David Madore's WebLog

2007-06-28 (jeudi)

Premiers oraux

Maintenant que mes auditions sont vraiment finies (la dernière s'est bien passée, merci ; j'aurai la réponse officielle d'ici quelques jours), j'envisage plus sereinement les jours qui viennent. Dans l'immédiat, j'ai pour charge (une fois finis les exposés de maîtrise des normaliens) de faire passer des oraux de concours, pour l'épreuve de TIPE des ENS. Le rapport entre mes deux phrases, c'est que c'est sans doute utile, pour faire passer un concours, que j'aie eu à me rappeler à quel point c'est stressant : je crois que ça va m'aider à mieux comprendre les candidats. C'est tout de même un boulot important, parce qu'il va falloir que mon co-examinateur et moi soyons à même de poser des questions précises et scientifiquement pertinentes sur un nombre important de sujets différents : ici, c'est le candidat qui choisit sur quoi il va être interrogé, et il y a beau avoir en principe un thème global (le temps), on n'en tient guère compte — donc les rapports vont des systèmes dynamiques à la logique linéaire en passant par la théorie de Galois et la théorie analytique des nombres, tous sujets sur quoi il va falloir être au point.

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2007-06-24 (dimanche)

Dernière audition

Je passe mardi matin mon audition finale de recrutement (comme maître de conférences en cryptographie) à l'ENST : voilà donc quelques jours que je me tourmente sur la question de savoir exactement ce que je dois y dire — comment présenter mes compétences et mes motivations en une dizaine de minutes — sur quoi insister, s'il vaut mieux exposer mes travaux ou mes ambitions, s'il s'agit de mettre la lumière sur ma recherche ou mes compétences d'enseignant, s'il est préférable de donner plus de contexte ou de se concentrer sur ce que j'ai fait. J'agonise sur chaque choix que je fais : un instant mes transparents me semblent bons, une minute plus tard je les trouve désorganisés ou déséquilibrés. Peut-être qu'il serait temps que je me décide à faire confiance en les capacités du jury à évaluer les candidats au-delà des détails de la présentation.

Mais finalement cette ébullition intellectuelle a du bon : à me demander si je comprends parfaitement les choses, je prends du recul. Par exemple sur la question de la rationalité des tores, un sujet très proche de mon domaine de recherche en géométrie algébrique (les variétés rationnelles), dont je parviens beaucoup mieux à expliquer la portée en cryptographie[#].

[#] Donnons une très brève idée de ce dont il s'agit : dans les applications cryptographiques (du type Diffie-Hellman, ElGamal…) dans le groupe multiplicatif d'un corps fini, qui font appel à la difficulté du problème du problème du logarithme discret, on peut travailler en fait — sans perte de sécurité — sur des petits sous-groupes du groupe multiplicatif, essentiellement le groupe des éléments dont la norme est 1 sur tout sous-corps du corps fini en question ; ces sous-groupes sont en fait des variétés algébriques qu'on appelle des tores (mais rien à voir avec ces tores-là) : la question de leur rationalité est essentiellement celle d'arriver à représenter les éléments de ces tores de façon efficace en nombre de bits, ce qui permet de donner des algorithmes cryptographiques de même sécurité que sur le groupe multiplicatif tout entier mais avec des données beaucoup plus petites.

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2007-06-20 (mercredi)

Séries de Hahn, théorèmes de Kedlaya et algébricité

La série annuelle des exposés de maîtrise (d'initiation à la recherche) des normaliens de première année vient de commencer, donc cette année encore je vais assister à un grand nombre d'exposés mathématiques (pour la plupart très intéressants) sur des sujets très variés. Aujourd'hui il y en a un qui a particulièrement retenu mon attention puisqu'il était question d'une de ces constructions mathématiques que je trouve particulièrement remarquables. Et qui m'est très chère puisque je l'avais redécouverte il y a quelques années sans savoir que c'était un objet classique (j'étais allé, tout excité, en parler à mon directeur de thèse qui m'avait aussitôt sorti un préprint qui expliquait ça et qui répondait à certains des problèmes que je m'étais posés à ce sujet) : il s'agit des séries de Hahn, ou de Mal'cev-Neumann (les deux noms se trouvent, et je ne sais pas si l'un est plus correct). Même si j'ai pour habitude de ne pas parler de maths sur ce blog[#] je vais tout de même essayer de décrire de quoi il s'agit et pourquoi je trouve ça remarquable. En supposant que le lecteur est un peu familier avec des notions de base d'algèbre (disons, séries formelles et extensions de corps).

Pour introduire cette notion je pourrais commencer par partir de l'anneau F[t] des polynômes en une indéterminée t à coefficients dans un corps F (qui sera, pour l'essentiel, un corps fini). Il s'agit de généraliser cette notion : une première généralisation, puisque les polynômes s'écrivent comme des sommes formelles de termes c_i·tⁱ pour i parcourant un nombre fini d'entiers naturels, serait d'autoriser les sommes infinies de cette forme, c'est-à-dire que i parcourt tous les entiers naturels ; on obtient ainsi l'anneau F[[t]] des séries formelles en l'indéterminée t. Par exemple, 1+t+t²+t³+⋯ (somme de tous les tⁱ avec tous les coefficients c_i égaux à 1) est une série formelle, qui est l'inverse de 1−t [#2]. Une nouvelle intéressante, c'est que F[[t]] est un anneau de valuation discrète : sans chercher à définir cette notion, disons qu'il n'y a en gros qu'une seule série formelle qui n'est pas inversible, c'est t elle-même, au sens où si on lui donne un inverse alors toute série formelle (non nulle) en aura un.

On introduit donc l'anneau F((t)) des séries de Laurent : il s'agit toujours des sommes formelles de termes de la forme c_i·tⁱ, sauf que cette fois-ci on permet à l'exposant i de prendre des valeurs négatives (puisqu'on veut inverser t, il faut bien introduire un t à la puissance −1). Bien sûr, toute somme de cette forme n'est pas légitime : par exemple, il n'y a pas de sens à donner[#3] à la somme des tⁱ sur tous les entiers relatifs i. La bonne condition est de demander que les i qui supportent la somme (c'est-à-dire ceux pour lesquels le coefficient c_i est non nul) soient bornés inférieurement, ou de façon équivalente qu'il n'y ait qu'un nombre fini de termes à exposants négatifs. Il se trouve qu'on obtient ainsi un corps (toute série de Laurent non nulle est inversible), qui est le corps des fractions de l'anneau des séries formelles.

Pour aller plus loin, on cherche à résoudre certaines équations algébriques. Par exemple, dans le corps des séries de Laurent, la série 1+t a une racine carrée (si F est de caractéristique différente de 2), solution de l'équation algébrique f²−(1+t)=0, à savoir f = 1 + (1/2)t − (1/8)t² + (1/16)t³ − (5/128)t⁴ + ⋯ (bref, le développement asymptotique connu). Une autre nouvelle intéressante, c'est que F[[t]] est un anneau (local) hensélien : sans chercher à définir cette notion, disons qu'il n'y a en gros qu'une série de Laurent qui n'a pas de racine carrée, cubique ou je ne sais quoi, c'est t elle-même.

On introduit donc l'anneau F((t^1/∞)) des séries de Puiseux : il s'agit toujours des sommes formelles de termes de la forme c_i·tⁱ, sauf que cette fois-ci on permet à l'exposant i de prendre des valeurs rationnelles (puisqu'on donner des racines à t, il faut bien introduire un t à la puissance ½ ou autres). Bien sûr, toute somme de cette forme n'est pas légitime : de même que pour définir les séries de Laurent on avait imposé aux exposants supportant la série (c'est-à-dire intervenant effectivement dedans) d'être bornés inférieurement, de même, cette fois, on demandera qu'ils aient un dénominateur borné (ou, de façon équivalente, qu'il y ait un même dénominateur qui convienne pour tous les exposants) — on continue bien sûr d'imposer que les exposants soient eux-mêmes minorés. C'est-à-dire, si on préfère, qu'une série de Puiseux est une série de Laurent en t^1/k pour un certain k (qui dépend de la série, mais qui doit convenir pour tous les coefficients de celle-ci). Il est trivial que la somme de deux séries de Puiseux est encore une série de Puiseux, et il est facile de vérifier que cela vaut aussi pour le produit (qui s'écrit formellement comme on le devine), et que les séries de Puiseux forment un corps.

