David Madore's WebLog: La forme élégante du plan projectif complexe

Définition(s) et coordonnées homogènes

Il y a différentes façons de définir — et donc de visualiser — le plan projectif réel. On peut le définir comme l'ensemble des droites dans l'espace (euclidien de dimension 3) passant par l'origine O. Ou, si on préfère, on peut le voir comme la sphère sur laquelle on a identifié les points antipodaux (i.e., symétriques par rapport au centre), c'est-à-dire comme l'ensemble des paires de points antipodaux sur la sphère, disons la sphère unité de centre O. (Le lien entre ces deux points de vue étant qu'une droite par l'origine coupe une sphère centrée sur l'origine en deux points antipodaux, et réciproquement, une paire de points antipodaux sur la sphère est l'intersection de la sphère avec une unique droite passant par O, à savoir, la droite qui relie ces deux points.)

La projection gnomonique de la sphère est celle qui projette la sphère, depuis son centre O, sur un plan Π tangent à elle (en fait n'importe quel plan ne passant pas par ce centre, mais pour fixer les idées, imaginez le plan tangent au pôle sud) : autrement dit, la projection gnomonique d'un point P de la sphère est l'intersection avec Π (si elle existe) de la droite reliant O à P. On remarquera que le point antipodal à P a la même projection, puisque la droite qui le relie à O est toujours la droite OP. Cette projection envoie donc chaque paire de points antipodaux en un point du plan Π, sauf ceux qui sont sur l'« équateur » (c'est-à-dire ceux situés sur l'intersection de la sphère avec le plan Π₀ parallèle à Π et passant par O), qui n'ont pas de projection parce que la droite est parallèle, et qu'on peut alors appeler « points à l'infini » (relativement à la projection choisie, c'est-à-dire, relativement au choix du plan affine Π). Grâce à cette convention, on peut voir le plan projectif réel comme un complété du plan affine Π auquel on a ajouté des « points à l'infini » : on identifie un point du plan projectif (=la sphère modulo antipodie) à sa projection sur Π, sauf pour les points à l'infini, qu'on considère qu'on a ajoutés à Π.

Si on veut voir les choses de façon algébrique, on peut mettre des coordonnées : on décrit un point du plan projectif réel par trois nombres réels, disons (x,y,z), non tous nuls : ceci représente la droite passant par l'origine et par le point ayant ces coordonnées (si on a choisi de voir le plan projectif comme l'ensemble des droites passant par l'origine) ; deux triplets (x,y,z) et (x′,y′,z′) représentent le même point, c'est-à-dire définissent la même droite, lorsqu'ils sont proportionnels, c'est-à-dire lorsqu'il existe λ≠0 tel que (x′,y′,z′) = λ·(x,y,z). On note souvent (x:y:z), en séparant les variables par des deux points, les coordonnés projectives : ceci aide à rappeler qu'elles ne sont définies qu'à proportionalité près, c'est-à-dire que seuls importent les rapports entre coordonnées et pas les valeurs elles-mêmes. Par exemple, (1:2:2)=(−1:−2:−2)=(½:1:1).

Si on préfère voir le plan projectif réel comme la sphère modulo antipodie, il s'agit simplement de normaliser (x,y,z) de façon à avoir x²+y²+z²=1 (ceci est l'équation définissant la sphère unité centrée sur O), ce qui se fait en divisant les trois nombres par la quantité √(x²+y²+z²) : il n'y a alors plus qu'une liberté dans le choix des coordonnées (x,y,z), c'est qu'on peut changer le signe des trois à la fois, ce qui revient à passer au point antipodal, qu'on a identifié dans le plan projectif réel. (Par exemple, les coordonnées normalisées du point (1:2:2) sont (1/3 : 2/3 : 2/3) ou (−1/3 : −2/3 : −2/3) car √(1²+2²+2²)=√9=3.)

Quant à la projection sur le plan Π, disons que celui-ci soit d'équation z=1 dans l'espace, alors la projection gnomonique consiste à envoyer (x:y:z) sur le point (x/z, y/z, 1) de l'espace, qui appartient à Π (c'est-à-dire juste (x/z, y/z) sur Π), sauf si z=0 auquel cas on a affaire à un point « à l'infini » vis-à-vis de Π.

Ce qu'on appelle droite du plan projectif réel, c'est ce qui correspond à un grand cercle de la sphère (i.e., un grand-cercle lui-même modulo antipodie), autrement dit, l'intersection de la sphère avec un plan passant par son centre O. Il est alors facile de voir que la projection gnomonique conserve l'alignement : c'est-à-dire que la projection d'une droite du plan projectif est une droite du plan Π sur lequel on projette (elle-même complétée par un unique point à l'infini), à moins que la droite projetée soit elle-même la droite des points à l'infini.

(On peut par ailleurs se convaincre qu'il y a un point à l'infini pour chaque direction de droites parallèles entre elles sur Π, et l'ensemble de tous ces points à l'infini est lui-même une droite. Ceci donne donc une autre définition possible du plan projectif réel : c'est le plan affine Π complété par l'addition à chaque droite d'un point à l'infini, qui est le même pour deux droites parallèles, et où on convient que tous ces points à l'infini forment une droite.)

