David Madore's WebLog

2009-11-23 (lundi)

Logicomix, et faut-il 350 pages pour prouver 1+1=2 ?

Bertrand Russell est un de mes héros (ou quelque chose de ce genre), et comme je m'intéresse à l'épistémologie des mathématiques, il était logique que je soit au moins intrigué par l'idée d'une bande dessinée dont le principal personnage est Bertrand Russell et dont le thème est la quête des fondements des mathématiques. C'est peut-être surprenant, mais cette BD existe (pour l'instant seulement en anglais) : elle s'appelle Logicomix ; ses auteurs sont grecs, et l'un d'entre eux, Christos Papadimitriou (enfin, Χριστος Παπαδημητριου), chercheur en informatique à Berkeley, m'était d'ailleurs connu comme auteur de plusieurs bons ouvrages sur la théorie de la complexité algorithmique : j'ai été assez étonné de le savoir co-scénariste de cette BD. (Un autre des auteurs est connu pour un roman intitulé Oncle Petros et la Conjecture de Goldbach dans sa traduction française.) Bref, comme un effet Zahir assez peu surprenant fait que j'ai entendu parler plusieurs fois de Logicomix (et en bien !) ces dernières semaines je l'ai achetée.

On aura compris que je la recommande, mais il faut que je précise bien quelque chose : ce n'est pas une BD sur les mathématiques, et ce n'est donc pas en tant que mathématicien que je la recommande (d'ailleurs, en tant que mathématicien, j'ai plutôt quelques reproches à lui faire). Je la recommanderais aussi bien à ma maman, si ma maman aimait les BD. Il ne s'agit pas d'un livre portant sur la logique, donc, mais sur l'histoire de la logique ou plutôt, un chapitre particulier de l'histoire de la logique qui est celui des fondements des mathématiques. Les héros s'appellent Russell, Whitehead, Frege, Cantor, Hilbert, Poincaré, Wittgenstein et Gödel : même si de très brefs passages sont employés à expliquer sommairement une ou deux idées essentielles de logique, de mathématiques ou — comme on se l'imagine avec l'apparition de Wittgenstein dans la liste des personnages — de philosophie, ce n'est pas du tout le propos. Le propos est plutôt d'expliquer ce qui a motivé cette quête des fondements, comment Russell l'a personnellement vécue, et en particulier comment les Principia Mathematica ont été écrits (et le Tractatus Logico-Philosophicus). La dimension humaine est essentielle, par exemple sur l'opposition de Russell à la guerre ou la perte de sa foi, mais surtout dans deux idées : la logique comme façon d'éviter la folie, et la quête des fondements sous forme de mythe de Sisyphe avec quoi les protagonistes n'en ont jamais fini. Ce n'est pas non plus une biographie de Russell (ne serait-ce que parce que ça s'arrête, comme ça commence, en fait, en 1939, donc son engagement contre la guerre du Vietnam n'est pas mentionné). Et évidemment, on pourrait redire des choses sur l'exactitude historique (notamment de la thèse sur la folie des logiciens : par exemple, le fait que Cantor soit devenu fou est d'une part un peu exagéré, et d'autre part sans rapport avec son activité mathématique). Mais assez parlé de la BD elle-même.

⁂ Les Principia Mathematica sont peut-être bien le livre le plus abscons[#] de l'univers. Non seulement c'est de la logique formelle aride au possible, mais en plus les notations ne sont plus du tout celles qu'on utilise de nos jours (par exemple, l'ensemble vide — enfin, la classe vide — est noté par un lambda majuscule, un système de points est utilisé là où nous mettrions des parenthèses, le et logique est aussi noté par un point et l'implication par un symbole ⊃), sans même compter les notations spécifiques de l'ouvrage, les abréviations qu'ils utilisent pour « alléger » les démonstrations ou la numérotation un peu déroutante ; et, évidemment, les fondements des mathématiques ont évolué depuis cette première tentative. Que le lecteur non-mathématicien s'imagine donc que la page reproduite ci-contre (et on pourrait en trouver de bien pires) est aussi imperméable à 99% des mathématiciens qu'elle l'est à lui. Il est suggéré dans la BD (je ne sais pas si Russell a vraiment émis cette opinion) que la seule personne qui ait lu le texte était Kurt Gödel ; et, de fait, les Principia sont sans doute autant célèbres pour le fait que c'est sur ce système que Gödel a initialement fondé son théorème d'incomplétude que pour être la première axiomatisation parfaitement rigoureuse de ce qui pourrait en théorie englober l'ensemble des mathématiques.

Par contre, il est vrai que la proposition énoncée sous le numéro *110·643 en haut de la page que je reproduis signifie bien ce qu'elle semble signifier : 1+1=2 (et le commentaire qui suit la démonstration est succulent : the above proposition is occasionally useful). Cette proposition intervient à la page 83 du second tome des Principia (dans la seconde édition), sachant que le premier tome comporte lui-même quelque chose comme 680 pages[#2]. Cela a valu aux Principia une renommée particulière, celle d'être le livre qui prend énormément de pages pour montrer 1+1=2 ; le énormément est parfois placé dans les 350, parce que la proposition *54·43, qui dit essentiellement que si deux ensembles ont chacun un élément et sont disjoints, alors leur union a deux éléments, est située page 362 du premier tome — ou 360 ou 379 selon les éditions — et suivie du commentaire : From this proposition it will follow, when arithmetical addition has been defined, that 1+1=2.

Ceci a malheureusement donné naissance au mythe selon lequel, en logique formelle, pour prouver quelque chose d'aussi évident que 1+1=2, il faut des centaines et des centaines de pages. C'est faux pour plusieurs raisons. D'abord parce que Whitehead et Russell n'avaient pas pour but d'arriver à cette proposition de la façon la plus rapide possible (même dans leur système on aurait pu faire ça de façon beaucoup plus économique). Ensuite, parce que leur système semble impossiblement compliqué aux yeux d'un logicien mathématique moderne[#3] : il est vrai qu'on ne cherche plus tellement à produire des systèmes qui fondent « toutes les mathématiques », mais même dans la mesure où on en choisit un, on peut espérer que la démonstation de 1+1=2 ne sera pas immensément compliquée (s'agissant de ZFC, le système orthodoxe pour fonder les mathématiques, la difficulté sera surtout d'écrire 1+1=2, c'est-à-dire, de définir qui sont ce ‘1’, ce ‘2’ et ce ‘+’ qui interviennent dans cette affirmation ; une fois cela fait, l'énoncé devrait sans doute être assez évident). J'avais lu quelque part un texte qui se voulait un peu sensationnaliste sur la longueur des démonstrations en logique formelle (où il concluait qu'il faudrait des quadrilliards de symboles pour démontrer le théorème des nombres premiers ou je ne sais quoi de ce genre) ; mais j'avais fini par me convaincre que l'auteur parlait probablement de démonstrations dites sans coupures (ce qui signifie, en très très gros, sans utiliser de lemme ou proposition intermédiaire ou quoi que ce soit de ce genre, mais en réécrivant à chaque fois la démonstration complète de ce qui aurait tenu lieu de lemme) : s'il y a des moyens d'éliminer les coupures dans une démonstration, ce moyen fait exploser la taille des démonstrations, c'est même un fait essentiel de la logique, et personne ne veut lire une démonstration sans coupures du théorème des nombres premiers ou même de 1+1=2.

[#] D'accord, on peut toujours trouver pire. Finnegan's Wake, par exemple ? Alors, pour lancer un petit troll, disons que les Principia sont peut-être bien le livre le plus abscons parmi ceux qui ont un sens. (Plusieurs trolls, d'ailleurs : sur le fait de savoir si Joyce écrivait du pur charabia, et sur celui de savoir si de la logique peut avoir un sens ou autres questions qui auraient irrité Wittgenstein.)

[#2] Enfin, la proposition de loi sur la réforme du healthcare aux États-Unis fait autour de 2000 pages : je ne sais pas ce qui est le plus impressionnant, en fait.

[#3] La théorie ramifiée des types de Russell est assez éloignée de la façon dont on conçoit, de nos jours, les fondements des mathématiques (depuis que Zermelo a convaincu tout le monde de l'opportunité d'une théorie purement du premier ordre, avec une seule sorte d'objets — les ensembles). Pour un point de vue moderne sur la théorie de Russell (et son rapport avec les théories modernes), voir ce texte de Harvey Friedman ; cet article n'est pas mal non plus, pour remettre les choses dans le contexte et expliquer ce qu'est l'axiome de réductibilité.

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2009-11-13 (Friday)

Gratuitous Literary Fragment #124 (the Trinity)

What the Christian Trinity means is fairly evident to anyone—anyone except Christians, that is. It is the divine family: a family comprising the Father, the Son and, plainly, the Mother. The all-male clergy mustn't have liked the idea of worshipping a goddess, and indeed now the very word sounds pagan; so about the time when they were busy making up the Nicene creed and kicking Arius and other heretics out of the Church, they managed to seemingly remove the Mother-of-God from the divine Trinity and replace Her with a placeholder, the Holy Ghost. Nobody knows what that Holy Spirit is supposed to be: obviously, as a hypostase, it was just fabricated from a few vague references in the Gospels where the phrase is used as a propitiatory saying when baptising (the blasphemy against the Holy Ghost shall not be forgiven unto men). The real third member of the Trinity, in fact, the most important member of the Trinity, is the Mother. No religion is originally without a female deity. Already the Jews had been deft in suppressing or disguising references to the mother-goddess Asherah, consort of El, in the Torah, though Genesis 1:27 still says that Elohim (אֱלוֹהִים—grammatically plural) created man and woman in their image. Some Protestant branches adore only Jesus and were thus quite successful in extinguishing mariolatry; the Eastern Orthodox churches followed a similar route. But the Catholics? For them, the removal was only seemingly achieved. For they don't pray to the Father—they don't even so much pray to the Son: they pray to the Mother-of-God, and visiting any staunchly Catholic country makes it completely obvious who the third and highest part of the Trinity is: just count the number of Santa Maria this and that. But those are only the dominant sects. Many more must have worshipped the Trinity as it originally stood. In fact, the point is made black on white in the Qur'an (sura 5 verse 116, يٰعِيسَى ٱبْنَ مَرْيَمَءَ أَنْتَ قُلْتَ لِلنَّاسِ ٱتَّخِذُونِي وَأُمِّيَ إِلٰهَيْنِ مِنْ دُونِ ٱللّٰهِ): Christians are accused of being tritheistic because the have put two other Gods beside Allah—Jesus and his Mother. The Qur'an may be mistaken about many things, but on this count it is clearly right.

Je reconnais avoir totalement plagié, en écrivant ça, la thèse que quelqu'un, que je ne dénoncerai pas, m'a tenue récemment (et presque ses paroles, d'ailleurs), même si j'ai complété avec une explication que quelqu'un d'autre m'a faite sur un sujet proche. Dans l'ensemble, considérez que toutes les idées intéressantes ne sont pas de moi et que toutes les erreurs, par contre, ont été ajoutées par moi. (Je trouve l'idée intéressante, même si je ne suis pas complètement convaincu qu'elle soit historiquement si correcte.)

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2009-11-09 (lundi)

Discours de commémoration du 9 novembre

Klaus Wowereit, Nicolas Sarkozy, Dmitrij Medvedev, Gordon Brown, Hillary Clinton (et par écran interposé, Barack Obama), et évidemment Angela Merkel, ont chacun fait un petit discours pour commémorer le 20^e anniversaire de la chute du mur de Berlin[#]. Je trouve qu'ils ont tous été très mauvais. Je ne fais pas référence au fait que le contenu des discours sont convenus au point d'en devenir totalement vides : cela fait partie des règles de l'exercice pour une commémoration, ce serait presque une faute de goût de vraiment dire quelque chose en une telle occasion, et les gens qui se plaignent que c'est creux sont des ignares qui ne savent pas apprécier l'art rhétorique pour ce qu'il est censé être… Mais le but est de faire au moins des phrases jolies et bien tournées (avec la difficulté supplémentaire qu'il ne faut ni dire la même chose que le voisin, ni froisser le président russe en donnant à l'URSS un mauvais rôle), et les dire avec une voix qui fait rêver. On pourrait croire qu'avec le staff que ces gens-là ont, l'un d'eux aurait su produire quelque chose à la hauteur : eh bien non, même en tenant compte des pertes à la traduction simultanée, aucun d'eux n'a rempli son contrat. Même pas Obama, qui est pourtant en général un orateur extraordinaire.

Voici à quoi ressemble un vrai discours, prononcé par quelqu'un qui parle très bien : je suis surpris qu'on n'y ait pas fait la moindre référence, d'ailleurs. Ou même celui-ci dont, quoi qu'on puisse penser de son auteur et de ses idées (et de la thèse que ce discours précis a constribué à la chute de ce mur), il faut reconnaître qu'il est par moments rhétoriquement remarquable.

Je crois que j'aurais préféré entrendre les aînés parler, en fait (mais je n'ai trouvé ni enregistrement ni transcription de cette conférence). Je soupçonne qu'ils sont plutôt meilleurs. (Quoique, finalement… le 9 novembre 1989, ce jour-là non plus, personne n'avait été capable de produire un discours convenable.)

[#] Je sais que 20 est un nombre plus rond que 15, et je sais qu'on est toujours embarrassé (en ce jour qui est, entre autres anniversaires, celui de la proclamation de la république de Weimar) par le souvenir de la Nuit de Cristal du 9 novembre 1938, mais je suis épaté par les kilos qu'on en fait cette semaine alors qu'il y a cinq ans il n'y avait vraiment rien eu du tout.

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2009-11-09 (lundi)

Déploiement policier

Mon poussinet et moi étions attablés, hier, à un café au croisement des Gobelins, vers le milieu de l'après-midi, quand des policiers ont coupé le boulevard Saint-Marcel (celui qui était devant nous) et neutralisé les Gobelins, et nous avons vu passer, en plusieurs convois, un nombre incroyable de forces de l'ordre (des policiers et des gendarmes, en nombre à peu près égal) : j'estime, même si c'est difficile d'être précis, qu'il devait y en avoir un bon millier (l'ordre de grandeur au moins est bon : cinq convois d'environ 25 véhicules chacun, avec probablement autour de huit policiers ou gendarmes par camionnette). Curieux de savoir quelle manifestation monstre (nous n'avions entendu parler de rien) pouvait nécessiter le déploiement d'autant de troupes, nous avons remonté les Gobelins (qui étaient, donc transformés en parking pour forces de l'ordre comme, nous l'avons vite vu, toutes les autres voies menant à la place). Arrivés place d'Italie (complètement coupée à la circulation), nous découvrons la cause de toute cette agitation : un rassemblement, en effet, qui avait l'air d'être d'un mouvement de sympathie pour les sans-papiers (ils n'avaient quasiment aucune banderole, et guère qu'un haut-parleur qu'on comprenait mal). À tout casser : deux cents personnes sur la place, et encore, je dois compter les badauds en disant ça. Cinq fois plus de policiers plus gendarmes, donc.

