gens qui s'arrangent, de façon tout à fait pragmatique et sans magie aucune (ni contorsion philosophique particulière) pour être immortels, en pratiquant la réincarnation. Mais comme c'était dans un fragment littéraire gratuit, du coup, je n'ai pas eu l'occasion d'insister sur le message qui me semble important, à savoir que non, ce n'est pas une arnaque, les Qriqrx sont vraiment immortels (enfin, le seraient s'ils existaient et faisaient comme je le décris ; au moins tant que la tribu se maintient), et il n'y a donc pas besoin de technologie médicale extraordinaire[#3] pour rendre les humains immortels, il suffit d'un peu d'organisation sociale. La mauvaise nouvelle, c'est que nous ne pouvons pas simplement appliquer la technique des Qriqrx parce que, ni socialement ni personnellement, nous ne concevons pas notre identité comme éternelle.

[#2] Si certains se demandent comment ce mot doit se prononcer, dans mon esprit c'est quelque chose comme [qʁɪqʁʂ̩] (si vous ne savez pas lire l'alphabet phonétique, cricrich sera une approximation passable).

[#3] Maintenant, je n'ai rien contre le fait qu'on développe quand même une telle technologie (surtout si elle lutte principalement contre le vieillissement, ce qui est un problème assez différent de la mort). ☺ Je précise ça parce qu'il y a des gens qui font de la lutte contre le vieillissement et/ou la mort un cheval de bataille et qui ont l'air de penser qu'il y a une mentalité « pro-mort » (affirmant que la mort est non seulement inévitable mais aussi souhaitable) contre laquelle ils doivent combattre avec des spots de propagande comme celui-ci. Je trouve ça un peu surréaliste : oui, évidemment, si on trouve une technologie médicale qui permet d'arrêter complètement le vieillissement, il faudra se poser la question de comment persuader les gens de ne plus faire d'enfants ou d'accepter quand même de mourir ou je ne sais quoi, mais est-ce qu'il y a vraiment des gens qui ont besoin d'une campagne de pub pour une technologie qui a présentement l'air aussi inatteignable que la pierre philosophale ?

Je ne prétends à aucun titre à l'originalité : je suis sûr que des auteurs de SF plus talentueux que moi ont décrit des mondes très proches de ce que j'évoque avec mes Qriqrx. Et des idées très proches de ce que je vais suggérer plus bas ont été évoquées à propos de la conscience et de l'identité-de-soi : voir notamment vers la fin de ce texte et l'ensemble de celui-ci.

Bref, c'est parti pour encore une couche de radotage de ma part.

*

Ce que j'ai déjà essayé à diverses reprises (surtout ici, mais sans doute aussi assez mal ; et peut-être également dans ce fragment) de développer est l'idée que, si le monde matériel n'est indéniablement pas une invention de l'homme, la manière dont nous le structurons mentalement est une construction humaine et sociale, et au cœur de cette construction du « monde enchanté » repose la conception de l'identité, qui peut prendre toutes sortes de formes. Je trouve l'idée assez bien décrite dans ce passage assez célèbre :

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(mercredi)

Quelques points de vue (de matheux) sur les grandeurs physiques et unités de mesure

Dans cette entrée, je voudrais évoquer la question des grandeurs physiques (longueur, durée, vitesse, masse, courant électrique…) et des unités de ces grandeurs. Je vais jeter un regard de matheux sur ce que ces choses sont, proposer quelques points de vue ou (esquisses de) définitions formelles possibles, et m'interroger sur l'utilité et la pertinence de ces points de vue, notamment pédagogiques, mais aussi du point de vue de la question de l'incertitude des mesures.

Je précise que cette entrée part un peu dans tous les sens, parce que j'ai commencé par écrire de la façon dont les idées me venaient (ou me revenaient, parce que ce sont des idées que je rumine depuis longtemps), et j'ai voulu raconter trop de choses à la fois, donc il y a plein de digressions. En plus de ça, j'ai un peu permuté les bouts que j'avais écrits (il en reste certainement des incohérences comme des je vais y revenir alors que les choses sont dans un autre ordre), puis repermuté, puis re-repermuté au fur et à mesure que j'ajoutais des digressions, et finalement je ne sais plus du tout dans quel ordre je dis les choses. Heureusement, il n'y a pas trop de lien logique clair ni de dépendance entre les différents morceaux ce que je raconte, donc on doit pouvoir lire cette entrée dans le désordre puisque c'est comme ça qu'elle a été écrite ! J'ai essayé de marquer par des triples accolades {{{…}}} (cf. ici) les digressions les plus identifiables, dans l'espoir que ça aide à s'y retrouver un peu.

À l'origine je voulais parler de la manière dont un mathématicien peut définir ce que sont les grandeurs physiques et leurs unités. Mais je n'ai pas résisté à parler d'autres choses, à faire un tableau de plein de grandeurs (ci-dessous) et à entrer dans des discussions sur ce que sont les grandeurs dans la pratique, sur les incertitudes et les échelles de masse. J'ai commencé à écrire des choses sur la réforme du SI qui doit avoir lieu d'ici quelques mois, puis je me suis dit que non, ça faisait vraiment trop, mais il en reste quand même des bouts… (Je garde donc pour une entrée ultérieure les explications précises sur la réforme du SI, même si j'y fais allusion à diverses reprises ici.) Bref, voilà pourquoi cette entrée est encore plus désordonnée que d'habitude. J'espère qu'il y a quand même des choses à en tirer !

Pour essayer de fixer la terminologie, j'appellerai grandeur (plutôt que dimension qui peut causer confusion) quelque chose comme « la masse » de façon abstraite ; et j'appellerai quantité [de cette grandeur] une masse particulière (par exemple 70kg), mesurée, donc, dans une unité. Si on veut parler comme un informaticien, donc, la grandeur sera, pour moi, le type (« la masse »), tandis que la quantité sera l'instance de ce type (70kg). Et l'unité est une quantité particulière (de la grandeur) qu'on a choisie pour exprimer toutes les autres. Comme n'importe quelle quantité non nulle (disons peut-être strictement positive) peut servir d'unité, la différence entre « quantité » et « unité » est juste une question de regard qu'on porte dessus.