Doit-on continuer ? Si F est de caractéristique zéro, c'est inutile (du moins du point de vue de l'algèbre) : on a obtenu ce qu'on appelle une extension maximale totalement ramifiée de F((t)), et si F est algébriquement clos (de caractéristique zéro, j'insiste) alors le corps F((t^1/∞)) des séries de Puiseux est lui-même algébriquement clos. Sans chercher à démontrer ce résultat, il n'est pas extrêmement difficile à comprendre : quand on a à résoudre une équation algébrique en une série de Puiseux f, on commence par trouver sa valuation (le plus petit exposant en t d'un terme intervenant dans la série) et le coefficient devant ce premier terme, et on soustrait ce terme pour trouver le terme suivant.

Je fais une digression à ce stade-là : en particulier, le corps C((t^1/∞)) des séries de Puiseux complexes est algébriquement clos, donc il contient une clôture algébrique de C(t) — dont je ne sais pas si on sait en fournir une description complètement explicite mais disons en gros qu'il s'agit des séries de Puiseux dont les coefficients sont déterminés par des formules de récurrence uniformes. À ce stade-là on pourrait sauter de joie en se disant c'est merveilleux, on a une description explicite de la clôture algébrique de C(t) (ce qui est un objet fondamental pour comprendre, par exemple, les revêtements de courbes en géométrie algébrique). C'est vrai, mais il y a une arnaque : on a tendance à dire la clôture algébrique de C(t) parce qu'elles sont toutes isomorphes, mais elles le sont de façon non canonique et en fait on n'a décrit qu'une clôture algébrique, sur laquelle le point t=0 est distingué, notamment par le fait que le progénérateur du groupe de Galois absolu de C(t) associé à ce point opère de façon compréhensible sur C((t^1/∞)) alors que tous les progénérateurs associés aux autres points de la sphère de Riemann sont, si j'ose dire, illisibles sur cette description (ils n'agissent pas continûment).

Bon, même en caractéristique zéro ce n'est pas forcément la fin de l'histoire : on pourrait vouloir comprendre, par exemple, la complétion topologique de F((t^1/∞)), où la topologie est donnée par la valuation — c'est-à-dire que la distance entre deux séries de Puiseux f et g est l'exponentielle (de base e, disons) de l'opposé de la valuation de f−g. Pour l'instant je ne décris pas cette complétion, mais elle se dégagera naturellement avec les séries de Hahn.

Maintenant, si F est de caractéristique p>0, le corps des séries de Puiseux F((t^1/∞)) sur F n'a pas les solutions de toutes les équations algébriques (même si F est algébriquement clos…) : il n'y a essentiellement que ce qu'on appelle les équations modérément ramifiées (en fait, techniquement, F((t^1/∞)) est la clôture parfaite d'une extension maximale modérément ramifiée de F((t))). Il y manque les solutions des équations dites sauvagement ramifiées, et je ne définirai pas ce terme mais je donne l'exemple de l'équation d'Artin-Schreier, f^p−f=t⁻¹ (qui définit une extension cyclique de degré p).

Que se passe-t-il si on cherche à résoudre f^p−f=t⁻¹ ? Manifestement, la valuation de f doit être strictement négative dans l'histoire (sinon f^p−f aurait une valuation ≥0, ce qui n'est pas le cas de t⁻¹ puisque c'est −1) : du coup, la valuation de f^p est strictement inférieure à celle de f, donc la valuation de f^p−f est égale à p fois la valuation de f, et comme c'est censé être −1, la valuation de f est −1/p. Plus précisément, le premier terme de f est t^−1/p. Mais si on écrit f = t^−1/p + f₁, on voit que f^p = t⁻¹ + f₁^p (rappelons qu'on est en caractéristique p donc (x+y)^p = x^p + y^p) donc f₁^p−f₁=t^−1/p et le même raisonnement montre que f₁ commence par le terme t^−1/p². En continuant de la sorte on voit qu'on a trouvé la solution f = t^−1/p + t^−1/p² + t^−1/p³ + ⋯, qui n'est pas une série de Puiseux puisque les dénominateurs des exposants de t ne sont pas bornés. Ce n'est même pas une série de Cauchy dans le corps des séries de Puiseux (j'ai expliqué ci-dessus qu'on mettait sur ce dernier la valeur absolue donnée par l'exponentielle de moins la valuation ; en caractéristique p on prend généralement l'exponentielle de base p mais cela donne la même topologie et structure uniforme) : la suite des p^1/pi ne tend pas vers zéro quand i tend vers l'infini, en fait elle tend vers 1 ; donc f n'existe même pas en tant qu'élément du complété topologique des séries de Puiseux. Alors quoi ?

Si on veut autoriser les sommes formelles avec des dénominateurs non bornés, il faut trouver une condition qui permette de donner un sens aux séries (par exemple on veut certainement écarter la somme des tⁱ pour i parcourant tous les rationnels !). Un indice qui met sur la bonne voie est de se dire qu'on veut au moins que l'ensemble des exposants supportant la série (c'est-à-dire des i correspondant à un coefficient c_i non nul) non seulement soit borné inférieurement mais admette un plus petit élément, pour pouvoir définir la valuation de la série comme ce plus petit élément. Ceci fait penser aux parties bien ordonnées de Q, c'est-à-dire les ensembles de rationnels tels que toute partie non vide de l'ensemble ait un plus petit élément — ou, de façon équivalente, les parties de Q ne contenant aucune suite strictement décroissante.

On introduit donc l'anneau F((t^Q)) des séries de Hahn(-Mal'cev-Neumann) à coefficients dans F : il s'agit des sommes formelles de termes de la forme c_i·tⁱ, où, cette fois, i parcourt un ensemble bien ordonné de rationnels. Il n'est pas difficile de se convaincre que F((t^Q)) est un corps (contenant manifestement F((t^1/∞))), et cette fois-ci il est algébriquement clos dès que F l'est, quelle que soit la caractéristique de celui-ci. Par exemple, 1 + t^0.9 + t^0.99 + t^0.999 + t^0.9999 + ⋯ + 2t est une série de Hahn (remarquez que j'ai trié les termes par exposant croissant de t, ce qui me fait mettre le terme en t après une infinité de termes ayant des exposants entre 0 et 1). Le corps des séries de Hahn est un corps topologique (de nouveau, avec la distance donnée par la valuation qui se définit sans problème), et il est complet (et même ultracomplet ou sphériquement complet, ce qui signifie en gros que toute intersection décroissante de boules fermées est non vide) : il faut cependant prendre garde au fait que, contrairement au cas des séries de Laurent, pour une série de Hahn, les points de suspension qui interviennent dans son écriture sont la participation à une somme formelle et ne sont pas topologiques, c'est-à-dire que la série de Hahn 1+t^0.9+t^0.99+t^0.999+⋯ n'est pas la limite de ses sommes partielles (comme je l'ai fait remarquer, celles-ci ne sont pas de Cauchy) ; en revanche, une série de Hahn est la limite des séries obtenant en tronquant les exposants à des rationnels tendant vers +∞ (mais cela peut faire apparaître une infinité de termes d'un seul coup).

Par ailleurs, toute partie bien ordonnée de Q est (uniquement) isomorphe, en tant qu'ensemble ordonné, à un unique ordinal, qu'on peut appeler complexité de la série : tous les ordinaux dénombrables peuvent s'obtenir de la sorte, et c'est déjà quelque chose d'assez terrifiant (par exemple, la série de Hahn somme des t^{0.77⋯733⋯3}, où on permet n'importe quel nombre fini de 7 suivi par n'importe quel nombre fini de 3 dans l'exposant, a pour complexité ω², ce qui la rend déjà difficile à écrire ; remarquez au passage que si j'avais voulu prendre la somme des t^{0.33⋯377⋯7} ça ne définirait pas une série de Hahn parce qu'il y a une suite strictement décroissante 0.7>0.37>0.337>⋯ qui fait que l'ensemble des exposants n'est pas bien ordonné). Si on considère l'ensemble des séries de Hahn de complexité strictement inférieure à une certaine borne ordinale α, cela peut encore donner des choses intéressantes : par exemple, il existe beaucoup de α (il en existe un club sous ω₁, pour ceux qui savent ce que ça veut dire) tel que l'ensemble des séries de Hahn de complexité strictement moins que α soit un corps algébriquement clos ; et dans l'esprit de Conway on peut même calculer explicitement les plus petits (il s'agit en gros d'arriver à borner les complexités qui peuvent apparaître en résolvant une équation algébrique par approximation successive) : je ne me rappelle plus combien est le premier c'est mais c'est probablement ω^ω ou ω^ωω ou quelque chose de ce goût-là (je suis presque sûr que c'est inférieur à ε₀ ; d'ailleurs, il est plausible que ε₀ donne lui aussi une borne convenable). Mais laissons les ordinaux de côté.

