David Madore's WebLog: J'essaie de comprendre comment la Terre tourne

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(dimanche)

J'essaie de comprendre comment la Terre tourne

Je me suis laissé convaincre par un ami d'écrire une application pour Android d'éphémérides astronomiques (il en existe certainement déjà plein, mais guère qui soient libres / open source) : c'est-à-dire un truc qui calcule au moins des choses comme la position et les heures de lever et coucher du Soleil, de la Lune et des planètes, les dates et heures des saisons et des phases de la Lune, et sans doute d'autres choses du même acabit. Normalement, ça ne devrait pas être difficile, il y a plein de code pour ça, presque déjà écrit, en fait, qu'il suffit de convertir en Java.

Mais le truc, c'est que je suis un chouïa maniaque (←ceci est un euphémisme) sur certaines choses, et j'ai une idée assez arrêtée sur la façon dont les choses devraient être faites. Notamment, un calcul astronomique ne se mène pas vraiment de la même façon si on vise une précision d'une fraction de minute d'arc ou de quelques microsecondes d'arc. Et je n'ai pas envie de faire silencieusement des approximations qui empêcheraient de passer à une précision nettement plus grande : i.e., je ne tiens pas spécialement à ce que mon application permette une précision énorme, mais je tiens à ce que le cadre logiciel le permette. Ça devient un peu un défi (stupide) en soi.

Or il se trouve que réaliser des calculs astronomiques permettant, même en principe, une très haute précision, c'est compliqué. (Ne serait-ce que parce qu'on ne va plus pouvoir négliger les effets relativistes, et qu'on commence à avoir mal à la tête juste pour définir ce que c'est que le temps.) J'ai une assez bonne vision des phénomènes les plus simples, mais si je m'impose le carcan de bien prendre conscience de toutes les approximations, je m'y perds assez.

Prenons l'exemple de la rotation de la Terre.

La zéroïème approximation, celle qu'on apprend à l'école primaire, c'est que la Terre tourne autour du Soleil, effectuant une révolution en une année dans un plan appelé écliptique, et qu'elle tourne aussi autour d'elle-même selon un axe de direction fixe appelé l'axe des pôles et dont le plan perpendiculaire s'appelle le plan équatorial ; l'angle entre les plans écliptique et équatorial, ou bien entre l'axe des pôles et l'axe perpendiculaire au plan écliptique, s'appelle l'obliquité ou inclinaison de l'axe terrestre, notée ε, et vaut 23°26′15.66″. L'angle entre l'axe de rotation et la droite Terre-Soleil est responsable des saisons, lesquelles sont limitées par les deux équinoxes lorsque l'axe est en quadrature avec cette droite, ou, si on préfère, que le Soleil se trouve dans le plan équatorial de la Terre, et par deux solstices lorsque le Soleil atteint ses latitudes minimale et maximale par rapport au plan équatorial terrestre, qu'on appelle tropiques du Capricorne (→été austral) et du Cancer (→été boréal). Ça c'est ce que tout le monde devrait savoir, sauf à être un sombre inculte.

Même en zéroïème approximation, il y a moyen de faire une erreur classique[#] : c'est de penser que la période de la rotation de la Terre est égale à un jour solaire (24h), alors qu'en fait 24h est la période moyenne de la rotation par rapport à la direction du Soleil ; or, comme la Terre tourne en même temps (et dans le même sens) autour du Soleil, la période de rotation par rapport aux étoiles fixes — ou jour sidéral — est plus courte, de sorte qu'il y a tout juste un jour sidéral de plus dans une année qu'il n'y a de jours solaires, c'est-à-dire environ 366.2564 jours sidéraux contre 365.2564 jours solaires, la différence étant justement la révolution qu'on a faite autour du Soleil pendant ce temps ; ce qui donne 23h56min04.1s pour le jour sidéral. Ou pour dire les choses autrement : au bout de 23h56min et un chouïa, les étoiles vues depuis la Terre ont fait un tour complet de la voûte céleste, mais comme le Soleil parcourt l'écliptique d'ouest en est en une année, au bout d'un jour il s'est déplacé de l'ordre de 1° vers l'est (par rapport aux étoiles), et il faut attendre en moyenne à peu près 4min de plus pour qu'il revienne à la même longitude dans le ciel, soit 24h, et c'est la différence entre le jour sidéral et le jour solaire.