Je ne sais pas si ce choix terminologique était le meilleur, je conviens que c'est un peu contre-intuitif de dire que la grandeur de [la quantité] 70kg est la masse, mais je ne suis pas certain qu'il existe de choix vraiment bon (et puis, maintenant que c'est fait, je n'ai plus envie de tout rééditer). J'ai essayé de m'y tenir systématiquement, de toujours utiliser le mot grandeur pour le type et quantité pour la valeur dans le type, mais je ne peux pas exclure quelques lapsus occasionnels.

Ajout () : En fait, je ne distingue pas vraiment la grandeur et la dimensionnalité de cette grandeur (définie formellement ci-dessous), par exemple je ne distingue pas les grandeurs « énergie » et « moment d'une force » (tous les deux ayant l'unité SI de kg·m²/s², même si dans un cas on l'appelle plutôt le joule et dans un autre cas plutôt le newton·mètre, la distinction est plus mnémotechnique que fondamentale) ; de même, pour moi, le watt et le volt·ampère sont bien la même chose, nonobstant le fait qu'on ne les utilise pas exactement de la même manière ; je vais faire occasionnellement allusion à ce problème.

Bref, qu'est-ce que c'est que toute cette histoire ?

Pour commencer, une des propriétés des grandeurs et des unités est qu'on peut les multiplier et les inverser (donc, les diviser) ; alors qu'on ne peut ajouter ou soustraire que des quantités de même grandeur, mais ça j'y reviendrai plus loin. Par exemple, une unité de longueur divisée par une unité de durée (=temps) donne une unité de vitesse (mètre par seconde, kilomètre par heure) : et il s'agit bien d'une division des quantités correspondantes (1km=1000m, 1h=3600s donc 1km/h = 1000m/3600s = (1000/3600)m/s = 0.2777…m/s). On peut dire que, indépendamment des unités, la grandeur « vitesse » est le quotient de la grandeur « longueur » par la grandeur « durée ». De même, la grandeur « surface » est le carré de la grandeur « longueur » (son produit par elle-même). Et la grandeur « fréquence » est l'inverse de la grandeur « durée » (l'unité SI de fréquence, le hertz, est l'inverse de l'unité SI de temps, la seconde).

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(dimanche)

Je persiste à ne pas comprendre la théorie quantique des champs

J'ai écrit il y a quelques jours une tentative de vulgarisation sur le sujet de la physique des particules, mais je dois être bien clair sur le fait que c'est partiellement une escroquerie : pas que j'aie dit des choses fausses (je pense que ce que j'ai raconté, dans la mesure où ce n'est pas simplifié au point de ne plus avoir de sens, est raisonnablement correct), mais que fondamentalement je ne comprends toujours pas de quoi il est question. Disons que j'ai une certaine idée de la physique du modèle standard, une certaine idée des mathématiques qui le sous-tendent, et quelques bribes sur la manière dont ces choses se connectent, mais le dessin d'ensemble est toujours extrêmement flou ; j'ai quelques bouts de puzzle qui sont en place dans ma tête, y compris des bouts côté physique et des bouts côté maths, mais malgré quelques pièces placés çà et là entre les deux, il demeure un gros trou au milieu du puzzle, et je ne sais pas le compléter ni même s'il est complétable. Et ce qui est encore plus frustrant, c'est que ce n'est toujours pas clair pour moi si c'est le cas pour tout le monde ou juste pour moi (je pense que c'est quelque chose entre les deux : il y a des choses qui sont floues pour tout le monde, et il y en a beaucoup plus qui sont floues pour moi).

En tant que matheux, j'aime bien que les choses soient définies de façon raisonnablement précise et rigoureuse, ou en tout cas avoir l'impression qu'avec un peu d'efforts j'arriverais à les rendre précises et rigoureuses, même si cette précision ne permet pas de faire des calculs. Un physicien, lui, (s'il n'est pas théoricien des cordes 😉), est en principe préoccupé par le fait de savoir tirer des conséquences expérimentales de ses théories, peu importe qu'elles soient mathématiquement rigoureuses. (Feynmann a notoirement comparé la rigueur mathématique à la rigor mortis, mais il semble que la citation ait été déformée, je la trouve sous cette forme injustement simpliste : ce n'est pas la rigueur mathématique qui devrait poser problème à un physicien, c'est le manque de rigueur physique, or les deux ne sont pas incompatibles.)

Dans la plupart des théories physiques que je connais (mécanique newtonienne classique, électromagnétisme, relativité restreinte, relativité générale, ou même la « première quantification »), j'ai l'impression que l'intervalle entre ces deux approches n'est pas infranchissable ; dans le cas de la théorie quantique des champs, je me heurte vraiment à un mur.

Je souligne que quand je demande que les choses soient définies de façon mathématiquement précise, je n'en demande pas tant que ça. Par exemple, si une théorie physique s'énonce en disant que l'état du monde est régi par telle équation aux dérivées partielles, ça me convient assez bien : je ne demande pas forcément que ce soit accompagné d'un théorème d'existence et d'unicité du problème de Cauchy (des solutions de l'équation). C'est mieux s'il y en a un, mais ça je comprends que c'est le boulot des matheux (et des analystes, dont je ne fais pas partie) de le démontrer : il n'y a pas de problème à ce que les physiciens disent l'équation est la suivante, et physiquement on pense qu'il y a existence et unicité de la solution dans les conditions raisonnables de validité de la théorie. Mais je voudrais au moins que le problème soit posé de façon précise.

D'ailleurs, je ne demande même pas que le problème soit posé de façon précise dans les détails, mais au moins d'avoir quelques idées sur comment il pourrait l'être. Je ne pense vraiment pas que ce soit tomber dans la rigor mortis que d'en demander tant.

