Méta : Ça fait longtemps que je
n'ai rien posté ici, principalement parce que j'ai commencé à écrire
deux entrées que j'ai envoyées dans les limbes (dois-je
dire purgatoire
?) dont elles ne ressortiront peut-être jamais
(enfer
?). L'une était censée être consacrée à la question de
l'indiscernabilité en mathématiques (quand doit-on dire que deux
objets mathématiques sont « le même » ?), notamment motivée par le
fait que mon co-auteur du moment m'a reproché d'avoir écrit la
clôture algébrique alors que j'aurais dû écrire une
clôture
algébrique, celle-ci étant unique à isomorphisme non-unique près, mais
je lui ai fait remarquer que lui-même disait le
(et
pas un
) corps des nombres complexes ; j'ai arrêté d'écrire
cette entrée parce que l'exemple que je commençais à développer ne
satisfaisait pas mon sens de l'esthétique, et aussi parce que j'ai
l'impression que si on réfléchit trop à cette question les
mathématiques vont disparaître dans un
pouf de logique. L'autre entrée était consacrée à une analyse de
la crise Ukrainienne, chose pour quoi je ne suis pas spécialement
{euphémisme} qualifié, mais il s'agissait en même temps d'une
réflexion et d'un exercice pratique sur ce que l'« impartialité » peut
signifier — l'ennui étant que je me suis rendu compte après en avoir
déjà écrit des tartines que l'effort de me renseigner et de chercher à
écouter les points de vue les plus divers était peut-être plus
important que ma motivation dans l'histoire (d'autant que chaque jour
je devais réécrire un bon bout du post vu que la situation avait
changé depuis la veille). Bref, vous savez ce que je n'ai pas écrit,
j'en viens maintenant au sujet du jour.
Il y a quelques années j'avais réalisé un rêve de gamin en calculant toutes sortes de vidéos de trous noirs en rotation, histoire de savoir l'effet que ça peut bien faire de traverser un trou de ver (choses qu'apparemment personne n'avait calculé avant moi au moins pour le trou noir de Kerr). J'ai plus tard profité d'un jour que mes parents l'avaient invité à déjeuner pour montrer ces vidéos à Brandon Carter, à qui on doit la description de la structure complète de l'espace-temps de Kerr (et notamment de son trou de ver), et il faut dire qu'il n'a pas été très impressionné. Essentiellement parce que j'avais calculé des vidéos « de matheux » (voyant le trou noir comme une abstraction mathématique, un objet géométrique vu que je suis géomètre, je n'ai notamment pas hésité à dessiner des bandes sur ses horizons ce qui est évidemment une pure vue de l'esprit). Alors qu'il aurait, lui, voulu voir des vidéos « de physicien » montrant ce qu'on verrait vraiment si on tombait dans un trou noir en rotation avec un disque d'accrétion autour, en tenant compte des effets comme le redshift. Je pense que les deux points de vue se défendent : ma vidéo géométrique permet de comprendre un peu comment est foutu la géométrie de l'espace-temps de Kerr, alors qu'une vidéo physique montrerait probablement que « on n'y voit rien », mais évidemment elle a beaucoup plus de sens physique.
Je n'ai pas eu la patience de faire la vidéo que Brandon Carter m'a demandée (et je ne crois pas que je l'aurai jamais ; mais si quelqu'un est plus motivé, il peut partir du programme que j'ai écrit, et qui est largement commenté, pour essayer de remplir ce qui manque). Mais à défaut de ça, je viens quand même de calculer quelque chose de (beaucoup) plus simple, c'est le genre de choses qu'on verrait si on accélérait jusqu'à une vitesse proche de celle de la lumière — en tenant compte, cette fois-ci, de l'effet Doppler sur la lumière (une des difficultés, et c'est d'ailleurs la raison pour laquelle à peu près toutes les vidéos de ce genre que vous verrez en ligne sont fausses, est que l'effet Doppler ne peut pas se calculer sur la valeur RGB des couleurs, il faut faire une hypothèse sur le spectre complet).
Petit effet zahir amusant. Mon poussinet et moi sommes ces jours-ci en train de regarder la série Cosmos. Pas le remake par Neil deGrasse Tyson qui passe en ce moment sur la National Geographic Channel mais la série d'origine par Carl Sagan. Dont le livre dérivé, qui m'avait été offert par mon grand-père quand j'étais petit, a joué de façon sans doute non négligeable dans ma vocation scientifique, et je le recommande vivement, ne serait-ce que pour les très jolies vues d'artistes qui l'illustrent. Bref, cette série est (pour le moment) disponible sur YouTube : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 ; je constate d'ailleurs qu'elle n'a pas trop mal vieilli. Bref, juste au moment où j'ai calculé les première versions de la vidéo ci-dessous, nous sommes arrivés à l'épisode 8 (Journeys in Space and Time) où Sagan vulgarise un peu la théorie de la relativité et décrit les effets qu'on voit dans la vidéo ci-dessous, en les illustrant, faute de moyen informatique pour faire le calcul précisément, par un petit montage optique approximatif.
Quoi qu'il en soit, voici la vidéo que j'ai calculée (lien YouTube) :
[Ajout () : suite à une demande en commentaire, voici une vidéo différente qui représente aussi ce qu'on voit sur le côté et vers l'arrière.]