Soulignons par ailleurs que ceci n'est dit qu'en moyenne : si le jour sidéral est assez constant, le jour solaire (également appelé synodique) n'est égal à 24h qu'en moyenne. Il y a deux raisons à ça, c'est-à-dire deux raisons au fait que la longitude du Soleil par rapport aux étoiles fixes ne progresse pas à un rythme constant. La première est le fait que la Terre ne tourne pas à vitesse constante autour du Soleil : à cause de la loi des aires, elle tourne un peu plus vite vers janvier (quand elle est plus près du Soleil) qu'en juillet (quand elle est plus loin) ; ce phénomène introduit un terme périodique de période 1 an dans le décalage entre heure solaire vraie et heure solaire moyenne. Le second phénomène est le fait que le Soleil vu depuis la Terre parcourt la voûte céleste non selon l'équateur mais selon l'écliptique, qui est penché de ε par rapport à lui : donc même si le Soleil tournait à vitesse constante sur l'écliptique de la voûte céleste, sa projection sur l'équateur, elle, avancerait un peu plus vite au moment des solstices et un peu plus lentement au moment des équinoxes ; ce deuxième phénomène introduit un terme périodique de période 6 mois dans le décalage entre heures solaires vraie et moyenne. La somme de ces deux phénomèmes (et, si on en considère d'autre, tout ce qui peut faire que l'heure solaire vraie n'est pas égale à l'heure solaire moyenne) s'appelle l'équation du temps — je renvoie à cet article, qui est très bien écrit, pour une discussion détaillée.

Pour passer à l'approximation suivante, il y a un nouveau phénomène à prendre en compte, c'est le fait que l'axe des pôles de la Terre ne reste pas de direction constante : cette direction tourne elle-même autour d'un axe perpendiculaire au plan écliptique, dans un phénomène qui s'appelle la précession des équinoxes, dont la période est de 25770 ans. Ceci peut se voir de différentes façons : au bout d'une année qu'on peut qualifier de sidérale, le Soleil est revenu à sa place sur l'écliptique par rapport aux étoiles fixes, mais l'équateur, lui, s'est un peu décalé dans le sens contraire par rapport à l'écliptique, et donc l'intersection des deux, qu'on appelle l'équinoxe (de printemps, disons), et il faut environ 20 minutes de moins pour que le Soleil revienne à sa même position par rapport à l'équinoxe. Donc de même que la révolution de la Terre autour du Soleil (ou, vue depuis la Terre, le parcours de l'écliptique par le Soleil) introduit une différence entre jour sidéral et jour solaire, la précession des équinoxes introduit une différence entre année sidérale (mesurée par rapport aux étoiles fixes) et année tropique (mesurée par rapport aux équinoxes, i.e., par rapport aux saisons) : la période de la précession des équinoxes est de 25770[#2] années sidérales, mais 25771 années tropiques. Du coup, on peut aussi définir trois jours différents, selon qu'on considère la période de rotation par rapport au Soleil (24h), par rapport aux étoiles fixes (23h56min04.10s) ou par rapport aux équinoxes (23h56min04.09s), mais les deux derniers diffèrent évidemment très peu.

La précession des équinoxes est un phénomène connu depuis fort longtemps, et qui fait que parfois les gens se moquent des astrologues (ce qui est en soi une activité louable, certes, mais encore faut-il le faire pour les bonnes raisons) parce que ceux-ci appellent bélier, taureau, gémeaux, etc., un douzième de l'écliptique chacun et définis par rapport aux équinoxes tandis que les constellations astronomiques de ce nom sont (d'une part au nombre de treize et inégalement espacées) assurées par des étoiles fixes : c'est une mauvaise critique et j'ai déjà défendu le fait que les douze saisons « astrologiques » sont une division parfaitement sensées des quatre saisons qu'on définit usuellement, et d'ailleurs je les fais figurer sur les calendriers que je me fabrique chaque année. La cause principale de la précession est l'action des forces de marées causées par la Lune et le Soleil sur le bourrelet équatorial de la Terre (i.e., comme cette dernière n'est pas sphérique, l'action de la Lune et du Soleil qui attirent de façon plus importante la partie qui en est la plus proche, n'équivaut pas à une action ponctuelle) : il y a donc un couple de force qui cause une précession gyroscopique ; on parle pour cet effet de précession luni-solaire (il existe aussi une précession planétaire, due à l'effet des autres planètes du système solaire, c'est-à-dire surtout Jupiter, mais elle est plus faible).