Maintenant qu'on a ce gros — et magnifique — corps F((t^Q)), on peut chercher à lui trouver des sous-corps intéressants : puisqu'il est algébriquement clos (si F l'est) et complet, on peut chercher à y identifier, par exemple, la clôture algérique de F(t), celle de F((t)) (ce sera la même pour F((t^1/∞)) bien sûr) ou encore les complétés de ces clôtures algébriques ainsi que de F((t^1/∞)). C'est plus ou moins possible (ou, disons, c'est plus ou moins explicite). Par exemple, pour le complété (topologique) de F((t^1/∞)), c'est facile : ce sont les séries de Hahn telles que pour tout rationnel r l'ensemble des exposants supportant la série et inférieurs à r soient de dénominateur borné ; autrement dit, les dénominateurs des exposants ont le droit de tendre vers l'infini à condition qu'en même temps les exposants eux-mêmes tendent vers l'infini.

Maintenant, on a un théorème magnifique et stupéfiant de Christol, Kamae, Mendès France et Rauzy qui caractérise précisément la fermeture algébrique de F(t) à l'intérieur de F((t)), si F est un corps fini à q éléments : ce sont les séries de Laurent dont le coefficient c_i est q-automatique, c'est-à-dire que sa valeur peut être calculée à partir de l'écriture en base q de i par un automate fini (j'omets les détails, mais l'idée est qu'on a un automate ayant un nombre fini d'états et des fonctions de transition qui déterminent le nouvel état en fonction d'un symbole d'entrée et de l'état antérieur, et une fonction de sortie qui détermine le résultat en fonction du dernier état, et on lui passe en entrée successivement le signe de i puis les chiffres de i en base q, disons en commençant plus significatif, et il produit la valeur de c_i). Un exemple est donné par la série de Morse-Thue, f = t + t² + t⁴ + t⁷ + t⁸ + t¹¹ + ⋯, somme des puissances de t dont l'exposant a une écriture binaire comportant un nombre pair de chiffres 1 : cette série formelle est 2-automatique (on la calcule avec un automate à deux états, pair et impair, le chiffre 1 faisant passer de l'un à l'autre tandis que le chiffre 0 maintient l'état antérieur), donc comme série de Laurent sur un corps de caractéristique 2 elle est algébrique, d'ailleurs en l'occurrence elle vérifie précisément l'équation algébrique (1+t+t²+t³)f² + (1+t²)f + t = 0, comme il est facile de vérifier. Accessoirement, si on la regarde comme élément de C((t)), elle n'est pas algébrique cette fois : elle est non seulement transcendante mais même hypertranscendante (= elle ne vérifie aucune équation différentielle non triviale), cela a fait l'objet d'un problème d'agreg je ne sais plus quelle année, mais ce n'est pas vraiment mon sujet ici.

Bon, c'est bien d'avoir la fermeture algébrique de F(t) dans F((t)), mais on voudrait plutôt dans F((t^Q)). Pour ça aussi il y a un résultat, dû à Kedlaya : il caractérise la fermeture algébique de F(t) dans F((t^Q)) (toujours pour F un corps fini à q=p^d éléments) comme l'ensemble des séries quasi-q-automatiques, c'est-à-dire que quitte à effectuer une affinité rationnelle sur les exposants leurs dénominateurs deviennent tous des puissances de p et les coefficients sont calculés par un automate fini à partir de l'écriture en base p de ces exposants (écriture finie après la virgule puisque, justement, le dénominateur est une puissance de p). Il y a aussi un autre résultat, aussi dû à Kedlaya, sur la fermeture algébrique de F((t)) dans F((t^Q)) : pour le citer en agitant un peu les mains, la condition d'algébricité est que, quitte à faire une affinité rationnelle les exposants admettent des dénominateurs qui sont des puissances de p, c'est-à-dire une écriture finie en base p, et de plus que le nombre de chiffres autres de p−1 dans cette écriture soit borné, et que toute suite de coefficients obtenue en insérant des chiffres p−1 à un endroit fixé après la virgule dans l'écriture de l'exposant en base p soit prépériodique (par exemple, si p=7 et qu'on écrit en base 7, cette condition demande entre autres que la suite c_0.413, c_0.4613, c_0.46613, c_0.466613, etc., soit périodique à partir d'un certain point). Mais bon, ma façon de citer ces deux théorèmes laisse à désirer ne serait-ce que parce qu'il n'est pas trivial que la première condition implique la deuxième (il faut jouer avec les affinités, ça m'a laissé perplexe au début). Pour plus de précisions sur ces différents résultats, voir S. Kedlaya, Finite automata and algebraic extensions of function fields, J. Théor. Nombres Bordeaux 18 (2006), 379–420, dont un préprint est sur l'arXiv : ce papier est d'ailleurs d'une clarté remarquable et prend le soin d'expliquer tous les concepts qu'il utilise.

Il est intéressant de contraster le résultat de Christol (et celui de Kedlaya) qui va dans le sens automatique ⇒ algébrique avec un théorème de Loxton et van der Poorten (Arithmetic properties of automata: regular sequences, J. Reine Angew. Math. 392 (1988), 57–69) qui affirme qu'au contraire, si x est un nombre réel tel que (pour une certaine base b≥2) l'écriture b-adique de x soit b-automatique et non périodique, alors x est transcendant. Par exemple, le nombre de Morse-Thue, dont l'écriture binaire 0.110100110010110… comporte un 1 exactement aux emplacements dont le rang a un nombre impair de 1 en binaire, est un nombre transcendant. Ou, dans l'autre sens, il n'existe pas d'automate fini qui calcule les décimales de la racine carrée de 2. (Il y a aussi un théorème du même acabit qui affirme que si on forme un nombre réel en concaténant les écritures en base b des valeurs d'un polynôme non constant prenant des valeurs entières sur les entiers, ce nombre est transcendant.) Pour plus de précisions sur ces résultats, ce survey n'est pas mal. Je crois qu'il y a aussi des analogues p-adiques assez directs de ces théorèmes mais je ne sais pas très précisément.

Revenons enfin aux séries de Hahn : une autre chose intéressante et qu'on peut construire sur ce modèle non seulement des séries formelles en une indéterminée t mais aussi des écritures p-adiques : un entier p-adique (élément de Z_p) est une sorte de série formelle en p, une somme de c_i·pⁱ où les c_i sont des chiffres en base p, c'est-à-dire des éléments de {0,…,p−1}, l'addition et la multiplication se faisant de façon analogue aux séries formelles sauf qu'il y a des retenues (qui suivent exactement le mécanisme qu'on apprend à l'école primaire) ; un nombre p-adique (élément de Q_p) est alors l'analogue d'une série de Laurent en p, toujours une somme de c_i·pⁱ avec les c_i des chiffres p-adiques, mais cette fois i peut prendre des valeurs négatives tant qu'il n'y en a qu'un nombre fini (c'est-à-dire qu'un nombre p-adique est une écriture en base p infinie à gauche de la virgule mais finie à droite, contrairement aux réels où c'est exactement l'opposé, mais les règles d'addition et de multiplication sont les mêmes). Mais rien n'interdit de faire aussi l'analogue des séries de Hahn : il faut vérifier que la présence des retenues ne perturbe pas les supports bien ordonnés, mais ce n'est pas très difficile (la retenue se fait toujours de pⁱ vers pⁱ⁺¹, même s'il y a d'autres chiffres entre les deux !). Il ne faut pas espérer avoir une description explicite utilisable des éléments algébriques sur Q (par contre, algébriques sur Q_p c'est peut-être possible, de façon analogue à la caractérisation par Kedlaya de la fermeture algébrique de F((t)) dans F((t^Q)), mais je ne sais pas précisément). Tout de même, dans l'esprit, on peut obtenir ainsi un corps algébriquement clos et complet contenant Q_p : il faut mélanger les séries de Hahn avec les vecteurs de Witt, c'est-à-dire en gros prendre les sommes de c_i·pⁱ où les c_i sont des racines de l'unité (premières-à-p), les formules d'addition et de multiplication (l'analogue des « retenues ») étant alors données par les polynômes de Witt ; l'intérêt de ça est de permettre de concevoir un peu mieux le corps C_p (qui est le complété de la clôture algébrique de Q_p), très important en analyse p-adique (il joue un rôle analogue à C, le corps des complexes, pour l'analyse p-adique), d'ailleurs le corps des séries de Hahn-Witt est encore mieux, c'est un complété sphérique de la clôture algébrique de Q_p.

