David Madore's WebLog: 2018-08

Il y a des des figures que je me retrouve à refaire encore et toujours, à chaque fois que je veux réfléchir à un certain sujet. Parmi ceux que je reproduis avec une fréquence qui finit par devenir vraiment pénible, il y a ceux qui apparaissent ci-contre à droite, et que je me suis enfin de sorti les doigts du c** pour produire en PDF avec TikZ (suivez le lien pour le PDF). Comme je ne suis certainement pas le seul trouver ces figures utiles pour réfléchir, je les mets en ligne. Et du coup, je peux en profiter pour faire un peu de vulgarisation sur ce qu'ils représentent.

Je vais essayer d'expliquer ça sous l'angle de la géométrie euclidienne élémentaire, à travers la question de classifier et de comprendre les kaléidoscopes (simpliciaux). L'intérêt, outre que c'est peut-être plus parlant, est ne pas supposer que qui que ce soit ait lu mon récent rant interminable sur les groupes de Lie (mais en même temps, essayer de dire les choses de manière à quand même éclairer le rant en question). En fait, après coup, je ne suis rendu compte que ce n'était pas forcément une très bonne approche, et que cette entrée ressemble beaucoup à une accumulation de faits qui partent dans tous les sens et qui ne reflètent pas bien (pun unintended) l'élégance du sujet. En plus de ça, comme c'est un sujet que j'ai l'habitude de voir abordé autrement que comme de la géométrie euclidienne, je ne suis pas très sûr de l'ordre dans lequel les faits s'agencent logiquement, et je n'ai pas toujours une idée très claire de la difficulté qu'il y aurait à les démontrer dans une telle approche. Et aussi à cause de ça, il faut que j'avertisse que je n'ai pas vérifié très soigneusement (je veux dire, encore moins que d'habitude…) tous les résultats que j'énonce dans cette entrée, et qu'il est fort possible que j'aie oublié une hypothèse ou une autre pour me raccrocher à là où je veux en venir ; notamment, j'ai failli complètement négliger la « condition supplémentaire » que j'ai finalement trouvé utile d'introduire plus bas dans la définition d'un kaléidoscope. Malgré tout ça, j'espère que ce que je raconte est au moins un peu intéressant.

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Récemment j'ai parlé de l'apocalypse, et mes lecteurs ont, enfin, avez, été particulièrement nuls pour ce qui est de proposer ne serait-ce qu'un grain d'optimisme en contrepoint aux inquiétudes que je formulais. (Coucou !) Je donc évoquer aujourd'hui vais un sujet plus joyeux : la mort (individuelle).

J'ai donné à cette entrée un titre un peu clickbaity[#]… J'ai failli faire encore pire : la mort comme construction sociale, et comment l'éviter. Parce que je vais expliquer comment vous pouvez ne pas mourir, même si, évidemment, il y a un truc, du coup les grincheux ne seront pas d'accord et diront que c'est une arnaque :

I don't want to achieve immortality through my work; I want to achieve immortality through not dying. I don't want to live on in the hearts of my countrymen; I want to live on in my apartment.

— Woody Allen

[#] Tiens, j'ai appris cette traduction rigolote — quoiqu'un peu vulgaire, mais c'est de bonne guerre — de clickbait en français : putaclic. Un titre un peu putacliquesque, donc.

Bon, en fait, non seulement c'est une arnaque, mais en plus, je ne vais rien dire que je n'aie déjà dit. J'avais essayé de raconter essentiellement ce que je vais dire ici dans cette vieille entrée, mais je pense que je m'y suis très mal pris (évoquer Kant, notamment, était une erreur de tout point de vue). Puis je l'avais dit de façon complètement différente, et beaucoup plus pragmatique, dans ce texte-ci, en inventant une peuplade appelée les Qriqrx[#2] constituée de gens qui s'arrangent, de façon tout à fait pragmatique et sans magie aucune (ni contorsion philosophique particulière) pour être immortels, en pratiquant la réincarnation. Mais comme c'était dans un fragment littéraire gratuit, du coup, je n'ai pas eu l'occasion d'insister sur le message qui me semble important, à savoir que non, ce n'est pas une arnaque, les Qriqrx sont vraiment immortels (enfin, le seraient s'ils existaient et faisaient comme je le décris ; au moins tant que la tribu se maintient), et il n'y a donc pas besoin de technologie médicale extraordinaire[#3] pour rendre les humains immortels, il suffit d'un peu d'organisation sociale. La mauvaise nouvelle, c'est que nous ne pouvons pas simplement appliquer la technique des Qriqrx parce que, ni socialement ni personnellement, nous ne concevons pas notre identité comme éternelle.

[#2] Si certains se demandent comment ce mot doit se prononcer, dans mon esprit c'est quelque chose comme [qʁɪqʁʂ̩] (si vous ne savez pas lire l'alphabet phonétique, cricrich sera une approximation passable).

