David Madore's WebLog: Physics

La zéroïème approximation, celle qu'on apprend à l'école primaire, c'est que la Terre tourne autour du Soleil, effectuant une révolution en une année dans un plan appelé écliptique, et qu'elle tourne aussi autour d'elle-même selon un axe de direction fixe appelé l'axe des pôles et dont le plan perpendiculaire s'appelle le plan équatorial ; l'angle entre les plans écliptique et équatorial, ou bien entre l'axe des pôles et l'axe perpendiculaire au plan écliptique, s'appelle l'obliquité ou inclinaison de l'axe terrestre, notée ε, et vaut 23°26′15.66″. L'angle entre l'axe de rotation et la droite Terre-Soleil est responsable des saisons, lesquelles sont limitées par les deux équinoxes lorsque l'axe est en quadrature avec cette droite, ou, si on préfère, que le Soleil se trouve dans le plan équatorial de la Terre, et par deux solstices lorsque le Soleil atteint ses latitudes minimale et maximale par rapport au plan équatorial terrestre, qu'on appelle tropiques du Capricorne (→été austral) et du Cancer (→été boréal). Ça c'est ce que tout le monde devrait savoir, sauf à être un sombre inculte.

Même en zéroïème approximation, il y a moyen de faire une erreur classique[#] : c'est de penser que la période de la rotation de la Terre est égale à un jour solaire (24h), alors qu'en fait 24h est la période moyenne de la rotation par rapport à la direction du Soleil ; or, comme la Terre tourne en même temps (et dans le même sens) autour du Soleil, la période de rotation par rapport aux étoiles fixes — ou jour sidéral — est plus courte, de sorte qu'il y a tout juste un jour sidéral de plus dans une année qu'il n'y a de jours solaires, c'est-à-dire environ 366.2564 jours sidéraux contre 365.2564 jours solaires, la différence étant justement la révolution qu'on a faite autour du Soleil pendant ce temps ; ce qui donne 23h56min04.1s pour le jour sidéral. Ou pour dire les choses autrement : au bout de 23h56min et un chouïa, les étoiles vues depuis la Terre ont fait un tour complet de la voûte céleste, mais comme le Soleil parcourt l'écliptique d'ouest en est en une année, au bout d'un jour il s'est déplacé de l'ordre de 1° vers l'est (par rapport aux étoiles), et il faut attendre en moyenne à peu près 4min de plus pour qu'il revienne à la même longitude dans le ciel, soit 24h, et c'est la différence entre le jour sidéral et le jour solaire.

Soulignons par ailleurs que ceci n'est dit qu'en moyenne : si le jour sidéral est assez constant, le jour solaire (également appelé synodique) n'est égal à 24h qu'en moyenne. Il y a deux raisons à ça, c'est-à-dire deux raisons au fait que la longitude du Soleil par rapport aux étoiles fixes ne progresse pas à un rythme constant. La première est le fait que la Terre ne tourne pas à vitesse constante autour du Soleil : à cause de la loi des aires, elle tourne un peu plus vite vers janvier (quand elle est plus près du Soleil) qu'en juillet (quand elle est plus loin) ; ce phénomène introduit un terme périodique de période 1 an dans le décalage entre heure solaire vraie et heure solaire moyenne. Le second phénomène est le fait que le Soleil vu depuis la Terre parcourt la voûte céleste non selon l'équateur mais selon l'écliptique, qui est penché de ε par rapport à lui : donc même si le Soleil tournait à vitesse constante sur l'écliptique de la voûte céleste, sa projection sur l'équateur, elle, avancerait un peu plus vite au moment des solstices et un peu plus lentement au moment des équinoxes ; ce deuxième phénomène introduit un terme périodique de période 6 mois dans le décalage entre heures solaires vraie et moyenne. La somme de ces deux phénomèmes (et, si on en considère d'autre, tout ce qui peut faire que l'heure solaire vraie n'est pas égale à l'heure solaire moyenne) s'appelle l'équation du temps — je renvoie à cet article, qui est très bien écrit, pour une discussion détaillée.

Pour passer à l'approximation suivante, il y a un nouveau phénomène à prendre en compte, c'est le fait que l'axe des pôles de la Terre ne reste pas de direction constante : cette direction tourne elle-même autour d'un axe perpendiculaire au plan écliptique, dans un phénomène qui s'appelle la précession des équinoxes, dont la période est de 25770 ans. Ceci peut se voir de différentes façons : au bout d'une année qu'on peut qualifier de sidérale, le Soleil est revenu à sa place sur l'écliptique par rapport aux étoiles fixes, mais l'équateur, lui, s'est un peu décalé dans le sens contraire par rapport à l'écliptique, et donc l'intersection des deux, qu'on appelle l'équinoxe (de printemps, disons), et il faut environ 20 minutes de moins pour que le Soleil revienne à sa même position par rapport à l'équinoxe. Donc de même que la révolution de la Terre autour du Soleil (ou, vue depuis la Terre, le parcours de l'écliptique par le Soleil) introduit une différence entre jour sidéral et jour solaire, la précession des équinoxes introduit une différence entre année sidérale (mesurée par rapport aux étoiles fixes) et année tropique (mesurée par rapport aux équinoxes, i.e., par rapport aux saisons) : la période de la précession des équinoxes est de 25770[#2] années sidérales, mais 25771 années tropiques. Du coup, on peut aussi définir trois jours différents, selon qu'on considère la période de rotation par rapport au Soleil (24h), par rapport aux étoiles fixes (23h56min04.10s) ou par rapport aux équinoxes (23h56min04.09s), mais les deux derniers diffèrent évidemment très peu.

La précession des équinoxes est un phénomène connu depuis fort longtemps, et qui fait que parfois les gens se moquent des astrologues (ce qui est en soi une activité louable, certes, mais encore faut-il le faire pour les bonnes raisons) parce que ceux-ci appellent bélier, taureau, gémeaux, etc., un douzième de l'écliptique chacun et définis par rapport aux équinoxes tandis que les constellations astronomiques de ce nom sont (d'une part au nombre de treize et inégalement espacées) assurées par des étoiles fixes : c'est une mauvaise critique et j'ai déjà défendu le fait que les douze saisons « astrologiques » sont une division parfaitement sensées des quatre saisons qu'on définit usuellement, et d'ailleurs je les fais figurer sur les calendriers que je me fabrique chaque année. La cause principale de la précession est l'action des forces de marées causées par la Lune et le Soleil sur le bourrelet équatorial de la Terre (i.e., comme cette dernière n'est pas sphérique, l'action de la Lune et du Soleil qui attirent de façon plus importante la partie qui en est la plus proche, n'équivaut pas à une action ponctuelle) : il y a donc un couple de force qui cause une précession gyroscopique ; on parle pour cet effet de précession luni-solaire (il existe aussi une précession planétaire, due à l'effet des autres planètes du système solaire, c'est-à-dire surtout Jupiter, mais elle est plus faible).

En plus de la rotation de la Terre et de la précession des équinoxes, il y a un phénomène appelé la nutation : alors que la précession des équinoxes est un mouvement très lent mais très important de l'axe des pôles, la nutation est un mouvement de bien plus faible amplitude (de l'ordre de la quinzaine ou vingtaine de secondes d'arc) et beaucoup plus rapide (le terme le plus important a une période de 18.6 années qui est la période de la régression des nœuds lunaires, c'est-à-dire la droite d'intersection du plan d'orbite de la Lune avec l'écliptique). En gros, la nutation correspond à de petites oscillations de l'axe des pôles autour de sa position moyenne. Il faut noter que cette nutation se produit à la fois dans le sens de la précession (l'axe avance et recule un peu par rapport à son mouvement de précession) et dans le sens orthogonal (l'axe s'incline plus ou moins que l'obliquité moyenne) : on parle respectivement de nutation en longitude et de nutation en obliquité.

Ensuite, les choses se compliquent® : l'écliptique lui-même n'est pas fixe (il varie lentement sous l'effet de l'attraction des autres planètes du système solaire), l'inclinaison de la Terre n'est pas non plus constante même à long terme (c'est-à-dire même une fois moyennée la nutation en obliquité — même si en fait l'essentiel de cet effet est alors dû, justement, au mouvement de l'écliptique), la rotation de la Terre n'est pas uniforme (elle comporte à la fois des variations périodiques pas toujours bien connues, et un ralentissement séculaire qui est estimé — de façon un peu conventionnelle — à 1.64 milliseconde par jour et par siècle, d'ailleurs pour des raisons que j'ai déjà expliquées, la durée du jour est entre 1ms et 2ms plus longue que 24h), et d'ailleurs l'axe des pôles varie non seulement dans l'espace mais aussi à la surface de la Terre (on parle de polhodie ou oscillation de Chandler) avec une période de l'ordre de 430 jours et une amplitude de l'ordre de 10m (et ça n'arrange rien qu'il soit difficile de définir ce qu'on appelle, au juste, le pôle[#3]).

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Normalement, à ce point-là, le mathématicien explose et s'exclame : Mais aussi compliqués que soient les phénomènes physiques sous-jacents (qu'il ne s'agit pas ici de modéliser mais simplement de décrire), l'orientation d'un objet rigide dans l'espace peut se décrire par exactement trois angles (angles d'Euler, qui s'appellent justement, et pas par hasard : la précession, la nutation et la rotation propre — terminologie néanmoins un peu confusante puisque par exemple la nutation astronomique en longitude est, du point de vue des angles d'Euler, une précession). Donc, pour tout décrire, il suffit de donner un développement temporel de ces trois angles d'Euler (qui caractérisent la transformation entre le système de coordonnées terrestre[#4] de l'IERS[#5] et leur système de coordonnées céleste[#6]).

Il y a différentes raisons pour lesquelles ce n'est pas ce qui se fait, et pour lesquelles on (=l'IERS) décrit l'orientation de la Terre non comme une seule rotation mais comme une composition de plusieurs rotations (une pour la précession générale, une pour la nutation, une pour la rotation proprement dite, et une pour la polhodie). Une raison est qu'il est utile de décrire non seulement l'orientation stricto sensu de la croûte terrestre mais aussi différents repères ou objets géométriques intermédiaires (l'écliptique, l'équateur moyen, l'équateur instantané, le pôle à la surface de la Terre…). La séparation des mouvements entre précession et nutation, par exemple, est un peu arbitraire (grosso modo, on met dans la précession ce qu'on appelle les termes séculaires et dans la nutation les termes périodiques, mais tout dépend en fait de l'échelle de temps considéré), cependant il est utile d'avoir fixé une convention à ce sujet, pour pouvoir parler d'équateur moyen (celui qui est sujet à la précession mais pas à la nutation) et d'équateur instantané (celui qui est sujet aux deux), et s'en servir dans d'autres définitions, par exemple pour le point vernal — ou équinoxe de printemps — qui est l'intersection (ascendante) d'un de ces équateurs avec l'écliptique[#7], et qui définit le début du printemps. Une autre raison (ou une autre facette de la même) est de séparer autant qu'on peut les phénomènes qu'on sait prévoir et ceux qu'on ne peut qu'observer.

Spécifiquement, un phénomène qu'on ne sait qu'assez mal prévoir (même si j'ai du mal à savoir la meilleure précision qu'on sache atteindre pour une prévision à 10 ans, 100 ans, 1000 ans) est celui de la rotation propre de la Terre ou ce qu'on appelle en astronomie le temps universel. Le temps universel (UT1) est défini par le fait que la Terre effectue une rotation par rapport au Soleil en 24h de temps universel, ou, en fait, une rotation sidérale en 23h56min04.0989036903511s. Mais cette définition cache de nombreuses subtilités (pour commencer, qu'est-ce que c'est exactement, effectuer une rotation ?). Par exemple, la très lente rotation constituant la précession des équinoxes constitue, après tout, une forme de rotation de la Terre, et si on écrit la matrice de transformation donnant l'orientation finale de la Terre comme composée d'une matrice de précession, d'une matrice de nutation et d'une matrice de rotation propre dépendant du temps universel, cette dernière doit décompter la partie de rotation qui a déjà été incluse dans la précession et la nutation. Ceci conduit à différentes façons, toutes désagréables, de traiter cette séparation, soit en calculant une équation des équinoxes qui correspond à évaluer la rotation cachée dans la précession et la rotation, soit en utilisant un point intermédiaire appelé point de référence céleste intermédiaire (et qui est défini comme le point toujours situé sur l'équateur de la voûte des étoiles fixes et dont le mouvement est non tournant en ce qu'il est toujours perpendiculaire à l'équateur lorsque l'équateur effectue des petits déplacements sous l'effet de la précession ou de la nutation) ; de même, sur terre, les effets du mouvement du pôle qui contaminent la rotation de la Terre conduisent à introduire un point de référence terrestre intermédiaire. Tout ceci est assez fastidieux à comprendre. Heureusement, il existe des documents pas trop mal écrits qui expliquent tout ce qu'il y a à savoir : soit les arides Conventions 2010 de l'IERS soit une circulaire un peu plus pédagogique écrite par l'observatoire de l'US Navy.

Après, même si on a compris comment les choses fonctionnent (ce dont, dans mon cas, je ne suis que partiellement convaincu), il faut encore trouver les données. La précession est décrite par trois angles dont la signification est un peu pénible à voir quand on est comme moi handicapé des trois dimensions, mais qui sont au moins décrits par des simples polynômes du temps et dont l'utilisation est clairement indiquée dans les documents que je viens de citer. La nutation est décrite par des séries de Poisson (une pour la nutation en longitude et une pour la nutation en obliquité) ; les astronomes aiment bien ça pour les développements numériques, les séries de Poisson : ce sont des sortes de séries de Fourier (finies, bien sûr), mais comportant aussi des puissances du temps, et dont les périodes sont généralement exprimées comme des combinaisons entières de périodes perturbatrices fondamentales (typiquement les longitudes moyennes des planètes ainsi, pour tout ce qui a trait au système Terre-Lune, que les arguments de Delaunay c'est-à-dire les anomalies moyennes du Soleil et de la Lune, l'argument moyen de la Lune mesurée depuis le nœud, la longitude moyenne du nœud, et l'élongation moyenne entre le Soleil et la Lune ; les arguments de Delaunay sont donnés comme des polynômes du temps, donc stricto sensu on n'a plus affaire à une série trigonométrique). La désagréable équation des équinoxes (qui sert à neutraliser la partie de rotation de la Terre introduite dans la précession et la nutation) est également exprimée comme polynôme plus série de Poisson (et en principe calculable à partir de la précession et de la nutation). Tout ça est un peu pénible à évaluer, d'autant qu'il faut commencer par trouver où sont cachées les données et les convertir depuis divers formats texte assez pourris prévus pour être évalués par des procédures en *shudder* Fortran. Pour la rotation de la Terre, ainsi que la position du pôle, on peut soit utiliser différents modèles approximatifs soit prendre des données d'observation publiées par l'IERS : je suis loin d'avoir les idées aussi claires que je voudrais sur le rapport entre ces différents ensembles de données (par exemple sur la question de savoir comment mélanger des théories plus ou moins anciennes et qui n'utilisent pas forcément exactement les mêmes conventions).

[Bon, encore une entrée qui s'est retrouvée à devenir beaucoup plus longue que je l'imaginais, dont j'ai maintenant franchement marre puisque ça fait quelque chose comme dix jours que je l'écris, et du coup j'ai la flemme de relire, bref, qui doit être bourrée de fautes en tous genres. De toute façon, les gens vont râler que gnagnagna je n'écris pas ce que j'ai promis sur les octonions gnagnagna.]

[#] Subtilité qui n'est pas relevée à l'école primaire. Quand j'étais en CM2, dans le cadre d'une introduction à l'astronomie, notre institutrice nous a demandé de définir un jour, j'ai essayé d'expliquer la différence entre jour solaire et jour sidéral, je me suis mal exprimé, et c'est moi qui suis passé pour un sombre inculte qui croit que le Soleil tourne autour de la Terre.

[#2] En réalité, les niveaux d'approximation suivants font que cette période n'a pas beaucoup de sens en tant que période : ce que je donne là est la vitesse actuelle de précession des équinoxes, mais comme cette vitesse varie elle-même, ce n'est pas dans 25770 ou 25771 ans que les équinoxes auront accompli « un tour complet » de l'écliptique (notion qui n'est d'ailleurs pas évidente à définir vu que l'écliptique n'est pas non plus fixe…).

[#3] Cela peut faire référence à l'axe de rotation instantané, à l'axe de moment cinétique, ou à l'axe principal d'inertie. Il semble que les deux premiers diffèrent de quelques centimètres alors que le second diffère d'eux de quelques dizaines de centimètres. En fait, le bon pôle n'est rien de tout ça, mais une construction un peu compliquée appelée les axes de Tisserand, qui coïnciderait avec l'axe principal d'inertie si la Terre était rigide, mais tient plus intelligemment compte de l'élasticité du manteau, et cette construction elle-même suppose une distinction un peu arbitraire dans les périodes des perturbations (celles qui sont plus longues que deux jours sont placées dans la nutation, celles qui sont plus courtes sont placées dans la rotation propre et la polhodie) : on parle de pôle intermédiaire céleste pour l'objet ainsi construit.

[#4] J'aimerais dire qu'il s'agit de la latitude, de la longitude mesurée par rapport au méridien de Greenwich, et de l'altitude mesurée par rapport à l'ellipsoïde WGS84, mais en fait la définition du système de référence terrestre de l'IERS est un chouïa plus compliquée (à ce niveau de précision, on ne peut pas ignorer le fait que la croute terrestre n'est pas rigide et que les plaques tectoniques se déplacent les unes par rapport aux autres et sont sujettes à des marées). Suite à toutes sortes de définitions historiques se précisant les unes les autres, le méridien international, celui de l'IERS et qui est utilisé par les GPS, est situé 5.31″ à l'est du méridien historique. C'est ce que constatent, déçus, les geeks qui se rendent à l'observatoire royal de Greenwich avec un GPS ou qui simplement regardent sur Google Maps.

[#5] Le Service International de la Rotation de la Terre, qui a pour but de décrire et modéliser aussi précisément que possible l'orientation de la Terre dans l'espace (et de décider quand on introduit les secondes intercalaires). Même si on a tendance à s'imaginer en entendant le nom que ce sont eux qui la font tourner : j'avoue que ça a une classe infinie, quand on vous demande et vous, vous faites quoi, dans la vie ? de pouvoir répondre oh, je travaille au service de rotation de la Terre.

[#6] Système de coordonnées qui est à peine moins difficile à définir en théorie, est certainement beaucoup plus en pratique : on utilise de l'interférométrie à très longue base pour définir un repère cinétiquement sans rotation par rapport à des objets très lointains (des quasars).

[#7] L'écliptique lui-même pose des problèmes de définition, et doit être considéré comme largement conventionnel. Vu que l'orbite du barycentre Terre-Lune, qui est censée définir ce plan, comporte différentes perturbations périodique, on veut prendre une moyenne dans le temps. Traditionnellement, on utilisait le plan (écliptique moyen rotationnel) tel que la position du barycentre Terre-Lune, débarrassée de ses perturbations périodiques, se fasse toujours dans le plan en question. Maintenant, on considère plutôt le plan (écliptique moyen inertiel) orthogonal au moment cinétique moyen du mouvement orbital du barycentre Terre-Lune calculé dans un référentiel sans rotation par rapport aux étoiles lointaines. La différence entre ces deux concepts réside dans le fait que l'écliptique inertiel tient compte de la composante de moment cinétique qui provient de la variation (séculaire) du plan écliptique lui-même, tandis que l'écliptique rotationnel l'ignore (ce qui constitue une définition vaguement circulaire, mais néanmoins utilisable) : voyez cet article pour les détails.

Quand j'écris inertie dans le titre de cette entrée, je ne parle pas du phénomène psychologique mais scientifique : scientifique, c'est-à-dire notamment physique mais pas seulement. Dans ce sens, l'inertie, de façon volontairement très vague, c'est le mécanisme qui fait qu'un phénomène qui se produit a tendance à continuer à se produire (plutôt que, par exemple, cesser immédiatement que sa cause cesse).

En physique, il s'agit de la loi d'inertie, ou première loi de Newton, selon laquelle en l'absence de forces extérieures un objet continue à se déplacer en ligne droite et à vitesse constante : ce n'est pas une évidence, et historiquement il semble qu'on ait pu croire — dans la mesure où la physique aristotélicienne énonçait ces choses clairement, ce dont je ne suis pas sûr du tout — qu'une force était toujours nécessaire pour mouvoir un objet, i.e., le que fait qu'un objet en mouvement finisse par s'arrêter dans les situations concrètes n'était pas l'action des forces de frottement mais le phénomène normal, et que du coup l'inertie était ce qu'il fallait expliquer, ce qu'on a pu faire, semble-t-il, par des mécanismes du genre la poussée de l'air exercée par l'endroit que l'objet venait de quitter (je ne suis pas compétent en histoire des sciences, donc j'affabule peut-être en disant ça, ce sont des souvenirs de manuels de physique lus il y a longtemps, mais Wikipédia suggère des choses compatibles). Le principe général d'inertie, ce que j'ai appelé première loi de Newton, a été formulé clairement par Galilée, même s'il est sans doute exagéré de dire que c'est lui qui l'a dégagé.

Toujours est-il qu'on aurait tort de prendre ça pour une évidence. Il y a une célèbre anecdote racontée par Richard Feynman (qui vaut la peine d'être écoutée rien que pour son délicieux accent new-yorkais) sur la manière dont son père (Melville Feynman) lui a expliqué ce qu'est l'inertie : personne ne sait à quoi c'est dû. Un mathématicien va voir l'inertie comme le fait que la physique est décrite par des équations différentielles du second ordre (la force contrôle non pas la vitesse mais l'accélération, c'est-à-dire la variation de la vitesse), mais ce n'est que reformuler le problème ; ou encore, que si on ramène ces équations au premier ordre, cela se fait en introduisant de nouvelles variables en plus de la position, à savoir la quantité de mouvement des objets : l'état d'un système mécanique classique se traduit par la donnée non seulement des positions des objets mais aussi de leurs quantités de mouvement (ou de façon plus approximative, vitesses[#]). On peut reformuler ces choses de façon plus ou moins sophistiquée, parler d'espace des phases, de principes variationnels, de formulations lagrangienne ou hamiltonienne de la mécanique, on peut généraliser à la mécanique quantique ou à la relativité générale, mais il reste toujours ce même mystère qu'on pousse ou cache sous ces diverses formulations[#2].

Mais il y a d'autres domaines où la notion d'inertie peut être considérée, et c'est alors d'autant plus frappant qu'il ne faut pas la prendre pour une évidence.

Prenons l'économie. Voici une question qui me semble assez profonde : si vous avez une grandeur économique ou financière, peut-être le cours d'une action ou d'une monnaie, dont vous ne savez rien sauf sa valeur à l'instant présent, manifestement la meilleure chose que vous puissiez faire pour prévoir sa valeur demain, c'est de prévoir la même valeur (ce n'est évidemment pas une bonne prévision, mais si vous ne savez rigoureusement rien de plus, c'est certainement le mieux qu'on puisse faire) ; maintenant, je vous donne la valeur d'aujourd'hui et aussi la valeur d'hier : est-ce que la connaissance de cette valeur d'hier peut aider à faire une prévision meilleure ? Si on croit à une forme d'inertie en économie, on va se dire que si la grandeur a augmenté entre hier et aujourd'hui, elle risque d'augmenter de nouveau entre aujourd'hui et demain, et peut-être dans les mêmes proportions, donc on va peut-être prévoir pour demain la valeur symétrique de celle d'hier par rapport à celle d'aujourd'hui (de fait, en physique, si vous voulez prévoir le mouvement d'un objet, c'est exactement ça que vous prévoit la loi d'inertie en l'absence de forces, et donc ce sera une approximation sensée si vous ne savez rien du tout). Mais en fait, s'agissant du cours d'une action, cette idée n'est pas du tout bonne : au contraire, on a tendance à modéliser ces choses-là — en toute première approximation — par des objets mathématiques appelés des martingales, ce qui signifie essentiellement que connaître des choses sur le passé ne vous avancera absolument pas à prévoir l'avenir (par rapport à juste connaître le présent) ; ou, de façon plus concise mais moins précise, il n'y a aucune sorte d'inertie. C'est raisonnable si on pense au cours d'une action comme déterminé par des agents rationnels : ils ont connaissance du passé et ils en tiennent compte, donc si une prévision simpliste basée dessus peut donner une meilleure approximation pour l'avenir qu'une prévision simpliste seulement basée sur le présent, ils en tiendront compte déjà au présent, donc anticipent sur cette prévision !, qui du coup devrait être réalisée déjà maintenant et pas dans l'avenir.