[#] Notamment pour l'éternel problème qu'écrire des formules mathématiques en HTML est insupportablement pénible. Ayant écrit cette entrée et tapé je ne sais combien de <var>t</var><sup>&minus;1/<var>p</var></sup> et autres horreurs, je me rappelle douloureusement pourquoi il ne faut pas parler de maths sur une page Web !

[#2] J'espère que tout le monde voit bien le signe moins dans −1 : le HTML (enfin, Unicode, plus précisément) prévoit un signe moins spécifique, différent du trait d'union (-), qu'on écrit comme −, mais je m'inquiète qu'il ne s'affiche pas bien partout. Le cas échéant, je vous laisse en exercice de retrouver tous les signes manquants !

[#3] En tout cas, ce n'est pas une série de Laurent… Les petits malins peuvent essayer d'écrire cette série comme l'inverse de 1−t, plus l'inverse de 1−t⁻¹, moins 1, mais on vérifie facilement que cela fait… 0.

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2007-06-18 (lundi)

Méthodes de vote du Conseil européen

[Petit résumé-rappel pour ceux qui ne suivent pas forcément très bien l'actualité : l'Union européenne fonctionne actuellement (et notamment pour ce qui est des votes au Conseil européen, qui m'intéressent ici) selon des règles institutionnelles décidées par le traité de Nice de 2001. Ces règles présentent un certain nombre d'inconvénients. Le traité constitutionnel, qui ne sera sans doute jamais ratifié, prévoyait un certain nombre de changements (notamment pour les votes au Conseil) : un certain nombre de dirigeants européens, dont Angela Merkel et Nicolas Sarkozy, essaient de sauver certains de ces changements institutionnels, mais il y a des objections diveres.]

Je suis tombé récemment sur un article de la BBC qui, parlant de la méthode de vote utilisée au Conseil européen, évoquait le point de vue du président polonais Lech Kaczyński de la façon suivante :

Mr Kaczyński says he wants European leaders to discuss what he believes is a fairer alternative—calculating voting rights according to the square root of each country's population, rather than simply according to population.

J'ai été très surpris en lisant ça : je pensais que le concept de racine carrée (qui est tout à fait pertinent mathématiquement ici, comme je vais tâcher de l'expliquer) échappait totalement à la portée des hommes politiques (lesquels sont notoirement peu enclins à demander aux scientifiques de les éclairer même quand il s'agit précisément du domaine de compétence de ces scientifiques). Mais si les intérêts de la Pologne sont en jeu…

De quoi s'agit-il ? On doit décider des règles de vote au Conseil européen, c'est-à-dire des règles qui en fonction des votes des (dirigeants des) 27 pays membres pour ou contre une proposition (je crois qu'il n'y a pas d'abstention possible : l'abstention doit compter comme une absence de soutien à la proposition) détermine si celle-ci est adoptée. Comme les pays n'ont évidemment pas la même taille (comparer Malte et l'Allemagne…), on ne peut pas utiliser un vote simple donnant à tous les membres le même poids ; mais il ne s'agit pas non plus de voter simplement selon la population, cela donnerait trop de poids aux grands pays (et comme les règles doivent être adoptées à l'unanimité, les petits pays n'accepteront jamais cela).

Les règles actuelles découlent du traité de Nice (modifié par les traités d'accession élargissant l'Union à 25 puis 27 membres). Elles sont d'une complexité assez affolante. Chaque pays reçoit un certain nombre de voix : nombre qui croît avec la population, mais de façon assez irrégulière (et des susceptibilités ont été ménagées, par exemple la France, le Royaume-Uni ou l'Italie ont le même poids que l'Allemagne, 29 voix, alors que cette dernière a significativement plus d'habitants) ; au total il y a 345 voix. Pour qu'une proposition soit acceptée, il faut (et il suffit) qu'elle soit approuvée par des pays membres représentant :

• une majorité (c'est-à-dire 14) des 27 pays membres (cette majorité étant portée aux deux tiers, c'est-à-dire 18, si la proposition ne provient pas de la Commission),
• 255 voix (soit 73.91%) des 345 voix,
• 62% de la population de l'Union (cette clause ne jouant que si un membre demande explicitement à ce qu'on la vérifie : dans la pratique elle est presque toujours conséquence de la clause précédente, il n'y a que dans de très rares cas que l'absence de l'Allemagne parmi les membres soutenant une décision peut faire que celle-ci totalise 255 voix sans représenter 62% de la population de l'Union).

Les règles proposées par le traité constitutionnel européen (vous savez, celui qui est parti à la poubelle) étaient plus simples : pour qu'une proposition soit acceptée, il faut qu'elle recueille l'adhésion de pays membres représentant :

• au moins 55% (c'est-à-dire 15) des 27 pays membres (cette majorité étant portée à 72%, c'est-à-dire 20, si la proposition ne provient pas de la Commission),
• 65% de la population de l'Union, ou bien
• tous les pays membres sauf au plus trois (c'est-à-dire concrètement que trois pays, quelle que soit leur taille, ne peuvent pas à eux seuls bloquer une décision, une « minorité de bloquage » doit comporter au moins quatre pays).

Ces nouvelles règles auraient eu l'avantage de l'universalité (pas besoin de négocier un nombre ad hoc de voix quand un nouveau pays accède à l'Union), d'un peu plus de simplicité, et surtout d'une plus grande facilité à adopter une mesure. (Pour donner une idée, si les pays votent chacun en tirant à pile ou face indépendamment, une mesure est adoptée avec une probabilité de 2% avec les règles du traité de Nice, alors qu'elle l'est à presque 13% avec les règles du TCE : donc on peut en quelque sorte dire que c'est six fois plus facile avec ces nouvelles règles.) C'est ces règles-là (ou une variante à négocier, bien entendu) que Mme Merkel, M. Sarkozy et d'autres voudraient faire accepter. La raison pour laquelle la Pologne ou l'Espagne trainent des pieds est facile à comprendre : elles avaient dans les règles de Nice un nombre de voix important eu égard à leur population, les règles du TCE prévoient une règle pour les petits pays (exigence de 55% des pays membres), une autre pour les grands (exigence de 65% de la population), mais rien pour les pays « moyens ».

Je n'ai pas vérifié que la Pologne perdait effectivement du pouvoir (et combien) dans ce nouvel ensemble de règles… Il faut savoir qu'il y a des moyens mathématiques standard de mesurer le pouvoir, comme l'indice de pouvoir de Banzhaf, qu'on présente souvent comme la proportion, parmi les coalitions gagnantes (i.e., permettant l'adoption d'une proposition), de celles dont le membre considéré est un membre-pivot (s'il quitte la coalition, celle-ci cesse d'être gagnante) : cela revient aussi en gros à faire voter au hasard tous les membres (de façon équiprobable pour oui et non) et à regarder la probabilité que le vote du membre considéré soit déterminant sachant qu'avec lui la proposition est adoptée (on peut aussi faire un calcul en supposant que la proposition est rejetée, ou en ne supposant rien).

J'avais fait il y a longtemps des calculs pour les élections présidentielles américaines, concluant que, selon les règles qui sont en vigueur, les électeurs californiens avaient trop de pouvoir (contrairement à une opinion répandue qui veut que ce soient ceux des petits états qui en aient trop). Mais l'idée simple qui en résulte est que si on veut une représentation équitable, il faut effectivement que les poids soient répartis de façon proportionnelle à la racine carrée de la population (c'est-à-dire que je donne raison, sur le principe, à M. Kaczyński) : le raisonnement est en gros le suivant :

• on suppose que les votes des états sont déterminés par un vote majoritaire dans leur population (c'est effectivement ce qui se passe pour l'élection présidentielle américaine, et c'est un modèle vaguement raisonnable pour le Conseil européen) ;
• or le pouvoir d'un individu dans un vote simple parmi N personnes, avec N très grand, est asymptotiquement proportionnel à l'inverse racine carrée de N (c'est l'estimation classique de l'ordre des fluctuations : si on veut, c'est l'équivalent de la proportion du coefficient binomial médian) ;
• en revanche, sur un système de vote pondéré avec des poids pas trop délirants (techniquement, si la somme des carrés des poids est nettement plus grande que le carré du plus grand poids), les pouvoirs sont environ proportionnels aux poids ;
• donc si on veut donner le même pouvoir, au final, aux citoyens des différents états, il faut distribuer les poids du vote pondéré proportionnellement à la racine carrée des populations.

