Comments on Numérologie mathématique monstrueuse

Si on pense aux groupes simples comme à des atomes de symétries, on pourrait les appeler des symétrons ^^

Et encore ça, sur slashdot : <URL: http://idle.slashdot.org/story/10/08/09/1434214/Rubiks-Cube-Now-Solvable-in-20-Moves >

Tiens, voilà un article intéressant concernant la détermination du nombre, le plus petit possible, de coup maximum pour pouvoir résoudre le casse tête rubik's cube :
<URL:http://www.techno-science.net/?onglet=news&news=4256>

Toujours un plaisir de lire ces articles de vulgarisation (bon, je savais deja ce qu'est un groupe…) !

a=range(10)
b=2*range(10)
a=b
a is b -> True
tous les autres syntaxes avec [:] font que a "n'est pas" b.
Simple non?

Pour le print, ça va changer en python3. Print sera une fonction.

Les axiomes aussi, on les découvre. N'importe quel assemblage d'axiomes ne donne pas forcément des strcutures intéressantes.

Pour la richesse, on est sur le fil du rasoir: trop d'axiomes, et c l'uniformité; pas assez d'axiomes, et c le chaos. Le cas des groupes est extraordinaire (exceptionnel?). Un axiome de plus (commutativité) et yapu q'1 paramètre (groupe cyclique), un de moins et c ingérable (?).

Par contre, je manque d'arguments pour affirmer que c objectivement remarquable. Tout type de structure sur les ensembles finis admet une classification dénombrable et celle des groupes serait simplement complexe tout en nous restant encore accessible. certes, ya un nombre fini de "cas sporadiques" et de familles infinies. Mais ces familles infinies sont-elles objectives? Peut-être qu'on peut définir alors la complexité d'une description générative? Dans le cas des monoïdes, que pourrait-il se passer d'autre qu'une classification du même genre avec simplement plus de familles avec plus de paramètres? des familles inédites qui apparaîtraient à mesure que le cardinal augmente? d'où l'impossibilité d'une description de type fini? La structure de groupe serait alors remarquable par le fait d'avoir une complexité très grande mais finie.

J'ai vu sur sci.math.research ton annonce de calculs. Ca m'a amusé que le programme soit en Python. Deviendrais-tu infidèle à C ? ;-) Il me semblait que certains aspects de Python te déplaisaient… Tu as peut-être vu que le fameux opérateur x?y:z discuté en 2003 est maintenant présent :
http://www.python.org/doc/2.5/whatsnew/pep-308.html

J'avais lu un article assez intéressant sur la faculté de recherche d'une explication :

Grossièrement, la Lune décrit une trajectoire circulaire autour de la Terre, et la Terre décrit une trajectoire circulaire autour du Soleil. J'ai décrit le mouvement de la Lune par rapport au Soleil (par composition de rotation.)

Si maintenant on essaye de décrire le mouvement du Soleil par rapport à la Lune… Ca ne s'imagine pas aussi facilement, à mon avis.

Je ne doute pas qu'on puisse l'imaginer, je veux juste montrer que de mon point de vue, il y a des réponses plus ou moins bien formulées, et souvent, ce sont les questions qui sont à reformuler si on veut une réponse simple.

De mon point de vue, les mathématiques sont une clé (c'est-à-dire un ensemble de questions) efficace, mais les Monstres qu'on y trouve ne sont pour moi qu'une clé temporairement inefficace.

Mes deux cents…

En plus du livre que tu cites, autres références assez accessibles :

http://www.ams.org/notices/200407/fea-aschbacher.pdf
http://www.ams.org/notices/199502/solomon.pdf
http://www.ams.org/notices/200209/what-is.pdf

En général, les NAMS sont très intéressantes pour ce genre de synthèse pas trop vulgarisante mais pas trop difficile non plus.

