David Madore's WebLog: Jouons avec le système de racines E8

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(samedi)

Jouons avec le système de racines E8

Comme j'étais déçu de ne pas avoir gagné la même célébrité et fortune avec mes taquins de Mathieu (244823040 = 210×33×5×7×11×23 combinaisons possibles) qu'Ernő Rubik avec son fameux cube (43252003274489856000 = 227×314×53×72×11 combinaisons), voici une nouvelle tentative de puzzle mathématique à 696729600 = 214×35×52×7 combinaisons, sur cette page-ci (qui ne marchera que sur un navigateur assez récent gérant l'élément <canvas>). On peut voir ça comme un petit jeu (appuyer sur scramble et cliquer sur les points jusqu'à réussir à tout remettre à sa place) ou comme un outil pour essayer de comprendre le groupe de Weyl de E8 (à ne pas confondre avec le groupe de Weyl de E6 dont je parlais récemment). Les explications mathématiques et le mode d'emploi sont au bout du lien. C'est plus simple que le Rubik's cube parce que finalement on ne fait que bouger l'objet en bloc sans le déformer, mais c'est plus compliqué parce que l'objet en question vit en huit dimensions.

Et c'est frustrant, décidément, quoi que je fasse, je n'arrive pas à visualiser huit dimensions (il faut dire que je n'arrive déjà pas à en visualiser trois, alors…). Le système de racines E8 est un de ces objets mathématiques exceptionnels et un peu mystérieux que je trouve complètement fascinants et qui devraient être d'une beauté insoutenable si on arrivait à les voir proprement à défaut de seulement les comprendre. En l'occurrence, celui-ci est un peu comme un solide régulier (même s'il n'est pas régulier avec la définition usuelle du terme, c'est-à-dire si on demande que le groupe de symétries soit transitif sur les drapeaux : il n'y a que trois solides réguliers en toute dimension à partir de 5), mais il a quantité d'autres propriétés remarquables.

Le système de racines E8 est le point de départ pour construire un autre objet remarquable qui en découle naturellement, et qui est E8 lui-même. Encore plus compliqué à visualiser, puisque lui a 248 dimensions (comme 8+240, où 8 est le nombre de dimensions dans lequel vit le système de racines E8 et 240 est le nombre de racines de ce dernier). Et un jour où je serai vraiment en forme, je ferai un puzzle basé sur E8(𝔽2), qui a, pour sa part, 337804753143634806261388190614085595079991692242467651576160959909068800000 = 2120×313×55×74×112×132×172×19×312×41×43×73×127×151×241×331 éléments[#].

[#] C'est beaucoup plus que les malheureux 808017424794512875886459904961710757005754368000000000 = 246×320×59×76×112×133×17×19×23×29×31×41×47×59×71 du Monstre, même si le Monstre est en fait beaucoup plus difficile à réaliser parce que pour E8(𝔽2) on peut utiliser des matrices de taille 248×248 alors que pour le Monstre il faut a priori des matrices de taille 196883×196883, ou peut-être 196882×196882 si on travaille sur 𝔽2 mais en tout cas c'est énorme. Par contre, c'est toujours moins que le nombre de protons de l'Univers, qui vaut notoirement exactement 15747724136275002577605653961181555468044717914527116709366231425076185631031296.

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