David Madore's WebLog: Numérologie mathématique monstrueuse

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(dimanche)

Numérologie mathématique monstrueuse

Je l'ai mentionné il y a quelque temps, nous avons eu il y a un deux semaines à l'ENS un séminaire du mathématicien John McKay sur un phénomène paranormal mathématique appelé le Monstrous Moonshine : même si ce n'est pas ma spécialité, je voudrais dire un mot de ce qui tourne autour. (En fait, je viens de finir la lecture d'un petit livre de vulgarisation sur le sujet, Symmetry and the Monster de Mark Ronan, qui n'est pas mal du tout — même si c'est très insatisfaisant pour un mathématicien de lire des livres de vulgarisation adressés au grand public vu qu'on veut toujours en savoir plus.)

Il y a un débat récurrent autour de la question de savoir si les mathématiques sont découvertes ou inventées : même si la réponse n'a pas à être complètement d'un côté ou de l'autre, je pense que la plupart des mathématiciens eux-mêmes sont d'avis qu'elles sont découvertes, et assurément la théorie des groupes finis est un des domaines où la réponse découvertes s'impose le plus naturellement. Après une tentative (sans doute assez lamentable) pour expliquer à ma mère ce qu'est le Monstre, elle a commenté : les mathématiciens sont vraiment doués pour inventer des choses complètement farfelues — mais à mes yeux c'est une mésinterprétation complète de la réalité : personne n'a inventé le Monstre, il a été découvert par des gens qui ont été stupéfiés de le voir s'imposer à eux de cette façon. (Un des termes qui revient parfois dans la description du sentiment qu'ils ont eu en le découvrant est qu'il y avait something out there ; je ne saurais pas rendre ça en français, mais je trouve que c'est très fort.)

Il y a certainement quelque chose dans certaines branches des mathématiques, et notamment dans la théorie des groupes finis qui rappelle la fascination que les hommes ont pu avoir pour des pseudo-sciences comme la numérologie ou l'astrologie : je pense que c'est ça qui peut donner à des gens (y compris certains mathématiciens de branches plus éloignées, d'ailleurs !) l'impression qu'il s'agit de mathématiques un peu suspectes, où l'on étudie les propriétés magiques des nombres tels que 196883 ou 244823040. Je crois que des matheux un peu joueurs comme Conway s'en amusent beaucoup, en fait. La différence, c'est que les douze signes du zodiaque sont le résultat du hasard de configurations d'étoiles interprétées par les yeux d'astronomes anciens et qui auraient très bien pu être autrement alors que la table des caractères de M24 est quelque chose qui s'imposerait de la même façon à tous extra-terrestres ayant la curiosité de s'intéresser aux façons de réordonner des objets.

Si je veux faire de la vulgarisation (ce qui n'est pas forcément mon intention principale), je dois commencer par expliquer ce qu'est un groupe fini (puis un groupe fini simple). Il en existe évidemment plein d'explications en ligne (y compris en français si vous préférez) dont certaines doivent être bien meilleures que tout ce que j'arriverai à faire.

[Vous pouvez sauter tout le passage qui suit si les détails ne vous intéressent pas…]