Je ne sais pas combien ça coûte, de mobiliser tous ces hommes (un dimanche, qui plus est), et je ne sais pas quels sont les coûts indirects à couper tous les grands axes d'un quartier (boulevard Saint-Marcel, avenue des Gobelins, boulevard de l'Hôpital, boulevard Vincent Auriol, avenue d'Italie, boulevard Blanqui), fût-ce le week-end, mais, même si je n'aime pas jouer les grincheux du combien ça coûte au contribuable, c'était du délire complet pour seize douzaines de péquenots. Soit quelqu'un aux RG a mal prévu le coup et j'espère qu'il va se prendre un bon coup sur les doigs, soit le délire de surencadrement policier de la moindre manifestation a été poussé encore plus loin que son hyperbole habituelle.

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2009-11-02 (lundi)

De quoi parlent les mathématiques ?

Mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true. (Les mathématiques peuvent être définies comme la discipline dans laquelle on ne sait jamais de quoi on parle, ni si ce qu'on dit est vrai.) — Bertrand Russell (Recent Work on the Principles of Mathematics)

Je vais peut-être décevoir (ou au contraire rassurer ?) mon lecteur en avouant que je n'ai aucune intention d'essayer de répondre à la question qui sert de titre à cette entrée ; je vais tout au plus essayer de vulgariser un élément de réponse à une minuscule partie de cette question (ou d'une question proche), sur laquelle on peut dire des choses « techniquement » (c'est-à-dire : logiquement) précises. C'est déjà tout un programme.

La plupart des mathématiciens (et même si ce n'est pas vraiment mon avis, je dois reconnaître qu'il est très répandu) conviendront que l'activité d'un mathématicien est de produire des théorèmes et des démonstrations. Par opposition, disons, aux définitions, exemples ou conjectures, qui forment certainement aussi une partie importante de l'activité en question, mais à laquelle l'opinion dont je parle attribue moins d'importance ou de dignité. Une démonstration est un argument logique plus ou moins formel qui suit certaines règles codifiées pour partir d'axiomes ou d'hypothèses et arriver à une conclusion : un énoncé qui est la conclusion d'une démonstration (connue !) est un théorème (ou une proposition, un lemme, un corollaire, selon sa difficulté, son importance et sa relation logique ou didactique à d'autres énoncés du sujet en cours de développement). Les règles du raisonnement, un peu comme celles des scolastiques d'autrefois (barbara, celarent, darii, ferio), sont supposées assez évidentes pour qu'on doute assez peu qu'elles préservent la vérité lorsqu'elles sont correctement appliquées : si les hypothèses de la démonstration sont vraies alors la conclusion l'est aussi ; donc, tout théorème produit à partir d'axiomes vrais est également vrai.

Mais quels sont les axiomes ? Un certain consensus, apparu au cours du XX^e siècle, et maintenant assez fermement enraciné dans, disons, le dogme officiel des mathématiques, est que les axiomes qui fondent les mathématiques sont ceux de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (en abrégé ZFC : le ‘C’ précise l'inclusion de l'axiome du choix, qui n'est pas du tout ce dont j'ai envie de parler à présent), les règles de raisonnement étant celles de la logique du premier ordre. Autrement dit, sauf mention explicite du contraire, ce qu'un mathématicien appelle théorème est un théorème de ZFC, et sa démonstration pourrait être rendue complètement formelle (une manipulation syntaxique fondée sur des règles de réécritures à partir des axiomes de ZFC pour arriver à ce théorème comme conclusion). C'est du moins le dogme officiel parce que, dans la pratique, beaucoup de mathématiciens non logiciens seraient probablement incapables de citer les axiomes de ZFC (ou de d'expliciter les règles de raisonnement de façon formelle et automatique) ; et la tâche d'expliciter complètement la démonstration de n'importe quel théorème modérément compliqué à partir des axiomes fondamentaux et en suivant les règles mécaniques est au mieux titanesque (même si les progrès de la vérification formelle ont montré qu'on pouvait arriver à des choses). Mais le dogme a le bon goût d'éviter des discussions sur les fondements des mathématiques que beaucoup de mathématiciens trouvent oiseuses ; il asseoit les mathématiques sur des bases solides et non dénuées d'élégance (et où, par exemple, la notion d'infini n'a plus rien de mystérieux ou de précaire) :

Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können. (Du paradis que Cantor nous a créé, nul ne doit nous chasser.) — David Hilbert (Über das Unendliche)

Les théorèmes mathématiques habituels (c'est-à-dire, en excluant pour l'instant des mathématiques tout ce qui est trop près de la logique) portent sur des objets comme les groupes, les anneaux, les espaces topologiques, les variétés différentiables, les fonctions de la variable réelle, les espaces de Banach, que sais-je encore, et, bien sûr, les entiers (disons, les entiers naturels). Bizarrement, aucun de ces objets n'« existe » dans ZFC : la seule chose (le seul type d'objet) que ZFC connaît, ce sont des ensembles. (Un ensemble est un objet mathématique très simple : il contient des objets, appelés ses éléments : il ne retient de chaque élément possible que sa présence ou son absence dans l'ensemble — il ne peut pas y avoir plusieurs fois le même élément dans l'ensemble.) Les éléments des ensembles considérés par ZFC sont eux-mêmes des ensembles, dont les éléments sont eux-mêmes des ensembles, et ainsi de suite (et un des axiomes de ZFC, l'axiome de régularité ou axiome de fondement, affirme qu'à jouer au petit jeu de passer de façon répétée d'un ensemble à un élément de celui-ci, en un nombre fini d'étapes on aboutit toujours à l'ensemble vide qui n'a plus d'éléments et qui met donc fin au jeu). Tout autre objet mathématique (groupe, entier naturel, nombre réel, faisceau étale) doit être pour ainsi dire « codé » comme un ensemble, ce codage n'étant pas très différent dans son esprit de celui qui vaut dans un ordinateur et qui fait qu'une page Web, une image ou une musique est représentée, au final, par une suite de 0 et de 1 : quelque part, se demander quels sont les éléments du nombre réel π (puisqu'il doit être codé comme un entier) est à peu près aussi intéressant ou intelligent, comme question, que se demander quel est le premier bit (0 ou 1) de la 5e symphonie de Beethoven. L'avantage du codage, toutefois, c'est que ZFC n'a pas à s'embarrasser à connaître toutes les notions farfelues que les mathématiciens inventent : il ne connaît que les ensembles, tout le reste est écrit sous forme de définitions préalables aux théorèmes.

Ce codage (et donc, ce dogme orthodoxe selon lequel toutes les mathématiques sont écrites dans le langage de ZFC ; ou en tout cas, l'illusion que ce dogme est suivi) a au moins deux inconvénients. Le premier, c'est qu'il est au moins intellectuellement insatisfaisant de penser qu'un théorème qui devrait porter sur la structure algébrique, disons, du groupe de Mathieu est, en fait, écrit sur un codage particulier et accidentel de ce groupe comme un ensemble : les ensembles ont juste ceci pour eux que c'est la structure de données (pour parler de nouveau comme un informaticien) la plus simple qui permettait de coder toutes les mathématiques, mais cette structure est assez déconnectée de celle à laquelle on s'intéresse vraiment. Le second inconvénient, c'est que les ensembles apportent leurs subtilités logiques dont on ne voudrait peut-être pas, et que, finalement, ZFC est beaucoup trop fort pour faire toutes les mathématiques usuelles. Je vais essayer d'expliciter.

⁂

Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk. (Les entiers ont été faits par Dieu, tout le reste est l'œuvre de l'homme.) — Leopold Kronecker (cité par Heinrich Martin Weber)

La majorité des mathématiciens (et peut-être de tous les gens qui comprennent la question) conviendront probablement qu'un énoncé portant uniquement sur les entiers naturels, un énoncé arithmétique, par exemple pour tout entier n≥3, les seules solutions de xⁿ+yⁿ=zⁿ avec x,y,z entiers sont celles où l'un de ces trois nombres est nul, a un sens bien défini, et donc qu'il est vrai ou faux. (Techniquement, par énoncés arithmétiques je veux parler d'énoncés en logique du premier ordre et dans le langage de l'arithmétique — avec, disons, les opérations + et ×, l'exponentiation pouvant se définir au prix d'un petit travail.) Bref, il s'agit d'une certaine forme de platonisme : l'idée, au moins atténuée, que les entiers naturels existent réellement, et qu'il y a un sens à se poser des questions, même si on ne peut pas forcément y répondre, portant sur une infinité d'entre eux, tant que ces questions sont mathématiquement bien formulées. (J'ai déjà ranté à ce sujet, d'ailleurs.) Il y a sans doute aussi des gens qui objecteront que la question de savoir si le 10↑(10↑(10↑100))-ième nombre premier se termine par 1, 3, 7 ou 9, bien qu'il s'agisse d'un énoncé arithmétique et même complètement fini, est une question dénuée de sens puisque jamais personne ne pourra mener le calcul, mais ces gens sont rarement mathématiciens, et je soupçonne les quelques mathématiciens qui soutiennent ce genre de thèses de le faire plus par provocation que par conviction (si on refuse l'idée qu'une infinité d'entiers naturels existe réellement, je me demande comment on explique le hasard faisant que x×y, aussi loin qu'on pousse le calcul expérimentalemnt, a toujours l'air de valoir y×x, et je me demande comment on peut faire des mathématiques).

En revanche, pour un énoncé portant non plus sur les entiers mais sur les ensembles (ou, du coup, tout ce qui peut être codé avec eux, c'est-à-dire, tout), l'idée qu'il existe un vrai intangible sur ces concepts est plus douteuse. On sait, par exemple, que ZFC ne résout pas la question suivante : tout ensemble de nombres réels peut soit être mis en correspondance avec (c'est-à-dire, a “autant” d'éléments que) tous les nombres réels soit avec un ensemble d'entiers. Même si le consensus parmi les théoriciens des ensembles est maintenant qu'il est préférable de considérer cet énoncé (l'hypothèse du continu) comme faux, la question de savoir s'il est « vraiment » faux (sic !) est une question plutôt dénuée de sens : la situation est plutôt quelle sorte d'ensembles on veut considérer, quelle sorte d'ensembles est souhaitable, quelle sorte d'ensembles (Menschenwerke) se comporte bien pour les mathématiques qu'on veut faire. Un peu comme la question du cinquième postulat d'Euclide : ce dernier est vrai sur le plan mais faux sur la sphère, donc la question de savoir s'il est vrai ou faux n'a pas lieu, ce qui faut se demander est si on veut faire de la géométrie plane, de la géométrie hyperbolique, de la géométrie sphérique (ou encore autre chose). On peut choisir de faire de la théorie des ensembles avec l'hypothèse du continu, ou sans (et dans ce cas, avec éventuellement telle ou telle autre hypothèse pour la remplacer). En revanche, s'agissant des entiers naturels, on a l'impression qu'on n'a pas une telle liberté : s'il y a des énoncés sur les entiers naturels que ZFC ne tranche pas (et il y en a forcément, je vais y venir), on n'a pas la liberté de considérer tels entiers naturels plutôt que tels autres — parce que les entiers naturels ils sont censés vraiment exister, pouvoir être écrits, au moins théoriquement et conceptuellement, avec un stylo sur un papier. Dans le langage de Kronecker, Dieu les a créés, nous n'avons pas le pouvoir de les choisir ; de façon moins théiste, il existe un modèle privilégié de l'arithmétique (peut-être lié à l'univers physique dans lequel nous vivons, d'ailleurs).

⁂

On pourrait être tenté d'en conclure qu'au lieu de faire de la théorie des ensembles on devrait faire de l'arithmétique. Il existe un système formel censé codifier l'arithmétique : ce sont les axiomes de Peano (ou l'arithmétique de Peano, ici je parle de la théorie du premier ordre). Il est beaucoup moins évident d'imaginer comment coder les théorèmes mathématiques parlant d'objets sophistiqués en termes d'entiers naturels qu'en termes d'ensembles, mais imaginons qu'on s'intéresse uniquement aux théorèmes portant sur les entiers. Les axiomes de Peano sont une conséquence de ceux de ZFC (sur l'ensemble ω des entiers naturels codés dans ZFC), donc tout énoncé arithmétique qui découle des axiomes de Peano découle aussi de ZFC. La question se pose de savoir si la réciproque est vraie : les énoncés arithmétiques démontrés par ZFC (et qui se trouvent être arithmétiques) sont aussi démontrables à partir des axiomes de Peano (et qui sont, eux, forcément arithmétiques). La réponse est inattendue : c'est non, certainement pas ! et pourtant, en pratique, si….

La réponse non vient du génie de Gödel. La première remarque à faire, c'est que les démonstrations mathématiques, une fois qu'on précise complètement le cadre dans lequel on les fait, peuvent elles-mêmes être étudiées comme un objet mathématique (et la question de savoir si machin ou truc est un théorème devient une question mathématique). Et il y a mieux : cette question est une question arithmétique, puisque les démonstrations et les théorèmes, étant des objets essentiellement finis, peuvent très bien se coder comme des entiers (par exemple, imaginez-en une représentation informatique quelconque, et lisez la suite de 0 et de 1 comme un grand nombre : les détails n'ont aucune importance), et que les règles de démonstration, une fois mécanisées, peuvent s'exprimer comme des opérations arithmétiques (compliquées, mais explicitables) sur ces entiers. Donc des affirmations comme machin est un théorème de ZFC ou truc ne découle pas des axiomes de Peano deviennent elles-mêmes des affirmations arithmétiques (qui peuvent elles-mêmes faire l'objet d'une démonstration, par exemple dans ZFC, ou dans l'arithmétique de Peano). La deuxième remarque, c'est qu'il y a une façon (astucieuse, mais pas très compliquée) de produire un énoncé arithmétique G, qui affirme G n'est pas un théorème (selon ce que vous voudrez : un théorème de ZFC, un théorème de l'arithmétique de Peano) ; c'est-à-dire en quelque sorte un énoncé qui dit : je ne suis pas un théorème. C'est un peu difficile à visualiser, mais c'est un énoncé vraiment arithmétique, c'est-à-dire portant sur des entiers naturels, et qui dit que si vous manipulez des entiers d'une certaine manière (codant les règles de déduction et les axiomes dans le système que vous avez choisi : ZFC, Peano), vous ne tomberez pas sur un entier codant une démonstration de ce G lui-même.