Mais l'absence totale d'inertie signifie que l'idée que le cours d'une action est en train de monter est dénué de sens, ou, en tout cas, de sens prédictif : le fait que ce cours ait augmenté ces N derniers jours ne donnerait aucune information sur le fait qu'il risque d'augmenter encore demain, pas plus que le fait de savoir qu'une pièce non truquée est tombée 20 fois sur pile ne vous donne d'information sur le fait qu'elle tombera sur pile la fois suivante. Or on a quand même tendance à s'imaginer qu'il y a de l'inertie : c'est contraire à cette idée que les marchés anticipent sur toute prévision qu'ils peuvent faire quant à l'avenir. Même si le cours d'une action dépend de phénomènes (physiques, par exemple) qui, eux, peuvent avoir de l'inertie, si ces phénomènes sont connus, ils devraient être anticipés. Je ne sais pas si on peut exhiber des cas où il y a quand même incontestablement une forme inertie dans des cours économiques, mais j'ai toujours été perturbé par cette dissonance entre le fait qu'on soit censé croire à l'absence d'inertie si les agents sont rationnels et le fait qu'on dise, par exemple, que le cours du pétrole va certainement continuer à monter au cours des prochaines années (si cette prévision est si évidente, tout le monde va vouloir prendre des options dessus, ce qui va faire augmenter le cours du pétrole maintenant).

Mais ce qui a motivé cette réflexion à ¤0.02 sur l'inertie, c'est encore un autre domaine, celui de la sociologie : j'entends les commentateurs politiques (dont je ne pense pas forcément grand bien) expliquer que la progression ou régression de tel ou tel homme politique dans les sondages électoraux constitue une dynamique. Le fait de parler de dynamique suppose qu'il y a inertie. Mais est-ce le cas ? Je n'ai cette fois pas d'argument comme pour l'économie qui expliquerait qu'il ne dût pas y en avoir, mais je n'ai pas non plus d'explication vraiment convaincante au fait qu'il y en ait (à part que les électeurs seraient naturellement portés à apprécier en soi les hommes politiques qui enregistrent déjà une progression dans les sondages récents, ce qui est possible mais pas évident). En tout état de cause, je trouve qu'on ne devrait prendre ni l'existence de l'inertie, ni son absence, pour une évidence : c'est une question essentielle qu'on doit se poser sur tout phénomène auquel on est confronté.

[#] Quand on parle d'un seul objet sans interaction extérieure, la masse n'intervient pas du tout, et l'inertie au sens physique peut porter aussi bien sur la vitesse (c'est la manière dont Newton la formule) que sur la quantité de mouvement. Quand il y a plusieurs objets qui interagissent, la masse (inertielle) d'un objet devient, très grossièrement, la proportion avec laquelle l'inertie de cet objet est importante relativement à celle des autres, donc la difficulté des forces à agir sur cet objet.

[#2] La relativité générale est peut-être ce qui arrive le plus proche d'une réponse au mystère, aux yeux du matheux que je suis, parce que l'équation des géodésiques et les équations d'Einstein sont des équations du second ordre mathématiquement très naturelles alors qu'il n'y a rien de la sorte au premier ordre ; mais on peut difficilement prétendre avoir tout résolu en disant ça.

Je clos (du moins, j'espère) cette série d'entrées sur la philosophie (métaphysique) de la physique (?) par la question suivante, au sujet de laquelle j'ai eu un débat assez animé avec des amis (et notamment un physicien) au cours d'un repas-discussion organisé sur le thème du hasard : la mécanique quantique est-elle déterministe ?

((Ma maman me dit que je devrais écrire des livres de vulgarisation scientifique. Elle n'a peut-être pas tort… D'un autre côté, je m'adresse à des lecteurs généralement déjà plus savants que la plupart des livres de vulgarisation scientifique — du moins ceux qui peuvent espérer avoir un certain succès éditorial.))

Il y a des millions d'endroits où la question est discutée, mais voici comment je peux résumer le problème :

1. La mécanique quantique est décrite par des lois (régissant l'évolution des systèmes quantiques) qui, prima facie, sont déterministes (par exemple, pour la version la plus simple, il s'agit de l'équation de Schrödinger). Ces lois sont testées et validées par l'expérience.
2. Mais l'interaction d'un système quantique avec un système macroscopique (décrit classiquement) fait intervenir un phénomène appelé mesure, et qui est décrit (encore une fois, prima facie) de façon probabiliste, donc non déterministe, et par ailleurs irréversible (l'écrasement de la fonction d'onde). De nouveau, la règle prédisant les probabilités d'obtenir différents résultats lors d'une mesure quantique est validée par l'expérience.
3. Or il ne devrait pas y avoir de distinction fondamentale entre un système quantique et un système macroscopique : on aime croire que l'ensemble de l'Univers est décrit par un système unique de lois valables à toutes les échelles. Ceci soulève donc la question de savoir quelles sont les lois fondamentales, et notamment si des lois fondamentales déterministes peuvent donner des conséquences d'apparence probabiliste, ou en tout cas comment réconcilier la loi d'évolution déterministe et la règle probabiliste sur la mesure. Et la question philosophique : la mécanique quantique est-elle déterministe ? (ce qui soulève d'ailleurs une méta-question, qui est de savoir ce que la question veut dire au juste).

Du point de vue strictement physique, il n'y a pas de problème, parce que les deux parties fonctionnent expérimentalement, et peu importe que formellement elles se contredisent. Mais si on aime réfléchir à la philosophie de la physique (ou la métaphysique), on est gêné.

Ce paradoxe est illustré par la célèbre expérience de pensée du chat de Schrödinger, placé dans une boîte où un phénomène quantique (la traversée d'un photon à travers un miroir semi-réfléchissant, ensuite mesuré par un capteur) déclenche une conséquence macroscopique (selon le résultat lu par le capteur, libérer un poison qui tue le chat), avec la question de savoir à quel moment la « mesure » a lieu (quand le chat lui-même se sent mourir ? quand Schrödinger ouvre la boîte ? et que se passe-t-il si Bohr ouvre la boîte avant Schrödinger mais ne dit pas à Schrödinger ce qu'il a vu ?). Formellement, on dit que le chat est dans l'état (½√2)(|vivant⟩+|mort⟩) jusqu'au moment où on observe son état, qui devient alors |vivant⟩ ou |mort⟩ ; mais il n'est pas du tout acquis que cette description ultra-simplifiée soit correcte ou précise.

Je ne peux pas donner la réponse, parce que je n'en sais rien — personne n'en sait rien. Mais je peux donner mes 0.02 zorkmids sur le sujet.

Quand j'étais petit (oui, je sais, je parle souvent de ce que je pensais quand j'étais petit), j'étais absolument convaincu de l'interprétation suivante (Consciousness causes collapse), sans doute renforcée par la lecture du livre The Emperor's New Mind de Roger Penrose : l'Univers entre dans des superpositions d'états quantiques, et c'est notre conscience qui cause l'écrasement de la fonction d'onde, non comme un phénomène fondamental, mais en choisissant ce qu'elle voit finalement, i.e., comment elle interprète l'état quantique de l'Univers, ou, si on veut présenter les choses à la façon multi-mondes, dans quel monde nous allons. Cette interprétation me satisfaisait parce qu'elle justifiait plus ou moins, ou du moins rendait possible, une sorte de panthéisme mou (du style « nous sommes des dieux, sans forcément le savoir ») auquel je ne sais pas si je croyais mais qui me plaisait certainement bien. Maintenant, je trouve plus d'élégance, si je devais défendre ce genre de panthéisme, à le défendre dans un cadre déterministe, car nous pouvons « choisir » les conditions initiales du monde, qui sont si spéciales aussi bien que nous pouvons choisir les modes d'écrasement de la fonction d'onde. Bref, j'ai totalement changé de point de vue, et je crois maintenant (tout aussi religieusement, il faut le reconnaître) au déterminisme absolu.

Pour descendre sur un terrain un peu moins mystique, donc, la question est alors : est-il possible d'expliquer le non-déterminisme quantique comme un phénomène émergent à partir de lois déterministes ?

On sait très bien que des lois déterministes peuvent donner des conséquences chaotiques et donc en pratique imprévisibles, qui donnent l'illusion du non-déterminisme, et des phénomènes irréversibles. C'est le cas de la mécanique classique, qui a beau être complètement déterministe elle peut (facilement) conduire à des phénomènes chaotiques, donc imprévisibles, y compris dans des endroits aussi prévisibles en apparence que le système solaire ; et pour ce qui est de l'irréversibilité, la seconde loi de la thermodynamique est tout à fait déductible de lois fondamentales (déterministes et) réversibles : la seconde loi apparaît lorsqu'on oublie de l'information microscopique pour passer à une description macroscopique.

J'ai donc tendance à penser, ou du moins j'ai envie de penser, que le phénomène quantique est exactement le même : le caractère apparemment probabiliste et irréversible de la mesure d'un système quantique quand il interagit avec un système classique serait tout à fait compatible avec des lois fondamentales déterministes, et proviendrait simplement d'un comportement chaotique, et du fait qu'on oublie l'essentiel de l'information quantique quand on passe à une description classique macroscopique. Autrement dit, le résultat d'une mesure quantique devrait être prévisible par la connaissance exacte de l'état quantique du système y compris de l'appareil de mesure Ce qui est impossible en pratique vu qu'il s'agirait de connaître exactement une fonction de plus de 10²⁴ variables ; mais possible en principe : contrairement à l'état classique d'un système quantique, qui n'est pas mesurable sans détruire le système, l'état quantique d'un système quantique est mesurable.

Ce point de vue est renforcé, mais pas complètement justifié, par le phénomène de décohérence quantique : mais il faut être bien clair, les explications à base de décohérence ne prétendent pas expliquer l'écrasement de la fonction d'onde, seulement l'apparence d'écrasement, et elles sont en fait agnostiques quant à l'interprétation métaphysique de la mécanique quantique. Je veux dire que la théorie de la décohérence va expliquer pourquoi un électron, qui est passé quantiquement à travers deux fentes, va produire une tache localisée sur l'écran macroscopique qu'on met derrière, mais ne prétend pas pouvoir prévoir de façon déterministe où cette tache est apparue. La décohérence explique pourquoi un chat de Schrödinger dans l'état (½√2)(|vivant⟩+|mort⟩) n'est pas manifestement observable dans un tel état, mais elle ne prétend pas expliquer que le chat soit de fait dans l'état |vivant⟩ ou |mort⟩, ni dire si cela va effectivement se produire.

Il y a cependant un obstacle majeur à mon point de vue : si la loi fondamentale déterministe est linéaire, elle ne peut jamais expliquer l'écrasement de la fonction d'onde, car le principe de superposition vaudra à tout moment : avec la linéarité, si on tue le chat de Schrödinger en fonction de la lecture d'un photon dans l'état (½√2)(|réfléchi⟩+|transmis⟩) et que |réfléchi⟩ évolue en |vivant⟩ et |transmis⟩ en |mort⟩, on va vraiment mettre l'Univers tout entier dans une superposition quantique d'un état où le chat est vivant et un état où le chat est mort, ces deux vecteurs sont de norme 1, il n'y en a pas un qui peut écraser l'autre, et par linéarité ils ne peuvent plus interagir. On ne peut s'en sortir qu'avec des règles ad hoc (par exemple, mais pas forcément, l'action de la conscience ou une interprétation multi-mondes) expliquant pourquoi dans un état (½√2)(|vivant⟩+|mort⟩) on observe effectivement le chat comme vivant, ou comme mort. J'aimerais bien pouvoir dire que si l'état quantique microscopique du chat avant mesure a une projection plus importante selon |vivant⟩ ou |mort⟩ il va arriver dans tel ou tel état, mais je ne vois pas comment faire.

Mais la mécanique quantique est-elle vraiment linéaire ? L'équation de Schrödinger l'est, c'est indéniable, mais l'équation de Schrödinger décrit l'évolution d'une particule quantique unique dans un champ de potentiel classique. Si on commence à avoir plusieurs particules qui interagissent, on quitte le domaine linéaire… mais en fait on arrive à des problèmes sérieux, parce que quand les particules interagissent, on doit les décrire correctement avec la théorie quantique des champs (ou seconde quantification, parce que les fonctions d'ondes de la mécanique quantique — ou première quantification — deviennent elles-mêmes des opérateurs sur un espace d'états encore plus bizarre), à laquelle je ne comprends pas grand-chose et le problème est qu'il n'est pas certain que qui que ce soit y comprenne grand-chose, en fait.

Alors que des livres entiers ont été consacrés aux implications épistémologiques et philosophiques de la mécanique quantique, rien ne semble avoir été fait sur la théorie quantique des champs. Celle-ci est rarement décrite de façon mathématiquement satisfaisante (la meilleure que je connaisse étant celle-ci), et jamais de façon satisfaisante pour répondre à des questions du style : comment décrire l'état quantique complet de l'Univers (a priori, c'est un vecteur dans un espace de dimension infinie) ? l'évolution de cet état est-elle déterministe ? est-elle complètement linéaire ? et comment la réponse à ces questions influe-t-elle sur les réflexions ci-dessus ? par exemple, est-il intellectuellement concevable qu'une description quantique exacte du vide puisse permettre de prédire les fluctuations du vide ? Sans même entrer dans les théories ultérieures comme la théorie des cordes (pour laquelle j'ai, franchement, assez peu de respect) ou la loop quantum gravity (qui m'a l'air légèrement plus sérieuse, ce qui n'est pas beaucoup dire), où la question du déterminisme est évacuée en ceci qu'on ne comprend même plus ce qu'elle veut dire. Voilà qui est fort peu satisfaisant.

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Je devrais peut-être faire une coda sur le libre-arbitre, parce que la raison pour laquelle les gens ont souvent un avis enflammé sur le déterminisme, c'est à cause du libre-arbitre. Je ne suis pas persuadé que la question du libre-arbitre ait un sens, en vérité, et même s'il en a un, je suis encore moins persuadé qu'il ait un rapport avec le déterminisme. Le déterminisme, c'est l'idée que l'état futur de l'Univers pourrait, en théorie, être prédit en fonction de son état actuel : mais la question n'a pas vraiment de sens en toute généralité, parce que l'Univers est unique, il se passe une chose ou il s'en passe une autre, on ne peut pas revenir en arrière pour se dire et à partir du même état, va-t-on obtenir les mêmes conséquences ?. Dans la discussion qui précède, le déterminisme est pris au sens où il existe des lois mathématiquement simples qui déterminent tout état ultérieur en fonction de l'état présent ; si on admet des lois mathématiquement compliquées, on peut toujours jouer au logicien psychorigide et dire qu'il existe effectivement une loi qui décrit complètement l'avenir de l'Univers, même si nous ne la connaissons pas a priori, et c'est juste une fonction qui à chaque instant t associe l'état de l'Univers à l'instant t. Dès lors, la question du libre-arbitre, je ne sais pas vraiment ce qu'elle signifie.

Et quand bien même elle signifierait quelque chose, je ne suis pas persuadé que la question du déterminisme y soit tellement liée. Si l'Univers n'est pas déterministe, il faut soit imaginer qu'il est probabiliste, et je ne vois pas pourquoi un cerveau régi par du vrai hasard serait plus « libre » qu'un cerveau régi par des lois déterministes. Ou alors on imagine qu'il y a des entités non-physiques (des dieux) qui font des choix à chaque fois que les lois de la physique ne sont pas déterministes : mais alors on ne fait que remonter la question du libre-arbitre d'un cran plus haut (comment ces entités-là font-elles leurs choix, et qu'est-ce que cela signifie qu'elles soient libres ?). Tout ça me paraît surtout bien nébuleux.

Je suis tombé un peu par hasard sur cette vidéo d'un exposé de vulgarisation du physicien Lawrence Kraus [durée : 1h05′], donné à l'invitation de Richard Dawkins, sur la cosmologie et notre compréhension actuelle de l'Univers. C'est de la vulgarisation bien faite, et j'ai moi aussi appris des choses (par exemple comment on mesure la constante cosmologique), même s'il y a des points sur lesquels je trouve qu'il aurait pu trouver de meilleures explications (il soulève la question du fait que la constante cosmologique est 10¹²⁰ fois plus petite que celle que prédisent les fluctuations quantiques du vide, mais il laisse ensuite ce problème en plan, même quand il explique qu'elle est effectivement non-nulle). Pour ceux qui veulent en savoir un peu plus, l'article de Wikipédia sur le modèle standard cosmologique n'est pas mal fait, ainsi que celui sur la métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (je souligne notamment qu'il n'y a pas besoin de connaître la relativité générale pour comprendre les équations de Friedmann-Lemaître — d'ailleurs elles peuvent même plus ou moins apparaître en mécanique newtonienne —, ce sont des équations différentielles assez simples et assez transparentes) ; pour quelque chose de plus poussé, cette review et dans une moindre mesure celle-ci sont bien faites.

Je cite ce talk notamment parce qu'il fait le lien avec mon entrée précédente où je discutais du problème du « cerveau de Boltzmann », de la faiblesse de l'entropie de l'Univers et de son rapport avec le principe anthropique. Kraus évoque ce problème à la fin en réponse à une question d'un spectateur (sur l'infini), en considérant apparemment qu'il n'y a rien à expliquer. Mais il dit des choses intéressantes sur le principe anthropique et sur la spécialité de l'Univers : c'est-à-dire sur la question de savoir si l'Univers est le seul Univers possible (les constantes fondamentales de la physique sont absolument et mathématiquement fixées) ou au contraire s'il est tel qu'on l'observe parce que l'Univers doit permettre la vie (la réponse anthropique, donc). En fait, il s'agace de la « manie anthropique », mais il se moque aussi de la théorie des cordes (dont l'agenda est censément, justement de montrer que les constantes de la physique sont les seules possibles, mais qui n'a pas l'air vraiment capable de remplir cet agenda, ni même de sortir la moindre prédiction expérimentalement testable). Il y a des domaines où le principe anthropique est certainement correct (e.g. : nous ne vivons pas sur Jupiter parce qu'il n'y a pas de vie sur Jupiter), mais appliqué à l'Univers il est certainement plus douteux (et comme j'expliquais dans mon entrée précédente il n'explique pas que l'Univers soit si spécial), ce qui donnerait effectivement envie que l'Univers soit « le seul mathématiquement possible » dans un certain sens.

Ce qui m'amène à soulever l'idée farfelue suivante : celle que j'appellerais l'ultradéterminisme. Le déterminisme (sur lequel je veux écrire une autre entrée prochainement [ajout : c'est la suivante]) est l'idée que l'état présent de l'Univers détermine, en théorie, l'état à tout instant futur (ou passé, d'ailleurs, ce qui est une remarque plus insidieuse qu'il n'y paraît). L'ultradéterminisme serait l'idée que l'état de l'Univers à n'importe quel temps peut être, en théorie, déterminé sans aucune donnée. Autrement dit, que non seulement les constantes fondamentales de la physique seraient les seules mathématiquement possibles, mais même que les conditions initiales de l'Univers (ou, du coup, ses conditions à n'importe quel moment) seraient aussi les seules vérifiant des règles mathématiques simples, et que du coup il serait possible de tout savoir de l'Univers sans même aller l'observer. La seule chose qu'il faudrait savoir, c'est où on regarde dans l'espace et dans le temps, ce qui n'est pas forcément une mince affaire, surtout si l'espace est compliqué et présente des Univers naissant dans d'autres Univers et autres fantaisies de ce genre. Cela fait penser à mes vidéos de zoom sur l'ensemble de Mandelbrot où, justement, en choisissant uniquement où je regarde, j'arrive à produire une grande variété de formes entre les petits ensembles de Mandelbrot et de Julia qui naissent de l'ensemble de Mandelbrot. Et quiconque a assez joué avec l'ensemble de Mandelbrot ou avec des mondes générés de façon procédurale en informatique sait bien que ceux-ci peuvent être très riches : pourquoi l'Univers ne serait-il pas de la sorte ?

Cela ferait, au moins, de la science-fiction rigolote (si quelqu'un découvre une règle simple qui permet de prédire tout le passé et l'avenir à n'importe quel endroit de l'Univers, et si cette règle est effectivement calculable…).

Je vais commencer par une anecdote personnelle. Quand j'étais petit, je me suis demandé ce qui arrive quand on meurt. ★ Et j'ai eu l'idée de la réponse suivante : si l'Univers est infini dans le temps, à force, il y aura bien une civilisation qui apparaîtra et qui sera suffisamment avancée et intelligente et bienveillante pour ressusciter les morts, et qui le fera (il est suffisant que cette civilisation puisse observer le passé de l'Univers avec suffisamment de précision pour mesurer l'état de mon cerveau au moment de ma mort, et le reconstruire précisément) ; peu importe le temps que ça prendra, il suffit que ça se produise, même si cela doit prendre 500 milliards d'années : alors, quand je mourrai, j'aurais l'impression de me réveiller instantanément dans une telle civilisation, et on me dira tout va bien, Monsieur, vous venez d'être ressuscité. ★ Puis, plus tard, je me suis dit : et si non ? Pourquoi penser qu'une telle civilisation naîtra forcément ? Alors, ai-je pensé, il arrivera quand même (et même si ça prend 10¹⁰¹⁰⁰⁰ ans), par fluctuations quantiques dans l'Univers infini, qu'apparaisse un cerveau qui continue exactement le cerveau que j'avais au moment de mourir, et ce sera comme ça que je ressusciterai — le problème étant que ce cerveau apparu par fluctuation quantique dans un Univers vide ne sera pas promis à un long avenir, et il mourra presque instantanément, et sans doute pas de façon très plaisante, pour être ressuscité de nouveau par une fluctuation quantique ultérieure (encore beaucoup d'années plus tard), ce qui signifie que je serai éternellement coincé dans un cycle infini de morts et résurrections (la période vivante durant un temps négligeable et la période morte des zilliards d'années, mais je ne sentirai que la période vivante). Pire (me suis-je dit), comme seule importera la création de ce qui faut de cerveau pour soutenir ma conscience, et je serai même sans mémoire et sans pensée, plongé dans une abîme de chaos. ★ Voilà, je venais de m'imaginer une version scientifique du paradis et de l'enfer. Je ne sais pas si j'ai jamais vraiment cru à l'une ou à l'autre de ces hypothèses, mais je me rappelle que la seconde idée m'a beaucoup angoissé (j'imaginais une éternité constituée de fractions de secondes où mon cerveau apparaît entouré de chaos, pour être aussitôt oblitéré).

Je pense maintenant que ces réflexions enfantines sont surtout les conséquences logiques d'une vision assez naïve de la conscience (« pour que je ressuscite, il faut et il suffit de recréer mon cerveau », ou même un petit bout de mon cerveau dont j'imaginais qu'il soutenait presque magiquement ma conscience — peut-être la glande pinéale). En fait, les questions soulevées sont profondes (ce qui ne veut pas dire qu'il y ait forcément des choses intelligentes à dire dessus — wovon man nicht sprechen kann, darüber muß man schweigen), mais ce n'est pas ce dont je voulais parler aujourd'hui (voyez plutôt de vieilles entrées comme celle-ci).

La question préoccupante soulevée, qui est à la fois une question scientifique assez sensée et une interrogation métaphysique profonde, est la suivante : pourquoi l'Univers n'est-il pas plein de chaos ?

C'est un peu difficile à expliquer pourquoi c'est une question naturelle et importante, compte tenu de ce que nous savons de la physique, ou d'ailleurs quel est le rapport avec ce que je disais juste avant. Peut-être que je devrais laisser la parole à cette vidéo (d'un exposé à TED) qui expose le problème probablement mieux[#] que je ne saurais. Mais je vais quand même essayer.

Compte tenu de ce que nous savons de la physique, si l'Univers est infini dans le temps ou d'ailleurs dans l'espace (ou s'il y a, dans un certain sens, une infinité d'Univers, que ce soit « en parallèle » ou en succession dans le temps), on doit croire que par fluctuations quantiques, tout ce qui est matériellement possible finira par se produire. Le problème se pose déjà en physique statistique classique (si on attend suffisamment longtemps, il viendra un moment où tous les atomes d'air de cette pièce seront concentrés dans un centimètre cube dans le coin), et la mécanique quantique prévoit que ce phénomène se produit même dans le vide : des particules apparaissent de nulle part et disparaissent généralement un court instant plus tard. Je dis généralement, parce que si on attend assez longtemps (assez longtemps voulait dire très très très longtemps, mais ce n'est rien devant l'infini), il apparaîtra n'importe quelle configuration de particules et même arbitrairement longtemps. Y compris mon cerveau (ou toute chose qu'on pourrait qualifier de mon cerveau, dans tous les états possibles, une infinité de fois, et pour des durées arbitrairement longues). Voire, la Terre entière, ou toute notre galaxie, ou tout ce que nous pouvons observer actuellement de l'Univers.

La réaction (sensée), quand on fait de la physique, c'est de se dire : on s'en fout, ces fluctuations quantiques majeures se passent dans un temps tellement long qu'elles ne nous préoccupent en rien.

Mais la question qui doit se poser est aussi : comment savons-nous, au juste, que nous ne sommes pas actuellement dans une telle fluctuation ? Après tout, dans toute l'histoire infinie de l'Univers, il apparaît régulièrement des cerveaux de David Madore qui se demandent suis-je dans une fluctuation quantique ? probablement pas, et parmi ces cerveaux de David Madore, il y en a une infinité qui a tort (en fait, ils sont dans une fluctuation quantique et disparaissent très rapidement) et au plus environ un qui a raison. Pourquoi suis-je persuadé d'être celui-là ? Pourquoi suis-je persuadé d'être environ 13.7 milliards d'années après le Big Bang et pas 10¹⁰¹⁰⁰⁰ années après, dans une fluctuation quantique qui se trouve donner l'illusion que je suis environ 13.7 milliards d'années après le Big Bang ? On a tendance à répondre parce que c'est beaucoup plus simple de supposer cela que ceci, mais qu'est-ce que simple signifie ? (Comme je l'ai expliqué, pour la majorité écrasante des cerveaux de David Madore dans l'histoire de l'Univers et qui observent un Univers apparemment vieux de 13.7 milliards d'années, c'est, en fait, une illusion. Il est difficile d'expliquer pourquoi on devrait supposer que les choses sont « simples » quand la majorité des choses sont « compliquées ».)