Essayons quand même d'expliquer ce qu'est un groupe de permutations sur n objets (de la façon dont Galois devait concevoir la chose) : imaginez que vous ayez n objet que, tant qu'à faire, vous pouvez étiqueter 1, 2, 3, et ainsi de suite jusqu'à n (mais cet étiquetage n'est pas forcément naturel : par exemple, si on considère les 54 facettes du Rubik's Cube 3×3×3, il n'y a pas une numérotation standard). Une permutation de ces objets est une façon de les réordonner, par exemple vous pouvez décider d'échanger les objets 1 et 2 (ça s'appelle une transposition notée (1 2)), ou bien de donner au 3 la place du 4 en même temps que vous donnez au 4 la place du 5 et au 5 la place du 3 (ça c'est le 3-cycle (3 4 5)), ou vous pouvez encore faire à la fois les deux opérations que je viens de décrire (on notera (1 2) (3 4 5), et ici l'ordre n'a pas d'importance). Il y a aussi une permutation qui consiste à ne rien faire, et qui s'appelle l'identité ou élément neutre. Ce qui est intéressant, si on a des permutations, c'est qu'on peut les composer, c'est-à-dire prendre nos n objets, effectuer un mouvement de dérangement puis un autre : c'est même ce principe qui est au fondement du fameux puzzle du Rubik's cube, à savoir qu'on a un certain nombre de permutations de base des facettes du cube et qu'on peut les composer de toutes sortes de façons pour obtenir un très grand nombre de combinaison ; s'il faut une définition formelle, disons qu'on écrit une permutation en mettant les nombres de 1 à n correspondant aux différents objets, puis en-dessous de chacun d'eux le numéro de l'objet qu'on met à la place qu'il occupait, et pour composer on recommence avec la deuxième permutation, c'est-à-dire qu'on rajoute une nouvelle ligne en mettant en-dessous de chaque étiquette le numéro de l'objet qui prend sa place par la seconde permutation, puis on oublie la ligne du milieu. (En fait, il y a plein de variantes selon qu'on permute les objets ou les places qu'ils occupaient, selon qu'on numérote les objets ou les places, selon qu'on compose dans un sens ou dans l'autre, mais au final tout revient essentiellement au même : le tout est de se fixer une convention et de s'y tenir, c'est-à-dire qu'il faut décrire constamment une permutation par des phrases comme je donne à l'objet k la place qu'occupait l'objet l.)

On appelle groupe de permutations (sur n objets) un ensemble composable de permutations : i.e., un ensemble de permutations, parmi lesquelles se trouve l'identité, et telles que dès que deux permutations soient dans le groupe alors leur composée l'est encore. Par exemple, si je prends toutes les permutations sur n objets, c'est un groupe de permutations, que l'on note 𝔖n (le symbole que vous ne voyez pas forcément est un S gothique, avec un n en indice) : un peu de dénombrement de niveau lycée explique que son nombre d'éléments est 1×2×3×⋯×n (le produit des entiers entre 1 et n, encore noté n! (n suivi d'un point d'exclamation, à lire factorielle n)). Si je ne prends que l'identité alors j'ai le groupe de permutations dit trivial.

Pour donner des exemples un peu moins triviaux, on peut considérer n objets arrangés dans un ordre cyclique, comme une grande roue si on veut : imaginez-les disposés de façon régulière sur un cercle qui traverse les objets 1 puis 2 puis 3 puis 4 et ainsi de suite jusqu'à n et on revient ensuite à 1 ; si on considère toutes les permutations qui s'obtiennent en faisant tourner le cercle (on peut par exemple mettre le 1 là où se trouvait le 2, le 2 là où se trouvait le 3 et ainsi de suite jusqu'au n qui prend la place où était le 1), on obtient le groupe cyclique d'ordre n (il y a exactement n telles permutations cycliques, puisque chacune est complètement déterminée par la place que prend le premier objet, tous les suivants étant alors dans le même ordre cyclique). Si on autorisait aussi à inverser l'ordre cyclique (ce qui revient, sur le cercle, à faire aussi des symétries), on obtiendrait le groupe dit diédral d'ordre 2n (ou groupe des transformations euclidiennes d'un n-gone régulier).

Un autre groupe de permutations très important, c'est le groupe alterné sur n objets (𝔄n) : il se trouve en effet que toute permutation sur n objets peut être classée comme paire ou impaire (par exemple, on peut définir une permutation paire comme une permutation qui s'obtient en échangeant un nombre pair de fois deux objets — c'est-à-dire en composant un nombre pair de transpositions ; il se trouve que même si le nombre de transpositions qui servent à faire une permutation dépend du choix de celles-ci, la parité de ce nombre ne dépend d'aucun choix) de sorte que les permutations paires forment un groupe, et c'est ce groupe qu'on appelle le groupe alterné. (L'existence de ce groupe assure, par exemple, qu'au jeu du taquin il est impossible d'échanger simplement deux carrés sans toucher aux autres.) Le groupe alterné sur n objets a n!/2 éléments puisqu'il y a autant de permutations paires qu'impaires.