Or si on fait l'hypothèse que l'énoncé G qui dit je ne suis pas un théorème de l'arithmétique de Peano (je choisis Peano pour l'exemple) soit un théorème de l'arithmétique de Peano, il devrait être vrai (sinon ce sont les axiomes de Peano qui sont faux). Étant vrai, puisqu'il affirme ne pas être un théorème, il ne devrait pas être un théorème, et on a une contradiction à ce qu'on a supposé. C'est donc le contraire de cette hypothèse qui est vrai : G n'est pas un théorème de l'arithmétique de Peano ; et, n'étant pas un théorème, il est vrai (puisque c'est ce qu'il dit). Ça ressemble aussi à une contradiction, mais cette fois ce n'en est pas une : G est vrai, mais l'arithmétique de Peano n'arrive pas à le démontrer — elle est trop faible pour ça. Pourtant, nous, nous avons réussi à démontrer G (je viens de le faire en concluant G est vrai). Le secret, c'est que nous n'avons pas travaillé dans l'arithmétique de Peano ; il n'est pas évident de voir exactement à quel endroit on en est sorti (et c'est encore moins évident vu que je n'ai pas explicité les axiomes de Peano), mais c'est dans la partie du raisonnement où j'ai écrit il devrait être vrai (sinon ce sont les axiomes de Peano qui sont faux) : le problème est que dans la mesure où machin est un entier naturel codant un énoncé arithmétique, dire machin est un théorème (de Peano) est bien un énoncé arithmétique, mais dire machin est vrai ne l'est pas (on peut bien dire machin est vrai, lorsque machin est quelque chose d'explicite, en disant juste machin, mais on ne peut pas définir la vérité d'un entier codant un énoncé : ce point est subtil, mais crucial). Par contre, ma démonstration est correcte dans ZFC (dans ZFC, il est facile de coder la relation machin est vrai des entiers naturels) : donc, dans ZFC, l'énoncé arithmétique G (et, du coup, le fait qu'il ne soit pas un théorème de Peano) est bien un théorème ! C'est là le fameux théorème de Gödel.

C'est un théorème très glissant que celui de Gödel, parce qu'il en existe quantité de variantes, et parce que les démonstrations font intervenir un système formel qui dit qu'un énoncé est ou n'est pas un théorème d'un autre système formel, et parfois des choses plus compliquées : on s'y perd facilement, quand on n'a pas l'habitude. Mais l'idée générale est très simple, et de façon très informelle, c'est que si je dis à quelqu'un tu ne peux pas prouver que j'ai raison !, alors j'ai forcément raison, et il ne peut pas le prouver. (La différence, c'est que dans le langage courant, on peut facilement créer des paradoxes, dire des choses comme cette phrase est fausse : dans le langage mathématique, on ne peut pas, donc le génie de Gödel a été de s'apercevoir qu'on pouvait quand même exploiter des phrases auto-référentielles.)

De façon générale, si vous avez une théorie formelle T (par exemple l'arithmétique de Peano, ou ZFC) qui permet de faire de l'arithmétique, et qui a des règles codables dans l'arithmétique, vous pouvez considérer un énoncé arithmétique G qui affirme T ne démontre pas G. Si T démontrait G, alors certainement elle démontrerait T démontre G (à partir d'une démonstration de G vous trouvez facilement une démonstration du fait qu'il existe une démonstration de G), c'est-à-dire précisément la négation de G : donc T démontrerait à la fois G et sa négation, et T est incohérente (elle démontre tout et son contraire). A contrario, ceci signifie qu'en ajoutant à T la simple hypothèse T est cohérente (qui, de nouveau, est un énoncé arithmétique), on permet à cette nouvelle théorie T′ de démontrer G ; or si T ne démontrait pas G, c'est qu'elle est bien strictement plus faible que T′, donc elle ne démontre pas la cohérence de T. C'est là le second théorème de Gödel : une théorie T cohérente ne peut pas démontrer sa propre cohérence.

⁂

Je reviens à mes moutons.

Je viens d'expliquer pourquoi ZFC prouve des énoncés arithmétiques que les axiomes de Peano ne permettent pas de prouver : explicitement, les axiomes de Peano sont cohérents (c'est-à-dire …ne permettent pas de prouver 0=1) est un énoncé arithmétique qui est un théorème de ZFC mais qui ne découle pas des axiomes de Peano. Voici donc un énoncé, portant uniquement sur des entiers naturels, qu'on ne sait pas démontrer sans passer par des ensembles. Et qui suggère la question épistémologique suivante : si on n'est pas convaincu que les ensembles « existent » dans le même sens que les entiers existent, sur quoi est-on fondé pour accepter les conséquences arithmétiques de ZFC ? (Pourquoi ces ensembles, qui n'existent peut-être pas vraiment, ont-ils des conséquences bien tangibles sur les entiers qui, eux, existent ?)

Le théorème de Gödel s'applique bien sûr aussi à ZFC lui-même si celui-ci est cohérent : il permet de dire que ZFC, s'il et cohérent, ne peut pas montrer sa cohérence (qui est pourtant un énoncé arithmétique). Bien sûr, Peano peut encore moins. On peut néanmoins montrer la cohérence de ZFC en ajoutant à ZFC des axiomes plus forts, comme l'existence de certains « gros » ensembles (un cardinal inaccessible), mais, évidemment, la théorie ainsi augmentée ne prouvera pas sa propre cohérence (si elle est cohérente).

Une façon plus inattendue de lire le théorème de Gödel est la suivante : supposons qu'un mathématicien ait démontré non pas l'hypothèse de Riemann (remplacez par votre conjecture préférée) mais l'énoncé suivant : l'hypothèse de Riemann est un théorème de ZFC (cela aussi dans ZFC). Doit-on en conclure que l'hypothèse de Riemann est démontrée ? La première réaction est de dire oui : si on a démontré que l'hypothèse de Riemann a une démonstration dans ZFC, c'est qu'elle a une démonstration, donc elle est un théorème. Pourtant, ce n'est pas le cas (c'est exactement le même problème que celui qui consistait, plus haut, à tenir dans Peano le raisonnement que si G est une conséquence des axiomes de Peano qui sont vrais, alors il est certainement vrai) : certainement ZFC croit à la véracité de ses propres axiomes, mais il ne peut pas formaliser la notion de vérité de façon à pouvoir dire que toute conséquence de ces axiomes est elle-même vraie. D'ailleurs, si on remplace l'hypothèse de Riemann par 0=1 dans le raisonnement, on ne peut pas dire dans ZFC que 0=1 est un théorème de ZFC (i.e., ZFC est incohérent) soit équivalent à 0=1 (i.e., que ce n'est pas le cas), car cela reviendrait à prouver la cohérence de ZFC, or Gödel nous prédit justement qu'on ne peut pas y arriver (sauf si c'est faux…). Dans le cas de l'hypothèse de Riemann, notre mathématicien aurait en fait démontré qu'elle découle de ZFC plus l'axiome d'existence d'un cardinal inaccessible (comme on n'a pas moins, ou pas plus, de raison de croire à la possibilité et aux conséquences arithmétiques d'un cardinal inaccessible qu'à celles de l'univers de ZFC, on peut s'estimer satisfait, mais néanmoins les règles du dogme officiel n'ont pas été satisfaites).

De façon générale, il est sans doute étonnant d'apprendre que si on ajoute à ZFC une infinité d'axiomes (un schéma d'axiomes) affirmant pour tout énoncé P que si P est un théorème de ZFC, alors P, on a fait une addition tout à fait substantielle au système. Épistémologiquement, ceci pose la question de savoir si on doit croire à ce schéma, et pourquoi. (Pour ceux qui aiment les grands cardinaux, il découle du schéma d'axiomes selon lequel toute classe close cofinale — explicitement définie — d'ordinaux contient un cardinal inaccessible.) Ne pas y croire est déplaisant : si on croit que ZFC dit la vérité, on serait bien obligé de le croire quand il dit qu'il démontre un théorème ! Mais y croire est également déplaisant : car une fois qu'on ajoute ce schéma d'axiomes, il faudrait le rajouter à nouveau pour la théorie ainsi modifiée, et ainsi de suite… mais ce et ainsi de suite cache beaucoup de poussière, de surprise, et de grands ordinaux chafouins. ((Pour ceux qui voudraient en savoir plus, je renvoie au très bon livre de Torkel Franzén, Inexhaustibility: a non-exhaustive treatment.))

⁂

Je reviens une nouvelle fois à mes moutons.

J'ai expliqué pourquoi ZFC prouve des énoncés arithmétiques que les axiomes de Peano ne permettent pas de prouver, et que c'est une question épistémologique épineuse de savoir pourquoi on doit croire à de tels énoncés (ou si on doit croire à certains énoncés au-delà de ZFC mais dont la véracité a l'air d'être sous-entendue par celle de ZFC). Néanmoins, on a une surprise pour ainsi dire dans le sens inverse quand on découvre que : vraisemblablement, tous les théorèmes arithmétiques des mathématiques usuelles (c'est-à-dire, hors de la logique et des champs proches, ou de tous théorèmes conçus exprès pour réfuter cette affirmation), démontrés dans ZFC, sont en fait démontrables dans l'arithmétique de Peano (et même dans des théories encore beaucoup plus faibles : par exemple l'arithmétique de Peano dans laquelle le schéma de récurrence est limité à des formules bien particulières, genre des formules semi-décidables par une machine de Turing). En particulier, le théorème de Fermat-Wiles devrait, vraisemblablement, découler des axiomes de Peano. Je dis vraisemblablement parce que c'est quelque chose qui fait débat : tous les logiciens ont l'air fortement convaincus de ce fait (voici un article qui expose très bien la situation et le point de vue des logiciens), les mathématiciens non logiciens sont généralement plus sceptiques ; et évidemment, on ne connaît pas de démonstration du théorème de Fermat-Wiles dans l'arithmétique de Peano : on pense juste qu'il devrait y en avoir une (et on a des idées sur la façon de la faire, mais ça ne peut évidemment pas être complètement systématique puisque, je l'ai prouvé, il existe des théorèmes arithmétiques de ZFC qui ne découlent pas de Peano : le point important est que ces choses-là n'arrivent pas dans les « vraies » mathématiques).

Devrait-on s'en réjouir ? Ce n'est pas clair. Le côté positif de cette constatation (si elle est vraie), c'est que les questions épistémologiques sur la véracité des conséquences arithmétiques de ZFC n'ont pas à nous tracasser : les vrais théorèmes mathématiques n'en ont pas besoin. Et ces vrais théorèmes sont fondés dans une théorie beaucoup plus élémentaire, donc plus vraisemblable, que ZFC. Le côté négatif, c'est que ce n'est pas ce qu'on fait, justement : on démontre nos théorèmes dans ZFC, qui est (au moins arithmétiquement) beaucoup trop forte pour ce dont les mathématiques ont besoin. On fait inutilement intervenir des constructions qu'on pourrait qualifier de douteuses. Mais les démonstrations reformulées dans l'arithmétique de Peano deviendraient probablement incompréhensibles ! Et un autre côté négatif, ou une autre façon de présenter le même, c'est que les mathématiques n'utilisent pas, et de très loin, toute la puissance de raisonnement qu'elles s'autorisent elles-mêmes (par le dogme orthodoxe) à suivre. C'est assez triste.

Sur ce dernier point, d'ailleurs, un thème récurrent de la logique est que la force des méthodes de raisonnement peut se mesurer sur une échelle graduée par des ordinaux : le fait que les mathématiques hors de la logique n'utilisent jamais de techniques de démonstration logiquement très fortes se voit au fait qu'il n'y a jamais de récurrence sur des ordinaux supérieurs ou égaux à ε₀.

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2009-10-26 (lundi)

Confusion nocturne

Je me réveille assez souvent pendant la première partie de la nuit (c'est-à-dire, très grossièrement, dans les 3h après m'être endormi) en étant complètement désorienté par exemple quant à l'endroit où je me trouve. Généralement cela fait suite à un rêve, ou une sorte de rêve.

Un thème commun de ce rêve, par exemple, serait que je suis entré dans un endroit plus ou moins labyrinthique et que je ne sais plus en sortir ou que je suis enfermé (les psychanalystes de comptoir auraient certainement beaucoup à dire sur ces thèmes-là !). Ou encore je rêve que quelqu'un a éteint la lumière alors que je suis dans un endroit qui m'est très peu familier et que je veux en sortir mais que je ne sais plus bien où est la sortie ni où est la lumière (ou même je rêve que je me suis endormi dans une maison que je ne connais pas, et que je me réveille et que je ne sais plus où sont les toilettes) : dans ces derniers cas, le rêve touche de très près à la réalité, et même lorsque, dans la réalité, je suis simplement chez moi, je me réveille complètement perdu. (Et parfois, je cherche la lumière une fois réveillé, justement je ne la trouve pas, ce qui alimente encore le même rêve.) Parfois aussi je fais un peu de somnambulisme et je me mets dans un état semi-endormi à chercher la sortie du labyrinthe de mes rêves[#]. J'en ai déjà parlé.

Ma confusion ne concerne pas forcément l'endroit où je suis. Parfois je me réveille en disant quelque chose de complètement incompréhensible (enfin, cela devait probablement être compréhensible si on connaissait le rêve qui précédait, mais moi-même je l'oublie très rapidement). Je réveille de temps en temps mon poussinet, comme ça, qui ne comprend pas plus que moi ce qui lui arrive. D'ailleurs, la même chose lui arrive aussi (mais plus rarement, je crois, et je ne crois pas qu'il ait jamais cette sensation d'être perdu).