En plus de la rotation de la Terre et de la précession des équinoxes, il y a un phénomène appelé la nutation : alors que la précession des équinoxes est un mouvement très lent mais très important de l'axe des pôles, la nutation est un mouvement de bien plus faible amplitude (de l'ordre de la quinzaine ou vingtaine de secondes d'arc) et beaucoup plus rapide (le terme le plus important a une période de 18.6 années qui est la période de la régression des nœuds lunaires, c'est-à-dire la droite d'intersection du plan d'orbite de la Lune avec l'écliptique). En gros, la nutation correspond à de petites oscillations de l'axe des pôles autour de sa position moyenne. Il faut noter que cette nutation se produit à la fois dans le sens de la précession (l'axe avance et recule un peu par rapport à son mouvement de précession) et dans le sens orthogonal (l'axe s'incline plus ou moins que l'obliquité moyenne) : on parle respectivement de nutation en longitude et de nutation en obliquité.

Ensuite, les choses se compliquent® : l'écliptique lui-même n'est pas fixe (il varie lentement sous l'effet de l'attraction des autres planètes du système solaire), l'inclinaison de la Terre n'est pas non plus constante même à long terme (c'est-à-dire même une fois moyennée la nutation en obliquité — même si en fait l'essentiel de cet effet est alors dû, justement, au mouvement de l'écliptique), la rotation de la Terre n'est pas uniforme (elle comporte à la fois des variations périodiques pas toujours bien connues, et un ralentissement séculaire qui est estimé — de façon un peu conventionnelle — à 1.64 milliseconde par jour et par siècle, d'ailleurs pour des raisons que j'ai déjà expliquées, la durée du jour est entre 1ms et 2ms plus longue que 24h), et d'ailleurs l'axe des pôles varie non seulement dans l'espace mais aussi à la surface de la Terre (on parle de polhodie ou oscillation de Chandler) avec une période de l'ordre de 430 jours et une amplitude de l'ordre de 10m (et ça n'arrange rien qu'il soit difficile de définir ce qu'on appelle, au juste, le pôle[#3]).

Normalement, à ce point-là, le mathématicien explose et s'exclame : Mais aussi compliqués que soient les phénomènes physiques sous-jacents (qu'il ne s'agit pas ici de modéliser mais simplement de décrire), l'orientation d'un objet rigide dans l'espace peut se décrire par exactement trois angles (angles d'Euler, qui s'appellent justement, et pas par hasard : la précession, la nutation et la rotation propre — terminologie néanmoins un peu confusante puisque par exemple la nutation astronomique en longitude est, du point de vue des angles d'Euler, une précession). Donc, pour tout décrire, il suffit de donner un développement temporel de ces trois angles d'Euler (qui caractérisent la transformation entre le système de coordonnées terrestre[#4] de l'IERS[#5] et leur système de coordonnées céleste[#6]).

Il y a différentes raisons pour lesquelles ce n'est pas ce qui se fait, et pour lesquelles on (=l'IERS) décrit l'orientation de la Terre non comme une seule rotation mais comme une composition de plusieurs rotations (une pour la précession générale, une pour la nutation, une pour la rotation proprement dite, et une pour la polhodie). Une raison est qu'il est utile de décrire non seulement l'orientation stricto sensu de la croûte terrestre mais aussi différents repères ou objets géométriques intermédiaires (l'écliptique, l'équateur moyen, l'équateur instantané, le pôle à la surface de la Terre…). La séparation des mouvements entre précession et nutation, par exemple, est un peu arbitraire (grosso modo, on met dans la précession ce qu'on appelle les termes séculaires et dans la nutation les termes périodiques, mais tout dépend en fait de l'échelle de temps considéré), cependant il est utile d'avoir fixé une convention à ce sujet, pour pouvoir parler d'équateur moyen (celui qui est sujet à la précession mais pas à la nutation) et d'équateur instantané (celui qui est sujet aux deux), et s'en servir dans d'autres définitions, par exemple pour le point vernal — ou équinoxe de printemps — qui est l'intersection (ascendante) d'un de ces équateurs avec l'écliptique[#7], et qui définit le début du printemps. Une autre raison (ou une autre facette de la même) est de séparer autant qu'on peut les phénomènes qu'on sait prévoir et ceux qu'on ne peut qu'observer.