Toute permutation admet une permutation inverse, qui défait soigneusement ce qu'a fait la permutation d'origine : quand on les compose — dans un sens ou dans l'autre — on retombe sur l'identité (c'est-à-dire que les objets reviennent à leur place). Ce n'est pas totalement évident avec la définition que j'ai donnée d'un groupe de permutations sur n objets, mais c'est néanmoins vrai, que la permutation inverse de toute permutation du groupe est encore dans le groupe.

On dit qu'un groupe de permutations sur n objets est transitif si, quand vous choisissez un certain objet, vous pouvez l'envoyer sur un endroit quelconque par un des éléments du groupe. (Par exemple, le groupe du Rubik's cube, qui permute les 54 facettes du cube, n'est pas transitif pour la raison idiote qu'une facette en coin doit rester en coin, on ne peut par exemple pas l'envoyer sur une facette de milieu.) Une condition plus forte est d'être deux fois transitif (ou simplement 2-transitif) : cela signifie que si vous choisissez deux objets distincts quelconques, vous pouvez les envoyer sur deux emplacements distincts quelconques par une permutation du groupe : par exemple, le groupe cyclique est transitif mais pas deux fois transitif (puisque une fois choisi l'emplacement où on amène le premier élément, les suivants sont fixés). On devine ensuite sans mal la définition des groupes de permutations k fois transitifs : le groupe symétrique 𝔖n tout entier est n fois transitif et c'est le seul (c'est presque la définition) ; quant au groupe alterné 𝔄n, il est n−2 fois transitif (on peut former une permutation paire en choisissant où vont tous les objets sauf deux, et les deux derniers sont alors imposés par la contrainte de parité).

Une des grandes surprises des mathématiques (à mes yeux) est que les groupes symétriques (pour n≥6) et alternés (pour n≥8) sont les seuls groupes six fois transitifs (ou plus, évidemment), et que si on considère les groupes cinq fois transitifs il existe deux autres groupes possibles : ce sont les groupes M12 et M24 de Mathieu (permutant respectivement 12 et 24 objets). La raison pour laquelle je veux citer ce résultat, c'est qu'il montre à quelle point les problèmes considérés sont naturels : on se demande quelles sont toutes les façons de réordonner des objets en imposant de pouvoir en mettre cinq quelconques à une place prescrite, et il se trouve qu'à part prendre toutes les permutations ou toutes les permutations paires la seule façon de faire ça fait tomber de l'espace ces mystérieux groupes de permutations sur 12 ou 24 objets (j'en ai d'ailleurs parlé il y a longtemps). Or il se trouve que M12 et M24 sont deux des vingt-six groupes simples sporadiques dont l'existence est si mystérieuse.

Quant à expliquer ce qu'est un groupe fini en général, il faut se dire que c'est comme un groupe de permutations (tout groupe fini peut se voir comme un groupe de permutations, même si ce n'est pas forcément très naturel), sauf qu'on oublie les objets sur lesquels il permute pour ne retenir que la façon dont les permutations se composent : par exemple, du groupe cyclique d'ordre n on retiendra simplement qu'il a n éléments et qu'il y en a au moins un dans le tas (en fait, il y en a exactement φ(n), où φ est la fonction indicatrice d'Euler) qui quand on la compose avec elle-même suffisamment souvent peut donner n'importe quel élément du groupe.