Ce qui est bizarre, c'est que ça n'arrive presque que dans les premières heures du sommeil. Quand la nuit est bien plus avancée, je peux faire rêve sur rêve (et il m'arrive là aussi de rêver de labyrinthes, même s'ils prennent une forme assez différente) et même si on me réveille au cours de ceux-ci, je n'ai peut-être pas l'esprit complètement frais, mais je n'ai pas cette confusion caractéristique des débuts de nuit.

[#] Il m'est arrivé d'appeler au secours, cependant, quand j'étais plus petit, notamment quand j'étais vraiment dans un endroit que je ne connaissais pas et que je n'avais pas repéré les lieux. La panique de ne retrouver ni la porte de sortie de la pièce, ni l'interrupteur de lumière, pouvait être vraiment terrible.

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2009-10-26 (lundi)

Provoquer des rencontres

Ce week-end, j'ai mis en contact deux amis que je connaissais séparément, en espérant qu'ils sympathisent. Chose qui n'a rien de remarquable (sauf à la rigueur le fait que ces deux amis habitent à 8977km(±2km) de chez moi à vol d'oiseau) ; mais, finalement, je n'ai pas souvent l'occasion de le faire : beaucoup de mes amis se connaissent déjà entre eux, ou quand ce n'est pas le cas, il est souvent soit peu souhaitable (humeurs probablement incompatibles, centres d'intérêts trop disjoints) soit probablement difficile (connaissance limitée à un cadre restreint, emplois du temps difficiles à concilier) de les amener à se rencontrer. C'est dommage.

Je pense pourtant que je devrais — et qu'en général « on » devrait — faire des efforts pour rassembler des gens qu'on connaît et qui auraient des chances de pouvoir s'entendre, voire devenir amis (ou, pourquoi pas, plus) si affinités : on s'extasie sur des sites web de réseaux sociaux (le plus récemment Facebook, même si celui-ci exploite en vérité assez peu la notion d'ami d'ami), mais dans la vraie vie j'ai l'impression qu'on explore assez peu qui nos amis d'amis et amis d'amis d'amis peuvent nous amener à rencontrer[#].

Il y a déjà assez longtemps, j'avais proposé un système pyramidal consistant, pour résumer, à inviter à dîner six amis qui (autant que possible) ne se connaissent pas les uns les autres, afin qu'ils se rencontrent et lient connaissance, puis leur demander que chacun reproduise le schéma (en plaçant celui qui les a invités au préalable dans la liste des convives) — et ainsi de suite récursivement. Comme beaucoup d'idées que j'ai eues, je me sens idiot de ne jamais l'avoir mise en pratique ; je devrais y reréfléchir ou, au moins, rédiger proprement des « règles » d'un tel système de rencontres et lui donner un nom accrocheur, après tout ça pourrait être un mème à succès[#2].

[#] Sauf peut-être quand il s'agit d'obtenir une faveur (le piston social) : c'est sans doute utile d'apprendre à cette occasion qu'on a forcément un ami qui connaît un proche de tel ou tel ministre, mais il y a beaucoup d'autres gens intéressants dans la vie que des proches de ministres.

[#2] Il y a des petits jeux du même genre avec des livres, par exemple (comme des chaînes, où on reçoit un livre qu'on est invité à lire et à donner à quelqu'un d'autre après avoir inscrit son nom dedans), qui ne sont pas moins sympathiques.

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2009-10-25 (dimanche)

Les Joies de la famille

Mon poussinet et moi avons vu le film Patrick 1,5 (titre bizarrement traduit en français comme Les Joies de la famille). C'est certes un peu prévisible, mais c'est tout mignon et ça nous a beaucoup plu : je recommande, donc (et pas seulement parce que les deux principaux acteurs, Gustaf Skarsgård et Thomas Ljungman, sont très jolis à regarder). La difficulté, par contre, c'est qu'il n'est (plus ?) diffusé que quand une douzaine de salles en France (deux à Paris) : pour notre part, nous sommes allés au Mk2 Beaubourg (qui s'est fait une certaine spécialité de projeter les films « LGBT-themed »).

En passant, j'ai vu des gens (je crois que c'étaient les Mormons de la rue Saint-Merri) qui s'étaient installés au coin de Beaubourg et qui, perchés sur des bittes[#], lisaient à haute voix des textes religieux en anglais, probablement la bible du roi Jacques ou le livre de Mormon ou quelque chose de ce genre : ça faisait exactement penser à la scène des prophètes de Life of Brian (ou un peu au sermon au tout début de ce passage de The Meaning of Life), du coup j'ai vraiment eu envie de me mettre à côté d'eux et de commencer à prêcher moi aussi (mais je me suis souvenu de comment Brian finit et j'ai préféré éviter).

[#] Des bittes pour empêcher les voitures de passer, je veux dire. Après, si pour Pierre sur une pierre on peut fonder une Église, on peut certainement aussi faire des choses intéressantes sur une bitte.

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2009-10-24 (samedi)

La petite famille s'agrandit

Les lecteurs attentifs de ce blog (c'est de vous que je parle) connaissaient depuis longtemps Naughty & Dotty, ainsi que Daisy, et peut-être avez-vous vu remarqué Coinky (le poussin obèse qui joue de la flûte ténor). Ruxor et le poussinet ont la joie de vous présenter le nouvel arrivé de cette petite ménagerie : Bluby, la baleine toute souriante. (Adoptée au magasin Le Phare de la Baleine de Bordeaux par un poussinet de passage. La vendeuse lui a demandé c'est pour un petit garçon ou une petite fille ?, et le poussinet a, on peut l'imaginer, un peu rougi en répondant c'est pour moi ; la vendeuse l'a alors rassuré : vous avez le droit d'aimer les baleines.) La DDASS n'a fait aucune difficulté à ce que nous l'adoptions conjointement.

Vous pensez peut-être que nous sommes fous de peluches, mais en fait c'est très difficile d'en trouver qui me plaisent. Quand je fais un tour au rayon peluches et doudous du BHV, la plupart de celles que je vois ont une expression qui ne me plaît pas. Peut-être que je n'ai pas les mêmes goûts que les enfants de cinq ans ?

Sinon, parlant de baleines, j'aime bien cette vidéo.

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2009-10-22 (jeudi)

Hadopi 2, amendement 138, et une conférence

Il y avait ceux (et même des gens célèbres-sur-la-toile) qui prévoyaient, les mêmes causes produisant les mêmes effets, que le Conseil constitutionnel ne pouvait que renouveler sur la loi Hadopi 2 la censure dont il avait déjà frappé la loi Hadopi. Il y avait même ceux qui suggéraient qu'un certain énervement se ferait ressentir rue de Montpensier en voyant le législateur publier exactement la même loi qui avait déjà été refusée une fois (dans des termes différents, certes, mais tout étant fait en sorte que les effets soient exactement les mêmes). Et il y avait des rumeurs comme quoi le Conseil d'État (qui loge, après tout, à quelques couloirs du Conseil constitutionnel et ne doit pas être complètement ignorant[#] de la Constitution) aurait soufflé au gouvernement que cette loi était contraire à la Constitution. En vérité, ces Messieurs du Conseil constitutionnel n'ont pas eu l'air spécialement émus de devoir plancher une deuxième fois sur la même loi, ou qu'on contourne grossièrement leur précédente décision : cette fois, ils ont validé la loi (à un détail près, qui déplaira peut-être à certains mais qui ne protège absolument pas les internautes). J'avoue que j'ai une image du Conseil constitutionnel un peu comme sa caricature chez les Guignols de l'Info et que ceci ne l'aide pas vraiment.

[#] Même si on a, en France, cette aberration incompréhensible du droit qui veut que le juge, qu'il soit administratif ou judiciaire, ne peut pas regarder la Constitution pour savoir si les lois y sont conformes. Ce serait éventuellement sensé s'il n'avait jamais le pouvoir d'écarter l'application d'une loi, mais il l'a lorsqu'elles sont contraires à un traité (ou, via les traités européens, au droit communaitaire même dérivé) : on arrive donc à cette situation totalement idiote, absurde, et que personne n'est foutu d'expliquer, que la Constitution est censément au-dessus des traités eux-même au-dessus des lois, mais qu'elle est tellement au-dessus qu'on ne la voit même plus. D'où ma sempiternelle question : que se passerait-il si la France passait un traité avec les îles Tuvalu dont le contenu serait la France s'engage à respecter la Constitution française (en échange de quoi les îles Tuvalu s'engagent à ce que 2+2=4, puisqu'il faut paraît-il une réciprocité dans les traités) : ceci permettrait-il au juge de faire respecter le traité qui dit que la Constitution doit être respectée ?

⁂

Pendant ce temps, à Bruxelles (ou Strasbourg ?), il semble qu'il y ait aussi des mauvaises nouvelles de l'amendement 138 (aka 46) du paquet Télécoms (un amendement qui prévoyait, justement, d'interdire de suspendre une connexion Internet sauf par une décision de justice — et auquel les gouvernements français et anglais étaient, très logiquement, viscéralement opposés). Rappelons que le Parlement avait plusieurs fois, à une très large majorité, rétabli cet amendement contre la volonté du Conseil (c'est un domaine de codécision, donc il faut que les deux s'entendent sur le même texte), et aux dernières nouvelles le texte était en comité de conciliation. J'entends maintenant que l'amendement a été abandonné mardi par le Parlement, mais je n'arrive pas à savoir si c'est en comité ou en séance plénière (je ne suis pas sûr de comprendre la procédure, mais si c'est en comité, il est possible que l'amendement puisse encore être réintroduit en séance plénière ; si c'est en plénière, c'est trop tard, parce que le Conseil va certainement approuver le paquet tel qu'il est). Impossible de trouver un dossier sur le paquet Télécoms sur le site Web du parlement européen : si vous y arrivez, vous êtes plus fort que moi ; mais je note que les minutes de la séance de mardi sont en ligne et même si je ne comprends pas ce mélange de toutes les langues de l'Union ça n'a pas l'air de beaucoup parler de Télécoms.

⁂

Je fais un léger non sequitur pour dire qu'il y avait avant-hier à Télécom (l'École !) une conférence, organisée par l'association Utopia et dont le titre était : Quels enseignements politiques tirer des expériences du logiciel libre et de celle des creative commons ? J'y suis allé, outre parce que j'étais dans le bâtiment, parce que l'un des invités était Patrick Bloche (député de Paris, maire du 11^e arrondissement, PS), pour qui j'ai le plus grand respect (au moins dans ce combat précis, mais déjà il y a dix ans lorsqu'il a « porté » le PACS à l'Assemblée). Il a fait la prévision que, quelle que soit la décision que le Conseil constitutionnel rendrait, cette loi ne serait jamais appliquée, ne serait pas plus appliquée que la loi DADVSI avant elle, et que ce n'était pas l'intention de ceux qui la portaient qu'elle fût appliquée puisque l'ancienne ministre de la culture parlait de loi pédagogique (peut-être même thérapeutique ?), qu'il s'agissait plutôt d'une tentative de contrôle d'Internet et surtout de l'attention du public. Mais celui qui a surtout parlé, dans cette conférence, c'est Philippe Aigrain (connu notamment comme le fondateur de La Quadrature du Net) : et il faut dire qu'il parle extraordinairement bien, Philippe Aigrain — c'est clair, c'est précis, c'est compréhensible, c'est argumenté. Je ne veux pas tenter de résumer en une phrase ce qu'il a dit. Mais comme je tape des notes dans la plupart des séminaires scientifiques auxquels j'assiste et que j'ai décidé d'en faire autant cette fois-là, vous voulez les lire : elles sont ici (évidemment, comme c'est saisi sur le vif, il y a des choses que j'ai ratées, ou mal comprises, ou mal entendues, etc., donc c'est parfois un peu bordélique, mais j'espère quand même que ça reste compréhensible). La vidéo sera disponible plus tard (je ne sais pas quand) en ligne (ou peut-être ailleurs : ils avaient évoqué Mediapart).

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2009-10-21 (mercredi)

TP en Sage, et webapplications

J'ai donné hier un TP pour un cours d'(introduction à l')arithmétique pour la cryptographie[#] dont je suis responsable à Télécom (dans le cadre d'un master sécurité). Le choix du logiciel de calcul symbolique dans lequel travailler est toujours un peu épineux. Je préfère par principe un logiciel libre, ce qui laisse encore un certain choix ; mais il faut tenir compte de l'environnement disponible dans les salles de TP auxquelles j'ai accès. Or, à ce sujet, sauf à aller frapper à la porte d'autres départements de l'École, le choix est entre des salles de PC Windows (or je ne sais pas utiliser Windows, et je n'ai pas trop envie d'apprendre) ou de Sun (également Intel) sous Solaris 11, l'installation de ce dernier OS n'étant pas toujours complètement orthodoxe (et, concrètement, compiler n'importe quoi est une gageüre). L'an dernier j'avais fait mes TP sous Maxima qui est, il faut le dire, assez mauvais (et je ne sais pas qui a eu l'idée d'utiliser “:” pour l'affectation, mais il devait vraiment avoir fumé quelque chose). Cette année, j'ai jeté l'éponge sur l'idée de compiler quoi que ce soit sur les machines de TP, et j'ai utilisé Sage[#2] à distance : le programme tourne sur ma machine au bureau, et les étudiants y accèdent par un navigateur Web. Il faut dire que Sage a un système de worksheets assez impressionnant de ce point de vue-là (il y en a une démonstration publiquement accessible sur www.sagenb.org[#3]).

C'est une idée séduisante a priori : au lieu de faire une interface graphique, un programme peut toujours décider d'utiliser un navigateur pour ça, de se présenter sous la forme d'un site Web. Et de fait, les webapplications rencontrent un succès spectaculaire qu'on peut juger au nombre de bouquins sur Ajax (il ne s'agit pas du cousin d'Achille) qu'on peut trouver dans n'importe quel rayon informatique (section technologies Web) de librairie.