Si je lis un livre de théorie quantique des champs pour les physiciens, j'ai l'impression insupportable qu'on m'explique comment faire plein de calculs (et à la limite, je comprends ces calculs, même si je n'ai pas envie de les vérifier ligne par ligne, au moins je comprends le principe de ce qui se fait). Essentiellement des calculs (« perturbatifs ») d'« amplitudes » et de « sections efficaces », qui sont des choses qu'on peut relier ensuite à des vraies mesures faites par des vrais expérimentateurs dans des vrais accélérateurs de particules. Mais fondamentament j'ai l'impression de ne comprendre ce que sont aucun des objets manipulés dans les calculs (à commencer par la notion même de champ quantique). A contrario, si je lis un livre de théorie quantique des champs pour les matheux, on me donne des jolis axiomes (notamment ceux de Wightman), on me parle de groupes de Lie et de représentations, de choses qui me sont plus compréhensibles, mais fondamentalement j'ai l'impression de ne pas comprendre le rapport avec la physique, ou en tout cas avec ce qui est raconté dans les livres pour physiciens. Où est le dictionnaire entre ces deux points de vue ?

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(jeudi)

J'ai peur de la fin du monde

Un lieu commun repris dans toutes sortes d'œuvres de fiction représente une sorte de gourou qui tient une pancarte disant la fin du monde est proche ! repentez-vous ! (je crois même avoir vu quelque chose de la sorte dans la vraie vie, mais c'était peut-être un faux souvenir). Le gourou en question est évidemment un illuminé. Je vais maintenant tenir des propos semblables (sauf le repentez-vous), et j'aimerais bien qu'on m'explique que je suis un crackpot et que mes inquiétudes sont, sinon infondées, du moins exagérées.

J'ai déjà exposé des idées de ce genre ici il y a longtemps (et dans une certaine mesure ici), mais il y a un certain plaisir à radoter exprès de temps en temps, et je vais développer bien plus que je ne l'avais fait autrefois. Désolé si ce n'est pas très drôle à lire, et si ça part un peu dans tous les sens. (Désolé aussi si c'est confus, mais comme je redis plein de fois la même chose, peut-être que la N-ième répétition sera la plus claire.) Et si vous trouvez que c'est du pur délire, je répète : tant mieux, et racontez-moi vos contre-arguments — il est évident qu'en la matière je préfère avoir tort qu'avoir raison.

J'ai été traumatisé (je suis obligé de divulgâcher, et je ne vois pas comment l'éviter, parce que dès que je dis le titre du livre, en rapport avec le sujet de cette entrée, c'est chose faite, mais bon, il y a plus dans le livre que je vais nommer que le petit peu que j'en révèle) par la lecture du roman Nightfall d'Isaac Asimov et Robert Silverberg (en fait, c'est une nouvelle d'Asimov que Silverberg a étendue en roman, mais peu importe qui a fait quoi au juste). Pour ceux qui veulent un divulgâchis sérieux (les autres, sautez la fin de ce paragraphe), je raconte un peu de quoi il est question. Cela se passe sur une planète très semblable à la Terre mais dont la surface est éclairée en permanence par plusieurs soleils : à cause de ça, les habitants cette planète ne connaissent pas le concept de « nuit » (ni d'« étoiles »), et ont une peur absolument panique du noir. Mais une fois tous les 2000 ans, lors d'un des moments où il n'y a qu'un soleil dans le ciel (d'une partie de la planète, je suppose — je ne me souviens plus si on apprend qu'un seul hémisphère est habité ou quelque chose comme ça), il se produit une éclipse qui obscurcit ce dernier soleil, provoque la nuit, et révèle les étoiles. Bien sûr, personne n'est au courant de ce fait (ni même de l'existence du satellite capable d'obscurcir le dernier soleil). Le livre commence par montrer en parallèle un groupe de scientifiques qui découvre une perturbation anormale dans le mouvement de la planète (qui va les conduire à déduire l'existence du satellite et de l'éclipse périodique) ; un autre groupe qui mène des fouilles archéologiques et découvre une civilisation plus ancienne que tout ce qui était connu et qui a été détruite par une sorte d'incendie cataclysmique il y a 2000 ans, puis une civilisation encore plus ancienne qui a subi le même sort, et plusieurs autres couches de ce genre, avec une sorte d'apocalypse tous les 2000 ans ; et enfin, un groupe d'illuminés religieux qui prophétisent que la fin du monde est proche. Je ne donne pas plus de détails, mais on devine qu'il y a un Gros Problème.

Un autre livre dont j'ai entendu parler (plutôt en bien), mais cette fois je ne l'ai pas lu et je ne compte pas le lire parce que je n'ai pas besoin qu'on remue mes phobies plus que ça, c'est Lights Out de David Crawford, qui, de ce que je comprends, est l'histoire d'une coupure d'électricité massive et de la difficulté à redémarrer le réseau électrique et de la difficulté à survivre quand il n'y a plus de courant et que tant de choses qu'on tient pour acquises en dépendent. (Voir aussi le petit texte d'Albert-László Barabási intitulé We're All On The Grid Together en bas de cette page, texte que j'ai déjà signalé dans une entrée précédente liée ci-dessus.)

De quoi est-ce que je veux parler au juste ? Quand j'évoque l'apocalypse, ce n'est certainement pas la fin de l'Univers (pour ça, voyez ceci ou, en plus précis, ici, mais ça ne m'empêche vraiment pas de dormir), ni même de la Terre, ni même de la vie sur Terre, peut-être même pas de la vie humaine, ni qu'un titan de l'espace rassemble sur son gantelet les Six Pierres Magiques Qui Rendent Omnipotent et claque des doigts, mais simplement l'effondrement de notre civilisation[#]. Bêtement, je me suis assez attaché à cette civilisation, malgré tous ses défauts et toutes ses bêtises, pour être assez contrarié à l'idée qu'elle s'effondre. Et aussi, le cliché usé du monde post-apocalyptique m'agace déjà assez prodigieusement dans sa présentation stéréotypée au cinéma, je n'ai vraiment pas envie de le vivre en vrai, merci.