Les points et droites du plan projectif réel vérifient les jolis axiomes de la géométrie projective : par deux points distincts passe une unique droite, deux droites distinctes se coupent en un unique point, et on a l'axiome/théorème de Pappus (je renvoie à cette vieille entrée, ou je parlais un peu plus de géométrie projective, à son sujet, et pour plus de précisions sur la géométrie projective en général).

La distance sur le plan projectif réel

Si je dois, maintenant, choisir une distance sur le plan projectif réel, je ne vais pas choisir la distance euclidienne du plan de projection Π (qui dépendrait du choix arbitraire de Π, et qui par ailleurs mettrait les points à l'infini à une distance, justement, infinie) : je vais plutôt choisir la distance sur la sphère (le fait que cette distance ne coïncide pas avec la distance euclidienne sur Π est une reformulation du fait que la projection gnomonique ne conserve pas les distances). Ou plus exactement, comme chaque point du plan projectif réel est représenté par une paire de points antipodaux sur la sphère, la distance sur le plan projectif réel entre deux telles paires sera la plus courte distance qu'on peut réaliser entre un point d'une paire et un point de l'autre.

Cette distance se calcule par une formule simple : dist((x:y:z), (x′:y′:z′)) = Arccos(|x·x′+y·y′+z·z′| / √((x²+y²+z²)·(x′²+y′²+z′²))) Naturellement, si les coordonnées (x,y,z) et (x′,y′,z′) sont déjà normalisés, c'est-à-dire sont sur la sphère unité x²+y²+z²=1, la distance est simplement Arccos(|x·x′+y·y′+z·z′|) (et pour avoir la distance sur la sphère plutôt que le plan projectif réel, on retire la valeur absolue autour de x·x′+y·y′+z·z′). Cette formule vient simplement du fait que le produit scalaire x·x′+y·y′+z·z′ entre deux vecteurs ((x,y,z) et (x′,y′,z′)) est égal au produit de leurs normes par le cosinus de l'angle entre eux. On a choisi de prendre la sphère de rayon 1, c'est-à-dire que la distance donnée par cette formule est comprise entre 0 et π/2 (entre 0 et π pour deux points de la sphère, mais entre 0 et π/2 pour deux points du plan projectif).

Remarque terminologique : L'objet que j'ai ainsi défini — le plan projectif réel muni de cette distance qui provient de la sphère — serait sans doute plus correctement appelé plan elliptique réel (le plan projectif réel n'étant, lui, pas muni d'une distance). La différence est du même nature qu'entre le plan affine et le plan euclidien, qui sont le même objet mais où le second est muni d'une structure supplémentaire (une distance). La différence se voit au niveau des transformations (symétries) que la géométrie admet : de même que les transformations du plan affines sont plus générales que celles du plan euclidien (elles incluent, par exemple, les changements d'échelle différents sur les deux axes), celles du plan projectif sont plus générales que celles du plan elliptique (les transformations du plan projectif sont toutes les applications continues préservant l'alignement des points, par exemple tous les changements de perspective, tandis que celles du plan elliptique sont simplement données par les rotations de la sphère). Malheureusement, si le terme de géométrie elliptique par opposition à géométrie projective est assez standard, celui de plan elliptique n'est pas franchement répandu, et la plupart des mathématiciens parlent simplement de plan projectif réel — quitte à préciser qu'il est muni de cette distance. Pour être encore plus précis, cette structure de plan elliptique, au lieu d'être définie par une distance, sera plutôt vue comme définie par une polarité, la polarité sur la sphère modulo antipodie étant l'application qui envoie une paire de points antipodaux sur la droite (=le grand cercle) qui est l'équateur de cette paire de pôles, ou, si on préfère, l'ensemble des points à distance π/2 : voir cette entrée passée (les passages qui parlent de géométrie sphérique/elliptique) au sujet de cette notion de polarité.

Il peut être opportun de faire la remarque suivante : la distance maximale entre deux points du plan projectif réel est π/2 (justement quand ces points sont perpendiculaires, ou en polarité, au sens où chacun est sur la polaire de l'autre). On appelle parfois ça le diamètre métrique de l'espace en question, mais cela peut prêter confusion avec le diamètre de la sphère ; en revanche, on peut parler sans confusion de la circonférence du plan projectif réel, qui est la distance qu'on doit parcourir, depuis un point quelconque et dans une direction quelconque, pour revenir au point de départ, et qui vaut π (sur la sphère on arrive au point antipodal et la circonférence de la sphère vaut 2π, mais on rappelle qu'on a identifié les antipodes sur le plan projectif réel). Les droites du plan projectif réel sont les grands cercles avec identification des antipodes, ces droites projectives réelles sont donc des cercles de circonférence π (car identifier les points antipodaux sur un cercle donne un cercle deux fois plus petit).