Mais en fait, le concept a aussi ses limitations, qu'on rencontre rapidement même quand la réalisation est soignée, et qui donnent un petit goût désagréable d'inachevé ou de bricolé. Prenez les racourcis clavier : on ne peut y mettre que ce que le navigateur lui-même n'a pas réquisitionné ; prenez les commandes à la souris : elles sont sévèrement contraintes par ce que le modèle de focus du document permet ; on a du mal à avoir un vrai menu contextuel, on a du mal à avoir du glisser-déplacer qui marche de façon fluide et claire, on a du mal à avoir un copier-coller riche, on a du mal à avoir un système de menus ou un toolkit qui s'harmonise bien avec le navigateur, l'édition des textes se fait dans des widgets qui ne sont pas de vrais éditeurs, la notion de session est difficile à faire avaler à un système (le Web) prévu pour être sans état… Bref, l'idée est sympa et certainement très utile, mais j'aimerais bien que des solutions soient trouvées pour que ça cesse d'être du bricolage et que l'intégration soit vraiment parfaite (c'est-à-dire aussi bonne que pour une application native) : or j'y crois fort peu. S'agissant de l'interface worksheet de Sage, le boulot réalisé est impressionnant, certes, mais ce genre de limitations me frappe toujours : le copier-coller a des ratées, les rectangles de saisie varient parfois de taille de façon inexpliquée, bref, les finitions manquent (et ce n'est pas la faute de Sage, c'est le concept de webapplication qui rend ça pour l'instant inévitable).

Bon, le pire ça a surtout été quand j'ai voulu faire cet après-midi un corrigé de ce TP : je me suis dit que j'allais l'écrire comme une worksheet Sage, justement (plutôt qu'en tapant tout en TeX). Mauvaise idée. D'abord, tous les commentaires entourant les commandes, j'ai dû les saisir dans un éditeur HTML appelé depuis l'interface et qui est certes impressionnant mais qui n'est pas l'éditeur que j'ai l'habitude d'utiliser (et pour ce qui est du copier-coller, de nouveau, c'est pas terrible). Mais une fois que j'eus fini et que j'eus publié ma worksheet, je me suis senti un peu escroqué : la page Web ainsi produite est assez jolie, mais pas moyen de l'exporter en PDF (si j'essaie de l'imprimer vers un PDF, mon navigateur produit quelque chose de vraiment très moche), pas vraiment moyen non plus de la sauver comme une page HTML (elle fait appel à des quantités invraisemblables de JavaScript de chez jQuery et jsMath), on peut juste en sauvegarder une version au format Sage worksheet, qui sera certes lisible sur un autre Sage, mais bon, le problème initial était justement que ce n'est pas la chose la plus facile au monde à installer.

[#] Le but du cours étant d'arriver à faire comprendre à des gens qui ont fait des parcours assez différents (et parfois plus fait de maths depuis longtemps) comment « fonctionnent », si j'ose dire, ℤ/mℤ (le théorème chinois, les éléments primitifs, ce genre de choses) et (un tout petit peu) les corps finis.

[#2] Aux dernières nouvelles, Sage ne tourne pas sous Windows, et pas bien (ou pas complètement) sous Solaris. Donc c'était peu évident, comme solution !

[#3] Je me demande comment ce site fait pour ne pas être complètement vandalisé, d'ailleurs.

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2009-10-17 (samedi)

Les Espagnols ont deux noms, les Français maintenant aussi

Tout le monde sait que les Espagnols ont deux noms de famille[#] : un qui leur vient du père (a priori placé en premier), et un qui leur vient de leur mère (a priori placé en second). Je pensais que l'un de ces noms était patrilinéaire et l'autre matrilinéaire : je suis déçu d'apprendre que, non, même si la loi autorise à permuter les deux noms, chacun donne à ses enfants son premier nom, donc normalement le nom de son père. Donc normalement le nom de quelqu'un est formé du nom de son père et du nom de sa mère, c'est-à-dire, du nom de son grand-père paternel et du nom de son grand-père maternel, les grand-mères pouvant aller se faire voir. Contrairement à ce qu'on dit parfois, le système ne respecte pas l'égalité des sexes (sauf, justement, depuis que la loi permet de permuter les deux noms, mais ce n'est pas trop dans l'usage). La solution que j'avais en tête était plus simple : chacun a un nom patrilinéaire et un nom matrilinéaire (l'ordre entre les deux étant arbitraire et non défini), et reçoit le nom patrilinéaire de son père et le nom matrilinéaire de sa mère ; là, l'égalité des sexes aurait été parfaite. Malheureusement, le monde ne se conforme pas toujours à mon imagination de matheux[#2].

Même ce schéma consistant à avoir un nom patrilinéaire et un nom matrilinéaire est un peu regrettable : s'il respecte l'égalité des sexes, il en organise aussi la ségrégation rigoureuse (noms d'hommes et noms de femmes ne se mélangent pas : on reçoit un nom de son grand-père paternel, un autre de sa grand-mère maternelle — les hommes ne peuvent préserver un de leurs noms qu'en ayant un garçon, les femmes en ayant une fille). On pouvait imaginer d'autres choses : les Modulotroisiens, par exemple, ont aussi deux noms, que nous appellerons le Nom 1 et le Nom 2 (ce qui ne signifie pas qu'ils soient forcément cités dans cet ordre là) ; la règle est que le Nom 1 d'un individu est le Nom 2 de son père, et que le Nom 2 d'un individu est le Nom 1 de sa mère — cette fois, ce sont le grand-père paternel et la grand-mère maternelle qu'on oublie, les hommes transmettent un de leurs noms (le 2) par leurs filles et les femmes (le 1) par leurs fils. C'est un peu tordu, mais les anthropologues structuraux ont décrit des choses autrement plus tordues dans les structures de tabous sur l'inceste ou d'obligations de mariage entre cousins croisés : ça ne m'étonnerait pas qu'on eût vraiment rencontré quelque part le système de noms que je décris. On peut évidemment le compliquer : chez les Modulocinquiens, chaque individu à quatre noms, numérotés de 1 à 4 (même si seuls les noms 1 et 4 sont couramment utilisés) ; les noms 1 et 2 d'un individu sont les noms 2 et 4 (respectivement) de son père, et les noms 3 et 4 d'un individu sont les noms 1 et 3 (respectivement) de sa mère ; chez les Moduloseptiens, chaque individu a six noms, les noms 1, 2, 3 étant les noms 2, 4 et 6 du père, et les 4, 5, 6 étant les 1, 3 et 5 de la mère — malgré la similitude, il y a une différence très importante entre les Modulocinquiens et les Moduloseptiens, que je laisse le lecteur découvrir par lui-même[#3].

Trêve de délires matheux, il est maintenant possible en France de donner à ses enfants un double nom (un nom du père et un nom de la mère, choisis par les parents, et dans un ordre également choisi par eux ; mais le nom de toute une fratrie d'enfants d'un même couple doit être le même, choisi lors de la naissance du premier). Il était initialement prévu — par une simple circulaire — de séparer les deux noms d'un nom double par un double trait d'union (ainsi les enfants de Monsieur Dupont et de Madame Dugenou pourraient-ils s'appeler les Dupont, les Dugenou, les Dupont--Dugenou ou les Dugenou--Dupont : et rien d'autre), pour les différencier des noms composés mais uniques pour ce qui est de la loi en question[#4]. Comme la France est généreusement dotée d'autant de procéduriers pénibles pour contester des règles idiotes que de bureaucrates pour inventer ces règles idiotes, il s'est évidemment trouvé des gens pour contester devant les tribunaux l'usage du signe typographique “--” comme séparateur (dont il faut avouer qu'il est assez peu français, mais bon, innover en matière de ponctuation est une bonne idée) ; et le tribunal de grande instance de Lille leur a donné raison (impossible apparemment de trouver le jugement sur Internet) au motif qu'une circulaire ne peut pas créer de droit[#5]. Du coup, maintenant, on doit se trouver dans une situation où il y a une différence byzantine entre des gens qui ont un nom double et des gens qui ont un nom composé, sans que cette distinction puisse se voir au niveau de l'écriture du nom ! Si le législateur avait été un peu moins control-freak, il aurait simplement prévu que les parents choisissent le nom de leur enfant en juxtaposant comme ils le souhaitent[#6] les éléments du nom des deux parents, ces éléments étant séparés par une espace, un trait d'union, ou un signe de ponctuation quelconque (le choix étant arbitraire à chaque fois que le nom est écrit), et on aurait évité ce merdier de distinction inutile entre noms doubles et noms composés : je ne vois absolument pas l'intérêt de fixer des règles juste pour éviter que les enfants de Monsieur Machin-Trucmuche ne reçoivent que Machin ou Trucmuche dans leur nom ou que ceux de Madame Dupont--Dugenou reçoivent à la fois le Dupont et le Dugenou (sauf à recevoir exactement les deux).

[#] Même si je ne suis pas certain que les deux servent vraiment (en France, beaucoup de gens ont quatre prénoms, mais il est plus qu'un peu rare d'appeler quelqu'un par autre chose que son premier prénom ; dans les pays anglo-saxons, le middle name est un peu moins rarement utilisé, mais il reste relativement marginal). Sans regarder Wikipédia, sauriez-vous dire les deux noms de Rafael Nadal, Pedro Almodóvar, Penélope Cruz ou Antonio Banderas (attention, pour ce dernier, il y a un piège) ?

[#2] Par contre, il y a des gens qui étudient assez sérieusement ce qu'on trouve en remontant un arbre généalogique très loin dans la branche patrilinéaire et dans la branche matrilinéaire. Avec ce système, j'imagine que mes noms de famille seraient R1b et F : pas très joli, finalement.

[#3] Indication : qu'arriva-t-il le jour où la moitié de l'état-civil de la Moduloseptie fut brûlé de sorte que seuls les noms 1, 2 et 4 de chaque individu survécurent ?

[#4] Les enfants de Monsieur Machin-Trucmuche et de Madame Dupont--Dugenou pourraient s'appeler les Machin-Trucmuche, les Dupont--Dugenou, les Dupont, les Dugenou, les Machin-Trucmuche--Dupont, les Machin-Trucmuche--Dugenou, les Dupont--Machin-Trucmuche ou les Dugenou--Machin-Trucmuche ; mais pas les Machin--Dupont ni les Trucmuche, ni les Dugenou--Dupont, ni les Dupont-Dugenou : vous suivez ?

[#5] Je ne comprends d'ailleurs pas vraiment le raisonnement du tribunal : la circulaire semble préciser uniquement la façon dont on note le double nom sur l'acte d'état-civil, je ne vois pas ce que ça change de si la circulaire avait demandé que figure en toutes lettres la mention Dupont-Dugenou est un nom double dont la première partie est Dupont et la seconde Dugenou. Idem quand quelqu'un demandera son nom à Madame Dupont--Dugenou : c'est à celui qui rédige le formulaire de préciser s'il veut qu'on sépare les deux parties d'un nom double par un signe de ponctuation particulier, et il peut très bien demander qu'on mette un astérisque ou une barre oblique.

[#6] Au moins un élément, bien sûr ! Et en permettant éventuellement au pouvoir réglementaire fixer quelques règles supplémentaires concernant des éléments tels que de ou le, si on veut absolument éviter que les enfants de Monsieur de la Pâte Feuilletée s'appellent de tout court. Encore que, si les parents y tiennent vraiment…

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2009-10-17 (samedi)

Mettez-vous à la place des victimes…

Lorsqu'il y a une discussion sur la justice pénale (que ce soit en général ou sur une affaire en particulier), il y a des chances que quelqu'un finisse par sortir cette incantation, qui ressemble beaucoup au point Godwin en la matière : Mais mettez-vous un peu à la place des victimes… C'est quelque chose qui m'horripile.

Ce n'est pas que l'argument soit mauvais en soi : il est certainement bon et souhaitable, que ce soit pour une réflexion générale ou particulière sur la Justice, de prendre en compte le point de vue des victimes. Le problème, c'est que quand on le fait, il faudrait aussi savoir se mettre à la place des coupables (ou, s'agissant d'une affaire particulière et non encore jugée, des accusés). Ce n'est pas un exercice formel de relativisme, et ce n'est certainement pas un argument pour dire que les points de vue de la victime et du criminel sont interchangeables et qu'on doit faire une sorte de « moyenne » entre eux ! Mais ces deux points de vue ne sont pas, ou ne devraient pas être, irréconciliables : si la victime d'un crime ne cherche pas à se venger mais demande simplement justice, et si le coupable ne cherche pas à échapper à la peine mais à se réconcilier (avec sa conscience, avec la société, et idéalement avec la victime aussi) et à se réinsérer, alors ils peuvent être d'accord. Le rôle d'un juge, dans un procès où les faits ne sont pas contestés, devrait sans doute être de se rapprocher mentalement à la fois de la victime « parfaite » et du criminel « parfait » qui parleraient d'une même voix. Si on ne regarde que le point de vue de la victime, c'est sans doute que ce n'est pas celui d'une victime « parfaite » en ce sens.

Or je n'entends jamais (de la part, au hasard, d'un ministre de la Justice, dans le cadre d'une discussion sur la rigueur des peines), l'exhortation : Mettez-vous à la place des condamnés… Une telle phrase déclencherait certainement un tollé : Comment ? On oserait mettre sur le même plan <gnagnagnagnagnagna> ! Cette attitude offensée (par exemple celle consistant à se dire ah mais moi je ne ferais jamais quelque chose de semblable ! je ne suis pas un criminel / violeur / pervers / détraqué sexuel, moi ! comment voulez-vous que je me mette à la place d'un coupable ?) procède de l'idée que les coupables d'un crime ne sont pas sont des humains normaux ; que ce sont gens complètement à part, des monstres, qui ont a priori quelque chose de différent de vous ou moi. Cette idée est fausse, et elle est dangereuse pour la Justice. Parmi les gamins de cinq ans qui nous regardent avec des yeux d'ange, il y en a qui seront victimes de crimes, oui, et il y en a (sans doute pas beaucoup moins) qui en commettront : l'idée (qu'on peut soupçonner certains hommes politiques de tous bords de croire ou surtout d'entretenir) que les coupables et les victimes seraient des populations structuralement différentes, voire prédestinées à l'un ou l'autre rôle, la première apparaissant peut-être par génération spontanée (ce ne sont quand même pas ces petits anges des écoles maternelles qui deviendront comme ça, si ?), est une conception de la nature humaine dont la naïvetée manichéenne ferait sourire si elle n'était pas par ailleurs un peu nauséabonde comme toute tentative pour diviser l'humanité en eux versus nous. De même l'idée que les criminels sont des malades, comme si le Bien était fondamentalement ancré dans l'âme humaine et que sa disparition était une aliénation mentale (on aimerait peut-être le croire, mais ce n'est pas sérieux).

Se mettre à la place d'un criminel, ce n'est pas excuser le crime : c'est aussi essayer de le comprendre, et on ne peut pas lutter contre sans le comprendre.