[#] Une citation célèbre attribuée à Mohandas Gandhi, malheureusement apocryphe (mais absolument géniale qui qu'en soit l'auteur), veut qu'un journaliste ait demandé à Gandhi ce qu'il pensait de la civilisation occidentale, et il aurait répondu I think it would be a good idea.

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(mercredi)

J'aimerais bien comprendre d'où viennent tous ces PDF cassés

(Attention, râlerie !)

Tout le monde utilise le format PDF. Sur le principe, c'est une bonne idée : un format standardisé de documents sous forme vectorielle, c'est exactement ce dont on a besoin pour échanger des documents pré-formatés et prêts à être imprimés. Sauf qu'en fait, comme souvent dans le monde de l'informatique, il y a un truc qui est censé être un standard, et il y a, en fait, mille et une façons de l'interpréter, mille et une façons dont un document peut être rendu, et mille et une petites crottes de ragondin qui viennent tout compliquer. J'imprime mes PDF typiquement avec les programmes evince, xpdf ou okular, je suppose que, Unix étant Unix, les documents sont convertis douze fois en PostScript et de nouveau en PDF à travers les entrailles incompréhensibles de GhostScript, de CUPS, du système d'impression centralisé mis en place à Télécom ParisPloum, et enfin du photocopieur multifonction qui sert d'imprimante dans mon couloir (et qui accepte certainement les PDF directement, mais ce serait trop simple si on pouvait juste les lui envoyer !).

Par exemple, dès que j'imprime une page contenant de la transparence, comme le format PDF supporte la transparence mais pas le format PostScript (et je ne comprends pas pourquoi on n'a pas juste décidé en fait, si, les mécanismes de transparence de PDF sont rétroactivement déclarés valables en PostScript, ce qui aurait tout simplifié), quelque part dans ces entrailles incompréhensibles, un programme décide que hum, je ne peux pas fabriquer un PostScript avec de la transparence, ce n'est pas possible !, rasterisons ça en image bitmap à la place, et la page sort à l'impression complètement différente du reste du document, et beaucoup plus moche. (J'aimerais bien trouver comment lui dire bordel, produis un PostScript contenant de la transparence, ou passe par le format PDF tout du long puisque l'imprimante le supporte, ou à la limite, démerde-toi pour que la rasterisation produise un résultat parfaitement indiscernable à l'œil nu si elle est fait à ton niveau ou plus bas dans la chaîne, mais en tout cas, arrange-toi pour que les pages ayant de la transparence dans le PDF ne s'impriment pas différemment des autres ! ; mais ce n'est pas tellement ça l'objet de ma râlerie aujourd'hui.)

Parfois mes documents s'impriment à l'envers ou sont agrafés au mauvais endroit ou autre bug bizarre : pendant longtemps, tous les documents PDF que je récupérais de l'arXiv étaient imprimés avec la première page à l'envers (et juste la première page), certainement à cause du numéro que l'arXiv appose sur le côté de la première page, mais je ne comprends pas le rapport exact de cause à effet ; à un autre moment, tous les PDF que j'imprimais recto-verso n'étaient recto-verso qu'à partir de la page 2, la page 1 s'imprimant toujours seule sur une page (et du coup, la parité des pages était cassée). Bref, toutes sortes de bugs incompréhensibles, que j'ai tendance à mettre sur le dos du format PDF.

Mais parmi ces bugs, il y en a un que je rencontre particulièrement souvent. Il semble apparaître sur des PDF issus de vieilles versions de TeX, ou de vieilles sources, ou quelque chose de ce goût. J'en ai un exemple avec cet article (cliquez sur PDF dans la colonne download à droite). Selon l'outil que j'utilise pour lire ce PDF, soit c'est très lent, soit c'est très moche, soit il me crache des bordées d'injures. Notamment, xpdf, quand je lis un tel PDF, affiche des quantités énormes de lignes Syntax Warning: Bad bounding box in Type 3 glyph, ce qui donne une petite idée de ce qui se passe (les polices de Type 3 sont les polices PostScript/PDF les plus générales, celles qui peuvent contenir n'importe quelles commandes PostScript, et je suppose qu'elles sont générées par pdfTeX ou je ne sais lequel des mille et un mécanismes de conversion d'un fichier TeX en PDF — parce que ce serait Trop Facile s'il y en avait un seul — lorsque la police n'existe pas au format vectoriel compatible PDF et qu'il faut faire appel à Metafont pour générer des polices bitmap ; et une bounding box incorrecte doit signifier que la police déclare des métriques qui sont incompatibles avec ce qu'elle contient réellement ; mais ce que tout ça ne m'explique pas, c'est comment on s'est retrouvé à produire des polices Type 3 ayant une bounding box incorrecte ni, a fortiori, comment réparer ce problème).

Et un des symptômes de ce phénomène de fichiers PDF bizarrement cassés, c'est que parfois, quand on les manipule, tous les signes moins disparaissent. Par exemple, si je prends le PDF que j'ai donné ci-dessus comme exemple, et que je le passe par pdftocairo -pdf (qui est censé transformer un PDF en un PDF absolument identique, mais parfois ça aide à nettoyer des problèmes périphériques au format PDF), à la page 2, vers le milieu de la 4e ligne du dernier paragraphe, où on est censée lire the first i−1 induction steps, le texte devient the first i 1 induction steps (le signe moins disparaît complètement, quoi).