Un groupe fini simple, c'est, intuitivement, un groupe fini qu'on ne peut pas casser en plus petits morceaux pour comprendre sa structure. Le groupe du Rubik's cube, par exemple, a beaucoup d'éléments (le nombre exact dépend précisément de ce qu'on admet, par exemple si on autorise des rotations globales du cube il doit y en avoir 1038048078587756544000), mais mathématiquement il a une structure qui se comprend assez facilement, disons qu'il se dévisse comme des rotations globales, des opérations sur les sommets, d'autres sur les arêtes, etc. Un groupe simple, au contraire, ne peut pas se comprendre en terme de groupes plus petits que lui : une condition technique précise est que si on essaie d'envoyer ce groupe G dans un autre groupe G′ de façon à respecter la composition des éléments (c'est-à-dire qu'on considère ce qu'on appelle un morphisme de groupes), alors il n'y a que deux façons de faire, soit tout envoyer sur l'élément neutre de G′, soit plonger G dans G′ (envoyer deux éléments distincts sur des éléments distincts, sans jamais faire d'identification) ; ainsi, le groupe du Rubik's cube n'est pas simple parce qu'on peut, par exemple, oublier l'action sur les arêtes du cube et ne retenir que celle sur les sommets, et ainsi définir un morphisme du groupe de tout le Rubik's cube vers le groupe (plus petit !) formé des permutations sur les sommets uniquement (et qui est équivalent au groupe du mini Rubik's cube 2×2×2).

[…fin de la tentative de description précise de ce qu'est un groupe.]

Un des théorèmes les plus fous de l'histoire des mathématiques, et certainement celui dont la démonstration aura été la plus longue en nombre de pages, est celui de la Classification des groupes simples finis. Comme le savent ceux qui auront eu la patience de lire le long passage en petits caractères ci-dessus, les groupes simples finis sont en quelque sorte les atomes à partir desquels sont construits tous les groupes finis (qui, eux-mêmes, peuvent se décrire en agitant les mains comme les sortes de symétries qu'une structure finie peut admettre) : il s'agit donc d'une question très naturelle mais dont la réponse est étonnamment compliquée. Pour synthétiser l'énoncer de ce théorème, les groupes simples finis se répartissent en :

— bref, comme on le voit, ce n'est pas excessivement facile ne serait-ce qu'à résumer sans essayer de définir les différents objets qui interviennent. On se doute bien que la démonstration d'une chose pareille a été l'œuvre de nombreuses personnes (parmi lesquelles Daniel Gorenstein, John Thompson, Bernd Fischer, John Conway, Michael Aschbacher…), et s'est étendue sur un nombre considérable d'articles de recherche et sur un bon nombre d'années (ceci dit assez faible eu égard à l'ampleur de la tâche). Il a fallu un certain temps pour que tout le monde soit complètement convaincu de la validité du résultat (après tout, ce genre de démonstration fait intervenir des myriades de cas et de sous-cas à examiner, et il aurait été facile d'oublier un groupe sporadique en croyant avoir éliminé un sous-cas impossible) ; Jean-Pierre Serre, notamment, a longtemps souligné que la preuve n'était pas complète, faute de publication d'une partie sur les groupes quasi-thin (je ne sais pas comment on dit en français).

Mais l'autre chose sur laquelle il faut insister, c'est que personne n'a décidé que le résultat serait aussi compliqué : la question est simple et naturelle, et la difficulté de la réponse a été véritablement une découverte. Il est tentant de se demander si l'existence de ces groupes sporadiques est une sorte d'accident, une coïncidence liée aux petits nombres qui interviennent (après tout, le Monstre a beau avoir environ 8.1×1053 éléments, le plus grand nombre premier divisant cet ordre est 71, donc ce sont encore de petits nombres qui interviennent : il aurait été autrement plus étonnant de trouver un groupe sporadique d'ordre multiple de 104743 ou je ne sais quoi) ou s'il existe une raison profonde que nous n'avons pas encore vraiment comprise, quelque chose de profond dans la structure de l'Univers (et qu'une théorie mathématique ultérieure pourrait mettre sous une lumière plus claire). Il se peut d'ailleurs que tous les groupes n'aient pas le même statut philosophique : l'existence d'objets tels que le groupe M24 (que beaucoup de mathématiciens s'accordent pour décrire comme un groupe d'une extrême beauté), le code de Golay binaire, le réseau de Leech et donc les groupes de Conway voire le Monstre, tout cela semble procéder d'une certaine harmonie interne, alors que le groupe J1 est peut-être plus un accident (ou, en tout cas, on le « comprend » beaucoup moins, malgré sa petite taille).

(Bon, je n'ai pas raconté tout ce que je voulais raconter, mais le temps me manque, alors je vais m'arrêter là au moins pour l'instant.)

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