Ceci vaut aussi bien pour l'élection présidentielle américaine que pour le vote au Conseil européen.

Ceci étant, il n'y a pas de raison de ne pas demander des pondérations avec plusieurs systèmes de poids (comme c'est le cas actuellement, ainsi que je l'ai expliqué, et comme le prévoit aussi le TCE) : on peut demander une majorité sur les membres, une majorité sur la population et une majorité sur la racine carrée de la population (ou puissance ½ de la population). Du coup je me permets de soumettre à la sagacité des Grands de ce monde la règle madorienne de vote pour le Conseil européen, qui sont les suivantes :

Une proposition est adoptée selon la règle madorienne lorsque pour tout réel p compris entre 0 et 1 (au sens large), la proposition est soutenue par une certaine proportion (indépendante de p) des pays pondérés par la population à la puissance p : la proportion étant fixée à 55% pour les votes normaux, et à 2/3 pour ceux qui ne sont pas des propositions de la Commission.

Noter que la population à la puissance 0, c'est toujours 1, donc pondérer par la population à la puissance 0 revient à ne pas pondérer. La règle madorienne demande donc une majorité de 55% des pays, de 55% de la population, de 55% de la racine carrée de la population, mais aussi de 55% de n'importe quelle puissance p∈[0;1] de la population. Cela assure de ne léser ni les petits pays, ni les gros, ni les « moyens ». En pratique, vérifier pour p=0 et p=1 suffit dans beaucoup de cas à assurer tous les p intermédiaires, mais il faut parfois mettre quelques p supplémentaires, et ce sont des cas pas forcément absurdes (du genre : Allemagne France Italie Roumanie Pays-Bas Slovaquie Danemark Finlande Irlande Lithuanie Lettonie Slovénie Estonie Chypre Luxembourg).

Mettez-moi Angela Merkel au téléphone et je lui explique pourquoi ma proposition est géniale et va sauver l'Union européenne.

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2007-06-17 (dimanche)

Déjà un an de bonheur

Ça fait aujourd'hui un an que nous sommes ensemble, et même si je regrette que quatre de ces douze mois aient été passés à longue distance (mais le compteur a dépassé les 80%, youpi !), je continue à voir des petits cœurs et des petites étoiles partout. Mais comme il paraît que je suis ennuyeux à trop dire que je suis amoureux, je vais éviter de trop me répéter.

Quelle chance j'ai, cependant, d'avoir grandi à une époque, dans un pays et dans un milieu tels que je n'ai pas une seule fois eu à souffir de l'homophobie ! Certes Paris n'est pas encore tout à fait au niveau de Toronto[#] ; mais si je ne fais normalement pas de bisous à mon copain dans la rue c'est plus par pudeur générale que spécialement parce que nous sommes deux garçons. Certes, j'ai attendu l'âge de 22 ans[#2] avant de dire que j'étais homo ; mais quand je l'ai fait je n'ai recueilli que des réactions positives (au sens large, tout de même ). Tellement de chance, en fait, que j'ai tendance à prendre ça pour acquis, alors que ce ne l'est pas forcément pour tout le monde : même à l'ENS, où la tolérance et la visibilité homosexuelle sont, disons, visibles[#3], il y en a toujours qui ont beaucoup de difficulté à s'assumer. (Et si j'ai des exemples en tête, c'est aussi parce que j'ai parfois pu faire un peu pour aider dans ce sens certaines des personnes concernées.)

[#] Les paris sont ouverts pour savoir en quelle année (≥2012, manifestement) les mariages des couples de même sexe seront reconnus en France… Je ne suis pas spécialement un militant de cette cause, mais je suis persuadé qu'elle finira par s'imposer comme une évidence : la question est, combien de temps on peut refuser de voir l'évidence.

[#2] Soit quelque chose comme 8–9 ans « dans le placard » : mais maintenant j'en ai passé à peu près autant « en-dehors ».

[#3] Grâces soient rendues au très sérieux club Chaises longues et Journalisme d'investigation (et à son fondateur, le mystérieux M), le mensuel Têtu est maintenant déposé régulièrement dans la K-fêt des élèves, ainsi que d'autres monuments au prix Pulitzer : Gala, L'Équipe, Jeune & Jolie et l'incontournable Journal de Mickey. Car à Normale Sup` nous sommes tolérants de tous les modes de vie et toutes les sexualités… et nous apprécions l'humour glacé et sophistiqué du 5824e degré.

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2007-06-15 (vendredi)

J'ai été fragmentifié

L'autre jour je suis tombé (dans la librairie Les Mots à la bouche, mais peu importe) sur le Manuscrit trouvé à Saragosse de Jean Potocki, dans la collection L'Imaginaire de Gallimard (le roman étant vendu avec le DVD d'une adaptation cinématographique). Un livre dont je pensais depuis longtemps que je devais le lire — c'est un grand classique de la littérature fantastique, après tout, à la fois récit initiatique et roman picaresque, avec une structure qui n'est pas sans rappeler les Mille et une nuits (notamment par la manière d'imbriquer des récits les uns dans les autres : les personnages n'arrêtent pas de rencontrer d'autres personnages qui leur racontent leur histoire dans laquelle, à leur tour, ils rencontrent d'autres personnages, etc.), et il se trouve que j'ai beaucoup aimé les différentes traductions que j'ai lues des Mille et une nuits.

Bref, j'ai acheté ça, j'ai sauté la préface (personne ne lit jamais les préfaces, pas vrai ? elles servent uniquement à faire croire que le livre est plus gros qu'il ne l'est vraiment, donc à impressionner plus les gens quand on dit qu'on l'a lu) et j'ai attaqué directement l'histoire — qui est organisée sous forme de journées (donc décidément il y a de l'inspiration des Mille et une nuits). Il y est question de brigands, de revenants et de cabalistes, et j'ai vite été captivé ; en fait, l'histoire-cadre (je veux dire, celle dans laquelle les autres s'imbriquent) fait apparaître un certain mystère dont on a hâte de savoir la clé : le héros est-il le jeu d'une machination ? est-il maudit ? possédé ? le met-on à l'épreuve ? et si oui, que doit-il faire ? Je n'en dirai pas plus pour ne pas spoiler, mais, décidément, je voulais savoir le fin mot de l'intrigue.

Et voilà que ça se termine en queue de poisson.

Mécontent, je commence à faire un peu plus attention aux notes de l'éditeur et à essayer de lire la préface — je dis essayer parce qu'elle semble avoir été écrite de façon à être incompréhensible par quiconque n'est pas déjà parfaitement au courant des péripéties qu'a traversé le véritable manuscrit du Manuscrit trouvé à Saragosse (qui n'a pas été trouvé à Saragosse). Sans doute parce que personne ne lit les préfaces (ou alors pour savoir que Potocki s'est suicidé avec le couvercle de sa théière).

Voici ce que j'ai fini par comprendre : le roman a été écrit en français mais, du vivant de Potocki, n'en a été publié (aux alentours de 1810 sous le nom des Dix Journées de la vie d'Alphonse van Worden) que le début ; à part cette édition publiée, on ne dispose que de quelques fragments épars, plus une mauvaise traduction polonaise (réalisée de façon posthume, en 1847, à partir d'un original maintenant disparu). Et le volume que j'ai acheté ne donne que le texte dont on dispose en français : donc si je veux lire la suite, il faudra acheter une (re)traduction de la version polonaise (Rękopis znaleziony w Saragossie) — heureusement, cela existe.

Pour résumer : j'ai été pris au piège que j'aime moi-même tendre à mes lecteurs.

Pour me venger, je pense que les deux prochains fragments que je publierai seront les deux premiers chapitres d'un roman que j'ai commencé et jamais continué.