J'aimerais bien comprendre comment une merde de ce genre est possible. Je devine que le problème est lié au fait que la bounding box du signe moins est très peu haute, peut-être même de hauteur nulle (ce qui serait évidemment un bug en soi : aucun caractère visible ne peut avoir une boîte de taille nulle), mais ça ne m'explique pas comment ce problème est apparu pour commencer. Si le format PDF était bien foutu, ça devrait être possible de dire avec clarté soit que le fichier PDF distribué par l'arXiv est cassé (i.e., le programme qui l'a produit est cassé), soit que pdftocairo l'est, mais en tout cas que l'un d'entre eux doit être réparé. Mais je soupçonne que le format n'est pas assez bien défini pour qu'on puisse dire qui est coupable (et c'est peut-être « les deux »).

Je donne ici l'exemple de pdftocairo, on va me dire, je n'ai qu'à ne pas l'utiliser. Certes, mais il y a toutes sortes d'autres contextes où le même problème se produit. J'ai déjà entendu des histoires de matheux qui ont envoyé des articles à publier et quand le journal est sorti, tous les signes moins manquaient (sur le papier). Ce qui, s'agissant d'un article de maths, est un peu gênant ; et un peu mystérieux parce que ce n'était sans doute pas la première fois que le journal rencontrait un article produit par TeX. Le point commun entre tous les contextes « les signes moins disparaissent » est obscur (voir par exemple ce vieux fil de discussion comp.text.tex, qui n'a visiblement aucun rapport avec pdftocairo). On trouve un bug de ce genre (le même ?) rapporté contre evince dans ce bug-report, qui est censé avoir été corrigé dans Cairo, mais soit la correction n'a pas atteint la version 0.48.0 de pdftocairo que j'utilise, soit c'est encore autre chose (de toute façon, je doute que ce soit le même bug que celui signalé dans le fil comp.text.tex vieux de 17 ans, donc des variantes du même phénomène doivent réapparaître périodiquement).

Mise à jour () : En compilant un cairo récent (version 1.15.12) et un pdftocairo récent (poppler-0.67.0), le problème du signe moins qui disparaît ne se pose plus. (Comme je le dis en commentaire, c'est bien ma veine de tomber sur un bug vieux de vingt ans(?) et de découvrir qu'il est corrigé dans la version juste après celle que j'ai sur mon PC…) Ça ne m'empêche pas de penser que ce PDF est foireux (ou alors que les polices bitmap sont vraiment très mal gérées par tous les programmes que j'ai), ne serait-ce que compte tenu de la lenteur de l'affichage et de la laideur du résultat à l'écran : c'était peut-être un bug de pdftocairo de ne pas reproduire les caractères ayant une bounding box nulle, mais c'est aussi un bug du document si des caractères non vides ont une bounding box nulle.

Et surtout, j'aimerais bien savoir comment réparer ces PDF tout cassés : comment les transformer en des fichiers qui s'affichent à l'écran, avec tous les programmes que je suis susceptibles d'utiliser, de façon jolie et semblable à ce qui sortira effectivement de l'imprimante. (Dans certains cas, j'utilise pdftocairo à cet effet, mais comme je viens d'expliquer, là, ça ne marche pas.) Si c'est la bounding box qui pose problème, est-ce qu'il n'y a pas un outil pour recalculer la bounding box de tous les caractères du PDF, ou pour l'augmenter de 1 ou 2 points  ? (ou, si ça ne suffit pas, la rendre égale à la page tout entière, d'ailleurs). Si j'en juge par l'ancienneté de l'article de l'arXiv vers lequel j'ai fait un lien, ce problème existe depuis au moins 20 ans, c'est impressionnant qu'il continue à poser problème maintenant…

(Merci d'avoir fait semblant d'écouter ma râlerie et merci d'avance de vos témoignages de soutien et de compassion.)

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(vendredi)

Vulgarisation de la physique des particules avec un peu d'algèbre linéaire

Bon anniversaire à moi ! 🎉🎂 Comme cadeau, vous pouvez lire le texte qui suit sur la physique des particules et faire semblant de l'avoir trouvé intéressant !

Je ne sais même pas pourquoi je parle de ça, moi. J'ai plein d'autres choses qui s'empilent dans la TODO-list (enfin, la TORANT-list) de ce blog, mais bon, ce truc m'est revenu à l'idée, voilà, voilà.

J'écrivais il n'y a pas longtemps à propos de la vulgarisation scientifique que ça me semble intéressant et important de faire de la semi-vulgarisation : de la vulgarisation qui s'adresse non pas au grand public mais à des gens qui ont déjà des connaissances préalables ou partielles dans tel ou tel domaine proche (ou préalable) de celui qu'on cherche à vulgariser, par exemple des scientifiques d'autres disciplines. Évidemment, cette idée est d'autant plus féconde qu'on peut trouver des connaissances intermédiaires relativement répandues et qui aident à bien mieux éclairer la cible qu'on cherche à expliquer.

Il y a un exemple qui, depuis longtemps, me semble particulièrement prometteur à cet égard, c'est celui de :

  • connaissance présupposée = de l'algèbre linéaire (au moins en dimension finie),
  • cible à expliquer = la théorie des particules (disons le modèle standard).

Ça n'a rien d'original. J'en ai d'ailleurs parlé à plusieurs reprises (voir notamment ici et ), ne serait-ce que pour dire que je ne suis pas la personne la mieux placée pour faire ça (cf. ici) ; et j'en avais même fait un petit bout à propos des neutrinos. Mais je peux être un peu plus précis sur ce dont il est question.

Il y a évidemment bien plus dans la mécanique quantique, ou a fortiori dans la théorie quantique des champs, que de l'algèbre linéaire ! Néanmoins, il me semble que beaucoup des phénomènes les plus contre-intuitifs de la mécanique quantique, et beaucoup des choses les plus difficiles à vulgariser auprès du grand public en physique des particules, deviennent immensément plus clairs dès qu'on introduit un petit peu d'algèbre linéaire. Or l'algèbre linéaire est quand même quelque chose de moins ésotérique, et sa compréhension est plus répandue, que les arcanes de la physique des particules : mais comme en même temps comprendre un peu la structure de l'Univers à très petite échelle intéresse beaucoup de gens, je pense qu'il y a matière à ce que l'approche soit féconde.