[#3] Maintenant, je n'ai rien contre le fait qu'on développe quand même une telle technologie (surtout si elle lutte principalement contre le vieillissement, ce qui est un problème assez différent de la mort). Je précise ça parce qu'il y a des gens qui font de la lutte contre le vieillissement et/ou la mort un cheval de bataille et qui ont l'air de penser qu'il y a une mentalité « pro-mort » (affirmant que la mort est non seulement inévitable mais aussi souhaitable) contre laquelle ils doivent combattre avec des spots de propagande comme celui-ci. Je trouve ça un peu surréaliste : oui, évidemment, si on trouve une technologie médicale qui permet d'arrêter complètement le vieillissement, il faudra se poser la question de comment persuader les gens de ne plus faire d'enfants ou d'accepter quand même de mourir ou je ne sais quoi, mais est-ce qu'il y a vraiment des gens qui ont besoin d'une campagne de pub pour une technologie qui a présentement l'air aussi inatteignable que la pierre philosophale ?

Je ne prétends à aucun titre à l'originalité : je suis sûr que des auteurs de SF plus talentueux que moi ont décrit des mondes très proches de ce que j'évoque avec mes Qriqrx. Et des idées très proches de ce que je vais suggérer plus bas ont été évoquées à propos de la conscience et de l'identité-de-soi : voir notamment vers la fin de ce texte et l'ensemble de celui-ci.

Bref, c'est parti pour encore une couche de radotage de ma part.

*

Ce que j'ai déjà essayé à diverses reprises (surtout ici, mais sans doute aussi assez mal ; et peut-être également dans ce fragment) de développer est l'idée que, si le monde matériel n'est indéniablement pas une invention de l'homme, la manière dont nous le structurons mentalement est une construction humaine et sociale, et au cœur de cette construction du « monde enchanté » repose la conception de l'identité, qui peut prendre toutes sortes de formes. Je trouve l'idée assez bien décrite dans ce passage assez célèbre :

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Dans cette entrée, je voudrais évoquer la question des grandeurs physiques (longueur, durée, vitesse, masse, courant électrique…) et des unités de ces grandeurs. Je vais jeter un regard de matheux sur ce que ces choses sont, proposer quelques points de vue ou (esquisses de) définitions formelles possibles, et m'interroger sur l'utilité et la pertinence de ces points de vue, notamment pédagogiques, mais aussi du point de vue de la question de l'incertitude des mesures.

Je précise que cette entrée part un peu dans tous les sens, parce que j'ai commencé par écrire de la façon dont les idées me venaient (ou me revenaient, parce que ce sont des idées que je rumine depuis longtemps), et j'ai voulu raconter trop de choses à la fois, donc il y a plein de digressions. En plus de ça, j'ai un peu permuté les bouts que j'avais écrits (il en reste certainement des incohérences comme des je vais y revenir alors que les choses sont dans un autre ordre), puis repermuté, puis re-repermuté au fur et à mesure que j'ajoutais des digressions, et finalement je ne sais plus du tout dans quel ordre je dis les choses. Heureusement, il n'y a pas trop de lien logique clair ni de dépendance entre les différents morceaux ce que je raconte, donc on doit pouvoir lire cette entrée dans le désordre puisque c'est comme ça qu'elle a été écrite ! J'ai essayé de marquer par des triples accolades {{{…}}} (cf. ici) les digressions les plus identifiables, dans l'espoir que ça aide à s'y retrouver un peu.

À l'origine je voulais parler de la manière dont un mathématicien peut définir ce que sont les grandeurs physiques et leurs unités. Mais je n'ai pas résisté à parler d'autres choses, à faire un tableau de plein de grandeurs (ci-dessous) et à entrer dans des discussions sur ce que sont les grandeurs dans la pratique, sur les incertitudes et les échelles de masse. J'ai commencé à écrire des choses sur la réforme du SI qui doit avoir lieu d'ici quelques mois, puis je me suis dit que non, ça faisait vraiment trop, mais il en reste quand même des bouts… (Je garde donc pour une entrée ultérieure les explications précises sur la réforme du SI, même si j'y fais allusion à diverses reprises ici.) Bref, voilà pourquoi cette entrée est encore plus désordonnée que d'habitude. J'espère qu'il y a quand même des choses à en tirer !

⁂

Pour essayer de fixer la terminologie, j'appellerai grandeur (plutôt que dimension qui peut causer confusion) quelque chose comme « la masse » de façon abstraite ; et j'appellerai quantité [de cette grandeur] une masse particulière (par exemple 70kg), mesurée, donc, dans une unité. Si on veut parler comme un informaticien, donc, la grandeur sera, pour moi, le type (« la masse »), tandis que la quantité sera l'instance de ce type (70kg). Et l'unité est une quantité particulière (de la grandeur) qu'on a choisie pour exprimer toutes les autres. Comme n'importe quelle quantité non nulle (disons peut-être strictement positive) peut servir d'unité, la différence entre « quantité » et « unité » est juste une question de regard qu'on porte dessus.

Je ne sais pas si ce choix terminologique était le meilleur, je conviens que c'est un peu contre-intuitif de dire que la grandeur de [la quantité] 70kg est la masse, mais je ne suis pas certain qu'il existe de choix vraiment bon (et puis, maintenant que c'est fait, je n'ai plus envie de tout rééditer). J'ai essayé de m'y tenir systématiquement, de toujours utiliser le mot grandeur pour le type et quantité pour la valeur dans le type, mais je ne peux pas exclure quelques lapsus occasionnels.

