David Madore's WebLog: Petit exposé sur la relativité

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(lundi)

Petit exposé sur la relativité

J'ai donné avant-hier dans le cadre du séminaire Mathematic Park, qui s'adresse surtout aux élèves de prépas ou de licences scientifiques, un exposé intitulé Relativité et Géométrie — malgré ce que le titre peut laisser penser, je n'ai parlé que de relativité restreinte (j'avais prévu quelques transparents sur la relativité générale s'il me restait du temps, mais il ne m'en est pas resté, ce qui valait sans doute mieux). J'aurais sans doute dû l'annoncer à l'avance sur ce blog, mais j'ai été un peu pris par le temps en commençant à préparer à la dernière minute. Bref. Mon propos a surtout été de présenter la relativité restreinte en insistant sur l'importance de la forme quadratique de Minkowski, et d'expliquer pourquoi il vaut mieux mesurer les vitesses en relativité en utilisant la notion de rapidité[#] (qui ont le bon goût de s'ajouter en dimension 1+1) et en quoi l'espace des vitesses de la relativité restreinte se comporte naturellement comme un espace hyperbolique ; tout ça, en faisant le parallèle entre trois sortes de relativités : la relativité restreinte ou minkowskienne/lorentzienne, la relativité galiléenne (antérieure à 1905), et le monde fictif de la relativité « euclidienne » (exploré dans la trilogie Orthogonal de Greg Egan, qui malheureusement utilise le terme « riemannien » que je trouve très mal choisi), cette dernière servant essentiellement comme contrepoint plus facile à visualiser, et où l'espace des vitesses correspond à la géométrie sphérique.

Mes transparents sont ici, même si je ne sais pas s'ils seront très compréhensibles sans tout le blabla que je prononce pour les expliquer (le blabla a été enregistré, je ne sais pas encore s'il sera mis en ligne ; si c'est le cas, je tâcherai d'éditer cette entrée).

Comme souvent, je me rends compte après coup de quantité de choses que j'aurais pu expliquer et que je n'ai pas dites (ou même pas pensées) : le sens de la polarité par rapport à la conique fondamentale en géométrie hyperbolique ou elliptique ; ou comment utiliser les formules trigonométriques hyperboliques pour calculer l'aberration de la lumière relativiste (je ne la mentionne que brièvement au transparent 30/37) ; ou la notion d'aire sur le plan hyperbolique, sa conservation par le groupe de Lorentz, et l'analogue hyperbolique de la projection azimutale équivalente de Lambert. Mais la continuation logique de mon exposé — qui dressait le parallèle entre la relativité restreinte et certaines géométries de Klein — serait de faire le parallèle entre la relativité générale et les géométries de Cartan, et ça, je dois dire que je n'ai pas encore pris le temps de le comprendre en profondeur (même si j'ai commencé ici).

[#] Par exemple, plutôt que de dire que les protons du LHC vont à 99.9999991% de la vitesse de la lumière (jouez à compter les 9 !), ou qu'ils ont une énergie de 7 TeV, je trouve que c'est plus parlant de dire qu'ils ont une rapidité de 9.6 dans les unités naturelles.

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