Spécifiquement, un phénomène qu'on ne sait qu'assez mal prévoir (même si j'ai du mal à savoir la meilleure précision qu'on sache atteindre pour une prévision à 10 ans, 100 ans, 1000 ans) est celui de la rotation propre de la Terre ou ce qu'on appelle en astronomie le temps universel. Le temps universel (UT1) est défini par le fait que la Terre effectue une rotation par rapport au Soleil en 24h de temps universel, ou, en fait, une rotation sidérale en 23h56min04.0989036903511s. Mais cette définition cache de nombreuses subtilités (pour commencer, qu'est-ce que c'est exactement, effectuer une rotation ?). Par exemple, la très lente rotation constituant la précession des équinoxes constitue, après tout, une forme de rotation de la Terre, et si on écrit la matrice de transformation donnant l'orientation finale de la Terre comme composée d'une matrice de précession, d'une matrice de nutation et d'une matrice de rotation propre dépendant du temps universel, cette dernière doit décompter la partie de rotation qui a déjà été incluse dans la précession et la nutation. Ceci conduit à différentes façons, toutes désagréables, de traiter cette séparation, soit en calculant une équation des équinoxes qui correspond à évaluer la rotation cachée dans la précession et la rotation, soit en utilisant un point intermédiaire appelé point de référence céleste intermédiaire (et qui est défini comme le point toujours situé sur l'équateur de la voûte des étoiles fixes et dont le mouvement est non tournant en ce qu'il est toujours perpendiculaire à l'équateur lorsque l'équateur effectue des petits déplacements sous l'effet de la précession ou de la nutation) ; de même, sur terre, les effets du mouvement du pôle qui contaminent la rotation de la Terre conduisent à introduire un point de référence terrestre intermédiaire. Tout ceci est assez fastidieux à comprendre. Heureusement, il existe des documents pas trop mal écrits qui expliquent tout ce qu'il y a à savoir : soit les arides Conventions 2010 de l'IERS soit une circulaire un peu plus pédagogique écrite par l'observatoire de l'US Navy.

Après, même si on a compris comment les choses fonctionnent (ce dont, dans mon cas, je ne suis que partiellement convaincu), il faut encore trouver les données. La précession est décrite par trois angles dont la signification est un peu pénible à voir quand on est comme moi handicapé des trois dimensions, mais qui sont au moins décrits par des simples polynômes du temps et dont l'utilisation est clairement indiquée dans les documents que je viens de citer. La nutation est décrite par des séries de Poisson (une pour la nutation en longitude et une pour la nutation en obliquité) ; les astronomes aiment bien ça pour les développements numériques, les séries de Poisson : ce sont des sortes de séries de Fourier (finies, bien sûr), mais comportant aussi des puissances du temps, et dont les périodes sont généralement exprimées comme des combinaisons entières de périodes perturbatrices fondamentales (typiquement les longitudes moyennes des planètes ainsi, pour tout ce qui a trait au système Terre-Lune, que les arguments de Delaunay c'est-à-dire les anomalies moyennes du Soleil et de la Lune, l'argument moyen de la Lune mesurée depuis le nœud, la longitude moyenne du nœud, et l'élongation moyenne entre le Soleil et la Lune ; les arguments de Delaunay sont donnés comme des polynômes du temps, donc stricto sensu on n'a plus affaire à une série trigonométrique). La désagréable équation des équinoxes (qui sert à neutraliser la partie de rotation de la Terre introduite dans la précession et la nutation) est également exprimée comme polynôme plus série de Poisson (et en principe calculable à partir de la précession et de la nutation). Tout ça est un peu pénible à évaluer, d'autant qu'il faut commencer par trouver où sont cachées les données et les convertir depuis divers formats texte assez pourris prévus pour être évalués par des procédures en *shudder* Fortran. Pour la rotation de la Terre, ainsi que la position du pôle, on peut soit utiliser différents modèles approximatifs soit prendre des données d'observation publiées par l'IERS : je suis loin d'avoir les idées aussi claires que je voudrais sur le rapport entre ces différents ensembles de données (par exemple sur la question de savoir comment mélanger des théories plus ou moins anciennes et qui n'utilisent pas forcément exactement les mêmes conventions).

[Bon, encore une entrée qui s'est retrouvée à devenir beaucoup plus longue que je l'imaginais, dont j'ai maintenant franchement marre puisque ça fait quelque chose comme dix jours que je l'écris, et du coup j'ai la flemme de relire, bref, qui doit être bourrée de fautes en tous genres. De toute façon, les gens vont râler que gnagnagna je n'écris pas ce que j'ai promis sur les octonions gnagnagna.]