Et je recopie en la traduisant la description que j'en ai faite sur YouTube :
Une simulation d'une accélération uniforme qui atteint 99.93% de la vitesse de la lumière en 1′40″, incluant l'effet Doppler, l'aberration de la lumière, et la dilatation du temps.
L'observateur se déplace sur une droite, à mi-chemin entre deux plans infinis « fixes » pavés de carreaux, et il accélère constamment à 0.04c/s = 11992km/s² (ou 1.2 millions de g : ceci est la force inertielle ressentie par l'observateur).
Le « sol » sous l'observateur se compose de dalles carrées, de 5 secondes-lumière de côté (1.5 millions de km, soit 0.01 unités astronomiques, ou un peu moins de 4 fois la distance Terre-Lune). Il est 1.25 secondes-lumière « sous » l'observateur. Les bords des dalles sont des droites parfaites : ils émettent de la lumière avec un spectre de corps noir à 6500K (approximativement la couleur de la surface du soleil), tandis que la partie centrale des dalles correspond à 3250K (« marron » ; le rapport des luminosités est aussi 16, comme pour les corps noirs correspondants).
Le « plafond » au-dessus de l'observateur se compose de dalles carrées de la même taille (les bords en sont plus minces, mais la période vaut toujours 5 secondes-lumière). Contrairement à celles du sol, elles émettent une lumière monochromatique, d'une longueur d'onde d'environ 635nm (la couleur typique d'un pointeur laser rouge). Le bord des dalles du plafond est deux fois plus lumineux que les dalles elles-mêmes, mais de la même couleur. De plus, les dalles clignotent toutes simultanément (avec une période de 10s) : elles restent allumées pendant 5s puis s'éteignent pendant 5s. (Les bords ne clignotent pas, seule la partie centrale le fait. Les dalles sont toutes parfaitement synchrones, dans le référentiel « fixe ».) Le clignotement apparaît sous forme de cercles concentriques, tout simplement parce que la vitesse de la lumière est finie (et le bord d'une dalle est égal à la distance que la lumière traverse dans une demi-période du clignotement, soit 5s).
Par ailleurs, l'espace a été rendu légèrement absorbant (de nouveau avec une longueur caractéristique (=épaisseur optique) de 5 secondes-lumière), tout simplement pour donner un sens de profondeur (c'est pour ça que les choses semblent disparaître au loin : sans absorption, une surface lumineuse parfaitement isotrope aurait une luminosité apparente constante jusqu'à l'infini).
On peut remarquer les choses suivantes :
- L'effet Doppler fait que la lumière venant de devant apparaît décalée vers le bleu. C'est pour ça que le plafond change de couleur, pour devenir d'abord vert puis former un arc-en-ciel. Cet arc-en-ciel est une combinaison de l'effet Doppler et de l'aberration de la lumière. À l'intérieur de l'arc-en-ciel, la lumière du plafond est décalée trop loin dans l'ultraviolet pour être visible, à l'extérieur elle est décalée trop loin dans l'infrarouge. L'effet Doppler est moins visible chromatiquement sur le sol — parce qu'un spectre de corps noir décalé par Doppler est encore un spectre de corps noir —, mais c'est lui qui est responsable de la tache blanche éblouissante devant et du fait que tout le bord devient sombre.
- L'aberration de la lumière cause une contraction de l'image vers le centre du champ de vision. Ceci est visible avant tout mouvement significatif (=parallaxe), ce qui explique que l'observateur peut donner l'impression de reculer pendant les quelques premières secondes. D'autre part, les lignes du plancher qui sont perpendiculaires à la direction du mouvement de l'observateur (« perpendiculaires » dans le référentiel fixe) semblent rapidement converger vers des points sur l'horizon qui sont de plus en plus proches du point avant. (Remarque : l'aberration de la lumière produit une transformation de Möbius (=homographie) sur la sphère des directions de lumière. Donc les droites restent des cercles sphériques, du moins avant projection plane.)
- La vitesse de la lumière, bien sûr, n'est jamais atteinte : bien que le vaisseau de l'observateur soit en accélération constante (comme en témoigneraient des accéléromètres à bord du vaisseau, mesurant la force inertielle), les observateurs fixes verront la vitesse du vaisseau tendre vers la vitesse de la lumière comme une tangente hyperbolique. À la fin de la vidéo, la vitesse est 99.93%=tanh(4) de la vitesse de la lumière, correspondant à une rapidité de 4 (la rapidité croît linéairement pendant la vidéo). La distance parcourue pendant l'ensemble de la séquence est de 657.7 secondes-lumière (ou 131.5 dalles traversées, 1.32 unités astronomiques, dont chacune représente la distance Terre-Soleil) et les observateurs fixes mesurent un temps écoulé de 682.2 secondes (vitesse moyenne : 96.4% de la vitesse de la lumière), nettement plus long que les 100 secondes que ressent l'observateur en mouvement (à la fin de la vidéo, l'observateur en mouvement voit les horloges des observateurs fixes avancer 27.3 fois plus vite que les siennes, comme en témoigne le rythme rapide de clignotement du plafond). C'est ainsi qu'on peut traverser plus de six fois plus que 100 secondes-lumière en seulement 100 secondes de temps propre.
À mesure qu'on tend vers la vitesse de la lumière, tout ce qu'on voit des objets fixes tend à devenir un seul point infiniment lumineux droit devant, tandis que tout autour devient sombre.