Ajout (2018-08-16T14:15+02:00) : En fait, je ne distingue pas vraiment la grandeur et la dimensionnalité de cette grandeur (définie formellement ci-dessous), par exemple je ne distingue pas les grandeurs « énergie » et « moment d'une force » (tous les deux ayant l'unité SI de kg·m²/s², même si dans un cas on l'appelle plutôt le joule et dans un autre cas plutôt le newton·mètre, la distinction est plus mnémotechnique que fondamentale) ; de même, pour moi, le watt et le volt·ampère sont bien la même chose, nonobstant le fait qu'on ne les utilise pas exactement de la même manière ; je vais faire occasionnellement allusion à ce problème.

⁂

Bref, qu'est-ce que c'est que toute cette histoire ?

Pour commencer, une des propriétés des grandeurs et des unités est qu'on peut les multiplier et les inverser (donc, les diviser) ; alors qu'on ne peut ajouter ou soustraire que des quantités de même grandeur, mais ça j'y reviendrai plus loin. Par exemple, une unité de longueur divisée par une unité de durée (=temps) donne une unité de vitesse (mètre par seconde, kilomètre par heure) : et il s'agit bien d'une division des quantités correspondantes (1km=1000m, 1h=3600s donc 1km/h = 1000m/3600s = (1000/3600)m/s = 0.2777…m/s). On peut dire que, indépendamment des unités, la grandeur « vitesse » est le quotient de la grandeur « longueur » par la grandeur « durée ». De même, la grandeur « surface » est le carré de la grandeur « longueur » (son produit par elle-même). Et la grandeur « fréquence » est l'inverse de la grandeur « durée » (l'unité SI de fréquence, le hertz, est l'inverse de l'unité SI de temps, la seconde).

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J'ai écrit il y a quelques jours une tentative de vulgarisation sur le sujet de la physique des particules, mais je dois être bien clair sur le fait que c'est partiellement une escroquerie : pas que j'aie dit des choses fausses (je pense que ce que j'ai raconté, dans la mesure où ce n'est pas simplifié au point de ne plus avoir de sens, est raisonnablement correct), mais que fondamentalement je ne comprends toujours pas de quoi il est question. Disons que j'ai une certaine idée de la physique du modèle standard, une certaine idée des mathématiques qui le sous-tendent, et quelques bribes sur la manière dont ces choses se connectent, mais le dessin d'ensemble est toujours extrêmement flou ; j'ai quelques bouts de puzzle qui sont en place dans ma tête, y compris des bouts côté physique et des bouts côté maths, mais malgré quelques pièces placés çà et là entre les deux, il demeure un gros trou au milieu du puzzle, et je ne sais pas le compléter ni même s'il est complétable. Et ce qui est encore plus frustrant, c'est que ce n'est toujours pas clair pour moi si c'est le cas pour tout le monde ou juste pour moi (je pense que c'est quelque chose entre les deux : il y a des choses qui sont floues pour tout le monde, et il y en a beaucoup plus qui sont floues pour moi).

En tant que matheux, j'aime bien que les choses soient définies de façon raisonnablement précise et rigoureuse, ou en tout cas avoir l'impression qu'avec un peu d'efforts j'arriverais à les rendre précises et rigoureuses, même si cette précision ne permet pas de faire des calculs. Un physicien, lui, (s'il n'est pas théoricien des cordes ), est en principe préoccupé par le fait de savoir tirer des conséquences expérimentales de ses théories, peu importe qu'elles soient mathématiquement rigoureuses. (Feynmann a notoirement comparé la rigueur mathématique à la rigor mortis, mais il semble que la citation ait été déformée, je la trouve sous cette forme injustement simpliste : ce n'est pas la rigueur mathématique qui devrait poser problème à un physicien, c'est le manque de rigueur physique, or les deux ne sont pas incompatibles.)

Dans la plupart des théories physiques que je connais (mécanique newtonienne classique, électromagnétisme, relativité restreinte, relativité générale, ou même la « première quantification »), j'ai l'impression que l'intervalle entre ces deux approches n'est pas infranchissable ; dans le cas de la théorie quantique des champs, je me heurte vraiment à un mur.

Je souligne que quand je demande que les choses soient définies de façon mathématiquement précise, je n'en demande pas tant que ça. Par exemple, si une théorie physique s'énonce en disant que l'état du monde est régi par telle équation aux dérivées partielles, ça me convient assez bien : je ne demande pas forcément que ce soit accompagné d'un théorème d'existence et d'unicité du problème de Cauchy (des solutions de l'équation). C'est mieux s'il y en a un, mais ça je comprends que c'est le boulot des matheux (et des analystes, dont je ne fais pas partie) de le démontrer : il n'y a pas de problème à ce que les physiciens disent l'équation est la suivante, et physiquement on pense qu'il y a existence et unicité de la solution dans les conditions raisonnables de validité de la théorie. Mais je voudrais au moins que le problème soit posé de façon précise.