[Ajout : On me signale que le nom standard de cette hypothèse est le cerveau de Boltzmann.]

Cette question admet énormément de variantes (il n'est d'ailleurs pas forcément évident d'expliquer le rapport entre elles). La version plus physique et moins métaphysique est : l'entropie du Big Bang est très faible, beaucoup plus faible que ce que peut expliquer l'explication usuelle (le principe anthropique), à savoir elle est faible parce que si l'Univers était chaos, nous ne serions pas là pour l'observer : cette explication ne marche pas, parce qu'elle prédit que l'Univers devrait être juste assez ordonné pour que nous soyons là pour l'observer (ou, en fait, pour que mon cerveau existe et se fasse cette réflexion), or apparemment ce n'est pas le cas, puisque nous observons un monde ordonné assez vaste (dans le temps et dans l'espace) autour de nous.

Une autre variante que j'aime bien (et que je présentais plus en détails ici), même si elle est plus délicate à expliquer est la suivante : soit U l'Univers actuel, avec toute son histoire, entre U(0) le Big Bang et U(13.7Gyr) l'instant présent. Maintenant, construisons un Univers U′ comme ceci : je décide que U′(13.7Gyr) va être très semblable à l'instant présent de l'Univers U, mais je fais un très petit changement, disons dans les ailes d'un papillon en Nouvelle-Zélande, tout le reste étant absolument identique. Maintenant, comme les lois de la physique (pour autant que nous les connaissions) sont déterministes vers le futur et le passé, je peux simuler l'Univers U′ soit vers le futur (ce n'est pas très intéressant, il ressemble grosso modo à U, au moins au début, et même si des différences importantes vont apparaître, elles ne sont pas vraiment passionnantes, disons en tout cas que si on voyait un film du futur de U′, on le trouverait plausible), mais aussi vers le passé. Et là les choses sont catastrophiquement différentes : si je regarde un film de l'histoire U′ en m'approchant de t=0, je vais avoir l'impression d'évoluer vers le futur et pas vers le passé, parce que l'entropie augmente (c'est un fait général : si on considère une situation physique typique, et qu'on trace son évolution dans un sens ou dans l'autre du temps, l'entropie augmente dans les deux sens : ce n'est pas le cas de l'Univers U — dont l'entropie diminue vers le passé — justement parce qu'il n'est pas typique, et c'est précisément ce que souligne le paradoxe dont je parle). Dans l'Univers U′, la « flèche du temps » pointe dans les deux sens en s'écartant de l'instant que j'ai pris comme point de départ. Autrement dit, si je regarde une cascade d'eau sur Terre, elle va couler dans le sens contraire entre U et U′ pour des instants inférieurs à mon point de départ (ou plutôt, dans le cône de lumière de passé de mon papillon). Et si je remonte carrément jusqu'au Big Bang (car en t=0, l'Univers U′ a aussi un Big Bang — encore qu'on ne sait pas vraiment si on ne doit pas plutôt le qualifier de Big Crunch vu que le temps apparaît inversé), ce Big Bang est très différent du Big Bang de U, il est beaucoup plus grumeleux, son entropie est beaucoup plus grande. La question est alors : pourquoi croyons-nous être dans l'Univers U plutôt que dans l'Univers U′ (dans lequel tous nos souvenirs du passé seraient des illusions), alors même que les Univers de ce type U′ sont beaucoup plus nombreux ? (Une autre question est à quoi ressemble l'Univers U′ il y a environ un an, et s'il y a dedans un processus qui pourrait ressembler à la vie. Je n'ai vraiment aucune idée à ce sujet.)

La situation est un peu la suivante : on a un singe qui tape censément au hasard sur une machine à écrire. Notre conception de la physique dépend plus ou moins du fait que ce singe tape effectivement au hasard. Voilà qu'on passe à côté de ce singe et qu'on remarque qu'il a tapé correctement l'acte III de Hamlet de Shakespeare. Est-il raisonnable de supposer qu'il a tapé les actes I et II avant ? Est-il raisonnable de penser qu'il tapera les actes IV et V après ? Si le singe tape vraiment au hasard, la réponse est assurément : non : on est en présence d'une coïncidence invraisemblable, mais il n'y a aucune raison de penser qu'elle durera, le singe devrait taper des choses ressemblant à klxjfs sdfkl.jsdf sd,fwerev banana ook ook arwecvwgp et pas Alas, poor Yorick! I knew him, Horatio. Après tout, si le singe tape infiniment longtemps, il tapera infiniment souvent l'acte III correctement, et l'immense majorité des fois il ne tapera pas les actes I et II avant ni les actes IV et V après. Ou alors on peut remettre en question l'hypothèse que le singe tape au hasard, en se disant qu'une coïncidence pareille est vraiment trop incroyable. Mais cela soulève alors la question : selon quelle règle tape-t-il ? Si c'est vraiment un singe, l'explication la plus vraisemblable est que quelqu'un me fait une blague. Mais si je trouve le texte de Hamlet codé de façon transparente dans les décimales de pi ? (Évidemment nous pensons que le texte de Hamlet se trouve effectivement dans les décimales de pi, puisqu'il se trouve dans les décimales de presque tout nombre réel, mais on s'attend à ce qu'il se trouve tellement loin que si on le recontrait effectivement vers la cent mille milliardème décimale, on en serait plus qu'un peu abasourdi.)

Si je croyais en Dieu, je sortirais certainement ça comme argument pour démontrer son existence : l'Univers est tellement incroyablement spécial que croire en un Créateur fournit une explication facilement tentante. La réponse usuelle apportée par le principe anthropique (c'est celle que suggère Dawkins dans The God Delusion), l'Univers est si spécial parce que s'il ne l'était pas, nous ne serions pas là pour l'observer ne convient pas parce que l'Univers est encore beaucoup plus spécial que ce qui serait nécessaire pour expliquer notre présence pour l'observer (un cerveau dans une mer de chaos). Pire encore, parmi tous les Univers possibles où existe une espèce vivante semblable à l'espèce humaine, dans la grande majorité d'entre eux cette espèce n'est pas venue là suite à un processus d'évolution par sélection naturelle mais par une sorte d'apparition spontanée (je ne sais pas exactement à partir de quoi, il faudrait savoir à quoi ressemble le passé de l'Univers U′ dans mon exemple plus haut, mais c'est probablement une sorte de soupe de matières organiques). Voilà qui apporterait de l'eau au moulin des cinglés religieux s'ils étaient capables de comprendre l'argument. (Si j'étais taquin, je suggérerais plutôt celle-ci.) Manifestement c'est une connerie, mais personne ne semble capable de fournir une vraie explication meilleure que l'Univers est tel qu'il est, c'est comme ça et c'est tout (et le singe a tapé le texte de Hamlet, ce sont des choses qui arrivent).

(On peut, bien sûr, remettre en question certaines des hypothèses standard sur les lois de la physique faites pour arriver au problème — que ce soit le fait que l'Univers est infini dans le temps ou dans l'espace ou le fonctionnement des fluctuations quantiques ou la réversibilité des lois de la physique — mais je crois que c'est rater la substance du problème que d'attaquer par là. Outre qu'une considération métaphysique ne devrait pas avoir des répercussions sur ce qu'on croit en physique, le problème ressurgit sous tellement de variantes différentes que ce n'est pas en attaquant les détails qu'on va le résoudre. L'état de l'Univers est très surprenant, nous ne sommes pas du tout dans un Univers typique, même pas dans un Univers typique capable de supporter la vie ou la supportant effectivement, il n'y a quasiment aucune hypothèse de physique là-dedans.)

[#] À un truc près, c'est quand il décrit l'Univers proche du Big Bang comme smooth pour dire qu'il a une entropie basse, et un peu plus tard l'air de la pièce comme smooth pour dire qu'il a une entropie élevée. C'est vrai (les systèmes gravitationnels évoluent vers des grumeaux quand leur entropie augmente, alors qu'un fluide au contraire s'homogénéise), mais c'est plutôt confusant et pas utile dans ce qu'il raconte.

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Tout ceci étant dit, de quoi s'agit-il ? Un trou noir, même ma maman sait ça, c'est un objet tellement compact que la gravitation fait que rien ne peut s'en échapper, même pas la lumière. Ceci mérite déjà un certain nombre d'éclaircissements.

D'abord, la gravitation n'est pas magiquement plus forte pour des objets de type « trou noir ». Pour être bien clair : si le soleil était remplacé par un trou noir de la même masse au même endroit, cela ne perturberait pas les orbites du système solaire (cela perturberait certainement d'autres choses, à commencer par la vie sur Terre, faute de lumière apportée, mais la mécanique céleste continuerait de façon inchangée) : les planètes ne seraient pas aspirées par le trou noir. En fait, c'est un fait assez remarquable que, pour un objet sphérique (ce qui est avec une bonne approximation le cas du soleil, et d'un trou noir qui tourne lentement), la gravitation qu'il produit dépend uniquement de sa masse et de la distance à laquelle on l'observe : une sphère pleine immobile, une sphère creuse idem, un trou noir de Schwarzschild ou n'importe quoi d'autre qui ait une symétrie sphérique, pour une masse et une distance données, produisent exactement les mêmes effets. Et à moins de s'approcher vraiment de la région où le trou noir est trou noir, ces effets sont décrits en bonne approximation par les lois de Newton (d'ailleurs, avec la bonne interprétation, c'est même le cas à n'importe quelle distance des trous noirs de Schwarzschild). Du coup, si le trou noir a un effet gravitationnel si important, c'est tout bêtement si, et parce que, on s'en approche de très près ; et si c'est possible, c'est parce que l'objet est très compact. Voici qui devrait rendre la chose déjà moins mystérieuse. Pour fixer les idées, pour faire un trou noir avec un objet de la masse de la Terre, il faut la concentrer dans un rayon de 9mm : il n'y a rien de très mystérieux au fait que, si on avait toute la masse de la Terre concentrée à une distance de moins d'un centimètre de nous, on sentirait quelque chose d'assez violent, puisque, d'après ce que je viens de dire, déjà à 6400km cette masse produit les effets gravitationnels que nous ressentons au sol.

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Je n'ai pas encore eu le temps d'écrire de la vulgarisation sur les trous noirs comme je l'ai promis, mais en attendant j'ai retrouvé un article que j'avais écrit en 1996 pour le journal du lycée Louis-le-Grand (Virus) et qui accompagne fort logiquement la vidéo que j'ai publiée il y a quelques jours : Trou Blant (pièce en cinq actes) (que vous pouvez aussi trouver sur l'archive des anciens numéros de Virus, il s'agit du numéro 10 (juin 1996), pages 11–18). C'est mon poussinet qui est tombé dessus alors que nous cherchions mon exemplaire du livre de Luminet sur les trous noirs.

Il faut préciser que tout cela est plein de private jokes qui étaient propres au lycée Louis-le-Grand à cette période (je suppose que maintenant elles ont changé) : par exemple, il était traditionnel que chaque article contînt une invocation, sous la forme des majuscules de plusieurs mots consécutifs, à Bon Escient Rarement Utilisés, d'un certain Béru, qui était le surnom que nous donnions (en référence à San Antonio) à un conseiller d'éducation très haut en couleurs ; et d'autres mots ou allusions apparaissent de même à peine cachés un peu partout dans le texte. Mon propre surnom dans ce journal était EVT1729 (les trois lettres étant l'abréviation d'un des volumes des Éléments de mathématiques de Bourbaki, celui où il est question d'espaces tonnelés, les chiffres étant un nombre connu pour une anecdote célèbre impliquant Ramanujan), et mes articles prenaient généralement la forme de dialogues entre Achille et la Tortue, en référence à un célèbre livre de Douglas Hofstadter (et, à travers lui, Lewis Carroll et Zénon d'Élée) : pour cet article-là, qui parlait de physique (alors que normalement c'était plutôt des maths), j'avais remplacé Achille par Castor et Pollux (un clin d'œil au paradoxe des jumeaux) et la Tortue par une Taupe et un Blaireau (dans un milieu de taupins, la Taupe était fort logiquement tenue en haute estime et le Blaireau en exécration complète, d'où leur rôle de la gentille et du méchant dans ma petite pièce, dont je suis désolé de vous gâcher ainsi l'insoutenable suspens).

Ceci étant, malgré les blagues en question, j'avais fait un travail assez minutieux pour écrire cet article, et j'aurais dû l'évoquer quand j'ai retracé l'historique de mon intérêt pour les trous noirs. J'ai sous-estimé d'un facteur 10 la masse du trou noir au centre de la galaxie d'Andromède, mais je n'avais pas de Wikipédia pour me renseigner à l'époque ; mais je pense que je m'étais fatigué à calculer au bout de combien de temps un voyageur, qui serait en orbite directe autour d'un trou noir (de 13 millions de masses solaires et de moment cinétique à 85% de la maximalité) à la distance de l'orbite lumineuse rétrograde verrait revenir sur lui un rayon lumineux envoyé vers l'arrière : j'avoue avoir la flemme de refaire le calcul maintenant pour savoir si je ne me suis pas trompé il y a quinze ans. En beaucoup plus inutile, je m'étais aussi emmerdé à dessiner (en écrivant du PostScript à la main), jusqu'aux décorations de la fenêtre, la capture d'écran imaginaire qui figure sur la page numérotée 12 pour le simple plaisir d'y mettre une private joke (je ne sais pas de quel langage de programmation il peut s'agir, mais la ligne erronée devrait probablement dire alias ('Einstein',G)). Je devais avoir vraiment trop de temps à perdre quand j'étais ado. Par contre, comme je ne comprenais vraiment pas la manière dont un trou noir pouvait devenir un trou blanc de façon qu'on pût en ressortir, j'ai esquivé la question.

Je l'avais promise hier, voici la vidéo en question, qui dure 43″.

(Comme je fais d'habitude pour les fichiers un peu gros, ces liens pointent vers des méta-fichiers BitTorrent pour récupérer les fichiers eux-mêmes. Si BitTorrent ne marche pas, ce qui est malheureusement souvent le cas, retirez l'extension .torrent pour accéder directement au fichier lui-même.)

Je n'ai pas le temps de commenter tout ça pour l'instant (il y a cependant une description et des annotations dans la version sur YouTube en vue combinée, qui est celle que je recommande a priori), donc je vous promets les explication pour plus tard. Disons juste que cela représente la chute d'un observateur dans un trou noir de Kerr d'une masse d'environ 1000000 de masses solaires, et d'un moment cinétique à 80% de la maximalité : l'observateur entre dans un univers et ressort dans un autre, après avoir franchi quatre horizons. Toutes les choses représentées sont des grilles en longitude/latitude sur des sphères : les horizons (en rouge pour les horizons externes et en vert pour les horizons internes), une sphère lointaine en bleue pour montrer la déformation des étoiles lointaines, et une sphère dans l'espace négatif en magenta. Dans la vue combinée, le quadrant en haut à gauche montre la vue avant (la direction « avant » est définie de façon un peu arbitraire, en fait), le quadrant en haut à droite la vue arrière (opposée à « avant »), le quadrant en bas à gauche montre une coupe polaire et un diagrame de Penrose avec la trajectoire suivie et la position actuelle, et le quadrant en bas à droite montre les coordonnées de Boyer-Lindquist. J'expliquerai un autre jour ce que tout cela signifie. En attendant, si c'est du chinois pour vous, commencez par regarder cette vidéo qui évoque le cas considérablement plus simple de la chute dans un trou noir sans rotation (trou noir de Schwarzschild), ou bien celle-ci, qui présente certains des concepts essentiels.

C'est une idée (je l'évoquais d'ailleurs dans une entrée passée, et elle a été suivie de commentaires) que je traîne depuis un moment. Depuis plus de vingt ans, en fait : quand j'avais treize ans on m'a prêté le livre de Jean-Pierre Luminet sur les trous noirs (je vois d'ailleurs qu'il est encore édité, et c'est une bonne chose, parce que c'est de l'excellente vulgarisation à mettre entre toutes les mains) — et j'ai été complètement fasciné, en particulier par la description des trous noirs en rotation, ceux qui sont modélisés par une solution des équations de la relativité générale appelée la métrique de Kerr.

Il faut dire que la métrique de Kerr est riche en gadgets qui titillent l'imagination. Un trou noir qui ne tourne pas[#] (ou trou noir de Schwarzschild), c'est assez tristounet, il y a une sphère autour de lui, appelée l'horizon des événements, passée laquelle il est impossible de revenir en arrière, et quand on tombe dedans on est inexorablement amené à toucher la singularité centrale : ce n'est pas bien passionnant. (En fait, je suis injuste, il y a quantité de choses à dire même sur le trou noir de Schwarzschild, par exemple sur la stabilité des orbites ou sur la sphère de photons, ou sur l'extension analytique maximale.) Mais le trou noir de Kerr, lui, il est vraiment rigolo : il n'y a pas un horizon mais deux ; il y a aussi des bricoles appelés les limites statiques ; et il y a une singularité en anneau, à travers laquelle on peut passer et arriver dans un espace mystérieux appelé l'espace négatif ; il y a une sorte de machine à remonter le temps au cœur du trou noir ; et par-dessus le marché, on peut passer à travers le trou noir pour relier des univers parallèles (et ça, s'il y a un gadget qui a servi à la science-fiction, c'est bien ce phénomène de trou de ver). Du moins, ce que j'énumère là, c'est ce qui m'a semblé fascinant, en tant que garçon de treize ans, dans la vulgarisation que j'en ai lue.

Mais ce n'est pas la même chose d'être fasciné et de bien comprendre. J'aurais voulu savoir un peu plus précisément comment ça se passe, quand on rentre dans un trou noir de Kerr et qu'on va regarder tous ces gadgets. Qu'est-ce qu'on voit, quand on traverse un trou de ver ? Comment est-ce qu'on peut voir ces univers parallèles que le trou noir de Kerr relie ? Ils apparaissent sur une carte de Penrose, mais cela ne parle pas vraiment à l'imagination. Par où faut-il passer, au juste, pour les atteindre ? Voilà des choses que j'aurais voulu savoir. (Et dès lors, je me comportais en fait plus en matheux qu'en physicien : parce que le physicien est fondé à répondre que tous ces gadgets, notamment les univers parallèles, n'existent que dans le trou noir de Kerr en tant qu'idéalisation mathématique d'un trou noir éternel ; un vrai trou noir physique ne relie probablement pas des univers parallèles, ou en tout cas pas de la façon élégante et symétrique que propose la métrique de Kerr.)

Je n'étais pas sans arme pour répondre à ces questions : je connaissais déjà un peu de relativité générale (avant même d'être mis en contact avec le livre de Luminet, je connaissais la métrique de Schwarzschild), et par ailleurs un des très bons amis de ma famille est l'astrophysicien Brandon Carter, dont la renommée est à plusieurs titres liée aux trous noirs de Kerr (il en a décrit l'extension analytique maximale, c'est-à-dire justement ce qu'on vulgarise en parlant d'univers parallèles ; il a découvert que les géodésiques en sont complètement intégrables, ce qui simplifie immensément le calcul de trajectoires dans cet espace ; et il a participé à la preuve du théorème no hair, qui prédit que les trous noirs sont complètement décrits par un tout petit nombre de paramètres physiques, et donc que le trou noir de Kerr est tout à fait typique). On m'a donc donné la métrique de Kerr (je veux dire, on m'a écrit sa forme mathématique), et j'ai essayé de faire des calculs dessus. J'ai essayé, parce que c'est faramineusement compliqué, surtout que je ne savais pas bien m'y prendre (je connaissais un peu de relativité générale, ai-je dit, mais uniquement la formulation classique à la Riemann-Christoffel, pas la formulation à la Cartan qui peut énormément simplifier les calculs ; et je ne connaissais pas les fameuses intégrales premières du mouvement) ; j'ai mis à contribution plusieurs logiciels de calcul formel, mais à l'époque (je parle du tout début des années '90), ils n'étaient pas bien doués pour faire grand-chose.

Mon but aurait été de faire des simulations de mouvements autour d'un trou noir de Kerr, pour arriver si possible à « comprendre » comment celui-ci fonctionnait. J'ai bien réussi à faire quelques simulations simples, mais il y avait toutes sortes de problèmes (numériques, notamment : d'une part je ne connaissais pas la méthode de Runge-Kutta pour la résolution numérique des équations différentielles, ou peut-être que je n'en avais pas saisi l'intérêt ; d'autre part, dans la métrique de Kerr, je ne connaissais que les coordonnées de Boyer-Lindquist, qui sont les plus simples mais ne permettent en aucun cas de simuler des trajectoires traversant des horizons : du coup, il était totalement désespéré d'espérer comprendre comment on passerait à travers un trou de ver dans cette histoire). J'ai laissé tomber, mais j'ai gardé l'idée dans un coin de la tête : il devrait être possible non seulement de faire de telles simulations, mais même de faire une animation montrant ce que voit un observateur traversant le trou noir. (Calculer une image ou une animation demande de faire du raytracing, sauf qu'il s'agit d'un raytracing particulièrement compliqué où chaque pixel de chaque image demande de dérouler l'équation différentielle des géodésiques de l'espace-temps du trou noir pour suivre la trajectoire du photon en question. C'est donc un calcul numérique particulièrement intensif que de toute façon les ordinateurs de l'époque auraient été parfaitement incapables de mener — en tout cas ceux que j'avais à ma disposition.)

Fast-forward jusqu'en 2008 (cela devait être pendant l'été et je m'ennuyais), où je ne sais plus comment, je suis retombé sur un livre de relativité et sur la métrique de Kerr, et je me suis dit que peut-être que, les ordinateurs ayant progressé et mes connaissances en géométrie aussi, je pouvais reprendre le projet que j'avais abandonné quinze ans plus tôt. J'ai lu les articles de Brandon Carter de 1966 et 1968, et le livre de Barrett O'Neill sur la géométrie de la métrique de Kerr. Je ne vais pas rentrer dans les détails techniques (en tout cas pas dans cette entréee-ci), mais après avoir affronté toutes sortes d'instabilités numériques affreuses, et d'erreurs dans les signes et dans les changements de coordonnées, j'ai produit un programme extrêmement robuste pour simuler les trajectoires autour, dans et à travers le trou noir. C'est à cette occasion que j'ai compris comment fonctionnait le système d'univers parallèles, et que pour passer de l'un à l'autre (pour faire fonctionner le trou de ver) il faut non pas jouer avec la singularité mais simplement franchir les horizons en sens inverse, car cela est bien possible. J'ai repris un peu les choses en 2009, parce que mon premier programme utilisait des coordonnées polaires qui étaient numériquement instables quand on passait trop près de l'axe, et j'ai pu corriger ce problème. Mais mon programme restait très laid, et je n'avais pas le courage d'en faire une version pour le raytracing.

J'ai encore une fois mis les choses au chaud. Et je les ai ressorties récemment pour faire enfin une version qui calcule des images. Après avoir passé tellement de temps à raconter l'historique de tout ceci, je n'ai plus le temps de décrire de quoi il s'agit au juste, donc ce sera pour une prochaine entrée, mais en attendant voici quand même une image d'un trou noir de Kerr :

(Il s'agit de deux images prises quasiment sur le plan équatorial, à une distance de 12.5 rayons de Schwarzschild, pour un trou noir de Kerr tournant à 80% de la maximalité, et zoomées à deux niveaux différents. La grille rouge correspond à une grille en longitude et latitude placée sur l'horizon externe, côté « trou blanc », dont on remarquera que les deux pôles sont simultanément visibles. Le vert correspond à l'horizon interne, mais il y en a en fait deux différents, visibles à gauche et à droite. La grille bleue est une grille polaire identique placée à assez grande distance du trou noir. Enfin, la toute petite tache violette à peine visible au centre de l'image est bordée par la singularité. J'en dirai plus une autre fois. Mais pour un vrai trou noir physique, on ne verrait bien sûr que du noir… à la place de tout le rouge et le vert.)

J'ai commencé à mettre une vidéo sur YouTube (vous la trouverez sans doute facilement), mais je me suis rendu compte que j'avais oublié de faire tourner les grilles sur les horizons, ce qui est navrant (un trou noir qui tourne mais qui ne tourne pas, c'est ridicule), donc il faut que je recalcule. J'en ferai donc la pub ultérieurement.

[#] Je passe sur les trous noirs chargés comme celui de Reissner-Nordström, parce qu'ils ne sont pas très réalistes physiquement, et parce qu'à mes yeux ajouter l'électromagnétisme dans l'histoire retire à la pureté de la relativité générale.