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2007-06-13 (mercredi)

Devinette mathématique du jour

Quelle est la logique derrière les suites binaires :

…101000001100011110110111010111100010001001110011100010010011010100001001100010110110100010101000101100100001000101011001

et

001111100001011011010000100100011010010101011110001110000101000110011000101100010011001100100010100110010001000100000110…

? (Précisons que j'aurais pu poser la question pour chacune séparément : il y a une certaine beauté à les mettre ensemble, mais elle n'est pas du tout évidente.) Ce n'est pas la peine de chercher dans le Sloane, aucune des deux n'y est (et c'est tout à fait normal).

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2007-06-11 (lundi)

J'aime l'avis des Français

Dépêche AFP (2007-06-11T19:22+0200) :

Seulement 25% des Français souhaitaient dimanche voir se constituer une majorité absolue de droite à l'Assemblée nationale. […] Sur l'ensemble des votants, 36% ont souhaité donner une majorité forte à Nicolas Sarkozy. […]

Pour autant, les perceptions de la future politique Sarkozy-Fillon sont contrastées. 69% pensent qu'elle sera "efficace", 66% "en rupture avec ce qui a été fait jusqu'ici", 61% "rassembleuse", 61% "juste" et 59% "capable de répondre aux vrais problèmes des Français". Mais 71% estiment qu'elle sera "autoritaire", 68% "trop portée sur la communication", 62% "trop médiatique", 61% "trop sûre d'elle-même" et 56% "concentrant trop les pouvoirs".

Manifestement il y a une chose qui n'étouffe pas les Français, c'est la cohérence. J'attends avec impatience le sondage qui nous montrera que 70% des Français trouvent qu'on paie trop d'impôts et 45% pas assez, que 60% pensent qu'il y a trop de fonctionnaires et 65% pas assez, que 85% voudraient travailler plus et 90% travailler moins, et que 80% pensent que les sondages contiennent trop de questions stupides et 75% pas assez. Et surtout j'attends les exégèses de ce sondage, après.

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2007-06-10 (dimanche)

Fragment littéraire gratuit #103 (un mourant)

Tout était silencieux.

Seule l'avancée infatigable du grand chronomètre et le va-et-vient, plus régulier encore, des gardes aux portes, témoignaient que le temps ne s'était pas arrêté. Les visages serrés de ceux qui scrutaient l'horloge s'étaient figés dans l'attente du dénouement inévitable : et si l'expression de la tristesse et du deuil qu'ils cherchaient à y peindre était visiblement feinte, celle de l'anxiété s'imposait naturellement.

À l'heure exacte, les soldats s'immobilisèrent au garde-à-vous et quelque chose entra dans la salle. Précédée de pas moins de trois ministres d'État, vêtus de noir, la litière exhalait cette gravité qui tenait l'endroit médusé.

La créature allongée sur la couche avait autant la forme humaine que l'allégorie de la Mort. Il était parfaitement évident que l'acharnement de la médecine ne pouvait plus atteindre cet homme, ni la douleur elle-même. Pourtant, sous cette peau d'un gris craquelé, derrière des yeux vitreux où l'on devinait à peine une étincelle de conscience, dans ces membres réduits à leurs os, un pouls battait encore, poussant un sang mince comme de l'eau dans des vaisseaux de verre : pouls dont la courbe se traçait en permanence sur un appareil fixé au bord du lit. Tous les yeux étaient sur cette courbe.

Tout était silencieux.

Il y a quelque chose de délicieusement reposant dans le ronronnement forcé du style ampoulé… J'avais déjà décrit cette scène il y a un certain nombre d'années, donc voilà si on voudra un fragment de récupération, mais j'en ai un peu changé le ton (les gens très doués avec Google pourront peut-être même retrouver trace de l'original).

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2007-06-09 (samedi)

Rêves

Hier soir j'ai rêvé que je revenais dans le passé — ou dans un simili-passé — vaguement moyenâgeux, avec un groupe de scientifiques et d'ingénieurs. Et notre « but » (s'agissait-il d'une émission de télé-réalité ?) était de reconstituer autant que possible la technologie moderne à partir des moyens du bord (c'est-à-dire une petite communauté disposant des outils et connaissances de l'époque). Le rêve était bizarre comme souvent les rêves le sont, et partait rapidement dans des directions scientifiquement pas très correctes (je me rappelle notamment que nous faisions l'électrolyse d'un gros bac d'eau salée pour générer du courant). Mais c'est une question intéressante : en partant de rien ou presque comme moyens mais de toutes les connaissances théoriques et pratiques possibles, combien de personnes et combien de temps faut-il pour atteindre tel ou tel but concret ? (Je pourrais proposer un ordinateur, mais ce serait un peu méchant, quand même.)

Je suppose qu'un des éléments qui ont pu me faire avoir ce rêve est que j'ai réfléchi (et parlé à plusieurs personnes) des connaissances scientifiques que j'aimerais que le citoyen moyen comprenne, et qui, malheureusement, semblent lui échapper totalement. (À titre d'exemple, on pourrait espérer que les gens comprennent un tout petit peu ce qu'est que l'énergie : par exemple, j'ai trouvé plusieurs personnes qui avaient du mal à comprendre que, l'hiver, quand on se chauffe au chauffage électrique thermostaté, ce n'est presque pas un gâchis d'énergie de laisser toutes les lumières allumées. Ou la conservation du carbone : il y a des gens qui s'imaginent que les plantes font magiquement disparaitre le CO₂ de l'atmosphère, et ne comprennent pas que cette disparition correspond précisément à l'augmentation de la biomasse, donc qu'une forêt n'absorbe du CO₂ que dans la mesure où elle augmente. J'ai tout plein de petits exemples aussi idiots que ces deux-là.)

Plus loin dans le même rêve, je parlais d'Unicode : c'était totalement incongru, parce que dans un rêve où il était question de rois et de dragons (et aussi d'une incompréhensible histoire de moulins à eau qui allaient s'effondrer) je me mets à donner une explication très précise de l'utilisation des combinants et des formes canoniques de décomposition dans Unicode. Explication non seulement très précise mais aussi parfaitement correcte pour autant que je me rappelle. Et ça finissait dans un jardin où poussaient des caractères combinants. C'est mignon, les rêves.

Aucun rapport, mais ce soir, avec des amis, nous avons regardé quelques épisodes d'une série documentaire scientifique surprenante, The Future Is Wild, qui spécule sur ce que pourrait être l'avenir des espèces animales (et végétales) sur Terre après la disparition de l'Homme (dans 5, 100 et 200 millions d'années, et en tenant compte de changements climatiques et géologiques plausibles), montrant en images de synthèse tout un tas d'espèces imaginées. Il y a l'air d'avoir des trouvailles assez géniales là-dedans.

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2007-06-07 (jeudi)

Merci XeTeX !

Voilà, j'ai produit une jolie nouvelle version PDF, grâce à XeTeX, de mes fragments littéraires gratuits. Je suis très satisfait du résultat (comme de la facilité avec laquelle j'y suis arrivé). Comme police de caractères, sur les conseils d'un ami, j'ai utilisé Linux Libertine, une police libre puisant apparemment d'inspirations telles que Garamond, Bembo et Baskerville (voire Perpetua), donc avec un style assez marqué mais pas du tout déplacé pour un livre imprimé, et qui a le bon goût de contenir une agréable variété de caractères Unicode (mais pour les caractères chinois et le tengwar, j'utilise d'autres polices).

J'avais un peu cessé d'en écrire pour ne pas avoir à faire toutes les contorsions nécessaires pour faire fonctionner Lamed depuis ma dernière mise à jour qui l'avait cassé. Maintenant que les choses sont rentrées dans l'ordre et se sont même améliorées, je vais pouvoir m'y remettre.