D'ailleurs, je ne demande même pas que le problème soit posé de façon précise dans les détails, mais au moins d'avoir quelques idées sur comment il pourrait l'être. Je ne pense vraiment pas que ce soit tomber dans la rigor mortis que d'en demander tant.

Si je lis un livre de théorie quantique des champs pour les physiciens, j'ai l'impression insupportable qu'on m'explique comment faire plein de calculs (et à la limite, je comprends ces calculs, même si je n'ai pas envie de les vérifier ligne par ligne, au moins je comprends le principe de ce qui se fait). Essentiellement des calculs (« perturbatifs ») d'« amplitudes » et de « sections efficaces », qui sont des choses qu'on peut relier ensuite à des vraies mesures faites par des vrais expérimentateurs dans des vrais accélérateurs de particules. Mais fondamentament j'ai l'impression de ne comprendre ce que sont aucun des objets manipulés dans les calculs (à commencer par la notion même de champ quantique). A contrario, si je lis un livre de théorie quantique des champs pour les matheux, on me donne des jolis axiomes (notamment ceux de Wightman), on me parle de groupes de Lie et de représentations, de choses qui me sont plus compréhensibles, mais fondamentalement j'ai l'impression de ne pas comprendre le rapport avec la physique, ou en tout cas avec ce qui est raconté dans les livres pour physiciens. Où est le dictionnaire entre ces deux points de vue ?

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Un lieu commun repris dans toutes sortes d'œuvres de fiction représente une sorte de gourou qui tient une pancarte disant la fin du monde est proche ! repentez-vous ! (je crois même avoir vu quelque chose de la sorte dans la vraie vie, mais c'était peut-être un faux souvenir). Le gourou en question est évidemment un illuminé. Je vais maintenant tenir des propos semblables (sauf le repentez-vous), et j'aimerais bien qu'on m'explique que je suis un crackpot et que mes inquiétudes sont, sinon infondées, du moins exagérées.

J'ai déjà exposé des idées de ce genre ici il y a longtemps (et dans une certaine mesure ici), mais il y a un certain plaisir à radoter exprès de temps en temps, et je vais développer bien plus que je ne l'avais fait autrefois. Désolé si ce n'est pas très drôle à lire, et si ça part un peu dans tous les sens. (Désolé aussi si c'est confus, mais comme je redis plein de fois la même chose, peut-être que la N-ième répétition sera la plus claire.) Et si vous trouvez que c'est du pur délire, je répète : tant mieux, et racontez-moi vos contre-arguments — il est évident qu'en la matière je préfère avoir tort qu'avoir raison.

J'ai été traumatisé (je suis obligé de divulgâcher, et je ne vois pas comment l'éviter, parce que dès que je dis le titre du livre, en rapport avec le sujet de cette entrée, c'est chose faite, mais bon, il y a plus dans le livre que je vais nommer que le petit peu que j'en révèle) par la lecture du roman Nightfall d'Isaac Asimov et Robert Silverberg (en fait, c'est une nouvelle d'Asimov que Silverberg a étendue en roman, mais peu importe qui a fait quoi au juste). Pour ceux qui veulent un divulgâchis sérieux (les autres, sautez la fin de ce paragraphe), je raconte un peu de quoi il est question. Cela se passe sur une planète très semblable à la Terre mais dont la surface est éclairée en permanence par plusieurs soleils : à cause de ça, les habitants cette planète ne connaissent pas le concept de « nuit » (ni d'« étoiles »), et ont une peur absolument panique du noir. Mais une fois tous les 2000 ans, lors d'un des moments où il n'y a qu'un soleil dans le ciel (d'une partie de la planète, je suppose — je ne me souviens plus si on apprend qu'un seul hémisphère est habité ou quelque chose comme ça), il se produit une éclipse qui obscurcit ce dernier soleil, provoque la nuit, et révèle les étoiles. Bien sûr, personne n'est au courant de ce fait (ni même de l'existence du satellite capable d'obscurcir le dernier soleil). Le livre commence par montrer en parallèle un groupe de scientifiques qui découvre une perturbation anormale dans le mouvement de la planète (qui va les conduire à déduire l'existence du satellite et de l'éclipse périodique) ; un autre groupe qui mène des fouilles archéologiques et découvre une civilisation plus ancienne que tout ce qui était connu et qui a été détruite par une sorte d'incendie cataclysmique il y a 2000 ans, puis une civilisation encore plus ancienne qui a subi le même sort, et plusieurs autres couches de ce genre, avec une sorte d'apocalypse tous les 2000 ans ; et enfin, un groupe d'illuminés religieux qui prophétisent que la fin du monde est proche. Je ne donne pas plus de détails, mais on devine qu'il y a un Gros Problème.