Beaucoup connaissent sans doute déjà le célèbre film scientifique Powers of Ten de Ray et Charles Eames, qui présente la taille relative des choses dans l'Univers, et des puissances de dix, par un zoom à travers le cosmos, entre un panorama qui englobe de nombreuses galaxies et l'intérieur d'un proton dans la peau d'un homme qui dort après un pique-nique à Chicago (ce pique-nique constituant la scène initiale du film, et le milieu du zoom). Sinon, je vous encourage à le voir (cf. aussi ici).

Je l'ai vu pour la première fois en 1984 au Ontario Science Centre (quand mes parents et moi habitions Toronto) — ce même musée des sciences dont je me plaignais il y a trois ans qu'il était devenu juste une attraction ludique pour gamins. Il y avait une petite salle où il passait en boucle, et mon père et moi (mon père surtout, mais moi aussi) en étions fans et nous l'avons vu de nombreuses fois.

Sauf que c'est un peu plus subtil : il y a deux versions du film. Celle que j'ai vue et revue en 1984, c'est la version de 1968, qui est en noir et blanc si je me rappelle bien. Plus tard, le Science Centre a changé et a mis la version de 1977, en couleur (je crois que je l'ai vue en 1988 quand nous sommes retournés à Toronto pour un été), et c'est cette version-là qu'on voit maintenant partout (y compris sur le lien vers YouTube que je donne plus haut). La différence notable entre la version de 1968 et son remake, c'est que la version ancienne, dans la partie du voyage des puissances de dix qui zoome vers l'extérieur et vers le cosmos, affichait les effets relativistes (le temps qui s'écoule pour le voyageur et le temps qui s'écoule sur Terre, notamment, au fur et à mesure que la vitesse s'approche de celle de la lumière). Cela a probablement été jugé trop difficile à comprendre et un peu hors sujet, et éliminé de la version suivante. Mais mon père aimait beaucoup mieux cette première version, et a été déçu quand le film a changé.

Toujours est-il que la version de 1968 est apparemment introuvable sur le Web. C'est dommage. Il y a cependant un DVD, trouvable sur Amazon (mais uniquement d'occasion), qui contient apparemment les deux versions : du moins si j'en crois un commentaire qui confirme mon souvenir à ce sujet :

The primary difference between the two versions is that in the first version, there is a side window kept running throughout the movie, which shows the effect of relativity on the time-keeping of ten seconds per order of magnitude of meters travelled. Around the time the "camera" pulls back from 10-to-the-13th to 10-to-the-14th meters, the subjective time-sense of the camera operator would start to be strongly affected by relativity, because the "camera" would start to be travelling at a significant fraction of the speed of light. Gradually, subjective and Earthly time-sense gets so far out of whack that ten seconds for the cameraman would be 100,000,000 years on Earth. This might have the effect of prompting the philosophically-inclined viewer to get the screaming meemies, but it's better not to sweat the phiosophical details too much. Just ride with it, baby. Anyway, evidently, the producers decided that the additional feature of the relativistic clock was too distracting, and they pulled it from the final version. Here in this video, we get to see both versions of the film, which is a pretty tremendous experience.

J'hésite un peu à l'acheter, mais bon, c'est quand même un peu cher (et généralement acheter un article d'occasion chez Amazon.com quand on n'habite pas aux États-Unis signifie passer par plein d'étapes très compliquées pour finalement s'entendre dire que ce n'est pas possible de livrer là où on est).

Les lecteurs de longue date de ce blog se rappellent que je m'étais acheté un pointeur laser vert il y a quelques années. Ces choses sont autrement plus fascinantes que les bêtes pointeurs laser rouges : à puissance égale, ils sont incomparablement plus brillants, on voit même la tache sur une surface ensoleillée, et la nuit le rayon lumineux lui-même est visible. Ce n'est pas seulement plus amusant : la luminosité en plus a vraiment son intérêt et quand il s'agit d'attirer l'attention d'un auditoire, le point vert ultra-brillant d'un laser de 532nm fonctionne beaucoup mieux que la tache d'un laser rouge.

Quelques mots de plus sur la différence entre les pointeurs laser verts et les rouges. D'abord, les pointeurs laser verts (en tout cas, ceux qu'on trouve de nos jours à des prix raisonnables un peu partout) ne sont pas des vrais lasers verts : ce sont des lasers infrarouge qu'on fait passer par un milieu non-linéaire pour doubler sa fréquence ; c'est même encore plus compliqué que ça (une diode laser AlGaAs de 808nm est utilisée pour pomper un deuxième milieu Nd:YAG ou Nd:YVO₄ qui lase à 1064nm, et c'est cette lumière-là dont la fréquence est doublée par un cristal KTP pour descendre à 532nm) : le résultat est qu'on perd pas mal en puissance et j'imagine en qualité optique, et que le dispositif peut chauffer (il ne faut pas laisser le laser allumé en permanence, sous peine de l'abîmer). Il y a des recherches en cours pour fabriquer une vraie diode laser verte, mais pour l'instant ça semble très difficile et exorbitant en prix. En tout état de cause, tous les pointeurs laser verts qu'on trouve dans le commerce sont d'une longueur d'onde de 532nm, soit un vert très légèrement bleuté, dont l'efficacité lumineuse est de 606lm/W, ce qui signifie qu'un laser de ≲5mW (la limite entre les classes IIIa et IIIb, donc ce qu'on vous vend habituellement) fait du 3lm, ce qui n'est pas énorme en soi (une ampoule à incandescence de 100W, le genre qu'on ne trouve plus en Europe, émet environ 1500lm), mais concentré dans une tache de peut-être 3mm² ça fait un éclairement d'autour de 1000000lx, soit quelque chose comme dix fois l'éclairement solaire direct en plein jour.

Les pointeurs laser rouges, eux, sont des vrais lasers : ils émettent une longueur d'onde entre 630nm et 680nm. Il doit exister plusieurs variantes, une à 635nm (probablement la plus chère), une à 645nm et une à 671nm, mais je ne suis pas très sûr de ces histoires ; il y a d'ailleurs des pages qui ne se mouillent pas et qui décrivent leur produit en donnant un intervalle assez large, probablement parce que le vendeur lui-même ne sait pas quelle est la longueur d'onde de son produit (s'il mérite le nom de laser, a priori, il n'y en a qu'une seule). Quoi qu'il en soit, dans cet intervalle-là, la longueur d'onde ne change quasiment pas la couleur qui sera perçue par l'œil humain, un rouge légèrement vineux : ce qui change énormément avec la longueur d'onde, c'est l'efficacité, entre 11lm/W et 190lm/W dans l'intervalle 630nm–680nm, comme quoi on a intérêt à chercher la longueur d'onde la plus faible possible pour faire un pointeur rouge assez brillant. Si j'en crois l'étiquette, le mien est à 650nm, c'est 76lm/W, donc 0.4lm pour ≲5mW, soit environ 8× moins brillant que le vert, ce qui semble coller au moins vaguement avec ce que j'observe.

J'ai bêtement perdu ce laser vert il y a trois semaines : je l'avais apporté pour faire passer les oraux (lors d'une présentation de TIPE, il y a un dialogue constant entre le candidat et les examinateurs, et il est très pratique de pouvoir désigner facilement un emplacement au tableau pour poser une question, signaler une erreur ou attirer l'attention pour toute autre raison), je l'ai bêtement laissé dans la salle où nous interrogions en pensant que, comme elle était fermée à clé, il n'y avait aucun risque, et pourtant il a disparu. C'est un peu contrariant vu qu'il avait coûté, quand même, une grosse centaine d'euros (et qu'indépendamment de ça je m'étais vaguement attaché à l'objet). J'ai dû finir les oraux au pointeur laser rouge (d'où la confirmation expérimentale de ce que je dis ci-dessus : c'est beaucoup moins efficace).

Je m'en suis racheté un (chez ThinkGeek parce que l'endroit où j'avais acheté le précédent traite un peu ses clients non-US comme de la merde), et j'ai profité de l'occasion pour acheter un pointeur laser violet, à 405nm (le laser des blu-ray, en fait), à l'extrémité de ce que l'œil humain peut percevoir (en-dessous de 390nm, on considère qu'on est dans l'ultra-violet). C'était un peu cher et il fallait des piles à la con (deux CR2), mais c'est très intéressant : certes, ce n'est vraiment pas très lumineux (l'efficacité à cette longueur d'onde est de 3.4lm/W — on voit qu'on est vraiment à la limite de la détection humaine —, donc mon laser doit faire dans les 0.015lm), mais d'une part la couleur est très belle (c'est le violet profond inimitable de ce qu'on voit des lampes à UV et des pétunias violets). Et d'autre part elle est assez loin dans le spectre pour causer la fluorescence de toutes sortes de choses (comme quoi il n'y a pas que les UV stricto sensu qui causent la fluorescence[#]) : notamment, quand on éclaire une feuille de papier blanc, ou un vêtement blanc (blanchi aux azurants optiques), la tâche passe du violet au bleu ; et j'imagine qu'éclairer un verre de Schweppes doit être intéressant aussi (le Schweppes fluoresce dans le bleu à cause de la quinine qu'il contient : c'est pour ça que le Gin&Tonic est populaire en boîte de nuit quand il y a des lampes à UV). Du coup, malgré sa faible luminosité, ce laser doit pouvoir fonctionner pas mal comme pointeur laser.

Il existe d'autres couleurs de pointeur laser : le bleu-vert de 473nm, par exemple, mais il est vraiment cher, ou même le le orange de 594nm, mais il n'est pas du tout donné non plus. J'attendrai que ça baisse en prix avant d'investir là-dedans.

[#] En fait, j'ai aussi observé de la fluorescence au laser vert : Quiès vend des petits bouchons pour oreilles en mousse de trois couleurs fluo (rouge, orange et vert), et les rouges et les orange, quand on les éclaire avec le laser vert, s'illuminent en jaune (ce n'est pas qu'un effet de rouge+vert=jaune, puisque si on éclaire n'importe quel autre objet rouge ou jaune avec le laser vert, il apparaît, fort logiquement, vert — il faut vraiment un effet non-linéaire pour faire naître une couleur différente à partir d'une lumière monochromatique).

On entend pas mal parler en ce moment des oscillations des neutrinos. Je trouve que c'est en général très mal expliqué, alors voici ma tentative pour vulgariser le phénomène. (Je précise que ce qui suit contient un certain nombre d'approximations scientifiques, dont je suis conscient, et par ailleurs je ne suis pas physicien mais mathématicien. Je pense néanmoins que ce n'est pas trop faux et que ce sera plus sérieux que ce qu'on trouve généralement comme vulgarisation scientifique dans la presse généraliste. )

Les neutrinos sont trois particules du modèle standard (cf. aussi ici) qui ont au moins deux particularités : (1) elles sont très légères, et (2) parmi les quatre forces fondamentales de la physique, elles ne ressentent que la force nucléaire faible et (très vraisemblablement) la gravitation, c'est-à-dire en particulier qu'elles n'ont pas de charge électrique ni de charge nucléaire forte (couleur) ; puisque la force nucléaire faible est, comme son nom l'indique, très faible, et la gravitation encore beaucoup beaucoup beaucoup plus faible (la raison pour laquelle nous l'observons dans notre vie est qu'elle s'accumule à l'échelle macroscopique contrairement aux autres forces qui ont plutôt tendance à se neutraliser), les neutrinos interagissent très peu avec le reste du monde. En fait, la Terre est bombardée en permanence de neutrinos venus du Soleil (quelques dizaines de milliers de milliards traversent chacun de nous chaque seconde), et la grande majorité se contentent de ressortir de l'autre côté sans avoir « vu » la Terre.

Néanmoins, de temps en temps, un neutrino interagit avec la matière, et on arrive parfois à le détecter (et à en déduire combien il y en avait puisqu'on sait quelle proportion subit ce sort). La réaction principale qui fait intervenir des neutrinos dans la physique pas trop exotique est la désintégration bêta−, qui transforme un neutron en proton avec émission d'un électron et d'un antineutrino (l'antiparticule du neutrino), ou ses différents avatars, par exemple un neutron qui capture un neutrino pour devenir un proton en émettant un électron ; dans le Soleil, les neutrinos sont produits par les réactions de fusion (comme le cycle de Bethe) lorsqu'un proton de noyau d'hydrogène est transformé en neutron de noyau d'hélium.

En fait, les choses sont un chouïa plus compliquées : il y a trois espèces de neutrino, et le neutrino dont il est question au paragraphe précédent (celui qui apparaît ou disparaît quand un proton se transforme en neutron ou vice versa) s'appelle neutrino de l'électron, parce qu'il est associé à des réactions avec un électron (dans une interaction, localement, le nombre total d'électrons plus neutrinos d'électrons, en comptant négativement les antiparticules, ne doit pas varier : donc si la réaction crée un électron, elle doit aussi absorber un neutrino de l'électron ou créer un antineutrino correspondant). Il existe aussi un neutrino du muon, et un neutrino du tau, le muon et le tau(on) étant quelque chose comme des versions lourdes de l'électron, ce genre de particules qui n'existent que dans les rayons cosmiques et les accélérateurs, pas la matière normale. Ces trois particules, le neutrino de l'électron, le neutrino du muon et le neutrino du tau, méritent d'être qualifiées de vecteurs propres des interactions faibles, car ce sont des particules définies par le fait qu'elles interagissent, via la force nucléaire faible, avec d'autres particules.

Jusqu'à il n'y a pas si longtemps, on pensait (ou on faisait semblant de penser) que les neutrinos n'avaient pas de masse : qu'ils se déplaçaient donc à la vitesse de la lumière. Seulement, le problème suivant se posait : on comprend assez bien les réactions nucléaires qui se produisent dans le Soleil, et on sait donc estimer le nombre de neutrinos que le Soleil doit produire. Comme je l'ai dit, ce sont des neutrinos de l'électron. On sait aussi assez mesurer le nombre de neutrinos qui nous atteignent, mais seulement les neutrinos de l'électron. Comme ces particules n'interagissent à peu près avec rien, on peut estimer le nombre de neutrinos qui nous arrivent à partir de celui que le Soleil doit produire. Problème : on trouve quelque chose entre le tiers et la moitié du nombre de neutrinos qu'on devrait trouver. Où sont passés les autres ?

L'explication donnée habituellement est que les neutrinos se sont transformés, des neutrinos de l'électron au départ sont devenus, à l'arrivée, des neutrinos du muon ou du tau ; après le trajet du Soleil à la Terre, les trois espèces se sont mélangées, si bien qu'environ un tiers seulement des neutrinos de l'électron sont restés des neutrinos de l'électron. Cette explication est juste, mais elle est trompeuse : elle donne l'impression qu'il s'est produit une interaction dans l'espace, ce qui n'est pas le cas ; et surtout, elle n'explique pas du tout pourquoi le fait que les neutrinos aient une masse a un rapport avec cette « oscillation ».

Une explication plus correcte serait la suivante : le neutrino de l'électron, neutrino du muon, et neutrino du tau, ne sont pas des vraies particules. Il faut que j'explique ce que je veux dire par là.

La théorie quantique des champs est lourdement basée sur l'algèbre linéaire : c'est-à-dire que les choses qui l'habitent (si on me permet d'agiter un peu les mains) peuvent faire l'objet de combinaisons linéaires, appelées superpositions quantiques : un phénomène popularisé par l'« expérience » du chat de Schrödinger, qui se trouverait dans un état superposé entre vivant et mort (quelque chose comme (vivant+mort)/√2). C'est aussi le cas des neutrinos.

Il faut imaginer que l'espace des neutrinos est un espace à trois dimensions. Ce que j'ai appelé neutrino de l'électron, neutrino du muon et neutrino du tau, ce sont trois directions (orthogonales) dans cet espace, c'est une base de cet espace au sens de l'algèbre linéaire, mais ce n'est pas forcément la meilleure base. C'est la base, pour ceux qui connaissent un peu d'algèbre linéaire, obtenue en diagonalisant l'interaction faible avec l'électron, le muon et le tau. Tant que les neutrinos n'ont pas de masse, il n'y a pas de raison de penser qu'une base serait meilleure qu'une autre.

Mais quand ils ont une masse, et surtout, quand ils ont trois masses différentes, alors il y a une autre base naturelle de trois particules : c'est la base des particules qui ont vraiment une masse (la base orthonormale qui diagonalise l'opérateur de masse) ; on va donc les appeler neutrino léger, neutrino moyen et neutrino lourd (façon de parler : même le plus lourd des trois est extrêmement léger), collectivement qualifiés de vecteurs propres de la masse. L'ennui, c'est qu'on ne connaît vraiment pas bien cette base, on ne connaît même pas les masses (=les valeurs propres) ; on sait seulement qu'elles (ou au moins deux d'entre elles) sont distinctes. Si les trois masses étaient identiques, il n'y aurait pas de directions privilégiées associées à la masse ; le fait qu'elles soient distinctes assure qu'il y en a. Et toute autre direction n'est pas une vraie particule, au sens où elle n'a pas vraiment de masse (de la même façon que le chat de Schrödinger n'a pas d'état vivant-ou-mort), il y a juste une combinaison quantique entre des particules de différentes masses.

En particulier, le neutrino de l'électron n'est pas une vraie particule : c'est une superposition quantique entre neutrino léger, neutrino moyen et neutrino lourd, probablement avec plus de neutrino léger dedans forcément un peu des trois ; idem pour le neutrino du muon et le neutrino du tau. Ou, pour dire les choses autrement, quand un neutron se désintègre en un proton, un électron et un antineutrino de l'électron, ce dernier est en fait une combinaison, une superposition quantique, de l'antineutrino léger, du moyen et du lourd — et si on pouvait observer directement sa masse, on trouverait dans la plupart des cas que c'est un léger, parfois que c'est un moyen et parfois que c'est un lourd (il y aurait réduction de la superposition quantique, comme quand on observe le chat de Schrödinger).

Maintenant, on n'observe pas les masses directement, donc il est plus pertinent de nommer les particules d'après les interactions faibles qui sont, après tout, la façon dont on les détecte. Mais alors, vous allez me dire, je n'ai toujours rien expliqué : si un neutrino de l'électron est superposition quantique de telle proportion du neutrino léger, telle proportion du moyen et telle proportion du lourd, pourquoi ne traverse-t-elle pas l'espace dans les mêmes proportions ? C'est que, tout de même, la masse a son importance : les neutrinos sont émis avec une énergie bien définie, mais leur quantité de mouvement (si vous ne savez pas ce que c'est, imaginez leur vitesse, qui est très très légèrement plus faible que celle de la lumière) dépend de leur masse ; donc ce que j'ai appelé neutrino de l'électron, est émis par le Soleil, et qui est une combinaison des neutrinos léger, moyen et lourd, se propage dans l'espace mais pas en bloc : le lourd va plus lentement que le moyen, qui va plus lentement que le léger ; ou, si vous voyez le neutrino comme une onde (ce qu'il est aussi), les trois ondes dans les trois directions de mon espace à trois dimensions représentant les neutrinos se déphasent lentement, et quand on arrive sur Terre, la direction de la somme a complètement changé — mon neutrino a « oscillé ». Pourtant, il n'y a eu aucune espèce d'interaction dans l'espace, juste trois particules qui se sont propagées à des vitesses très légèrement différentes.

Le même phénomène se produit avec les quarks, mais on le traite différemment : parmi les six quarks (down, up, strange, charm, beauty et truth[#]), on pourrait définir le down, strange et beauty (ce sont ceux qui ont une charge négative) d'après leur masse, et ensuite définir les quarks copain-du-down, copain-du-strange et copain-du-beauty comme ceux qui interagissent avec le down, strange et beauty par les interactions faibles (de façon analogue à neutrino de l'électron, neutrino du muon et neutrino du tau) ; seulement, ce ne sont pas des vraies particules au sens qui-ont-une-masse-bien-définie, et, les masses des quarks étant carrément plus élevées que celles des neutrinos, ça se voit vraiment. Donc on définit le up, le charm et le truth pour avoir une vraie masse, et du coup le copain-du-down, copain-du-strange et copain-du-beauty sont des combinaisons du up, du charm et du truth ; on peut mesurer expérimentalement ces combinaisons, et elles sont décrites par la matrice de Cabibbo-Kobayashi-Maskawa.

(Normalement, là, je devrais continuer en essayant d'expliquer pourquoi le fait qu'il y ait trois familles et pas juste deux est essentiel parce que c'est seulement à partir de trois familles qu'on voit que cette matrice, ou la matrice analogue pour les neutrinos et qui est encore très mal connue, matrice qui vit dans SU(3), peut avoir une composante essentiellement complexe, et que c'est cela qui explique la violation de la symétrie CP, et, peut-être, le fait qu'il y ait plus de matière que d'antimatière dans notre Univers. Mais j'avoue que ma logorrhée a atteint les limites de ma patience, donc je vais m'arrêter là.)

Puisque mes quelques dernières entrées étaient décidément dans le mode « métaphysique et science », j'en fais encore une :

La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l'universo), ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica. (La philosophie [c'est-à-dire : la physique] est écrite dans ce grand livre qui est continûment ouvert à nos yeux (je veux dire l'univers), mais on ne peut le comprendre que si d'abord on apprend à en comprendre la langue et à reconnaître les caractères dans lesquels il est écrit. Il est écrit en langue mathématique.) — Galileo Galilei, Il Saggiatore (1623), chap. VI

Voilà encore une question qui me fascine : pourquoi la physique fait-elle appel aux mathématiques ? Et les questions que cela sous-entend : est-ce un fait profond sur notre Univers (comme Galilée le suggère dans le passage que je cite ci-dessus), ou est-ce simplement lié à la façon dont nous comprenons la physique ? Est-ce un fait fondamental de la physique ou simplement lié à l'utilité des mathématiques pour comprendre n'importe quel phénomène émergent ? Pourquoi les autres sciences[#] n'utilisent-elles pas autant les mathématiques, ou pas de la même façon ou (pour reprendre la description un peu élitiste et provocatrice que Hardy fait dans l'Apologie d'un mathématicien) pas des mathématiques élégantes ? Est-ce parce que ces sciences sont plus complexes que la physique, trop pour être mathématisées ? Parce que nous ne les comprenons pas assez bien ? (Dans la vision comtéenne, elles n'auraient pas encore atteint le stade positiviste.) Ou parce qu'intrinsèquement elles ne se plient pas autant à l'analyse mathématique ? Parce que ce ne sont pas des sciences exactes ?

Et voici une question apparentée, et pas forcément plus facile : pourquoi la physique n'utilise-t-elle qu'un petit sous-ensemble des mathématiques, et celui-ci admet-il une description plus simple que la partie des mathématiques à laquelle la physique fait appel ?

Par exemple, la physique fait — au moins apparemment — abondamment appel à la notion de nombre réel. Le monde qui nous entoure a l'air de dépendre lourdement de la notion de nombre réel. Même ma maman a une idée de ce qu'est un nombre réel : pour le non-mathématicien, c'est un nombre à virgule, qui pourrait s'écrire en théorie avec une précision aussi grande que voulue (et plus on ajoute de décimales, plus on est précis). Toutes les grandeurs qui nous entourent, les tailles des objets, les durées dans le temps, les vitesses, les masses, les grandeurs électriques, etc., semblent mesurées par des nombres réels.

Pourtant, mathématiquement, il existe plein d'autres sortes de nombres sur lesquels on aurait pu imaginer a priori que la physique reposât. Les nombres p-adiques semblent le candidat le plus évident : les nombres p-adiques partagent beaucoup de propriétés en commun avec les nombres réels, il y a de très importantes et élégantes symétries entre eux (les nombres réels prenant essentiellement la place des nombres ∞-adiques, et je n'utilise pas le mot place au hasard). Mais, pour autant que je sache, les nombres p-adiques n'ont aucune application en physique (malgré des tentatives pour leur en donner, qui ressemblent plus à une volonté de les rechercher à tout prix qu'à une théorie basée sur l'expérience). Non seulement cela, mais même dans des sciences basées très indirectement sur la physique, les nombres p-adiques ne jouent aucun rôle alors que les nombres réels sont omniprésents : la somme d'argent présente sur mon compte en banque est peut-être un rationnel (de dénominateur divisant 100), mais il faut clairement le considérer comme un nombre réel et non comme un p-adique quel que soit p (par exemple, si c'était un 7-adique, il serait presque pareil d'avoir 403536.07€ sur son compte que d'avoir 0€ ce qui, de toute évidence, n'est pas le cas). Bizarrement, même l'informatique semble avoir très peu besoin de nombres 2-adiques alors qu'elle est intrinsèquement binaire (et les calculs avec débordements dans les nombres en représentation binaire sont exactement des calculs approchés dans les entiers 2-adiques).

