Un classique des cours élémentaires de probabilités : on a trois cartes de même forme, l'une ayant deux faces noires, la deuxième ayant une face noire et une rouge, la troisième ayant deux faces rouges. (Les trois cartes, et les deux faces d'une carte, sont indiscernables sauf par leur couleur.) On mélange les cartes sans les regarder, on en tire une au hasard et, toujours sans la regarder, on la pose sur la table (une face aléatoire étant visible, donc, l'autre étant cachée). On observe que la face visible est rouge (pour que ce soit bien clair : si ce n'est pas le cas, on recommence le mélange depuis le début, et on répète autant de fois que nécessaire jusqu'à ce que ça soit le cas). Quelle est la probabilité que la face opposée soit également rouge ?
Autrement dit, si on tire une carte et une face au hasard et qu'on sait que cette face est rouge, quelle est la probabilité que la carte tirée soit la carte rouge-rouge ?
La plupart des gens (enfin, ceux qui ont une réponse à la question)
répondent 1/2 suivant le raisonnement suivant : la carte noire-noire
est exclue, il ne reste que deux possibilités, la carte rouge-noire et
la carte rouge-rouge, et comme tout ce qu'on sait est qu'il y a une
face rouge, ces deux possibilités sont équiprobables, donc la
probabilité d'avoir affaire à la carte rouge-rouge est 1/2. Ce
raisonnement est faux, parce que l'événement connu n'est pas la
carte a une face rouge
mais bien la face que j'ai tirée au
hasard est rouge
: la probabilité recherchée n'est
pas 1/2.
L'avantage de cette présentation avec trois cartes (sur d'autres avec des jeux télévisés et des portes au trésor, ou variantes du même acabit) est qu'on peut facilement mener l'expérience soi-même, ce que le lecteur incrédule est donc invité à faire : prendre trois papiers symétriques et indiscernables au toucher, marquer l'un d'un signe noir sur chaque côté, le deuxième d'un rouge sur un côté et d'un noir sur l'autre, et le troisième d'un rouge sur chaque côté, mélanger les papiers dans le dos et en tirer un au hasard dont on regardera seulement un côté choisi au hasard — si ce côté n'est pas rouge, recommencer complètement le mélange des trois papiers — s'il est rouge, regarder l'autre côté et en noter la couleur pour faire des statistiques dessus ; au bout de quelque chose comme 100 couleurs enregistrées, on devrait s'apercevoir assez nettement que le rouge pour la face opposée est nettement plus probable, deux fois plus probable même, que le noir.
La bonne réponse est 2/3 (on s'en sera convaincu soit par l'expérience proposée ci-dessus, soit par un raisonnement correct, qui est de dire que sur les six faces tirables au hasard on en autorise les trois rouges, et que deux d'entre elles ont une face rouge de l'autre côté).
Ce qui est étonnant, donc, c'est que si je sais la face que j'ai
tirée est rouge
alors j'ai deux chances sur trois d'avoir affaire
à la carte rouge-rouge, et par symétrie, si je sais
(seulement) l'autre face est rouge
j'ai aussi deux
chances sur trois d'avoir affaire à la carte rouge-rouge, en revanche
si je sais l'une des deux faces est rouge
(i.e., ma carte n'est
pas la carte noire-noire), alors j'ai seulement une chance sur deux
d'avoir affaire à la carte rouge-rouge (là aussi, on peut facilement
faire l'expérience : si on rejette la carte noire-noire, on tombe une
fois sur deux sur la carte noire-rouge et une fois sur deux sur la
carte rouge-rouge, mais bon, c'est tout à fait évident).
Ce grand classique étant rappelé, je peux le voir à l'envers. Imaginons que je cherche à réaliser une carte à jouer dont chacune des deux faces puisse être soit noire soit rouge, de sorte que chaque face prise individuellement ait une chance sur deux d'être rouge et une chance sur deux d'être noire, et qu'au final la carte ait une chance sur trois d'être noire-noire, une chance sur trois d'être rouge-noire, et une chance sur trois d'être rouge-rouge (au lieu de une chance sur deux d'être rouge-noire et une chance sur quatre pour chacun de rouge-rouge et noir-noir, ce qui arriverait si on tirait la couleur de chaque face aléatoirement et uniformément). D'après ce que je viens de dire, c'est facile : il suffit de choisir au hasard la couleur de la première face (rouge ou noir, une chance sur deux pour chaque couleur), puis choisir la couleur de la seconde face en lui donnant deux fois plus de chances d'être de la même couleur que la première face.