C'est ce que j'avais fait (enfin, essayé de faire) dans mon petit texte sur les oscillations des neutrinos, mais le principe général devrait pouvoir s'appliquer à d'autres morceaux du modèle standard. (Le modèle standard est la théorie qui décrit le tableau général de la physique des particules élémentaires et forces fondamentales connues, gravitation exclue, dans le cadre de la théorie quantique des champs.) Je veux dire, l'image qu'on donne du modèle standard si on cherche à la vulgariser auprès du grand public présente toutes sortes d'inexactitudes difficiles à corriger, juste en listant les particules élémentaires, notamment dans le secteur électrofaible ; alors que dès qu'on introduit un peu d'algèbre linéaire, il devrait être possible de dresser un portrait beaucoup plus fidèle de la théorie (y compris la brisure spontanée de la symétrie et le condensat de Higgs), sans aller jusqu'à en donner des équations (sans expliquer ce que sont un lagrangien et la renormalisation). Essentiellement, il s'agirait de rester globalement au niveau de la « première quantification » (= « théorie classique des champs », la terminologie est épouvantable), quitte à discuter plus tard des subtilités supplémentaires apportées au niveau de la théorie quantique des champs ; et de toute façon, même au niveau de la théorie classique des champs, se contenter de choses comme compter les dimensions et évoquer des changements de bases entre espaces de particules.

Mais, au risque de décevoir, ce n'est pas vraiment ce que je fais ici. Même si cette entrée est déjà très longue, je n'ai pas du tout la place d'y faire un portrait correct du modèle standard. (Si je pouvais persuader un vrai physicien de prendre les choses vraiment au sérieux, évidemment, ce serait parfait ; ou si on me dénichait un texte déjà écrit dans ce genre.) À défaut, ce que je peux faire, c'est donner, à travers des exemples (plus ou moins détaillés, et parfois juste esquissés), quelques pistes sur ce à quoi ressemblerait une telle vulgarisation.

Point de vue général

Le point de départ des explications c'est que ce qu'on appelle particule élémentaire est une vibration, une onde, dans un « champ quantique ». (On peut supposer que le lecteur, en plus de connaître un peu d'algèbre linéaire, a au moins une vague idée de ce que c'est qu'une onde et que ce n'est pas la peine de recourir à des comparaisons fatiguées à base d'ondes sur la surface de l'eau.) Le fait que ces champs soient, justement, quantiques (← « seconde quantification »), a pour implication le fait que ces vibrations viennent par quantités minimales, par « quanta », et c'est ce qu'on appelle une particule (dualité onde-corpuscule) ; mais ce n'est pas tellement ça le sujet de la vulgariation. Faisons comme si on avait affaire à des vibrations prenant leurs valeurs dans un « espace vibratoire »[#] (i.e., restons au niveau de la « première quantification »).

[#] Je ne trouve pas de terme générique pour désigner le ou les espaces vectoriels dans lesquels les différents champs de la théorie (classique ou quantique) des champs prennent leurs valeurs. Donc je sors de mon chapeau ce terme complètement pourri d'espace vibratoire.

La chose que je veux plutôt souligner, c'est que cet espace vibratoire est d'une certaine dimension, i.e., qu'il y a un certain nombre de dimensions dans lesquelles les champs quantiques peuvent vibrer. Naïvement, une dimension = une particule : l'électron est une vibration du champ électronique, c'est-à-dire une vibration dans la direction « champ électronique », le muon est une vibration du champ muonique, c'est-à-dire une vibration dans la direction « champ muonique », le photon est une vibration du champ électromagnétique, etc. Mais c'est là qu'on peut commencer à ajouter des complications intéressantes. D'abord, il n'y a pas une vibration « électron », il y en a plutôt quatre (en gros, l'électron de chiralité gauche, l'électron de chiralité droite, le positron [=anti-électron] de chiralité gauche et le positron de chiralité droite, je vais y revenir à l'exemple nº3) ; il n'y a pas une vibration « photon », il y en a plutôt deux (la lumière polarisée horizontalement et la lumière polarisée verticalement, les directions étant choisies arbitrairement, et on peut d'ailleurs préférer les polarisations circulaires). Mais surtout :

Le choix des dimensions dans lesquelles on considère les vibrations n'est pas évident : il n'y a pas vraiment de base naturelle de l'espace vibratoire (l'espace dans lequel les champs quantiques prennent leurs valeurs) ; ou parfois, il y a plusieurs bases naturelles différentes.

Plus précisément : beaucoup de phénomènes (comme la masse, ou les interactions entre les particules) vont être décrits par des opérateurs [=applications] linéaires (typiquement des matrices hermitiennes sur un espace hermitien mais peu importe à ce niveau de détails) diagonalisables dans une base orthonormée de l'espace vibratoire ; mais comme ces opérateurs ne commutent pas, la base qui en diagonalise un (qui n'est d'ailleurs généralement pas unique) n'est pas forcément celle qui en diagonalise un autre.

Ce qui signifie que ce qui se comporte comme une particule pour un phénomène, par exemple la masse (qui est en fait l'interaction avec le Higgs, mais peu importe pour le moment), ne se comporte pas comme une particule pour un autre phénomène, par exemple l'interaction faible, et vice versa.

En gros, il y a un opérateur « masse » qui, dans une certaine base, est diagonal avec pour valeurs diagonales (valeurs propres) : dans la dimension « électron » la masse de l'électron, dans la dimension « muon » la masse du muon, etc. ; donc si on veut définir la masse d'une particule, ça a un sens à condition de définir les particules comme des vibrations selon ces dimensions-là ; manque de chance, il y a un opérateur « interactions faibles » qui, lui, a envie d'une base différente. (Et la matrice de passage entre ces deux bases a un sens et peut être mesurée expérimentalement, cf. l'exemple nº2 ci-dessous.)