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2007-06-07 (jeudi)

Diplomatie

Hubert Védrine est venu ce soir à l'ENS pour un débat sur la politique étrangère de la France (et plus spécialement : y a-t-il une politique étrangère de droite et une politique étrangère de gauche ?). Je ne tenterai pas de rendre compte précisément de son intervention, parce qu'il a parlé de beaucoup de choses (c'était une séance de questions-réponses, et les questions ont couvert énormément de terrain) et que je n'ai pas pris de notes ; mais c'était assurément très intéressant (et il parle remarquablement bien). Quelques idées, anecdotes ou remarques que j'ai retenues au passage, cependant, en vrac — en espérant ne pas trop déformer (et en m'excusant pour le style parfois télégraphique) :

• Sur le domaine réservé du président → la Constitution ne prévoit rien de tel, c'est juste une expression qu'avait utilisée Chaban-Delmas à propos de Pompidou et depuis c'est un peu devenu une tradition. Mais ça n'a rien de spécifique à la France (Blair a viré deux foreign secretaries, Cook et Straw, pour cause d'excès d'indépendance ou de popularité) : c'est juste l'idée que le chef est le chef, pas seulement en politique étrangère ; et on fait beaucoup plus de rencontres au sommet depuis le développement de l'aviation, parce que c'est beaucoup plus facile pour les chefs d'État de se rencontrer que quand Wilson devait prendre de bateau pour venir discuter du traité de Versailles. Mais même si le président fait beaucoup de chose, il reste un agenda très chargé pour le ministre des affaires étrangères (quand il était ministre, H.V. faisait autour de 100 voyages par an).
• Sur la gauche et la droite → il n'y a pas d'unité ni au sein de la droite ni au sein de la gauche sur la politique étrangère. Quand il y a un chef clair, comme la droite actuellement, tout le monde s'aligne dessus ; pour la gauche, pas de réelle mise au point depuis la fin de Mitterrand. Aux États-Unis, pareil, on ne peut pas vraiment définir quelle serait la politique étrangère des démocrates. De toute façon, c'est surtout une affaire de personnes ; idem pour la répartition entre les fonctions : par exemple, quand Kissinger était conseiller à la sécurité nationale il pouvait dépasser le secrétaire d'État — mais quand il était secrétaire d'État personne ne se rappelle qui était conseiller à la sécurité nationale.
• Crise de Suez en 1956 ⇒ l'Angleterre et la France sont menacées par l'URSS mais, surtout, doivent s'incliner sur l'ordre des États-Unis. De là des réactions très différentes : l'Angleterre prend le parti de s'aligner systématiquement sur les États-Unis, dans l'espoir de les influencer de cette manière (mais est-ce raisonnable ? Churchill lui-même n'avait pas réussi à vraiment influencer Roosevelt, alors quel Premier ministre britannique pourrait prétendre faire mieux ?) ; la France, au contraire, cherche à se démarquer. Les deux se trompent sans doute, dans des sens opposés. Les autres pays d'Europe n'ont guère de diplomatie à l'échelle globale (même si l'Allemagne commence). La France s'imagine que son message a une portée universelle, elle veut être patrie des droits de l'homme et championne de la démocratie, alors elle est vexée quand les États-Unis croient jouer ce rôle : elle crie à une erreur de casting.
• Deux erreurs au sujet de l'Iraq : premièrement, avoir fait la guerre, deuxièmement, ne pas avoir prévu quoi faire après, s'être imaginé que le pays allait miraculeusement fonctionner comme démocratie, alors qu'on en a méthodiquement éliminé toutes les structures d'État (par exemple l'armée). Comparer avec l'attitude des États-Unis face au Japon vaincu en '45 : ils pensaient l'empereur complice mais ont fait semblant de le croire ignorant de tout, ce qui a permis de le sauver, c'était très habile pour préserver l'administration du pays. Là il faut trouver moyen de rassurer les sunnites tout en convainquant les chiites de ne pas profiter de leur position majoritaire : mais tous les conseillers américains doués qui connaissaient bien l'Iraq ont été systématiquement écartés. Les néoconservateurs se trompent complètement en s'imaginant pouvoir faire des pays des alliés en leur imposant la démocratie : la diplomatie ne se mêle pas bien avec le moralisme.
• Sur le conflit israélo-palestinien → deux courants de pensée en Israël, l'un (essentiellement celui du Likoud depuis sa fondation) s'imagine en gros que si on transforme les pays Arabes en démocraties les Palestiniens seront oubliés dans l'affaire, l'autre comprend qu'il faut un État palestinien autonome et qu'il est de l'intérêt d'Israël d'aider à le mettre en place. Ce sont souvent les hommes du terrain (comme d'anciens généraux) qui comprennent le mieux la situation : Yitzak Rabin, par exemple, le même qui avait dit autrefois des Palestiniens qu'il fallait leur briser les os, il a su négocier avec Arafat de façon à ce que celui-ci prenne de l'importance et ait les moyens d'arrêter beaucoup d'islamistes ; même Ariel Sharon avait fini par comprendre l'inévitabilité du retrait de Gaza et d'autres territoires, et on aurait pu avancer avec une administration américaine mieux disposée et s'il n'avait pas eu son attaque. La diplomatie américaine au proche-orient est complètement tournée autour d'Israël : ailleurs dans le monde elle est plus raisonnable. Mais une solution finira sans doute par être trouvée (on n'a jamais été aussi près qu'avec Barak, Clinton et Arafat). Henri Queuille : Il n'est pas de problème dont une absence de solution ne finisse par venir à bout.
• Sarkozy est incroyablement populaire en Israël (un Israélien disait même que si Sarkozy demandait qu'Israël libère les territoires occupés, ce serait fait immédiatement). Mitterrand était aussi vu comme très pro-Israël, mais les pays arabes avaient une meilleure idée de lui, alors qu'ils pensent que Sarkozy ne sait rien d'eux et ne s'intéresse pas à eux.
• On a tendance à le perdre de vue, mais le principe de la diplomatie, c'est de négocier avec ses ennemis — même quand ces ennemis parlent de vous éradiquer. Pendant la guerre froide, Américains et Soviétiques n'ont pas cessé de se menacer — mais ils n'ont aussi jamais complètement cessé de se parler. Nixon et Kissinger ont su se rapprocher de la Chine alors même que Mao parlait d'utiliser l'arme atomique contre l'Occident (et disait que si on l'utilisait contre lui ça tuerait peut-être deux cents millions de Chinois mais il en resterait assez pour se battre encore !). C'est quelque chose qu'il ne faudrait pas oublier de nos jours : si on refuse de parler avec les gens qui ne sont pas de gentils démocrates, on fera peut-être de la démocratie avec la Suisse, mais ça ne va pas très loin.
• Sur le pragmatisme → en avoir, c'est savoir parfois faire un compromis avec ses principes, on ne peut pas être un véritable homme d'État sans ça. Mais encore faut-il avoir des principes, sinon on ne sait pas de quoi on s'écarte ! (Rappelle le bon mot d'Edgar Faure : ce n'est pas la girouette qui tourne, c'est le vent.) De Gaulle avait, en fait, beaucoup de pragmatisme : il s'est écarté de l'OTAN pas par principe, mais parce qu'il a d'abord essayé en vain d'obtenir des concessions des Américains. Un des grands regrets de De Gaulle, d'ailleurs, c'est que Roosevelt (qui ne l'a jamais pris au sérieux) soit mort avant qu'il (De Gaulle) ait pu lui prouver qu'il pouvait être un grand homme d'État.
• Sur l'environnement → les négociations se feront forcément, même si certains trainent des pieds, parce que l'opinion publique tourne, partout dans le monde. Et aussi, marchés très juteux (comme recouvrir tous les toits de la planète de capteurs solaires).
• Par contre, il est important que la diplomatie reste principalement une diplomatie entre États souverains, même si certains la déclarent finie. C'est certainement intéressant d'avoir des réunions entre maires de grandes villes, ou parlementaires, ou chefs d'entreprises, ou ONG, mais l'importance des États souverains est quand même qu'ils peuvent conclure des traités et s'engager à les respecter.
• La principale fonction du G8 est sans doute de donner aux altermondialistes un endroit où manifester. Quasiment aucun rôle de décision.
• Sur la Turquie dans l'Union européenne → ça ne se fera jamais, il y a trop d'opposition, on lui imposera des conditions toujours plus délirantes. L'erreur était de laisser la Turquie y croire, ça met dans l'embarras ceux qui se sont servis de l'espoir d'entrer dans l'Union européenne comme arme politique contre les islamistes : on aurait dû dès le départ proposer des associations rapprochées mais pas le statut de membre, maintenant c'est délicat de dire on s'est trompés de formulaire. Sarkozy aurait tort de faire opposition à lui tout seul, il y a trop de gens qui seraient contents de le voir porter ce chapeau.
• Sur le traité européen recentré, purement institutionnel : c'est essentiel si on veut arriver à quoi que ce soit ; deux grandes oppositions, l'Angleterre (Blair était d'accord, mais Brown risque de ne pas vouloir affronter les conservateurs sur ce terrain en vue des élections) et la Pologne (la Pologne a un pouvoir important sous le traité de Nice, elle ne voudra pas en démordre si le vote démographique donne trop de pouvoir à l'Allemagne et trop peu à la Pologne, donc les deux Kaczyński qu'on connaît en Pologne risquent de s'opposer fortement). Ensuite on peut se demander à quoi on veut que l'Europe serve. Mais il ne faut pas dire retrouvons l'enthousiasme d'autrefois, parce que quand le traité de Rome se faisait, les gens s'en foutaient ; ni l'unité européenne a apporté la paix, c'est le contraire, c'est la fin de la guerre, le plan Marshall et la pression des Américains et la menace des Soviétiques qui ont fait les débuts de l'union européenne : or on n'a plus tout ça.
• Sur les Balkans → il est incohérent de dire qu'on veut un Kosovo indépendant (et aussi le Monténégro, auparavant) alors qu'on impose à la Bosnie de rester unie. À terme, ils ont vocation à entrer dans l'Union européenne : mais il faut que celle-ci ait réglé sa question des institutions (et il ne faut pas douze États souverains différents dans les Balkans).