Ce procédé se généralise. Imaginons que j'aie à choisir 1000 nombres entre 1 et 2000 (pensez 1000 particules à mettre dans 2000 boîtes, ou quelque chose comme ça). Il y a trois façons très naturelles de faire le tirage (si, si, croyez-moi, elles sont naturelles et elles apparaissent à plein d'endroits en maths, en physique, ou même dans d'autres domaines comme la crypto) :
- première façon, que nous appellerons le tirage de Maxwell-Boltzmann (ou tirage avec remise) : je tire un premier nombre entre 1 et 2000 (uniformément, c'est-à-dire que chaque nombre a 1/2000 chance d'être tiré), puis j'en tire un second, indépendamment, selon le même procédé, et ainsi de suite jusqu'à avoir tiré 1000 nombres — au final j'ai bien mes 1000 nombres entre 1 et 2000, qui peuvent être égaux ou non ;
- deuxième façon, que nous appellerons le tirage de Fermi-Dirac (ou tirage sans remise) : je tire un premier nombre entre 1 et 2000 comme précédemment, puis j'en tire un second, mais le second n'a pas le droit d'être égal au premier (si le premier était 1729, le second doit avoir une probabilité nulle d'être égal à 1729, et 1/1999 d'être égal à n'importe quel autre des nombres ; une façon simple de faire, bien entendu, est de retirer si on est tombé sur une case déjà occupée), et ainsi de suite (en excluant à chaque fois les nombres déjà tirés) jusqu'à avoir tiré 1000 nombres — au final, j'ai bien mes 1000 nombres entre 1 et 2000, et ils sont forcément tous distincts (le tirage de Fermi-Dirac ne permet évidemment pas de tirer plus de nombres que de cases) ;
- troisième façon, que nous appellerons le tirage de Bose-Einstein, et qui est en gros duale de celui de Fermi-Dirac (j'aurais envie de parler de tirage avec « anti-remise ») : je tire de nouveau le premier nombre entre 1 et 2000 uniformément, mais cette fois, pour tirer le second, au lieu que le nombre tiré pour le premier (1729 dans mon exemple) soit exclu, il est rendu deux fois plus probable, puis pour tirer le troisième nombre, chacun des deux déjà tirés est rendu deux fois plus probable (sauf s'ils sont égaux, auquel cas c'est trois fois plus probable), et ainsi de suite (un nombre déjà tiré k fois au cours des étapes précédentes a k+1 fois plus de chances d'être tiré qu'un nombre qui ne l'a jamais été).
Si vous n'aimez pas ma description du tirage de Bose-Einstein, il existe une autre façon de faire la même chose. Pour tirer 1000 nombres entre 1 et 2000 façon Bose-Einstein, je commence par tirer 1000 nombres entre 1 et 2999 façon Fermi-Dirac (donc tous distincts !), et je les trie par ordre croissant ; le plus petit nombre bosonique sera égal au plus petit nombre fermionique, le second nombre bosonique sera égal au deuxième plus petit fermionique moins un (il peut très bien être égal au précédent, du coup), le troisième nombre bosonique sera égal au troisième plus petit fermionique moins deux, et ainsi de suite jusqu'au plus grand nombre bosonique, qui sera égal au plus grand nombre fermionique moins 999.
Si vous voulez voir les choses différemment, vous avez une urne avec 2000 boules numérotées entre 1 et 2000. Dans le tirage de Maxwell-Boltzmann, vous tirez une boule au hasard, vous notez son numéro et vous la remettez dans l'urne, puis vous recommencez un tirage. Dans le tirage de Fermi-Dirac, vous tirez une boule au hasard et vous ne la remettez pas dans l'urne (donc tous les numéros tirés seront différents, évidemment, et on ne peut pas tirer plus de boules qu'il y en a dans l'urne). Dans le tirage de Bose-Einstein, c'est un peu étrange, dès qu'on tire une boule, non seulement on la remet dans l'urne, mais même on y ajoute encore une autre copie identique de la même boule. [Ajout : On me fait remarquer en commentaire que ce dernier système porte un nom standard : l'urne de Pólya.]
Qu'est-ce que ces systèmes de tirage ont d'intéressant ?