C'est essentiellement ce que j'avais essayé d'expliquer dans le cas des neutrinos, mais j'ai essayé de le dire, là, de façon plus générale, et je pense qu'une fois qu'on a compris cette idée générale (qui nécessite, donc, un peu d'algèbre linéaire : le fait de savoir ce qu'est une base, la non-unicité des bases, le fait qu'un opérateur hermitien se diagonalise en base orthonormée, ce genre de choses), on a une idée beaucoup plus précise de la physique des particules, ou en tout cas, on aurait la possibilité de lire une vulgarisation qui donne une image raisonnablement précise du modèle standard.

Je donne quelques exemples de ce qu'on peut expliquer comme phénomènes physiques en partant, grosso modo, de ce que j'ai souligné ci-dessus. Ces différents exemples sont assez banals (on les trouve dans tous les livres d'introduction à la physique des particules ou au modèle standard), mais ce que je veux surtout illustrer, c'est qu'on peut en parler sans trop écrire d'équations et en restant à un niveau intermédiaire entre la vulgarisation grand public et la description mathématique précise. (Je ne sais pas si mes explications sont très bonnes parce qu'il faudrait sans doute une entrée plus longue que celle-ci qui l'est déjà assez, mais j'espère au moins que cela convaincra que ça serait possible.) Je précise que les différents exemples qui suivent sont largement indépendants (même si le quatrième évoque des choses que j'ai dites dans les trois premiers) et que, au sein de chacun d'eux, j'essaye d'aller de plus en plus dans les détails. Mais auparavant, il faut que je fasse un tour d'horizon ultra-rapide des particules élémentaires.

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(lundi)

Exilé hors du royaume magique

J'aime beaucoup les travaux du dessinateur et bédéiste Boulet[#] parce qu'il arrive non seulement à me faire rire (ce qui n'est pas trop difficile) mais aussi à me toucher. Je range cette entrée dans la catégorie « livres » de ce blog parce que je recommande l'ensemble de ses Notes[#2], mais je viens surtout de tomber sur sa fable(?) Maudit Royaume (publiée en 2014 dans le numéro 3 du trimestriel Papier et republiée à la fin du volume 11 de ses Notes) dont voici une version en ligne. Cette histoire a beaucoup résonné en moi.

(Divulgâchis maintenant. Suivez le lien ci-dessus ou lisez ses Notes[#2] avant de continuer à lire.)

Le thème qui m'a frappé, qui est présent dans plusieurs des histoires de Boulet mais particulièrement bien illustré dans celle-ci, c'est le contraste douloureux entre le monde féerique, magique et enchanté de nos rêves et des récits fantastiques et contes qui les ont alimentés — (Je dis nous mais je ne sais pas qui nous sommes, disons que je parle au moins pour moi et certainement pas que pour moi ; j'imagine que le dessinateur doit ressentir quelque chose de proche.) — entre ce monde féérique et le monde matériel dans lequel nous vivons vraiment. Lequel n'est certes pas dénué de choses dont on peut s'émerveiller (là aussi, Boulet a pas mal dessiné à ce sujet), mais il demeure une dissonance entre les deux.

Cette dissonance est particulièrement douloureuse quand on est scientifique, parce qu'un scientifique n'a pas le droit de croire à la magie, et ça ne l'empêche pas d'y rêver. À un certain niveau, j'envie les gens qui croient au surnaturel, aux dieux ou à ce genre de choses, et qui n'ont pas une part de rationalité froide dans leur cerveau pour leur rappeler sans arrêt rêve toujours : tout ça n'existe pas — ou qui arrivent à la faire taire. Ils peuvent vivre dans un monde enchanté.

Alors bien sûr, il est quand même possible pour un scientifique de s'émerveiller, de conserver un monde enchanté au-dessus du monde réel (j'avais développé ça de façon sans doute inutilement compliquée ici), et bien sûr de rêver (soit au sens littéral, soit en consommant des romans, des bédés, des films, etc.), soit même en étant artiste et en créant (quitte à risquer de devenir fou ?). Mais même dans la fiction, la rationalité vient vous embêter : oui, alors là, en fait, c'est pas logique que l'enchanteur veuille capturer la princesse, parce que s'il a le pouvoir de…mais ta gueule, bordel de merde, rationalité obsessive !. Et pour ce qui est du monde réel, je suis, comme tout le monde, déçu quand on annonce la mise au point d'une technique d'invisibilité, que ce ne soit pas une cape comme dans Harry Potter ou un anneau magique comme celui de Bilbo mais un truc minuscule qui arrive à canaliser certaines formes de micro-ondes ; ou que quand on révèle l'existence d'eau liquide sur Mars ce ne soit pas les canaux des rêves de Schiaparelli et de Lowell mais un lac enfoui sous la glace. (Évidemment, je le sais à l'avance quand je lis les titres qui les annoncent, mais ça ne m'empêche pas d'être déçu de savoir à l'avance que je serai déçu ; et je sais rationnellement que c'est un exploit d'avoir fabriqué le truc minuscule indétectable aux micro-ondes ou d'avoir détecté l'eau liquide sous la glace, mais ça ne m'empêche pas d'être frustré.)

Et puis, comme je l'ai déjà écrit, un élémental de praséodyme, ça ne le fait pas : c'était bien mieux quand les éléments étaient quatre et s'appelaient Terre, Eau, Air et Feu.

Bref, je me sens comme exilé hors du royaume magique. C'est ce qui m'a poussé à écrire de la mauvaise littérature fantastique et qui me pousse encore à le faire de temps en temps (mais de moins en moins, parce que je deviens vieux, usé et fatigué, et de moins en moins capable de voir les éléphants dans les boas). Je sais que je radote, je l'ai déjà raconté plusieurs fois sur ce blog (ici à propos d'un de mes personnages de roman, et encore ici), et surtout, c'est le thème de cette nouvelle, qui a des idées en commun avec l'histoire de Boulet.

