David Madore's WebLog: Jouons avec le problème de Galois inverse

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(mercredi)

Jouons avec le problème de Galois inverse

Le fait inutile du jour : le polynôme

27·x27 + 21·x26 − 484·x25 − 3228·x24 − 16572·x23 − 68675·x22 − 222360·x21 − 572820·x20 − 1173331·x19 − 1869830·x18 − 2244571·x17 − 1849271·x16 − 462819·x15 + 1776007·x14 + 4159041·x13 + 5483063·x12 + 4692322·x11 + 1636621·x10 − 2304856·x9 − 4629308·x8 − 3932160·x7 − 1462752·x6 + 471744·x5 + 948800·x4 + 591872·x3 + 205056·x2 + 38912·x + 3072

a pour groupe de Galois sur ℚ le groupe de Weyl de E6, d'ordre 51840 qui peut être décrit comme SO6(𝔽2) ou SO5(𝔽3) ou encore comme groupe des automorphismes de l'unique groupe simple d'ordre 25920 (qui peut lui-même être décrit comme n'importe lequel de : SU4(𝔽2), SΩ6(𝔽2), PSp4(𝔽3) ou SΩ5(𝔽3).

[Figure géométrique]Ci-contre, la figure de ses racines dans le plan complexe (j'ai cadré pour qu'on les voie toutes sauf une, la racine réelle valant environ 7.2113675276, qui déborde). Le graphe que j'ai représenté en reliant chacune des racines à 10 autres, et qui est isomorphe au graphe du polytope 221 de Gosset, est préservé par le groupe de Galois : ce dernier est justement l'ensemble des permutations des racines qui laissent connectées les racines qui l'étaient.

Le polynôme est scindé modulo 1564741, 2506421, 2842537, 2848051, 3116447, 3331217, 3728393…

Les mathématiques expérimentales, c'est rigolo ! (Mais non, je n'ai pas pêché ce polynôme en essayant au hasard jusqu'à en trouver un qui marche.)

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