Un autre livre dont j'ai entendu parler (plutôt en bien), mais cette fois je ne l'ai pas lu et je ne compte pas le lire parce que je n'ai pas besoin qu'on remue mes phobies plus que ça, c'est Lights Out de David Crawford, qui, de ce que je comprends, est l'histoire d'une coupure d'électricité massive et de la difficulté à redémarrer le réseau électrique et de la difficulté à survivre quand il n'y a plus de courant et que tant de choses qu'on tient pour acquises en dépendent. (Voir aussi le petit texte d'Albert-László Barabási intitulé We're All On The Grid Together sur cette page, texte que j'ai déjà signalé dans une entrée précédente liée ci-dessus.)

De quoi est-ce que je veux parler au juste ? Quand j'évoque l'apocalypse, ce n'est certainement pas la fin de l'Univers (pour ça, voyez ceci ou, en plus précis, ici, mais ça ne m'empêche vraiment pas de dormir), ni même de la Terre, ni même de la vie sur Terre, peut-être même pas de la vie humaine, ni qu'un titan de l'espace rassemble sur son gantelet les Six Pierres Magiques Qui Rendent Omnipotent et claque des doigts, mais simplement l'effondrement de notre civilisation[#]. Bêtement, je me suis assez attaché à cette civilisation, malgré tous ses défauts et toutes ses bêtises, pour être assez contrarié à l'idée qu'elle s'effondre. Et aussi, le cliché usé du monde post-apocalyptique m'agace déjà assez prodigieusement dans sa présentation stéréotypée au cinéma, je n'ai vraiment pas envie de le vivre en vrai, merci.

[#] Une citation célèbre attribuée à Mohandas Gandhi, malheureusement apocryphe (mais absolument géniale qui qu'en soit l'auteur), veut qu'un journaliste ait demandé à Gandhi ce qu'il pensait de la civilisation occidentale, et il aurait répondu I think it would be a good idea.

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(Attention, râlerie !)

Tout le monde utilise le format PDF. Sur le principe, c'est une bonne idée : un format standardisé de documents sous forme vectorielle, c'est exactement ce dont on a besoin pour échanger des documents pré-formatés et prêts à être imprimés. Sauf qu'en fait, comme souvent dans le monde de l'informatique, il y a un truc qui est censé être un standard, et il y a, en fait, mille et une façons de l'interpréter, mille et une façons dont un document peut être rendu, et mille et une petites crottes de ragondin qui viennent tout compliquer. J'imprime mes PDF typiquement avec les programmes evince, xpdf ou okular, je suppose que, Unix étant Unix, les documents sont convertis douze fois en PostScript et de nouveau en PDF à travers les entrailles incompréhensibles de GhostScript, de CUPS, du système d'impression centralisé mis en place à Télécom ParisPloum, et enfin du photocopieur multifonction qui sert d'imprimante dans mon couloir (et qui accepte certainement les PDF directement, mais ce serait trop simple si on pouvait juste les lui envoyer !).

Par exemple, dès que j'imprime une page contenant de la transparence, comme le format PDF supporte la transparence mais pas le format PostScript (et je ne comprends pas pourquoi on n'a pas juste décidé en fait, si, les mécanismes de transparence de PDF sont rétroactivement déclarés valables en PostScript, ce qui aurait tout simplifié), quelque part dans ces entrailles incompréhensibles, un programme décide que hum, je ne peux pas fabriquer un PostScript avec de la transparence, ce n'est pas possible !, rasterisons ça en image bitmap à la place, et la page sort à l'impression complètement différente du reste du document, et beaucoup plus moche. (J'aimerais bien trouver comment lui dire bordel, produis un PostScript contenant de la transparence, ou passe par le format PDF tout du long puisque l'imprimante le supporte, ou à la limite, démerde-toi pour que la rasterisation produise un résultat parfaitement indiscernable à l'œil nu si elle est fait à ton niveau ou plus bas dans la chaîne, mais en tout cas, arrange-toi pour que les pages ayant de la transparence dans le PDF ne s'impriment pas différemment des autres ! ; mais ce n'est pas tellement ça l'objet de ma râlerie aujourd'hui.)

Parfois mes documents s'impriment à l'envers ou sont agrafés au mauvais endroit ou autre bug bizarre : pendant longtemps, tous les documents PDF que je récupérais de l'arXiv étaient imprimés avec la première page à l'envers (et juste la première page), certainement à cause du numéro que l'arXiv appose sur le côté de la première page, mais je ne comprends pas le rapport exact de cause à effet ; à un autre moment, tous les PDF que j'imprimais recto-verso n'étaient recto-verso qu'à partir de la page 2, la page 1 s'imprimant toujours seule sur une page (et du coup, la parité des pages était cassée). Bref, toutes sortes de bugs incompréhensibles, que j'ai tendance à mettre sur le dos du format PDF.