Je peux imaginer plusieurs raisons pour lesquelles les nombres p-adiques ne semblent pas exister dans la nature, dont au moins les suivantes :

• C'est un fait de notre Univers : il ne faut pas chercher pourquoi, c'est juste comme ça.
• C'est un fait de notre Univers : il s'explique par un argument anthropique (on peut imaginer des Univers basés sur les p-adiques, mais ils ne peuvent jamais soutenir une forme de vie ou de conscience).
• C'est un fait mathématique : on ne peut pas construire de lois de la physique raisonnables (en un sens qu'il faudrait définir) sur les p-adiques.
• C'est un fait lié à l'observation de notre Univers : il existe des phénomènes décrits par des nombres p-adiques, mais on ne peut pas les observer à notre échelle.
• C'est un fait lié à notre situation dans l'Univers : il existe des phénomènes décrits par des nombres p-adiques, mais nous-mêmes « sommes » des phénomènes liés aux nombres réels, ce qui nous interdit de « voir » les phénomènes p-adiques.
• C'est un fait mathématique : les phénomènes fondamentaux de l'Univers ne sont liés ni aux réels ni aux p-adiques (par exemple, l'Univers pourrait être un énorme automate cellulaire à états discrets), mais les nombres réels sont plus adaptés pour décrire les phénomènes émergents liés à des lois de la physique fondamentales inobservées.
• C'est un fait lié à notre propre point de vue : les nombres p-adiques seraient tout autant adaptés que les nombres réels à décrire l'Univers, mais nous ne sommes pas habitués à ce point de vue, qui nécessiterait de tout revoir autrement.

J'avoue avoir énormément de mal à imaginer à quoi pourrait ressembler un univers où (disons) les 2-adiques joueraient un rôle important (et ce n'est pas faute de bien comprendre ce qu'est un nombre 2-adique, je pense). Il est donc aussi possible que la question soit aussi stupide que de demander pourquoi je ne vois jamais −42 moutons dans un pré, chose également difficile à imaginer. Mais je préfère prendre le risque de poser des questions stupides que celui de ne pas en poser d'intelligentes.

Les p-adiques ne sont qu'un exemple : pourquoi la physique n'utilise-t-elle jamais de nombres ordinaux ? (D'ailleurs, pour commencer, pourquoi les mathématiques en-dehors de la logique n'utilisent-elles quasiment jamais de nombres ordinaux ?) Utilise-t-elle E8 ou les tentatives de le voir apparaître sont-elles du wishful thinking ? Je ne sais pas si la physique gagne à se poser ce genre de questions, mais j'ai du mal à concevoir qu'on puisse ne pas se les poser.

[#] Enfin, ce n'est pas vrai : il y a une autre science qui utilise aussi lourdement les mathématiques, c'est l'informatique. Mais il y a quelque chose à dire sur le fait que si la physique est vraiment une branche à part car elle étudie le monde matériel, l'informatique, elle, est finalement une branche des mathématiques — celle que les mathématiciens sont trop snobs pour reconnaître comme telle. — Comme le disait éloquemment Dijkstra : Computer science is no more about computers than astronomy is about telescopes.

À part le fétichisme des sphères, je dois avouer ici aussi mon intérêt pour le porno de l'éléctricité de puissance (insérez ici une vidéo de Nicolas Tesla avec des yeux exorbités émettant un rire diabolique).

J'y pense parce que mon poussinet et moi avons passé un bon moment, en nous promenant tout à l'heure pas loin de chez mes parents, à admirer un poste électrique haute tension (peut-être de transformation 300kV→90kV). Mais il y a une chose que je regrette, c'est que si j'ai une idée générale de comment fonctionne le réseau électrique (j'avais d'ailleurs dû signaler par le passé ce document très intéressant), je suis incapable de dire à quoi servent chacun des éléments d'un tel poste. Pourquoi, par exemple, est-il utile de dresser des câbles aériens (longs de quelque chose comme 70m) alors que visiblement les courant qui arrive et repart est amené par des câbles souterrains ? Pourquoi voit-on (c'est assez clair sur la photo ci-contre, vers la droite) côte-à-côté des isolateurs verts (probablement en verre) et des isolateurs marrons, à quoi peut-il donc servir de mettre deux isolateurs en parallèle ? D'ailleurs, à quoi sert-il de mettre un isolateur qui ne sert pas à retenir mécaniquement un câble ? (Là, ils ont visiblement tiré des câbles qui descendent des câbles aériens vers un isolateur : je ne comprends pas à quoi ça peut servir.) Et à quoi servent les petits anneaux de métal qui entourent le sommet de certains isolateurs (mais uniquement la variante marron) ? Peut-être que ce ne sont pas des isolateurs : mais alors que sont-ce ?

Je n'ai aucune idée de comment je pourrais avoir la réponse à ce genre de question, c'est dommage.

Cette note est très mal écrite et je le sais : ça part dans tous les sens, je ne finis pas mes idées, il n'y a pas de fil directeur… Je la publie quand même telle quelle parce que je n'ai pas le temps (et plus l'envie) de la remanier et qu'elle est peut-être intéressante malgré tout, notamment par le peu de thermo que j'y raconte.

Je me plains régulièrement de la façon dont les gens manquent complètement du sens des ordres de grandeur. Par exemple en faisant des économies de bouts de chandelle tout en consentant à des dépenses pharaoniques à côté (et/ou en ne se rendant pas compte que le temps qu'ils perdent à faire ces économies de bouts de chandelle est beaucoup plus précieux que les économies réalisées). Ou, dans un ordre d'idées semblable, en affichant un comportement « écolo-responsable » (ou, bien pire, en faisant la morale à d'autres à ce sujet) sur des actions qui sont l'équivalent écologique de réparer un robinet fuyant goutte à goutte quand il y a une canalisation pétée à côté. Non, je ne suis pas du tout persuadé que d'éteindre un téléviseur plutôt que de laisser en veille soit un comportement préférable (il est possible que le téléviseur dure un peu moins longtemps, et que cete différence fasse plus qu'annuler le bénéfice ; mais, de toute façon, le problème est plutôt que ces mêmes personnes se voulant reponsables vont changer de téléviseur inutilement). Et, tant que j'y suis, si je suis d'accord avec l'idée générale de remplacer des ampoules incandescentes par des ampoules fluocompactes, LED, ou au moins halogène, le fait de les interdire dans toutes circonstances me semble d'une crétinerie sans nom (parce qu'il y a des cas où les incandescentes sont effectivement plus écologiques).

Mais dans le domaine de l'énergétique à portée écologique, ce qui m'énerve le plus, ce sont les gens qui n'arrivent pas à comprendre que : en hiver, si on chauffe chez soi avec des radiateurs électriques thermostatés, alors il est à peu près impossible de gaspiller de l'énergie. Je comprends que le concept d'énergie soit un peu compliqué pour le non-scientifique moyen, mais enfin, quand même, ceci ne devrait pas être si difficile à avaler : quasiment toute l'énergie électrique consommée (par une ampoule allumée, un ordinateur qui tourne en permanence, une plaque de cuisson qu'on aurait oubliée, que sais-je encore…) se retrouve forcément sous forme de chaleur dans la pièce et, tant qu'on n'en arrive pas à chauffer la pièce largement au-dessus du réglage du thermostat, ce sera exactement autant de moins que les radiateurs auront à fournir.

Oui, en hiver (si vous vous chauffez à l'électrique avec thermostat, je répète), vous pouvez allumer les lumières autant que vous voulez, vous ne consommerez pas d'électricité en plus — sauf dans la mesure où vous éclairez l'extérieur, mais de toute façon si vous êtes prêt à laisser les volets ouverts il est probable que la perte de chaleur de chauffage par ce côté-là noie complètement ce que pourrait représenter une perte de lumière. Et sauf dans la mesure où laisser une ampoule allumée l'use (mais je pense que c'est plutôt le fait de l'allumer ou de l'éteindre qui fait ça, donc il vaut mieux la laissée allumée en permanence). En fait, il suffirait qu'il y ait un effet subtil du genre « les éclairages tamisés donnent une impression psychologique de froid et incitent à augmenter un petit peu le chauffage » (je n'en sais rien, ce n'est qu'un exemple) pour qu'il devienne énergétiquement plus rentable d'éclairer vivement. Et de même, en hiver, il est probablement préférable, dans les locaux chauffés, de laisser les ordinateurs en fonctionnement permanent, parce qu'on ne dépense pas d'énergie en plus à les faire participer au chauffage, en revanche on évite l'usure des disques dus aux arrêts et redémarrages trop fréquents (or, recycler un disque dur, ce n'est pas complètement anodin).

La plupart des gens, quand j'essaie de leur expliquer ce qui précède (non, on est en hiver, ça ne sert à rien d'éteindre les lumières) ont une réaction qui ressemble à ceci : la lumière doit bien produire un peu de chaleur, mais ce n'est pas grand-chose par rapport à cette lumière gâchée. Il faut donc que je leur explique que, non, vraiment, la lumière ne peut pas être gâchée, l'énergie ne peut jamais être détruite, tout ce qui peut lui arriver de pire est de devenir de la chaleur. Si la chaleur produite par une ampoule leur semble faible, c'est simplement que l'énergie consommée par une ampoule est faible, justement, par rapport à celle consommée par un radiateur électrique, qui est phénoménale. Il faut essayer de prendre conscience à quel point faire tourner un radiateur est quelque chose de « thermodynamiquement criminel » : on prend de l'énergie sous forme quasiment totipotente (au sens où on peut en faire à peu près n'importe quoi qu'on puisse faire avec toute autre forme d'énergie) qu'est le courant électrique, et on la transforme purement et simplement en la forme la moins utile possible de l'énergie, la chaleur.

Voici ce que j'aimerais que tout le monde sache de thermodynamique (je suis conscient que c'est irréaliste) :

J'ai pris le cas d'un radiateur électrique, pour qu'on puisse clairement comparer les situations (l'énergie utile venant dans tous les cas de la même source), mais évidemment, il n'est pas moins « thermodynamiquement criminel » de faire brûler du fioul (ou n'importe quoi de ce genre) pour faire chauffer une pièce, que de faire tourner un radiateur électrique. Dans le cas de l'électricité, elle vient probablement d'un moteur à chaleur, que ce soit dans une centrale nucléaire ou à charbon, donc il y a quelque chose d'ironique à faire de la chaleur pour faire de l'électricité pour faire de la chaleur… le problème est qu'on ne peut pas transporter directement la chaleur, mais au moins avec une pompe à chaleur à l'autre bout, on rendrait la conversion non ridicule. Dans le cas d'un carburant fossile, on convertir directement de l'énergie chimique en chaleur, il est vrai qu'il est plus difficile d'en faire un usage direct, j'avoue que j'ignore si les hydrocarbures de la masse molaire de ceux qui constituent le fioul domestique ont un réel usage dans l'industrie chimique, mais il y a des problèmes écologiques à les brûler qui sont bien connus par ces temps de conférence de Copenhague qui courent. Et pour revenir à l'électricité, si on est prend le point de vue de l'écologie, il y a aussi la question de la répartition de la consommation dans le temps, bien sûr, puisque la part des différents modes de production change avec le temps : le principal conseil écologique que je donnerais, au lieu d'idioties sur les téléviseurs à mettre en veille, serait : coupez votre chauffage entre 17h30 et 20h, et faites-le tourner à fond entre 3h30 et 5h30 (si votre domicile est assez bien isolé pour retenir la chaleur — sinon, le premier point serait de le faire isoler…).

Un autre aspect concerne le thermostat, et le mécanisme de feedback rétroaction. Même si au niveau individuel ce mécanisme est très faible ou très bruité (par exemple s'il s'agit d'un radiateur non thermostaté automatiquement, et qu'un humain l'actionne manuellement selon son impression de chaud ou de froid), un petit effet de rétroaction existe toujours, et accumulé donc moyenné sur des millions et des millions de foyers il devient forcément sensible. (Je n'ai pas le temps de détailler ce point, et cette entrée est déjà assez longue comme ça, mais là où je veux en venir c'est que même quand il n'y a pas de vrai thermostat sur le radiateur le fait d'allumer une lampe quand on chauffe en hiver ne coûte pas vraiment au niveau consommation électrique.)

Les médias ont assez largement relayé un appel signé par des intellectuels[#] demandant que l'histoire-géographie ne soit pas reléguée au rôle de matière optionnelle en terminale scientifique (comme il est prévu de le faire dans une quarante-douzième réforme du lycée).

L'ironie de cet appel, bien sûr, c'est que la physique et la biologie sont depuis bien longtemps complètement absentes (même sous forme optionnelle, je crois) dans les terminales littéraires : les intellectuels dont on parle ne semblent pas s'en être beaucoup émus. Pas plus qu'ils ne semblent s'émouvoir de la disparition, parallèle, de l'enseignement obligatoire des mathématiques dans ces mêmes terminales littéraires.

Chacun prêche pour son clocher ? C'est surtout très caractéristique, je trouve, du mépris puant qu'ont pour les matières scientifiques cette catégorie d'intellectuels qui considèrent que les matières littéraires sont les matières nobles, celles qui forment le bon citoyen, alors que les matières scientifiques, malgré ou plutôt à cause de l'importance qui leur est donnée pour sélectionner les élites[#2], sont juste des techniques bonnes à servir les ingénieurs.

Qu'on juge un peu par les citations qu'on peut relever dans cet article : Quels citoyens voulons-nous pour demain ? (s'interrogent-ils) ; selon Madame Carrère d'Encausse, l'absence d'enseignement d'histoire-géographie dans aux terminales scientifiques les priverait de la culture générale la plus élémentaire qui forme l'entendement des citoyens ; le président de l'association des professeurs d'histoire-géographie déplore : Trop d'élèves seront privés d'un enseignement indispensable à leur culture générale. […] Dans une vision utilitariste de la société, tout enseignement qui ne débouche pas sur un métier concret est mal vu. Je souscrirais volontiers à la lamentation de cette dernière phrase, si le contexte ne rendait pas évident le dédain affiché, par contraste, pour les matières scientifiques : qui seraient utilitaristes, qui feraient moins partie de la culture générale la plus élémentaire[#3], qui ne formeraient pas autant l'entendement des citoyens.

Moi aussi je peux jouer à ce genre de phrases méprisantes pour montrer que ma matière elle est Vachement Importante :

Anyone who cannot cope with mathematics is not fully human. At best he is a tolerable subhuman who has learned to wear shoes, bathe, and not make messes in the house. — Robert A. Heinlein (Time Enough for Love)

Plus sérieusement, je suis d'accord que c'est bien dommage qu'on supprime l'enseignement obligatoire de l'histoire-géo en terminale scientifique. Néanmoins, s'il y a une chose que je reconnais, c'est mon ignorance en matière de pédagogie à ce niveau : je n'ai aucune idée sur la bonne façon de concevoir un système éducatif et un ensemble de programmes au niveau du lycée, et le problème de transformer des djeunz écervelés en citoyens responsables ressemble à la quadrature du cercle, alors je m'abstiendrai de donner des leçons et, en tout cas, je conçois très bien qu'il faille faire des compromis douloureux. Celui de ne pas avoir d'histoire-géo obligatoire en terminale scientifique est certainement douloureux, mais pas moins que celui de ne pas avoir depuis longtemps ni physique, ni biologie, dans les terminales littéraires : on semble avoir bien digéré ce dernier, donc on devrait peut-être avaler l'autre pilule avec la même tristesse résignée.

Ajout (2009-12-07T18:30+0100) : L'argument suivant me semble sensé : il est dommage que la filière S se spécialise trop vers les sciences, car actuellement la filière L est trop spécialisée vers les lettres et exclut complètement des débouchés scientifiques, donc ceux qui veulent se garder des portes ouvertes au niveau du bac peuvent encore faire S. Je n'ai pas vraiment d'avis sur le fond : il est peut-être dommage que la filière L soit trop spécialisée, ou peut-être au contraire que la S ne le soit pas assez, ou que les gens accordent trop de crédit aux matières scientifiques pour les débouchés ultérieurs — pour ma part, je n'en sais rien, mais l'argument est au moins recevable, je ne me prononce pas plus à son sujet. Je dis juste que la façon dont certains ont défendu l'enseignement de l'histoire-géographie en terminale S dans une pétition bien précise sont assez puants de mépris.

[#] Vous avez remarqué que, pour les journalistes français, un intellectuel, c'est un écrivain, un philosophe, un historien, un humaniste — mais certainement pas un chercheur en informatique !

[#2] Il va de soi que je trouve ça tout aussi stupide.

[#3] Je serais curieux, comme ça, de savoir si Mme Carrère d'Encausse a des idées, disons, sur le fonctionnement d'Internet, sur la taille de l'Univers, sur la composition d'une cellule eukaryote ou sur le principe du moteur à explosion, qui soient moins naïve que celles d'un élève moyen entrant en terminale scientifique sur la seconde guerre mondiale. Malheureusement, on n'apprend jamais la réponse à ce genre de questions.

Quand j'étais petit, j'ai essayé de comprendre la physique. (Et c'est pour ça que je suis devenu mathématicien. )

Il faudra que je raconte une autre fois comment j'ai appris un peu de physique classique — dans ce livre (destiné, je crois, aux étudiants américains en médecine). Et surtout comment je me suis jeté avec passion sur la relativité générale, comment je suis devenu mordu de trous noirs et que j'avais pour projet j'avais pour projet de réaliser un jeu informatique dont le but serait de contrôler un vaisseau au voisinage d'un trou noir en rotation. (Il s'est avéré que, vers 1990, les logiciels de calcul formel n'arrivaient pas à simplifier convenablement les symboles de Christoffel de l'espace-temps de Kerr, du coup c'était inextricable. Ce n'est finalement que l'an dernier que j'ai codé le programme d'intégration des géodésiques, et je n'ai plus trop envie d'en faire un jeu. Par contre, je garde dans un coin de ma tête l'idée de réaliser des vidéos de différents processus concernant un trou noir de Kerr, comme celle de ce que voit un observateur qui tombe librement et émerge dans un autre monde feuillet d'espace-temps différent.) Mais ceci est une autre histoire.

La physique des particules m'a fasciné très tôt. Notamment quand j'ai appris que les protons et les neutrons étaient formés chacun de trois petits machins appelés quarks ; et que ces quarks venaient en combinaisons de couleurs (trois possibles : rouge, vert et bleu) et saveurs (six possibles, up, down, strange, charm, beauty et truth[#] — enfin, à l'époque on n'en avait observé que cinq) ; et qu'en en mettant trois ensemble, dont nécessairement un de chaque couleur, on formait un baryon (à savoir up-up-down pour le proton, et up-down-down pour le neutron) : tout ça a éveillé ma curiosité, ne serait-ce que combinatoire, et j'ai voulu en savoir plus. Pendant longtemps, tous les deux ans, mon père m'a rapporté du labo une copie du nouveau Review of Particle Properties (à la fois en version pavé et en version livret[#2]) : au début, je ne lisais essentiellement que les listings de baryons et mésons, je voulais comprendre comment « fonctionnaient » ces machins fabriqués à partir de trois quarks ou d'un quark et d'un antiquark.

Rapidement j'ai compris qu'il y avait plus à comprendre que la combinatoire de choisissez trois saveurs de quarks parmi les six, et vous obtenez un baryon (ou une saveur et une anti-saveur pour un méson). Par exemple, le neutron est up-down-down, mais le Δ⁰ aussi, et ce ne sont pas du tout la même particule : il y a une différence de spin (mais je ne crois pas que je comprenais bien ce qu'était le spin, à l'époque), et aussi d'isospin (idem…), et accessoirement le Δ⁰ survit 160000000000000000000000000 fois (cent soixante millions de milliards de milliards, tout de même) moins longtemps que le neutron (mais je ne sais pas si je savais extraire cette information du Review of Particle Properties, parce qu'elle est cachée sous forme de largeur) et il a une masse 30% plus importante. Bref, dire up-down-down ne suffit pas. À l'inverse, je devais reconnaître qu'il n'existait pas trois neutrons différents, un dont le quark up serait rouge (les deux down étant vert et bleu), un dont le up serait vert et un dont il serait bleu : bon, là il était assez facile d'imaginer que les quarks échangeaient tout le temps leurs couleurs (tout en gardant un rouge, un vert et un bleu), ce qui n'est d'ailleurs pas trop faux, comme image. Autrement plus difficile à comprendre était la composition en quarks du méson π⁰ (le pion neutre) : ce n'est ni un quark up et un anti-quark (anti-)up, ni un down et un anti-down, mais une combinaison linéaire des deux (et selon qu'on fait la combinaison linéaire avec un + ou un −, on n'obtient pas la même particule : pour le pion, c'est − ; du coup, l'idée naïve que la paire quark-antiquark passe son temps à alterner entre up+anti-up et down+anti-down, elle est, justement, naïve).

⁂

Je suis devenu mathématicien et pas physicien. Donc certainement je n'ai pas de difficulté fondamentale — maintenant — à comprendre une combinaison linéaire, ou à saisir l'idée que quand deux opérateurs hermitiens ne commutent pas, on ne peut pas les diagonaliser simultanément[#3], et autres évidences mathématiques qui ont une grande importance en physique quantique. Pour autant, l'intuition ne vient pas forcément avec. Et même quand elle vient, la connexion entre le sens mathématique et le sens physique n'est pas facile à faire.

Je crois que je comprends maintenant assez bien les idées physiques de base de ce qui s'appelle collectivement le modèle standard de la théorie des particules (et qui décrit l'ensemble des particules élémentaires observées plus un encore hypothétique boson de Higgs, regroupées en interactions électrofaible et forte plus champs de matière), et je comprends comment tout un tas de ces choses s'organisent mathématiquement. Mais une brique essentielle me manque depuis toujours : je ne comprends pas du tout, malgré un assez grand nombre de tentatives pour y arriver, la théorie quantique des champs.

D'une certaine manière, c'est très excusable, parce qu'il y a effectivement beaucoup de difficultés mathématiques, parfois très profondes, pour définir rigoureusement la théorie quantique des champs (et certaines théories comme celle de l'électrodynamique quantique n'ont probablement pas de sens mathématique, tandis que d'autres comme la chromodynamique quantique, en ont probablement un mais c'est un problème à $1000000 de le définir rigoureusement). Mais en fait, ce que je ne comprends pas est beaucoup plus basique que les difficultés subtiles (l'apparition de quantités infinies à foison, dont il est difficile de se débarrasser proprement) auxquels je fais allusions. Je n'arrive pas à comprende les idées clés de la théorie quantique des champs. Ce qui est dommage, parce que c'est ce qui manque pour faire le lien entre des maths que je comprends et de la physique dont j'ai une petite idée (et qui me fascinait quand j'étais petit, et qui continue à me fasciner[#4]).

Assez récemment, je me suis acheté un livre assez monumental[#5] appelé Quantum Field Theory (I. Basics in Mathematics and Physics) par Eberhard Zeideler. Assez monumental, parce qu'il fait environ 1000 pages, que le volume II (que je n'ai pas encore acheté, mais je risque de le faire) en fait autant, et qu'il y a encore quatre volumes prévus derrière. Je crois que si j'avais la patience de digérer tout ça, je finirais par comprendre quelque chose à cette théorie, mais malheureusement, je manque de temps ! Tellement de choses à découvrir, tellement peu de temps à y consacrer… Je me console avec un livre au format beaucoup plus petit, les Lectures on Quantum Chromodynamics d'Andrei Smilga, qui sans éclaircir vraiment ce que je ne comprends pas fondamentalement dans la théorie quantique des champs, m'apprennent tout un tas de choses physiquement fascinantes sur les quarks et les gluons.

[#] Maintenant on est censé dire bottom et top pour beauty et truth, mais je trouve ces deux derniers termes à la fois beaucoup plus poétiques et beaucoup plus cohérents avec les autres (alors que bottom et top, ça invite vraiment à la confusion avec down et up, dont ils sort certes des analogues dans la 3^e famille). Et on peut même traduire les mots en français, parler de quark étrange, charmant, beau et vrai alors que distinguer les quarks top et up en traduction, c'est pas évident.

[#2] Le Review est une sorte de bottin des particules connues, avec une fiche signalétique pour chacune qui décrit toutes ses caractéristiques mesurées, et aussi plein de tables diverses qui récapitulent toutes sortes de choses importantes en physique des particules. Ça existe en version complète, qui représente un livre assez épais, en fait (et de plus en plus épais chaque année), et aussi en version livret de poche, pour avoir tout le temps sur soi des renseignements auss importants que la masse du muon ou la durée de vie du Ω⁻.

[#3] Remarque qui tombe un peu comme un cheveu sur la soupe, certes. Mais c'est important pour comprendre, par exemple, tous les mystères qui entourent les kaons neutres : les vecteurs propres d'étrangeté, d'interaction faible, ou d'invariance CP, sont à chaque fois deux vecteurs différemment orientés dans l'espace (de dimension 2) des kaons neutres.

[#4] Dans le genre de choses que je trouve complètement mind blowing, il y a le diagramme des phases de la chromodynamique quantique : cet article de vulgarisation (qui s'adresse cependant à des gens connaissant un peu de physique au préalable !) donne un petit aperçu de ce dont il s'agit (et de quel peut être le comportement étrange des quarks au cœur des étoiles superdenses).

[#5] Et par ailleurs très intéressant et localement très bien écrit (les explications sont très claires, et pour un matheux c'est vraiment parlant). Son principal défaut est d'être assez brouillon (il part dans tous les sens, et on finit par se perdre complètement dans son plan).