Ah oui, je suis tout à fait d'accord avec Ruxor; c'est bien de découverte dont il s'agit à travers la classification des groupes finis simples.
Si effectivement les axiomes on été inventés, je préfère plutôt le mot de définis,(dans le sens qu'ils sont posés à priori pour décrire les structures algébriques les plus simples et des concepts comme la simplicité d'un groupe) tout ce qui en découle n'est que découverte (même la démonstration en elle même d'ailleurs et ce aussi bien en la recherchant qu'en la pensant ou lisant) certes intellectuelle.
Je ne suis pas d'accord avec Space Boy, certes effectivement
nous sommes limités par nos sens et nos capacités de traitement logique et intuitive. Mais que peuvent faire des extra-terrestres sur la classification des groupes finis simples ? Si on ne s'est pas trompé (eux et nous), ils découvriront le même résultat (peut être qu'ils auront découvert des démonstrations plus astucieuses peut être que s'ils ont une axiomatique différente il faudrait faire des rapprochements …).
C'est bizarre, Space Boy, ce tu décris avec ces êtres vivant en dimension 2D, c'est un exemple que H Poincaré a pris en exemple pour décrire ses vues intuitionnistes dans la Science et l'hypothèse ou la Valeur de la Science (Dont j'en recommande la lecture). Par contre un être en 2D y est confiné sans pouvoir y en sortir du point de vue des sens mais effectivement via la théorie et la pensée rationnelle il peut découvrir formellement la 3D et se la représenter dans son monde. Par contre si j'ai bien compris Poincarré c'est absolument inutile d'essayer de se mettre à la place de la 3D du point de vue de la 2D.

-> Spaceboy
Oui, moi aussi je me suis longtemps demandé quelle était la disposition initiale des pièces aux échecs qui aboutissait au plus grand nombre de "belles parties" et de combinaisons surprenantes. Pour peu qu'on donne une définition raisonnable de belle combinaison, c'est un problème bien posé (fini, ayant une solution, etc.)

Je n'ai pas mené à terme ce vaste programme de recherches parce que … euh … j'avais d'autres choses à faire. Mais supposons que ce soit le cas, dans quelle mesure j'ai inventé quelque chose ? Remarque qu'un ordinateur bête et méchant peut très bien résoudre le problème à ma place si on lui en laisse le temps. Je peux même relacher les axiomes par exemple le nombre de pièces autorisées de chaque sorte. Et même ne pas fixer leur mode de déplacement pourvu que je reste dans le fini. Même question: ai-je vraiment inventé quelque chose ?

Hormis que les maths ne sont pas mécanisables, je n'y vois pas grande différence.

Je découvre que les Mathématiques sont bien atemporelles et c'est avec l'aide des Lois Physiques qui n'ont pas varié - disons d'un pour dix mille - depuis le Big Bang ; de sorte que chaque nouvelle génération de matheux "récupère" l'héritage des précédents.
Sinon, les théorèmes se seraient perdus dans l'Oubli de la Nuit des Temps Destructurante.
Exemple de monstre notoirement connu depuis : une fonction continue partout dérivable nulle part.
Bref, on découvre parce que la Nature le permet généreusement. Ce n'est pas un hasard hautement improbable : c'est voulu par l'Être Suprême (himself) qui aime à nous faire ramer au début. Maintenant, revanche !
Mon groupe (et corps) préféré est Z/2Z={0,1}.
"Chic planète, marchons dessus…"

Un projet de recherche en cours est la formalisation de la classification des groupes finis simples. L'un des instigateurs du projet est Georges Gonthier qui a déjà formalisé (avec l'assistant à la preuve Coq (<URL: http://coq.inria.fr/ >), développé à l'INRIA) un autre célèbre théorème mathématique, le 'théorème des 4 couleurs'.
Un very first milestone dans cette quête est la formalisation de la notion de groupe fini en Coq, dont l'article qui la décrit (c'est du tout chaud!) est disponible par exemple ici : <URL: http://www.cs.unibo.it/~tassi/coqfinitegroups.pdf >.