Je ne sais pas si le fait d'être mathématicien est, à cet égard, plus ou moins enviable que si j'étais physicien ou biologiste. Les mathématiques n'excluent pas vraiment la magie : on pourrait tout à fait imaginer un monde fantastique basé sur une description mathématique précise de la magie (là aussi je sais que je radote), ce serait quelque chose d'intéressant à élaborer[#3]. Les maths sont les mêmes dans tous les univers possibles, même ceux où la magie existe (du moins, on a tendance à le croire). Et à un certain niveau, les maths contiennent déjà de la magie (en tout cas, elles contiennent indiscutablement de la numérologie : j'ai assez parlé du pouvoir magique des nombres 696 729 600 et 244 823 040 pour ne pas insister)[#4]. Mais peut-être que cela rend les choses encore plus frustrantes : je pourrais être un mathématicien dans un monde où la magie existe et je ne le suis pas ! Dammit!

[#] Là je fais un lien vers son blog, mais en fait je ne le lis pas en ligne : j'achète ses Notes sous forme de bouts d'arbres morts. Il n'y a pas vraiment de raison (ce n'est pas comme si je ne lisais pas plein de webcomics en ligne, donc je n'ai rien contre en principe), juste qu'on m'a offert le volume 10 pour mon anniversaire il y a deux(?) ans, alors ensuite j'ai acheté et lu les 9 à 1 dans l'ordre décroissant (de numéro mais aussi, à mon avis, de qualité ← ceci est une sorte de double négation pour dire qu'il s'améliore avec le temps), et puis je me suis rendu compte tout récemment que le 11 était sorti et je viens de le finir.

[#2] (Pas cher)

[#3] J'espère toujours qu'à force de répéter cette idée, un oulipien fou va s'en emparer et m'épargner le boulot fastidieux d'être moi-même l'oulipien fou.

[#4] Ou pour prendre un exemple venu de la crypto : Alice (chevalière guerrière et sauveuses de princes en détresse) et Bob (prince charmant prisonnier dans une tour) disposent d'un canal de communication sur lequel Ève (cruelle physicienne qui maintient Bob prisonnier) entend absolument tout ce qui se passe mais ne peut pas modifier le contenu : par la magie de la crypto, Alice et Bob peuvent quand même réussir à s'échanger des messages secrets qu'Ève ne pourra pas déchiffrer. (C'est évident si Alice et Bob ont convenu à l'avance d'une clé secrète de chiffrement, mais la vraie magie c'est que c'est possible même sans ça.)

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(vendredi)

Quelques réflexions sur le tirage au sort en politique

Je n'aime pas parler de politique parce qu'à chaque fois que je le fais, j'ai l'impression de dire des conneries brouillonnes et de mauvaise foi, avec lesquelles je ne serai moi-même pas d'accord un an ou même un mois plus tard. Néanmoins, j'ai l'impression que l'exercice a quelque chose d'utile, je veux dire pour moi, certainement pas pour mon lecteur, pour moi pour organiser mes pensées, me rendre compte qu'elles ne sont pas intéressantes, et passer à autre chose. Je dois d'ailleurs dire que je suis toujours fasciné par les gens qui ont des opinions politiques très arrêtées, et parfois j'ai l'impression que c'est le cas de tout le monde, comme si trouver un bon mode d'organisation de la société n'était pas, euh, quelque chose comme LE problème sur lequel nous nous grattons la tête depuis des milliers d'années, bizarrement les gens n'ont pas tous une idée sur comment vaincre le cancer ou comment démontrer l'hypothèse de Riemann mais ils ont l'air de tous avoir une idée sur comment organiser la société, ce qui est probablement au moins aussi dur ; et peut-être que cette tendance fait elle-même partie du problème qu'il faut résoudre. (Vous voyez quand je dis que j'ai les idées brouillonnes, j'ai déjà réussi à dire plein de conneries vaseuses dans mon premier paragraphe.)

Mais ce n'est pas comme si je ne m'étais pas moi aussi arraché les cheveux sur la question (de l'organisation de la société) ; ou peut-être plutôt sur la sous-question qui est aussi la méta-question, celle des institutions (chargées de gouverner la société), celle de la constitution idéale. J'ai lu toutes les constitutions de la France et un certain nombre d'autres ainsi que les traités européens, j'ai aussi lu plein de livres sur le droit constitutionnel historique et comparé, j'ai lu entre autres Platon et Tocqueville, j'ai bien sûr lu des expositions mathématiques de la théorie du choix social et plusieurs démonstrations du théorème d'Arrow, bref, je me suis passablement bien documenté — und bin so klug als wie zuvor. Je veux notamment dire que j'ai eu plein d'idées géniales (voir par exemple ici), dont je me suis généralement rapidement rendu compte qu'elles n'étaient pas du tout géniales, en fait.

J'en viens au fait : parmi les idées censément géniales que d'autres gens que moi ont eu, il y a la suivante, sur laquelle on m'a suggéré de donner mon avis parce que je ne l'ai jamais clairement fait. Il s'agit de l'idée, plutôt que d'élire des dirigeants, de les tirer au sort parmi les citoyens du pays : une démocratie basée sur le tirage au sort plutôt que sur des élections. Plus exactement, l'idée, telle que je la comprends, est de tirer au sort, parmi l'ensemble de tous les citoyens majeurs du pays, une assemblée, dont le nombre de membres doit être suffisant pour qu'elle soit représentative, et de lui confier tel ou tel pouvoir, par exemple un pouvoir de contrôle sur tel ou tel autre organe institutionnel, le pouvoir législatif, le pouvoir de désignation de l'exécutif (étant entendu que l'exécutif lui-même est probablement trop difficile à exercer collégialement par une grande assemblée) ou enfin le pouvoir constituant (ce qui peut servir de bootstrap au système).

Les vertus que ses partisans voient dans le tirage au sort, par opposition aux élections, sont, de ce que j'en comprends, et en espérant ne pas trop déformer, essentiellement les suivantes (dans un ordre quelconque, et en étant bien d'accord qu'il y a beaucoup de redondance entre les points qui suivent) :

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