J'évoquais en passant dans une entrée précédente le fait que les plaques à induction ne créent pas d'ondes électromagnétiques mesurables parce que leur taille est beaucoup trop petite par rapport à la longueur d'une onde à 50Hz (soit 6000km), si bien que le champ électrique créé par le champ magnétique oscillant est très faible (par rapport à ce que serait le champ électrique d'une onde ayant même champ magnétique), et le champ magnétique induit par ce champ électrique est complètement insignifiant.

En fait, si ce raisonnement est assurément correct et que la conclusion l'est aussi, j'étais tout de même ignorant d'une chose importante pour les ordres de grandeur, c'est que la fréquence du courant utilisée est augmentée par rapport au courant du secteur : le champ magnétique d'une plaque à induction oscille à quelque chose comme 30kHz, pas les 50Hz du secteur (mais on est quand même loin des 2.5GHz d'un micro-ondes — la longueur d'onde pour 30kHz est quand même dans les 10km, donc la plaque est toujours trop petite pour en créer une).

Du coup, je me suis mis en demeure de trouver des ordres de grandeur raisonnables de toutes les grandeurs électromagnétiques qui interviennent dans le chauffage d'une casserole par induction, pour m'assurer qu'ils sont à peu près cohérents entre eux. Ce n'est pas évident de trouver des chiffres sur le Web, donc j'ai essayé de voir comment je pouvais mener des calculs sensés avec essentiellement aucune donnée. Voici ce que j'ai fini par rassembler comme estimations que j'espère raisonnables :

Côté casserole, si on a une casserole dont le fond pèse quelque chose comme 100g (imaginez quelque chose comme 15cm de diamètre et 0.7mm d'épaisseur, la masse volumique de l'acier étant de 8Mg/m³) et qu'on veut lui faire dissiper 700W (disons) par les courants induits, il faut une densité de puissance émise d'environ 60MW/m³, et comme cette densité de puissance vaut σE² dans un conducteur ohmique, avec une conductivité de σ=1.4MS/m pour l'acier, on cherche à produire un champ électrique E de l'ordre de 6V/m (en moyenne quadratique sur le temps et l'espace) ; et la densité de courant induite sera de l'ordre de 10MA/m².

Côté plaque (c'est-à-dire côté primaire si on voit la table à induction comme un transformateur[#]), il semble notamment que pour une puissance active dissipée (dans la casserole) d'environ 700W il y ait autour de 4 fois plus (donc dans les 3kVA) de puissance réactive absorbée dans la bobine d'induction. Ceci nous donne une idée des courants qui circulent (pour une plaque sur du 230V) : autour de I=12A (dont 3A actifs, le courant étant largement déwatté), et une impédance ressentie par la source de l'ordre de Z=20Ω (dont une partie résistive de 4Ω). Si la fréquence oscillante est de 30kHz, on peut en déduire que l'inductance qui produit le champ magnétique est de l'ordre de L=Z/ω=100µH. (Je vois que quelqu'un en vend sur le web avec une inductance cinq fois plus grande que ça — d'un autre côté, il la prévoit pour une fréquence trois fois plus petite, donc on va dire que mes ordres de grandeur ne sont pas absurdes.)

Une simple boucle de 15cm de diamètre de fil épais a une inductance de l'ordre de 100nH, donc l'inductance source doit avoir une trentaine de spires (l'inductance est quadratique dans le nombre de spires…) — ça colle avec cette photo. Ce qui signifie que le flux magnétique oscillant Φ=L·I/n qu'elle cause est de l'ordre de 40µWb, ce qui correspondrait à un champ magnétique B moyen typique de 2mT réparti sur 200cm². La force électromotrice induite par un flux de 40µWb oscillant à 30kHz est de l'ordre de 8V, donc sur une longueur de 50cm (le tour de la plaque) je trouve un champ électrique moyen de 15V/m. Comme le champ est plutôt plus important à la périphérie, c'est très cohérent avec les 6V/m moyens annoncés plus haut : je suis même surpris que mes ordres de grandeur (tous à prendre à un facteur 5 voire 10 près) tombent aussi bien, en fait.

Ce qui m'intéressait surtout était l'ordre de grandeur des champs électrique et magnétique intervenant : autour de 10V/m pour E et autour de 2mT pour B. (Pour comparaison, dans un micro-ondes à 2.5GHz, on doit avoir quelque chose comme 5000V/m pour E et 15µT pour B — le rapport entre les deux est fixé parce qu'il s'agit d'ondes.)

Il y a un autre point qui mérite d'être expliqué, comme je m'en suis rendu compte plus tard : comment se fait-il que le champ électrique induit par une plaque à induction, dont je viens d'expliquer qu'il est de l'ordre de 10V/m, suffise à dissiper d'énormes quantités de chaleur dans les métaux (ben tiens, c'est pour ça qu'on s'en sert !) alors que le champ électrique causé par un fil haute tension, qui est de l'ordre de 20kV/m (soit 2000 fois plus), lui, ne fait pas fondre instantanément tout métal ? Si j'en crois la loi d'Ohm, un métal dans un champ E=20kV/m devrait dissiper σE²=600TW/m³, soit la puissance d'une centrale nucléaire dans 10g de métal ou quelque chose comme ça : évidemment, ça ne se produit pas, tout simplement parce que le champ électrique est chassé des métaux, justement par cette conductivité — tenter de créer un champ électrique dans le métal produit un courant dedans qui accumule des charges aux bords du métal qui viennent pile-poil annuler le champ électrique. Alors pourquoi ce même phénomène n'empêche-t-il pas les plaques à induction de fonctionner ? Parce que la topologie du champ électrique n'est pas du tout la même : dans le cas d'une ligne haute tension, même si le champ oscille, c'est un champ électrostatique (l'espace entre le câble et le sol se comporte comme un condensateur), il provient d'un potentiel (c'est d'ailleurs comme ça que je l'ai calculé, en divisant 400kV de différence de potentiel par 20m de distance) et il est toujours dirigé vers les potentiels décroissants, mathématiquement il est irrotationnel — alors que dans le cas d'une table à induction, le champ électrique ne provient pas d'un potentiel (ou alors pas le même), il fait des boucles, et du courant peut circuler selon ces boucles, tournant éternellement en suivant le sens du champ électrique, sans jamais pouvoir accumuler des charges pour le compenser. Voilà pourquoi 20kV/m de champ électrostatique (donc irrotationnel) n'ont essentiellement aucune effet sauf allumer un malheureux Balisor® par-ci par-là, alors que 10V/m de champ électrique induit font bouillir l'eau dans la casserole.

[#] Pour fixer les idées : si un générateur alternatif de tension U alimente le primaire d'un transformateur dont le secondaire est relié à une résistance R, si on appelle L₁, L₂ et M respectivement la self-inductance du primaire, la self-inductance du secondaire et l'inductance mutuelle du primaire et du secondaire, dans le cas où le transformateur est parfait, M²=L₁·L₂, le secondaire voit une tension de (M/L₂)U = (L₁/M)U aux bornes de la résistance (et donc un courant de (M/L₂)U/R), et le secondaire voit un courant calculé comme si le transformateur alimentait une résistance (L₁/L₂)R en parallèle avec l'inductance L₁ : i.e., la puissance active est bien dissipée dans la résistance et la puissance réactive consommée ne dépend pas du secondaire. Pour les chiffres que je choisis pour la table à induction, dans le primaire on a U=230V et I=3A+j·12A, le transformateur vérifie L₁=100µH, L₂=100nH et M=3µH, et donc dans le secondaire on obtient une tension de 8V et une intensité de 100A à travers une résistance effective de la casserole de R=75mΩ. Les chiffres dans le secondaire ne veulent pas dire grand-chose en fait (je suis quand même surpris que le courant effectif ne soit pas plus important que ça : 10MA/m² dans un fond de casserole aux dimensions que j'ai données, ça devrait faire plus que ça). Toutefois, le fait d'utiliser ce circuit permet de se convaincre qu'on n'est pas en train d'oublier, par exemple, de tenir compte de l'induction créée par les courants dans la casserole (ils sont pris en compte, justement, par L₂).

Je me rappelle avoir été un jour à table en compagnie d'un groupe d'éminents physiciens (en physique fondamentale ou en astrophysique ; tous professeurs des universités ou chercheurs au CNRS, et au moins un membre de la Royal Society). Quelqu'un a lancé la question de savoir comment fonctionnait un micro-ondes et, plus spécifiquement, des choses comme pourquoi il ne faut pas le laisser tourner à vide (et d'ailleurs, si c'est vraiment le cas) et si sa consommation varie selon ce qu'on met dedans, ou encore comment on arrive à faire des emballages métalliques qu'on peut mettre au micro-ondes. Au bout d'une demi-heure de discussion acharnée pour savoir s'il se forme ou non des ondes stationnaires dans un micro-onde à vide, ou comment les courants de Foucault circulent dans un métal, tout le monde était surtout très embrouillé et, finalement, personne n'avait une idée très précise sur le modus operandi d'un micro-ondes.

La physique, c'est compliqué, parce qu'il peut y avoir plein de principes qui ont l'air de s'appliquer en même temps, et savoir ce qui est réellement important et ce qui ne fait qu'embrouiller les choses, ou encore quand deux façons de présenter un effet sont deux visions de la même chose ou quand ils doivent s'ajouter, tout cela demande le fameux sens physique dont les physiciens aiment clamer haut et fort (et pas forcément à tort) que les mathématiciens sont tristement dépourvus. (D'un autre côté, j'ai pris plus d'une fois un ami physicien à pipoter outrageusement sous couvert de ce sens physique.)

Un exemple : on sait bien qu'un champ magnétique qui varie dans le temps produit un champ électrique et qu'un champ électrique qui varie dans le temps (et pas seulement un courant) produit un champ magnétique, et que la combinaison de ces deux phénomènes (un champ magnétique qui varie sinusoïdalement, donnant naissance à un champ électrique — orthogonal — qui varie à son tour et donne à son tour naissance à un champ magnétique, etc.) constitue le phénomène d'onde électromagnétique ; j'en avais conclu que les plaques « à induction » sont essentiellement la même chose que l'émission d'une onde électromagnétique (un courant alternatif produit un champ magnétique alternatif, qui doit bien à son tour produire un champ électrique — non ?) et je me demandais pourquoi on n'avait pas besoin d'isoler ces plaques comme on isole les micro-ondes. La réponse, c'est que les plaques à induction ont une fréquence de 50Hz (le courant du secteur), comparée aux 2.5GHz (50 millions de fois plus) des micro-ondes : si le champ magnétique oscillant donne bien naissance à un champ électrique (qui produit des courants de Foucault dans les métaux, ce qui les chauffe), comme la table à induction est beaucoup plus petite que les 6000km de longueur d'onde d'une onde de 50Hz, ce champ électrique est beaucoup plus faible par rapport au champ magnétique initial que ce que serait le rapport entre les deux dans une onde (dans une onde le rapport des intensités quadratiques moyennes de E et B est fixé et vaut la vitesse de la lumière), et par conséquent le champ magnétique induit par ce champ électrique est, pour sa part, complètement négligeable. Bref, rien ne se propage. Il ne suffit pas de connaître les lois de Maxwell, il faut encore avoir le sens physique de voir ce qui va être grand devant quoi.

J'avais remarqué depuis longtemps ces petits lumières rouges (appelées Balisor®) qu'on voit sur les câbles à très haute tension et qui servent à éclairer la nuit pour avertir les avions de la présence de ces câbles. Mais comment fonctionnent-elles au juste ? C'est un peu mystérieux : si on regarde sans faire très attention, on a l'impression qu'elles sont juste reliées à deux endroits du même câble (séparés de quelques mètres). Comment peut-on tirer de la lumière d'un seul câble à très haute tension ?

Une première idée que je m'étais faite est que ce sont peut-être ce sont des lampes à très faible résistance, en série avec des câbles d'extrêmement bonne conductivité, de sorte que même en dérivation sur un pur câble elles arrivent à en tirer un peu de courant (quand le courant qui circule par le câble est énorme) ; mais ça ne marche pas : le courant qui circule dans des câbles très haute tension est certes important, mais pas gigantesque non plus (ça doit être de l'ordre de grandeur de 500A ou 1kA au maximum par câble, et plutôt quelque chose comme 200A dans une situation relativement tranquille), et leur résistance linéique est beaucoup trop faible pour qu'on puisse espérer tirer une fraction non négligeable en se mettant en dérivation sur un bout de câble.

Une autre idée était que le câble sur lequel se trouve la lampe n'est pas en contact avec le câble principal, mais qu'il est alimenté par courant induit : ça ne marche toujours pas — à quelques dizaines de centimètres d'un câble très haute tension, le champ magnétique n'est que d'une centaine de microteslas, et ça variant à 50Hz ça ne va pas produire une induction foudroyante (quelques millivolts à tout casser dans une boucle autour du câble), d'ailleurs de toute façon le câble portant la lampe n'est pas en boucle.

De toute façon, les idées qui partent de l'intensité du courant circulant dans le câble sont mauvaises — on ne veut pas que les lampes éclairent plus ou moins selon que le câble est plus ou moins utilisé (donc que le courant circule à une intensité plus ou moins grande).

Encore une autre idée (je dénonce mon père pour l'avoir eue, parce qu'elle est franchement fantaisiste) était que, la tension étant sinusoïdale, on puisse avoir une différence de potentielle entre deux points du même câble suffisante pour alimenter une lampe. Ça ne tient pas debout : d'une part la période complète pour un courant 50Hz est de 6000km, alors deux points séparés de quelques mètres, même sur une ligne à 400kV, ils ne vont pouvoir tirer qu'une fraction de volt entre eux et surtout, de toute façon, le câble alimentant la lampe va avoir exactement le même problème (ça marcherait peut-être si on mettait la lampe en parallèle d'une boucle de câble de quelques mètres qui pendouille, mais ce n'est pas ce qu'on fait).

En fait, à regarder de près, le dispositif est le suivant : un côté de la lampe est bien relié au câble. L'autre côté, en revanche, est relié à un fil parallèle au câble (que j'appellerai fil collecteur, faute d'un meilleur nom), long d'environ 4m, et maintenu à une trentaine de centimètres de lui. L'extrémité de ce fil collecteur n'est pas en contact électrique avec le câble (sinon, comme je l'ai expliqué, ça ne marcherait pas), il est maintenu physiquement en place par un isolant. L'explication qu'on donne est sommairement la suivante : le câble de 400kV, à une vingtaine de mètres au-dessus du sol, fait naître un champ électrique d'environ 20kV/m en moyenne entre ce câble et le sol ; le fil collecteur étant à quelque chose comme 30cm du câble, il doit être à 6000V de lui, donc on peut alimenter la lampe. Juste ? Il y a vaguement de ça, mais ce n'est toujours pas bon : si la tension était continue, le dispositif ne marcherait pas. Il faut considérer l'intervalle entre le câble et le fil collecteur comme un condensateur à air, et en courant continu il ne pourrait pas y circuler un courant (le condensateur se chargerait simplement, ce qui déplacerait les lignes de potentiel électrique). En fait, cette figure de 20kV/m de champ électrique est un peu trompeuse : quand on marche sous un câble très haute tension, on n'a pas 30kV de différence de potentiel entre les pieds et la tête ! En effet, on modifie les lignes de potentiel en étant présent dedans. La réalité est donc plus compliquée.

Il faut plutôt s'imaginer la chose suivante : l'air entre le câble à très haute tension et le sol forme un condensateur (ou plutôt une rangée de condensateurs en parallèle, tous reliant le sol et le câble, dont la capacité est de l'ordre de 1.2µF pour 100km de câble linéique si j'en crois les ordres de grandeur donnés à la page 188 de ce document[#]), donc pour 400kV à 50Hz il y a une centaine d'ampères par 100km qui fuient vers le sol[#2]. En plaçant le fil collecteur entre le câble et la terre, on met essentiellement la lampe en série avec ce condensateur sur la longueur du fil collecteur (soit quelque chose comme 4m, donc environ 50pF de capacité avec le sol si on suppose que toute la capacité de fuite passe par le fil collecteur, ce qui est sans doute un peu optimiste mais pas complètement déraisonnable à cause des effets de pointe) ; tant que la capacité entre le fil collecteur et le câble qui lui est parallèle reste assez petite[#3] pour avoir une impédance beaucoup plus grande que la résistance de la lampe, la liaison du collecteur au câble joue donc le rôle d'un générateur d'intensité dans la lampe, pour une valeur d'intensité égale à l'intensité de fuite sur la longueur du câble considérée (avec mes valeurs nominales, ça fait quelque chose comme 6mA : je suis étonné que ça suffise à alimenter une lampe d'une dizaine de candelas, mais il faut se rappeler qu'elle peut prendre une tension presque aussi grande qu'elle veut[#4] puisqu'elle est soumise à un générateur d'intensité).

En termes plus simples et peut-être moins précis, ce qui se passe est donc que le courant de fuite a lieu entre le fil collecteur et la terre plutôt qu'entre le câble et la terre (parce que le fil collecteur est en-dessous du câble duquel il pend), et ce faisant il passe par la lampe, qui s'éclaire !

Sinon, une question que je m'étais posée était : d'où vient l'asymétrie entre le câble et le sol ? On espère que mettre comme ça un fil collecteur à quelques centimètres du sol ne suffira pas à faire briller une lampe, sinon on s'inquiéterait beaucoup de marcher sous un câble très haute tension. De fait, ça ne suffira pas : l'asymétrie vient de ce que le câble est linéique et le sol est planaire ; pour se mettre en série dans la capacité avec le sol, il faudrait non pas un fil collecteur mais une plaque collectrice, recouvrant une bonne surface sous le câble très haute tension. Et on ne risque pas non plus de se faire électrocuter sous le câble, malgré le champ électrique important. (En fait, je pense qu'on ne sera pas non plus électrocuté si on se suspend au câble sans toucher la terre : comme on est nettement plus étroit que les fils collecteurs des Balisor®, le courant de fuite qui devrait nous traversait n'attendrait que quelques dizaines de microampères, pas assez pour électrocuter un humain. Après, il y a quand même le problème de l'éventuelle décharge initiale, qui semble être la raison pour laquelle ces gens-là prennent des précautions.)

[#] Document par ailleurs très intéressant et rempli de photos porno pour les amateurs d'électricité de puissance. On y apprend, par exemple, comment on s'arrange pour synchroniser les phases de tous les alternateurs et de tous les circuits électriques en Europe de l'Ouest ; et aussi comment ce synchronisme de phase fournit une réserve de puissance qui permet de répondre instantanément aux variations de consommation en attendant des mesures pour rétablir la fréquence à sa valeur nominale en agissant sur la production.

[#2] Enfin, ils ne fuient pas vraiment parce que d'une part ce n'est pas un vrai courant (c'est un courant de déplacement) et d'autre part c'est un courant réactif (= il est en quadrature de phase par rapport à la tension), donc il faut admettre que parler de courant de fuite est peut-être pédagogiquement désastreux.

[#3] Estimer cette capacité C_b (entre le câble et le fil collecteur) est d'ailleurs un peu coton : autant celle C entre le câble et la terre j'ai une source fiable, là je ne sais pas bien. Un argument est qu'elle serait environ 100 fois plus grande que C parce que le fil collecteur est environ 100 fois plus près du câble que la terre, mais je pense que c'est exagéré — notamment parce que le potentiel électrique créé par une charge linéique est en log, pas linéaire comme pour des plaques, donc je dirais plutôt que c'est le même ordre de grandeur, peut-être entre 100pF et 500pF. Quand bien même ce serait 1nF, ça veut dire que la lampe peut tirer, sur son courant imposé, une tension de quelques pour cent de la tension du câble au sol — bref, beaucoup.

[#4] Comme l'explique la note précédente, elle peut aller jusqu'à plusieurs kV, peut-être même des dizaines de kV, de tension. Donc, tirer plusieurs watts de puissance.

Un classique des cours élémentaires de probabilités : on a trois cartes de même forme, l'une ayant deux faces noires, la deuxième ayant une face noire et une rouge, la troisième ayant deux faces rouges. (Les trois cartes, et les deux faces d'une carte, sont indiscernables sauf par leur couleur.) On mélange les cartes sans les regarder, on en tire une au hasard et, toujours sans la regarder, on la pose sur la table (une face aléatoire étant visible, donc, l'autre étant cachée). On observe que la face visible est rouge (pour que ce soit bien clair : si ce n'est pas le cas, on recommence le mélange depuis le début, et on répète autant de fois que nécessaire jusqu'à ce que ça soit le cas). Quelle est la probabilité que la face opposée soit également rouge ?

Autrement dit, si on tire une carte et une face au hasard et qu'on sait que cette face est rouge, quelle est la probabilité que la carte tirée soit la carte rouge-rouge ?

La plupart des gens (enfin, ceux qui ont une réponse à la question) répondent 1/2 suivant le raisonnement suivant : la carte noire-noire est exclue, il ne reste que deux possibilités, la carte rouge-noire et la carte rouge-rouge, et comme tout ce qu'on sait est qu'il y a une face rouge, ces deux prossibilités sont équiprobables, donc la probabilité d'avoir affaire à la carte rouge-rouge est 1/2. Ce raisonnement est faux, parce que l'événement connu n'est pas la carte a une face rouge mais bien la face que j'ai tirée au hasard est rouge : la probabilité recherchée n'est pas 1/2.

L'avantage de cette présentation avec trois cartes (sur d'autres avec des jeux télévisés et des portes au trésor, ou variantes du même acabit) est qu'on peut facilement mener l'expérience soi-même, ce que le lecteur incrédule est donc invité à faire : prendre trois papiers symétriques et indiscernables au toucher, marquer l'un d'un signe noir sur chaque côté, le deuxième d'un rouge sur un côté et d'un noir sur l'autre, et le troisième d'un rouge sur chaque côté, mélanger les papiers dans le dos et en tirer un au hasard dont on regardera seulement un côté choisi au hasard — si ce côté n'est pas rouge, recommencer complètement le mélange des trois papiers — s'il est rouge, regarder l'autre côté et en noter la couleur pour faire des statistiques dessus ; au bout de quelque chose comme 100 couleurs enregistrées, on devrait s'apercevoir assez nettement que le rouge pour la face opposée est nettement plus probable, deux fois plus probable même, que le noir.

La bonne réponse est 2/3 (on s'en sera convaincu soit par l'expérience proposée ci-dessus, soit par un raisonnement correct, qui est de dire que sur les six faces tirables au hasard on en autorisé les trois rouges, et que deux d'entre elles ont une face rouge de l'autre côté).

Ce qui est étonnant, donc, c'est que si je sais la face que j'ai tirée est rouge alors j'ai deux chances sur trois d'avoir affaire à la carte rouge-rouge, et par symétrie, si je sais (seulement) l'autre face est rouge j'ai aussi deux chances sur trois d'avoir affaire à la carte rouge-rouge, en revanche si je sais l'une des deux faces est rouge (i.e., ma carte n'est pas la carte noire-noire), alors j'ai seulement une chance sur deux d'avoir affaire à la carte rouge-rouge (là aussi, on peut facilement faire l'expérience : si on rejette la carte noire-noire, on tombe une fois sur deux sur la carte noire-rouge et une fois sur deux sur la carte rouge-rouge, mais bon, c'est tout à fait évident).

Ce grand classique étant rappelé, je peux le voir à l'envers. Imaginons que je cherche à réaliser une carte à jouer dont chacune des deux faces puisse être soit noire soit rouge, de sorte que chacue face prise individuellement ait une chance sur deux d'être rouge et une chance sur deux d'être noire, et qu'au final la carte ait une chance sur trois d'être noire-noire, une chance sur trois d'être rouge-noire, et une chance sur trois d'etre rouge-rouge (au lieux de une chance sur deux d'être rouge-noire et une chance sur quatre pour chacun de rouge-rouge et noir-noir, ce qui arriverait si on tirait la couleur de chaque face aléatoirement et uniformément). D'après ce que je viens de dire, c'est facile : il suffit de choisir au hasard la couleur de la première face (rouge ou noir, une chance sur deux pour chaque couleur), puis choisir la couleur de la seconde face en lui donnant deux fois plus de chances d'être de la même couleur que la première face.

Ce procédé se généralise. Imaginons que j'aie à choisir 1000 nombres entre 1 et 2000 (pensez 1000 particules à mettre dans 2000 boîtes, ou quelque chose comme ça). Il y a trois façons très naturelles de faire le tirage (si, si, croyez-moi, elles sont naturelles et elles apparaissent à plein d'endroits en maths, en physique, ou même dans d'autres domaines comme la crypto) :

• première façon, que nous appellerons le tirage de Maxwell-Boltzmann (ou tirage avec remise) : je tire un premier nombre entre 1 et 2000 (uniformément, c'est-à-dire que chaque nombre a 1/2000 chance d'être tiré), puis j'en tire un second, indépendamment, selon le même procédé, et ainsi de suite jusqu'à avoir tiré 1000 nombres — au final j'ai bien mes 1000 nombres entre 1 et 2000, qui peuvent être égaux ou non ;
• deuxième façon, que nous appellerons le tirage de Fermi-Dirac (ou tirage sans remise) : je tire un premier nombre entre 1 et 2000 comme précédemment, puis j'en tire un second, mais le second n'a pas le droit d'être égal au premier (si le premier était 1729, le second doit avoir une probabilité nulle d'être égal à 1729, et 1/1999 d'être égal à n'importe quel autre des nombres ; une façon simpe de faire, bien entendu, est de retirer si on est tombé sur une case déjà occupée), et ainsi de suite (en excluant à chaque fois les nombres déjà tirés) jusqu'à avoir tiré 1000 nombres — au final, j'ai bien mes 1000 nombres entre 1 et 2000, et ils sont forcément tous distincts (le tirage de Fermi-Dirac ne permet évidemment pas de tirer plus de nombres que de cases) ;
• troisième façon, que nous appellerons le tirage de Bose-Einstein, et qui est en gros duale de celui de Fermi-Dirac (j'aurais envie de parler de tirage avec « anti-remise ») : je tire de nouveau le premier nombre entre 1 et 2000 uniformément, mais cette fois, pour tirer le second, au lieu que le nombre tiré pour le premier (1729 dans mon exemple) soit exclu, il est rendu deux fois plus probable, puis pour tirer le troisième nombre, chacun des deux déjà tirés est rendu deux fois plus probable (sauf s'ils sont égaux, auquel cas c'est trois fois plus probable), et ainsi de suite (un nombre déjà tiré k fois au cours des étapes précédentes a k+1 fois plus de chances d'être tiré qu'un nombre qui ne l'a jamais été).