Je suis un peu perplexe quand tu dis que ce théorème de classification a été une découverte dans le sens ou l'on n'attendait pas une réponse si compliqué à une question simple. A ce moment là, on pourrait dire que ça a été une surprise, et pas découverte comme opposition à invention.

Pour moi, quelque chose entre dans la catégorie "découverte" quand c'est par exemple une jolie théorie qui relie, ou explique deux choses a priori sans rapport non ?

Quelques réactions (à ne prendre que pour ce qu'elles sont):

J'incline à penser que les maths sont plutôt inventées.
Nous avons établis les règles du jeu (axiomes) puis des objets découlent logiquement de tout cela.

Bien sûr comme tu le dis, il y a quelques fois où nous sommes saisis par la beauté des objets, par leur pertinence dans la modélisation du monde réel ou plutôt et surtout comment nous le percevons (je reviendrais là-dessus).

C’est fascinant de voir la théorie de Galois être utilisée dans la cristallographie, de voir la théorie de la représentation linéaire des groupes finis dans la chimie, les quaternions inventés quasiment comme un jeu algébrique devenir un outils aussi performant de la physique théorique.

Mais je pense que c’est comme pour les échecs, on a établit les règles, puis la nécessité de développer le plus rapidement les pièces (mineures avant les majeures de préférences), les principes des ouvertures, des défenses, des finales, de tactiques, de stratégies, de jeu positionnel, sont arrivés naturellement.

Là aussi, cela provoque le même émerveillement lorsque l’on voit à quel point tel concept est quasiment parfait et beaucoup de très grands joueurs pensent que l’on ne fait que découvrir les meilleurs coups (voire la meilleure partie).

Ainsi, bien que je sache que de nombreux et éminents mathématiciens (notamment Alain Connes) sont d’avis que les maths sont découvertes, je ne peux m’empêcher de penser que les maths sont profondément humaines et marquées par nos limites intellectuelles et sensorielles et qu’une civilisation extra terrestre n’a aucune raison de développer une discipline proche des maths (je veux dire que même après contact et éventuelle capacité à communiquer, rien n’indique que nous ne puissions jamais comprendre leurs concepts liés à ce que nous appelons science physique (*))..

Si nous étions pourvus de ce que j’appellerais un sens physique – qui par exemple nous permettrait de savoir intuitivement et parfaitement la vitesse d’un objet, sa trajectoire, sa masse, qui nous permettrait de savoir intuitivement exactement comment construire un pont qui supporterait telle charge sur telle durée, de dénombrer sans compter, se repérer dans l’espace, bref, de faire naturellement tout ce qui fut aux origines des premières démarches mathématiques – nous n’aurions pas nécessairement crée cette discipline.

Bien sûr cela n’empêche pas les groupes d’exister, malgré nous. C’est pour cela que je pense in fine que nos maths ne sont qu’un accès (remarquablement pertinent certes) à notre monde intelligible. Ce que nous découvrons, c’est à quel point il est performant.

Avec d’autres sens, d’autres facultés, des civilisations développeraient d’autres disciplines.

Pour finir : un dernier petit délire.

J’aime imaginer un univers de science – fiction où ; à la manière d’espaces de plusieurs dimensions, qu’ils existent des dimensions intellectuelles, et que de la même façon qu’un « être vivant dans un monde en 2 dimensions » ne visualiserait pas parfaitement un objet en 3 d (même si les matheux trouveraient des moyens de bosser avec), ce que nous appelons objets mathématiques ne sont que les projetés dans l’espace qui nous est intellectuellement accessible (même aux « meilleurs ») d’objets appartenant à des dimensions « intellectuelles » plus grandes.
Chaque civilisation aurait un accès plus ou moins total à l’espace intellectuel total. Un des résultats possibles est que de nombreuses civilisations auraient accès à d‘autres projections de mêmes objets (mais dans des espaces différents ayant ou non les mêmes dimensions) sans qu’elles ne soient jamais capables (même après contact) de s’en apercevoir.

J’ai bien dit que ce n’était qu’un délire…

(*) Par exemple autours de ce qui fait fonctionner leur vaisseau.