Le fait inutile du jour : le polynôme
27·x27 + 21·x26 − 484·x25 − 3228·x24 − 16572·x23 − 68675·x22 − 222360·x21 − 572820·x20 − 1173331·x19 − 1869830·x18 − 2244571·x17 − 1849271·x16 − 462819·x15 + 1776007·x14 + 4159041·x13 + 5483063·x12 + 4692322·x11 + 1636621·x10 − 2304856·x9 − 4629308·x8 − 3932160·x7 − 1462752·x6 + 471744·x5 + 948800·x4 + 591872·x3 + 205056·x2 + 38912·x + 3072
a pour groupe de Galois sur ℚ le groupe de Weyl de E6, d'ordre 51840 qui peut être décrit comme SO6−(𝔽2) ou SO5(𝔽3) ou encore comme groupe des automorphismes de l'unique groupe simple d'ordre 25920 (qui peut lui-même être décrit comme n'importe lequel de : SU4(𝔽2), SΩ6−(𝔽2), PSp4(𝔽3) ou SΩ5(𝔽3).
![[Figure géométrique]](../images/galois27.svg "Les 27 racines dans le plan")
Ci-contre, la figure de ses racines
dans le plan complexe (j'ai cadré pour qu'on les voie toutes sauf une,
la racine réelle valant environ 7.2113675276, qui déborde). Le graphe
que j'ai représenté en reliant chacune des racines à 10 autres, et qui
est isomorphe au graphe du
polytope 221
de Gosset, est préservé par le groupe de Galois : ce dernier est
justement l'ensemble des permutations des racines qui laissent
connectées les racines qui l'étaient.
Le polynôme est scindé modulo 1564741, 2506421, 2842537, 2848051, 3116447, 3331217, 3728393…
Les mathématiques expérimentales, c'est rigolo ! (Mais non, je n'ai pas pêché ce polynôme en essayant au hasard jusqu'à en trouver un qui marche.)