Si vous n'aimez pas ma description du tirage de Bose-Einstein, il existe une autre façon de faire la même chose. Pour tirer 1000 nombres entre 1 et 2000 façon Bose-Einstein, je commence par tirer 1000 nombres entre 1 et 2999 façon Fermi-Dirac (donc tous distincts !), et je les trie par ordre croissant ; le plus petit nombre bosonique sera égal au plus petit nombre fermionique, le second nombre bosonique sera égal au deuxième plus petit fermionique moins un (il peut très bien être égal au précédent, du coup), le troisième nombre bosonique sera égal au troisième plus petit fermionique moins deux, et ainsi de suite jusqu'au plus grand nombre bosonique, qui sera égal au plus grand nombre fermionique moins 999.

Si vous voulez voir les choses différemment, vous avez une urne avec 2000 boules numérotées entre 1 et 2000. Dans le tirage de Maxwell-Boltzmann, vous tirez une boule au hasard, vous notez son numéro et vous la remettez dans l'urne, puis vous recommencez un tirage. Dans le tirage de Fermi-Dirac, vous tirez une boule au hasard et vous ne la remettez pas dans l'urne (donc tous les numéros tirés seront différents, évidemment, et on ne peut pas tirer plus de boules qu'il y en a dans l'urne). Dans le tirage de Bose-Einstein, c'est un peu étrange, dès qu'on tire une boule, non seulement on la remet dans l'urne, mais même on y ajoute encore une autre copie identique de la même boule.

Qu'est-ce que ces systèmes de tirage ont d'intéressant ?

Le tirage de Maxwell-Boltzmann est sans doute le plus naturel, mais supposons qu'on regarde juste la répartition des nombres tirés (c'est-à-dire non pas quel nombre a été tiré en premier, lequel en second, etc., mais plutôt combien de fois le nombre 1 a été tiré, combien de fois le 2, combien de fois le 3, etc.), cette répartition suit une distribution multinomiale (équilibrée), donc en moyenne si on tire k nombres parmi N, chaque nombre va être tiré k/N fois (dans mon exemple avec k=1000 et N=2000, cela va faire 1/2 fois), et il serait beaucoup plus improbable que, par exemple, le nombre 1729 fût choisi 2000 fois (et les 1999 autres nombres jamais) que, par exemple, chaque nombre impair fût choisi exactement une fois (je ne dis pas que ce serait très probable non plus que les nombres choisis fussent exactement les nombres pairs !, il y a environ une chance sur 3×10⁷³³ que ça arrive, mais ce serait tout de même 4×10²⁵⁶⁷ fois plus probable que d'avoir 2000 fois le nombre 1729, cette dernière occurrence ayant une probabilité de un sur 10³³⁰¹).

Le tirage de Fermi-Dirac, je n'ai pas grand-chose à en dire : il tire un sous-ensemble de k nombres (c'est-à-dire, tous distincts) parmi les N, et chacun des sous-ensembles possibles sont également probables (dans mon exemple de k=1000 et N=2000, il y a par exemple une chance sur 2×10⁶⁰⁰ de tirer exactement les nombres impairs). Dans le cas où le tirage de Maxwell-Boltzmann a le bon goût de tirer des nombres tous différents, il n'y a pas de différence avec un tirage de Fermi-Dirac (mais c'est une hypothèse audacieuse si k n'est pas petit par apport à √N : dans mon exemple de k=1000 et N=2000, il y a une chance sur 1.3×10¹³³ pour que les 1000 nombres tirés au hasard entre 1 et 2000 soient tous distincts).

Le tirage de Bose-Einstein, il a, lui, pour propriété que chacune des distributions de nombres est également probable. Donc, si vous tirez k=1000 nombres entre 1 et N=2000, vous avez exactement autant de chances (une chance sur 2×10⁸²⁷) d'avoir tiré 1000 fois le nombre 1729 que d'avoir tiré précisément tous les nombres impairs. Pour en revenir avec mes cartes, donc, si vous voulez avoir une chance sur trois d'avoir une carte noire-noire, une chance sur trois d'avoir une rouge-noire, et une chance sur trois d'avoir une rouge-rouge, vous tirez, de fait, les couleurs des deux faces de la carte selon un tirage de Bose-Einstein et nom de Maxwell-Boltzmann (d'où le « paradoxe » du début de cette entrée).

Par exemple, le tirage de Bose-Einstein pourrait être utile pour réaliser des QCM : si vous voulez donner à des étudiants un QCM avec 200 questions étiquetées A, B, C ou D, et que vous comptez noter le test en demandant juste combien de A, de B, de C et de D l'étudiant a choisi, on ne veut certainement pas tirer la permutation (donc la lettre correcte) à chaque question selon un tirage de Maxwell-Boltzmann (ce qui serait le plus naturel), sinon il serait trop tentant de répondre 50 réponses A, 50 B, 50 C et 50 D pour espérer ne pas être loin de la vérité — il faut tirer 200 lettres justes parmi {A,B,C,D} avec un tirage de Bose-Einstein, comme ça toutes les répartitions des décomptes des quatre lettres seront équiprobables.

Le rapport avec la physique, maintenant ? Si vous avez 2000 boîtes et que vous balancez 1000 particules distinctes/discernables dedans (en admettant qu'il existe 1000 particules discernables…), vous obtenez une distribution de Maxwell-Boltzmann (chaque particule, indépendamment des autres, va dans une des 2000 boîtes possibles). Par contre, si les particules sont identiques et interchangeables au sens de la mécanique quantique, cela dépend du type de particules : si ce sont des fermions comme des électrons ou des atomes d'hélium 3, alors on obtient un tirage de Fermi-Dirac (et en particulier, deux particules n'iront jamais dans la même boîte, cela s'appelle le principe d'exclusion de Pauli), tandis que si ce sont des bosons comme des photons ou des atomes d'hélium 4, alors on obtient un tirage de Bose-Einstein. Évidemment, mon explication avec des boîtes est foireux (une boîte est une mauvaise façon d'expliquer un état quantique), mais l'idée est là, et le phénomène physique est très important, la condensation de Bose-Einstein et la répulsion par phénomène d'exclusion de Pauli s'observant tous deux à l'échelle macroscopique (par exemple par la superfluidité de l'hélium 4 à basse température et par le fait que les naines blanches se soutiennent par pression de dégénérescence des électrons).

À l'épisode précédent j'avais écrit un programme de calendriers. J'ai rajouté quelques fonctionnalités à ce programme, dont la plus importante — mais je n'en parlerai pas plus ici — est une capacité très limitée à lire des fichiers iCal pour ajouter les événements contenus dedans directement sur le calendrier ; j'ai aussi un tout petit peu nettoyé le source et ajouté quelques commentaires, donc il est maintenant vaguement regardable (vous pouvez le télécharger ici, je rappelle).

La version précédente calculait déjà les phases de la Lune (la magie étant due à Astro::MoonPhase, pas à moi) : je me suis dit que ce serait une bonne idée, du coup, d'ajouter aussi les indications des saisons. Donc j'ai commencé par ajouter des formules (venues d'Emacs, qui lui-même les tire de Meeus, Astronomical Algorithms, 1991) pour indiquer le début du printemps, de l'été, de l'automne et de l'hiver (le programme les calcule à une ou deux minutes près, mais n'indique que le jour parce que je n'ai pas trouvé de façon commode de faire figurer l'heure sur le calendrier : c'est donc une réduction assez idiote, vu que le jour ne varie guère que de un ou deux ; mais peu importe). Puis je me suis demandé quel symbole utiliser pour figurer les saisons : je ne voulais pas écrire un mot entier pour des raisons de place et aussi de symétrie avec les phases de la Lune. Je me suis un peu gratté la tête et finalement la réponse m'est apparue de façon évidente : utiliser le signe du Bélier (♈) pour le printemps — ce qui est d'ailleurs assez standard —, celui du Cancer (♋) pour l'été, celui de la Balance (♎) pour l'automne et celui du Capricorne (♑) pour l'hiver. C'est d'autant plus séduisant que ces symboles sont, graphiquement, assez beaux à voir (du moins je trouve).

Forcément, ça donne un petit aspect astrologique au calendrier, et du coup vous devinez la suite : tant qu'à indiquer le début des quatre saisons avec les signes astrologiques qui leur correspondent, autant aller jusqu'au bout et indiquer les douze signes.

J'en profite pour prendre un peu la défense des astrologues. Pas pour leur vaste fumisterie qui est de prévoir l'avenir ou le caractère des gens ou que sais-je encore, avec la position des planètes, mais sur un point très précis concernant la précession des équinoxes. Parce que pour les astrologues, le début du Bélier, disons, c'est précisément l'équinoxe de printemps (pas seulement pour les astrologues, d'ailleurs : le premier point du Bélier, terme qui s'utilise plus en anglais qu'en français, c'est bien l'équinoxe de printemps), et les douze signes du zodiaque sont ensuite une division régulière de l'écliptique (c'est ainsi que le début du Cancer est le solstice d'été, le début de la Balance l'équinoxe d'automne et le début du Capricorne le solstice d'hiver). On se moque souvent des astrologues parce que quand ils disent que le Soleil est dans le Bélier ce n'est pas que le Soleil apparaît dans la constellation du Bélier : mais il faut se dire qu'on a juste choisi le nom de Bélier pour le premier douzième de l'écliptique à un moment où ça correspondait, effectivement, à cette constellation, que depuis les équinoxes ont précessé faisant que le premier point du Bélier (l'équinoxe de printemps, donc) est en fait dans la constellation astronomique des Poissons, mais qu'on a conservé les noms. Ce n'est pas grave : ce sont juste des noms arbitraires pour les douze douzièmes de l'écliptique, pas pour les constellations. (D'ailleurs, l'écliptique coupe treize constellations, pas douze, puisqu'il y a un bout du Serpentaire qui est dessus ; et les douze constellations qui restent ne sont certainement pas également réparties.) Ce n'est pas important, et c'est un reproche idiot à faire aux astrologues (alors qu'il y en a d'autres bien plus pertinent) que d'avoir fixé leurs signes par rapport aux équinoxes plutôt que par rapport aux étoiles fixes : ce n'est pas qu'ils sont ignorants de la précession des équinoxes (enfin, ils le sont peut-être, mais ce n'est pas une preuve), mais plutôt qu'il est raisonnable de considérer le début du signe par rapport à un événement vaguement significatif comme le début d'une saison.

Tout ça pour dire que les douze signes du zodiaque il faut les imaginer comme douze saisons : au lieu de diviser l'année en quatre parties égales (enfin, pas tout à fait égales en temps, mais égales sur l'écliptique), autant rendre hommage à cette tradition et emprunter ces jolis symboles et la diviser en douze (ne dites plus la fin du printemps, dites les Gémeaux). Et mon calendrier figure ces douze saisons à côté des phases de la Lune, des jours fériés français et de tout un tas d'indications geeks comme la date julienne ou diverses dates ISO. Le calendrier David Madore 2008 est ici (par contre, pour les illustrations avec des beaux messieurs nus, demandez ailleurs ).

(Si le blabla physique vous ennuie, vous pouvez toujours juste regarder les vidéos ! )

Je n'étais pas complètement content des vidéos signalées dans l'entrée précédente (commencez par lire celle-ci si ce n'est déjà fait…), alors j'en ai refait certaines et produit de nouvelles. Le problème concernait le dernier anneau : dans la description que je fais dans l'entrée précédente, le dernier anneau tourne autour d'un axe fixe (que j'avais oublié de figurer sur les vidéos, mais ceci est corrigé) ; que se passe-t-il si on le laisse totalement libre ? Cette nouvelle animation (de 25Mo durant 2′) montre un exemple ; je l'ai choisi tel que le moment cinétique total soit nul dans toutes les directions (et puisque le système est libre, c'est maintenant bien conservé) : je trouve que ça lui donne encore plus d'élégance (les anneaux se communiquent du moment cinétique les uns aux autres, mais à tout instant le total est nul). Pour cela, j'ai dû faire un nouveau programme, qui est bien plus clair que le précédent. J'espère voir prochainement un programme basé sur OpenGL qui permette de voir le mouvement en temps réel sans avoir à calculer une vidéo (en attendant, il y a celui-ci, basé sur la version précédente).

Comme mon nouveau programme le permettait (quitte à faire des changements assez simples), j'ai aussi produit cette animation-ci (seulement 3.3Mo, encore 2′), qui ne représente plus des anneaux mais un ellipsoïde en rotation libre (équations dites d'Euler-Poinsot pour le mouvement inertiel d'un objet rigide). Il s'agit d'illustrer un phénomène physique assez frappant : la polhodie. Regardez bien le mouvement du patatoïde, et suivez notamment les repères vert et mauve (j'ai mis ces six petits repères de couleur pour qu'on puisse mieux suivre le mouvement d'ensemble) : bien que le moment cinétique et l'énergie cinétique soit conservés, le mouvement est assez complexe et semble se « retourner » périodiquement.

En effet, chaque solide (rigide) a trois axes privilégiés orthogonaux (passant par le centre de gravité) autour duquel il peut tourner : les axes principaux d'inertie. Ce sont les trois directions (liées au solide) telles que, si on met le solide en rotation autour de l'une d'entre elles, il décrit un mouvement de rotation uniforme simple autour de l'axe en question. Dans le cas d'un ellipsoïde ou d'un parallélépipède rectangle, par exemple, les axes seront ce qu'on pense (les axes principaux de l'objet) ; en général, ce sera compliqué à déterminer. En fait, à chacun de ces trois axes est associé un moment d'inertie (qui décrit, donc, le moment de force qu'il faut appliquer pour faire augmenter la vitesse de rotation autour de cet axe) : la rotation autour de l'axe principal de grand ou de petit moment d'inertie est stable, c'est-à-dire que, si on la perturbe un petit peu, le mouvement va juste se fair autour d'un axe instantané qui lui-même se balade un peu (dans le repère du solide) autour de cet axe principal d'inertie. En revanche, la rotation autour de l'axe principal de moment d'inertie intermédiaire est instable, et c'est ce que montre mon animation : si on essaie de faire tourner l'objet autour d'un axe qui diffère un petit peu de l'axe principal intermédiaire, il va commencer par tourner autour de cet axe, puis s'en écarter de plus en plus par un mouvement vaguement en spirale, pour arriver à la direction opposée (dans le repère du solide !) à celle dont on était parti, puis revenir à l'axe de départ, etc. Il y a une très jolie explication géométrique à ça (basée sur l'intersection de l'ellipsoïde d'énergie constante et de la sphère de norme constante dans l'espace des moments angulaires), mais cette entrée de blog est trop courte pour la contenir. En tout cas, c'est un phénomène que je trouve intéressant, parce qu'on a souvent tendance à s'imaginer naïvement qu'un objet rigide, quand on le met en rotation purement inertielle va simplement tourner autour d'un axe fixe : cette vidéo illustre combien c'est faux. Je ne sais pas s'il y a des situations de la vie réelle où on voit ce phénomène se produire de façon vraiment nette.

J'ai aussi expérimenté avec les situations dans lesquelles les axes reliant les anneaux les uns aux autres ne sont pas consécutivement perpendiculaires, mais à 45° à chaque fois : ça donne ceci (21Mo pour 1′30″) pour un cas où l'anneau extérieur tourne librement autour d'un axe fixe (je démarre avec des vitesses angulaires relatives toutes égales), et ceci (19Mo pour encore 1′30″) qui illustre le fait que si on met en rotation un objet qui n'est pas complètement rigide, il risque de se déformer (d'accord, ça n'a rien de bien surprenant).

Je ne sais pas comment m'est venue l'idée de cet objet — qui a certainement déjà dû être réalisé physiquement — mais je le trouve particulièrement séduisant : il s'agit d'un nombre donné d'anneaux concentriques (en l'occurrence, cinq) pouvant tourner librement les uns dans les autres. Le dessin est probablement plus clair que tous les mots que je pourrais utiliser pour le décrire, mais voici tout de même une spécification plus précise : il s'agit d'anneaux circulaires concentriques, chacun relié à celui immédiatement à l'extérieur de lui par un axe passant par le centre des deux anneaux et autour duquel il tourne librement, et tels que, de plus, dans le plan de chaque anneau, l'axe qui le relie à l'anneau immédiatement extérieur[#] et l'axe qui le relie à l'anneau immédiatement intérieur sont perpendiculaires (s'ils étaient identiques, le problème n'aurait que peu d'intérêt physique !).

L'intérêt de ce dispositif est double : d'abord, c'est très joli à regarder, ensuite, c'est un problème de mécanique tout à fait amusant (et qui conduit à une dynamique chaotique, au moins empiriquement). Et entre les deux, c'est un exercice de programmation que de faire simuler le mouvement à un ordinateur, et c'est à ça que je me suis appliqué aujourd'hui.

Il en est sorti trois petits films que je trouve tout à fait envoûtants à regarder — et que voici : nº1 (on met en mouvement le premier et le quatrième anneaux), nº2 (on met en mouvement le quatrième et le cinquième anneaux) et nº3 (on met en mouvement le deuxième et très légèrement le premier). [Note : il s'agit là de fichiers AVI, d'environ 20Mo chacun[#2], et durant 1′30″, au format DivX;-). Utilisez par exemple VLC pour les lire.] Dès lors qu'on met en mouvement relatif des deux anneaux selon au moins deux directions différentes, des transferts de moment cinétique s'effectuent dans tous les sens, et le mouvement est très complexe (et, je suppose, chaotique à long terme).

Pour la modélisation numérique, j'ai choisi cinq anneaux dont les rayons sont en rapport 8:7:6:5:4, et pour le calcul des moments d'inertie j'ai décrété qu'ils étaient dans un matériau dont la masse linéique est partout constante (y compris sur les bouts d'axe qui relient chaque anneau au suivant, dont j'ai tenu compte). Pour obtenir les équations du mouvement, j'ai utilisé le formalisme lagrangien avec pour variables les cinq angles de liberté du mobile, et j'ai été stupéfait[#3] de voir à quel point un problème d'apparence si simple donnait des équations aussi impressionnantes de complexité (j'espérais voir une quelconque simplification, mais je n'en ai trouvé aucune) ; en fait, déjà le cas de deux anneaux (dont l'extérieur serait infiniment plus massif que l'intérieur, mettons) serait un problème de physique de prépa pas totalement évident. Pour résoudre numériquement ces équations, j'ai utilisé l'algorithme de Runge-Kutta à l'ordre 4, avec cinq pas de calcul par image tracée ; je vérifie que l'énergie cinétique reste constante, ce qui me permet de penser que je ne me suis pas trompé dans les calculs (chose qu'on peut d'ailleurs qualifier de miraculeuse). Si quelqu'un veut voir le source, qu'il ne se prive pas. Le programme est très lent (mais ce n'est évidemment rien par rapport au raytracing qui vient derrière, de toute façon), c'est entre autres parce que je n'ai pas fait le moindre effort pour éviter de recalculer des valeurs déjà calculées.

Je me demande si je devrais en faire un DVD ?

[#] Par ailleurs, on convient que l'anneau le plus extérieur tourne lui aussi autour d'un axe — complètement fixe, cette fois — et lui aussi perpendiculaire à l'axe qui le relie au deuxième anneau. M'imaginant à tort que la présence de cet axe zéro n'avait pas d'importance sur le problème (c'est-à-dire que je pensais que le mouvement serait le même si l'anneau le plus extérieur était complètement libre de tourner dans l'espace : or c'est faux, il y a bien des couples qui s'exercent là aussi), j'ai oublié de figurer cet axe zéro dans mes images (corrigé : voir l'entrée suivante).

[#2] Je devrais peut-être plutôt mettre ce genre de vidéos sur un site du style YourDailyMedia que les héberger moi-même. Si quelqu'un veut les y copier, qu'il n'hésite pas.

[#3] En fait, j'avais déjà réfléchi à ce problème il y a un peu plus d'un an, et je n'avais pas eu le courage d'aller jusqu'au bout des équations. Un de mes amis avait alors écrit un programme à sa façon, mais en utilisant la formulation newtonienne (principe fondamental de la dynamique) plutôt que lagrangienne de la mécanique : je trouve ça moins élégant, mais il est possible que, pour l'implémentation informatique, il ait fait le bon choix. Quoique, au final, une fois écrites, mes équations ne sont pas si terribles.

J'ai assisté ce midi à la fac d'Orsay à un « café-débat » consacré cette semaine à la fusion contrôlée et notamment au projet ITER. C'était très intéressant parce que d'une part la fusion est quelque chose qui m'intéresse beaucoup, et d'autre part les participants du débat étaient pour l'essentiel des physiciens (et même des gens proches de la physique des plasmas) donc le débat volait plutôt haut, scientifiquement parlant. L'exposant était Yves Pomeau (directeur du laboratoire de physique statistique de l'ENS et membre de l'Académie des sciences).

Je suis assez inquiet quant à l'avenir énergétique de l'humanité. Les énergies fossiles ne dureront pas longtemps (même si les réserves de pétrole ont l'air de s'étendre magiquement à mesure qu'on les consomme, on ne peut pas espérer que cela dure éternellement quand on est en train de consommer en des années ce que le carbonifère a mis des millions d'années à fabriquer). La fission — le nucléaire actuel, donc — me semble encore ce qu'on a de mieux (certes, elle produit des déchets radioactifs, mais finalement ils me semblent nettement moins dangereux écologiquement que la contribution à l'effet de serre des carburants fossiles ; je ne comprends pas pourquoi les écologistes dénigrent à ce point les centrales à fission, qui ne sont certes pas la panacée mais qui me paraissent un moindre mal comparées aux centrales thermiques). Les énergies dites renouvelables ne présentent pour le moment pas le moindre début de commencement d'espoir de pouvoir un jour servir à une échelle non infinitésimale (et il est faux qu'elles sont non polluantes : le photovoltaïque est très polluant à la fabrication des cellules qui, par ailleurs, s'usent rapidement, et les éoliennes dénaturent gravement le paysage et provoquent des nuisances lumineuses et sonores absolument non négligeables). Reste la fusion thermonucléaire contrôlée, ce dont il est question ici, mais dans le meilleur des cas elle ne sera pas disponible avant cinquante ans, et plus probablement cent (les mauvaises langues disent que cela fait cinquante ans que la fusion est pour dans cinquante ans : mais les cinquante ans étaient sous condition de subventions substantielles, qui jusqu'à présent n'ont pas été accordées).

Les scientifiques sont souvent méfiants vis-à-vis d'ITER, précisément parce qu'il coûte cher (quelque chose comme 20G€ — je veux dire vingt milliards d'euros ; ceci dit, ça ne doit pas être si énorme que ça comparé à des dépenses de l'industrie pharmaceutique) et on a peur que cela se fasse au détriment d'autres projets scientifiques. Reste que si c'est l'avenir énergétique de l'humanité qui est en jeu, cela me semble valoir un effort. Un autre problème, en revanche, qui a été souligné lors de ce débat, c'est qu'ITER ne se focalise que sur les difficultés de type « physique des plasmas », à l'exclusion de toutes autres considérations (notamment « physique des matériaux »).

Rappelons que le principe de la fusion thermonucléaire est de produire des plus gros atomes à partir de plus petits, en libérant de l'énergie au cours du processus (alors que la fission casse des atomes lourds en libérant de l'énergie). Les étoiles, le Soleil par exemple, réalisent la fusion de l'hydrogène (dans ce qui s'appelle le cycle de Bethe), mais il est question ici de la fusion d'isotopes de l'hydrogène, le deutérium et le tritium, qui se combinent pour donner un hélium et un neutron. (Telle quelle, la fusion des étoiles n'est pas utilisable comme source d'énergie sur Terre : il s'y produit de l'ordre de grandeur d'une réaction thermonucléaire par seconde et par litre de plasma, ce qui ne représente pas une source d'énergie suffisante pour être utile.) Pour se faire une idée des paramètres opérationnels, le plasma de deutérium et de tritium doit être porté à quelque chose comme 50MK (cinquante millions de degrés) ; dans le cas d'ITER, le tokamak (le tore dans lequel se déroule la fusion, et où le plasma est maintenu par confinement magnétique) a un volume de l'ordre de 1000m³, et il y a quelques kilos de plasma dedans. (J'espère avoir bien retenu ces quelques ordres de grandeur, qui m'ont semblé intéressants, de ce qui a été dit.)