Et quand les gens essaient d'appeler à l'empathie sur les victimes de crime en clamant et si c'étaient vos enfants ?, j'ai envie de demander : les criminels n'auraient pas de parents ? (toujours cette idée de génération spontanée).

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2009-10-12 (lundi)

La science est aussi une forme de culture générale

Il est de bon ton dans certains milieux de se lamenter que les jeunes de nos jours (ou les Français en général, ou les gens en général, selon qui parle) ont une culture générale complètement nulle. Je ne sais pas si je suis d'accord avec cette affirmation (je suis en tout cas assez sceptique quant à l'idée, souvent implicite, que ce soit pire qu'avant ; j'aimerais certainement que les gens fussent plus cultivés mais je ne sais pas si on peut y arriver), mais il y a une chose qui m'agace profondément dans la façon dont la grande majorité des gens qui prononcent ce constat accablant l'entendent : c'est qu'ils parlent uniquement de culture littéraire, historique, géographique, politique, bref, humaine, et qu'ils font une sorte d'impasse sur tout ce qui est culture scientifique ou technique. Bref, ils se lamentent de ce que les jeunes (ou je ne sais qui) ne savent pas dans quel siècle Shakespeare est né, ne reconnaissent pas un tableau aussi connu que Les Noces de Cana, ni ne peuvent citer les pays frontaliers de l'Allemagne[#] ; mais je suis sûr qu'ils auraient souvent l'air moins fiers si on leur demandait de but en blanc (ce que je tâcherai de faire, la prochaine fois que quelqu'un tiendra devant moi un discours de ce genre, et j'invite mes lecteurs à jouer aussi à ce jeu) : pouvez-vous me dire approximativement la masse de la Terre ? (chose qu'il est à peu près aussi scandaleux — ou non-scandaleux — d'ignorer que le siècle dans lequel Shakespeare est né).

La notion de culture générale, et l'idée de ce qu'il est scandaleux ou non d'ignorer, varie furieusement selon la personne qui donne son avis, et on devine facilement que c'est une notion qui a tendance à épouser bien facilement les contours de ce que cette personne elle-même connaît. Je lève les yeux au ciel parce que mon poussinet ignore qui est William Blake, et peu de temps après c'est lui qui se moque de moi parce que je n'ignore presque jusqu'au nom de Paolo Conte. Je me rappelle avoir entendu un ami s'indigner qu'on puisse ne pas faire l'effort d'apprendre la liste des rois de France (de fait, il la connaissait par cœur) et, alors que nous passions rue Dante, montrer son ignorance complète de qui était ce Monsieur à part un poète italien (peut-être de l'antiquité ?).

Mais dans tous les cas, les connaissances scientifiques ont tendance à être écartées de la culture générale, même quand il s'agit d'un scientifique qui s'exprime. Il n'y a aucune raison à ça : toute forme de connaissance qui n'est généralement pas directement applicable dans la vie courante, mais qui participe de façon vague à notre compréhension du monde dans les bases de telle ou telle discipline, mérite d'être appelée culture générale. Le fait de savoir que la Terre tourne autour du Soleil[#2] se range donc bien là-dedans (comme le prouve l'étonnement de John Watson quand Sherlock Holmes lui avoue dans A Study in Scarlet qu'il n'en avait aucune idée, et qu'il fera de son mieux pour oublier cette information vu qu'elle ne peut lui servir à rien) : à mon avis, c'est assez comparable avec le fait de savoir que Shakespeare était un poète et dramaturge anglais (et peut-être Sherlock Holmes ignorait-il cela aussi). D'ailleurs, un assez célèbre exemple à la télévision française montre que ce n'est pas gagné pour tout le monde.

J'aimerais lancer une vaste opération (plus étendue et aussi plus facile que celle-ci) pour évaluer l'étendue de la culture générale des Français, à la fois dans l'absolu et selon des critères et catégories socio-professionnelles, dans différentes disciplines, et en distinguant la connaissance brute et la capacité à la mettre en œuvre dans une question partique (par exemple, un nombre pas forcément ridicule de personnes doivent être capables d'énoncer le théorème de Pythagore ; pour autant, si je leur montre deux points sur une grille centimétrique carrée situés l'un de l'autre à 3cm dans une direction et 4cm selon l'axe orthogonal, je pense que très peu de gens seraient capables de donner la distance entre les deux points).

Mais la chose qui m'effraie le plus, c'est que je pense l'immense majorité de la population incapable de faire le moindre raisonnement d'ordre de grandeur. Par exemple, si je demande la masse de la Terre à un facteur 10 près, la réaction sensée à avoir est de se dire : Voyons, je sais que sa circonférence fait 40000km (ça c'est un chiffre que les gens retiennent), donc le rayon fait dans les 6000km, donc le volume dans les 10²¹m³ ; or puisqu'un mètre cube d'eau pèse 1000kg, un mètre cube de terre (enfin, de Terre), ça doit sans doute peser quelque part entre 10³kg et 10⁴kg, donc la masse de la Terre doit être quelque part entre 10²⁴kg et 10²⁵kg. (De fait, la valeur correcte[#3] est 6·10²⁴kg.) Pour en arriver là, il n'y a qu'à connaître la formule donnant la circonférence d'un cercle ou le volume d'une boule (même ma maman les connaît) et un peu de jugeote dans les approximations. Mais je soupçonne que quasiment personne ne fera ce genre de raisonnements : les gens se diraient qu'ils ne se rappellent pas combien vaut π, n'auraient pas l'idée de se dire que 40 divisé par 2π ça fait environ 40 divisé par 6 ça fait environ 6 et c'est bien assez précis comme ça, et évidemment ils n'oseraient pas manipuler des puissances de 10. Peut-être que je me trompe, mais je suis pessimiste : je crois que les gens, même ceux qui connaissent la formule donnant le volume d'une boule, refuseraient juste de brancher leur cerveau et sortiraient un nombre quelconque (mille milliards de tonnes, ça semble beaucoup ? ça doit être ça alors). J'ai déjà souligné ce genre de choses.

C'est aussi lamentable que le fait que beaucoup de gens ne sauraient pas dire que Shakespeare est né au XVI^e siècle (et/ou ne tenteraient pas de réfléchir pour situer la chose par rapport à l'arrivée de Christophe Colomb en Amérique, à la glorieuse révolution anglaise, que sais-je encore). Mais c'est aussi plus grave de conséquences : on n'arrête pas de nous bombarder avec des chiffres plus ou moins idiots d'ordres de grandeur (pensez, par exemple, à tout ce qu'on peut raconter en ce moment en ce qui concerne les émissions de CO₂ et la politique énergétique) ; parfois d'ailleurs des journalistes imbéciles se plantent d'un facteur dix, mille ou un million (typiquement, traduisent l'anglais billion, qui désigne[#4] le milliard ou 10⁹ en le français billion, qui désigne mille milliards ou 10¹² ; ou confondent des kilotonnes et des kilogrammes), quand ils ne se plantent pas, en plus, d'unité (exercez-vous à compter le nombre de fois qu'un journaliste exprime une puissance en kilowatts-heure, ou une énergie en kilowatts, ou parle de kilowatts par heure pour quelque chose qui n'est certainement pas une vitesse de variation de puissance : c'est peut-être un agacement de pédant, mais si le type qui parle ou écrit avait la moindre compréhension de ce qu'il dit, il ne ferait jamais ce genre de faute). Je rêve d'un cours d'ordres de grandeur au lycée, où on poserait des questions comme : estimez le nombre de grains de sables sur une plage typique ou quelle est la masse totale de toutes les fourmis de la Terre ? (vous avez droit à un facteur 100 ou 1000 près, parce que ce n'est pas facile du tout). La leçon essentielle serait qu'il est bien plus important de retenir la puissance de 10 que la mantisse (le multiplicateur qui est devant), et que connaître des nombres approximatifs, fût-ce à un facteur 10, 100 voire 1000 près, peut être utile et important pour se rendre compte si une affirmation est vraisemblable ou non.

Le fait est que l'inculture scientifique crasse de nos concitoyens est utilisé sans vergogne pour leur faire prendre des vessies pour des lanternes. (Quand ce n'est pas eux qui se précipitent d'eux-mêmes pour prendre des vessies pour des lanternes.) Et parfois sur des sujets graves ou problématiques : beaucoup de gens sont persuadés que l'énergie nucléaire est mauvaise ou dangereuse, ou que les antennes de téléphonie mobile émettent trop fort, ou que les OGM sont dangereux, pour des raisons totalement dénuées de fondement scientifique (ce qui ne veut pas dire qu'on ne doive pas débattre à ce sujet, mais l'idée de trancher ces débats par un choix « démocratique » quand les citoyens sont profondément ignorants et facilement manipulables par des slogans simplistes, c'est très inquiétant). Quand ce n'est pas sur des questions de société, c'est aussi sur des choix individuels à la consommation (xkcd l'a illustré récemment, d'ailleurs) : un ami me faisait par exemple remarquer que les produits alimentaires contiennent soit de l'énergie (c'est bien l'énergie, c'est positif, c'est bon pour les enfants pour se dépenser) soit des calories[#5] (mais alors il en faut le moins possible parce que ça fait grossir, donc il faut être pauvre en calories, si possible contenir moins de 1 calorie par dose) — je ne suis pas certain que les gens soient bien conscients qu'il s'agit bien de la même chose !

Je ne veux surtout pas jeter la pierre sur les profs ou sur l'Éducation nationale (ils en reçoivent largement assez, des pierres, de tous les côtés). Je dis que je rêve d'un cours d'ordres de grandeur, mais je ne sais pas si ce n'est pas un rêve totalement utopique : j'ai une profonde répugnance à penser que les gens soient condamnés à être ignorants, mais j'ai aussi assez de réalisme pour me rendre compte que c'est parfois naïf d'espérer autre chose. Bref, je n'en sais rien. Mais on pourrait au moins espérer faire rentrer dans la tête des gens que, justement, ils sont ignorants, et qu'à défaut de savoir il est bon de savoir qu'on ne sait pas ! Car si pour ce qui est de la culture dans les humanités il est rare que le pékin moyen, ou l'homme politique (tout aussi moyen) qui le représente, se mêle d'avoir forcément raison[#6], en matière de tout ce qui est scientifique ou technique (informatique, politique énergétique, santé publique), on ne se prive pas de parler bien fort de ce sur quoi on ne sait rien.

Et surtout, je veux jeter la pierre sur ceux qui désespèrent qu'on pense que Shakespeare est né au XII^e siècle (décidément, je tiens à mon exemple) mais qui trouvent normal qu'on puisse s'imaginer que la Terre pèse mille milliards de tonnes ; qui défendraient une ignorance en disant bah, on n'est pas des astronomes et qui rejetteraient l'argument bah, on n'est pas non plus des historiens. La chose qui est indéfendable, ce n'est pas d'être ignorant de l'une ou l'autre question : la chose indéfendable, c'est d'entendre une question de ce genre dont on ne sache pas la réponse, et de ne pas aller se bouger son c** pour aller regarder sur Wikipédia ou dans n'importe quel dictionnaire, pour être un peu moins ignorant pour la suite.

[#] L'émission Karambolage s'était livrée à ce petit jeu que de demander ça à des Parisiens (et, à des Berlinois, les pays frontaliers de la France). Ce n'était pas vraiment brillant (ni dans un sens ni dans l'autre) : notamment, beaucoup de Français semblent penser que la Russie est limitrophe de l'Allemagne.

[#2] Et un grand blah préventif à ceux qui feront les malins en expliquant que ce n'est pas faux de dire que le Soleil tourne autour de la Terre car tout est relatif.

[#3] Pour faire un peu d'histoire des sciences, le premier à avoir mesuré la masse de la Terre est Henry Cavendish en 1798, en mesurant du même coup — ou de façon équivalente — la constante de Newton (que certains appellent, du coup, de Cavendish) de la gravitation, ou la masse volumique de la Terre (ce qui était la chose qui l'intéressant le plus dans l'histoire : quelque chose comme 5½ fois celle de l'eau). À ce sujet, une autre façon de retrouver la masse de la Terre est de connaître la constante de la gravitation (autour de 6.7·10⁻¹¹m³/kg/s²), la distance de la Terre à la Lune (c'est plus facile à retenir sous la forme d'un peu plus que 1 seconde lumière si on connaît la vitesse de la lumière), la période de révolution de la Lune (ça, a priori tout le monde sait que c'est un mois — même si on peut pinailler pour faire la différence entre le mois sidéral et le mois synodique, ce sera le même ordre de grandeur)… et les lois de Kepler (ou le théorème du viriel). Mais bon, c'est un peu plus compliqué, et c'est aussi moins précis quand on prend des chiffres trop approximatifs (de tête je trouve dans les 2·10²⁴kg pour la masse de la Terre avec ces valeurs, ce qui est le bon ordre de grandeur mais quand même pas terrible sur la mantisse).

[#4] Là, normalement, des lecteurs me font remarquer que billion désignait historiquement 10¹² en anglais, d'ailleurs ce sens a perduré plus longtemps en anglais britannique, et que réciproquement, billion a pu désigner un milliard (10⁹) en français. Les deux sont vrais, mais maintenant l'usage est à peu près fixé. Mon avis est d'ailleurs que le mot billion et même milliard devrait être complètement supprimé, et qu'on devrait utiliser les préfixes SI comme si c'étaient des nombres (ça a le double avantage de ne pas dépendre de la langue, et d'avoir le même langage pour les quantités sans dimensions et pour celles qui en ont) : donc dire que la Terre compte six giga habitants, que la dette des États-Unis est d'une douzaine de téra dollars, etc.

[#5] Il s'agit, en fait, de kilocalories (soit 4.184kJ). Mais comme les gens n'ont aucune idée des ordres de grandeur des énergies, faire remarquer la différence c'est comme pisser dans un violon. Pour la défense de ceux qui confondent calorie et kilocalorie, admettons cependant qu'il y a une ambiguïté historique sur l'usage de ce terme (c'est comme pour le billion).