[#] Subtilité qui n'est pas relevée à l'école primaire. Quand j'étais en CM2, dans le cadre d'une introduction à l'astronomie, notre institutrice nous a demandé de définir un jour, j'ai essayé d'expliquer la différence entre jour solaire et jour sidéral, je me suis mal exprimé, et c'est moi qui suis passé pour un sombre inculte qui croit que le Soleil tourne autour de la Terre. ☺

[#2] En réalité, les niveaux d'approximation suivants font que cette période n'a pas beaucoup de sens en tant que période : ce que je donne là est la vitesse actuelle de précession des équinoxes, mais comme cette vitesse varie elle-même, ce n'est pas dans 25770 ou 25771 ans que les équinoxes auront accompli « un tour complet » de l'écliptique (notion qui n'est d'ailleurs pas évidente à définir vu que l'écliptique n'est pas non plus fixe…).

[#3] Cela peut faire référence à l'axe de rotation instantané, à l'axe de moment cinétique, ou à l'axe principal d'inertie. Il semble que les deux premiers diffèrent de quelques centimètres alors que le second diffère d'eux de quelques dizaines de centimètres. En fait, le bon pôle n'est rien de tout ça, mais une construction un peu compliquée appelée les axes de Tisserand, qui coïnciderait avec l'axe principal d'inertie si la Terre était rigide, mais tient plus intelligemment compte de l'élasticité du manteau, et cette construction elle-même suppose une distinction un peu arbitraire dans les périodes des perturbations (celles qui sont plus longues que deux jours sont placées dans la nutation, celles qui sont plus courtes sont placées dans la rotation propre et la polhodie) : on parle de pôle intermédiaire céleste pour l'objet ainsi construit.

[#4] J'aimerais dire qu'il s'agit de la latitude, de la longitude mesurée par rapport au méridien de Greenwich, et de l'altitude mesurée par rapport à l'ellipsoïde WGS84, mais en fait la définition du système de référence terrestre de l'IERS est un chouïa plus compliquée (à ce niveau de précision, on ne peut pas ignorer le fait que la croute terrestre n'est pas rigide et que les plaques tectoniques se déplacent les unes par rapport aux autres et sont sujettes à des marées). Suite à toutes sortes de définitions historiques se précisant les unes les autres, le méridien international, celui de l'IERS et qui est utilisé par les GPS, est situé 5.31″ à l'est du méridien historique. C'est ce que constatent, déçus, les geeks qui se rendent à l'observatoire royal de Greenwich avec un GPS ou qui simplement regardent sur Google Maps.

[#5] Le Service International de la Rotation de la Terre, qui a pour but de décrire et modéliser aussi précisément que possible l'orientation de la Terre dans l'espace (et de décider quand on introduit les secondes intercalaires). Même si on a tendance à s'imaginer en entendant le nom que ce sont eux qui la font tourner : j'avoue que ça a une classe infinie, quand on vous demande et vous, vous faites quoi, dans la vie ? de pouvoir répondre oh, je travaille au service de rotation de la Terre.

[#6] Système de coordonnées qui est à peine moins difficile à définir en théorie, est certainement beaucoup plus en pratique : on utilise de l'interférométrie à très longue base pour définir un repère cinétiquement sans rotation par rapport à des objets très lointains (des quasars).

[#7] L'écliptique lui-même pose des problèmes de définition, et doit être considéré comme largement conventionnel. Vu que l'orbite du barycentre Terre-Lune, qui est censée définir ce plan, comporte différentes perturbations périodique, on veut prendre une moyenne dans le temps. Traditionnellement, on utilisait le plan (écliptique moyen rotationnel) tel que la position du barycentre Terre-Lune, débarrassée de ses perturbations périodiques, se fasse toujours dans le plan en question. Maintenant, on considère plutôt le plan (écliptique moyen inertiel) orthogonal au moment cinétique moyen du mouvement orbital du barycentre Terre-Lune calculé dans un référentiel sans rotation par rapport aux étoiles lointaines. La différence entre ces deux concepts réside dans le fait que l'écliptique inertiel tient compte de la composante de moment cinétique qui provient de la variation (séculaire) du plan écliptique lui-même, tandis que l'écliptique rotationnel l'ignore (ce qui constitue une définition vaguement circulaire, mais néanmoins utilisable) : voyez cet article pour les détails.

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