Sinon, Hubert Vedrine a plutôt dit du bien de Sarkozy. Ou, en tout cas, il n'en a pas dit de mal, et il a dit du bien de Kouchner (dont il a rappelé, d'ailleurs, que c'est lui qui avait persuaddé Kofi Annan de l'accepter comme représentant spécial des Nations-Unies pour le Kosovo) même s'il s'est dit en désaccord important avec ce dernier au sujet de l'interventionisme.

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2007-06-06 (mercredi)

Célébrité de la semaine

Ciel ! Mon voisin de bureau (pour quelques jours) est Pierre Deligne ! Là je ne vais vraiment pas oser lui parler.

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2007-06-05 (mardi)

Comment j'occupe mon temps libre

Pour la troisième fois consécutive, j'ai déclaré mes revenus en ligne (oui, je veux une médaille) : ça s'est mieux passé que l'an dernier (parce que non seulement c'était prérempli mais en plus il y avait le décompte détaillé de la case préremplie ce qui m'a permis de vérifier facilement qu'il n'y avait pas d'oubli) et en tout cas que l'an d'avant. En fait, je voudrais même adresser un compliment à ceux qui ont conçu le site et l'interface : c'est vraiment bien fait, à la fois fonctionnel et agréable, bravo. Pour quelqu'un comme moi qui déteste la paperasse, la possibilité de faire ce genre de démarches de façon complètement électronique est un grand soulagement ; et pour un geek cryptophile, l'idée qu'on signe la déclaration en X.509 est jouissive.

Il y a un reproche que je maintiens, par contre : je n'aime pas l'idée que l'authentification, au final, soit basée sur trois nombres (l'identifiant fiscal, le numéro de télédéclarant figurant sur la déclaration, et le revenu fiscal de référence de l'année passée) dont personne n'a jamais précisé qu'ils devaient rester secrets. (Je m'agace régulièrement de ces numéros qui sont vaguement censés être secrets mais au sujet desquels on ne reçoit pas de consigne, en même temps qu'on obtient le numéro, précisant à qui ils peuvent être communiqués exactement et quels pouvoirs ils donnent à celui qui les connaît : numéro INSEE, NUMEN, numéro de compte en banque, numéro de carte bancaire, numéro de carte d'identité ou de passeport.)

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Je travaille tard ces jours-ci, et du coup je me couche très tard. Hier soir en allumant par hasard ma télévision avant de me coucher, je suis tombé sur Les Amphis de France 5 : en l'occurrence c'était un Monsieur (portant un très élégant nœud papillon) qui parlait des équations différentielles linéaires, alors ça m'a intéressé (c'est des choses que j'ai bien sûr sues mais que j'ai un peu oubliées, et il les présentait très bien) et j'ai écouté jusqu'au bout. Je trouve ça vraiment bien d'avoir des émissions de ce genre, même à une heure complètement indue : le niveau est juste bon pour que, même quand il s'agit d'un domaine dont je ne suis pas spécialiste, je comprenne ce qui se dit et j'apprenne des choses (je me rappelle qu'il y a deux ou trois ans j'étais tombé sur un cours sur les piles et accumulateurs qui était fascinant), c'est beaucoup mieux qu'une émission de vulgarisation où le contenu est complètement édulcoré ou dénaturé. Note à moi-même : essayer de penser à regarder le 4 juillet, il y a un vidéocours sur l'histoire des droits de l'homme.

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J'ai eu une dispute fort inattendue, récemment, à propos de cet article sur Wikipédia, au sujet de la conférence de Guayaquil (en juillet 1822 entre San Martín et Bolívar) : article que j'avais écrit, ayant lu une intéressante nouvelle de Borges qui en parle, ce qui m'a motivé à me renseigner à ce sujet. Voilà qu'on m'accuse d'avoir eu un point de vue trop favorable envers San Martín ou trop défavorable envers Bolívar.

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Encore une façon de perdre mon temps dont je n'avais vraiment pas besoin : j'ai bêtement regardé, il y a quelque temps, chez ma mère, des épisodes de Desperate Houswives. Je savais pourtant bien — avec tout le bien que plein de gens m'en avaient dit — que je devais me méfier particulièrement de cette série, parce que c'est exactement le genre susceptible de me plaire et que je risquais fortement d'accrocher. Ben c'est arrivé : grave erreur.

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Regulus a l'air de tenir le coup dans l'immédiat ; j'en ai sauvegardé toutes les données. Mais ma « dédibox » n'est pas encore prête.

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2007-06-03 (dimanche)

Explosion de regulus en cours

<Insérer ici une excuse interchangeable de blogueur pour expliquer pourquoi il n'écrit pas beaucoup ces derniers jours. Du style : je suis crevé, je suis débordé, etc.>

Ça recommence ! regulus.⁂.net (la machine qui sert ce site) a de nouveau des gros soucis de disque dur. Mais cette fois-ci je pense que c'est vraiment sérieux :

hda: dma_intr: status=0x51 { DriveReady SeekComplete Error }
hda: dma_intr: error=0x40 { UncorrectableError }, LBAsect=22367974, sector=22367928
ide: failed opcode was: unknown
end_request: I/O error, dev hda, sector 22367928
Buffer I/O error on device hda6, logical block 3802096

et

SMART Self-test log structure revision number 1
Num  Test_Description    Status                  Remaining  LifeTime(hours)  LBA_of_first_error
# 1  Extended offline    Completed: read failure       40%     18370         4344093

Du coup, je lance immédiatement la procédure sauve-qui-peut :

• J'ai engagé à l'instant un abonnement chez un autre hébergeur, Dédibox (je dis engagé, parce que apparemment ils sont submergés par les demandes, du coup il y a un petit problème d'approvisionnement en ce moment). Même si je suis mécontent qu'ils n'aient pas de proposition à l'achat (je préfère être propriétaire que locataire de mes ordinateurs, même si ça doit me coûter plus cher pour absolument aucun avantage), au moins, chez eux, j'ai l'impression qu'il y a une vague sécurité contre les problèmes matériels — et aussi contre la perte de contrôle de la machine suite à une manipulation malencontreuse.
• Je vais tenter de recopier toutes les données présentes sur le serveur (il n'y a pas grand-chose, seulement 5Go, et tout ce qui est important est bien sûr déjà sauvegardé depuis longtemps) avant que le disque dur meure définitivement.
• S'il claque avant que j'aie un autre serveur opérationnel, je commuterai les DNS sur mon PC chez moi pour garder un site Web vivant. Ce sera d'une lenteur inimaginable (bête connexion ADSL… je n'ai pas encore la fibre optique à domicile), et il manquera des services, mais ça fera l'affaire temporairement.
• Une fois que ce sera fait, je me ferai expédier regulus (l'ordinateur lui-même), je rachèterai un disque, et je trouverai quelque chose à en faire : soit le faire remettre dans une baie si je ne suis pas content de Dédibox, soit autre chose.

Mais même dans le meilleur des cas, tout ceci va me coûter pas mal de temps (or je n'en ai pas du tout en ce moment) et d'argent (je venais à l'instant de renouveler mon hébergement trimestriel pour regulus : déjà, ça fait 100€ de perdus).

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