[#6] Pour faire un léger coq-à-l'âne, cela m'évoque cependant l'anecdote suivante (probablement apocryphe, et donc je ne vais pas chercher à en retrouver une source, de peur d'apprendre que c'est complètement inventé) : au cours d'un débat à la Chambre des Communes quand elle était Premier ministre, Margaret Thatcher aurait expliqué qu'il ne fallait pas écouter le chant de sirène des travaillistes, car si Ulysse avait écouté le chant des sirènes, son bateau aurait sombré et il ne serait pas arrivé à bon port. Ce à quoi un député travailliste aurait répliqué que (1) Ulysse a écouté le chant des sirènes, (2) son bateau a sombré, (3) il a quand même fini par arriver à bon port, et (4) il serait temps d'ouvrir une commission d'enquête sur l'état des études classiques au Royaume-Uni.

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2009-10-10 (samedi)

Comment paie-t-on pour un taxi ?

Je soupçonne qu'il s'agit là d'une question assez caractéristique de celles que les matheux se posent et réciproquement [que ceux qui se la posent sont matheux dans un certain sens]. Quand on prend un taxi, outre les frais de prise en charge et un prix minimum par course, il y a essentiellement deux tarifs : un tarif horaire (appelons-le α), qui garantit que le taxi est payé même s'il y a des embouteillages et qu'il passe beaucoup de temps à faire une courte distance, et un tarif kilométrique (appelons-le β) qui est le prix pour ainsi dire « normal ». Comment ces deux tarifs sont-ils combinés ? Je peux imaginer trois façons assez naturelles, que je peux décrire ainsi (avec beaucoup plus de détails qu'il n'en faut !) :

• La plus simple consiste à faire la somme des deux. Autrement dit, si je parcours en taxi pendant un temps T une distance L, je paie (outre les frais de prise en charge, et jamais moins que le prix minimum, bien sûr) α·T+βL (le premier terme correspondant au prix horaire, le second au prix kilométrique, dont on fait juste la somme). Ceci vaut encore (α+β·v)·T où v=L/T est la vitesse moyenne du taxi sur la course (là on voit que si le chauffeur est assuré d'avoir des clients en permanence, il a intérêt à rouler le plus vite possible), ou évidemment (α/v+β)·D (là on voit qu'à distance D donnée, on a intérêt à ce que le taxi roule le plus vite possible si on veut payer le moins possible, ce qui ne surprendra évidemment pas). On peut encore écrire le montant comme l'intégrale de (α+β·v(t))·dt, où v(t) est la vitesse instantanée.
• Une autre possibilité consiste à décider qu'au lieu que le client paye α·T pour le temps passé et β·v·T=β·D, il ne paie que le plus grand des deux. Autrement dit, il paie max(α,β·v)·T où v est toujours la vitesse moyenne : si le taxi a roulé moins vite que la vitesse critique α/β en moyenne sur la course, alors on le paie à l'heure (soit α·T), tandis que s'il a roulé plus vite, on le paie à la distance. (soit β·D). Le client a alors intérêt à ce que le taxi roule (en moyenne sur la course) à cette vitesse critique ; le taxi, lui, a plutôt intérêt à s'en écarter (mais de nouveau cela dépend de s'il a suffisamment de clients pour remplir son temps, donc c'est plus compliqué à analyser de son point de vue).
• Enfin, on peut imaginer d'appliquer la méthode précédente mais sur des intervalles infinitésimaux[#] du parcours, et de sommer sur tous ces intervalles. Autrement dit, le client paie l'intégrale de max(α,β·v(t))·dt, où v(t) est la vitesse instantanée. C'est-à-dire, concrètement, que dès que la vitesse instantanée v(t) passe en-deçà de la vitesse critique α/β (fût-ce pour peu de temps), le taxi est payé à l'heure, tandis que si elle passe au-dessus, il est payé au kilomètre. Le taxi n'est jamais payé moins de α·Δt pour un intervalle de temps Δt du parcours, ni moins que β·Δl pour un intervalle de distance Δl du parcours.

Si la différence n'est toujours pas assez claire, voici un exemple : si le tarif horaire est de α=30€/h et le tarif kilométrique de β=1€/km, et qu'un taxi parcourt L=10km en allant constamment à 20km/h sur la première moitié du trajet et à 50km/h sur la seconde moitié, soit au total T=21min (et une vitesse moyenne d'environ 28.6km/h), il sera payé 20.50€ avec le premier système (qui donne toujours le montant le plus élevé des trois, et pour lequel ces valeurs de α et β seraient plutôt excessives, en fait), 10.50€ avec le second (qui donne toujours le montant le plus faible des trois), et 12.50€ avec le troisième.

(Là, normalement, n'importe quel matheux est déjà endormi tellement ce que je dis est évident, et n'importe quel non-matheux a cessé de lire tellement ça ne l'intéresse pas, mais bon, j'ai l'habitude de parler tout seul.)

Que je sache, les taxis parisiens appliquent la troisième méthode de facturation (ou en tout cas une approximation de celle-ci : probablement l'intégrale est discrétisée sous forme d'une somme d'intervalles de longueur une minute ou quelque chose comme ça). Je n'en suis pas complètement sûr, parce que la façon dont c'est écrit dans les règlements officiels ou la présentation résumée d'iceux affichée dans les clients rend la chose complètement incompréhensible (on n'a pas le droit de parler d'intégrale dans un texte juridique ou un contrat, j'imagine, donc on est obligé de dire les choses très mal), et surtout je remarque que ces règles officielles donnent une vitesse critique qui diffère peu, mais néanmoins de façon sensible, de α/β, donc il doit y avoir une subtilité un peu gratuite. Mais bon, probablement c'est à peu près ça quand même.

L'inconvénient, c'est que c'est un peu difficile de contester la facture : même si on connaît la distance L parcourue et le temps T qu'on a mis à la parcourir, on ne peut pas en déduire la valeur du prix du trajet (on ne peut qu'en donner des encadrants qui sont justement les résultats des première et deuxième méthodes que j'ai exposées — le majorant étant obtenu quand le taxi reste immobile tout le temps puis va a une vitesse infinie à destination, et le minorant étant obtenu quand le taxi roule à vitesse constante égale à la vitesse moyenne). Néanmoins je pense que c'est une façon raisonnable de faire parce qu'à la différence de la seconde possibilité évoquée elle est locale (le prix est bien une intégrale sur le parcours, donc peut se calculer sur n'improte quel tronçon et se sommer) et le conducteur n'est pas « doublement » payé comme dans la première possibilité (cet argument est un peu faible, j'en suis conscient).

Je pense qu'un procédé de facturation qui semblerait plus naturel à un matheux — pour plein de raisons — serait d'intégrer non pas max(α,β·v(t))·dt mais √(α²+β²·v(t)²)·dt, c'est-à-dire, à un facteur √2 près, la moyenne quadratique entre α et β·v(t), qui peut aussi se voir comme proportionnelle à la longueur du parcours dans un espace-temps euclidien où la vitesse critique α/β serait utilisée pour unifier espace et temps.

Je me demande si cette question (décrire précisément comment on calcule le prix d'une course en taxi) ne pourrait pas être utilisée comme exemple pour introduire la notion d'intégrale à des débutants.

[#] En pratique, ils n'ont pas besoin d'être infinitésimaux : il suffit de séparer des intervalles (car, hors des contre-exemples pervers des matheux, ce sont bien des intervalles) où v(t) reste en-dessous de α/β et ceux où il est au-dessus.

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2009-10-08 (jeudi)

L'Affaire Farewell

Le fait que j'aie une certaine tendance à l'ostalgie, et certainement à la nostalgie (notamment des années '80) explique sans doute en partie que L'Affaire Farewell m'ait plu. J'aime beaucoup les films qui recréent une époque, et j'aime aussi les films polyglottes (ou plutôt, a contrario, je trouve très agaçants les films où tout le monde parle inexplicablement l'anglais, le français, ou ce que vous voudrez). En tout cas, je conseille le dernier Kusturica.

Je ne savais pas que c'était lui le réalisateur, d'ailleurs, sans quoi je ne serais peut-être pas allé voir (je ne connaissais de lui que Arizona Dream et Chat Noir, Chat Blanc[#], que j'ai tous deux détestés, et la blague que les Guignols de l'info avaient fait quand il avait présidé le jury de Cannes où dès qu'on voulait lui parler un orchestre-fanfare se mettait à jouer). Mais je m'aperçois que non seulement il peut faire des films qui me plaisent [Correction : on me fait remarquer qu'en fait il n'est pas le réalisateur, il est seulement acteur ; donc je ne sais pas s'il peut faire des films qui me plairaient] mais aussi qu'il joue lui-même bien, car c'est lui qui joue le rôle principal. Ce que je ne savais pas non plus, logiquement ; j'avais cru m'apercevoir qu'il avait un accent étranger quand il parlait russe[#2], donc je m'étais demandé s'ils avaient pris un Français pour jouer le rôle, mais en fait il a aussi un accent quand il parle français.

[#] Pour autant que ma boule de cristal déchiffre bien le serbo-croate, le titre en VO ressemblerait plutôt à Chatte Noire, Chat Blanc, d'ailleurs.

[#2] Peut-être que je me fais des idées, parce que le serbo-croate n'est vraiment pas éloigné du russe (mais je ne sais pas ce qu'il en est pour la prononciation), et parce qu'il est par ailleurs plausible qu'il ait dû apprendre le russe quand il était jeune. Mais même si ce n'est pas vraiment un accent, il ne parlait pas russe de la même façon que les autre acteurs (et qui devaient bien être des Russes, eux) et du coup je le comprenais beaucoup mieux.

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2009-09-28 (lundi)

Qui veut castrer Roman Polanski ?

Les symptômes de la paranoïa de notre société autour de la pédophilie sont réguliers, je ne prends pas la peine de les relever ou de les commenter parce que chacun ne mérite pas grande remarque, c'est surtout leur accumulation qui est terrifiante. Mais j'ai vu passer deux nouvelles à deux jours d'intervalle : la première, que la Pologne a passé une loi[#] ouvrant d'une part la possibilité d'obliger des personnes condamnées pour certains faits, genre, viol de mineurs, à se soumettre à des traitements hormonaux (castration chimique), et aussi interdisant de faire la justification de la pédophilie. La seconde, que Roman Polanski a été arrêté en Suisse et risque d'être extradé vers les États-Unis pour une affaire remontant à trente ans (et dont la victime elle-même demande, d'ailleurs, que les poursuites soient abandonnées) dans laquelle il est soupçonné[#2] d'avoir eu des relations sexuelles avec une mineure ; le gratin du cinéma, la France et — de façon intéressante — la Pologne, dont il a la double nationalité, s'indignent et demandent sa remise en liberté. La première nouvelle, elle, n'attire guère de commentaires.

Cette juxtaposition me fait l'effet d'une anecdote que Victor Hugo rapporte dans un célèbre plaidoyer contre le peine de mort, la préface de 1832 au Dernier Jour d'un condamné ((cherchez hypocrite dans le texte)) : quatre anciens ministres risquaient en 1830 d'être condamnés à mort, et tout le monde politique est en émoi, on tente de supprimer la peine de mort dont l'injustice devenait soudainement frappante (Encore s'il y avait une guillotine en acajou ! — ironise Hugo) ; on sauve la vie des quatre hommes, et la question de la peine de mort est promptement enterrée. Roman Polanski risque d'être mis en prison : on s'en émeut parce qu'il est célèbre et respecté, et aussi parce que les circonstances de son cas particulier (trente ans ont passé, le procès était injuste, la victime elle-même demande qu'on cesse de remuer cette affaire) attirent la sympathie sur lui.

Mais quand les objets de la paranoïa sont des Polonais, condamnés pour viol, qui n'ont pour eux ni la célébrité ni des circonstances particulières qui pourraient les rendre sympathiques, qui aurait à s'émouvoir ? Il y a eu récemment un fait divers qui a choqué le pays, alors, comme d'habitude, on légifère sur l'anecdotique, et la Pologne rejoint le club heureusement encore très fermé des pays européens où on joue à rééduquer de force les déviants avec la petite pilule magique de medroxyprogestérone. Je n'ai comme documentation que ce que rapportent des journalistes étrangers (la BBC, que j'ai citée, le Times et le Telegraph qui en disent un peu plus, et LCI ici), dont on connaît le manque de fiabilité, mais pour autant que je comprenne, cette loi enjambe fièrement la barrière mal défendue entre la prudence et la barbarie (là où même la Belgique post-Dutroux avait su, je crois, rester relativement mesurée) en permettant à un juge d'ordonner un traitement médical sur avis de médecins (soit le juge se fait médecin, soit le médecin se fait bourreau, ce n'est pas clair, mais il y a un mélange des rôles plus qu'un peu malsain), alors qu'ailleurs le traitement n'est que proposé aux condamnés qui le souhaitent (ce qui est acceptable s'ils sont vraiment conseillés par des médecins et qu'il n'y a pas de pression indue — comme des réductions de peine — pour obtenir leur consentement). Je dirais volontiers que je trouve l'autre partie de cette loi polonaise (la pénalisation de la justification de la pédophilie) encore plus puante, et surtout encore plus inutile (la castration chimique imposée à quelqu'un, c'est inhumain, mais au moins on peut vaguement espérer que ça marche, alors que l'idée que quelqu'un serait poussé à violer des enfants parce qu'il aurait lu quelque chose allant dans ce sens, c'est juste saugrenu) ; malheureusement, nous avons déjà des lois aussi débiles en France, sur d'autres sujets[#3].

Mais, vous comprenez, il y a toujours la petite phrase qui justifie tout : c'est pour les enfants. Alors puisque des législateurs sautent sur un fait divers complètement hors de propos et monté en épingle pour passer des lois démagogiques, moi aussi je peux jouer à monter l'anecdotique en argument complètement hors sujet : ça vous semble vraiment indispensable[#4], de castrer Polanski ? Avec ça, le débat a la garantie de ne pas dépasser le niveau des pâquerettes.

[#] D'accord, l'article signale que c'est seulement la chambre basse qui a voté le texte, donc ce n'est peut-être pas encore une loi. Mais j'imagine qu'il n'y a aucun doute que ça en deviendra une.

[#2] En fait, il a été condamné, mais peut-être de façon irrégulière, et en tout cas dans le cadre d'un plea bargain, ou plaidé-coupable, c'est-à-dire un de ces odieux simulacres de justice où on convainc quelqu'un de renoncer à son droit à un procès équitable en lui promettant une peine plus légère. Faute de procès équitable, justement, on ne peut pas savoir s'il est coupable, et il me semble qu'on doit lui accorder la présomption d'innocence (même si ce n'est pas ce que considère le système judiciaire américain).