Mais parmi ces bugs, il y en a un que je rencontre particulièrement souvent. Il semble apparaître sur des PDF issus de vieilles versions de TeX, ou de vieilles sources, ou quelque chose de ce goût. J'en ai un exemple avec cet article (cliquez sur PDF dans la colonne download à droite). Selon l'outil que j'utilise pour lire ce PDF, soit c'est très lent, soit c'est très moche, soit il me crache des bordées d'injures. Notamment, xpdf, quand je lis un tel PDF, affiche des quantités énormes de lignes Syntax Warning: Bad bounding box in Type 3 glyph, ce qui donne une petite idée de ce qui se passe (les polices de Type 3 sont les polices PostScript/PDF les plus générales, celles qui peuvent contenir n'importe quelles commandes PostScript, et je suppose qu'elles sont générées par pdfTeX ou je ne sais lequel des mille et un mécanismes de conversion d'un fichier TeX en PDF — parce que ce serait Trop Facile s'il y en avait un seul — lorsque la police n'existe pas au format vectoriel compatible PDF et qu'il faut faire appel à Metafont pour générer des polices bitmap ; et une bounding box incorrecte doit signifier que la police déclare des métriques qui sont incompatibles avec ce qu'elle contient réellement ; mais ce que tout ça ne m'explique pas, c'est comment on s'est retrouvé à produire des polices Type 3 ayant une bounding box incorrecte ni, a fortiori, comment réparer ce problème).

Et un des symptômes de ce phénomène de fichiers PDF bizarrement cassés, c'est que parfois, quand on les manipule, tous les signes moins disparaissent. Par exemple, si je prends le PDF que j'ai donné ci-dessus comme exemple, et que je le passe par pdftocairo -pdf (qui est censé transformer un PDF en un PDF absolument identique, mais parfois ça aide à nettoyer des problèmes périphériques au format PDF), à la page 2, vers le milieu de la 4e ligne du dernier paragraphe, où on est censée lire the first i−1 induction steps, le texte devient the first i 1 induction steps (le signe moins disparaît complètement, quoi).

J'aimerais bien comprendre comment une merde de ce genre est possible. Je devine que le problème est lié au fait que la bounding box du signe moins est très peu haute, peut-être même de hauteur nulle (ce qui serait évidemment un bug en soi : aucun caractère visible ne peut avoir une boîte de taille nulle), mais ça ne m'explique pas comment ce problème est apparu pour commencer. Si le format PDF était bien foutu, ça devrait être possible de dire avec clarté soit que le fichier PDF distribué par l'arXiv est cassé (i.e., le programme qui l'a produit est cassé), soit que pdftocairo l'est, mais en tout cas que l'un d'entre eux doit être réparé. Mais je soupçonne que le format n'est pas assez bien défini pour qu'on puisse dire qui est coupable (et c'est peut-être « les deux »).

Je donne ici l'exemple de pdftocairo, on va me dire, je n'ai qu'à ne pas l'utiliser. Certes, mais il y a toutes sortes d'autres contextes où le même problème se produit. J'ai déjà entendu des histoires de matheux qui ont envoyé des articles à publier et quand le journal est sorti, tous les signes moins manquaient (sur le papier). Ce qui, s'agissant d'un article de maths, est un peu gênant ; et un peu mystérieux parce que ce n'était sans doute pas la première fois que le journal rencontrait un article produit par TeX. Le point commun entre tous les contextes « les signes moins disparaissent » est obscur (voir par exemple ce vieux fil de discussion comp.text.tex, qui n'a visiblement aucun rapport avec pdftocairo). On trouve un bug de ce genre (le même ?) rapporté contre evince dans ce bug-report, qui est censé avoir été corrigé dans Cairo, mais soit la correction n'a pas atteint la version 0.48.0 de pdftocairo que j'utilise, soit c'est encore autre chose (de toute façon, je doute que ce soit le même bug que celui signalé dans le fil comp.text.tex vieux de 17 ans, donc des variantes du même phénomène doivent réapparaître périodiquement).

Mise à jour (2018-08-08T17:10+02:00) : En compilant un cairo récent (version 1.15.12) et un pdftocairo récent (poppler-0.67.0), le problème du signe moins qui disparaît ne se pose plus. (Comme je le dis en commentaire, c'est bien ma veine de tomber sur un bug vieux de vingt ans(?) et de découvrir qu'il est corrigé dans la version juste après celle que j'ai sur mon PC…) Ça ne m'empêche pas de penser que ce PDF est foireux (ou alors que les polices bitmap sont vraiment très mal gérées par tous les programmes que j'ai), ne serait-ce que compte tenu de la lenteur de l'affichage et de la laideur du résultat à l'écran : c'était peut-être un bug de pdftocairo de ne pas reproduire les caractères ayant une bounding box nulle, mais c'est aussi un bug du document si des caractères non vides ont une bounding box nulle.

Et surtout, j'aimerais bien savoir comment réparer ces PDF tout cassés : comment les transformer en des fichiers qui s'affichent à l'écran, avec tous les programmes que je suis susceptibles d'utiliser, de façon jolie et semblable à ce qui sortira effectivement de l'imprimante. (Dans certains cas, j'utilise pdftocairo à cet effet, mais comme je viens d'expliquer, là, ça ne marche pas.) Si c'est la bounding box qui pose problème, est-ce qu'il n'y a pas un outil pour recalculer la bounding box de tous les caractères du PDF, ou pour l'augmenter de 1 ou 2 points  ? (ou, si ça ne suffit pas, la rendre égale à la page tout entière, d'ailleurs). Si j'en juge par l'ancienneté de l'article de l'arXiv vers lequel j'ai fait un lien, ce problème existe depuis au moins 20 ans, c'est impressionnant qu'il continue à poser problème maintenant…

(Merci d'avoir fait semblant d'écouter ma râlerie et merci d'avance de vos témoignages de soutien et de compassion.)