Évidemment, maintenir confinés quelques kilos d'un plasma à cinquante millions de degrés, même dans 1000m³, ce n'est pas la chose la plus facile au monde. Il se produit notamment toutes sortes de problèmes d'instabilité dans le plasma. Rajoutons que les parois ne doivent pas se désagréger car des atomes lourds pollueraient le plasma et nuiraient à l'efficacité de la fusion, et qu'inversement le plasma ne doit surtout pas atteindre les parois (elles sont très fragiles et coûtent une fortune à remplacer). Le confinement magnétique est réalisé par des aimants supraconducteurs qui doivent être maintenus à une température proche du zéro absolu et baignent dans de l'hélium superfluide. Et pour couronner le tout, le tritium est un produit radioactif qui n'existe pas dans la nature, il faut le produire, vraisemblablement en bombardant du lithium avec des neutrons, lesquels sont produits par la réaction elle-même, mais cela signifie que les murs du réacteur doivent être parcourus par du lithium liquide, cela n'arrange pas les choses. Et enfin, il faut récupérer d'une façon ou d'une autre l'énergie produite par le réacteur. Bref, les difficultés ne manquent pas.

Il y en a certaines qu'on pense savoir résoudre, cependant. La stabilisation du plasma est un problème bien étudié, et qui ne devrait pas être insurmontable — c'est essentiellement cela qu'ITER est chargé d'étudier. La réalisation d'électro-aimants supraconducteurs capables de produire le champ confinant, mais aussi de résister mécaniquement aux forces de Lorentz exercées sur eux, devraitre difficile mais résoluble. La production du tritium à partir du lithium n'est pas trop difficile non plus (il y a des mécanismes pour multiplier les neutrons produits par la réaction et les faire absorber par le lithium), paraît-il, même si là des problèmes politiques peuvent se poser (le tritium entre dans la fabrication des armes nucléaires, et les Chinois, par exemple, ne veulent pas que les Japonais en aient — ou quelque chose de ce genre). Apparemment, on sait sans trop de mal capter l'énergie produite par le réacteur (sous forme de rayons X), au moins dans une certaine limite (on a avancé le chiffre de 20MW/m²). Il y a aussi des stratégies pour récupérer l'hélium produit par la réaction, ce genre de choses. D'après l'orateur, le principal problème, pour lequel on n'a encore aucune solution ni même idée de solution, est celui de la dégradation des parois par l'effet de l'impact des neutrons : ceux-ci détruisent les atomes et les transforment essentiellement en hélium, et les micro-bulles d'hélium ainsi formées dans la masse du matériau en altèrent gravement la solidité (or dans le cas d'un réacteur industriel il faudra compter de l'ordre de cinq ans sans remplacer les parois si on veut espérer qu'il soit rentable). Déjà pour les centrales à fission, les problèmes pour trouver les bons matériaux n'ont pas été minces, et les neutrons en question sont autour de cinquante fois moins énergétiques, et nettement moins nombreux, que ceux émis par un réacteur à fusion (qui tournent dans les 15MeV). Ce problème ne se pose pas pour ITER (qui n'aura pas un fonctionnement continu assez long pour observer une dégradation significative des parois), mais il faudra un jour le résoudre si on veut espérer produire effectivement de l'énergie par fusion.

Enfin, il y a la question des déchets. En principe, la fusion est propre, c'est-à-dire nettement plus que la fission : le principal produit radioactif est du tritium, qui est réutilisé par le réacteur lui-même, et l'ensemble des déchets est censé être des atomes légers à durée de vie courte ; le principal produit de la réaction est tout simplement de l'hélium. En pratique, cela est moins sûr, par exemple parce qu'il faudra peut-être utiliser un alliage lithium-plomb pour récupérer les neutrons.

Bref, tout cela est bien inquiétant quant à nos perspectives dans cette direction.

[English translation follows.]

Je voulais prendre la résolution de me coucher tôt, mais j'ai tout de même voulu rester voir l'éclipse, hier soir. Je ne l'ai pas regretté, parce qu'elle était très belle et très visible : la Lune était très haute dans le ciel puisqu'elle se produisait vers 1h du matin heure solaire (soit 2h heure légale d'hiver à Paris) et puisqu'on n'est plus si loin du solstice (de sorte que l'écliptique est haut dans le ciel la nuit), et par ailleurs la météo était très favorable (vers 2h du matin il n'y avait pas un nuage à proximité de la Lune).

Au début j'étais un peu déçu : un observateur inattentif aurait pu croire à un croissant de Lune (la partie cachée ne se voyait pas du tout, sans doute masquée par la partie non encore éclipsée et par la luminosité résiduelle du ciel à Paris). Sauf qu'évidemment d'une part un croissant de Lune aussi haut dans le ciel au milieu de la nuit ce n'est pas très plausible (ben oui, un croissant, ce n'est jamais loin du Soleil) et d'autre part le bord du croissant n'a pas du tout la même forme : finalement ça donnait un peu le vertige de voir cette petite écharde de Lune si haut dans le ciel. Alors que l'éclipse approchait la totalité, la Lune a joué avec de petits altocumulus et j'ai cru qu'elle allait disparaître complètement, mais ce sont les nuages qui sont partis. Finalement, la totalité a clairement montré un disque pâle d'éclairage indirect. Cela doit être très beau vu de là-haut, et l'éclairage si particulier ! N'ont-ils pas laissé une caméra sur l'astre pour pouvoir filmer une éclipse ?

Un certain nombre de gens dans les rues levaient la tête de temps en temps, soit qu'ils étaient déjà au courant de cette éclipse soit qu'ils la remarquaient au moment même (il est vrai qu'on regarde assez peu la Lune, mais la pleine Lune, tout de même, se voit bien, et à plus forte raison si elle est éclipsée). Quelqu'un m'a demandé, sur un ton presque agressif, qu'est-ce qu'ils ont, tout le monde, à regarder en l'air ? : je lui ai signalé l'éclipse, et il a répondu, ah, une éclipse ? solaire ? lunaire ? ; je me suis retenu de lui rétorquer que l'éclipse solaire avait lieu depuis un certain moment et que ça s'appelait la nuit, mais je lui ai montré la Lune en lui disant qu'elle était pleine et qu'on voyait bien qu'elle était éclipsée : ça ne l'a pas impressionné, et il est reparti en secouant la tête. Manifestement quelqu'un qui n'a pas le temps de regarder le ciel.

La dernière éclipse que je me rappelle nettement est celle, lunaire, du 2001-01-09 (9 janvier / 14 terminus 2001), parce que c'était le premier jour que j'allais à l'association HBO et nous avons regardé la Lune ensemble. Avant cela, il y avait eu une très rare éclipse totale de soleil visible en France, au nord de Paris, le 1999-08-11 (11 août / 29 claud 1999), que beaucoup de gens s'étaient déplacés pour voir ; j'étais pour ma part allé avec mes parents la voir du côté de Compiègne. Et puis j'ai un souvenir bizarre d'avoir vu une éclipse de Lune (probablement totale, sinon ça ne vaut pas la peine d'être vu) pendant mes vacances en Toscane à l'été '92 (fin juillet et/ou début août), mais je dois soit me tromper dans ce souvenir soit me tromper dans la date, parce que je ne trouve pas d'éclipse qui puisse correspondre. Il y a aussi une éclipse de Lune au commencement d'un chapitre important de mon roman La Larme du Destin.

On entend parfois des légendes selon lesquelles telle ou telle civilisation ancienne (les Égyptiens, les Mayas, que sais-je encore ?) arrivait à « prédire les éclipses ». Je n'en crois pas un mot. Ou en tout cas cela dépend ce qu'on entend par « prédire » les éclipses : il est certain qu'on a pu remarquer une certaine périodicité des phénomènes (notamment le « saros », dont je vais dire un mot), mais c'est autre chose d'arriver à prédire les choses exactement, et ne parlons pas de localiser une éclipse de soleil. La théorie sous-jacente nécessaire pour faire une prédiction n'existait pas avant Newton, ni les méthodes analytiques avant Laplace, et la première théorie sérieuse de la Lune est celle que Charles Delaunay publie à partir de 1860.

Sur le principe, les choses ne sont pas spécialement compliquées (encore faut-il les comprendre) : la Terre tourne autour du Soleil, et la Lune tourne autour de la Terre ; les phases de la Lune sont déterminées par l'angle, vu depuis la Terre, entre le Soleil et la Lune : dans cet ordre, nouvelle Lune quand la Lune a la même longitude écliptique (i.e. longitude mesurée sur le plan de l'orbite terrestre) que le Soleil, premier quartier quand la Lune est de 90° à l'ouest du Soleil, pleine Lune quand la Lune est à la longitude opposée de celle du Soleil, et dernier quartier quand la Lune est de 90° à l'est du Soleil. Les éclipses, elles, se produisent quand la Lune se glisse entre le Soleil et la Terre, l'assombrissant de son ombre (éclipse de Soleil, donc) ou quand la Terre se glisse entre le Soleil et la Lune, assombrissant cette dernière (éclipse de Lune, donc). D'une part cela veut dire que les éclipses de Soleil se produisent toujours à la nouvelle Lune et les éclipses de Lune à la pleine Lune (c'est une évidence, oui, mais je suis sûr qu'il y a plein de monde pour qui ce n'est pas clair ; en l'occurrence, on pourra noter que nous sommes pile à la moitié du Ramadan, et que sur le calendrier lunaire grégorien que j'ai ressuscité nous sommes le 15 du mois de novil), et d'autre part il faut expliquer pourquoi il n'y a pas une éclipse à chaque nouvelle et pleine Lune.

Pour aller (un peu) plus loin, il faut comprendre que le plan de l'orbite lunaire n'est pas le plan (appelé écliptique parce que c'est justement là que se produisent les éclipses) de l'orbite terrestre (ou, si on veut, de l'orbite apparente du Soleil vu depuis la Terre). Ces deux plans font un angle de 5°9′24″ l'un avec l'autre (l'inclinaison de l'orbite), et se rencontrent selon une droite appelée la ligne des nœuds lunaire(s). Si l'inclinaison était nulle, il y aurait deux éclipses par mois, une solaire à chaque nouvelle Lune et une lunaire à chaque pleine Lune. Mais en fait, à la nouvelle Lune, la Lune risque de se trouver jusqu'à 5° au-dessus ou en-dessous du Soleil (même si elle a la même longitude) : pour qu'il y ait éclipse, il faut que le Soleil et la Lune se trouvent non seulement à proximité l'un de l'autre en longitude mais en outre à proximité de la ligne des nœuds (de sorte que la Lune sera dans le même plan que le Soleil).

On appelle mois synodique la durée moyenne entre deux phases égales de la Lune, et il vaut environ 29.53059 jours solaires. (Ce n'est pas la période de révolution de la Lune autour de la Terre mesurée par rapport aux étoiles fixes, car en même temps que la Lune se déplace par rapport aux étoiles fixes, le Soleil se déplace aussi, dans la même direction, effectuant un tour en une année sidérale. Donc le temps mis par la Lune pour revenir à la même position par rapport aux étoiles, ou mois sidéral, est plus court que le temps mis pour revenir à la même position par rapport au soleil : le mois sidéral vaut, lui, 27.32166 jours ; et il y a précisément un mois sidéral par année sidérale de plus qu'il n'y a de mois synodiques, car si la Lune a fait douze tours et quelques par rapport au Soleil, elle en a fait treize et quelques par rapport aux étoiles vu que le Soleil lui-même a fait un tour.) Le parcours de la Lune n'est pas uniforme sur son orbite : la distance entre Terre et Lune n'est pas constante, et la Lune avance plus vite à proximité du point, appelé périgée, où elle est la plus proche de la Terre (c'est la troisième loi de Kepler, ou loi des aires) ; cela explique que les phases égales de la Lune ne soient pas systématiquement séparées de 29.53059 jours (en réalité il y a bien d'autres perturbations du mouvement de la Lune, mais l'ellipticité de l'orbite est de loin la plus importante).

Maintenant, la ligne des nœuds lunaire n'est fixe ni par rapport aux étoiles (« fixes ») ni par rapport à l'orbite lunaire, ni par rapport aux directions des saisons (les équinoxes, qui ne sont pas non plus fixes par rapport aux étoiles : c'est la précession des équinoxes correspondant à un mouvement de gyroscope de l'axe de rotation de la Terre) ; et le périgée lunaire n'est pas non plus fixe. Bref, tout bouge, et si on est comme moi incapable de « voir dans l'espace », on a du mal à se représenter les choses. Les phénomènes les plus importants sont : l'avance du périgée lunaire et la régression des nœuds. L'avance du périgée signifie que lorsque la Lune, partant du périgée, accomplit un tour par rapport aux étoiles fixes, elle ne revient pas tout à fait au périgée, mais elle doit encore tourner un petit peu avant d'y arriver : on appelle mois anomalistique (car l'anomalie d'une planète est sa position mesurée par rapport au périastre) le temps moyen séparant deux passages de la Lune au périgée, et l'avance du périgée se traduit par le fait qu'il est légèrement plus long que le mois sidéral : 27.55455 jours solaires. Encore plus important pour le calcul des éclipses est l'intervalle de temps séparant deux passages de la Lune sur la ligne des nœuds (dans la même direction), ou mois draconitique (le nom vient du fait que le nœud ascendant était appelé « tête du dragon » par les astrologues, car c'est un dragon qui dévore le soleil pendant les éclipses) : la régression du nœud signifie que le mois draconitique est, lui, plus court que le mois sidéral : il vaut 27.21222 jours solaires.

Au lieu de considérer le retour de la Lune sur une direction de la ligne des nœuds, on peut considérer celui du Soleil. Cela se produit après une année draconitique : un petit calcul montre qu'elle vaut donc 346.6201 jours solaires. Toutes les demi-années draconitiques, donc tous les 173.3100 jours (à des irrégularités près dans le mouvement de révolution de la Terre et dans celui du nœud lunaire), le Soleil se retrouve donc sur la ligne des nœuds lunaires, c'est-à-dire dans le plan de l'orbite de celle-ci. Cela détermine une « saison à éclipses », qui dure grossièrement un mois centré sur le passage du Soleil au nœud. Une nouvelle ou pleine Lune (collectivement on parle de syzygie) située à proximité de ce moment va donc normalement déterminer une éclipse : de façon générale, il y a au moins quatre éclipses par année draconitique, chaque passage du Soleil au nœud lunaire provoquant une éclipse à la syzygie précédant et à la syzygie suivant immédiatement ce passage, et parfois un peu plus (par exemple, si le passage du Soleil au nœud coïncide d'assez près avec une pleine lune, on peut penser que tant la nouvelle lune suivante que la précédente détermineront une éclipse de Soleil).

À titre d'exemple (à supposer que je ne me sois pas trompé dans mes calculs ni en recopiant les valeurs numériques pour les éléments des orbites planétaires, ce qui est fort douteux), le Soleil passe par la ligne des nœuds lunaires vers 2003-11-13T07:35Z (le 13 novembre / 19 novil 2003 à 7h35 temps universel), ce qui explique que la pleine Lune précédente et la nouvelle Lune suivante soient respectivement une éclipse de Lune (celle de cette nuit) et de Soleil (une éclipse totale le 23/24 novembre / 29/30 novil, visible essentiellement en Antarctique). Le prochain passage du Soleil par la ligne des nœuds se situe, une demi-année draconitique plus tard, vers 2004-05-01T04:13Z (le 1^er mai / 11 pouque 2004) et provoque une éclipse partielle de Soleil à la nouvelle lune précédente (le 19 avril / 28 ambre 2004) et une éclipse totale de Lune à la pleine lune suivante (le 4 mai / 14 pouque 2004). Et ainsi de suite. Plus la syzygie est proche du passage du soleil au nœud et plus l'éclipse sera complète.

Pour en savoir plus, et notamment si les différentes éclipses seront partielles ou totales, il faut évidemment mener les calculs détaillés — ce qui nécessite une théorie précise de la révolution de la Terre et de la Lune, et c'est en cela que j'affirme que les civilisations antiques, tout intéressées qu'elles étaient par ce problème, ne pouvaient pas arriver à un calcul précis. Même avec la bonne théorie, évidemment, les calculs étaient invraisemblablement complexes avant l'arrivée des ordinateurs (et encore maintenant ils sont hautement pénibles à programmer). Surtout si on souhaite obtenir une bonne estimation de l'emplacement sur la Terre de la trajectoire des éclipses de Soleil, car ce calcul-là demande en outre une théorie précise de la rotation de la Terre, ce qui est encore plus complexe que la révolution de la Lune.

Quelqu'un a été assez fou pour faire les calculs avant l'arrivée des ordinateurs : en 1887, Theodor Ritter von Oppolzer publie (de façon posthume) auprès de l'Académie impériale de Vienne le Kanon der Finsternisse (Canon des éclipses), un catalogue de plus de 13000 éclipses (8000 de Soleil et 5000 de Lune, mais il ne compte pas les éclipses lunaires uniquement par la pénombre) entre l'an 1207 avant l'ère commune et l'an 2161 de l'ère commune. L'éclipse de la nuit dernière porte ainsi le numéro 4963 (parmi les éclipses lunaires) dans le canon d'Oppolzer.

Cependant, même sans théorie fondamentale on peut observer certains phénomènes dans le déroulement des éclipses. Certes il n'est pas vrai qu'il y ait une périodicité complète : néanmoins il existe une coïncidence remarquable appelée le saros, qui était certainement connue dès la plus haute antiquité.

Un saros, c'est 223 mois lunaires synodiques, soit 6585.321 jours solaires. L'intérêt de cette période est qu'elle coïncide de très près d'une part avec 19 années draconitiques (6585.782 jours) ou avec 242 mois draconitiques (ce n'est là que deux aspects de la même coïncidence, bien sûr : si le Soleil revient près du nœud après 223 lunaisons, la Lune ne peut qu'en faire autant), et d'autre part avec 239 mois anomalistiques (6585.537 jours), et ce n'est pas loin non plus de 18 années anomalistiques (soit 18 passages de la Terre au périhélie). Toutes ces coïncidences font que, un saros plus tard, ou 18 années juliennes, 10 ou 11 jours (selon la configuration des années bissextiles pendant ces 18 années) et un tiers, on retrouve le Soleil, la Lune et la Terre dans la même configuration céleste sur les orbites (notamment, le nœud lunaire a effectué à peu près un tour complet par rapport à l'équinoxe, et le périhélie en a effectué deux dans le sens opposé) : les éclipses doivent donc se retrouver sensiblement identiques. On avance le chiffre de 71 éclipses (43 solaires et 28 lunaires sans compter les pénombrales) dans un saros. En réalité, le saros n'est évidemment pas parfait, et quand on les accumule, les conditions des éclipses changent progressivement, et de façon peu prévisible. Néanmoins, quand on voit une éclipse on peut généralement prédire que 18 années, 10 ou 11 jours et un tiers plus tard, ou plus tôt, il y en a une autre qui lui ressemble beaucoup. Par exemple, à l'éclipse de la nuit dernière, qui atteignait son maximum à 2003-11-09T01:19Z on peut trouver une grande sœur le 1985-10-28T17:42Z et une petite sœur le 2021-11-19T09:03Z, à la différence près que cette dernière n'est pas totale. Pour les éclipses de Soleil, comme le saros dépasse d'un tiers le nombre entier 6585 de jours solaires, on peut prédire que deux éclipses séparées par un saros auront lieu à des longitudes séparées d'environ 120° sur la surface de la Terre (ainsi, celle de 1999-08-11T11:03Z, éclipse totale visible en Europe, donne, un saros plus tard, 2017-08-21T18:25Z, une autre éclipse totale mais cette fois sur les États-Unis). Notons que (bien qu'ils vaillent l'un et l'autre quelque chose comme 19 ans) il ne faut pas confondre le saros et la durée du cycle de Méton (235 mois lunaires synodiques ou 19 années tropiques) : une éclipse après un saros n'a donc pas de raison de se retrouver le même jour sur le calendrier lunaire (parfois elle est décalée d'un mois).

L'équinoxe d'automne, c'est demain, mais l'heure à laquelle il se produit n'est pas entièrement claire : voici une copie d'un email que j'ai envoyé à Pierre Bretagnon de l'Institut de mécanique céleste et de calcul des ephémérides, et qui peut intéresser les astronomes de service—

Date: Sat, 20 Sep 2003 16:48:02 +0200
From: David Madore <davidmadoreensfr>
To: Pierre Bretagnon <pierreimccefr>
Subject: instant de l'équinoxe
Message-ID: <20030920164802.A14194@clipper.ens.fr>
User-Agent: Mutt/1.2.5.1i
Content-Length: 1913
Lines: 41

Bonjour,

Je me permets de vous contacter parce que j'ai vu votre nom associé à
plusieurs théories planétaires et de rotation de la Terre, donc vous
êtes sans doute la personne la plus compétente pour répondre à ma
question. Je précise que je suis pour ma part thésard en maths pures
(en géométrie algébrique) et intéressé par la mécanique céleste à
titre de hobby.

En une phrase, ma question est : quelle est la définition précise de
l'équinoxe (d'automne, en l'occurrence, parce que c'est celui qui
arrive dans trois jours) ?

Naïvement, j'aurais dit, c'est l'instant où le soleil vrai arrive à
l'ascension droite de 12 heures et déclinaison de 0 degrés mesurés par
rapport à l'équinoxe vrai de la date, ces deux événements étant
simultanés par définition du système de coordonnées. Mais j'ai
consulté le serveur d'éphémérides sur le site du Bureau des
Longitudes, et j'y apprends avec une petite dichotomie que le soleil
aura l'ascension droite de 12 heures mesurée par rapport à l'équinoxe
vrai de la date à 2003-09-23T10:46:45.10Z UTC tandis qu'il aura la
déclinaison nulle à 2003-09-23T10:47:11.12Z UTC. Cela fait une
différence de 26 secondes, ce qui n'est pas du tout négligeable. J'ai
pu croire à une imprécision des théories planétaires, mais la
différence entre VSOP et DE406 n'est que de 600 ou 700 millisecondes,
donc j'imagine que je peux attendre une précision en-dessous de la
seconde de temps pour le calcul de l'événement en question.

Donc : pourriez-vous m'expliquer à quoi est dû cet écart ? Et,
globalement, si vous deviez dater l'équinoxe à la seconde près, que
répondriez-vous ?

J'espère ne pas abuser de votre temps en vous demandant cela, et je
vous remercie d'avance de votre attention.

Bien cordialement,

--
David A. Madore
Mél: davidmadoreensfr ; WWW: http://www.eleves.ens.fr:8080/home/madore/
Tél: 0145883961 (Paris) / 0169281582 (parents) / 0699730449 (portable)

Voici une petite liste que j'avais compilée dans le temps, avec les réponses suite à des calculs que certains ont fait. (Inutile de vous prévenir que tout ceci est très hautement pipo, et rarement correct de mieux qu'un facteur dix, parfois bien pire.)

Combien de personnes sont en train d'avoir un orgasme à cet instant, sur l'ensemble de la Terre ?

Quelques dizaines de milliers, sans doute.

Et combien de personnes pensent à la Divine Comédie de Dante en ce moment ?

Encore plus difficile à estimer, mais sans doute pas loin du précédent.

Si on faisait un tas de toutes les dents de tous les êtres humains depuis que l'humanité existe (disons depuis l'Homo erectus, si ça importe), quelle taille ferait-il ?

Guère plus d'une centaine de mètres.

Combien de garçons homosexuels blonds aux yeux bleus sont nés le 3 août 1976 (dans le monde) ?

À peu près une centaine, peut-être un peu plus.

Combien pèsent toutes les fourmis de la Terre ?

Probablement moins que tous les hommes réunis, ou à peu près autant, ce qui m'a surpris (j'aurais cru beaucoup plus). Soit quelques centaines de millions de tonnes. Les vers de terre doivent peser autrement plus lourd.

Quelle proportion de l'humanité née jusqu'à maintenant est actuellement vivante ?

4% ou assez près.

Si on serrait tous les hommes pour en faire une foule assez compacte, quelle place prendraient-ils ?

Deux ou trois milliers de kilomètres carrés (soit deux ou trois centaines de milliers d'hectares), ou encore un disque d'une cinquantaine de kilomètres de diamètre.

Combien y a-t-il d'atomes d'uranium dans mon corps en ce moment ?

Autour d'une dizaine ou une vingtaine de milliers de billions (i.e., 10¹⁶). Ce qui ne doit faire qu'à peu près une désintégration toutes les dix secondes.

Quelle masse de TNT faudrait-il faire exploser pour égaler la quantité d'énergie libérée par une supernova typique (de type II) ?

Un milliard de masses solaires. Ce qui représente aussi l'équivalent en énergie de vingt mille fois la masse de la Terre (avec une conversion totale). Ou cent fois l'énergie totale rayonnée par le soleil au cours de sa vie.