[#3] Suivez mon regard : les négationnistes doivent être traités avec le mépris qu'ils méritent, pas être condamnés en justice. Pourquoi ne pas avoir une loi interdisant d'affirmer que 2+2=5, tant qu'on y est ? Le jour où on se décidera à condamner fermement la connerie, il y aura beaucoup plus de gens dans les prisons !

[#4] Certains vont dire que j'en rajoute un peu trop dans l'imbécillité feinte, là, vu que Polanski est accusé de détournement de mineur et pas de viol. Certes : il l'a échappé belle.

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2009-09-27 (dimanche)

J'aimerais comprendre un peu la théorie quantique des champs

Quand j'étais petit, j'ai essayé de comprendre la physique. (Et c'est pour ça que je suis devenu mathématicien. )

Il faudra que je raconte une autre fois comment j'ai appris un peu de physique classique — dans ce livre (destiné, je crois, aux étudiants américains en médecine). Et surtout comment je me suis jeté avec passion sur la relativité générale, comment je suis devenu mordu de trous noirs et que j'avais pour projet j'avais pour projet de réaliser un jeu informatique dont le but serait de contrôler un vaisseau au voisinage d'un trou noir en rotation. (Il s'est avéré que, vers 1990, les logiciels de calcul formel n'arrivaient pas à simplifier convenablement les symboles de Christoffel de l'espace-temps de Kerr, du coup c'était inextricable. Ce n'est finalement que l'an dernier que j'ai codé le programme d'intégration des géodésiques, et je n'ai plus trop envie d'en faire un jeu. Par contre, je garde dans un coin de ma tête l'idée de réaliser des vidéos de différents processus concernant un trou noir de Kerr, comme celle de ce que voit un observateur qui tombe librement et émerge dans un autre monde feuillet d'espace-temps différent.) Mais ceci est une autre histoire.

La physique des particules m'a fasciné très tôt. Notamment quand j'ai appris que les protons et les neutrons étaient formés chacun de trois petits machins appelés quarks ; et que ces quarks venaient en combinaisons de couleurs (trois possibles : rouge, vert et bleu) et saveurs (six possibles, up, down, strange, charm, beauty et truth[#] — enfin, à l'époque on n'en avait observé que cinq) ; et qu'en en mettant trois ensemble, dont nécessairement un de chaque couleur, on formait un baryon (à savoir up-up-down pour le proton, et up-down-down pour le neutron) : tout ça a éveillé ma curiosité, ne serait-ce que combinatoire, et j'ai voulu en savoir plus. Pendant longtemps, tous les deux ans, mon père m'a rapporté du labo une copie du nouveau Review of Particle Properties (à la fois en version pavé et en version livret[#2]) : au début, je ne lisais essentiellement que les listings de baryons et mésons, je voulais comprendre comment « fonctionnaient » ces machins fabriqués à partir de trois quarks ou d'un quark et d'un antiquark.

Rapidement j'ai compris qu'il y avait plus à comprendre que la combinatoire de choisissez trois saveurs de quarks parmi les six, et vous obtenez un baryon (ou une saveur et une anti-saveur pour un méson). Par exemple, le neutron est up-down-down, mais le Δ⁰ aussi, et ce ne sont pas du tout la même particule : il y a une différence de spin (mais je ne crois pas que je comprenais bien ce qu'était le spin, à l'époque), et aussi d'isospin (idem…), et accessoirement le Δ⁰ survit 160000000000000000000000000 fois (cent soixante millions de milliards de milliards, tout de même) moins longtemps que le neutron (mais je ne sais pas si je savais extraire cette information du Review of Particle Properties, parce qu'elle est cachée sous forme de largeur) et il a une masse 30% plus importante. Bref, dire up-down-down ne suffit pas. À l'inverse, je devais reconnaître qu'il n'existait pas trois neutrons différents, un dont le quark up serait rouge (les deux down étant vert et bleu), un dont le up serait vert et un dont il serait bleu : bon, là il était assez facile d'imaginer que les quarks échangeaient tout le temps leurs couleurs (tout en gardant un rouge, un vert et un bleu), ce qui n'est d'ailleurs pas trop faux, comme image. Autrement plus difficile à comprendre était la composition en quarks du méson π⁰ (le pion neutre) : ce n'est ni un quark up et un anti-quark (anti-)up, ni un down et un anti-down, mais une combinaison linéaire des deux (et selon qu'on fait la combinaison linéaire avec un + ou un −, on n'obtient pas la même particule : pour le pion, c'est − ; du coup, l'idée naïve que la paire quark-antiquark passe son temps à alterner entre up+anti-up et down+anti-down, elle est, justement, naïve).

⁂

Je suis devenu mathématicien et pas physicien. Donc certainement je n'ai pas de difficulté fondamentale — maintenant — à comprendre une combinaison linéaire, ou à saisir l'idée que quand deux opérateurs hermitiens ne commutent pas, on ne peut pas les diagonaliser simultanément[#3], et autres évidences mathématiques qui ont une grande importance en physique quantique. Pour autant, l'intuition ne vient pas forcément avec. Et même quand elle vient, la connexion entre le sens mathématique et le sens physique n'est pas facile à faire.

Je crois que je comprends maintenant assez bien les idées physiques de base de ce qui s'appelle collectivement le modèle standard de la théorie des particules (et qui décrit l'ensemble des particules élémentaires observées plus un encore hypothétique boson de Higgs, regroupées en interactions électrofaible et forte plus champs de matière), et je comprends comment tout un tas de ces choses s'organisent mathématiquement. Mais une brique essentielle me manque depuis toujours : je ne comprends pas du tout, malgré un assez grand nombre de tentatives pour y arriver, la théorie quantique des champs.

D'une certaine manière, c'est très excusable, parce qu'il y a effectivement beaucoup de difficultés mathématiques, parfois très profondes, pour définir rigoureusement la théorie quantique des champs (et certaines théories comme celle de l'électrodynamique quantique n'ont probablement pas de sens mathématique, tandis que d'autres comme la chromodynamique quantique, en ont probablement un mais c'est un problème à $1000000 de le définir rigoureusement). Mais en fait, ce que je ne comprends pas est beaucoup plus basique que les difficultés subtiles (l'apparition de quantités infinies à foison, dont il est difficile de se débarrasser proprement) auxquels je fais allusions. Je n'arrive pas à comprende les idées clés de la théorie quantique des champs. Ce qui est dommage, parce que c'est ce qui manque pour faire le lien entre des maths que je comprends et de la physique dont j'ai une petite idée (et qui me fascinait quand j'étais petit, et qui continue à me fasciner[#4]).

Assez récemment, je me suis acheté un livre assez monumental[#5] appelé Quantum Field Theory (I. Basics in Mathematics and Physics) par Eberhard Zeideler. Assez monumental, parce qu'il fait environ 1000 pages, que le volume II (que je n'ai pas encore acheté, mais je risque de le faire) en fait autant, et qu'il y a encore quatre volumes prévus derrière. Je crois que si j'avais la patience de digérer tout ça, je finirais par comprendre quelque chose à cette théorie, mais malheureusement, je manque de temps ! Tellement de choses à découvrir, tellement peu de temps à y consacrer… Je me console avec un livre au format beaucoup plus petit, les Lectures on Quantum Chromodynamics d'Andrei Smilga, qui sans éclaircir vraiment ce que je ne comprends pas fondamentalement dans la théorie quantique des champs, m'apprennent tout un tas de choses physiquement fascinantes sur les quarks et les gluons.

[#] Maintenant on est censé dire bottom et top pour beauty et truth, mais je trouve ces deux derniers termes à la fois beaucoup plus poétiques et beaucoup plus cohérents avec les autres (alors que bottom et top, ça invite vraiment à la confusion avec down et up, dont ils sort certes des analogues dans la 3e famille). Et on peut même traduire les mots en français, parler de quark étrange, charmant, beau et vrai alors que distinguer les quarks top et up en traduction, c'est pas évident.

[#2] Le Review est une sorte de bottin des particules connues, avec une fiche signalétique pour chacune qui décrit toutes ses caractéristiques mesurées, et aussi plein de tables diverses qui récapitulent toutes sortes de choses importantes en physique des particules. Ça existe en version complète, qui représente un livre assez épais, en fait (et de plus en plus épais chaque année), et aussi en version livret de poche, pour avoir tout le temps sur soi des renseignements auss importants que la masse du muon ou la durée de vie du Ω⁻.

[#3] Remarque qui tombe un peu comme un cheveu sur la soupe, certes. Mais c'est important pour comprendre, par exemple, tous les mystères qui entourent les kaons neutres : les vecteurs propres d'étrangeté, d'interaction faible, ou d'invariance CP, sont à chaque fois deux vecteurs différemment orientés dans l'espace (de dimension 2) des kaons neutres.

[#4] Dans le genre de choses que je trouve complètement mind blowing, il y a le diagramme des phases de la chromodynamique quantique : cet article de vulgarisation (qui s'adresse cependant à des gens connaissant un peu de physique au préalable !) donne un petit aperçu de ce dont il s'agit (et de quel peut être le comportement étrange des quarks au cœur des étoiles superdenses).

[#5] Et par ailleurs très intéressant et localement très bien écrit (les explications sont très claires, et pour un matheux c'est vraiment parlant). Son principal défaut est d'être assez brouillon (il part dans tous les sens, et on finit par se perdre complètement dans son plan).

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2009-09-26 (samedi)

« Kiss-in », la Défense, musée de l'informatique

Cet après-midi, mon poussinet et moi nous sommes fait des bisous en public. C'est pas que ça nous arrive rarement, mais là c'était appuyé, et organisé : à 16h, place Carrée du Forum des Halles (et au même moment dans d'autres villes de France), plein de couples de garçons, et plein de couples de filles, et aussi des couples garçon+fille, se embrassés sous les regards généralement curieux, souvent amusés, parfois hostiles, de la foule de passants du samedi après-midi, et aussi de beaucoup de gens qui visiblement avaient eu vent de l'événement mais qui n'y participaient pas (je ne comprends pas bien pourquoi : homos célibataires ? hétéros qui n'osaient pas participer ? curieux qui se demandaient pourquoi tant de gens se rassemblaient là ?). À la fin, il y a eu des applaudissements assez appuyés. Je ne sais pas si ça fait beaucoup progresser la lutte contre l'homophobie, mais c'était amusant.

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Après ça, nous avons profité de la ligne 1 pour aller à la Défense. C'est idiot : ce n'est vraiment pas loin de Paris, mais je n'y suis quasiment jamais allé, et pourtant, ça vaut la peine, parce que c'est un endroit finalement assez agréable (bien aménagé pour le piéton) et architecturalement intéressant (il y a quelques horreurs, certes, mais la composition d'ensemble me plaît).

Nous sommes allés visiter le musée de l'Informatique au toit de la Grande Arche. Ce n'est pas bien grand (c'est même tout petit), mais leurs collections sont tout de même intéressantes pour qui aime les ordinateurs plus ou moins vieux ; par contre, elles manquent vraiment d'organisation, il y a un sens de la visite marqué, mais il ne respecte que très approximativement l'ordre chronologique, on repasse aléatoirement des années '80 à la carte perforée. Et les explications sur les caractéristiques des machines exposées sont un peu sommaires. En ce moment, ils ont une exposition sur le Macintosh, qui expose (quasiment tous ?) les modèles du précurseur (le Lisa) au présent, en passant par le tout premier Mac, le iMac, mais aussi le NeXT : cette exposition est beaucoup mieux organisée, pour le coup.

Par contre, le toit de la Grande Arche n'est guère intéressant pour ce qui est de la vue (bizarrement, elle est presque meilleure depuis la base). Il n'y a que la montée en ascenseur qui vaille le coup de ce point de vue-là. À condition de ne pas avoir le vertige comme moi.

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2009-09-19 (samedi)

Orange a découvert l'astuce

J'expliquais récemment que ma formule de téléphonie mobile consistait à prendre une carte prépayée chez l'opérateur Orange avec l'option le bon plan Internet Max : la carte prépayée coûte 50€ pour 4 mois et, si on n'appelle quasiment pas, ce solde suffit à couvrir le prix de l'option, donc finalement on s'en sort à 12.50€/mois.

Depuis, l'opérateur doit s'être rendu compte que c'était un trop bon plan, parce que cette option n'est plus proposée pour les cartes prépayées : la page de description de l'offre a gagné une mention légale cachée option Internet max à souscrire et valable en France métropolitaine pour tout client mobile Orange (hors […] mobicarte et cartes prépayées).

Il semblerait que ça ne m'affecte pas (j'avais souscrit à l'option avant cette limitation, donc j'y ai encore droit). Enfin, on le saura quand le renouvellement automatique de l'option se fera.

Je ne sais pas non plus si c'était une erreur de la part d'Orange de proposer cette option (i.e., ils ne s'étaient pas rendu compte que c'était possible, et ils viennent de s'en apercevoir) ou si c'était voulu mais qu'ils ont changé d'avis, ou autre chose. Toujours est-il qu'il n'y a plus maintenant de raison particulière de conseiller cet opérateur.

Addition : Je remarque sur ce forum un message posté en avril dernier (donc nettement avant que moi je souscrive à l'option en question) de quelqu'un qui rapporte que sur le site Web d'orange, quand il essayait de prendre l'option Internet Max avec une Mobicarte on lui répondait : Cette option n'est pas disponible avec votre offre actuelle. Visiblement, tout le monde chez Orange ne devait pas avoir la même idée sur le fait que cette option soit ou non possible avec une carte prépayée ! J'imagine le chaos que doit être l'organisation interne d'Orange pour qu'une telle chose soit possible, des équipes qui ne communiquent pas entre elles, qui ne savent pas ce que les autres font, etc. (Et mon poussinet de rajouter : pas étonnant que des gens se suicident…)

Car même si je ne suis pas concerné, un ami me demande conseil pour choisir une formule : quelle est la combinaison, et chez quel opérateur, qui permet d'avoir un accès Internet illimité pour un prix mensuel moyen aussi bas que possible ? On pourra éventuellement discuter selon que l'accès Internet demandé est seulement un accès au Web (ports 80 et 443) ou bien un véritable accès Internet (essentiel des ports TCP ouverts). Pour l'instant, je trouve un forfait bloqué chez Bouygues à 24.90€/mois (mais je soupçonne que c'est un Internet bridé). Y a-t-il moins cher ?

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