Bon anniversaire à moi ! 🎉🎂 Comme cadeau, vous pouvez lire le texte qui suit sur la physique des particules et faire semblant de l'avoir trouvé intéressant !

Je ne sais même pas pourquoi je parle de ça, moi. J'ai plein d'autres choses qui s'empilent dans la TODO-list (enfin, la TORANT-list) de ce blog, mais bon, ce truc m'est revenu à l'idée, voilà, voilà.

⁂

J'écrivais il n'y a pas longtemps à propos de la vulgarisation scientifique que ça me semble intéressant et important de faire de la semi-vulgarisation : de la vulgarisation qui s'adresse non pas au grand public mais à des gens qui ont déjà des connaissances préalables ou partielles dans tel ou tel domaine proche (ou préalable) de celui qu'on cherche à vulgariser, par exemple des scientifiques d'autres disciplines. Évidemment, cette idée est d'autant plus féconde qu'on peut trouver des connaissances intermédiaires relativement répandues et qui aident à bien mieux éclairer la cible qu'on cherche à expliquer.

Il y a un exemple qui, depuis longtemps, me semble particulièrement prometteur à cet égard, c'est celui de :

• connaissance présupposée = de l'algèbre linéaire (au moins en dimension finie),
• cible à expliquer = la théorie des particules (disons le modèle standard).

Ça n'a rien d'original. J'en ai d'ailleurs parlé à plusieurs reprises (voir notamment ici et là), ne serait-ce que pour dire que je ne suis pas la personne la mieux placée pour faire ça (cf. ici) ; et j'en avais même fait un petit bout à propos des neutrinos. Mais je peux être un peu plus précis sur ce dont il est question.

Il y a évidemment bien plus dans la mécanique quantique, ou a fortiori dans la théorie quantique des champs, que de l'algèbre linéaire ! Néanmoins, il me semble que beaucoup des phénomènes les plus contre-intuitifs de la mécanique quantique, et beaucoup des choses les plus difficiles à vulgariser auprès du grand public en physique des particules, deviennent immensément plus clairs dès qu'on introduit un petit peu d'algèbre linéaire. Or l'algèbre linéaire est quand même quelque chose de moins ésotérique, et sa compréhension est plus répandue, que les arcanes de la physique des particules : mais comme en même temps comprendre un peu la structure de l'Univers à très petite échelle intéresse beaucoup de gens, je pense qu'il y a matière à ce que l'approche soit féconde.

C'est ce que j'avais fait (enfin, essayé de faire) dans mon petit texte sur les oscillations des neutrinos, mais le principe général devrait pouvoir s'appliquer à d'autres morceaux du modèle standard. (Le modèle standard est la théorie qui décrit le tableau général de la physique des particules élémentaires et forces fondamentales connues, gravitation exclue, dans le cadre de la théorie quantique des champs.) Je veux dire, l'image qu'on donne du modèle standard si on cherche à la vulgariser auprès du grand public présente toutes sortes d'inexactitudes difficiles à corriger, juste en listant les particules élémentaires, notamment dans le secteur électrofaible ; alors que dès qu'on introduit un peu d'algèbre linéaire, il devrait être possible de dresser un portrait beaucoup plus fidèle de la théorie (y compris la brisure spontanée de la symétrie et le condensat de Higgs), sans aller jusqu'à en donner des équations (sans expliquer ce que sont un lagrangien et la renormalisation). Essentiellement, il s'agirait de rester globalement au niveau de la « première quantification » (= « théorie classique des champs », la terminologie est épouvantable), quitte à discuter plus tard des subtilités supplémentaires apportées au niveau de la théorie quantique des champs ; et de toute façon, même au niveau de la théorie classique des champs, se contenter de choses comme compter les dimensions et évoquer des changements de bases entre espaces de particules.

Mais, au risque de décevoir, ce n'est pas vraiment ce que je fais ici. Même si cette entrée est déjà très longue, je n'ai pas du tout la place d'y faire un portrait correct du modèle standard. (Si je pouvais persuader un vrai physicien de prendre les choses vraiment au sérieux, évidemment, ce serait parfait ; ou si on me dénichait un texte déjà écrit dans ce genre.) À défaut, ce que je peux faire, c'est donner, à travers des exemples (plus ou moins détaillés, et parfois juste esquissés), quelques pistes sur ce à quoi ressemblerait une telle vulgarisation.

Point de vue général

Le point de départ des explications c'est que ce qu'on appelle particule élémentaire est une vibration, une onde, dans un « champ quantique ». (On peut supposer que le lecteur, en plus de connaître un peu d'algèbre linéaire, a au moins une vague idée de ce que c'est qu'une onde et que ce n'est pas la peine de recourir à des comparaisons fatiguées à base d'ondes sur la surface de l'eau.) Le fait que ces champs soient, justement, quantiques (← « seconde quantification »), a pour implication le fait que ces vibrations viennent par quantités minimales, par « quanta », et c'est ce qu'on appelle une particule (dualité onde-corpuscule) ; mais ce n'est pas tellement ça le sujet de la vulgariation. Faisons comme si on avait affaire à des vibrations prenant leurs valeurs dans un « espace vibratoire »[#] (i.e., restons au niveau de la « première quantification »).