Le tirage de Maxwell-Boltzmann est sans doute le plus naturel, mais supposons qu'on regarde juste la répartition des nombres tirés (c'est-à-dire non pas quel nombre a été tiré en premier, lequel en second, etc., mais plutôt combien de fois le nombre 1 a été tiré, combien de fois le 2, combien de fois le 3, etc.), cette répartition suit une distribution multinomiale (équilibrée), donc en moyenne si on tire k nombres parmi N, chaque nombre va être tiré k/N fois (dans mon exemple avec k=1000 et N=2000, cela va faire 1/2 fois), et il serait beaucoup plus improbable que, par exemple, le nombre 1729 fût choisi 2000 fois (et les 1999 autres nombres jamais) que, par exemple, chaque nombre impair fût choisi exactement une fois (je ne dis pas que ce serait très probable non plus que les nombres choisis fussent exactement les nombres pairs !, il y a environ une chance sur 3×10733 que ça arrive, mais ce serait tout de même 4×102567 fois plus probable que d'avoir 2000 fois le nombre 1729, cette dernière occurrence ayant une probabilité de un sur 103301).
Le tirage de Fermi-Dirac, je n'ai pas grand-chose à en dire : il tire un sous-ensemble de k nombres (c'est-à-dire, tous distincts) parmi les N, et chacun des sous-ensembles possibles sont également probables (dans mon exemple de k=1000 et N=2000, il y a par exemple une chance sur 2×10600 de tirer exactement les nombres impairs). Dans le cas où le tirage de Maxwell-Boltzmann a le bon goût de tirer des nombres tous différents, il n'y a pas de différence avec un tirage de Fermi-Dirac (mais c'est une hypothèse audacieuse si k n'est pas petit par apport à √N : dans mon exemple de k=1000 et N=2000, il y a une chance sur 1.3×10133 pour que les 1000 nombres tirés au hasard entre 1 et 2000 soient tous distincts).
Le tirage de Bose-Einstein, il a, lui, pour propriété que chacune des distributions de nombres est également probable. Donc, si vous tirez k=1000 nombres entre 1 et N=2000, vous avez exactement autant de chances (une chance sur 2×10827) d'avoir tiré 1000 fois le nombre 1729 que d'avoir tiré précisément tous les nombres impairs. Pour en revenir avec mes cartes, donc, si vous voulez avoir une chance sur trois d'avoir une carte noire-noire, une chance sur trois d'avoir une rouge-noire, et une chance sur trois d'avoir une rouge-rouge, vous tirez, de fait, les couleurs des deux faces de la carte selon un tirage de Bose-Einstein et nom de Maxwell-Boltzmann (d'où le « paradoxe » du début de cette entrée).
Par exemple, le tirage de Bose-Einstein pourrait être utile pour
réaliser des QCM : si vous voulez donner à des étudiants
un QCM avec 200 questions étiquetées A, B, C ou D, et que
vous comptez noter le test en demandant juste combien de A, de B, de C
et de D l'étudiant a choisi, on ne veut certainement pas tirer la
permutation (donc la lettre correcte) à chaque question selon un
tirage de Maxwell-Boltzmann (ce qui serait le plus naturel), sinon il
serait trop tentant de répondre 50 réponses A, 50 B, 50 C et 50
D
pour espérer ne pas être loin de la vérité — il faut tirer
200 lettres justes parmi {A,B,C,D} avec un tirage de Bose-Einstein,
comme ça toutes les répartitions des décomptes des quatre lettres
seront équiprobables.
Le rapport avec la physique, maintenant ? Si vous avez 2000 boîtes et que vous balancez 1000 particules distinctes/discernables dedans (en admettant qu'il existe 1000 particules discernables…), vous obtenez une distribution de Maxwell-Boltzmann (chaque particule, indépendamment des autres, va dans une des 2000 boîtes possibles). Par contre, si les particules sont identiques et interchangeables au sens de la mécanique quantique, cela dépend du type de particules : si ce sont des fermions comme des électrons ou des atomes d'hélium 3, alors on obtient un tirage de Fermi-Dirac (et en particulier, deux particules n'iront jamais dans la même boîte, cela s'appelle le principe d'exclusion de Pauli), tandis que si ce sont des bosons comme des photons ou des atomes d'hélium 4, alors on obtient un tirage de Bose-Einstein. Évidemment, mon explication avec des boîtes est foireux (une boîte est une mauvaise façon d'expliquer un état quantique), mais l'idée est là, et le phénomène physique est très important, la condensation de Bose-Einstein et la répulsion par phénomène d'exclusion de Pauli s'observant tous deux à l'échelle macroscopique (par exemple par la superfluidité de l'hélium 4 à basse température et par le fait que les naines blanches se soutiennent par pression de dégénérescence des électrons).