[#] Je ne trouve pas de terme générique pour désigner le ou les espaces vectoriels dans lesquels les différents champs de la théorie (classique ou quantique) des champs prennent leurs valeurs. Donc je sors de mon chapeau ce terme complètement pourri d'espace vibratoire.

La chose que je veux plutôt souligner, c'est que cet espace vibratoire est d'une certaine dimension, i.e., qu'il y a un certain nombre de dimensions dans lesquelles les champs quantiques peuvent vibrer. Naïvement, une dimension = une particule : l'électron est une vibration du champ électronique, c'est-à-dire une vibration dans la direction « champ électronique », le muon est une vibration du champ muonique, c'est-à-dire une vibration dans la direction « champ muonique », le photon est une vibration du champ électromagnétique, etc. Mais c'est là qu'on peut commencer à ajouter des complications intéressantes. D'abord, il n'y a pas une vibration « électron », il y en a plutôt quatre (en gros, l'électron de chiralité gauche, l'électron de chiralité droite, le positron [=anti-électron] de chiralité gauche et le positron de chiralité droite, je vais y revenir à l'exemple nº3) ; il n'y a pas une vibration « photon », il y en a plutôt deux (la lumière polarisée horizontalement et la lumière polarisée verticalement, les directions étant choisies arbitrairement, et on peut d'ailleurs préférer les polarisations circulaires). Mais surtout :

Le choix des dimensions dans lesquelles on considère les vibrations n'est pas évident : il n'y a pas vraiment de base naturelle de l'espace vibratoire (l'espace dans lequel les champs quantiques prennent leurs valeurs) ; ou parfois, il y a plusieurs bases naturelles différentes.

Plus précisément : beaucoup de phénomènes (comme la masse, ou les interactions entre les particules) vont être décrits par des opérateurs [=applications] linéaires (typiquement des matrices hermitiennes sur un espace hermitien mais peu importe à ce niveau de détails) diagonalisables dans une base orthonormée de l'espace vibratoire ; mais comme ces opérateurs ne commutent pas, la base qui en diagonalise un (qui n'est d'ailleurs généralement pas unique) n'est pas forcément celle qui en diagonalise un autre.

Ce qui signifie que ce qui se comporte comme une particule pour un phénomène, par exemple la masse (qui est en fait l'interaction avec le Higgs, mais peu importe pour le moment), ne se comporte pas comme une particule pour un autre phénomène, par exemple l'interaction faible, et vice versa.

En gros, il y a un opérateur « masse » qui, dans une certaine base, est diagonal avec pour valeurs diagonales (valeurs propres) : dans la dimension « électron » la masse de l'électron, dans la dimension « muon » la masse du muon, etc. ; donc si on veut définir la masse d'une particule, ça a un sens à condition de définir les particules comme des vibrations selon ces dimensions-là ; manque de chance, il y a un opérateur « interactions faibles » qui, lui, a envie d'une base différente. (Et la matrice de passage entre ces deux bases a un sens et peut être mesurée expérimentalement, cf. l'exemple nº2 ci-dessous.)

C'est essentiellement ce que j'avais essayé d'expliquer dans le cas des neutrinos, mais j'ai essayé de le dire, là, de façon plus générale, et je pense qu'une fois qu'on a compris cette idée générale (qui nécessite, donc, un peu d'algèbre linéaire : le fait de savoir ce qu'est une base, la non-unicité des bases, le fait qu'un opérateur hermitien se diagonalise en base orthonormée, ce genre de choses), on a une idée beaucoup plus précise de la physique des particules, ou en tout cas, on aurait la possibilité de lire une vulgarisation qui donne une image raisonnablement précise du modèle standard.

Je donne quelques exemples de ce qu'on peut expliquer comme phénomènes physiques en partant, grosso modo, de ce que j'ai souligné ci-dessus. Ces différents exemples sont assez banals (on les trouve dans tous les livres d'introduction à la physique des particules ou au modèle standard), mais ce que je veux surtout illustrer, c'est qu'on peut en parler sans trop écrire d'équations et en restant à un niveau intermédiaire entre la vulgarisation grand public et la description mathématique précise. (Je ne sais pas si mes explications sont très bonnes parce qu'il faudrait sans doute une entrée plus longue que celle-ci qui l'est déjà assez, mais j'espère au moins que cela convaincra que ça serait possible.) Je précise que les différents exemples qui suivent sont largement indépendants (même si le quatrième évoque des choses que j'ai dites dans les trois premiers) et que, au sein de chacun d'eux, j'essaye d'aller de plus en plus dans les détails. Mais auparavant, il faut que je fasse un tour d'horizon ultra-rapide des particules élémentaires.

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