On peut dire toutes sortes de choses sur la géométrique métrique du plan projectif réel, ou géométrie elliptique (qui est presque la même chose que la géométrie sphérique, puisque l'identification des antipodes ne change pas grand-chose à la plupart des énoncés) : j'avais notamment parlé dans une entrée passée des formules fondamentales du triangle (appelé, dans l'entrée en question, triangle sphérique), à savoir la loi des cosinus sphérique, cos(c) = cos(a)·cos(b) + sin(a)·sin(b)·cos(γ) (si a, b et c sont les longueurs des côtés d'un triangle, et α, β, γ ses angles nommés comme d'habitude) et la loi des sinus sphérique, sin(a)/sin(α) = sin(b)/sin(β) = sin(c)/sin(γ).

Le plongement de Veronese du plan projectif réel

Une dernière chose pour en finir avec le plan projectif (ou elliptique) réel : on l'a vu — entre autres — comme une sphère modulo antipodie, mais on peut se demander s'il y a moyen de le voir comme un objet géométrique sans identification (sans « passage au quotient »). La réponse est oui : si j'ai un point (x:y:z) du plan projectif réel, normalisé par x²+y²+z²=1 (donc un point de la sphère modulo antipodie), je peux lui associer le point V(x:y:z) = (x², y², z², √2·x·y, √2·x·z, √2·y·z) dans l'espace euclidien de dimension 6 qui, en fait, tombe dans la sphère unité (elle-même de dimension 5, donc) comme on s'en convainc en élevant au carré la quantité x²+y²+z² (qui vaut 1).

(Remarque : en fait, ce point (X,Y,Z,R,Q,P) := (x², y², z², √2·x·y, √2·x·z, √2·y·z) vérifie non seulement X²+Y²+Z²+R²+Q²+P²=1 mais aussi X+Y+Z=1, de sorte qu'il tombe dans une sphère de dimension 4 et de rayon √(2/3) centrée sur (1/3, 1/3, 1/3, 0,0,0) dans cet hyperplan X+Y+Z=1. Mais ce n'est pas vraiment important ici.)

L'intérêt de cette application V (construite en prenant tous les monômes quadratiques sur les coordonnées, donc), c'est que deux points antipodaux, et seulement deux points antipodaux, ont même image — en fait, on a défini un plongement du plan projectif réel dans la sphère de dimension 5. On l'appelle le plongement de Veronese (du nom de Giuseppe Veronese, le mathématicien, pas le peintre des Noces de Cana), ou du moins, une des nombreuses variantes du plongement de Veronese. Ce plongement n'est pas seulement topologique, il est métrique : (†) à un facteur √2 près, il définit une isométrie du plan projectif (muni de sa distance standard, celle que j'ai explicitée plus haut) sur son image à l'intérieur de la sphère de dimension 5, c'est-à-dire que cette image est vraiment la bonne forme du plan projectif réel, et on pourrait définir le plan projectif réel (quitte à corriger ce facteur √2 d'un côté ou de l'autre) comme l'image de V.

Droites complexes, plans réels et droites réelles

Une droite complexe du plan projectif complexe est définie par une équation du type u·a+v·b+w·c=0 où a,b,c sont trois coefficients complexes (normalement on mettrait plutôt les coefficients à gauche des variables, mais je prévois de parler un jour de quaternions, et avec les conventions que j'ai choisies il vaut mieux que j'écrive comme ça). Quitte à remplacer a,b,c par leurs conjugués complexe et les rebaptiser u′,v′,w′, on peut aussi définir une droite complexe comme l'ensemble des points (u:v:w) tels que u·u′^*+v·v′^*+w·w′^*=0, c'est-à-dire, situés à distance π/2 (la plus grande distance possible) d'un point (u′:v′:w′) ; cette droite s'appelle la droite polaire du point (u′:v′:w′) en question.

J'utilise le mot droite, mais on remarquera bien qu'il s'agit de droites complexes, et, vues comme des objets géométriques, elles se comportent comme la droite projective complexe dont j'ai parlé auparavant, c'est-à-dire que topologiquement ce sont des sphères, et plus précisément, métriquement, ce sont des sphères de rayon ½.

Ces « droites » ont beau être complexes, et topologiquement des sphères (de Riemann), elles se comportent néanmoins comme des droites du point de vue de la géométrie d'incidence : par deux points distincts passe une unique droite complexe, et deux droites complexes distinctes se coupent en un unique point (et par ailleurs, on a l'axiome de Pappus). Ceci donne déjà une idée intéressante de la forme du plan projectif complexe, comme une sorte de « tissu de sphères » de la même façon que le plan projectif réel est un tissu de droites (qui sont des cercles) ; on remarquera d'ailleurs que deux points sont en polarité si et seulement si ils sont antipodaux sur la droite complexe qui les relie (vue comme une sphère de Riemann).

Note : La droite complexe passant par deux points distincts (u₁:v₁:w₁) et (u₂:v₂:w₂) peut aussi être définie comme l'ensemble des points (c₁·u₁+c₂·u₂ : c₁·v₁+c₂·v₂ : c₁·w₁+c₂·w₂) avec c₁ et c₂ deux constantes complexes (non toutes les deux nulles) — cette définition ne dépend visiblement pas du choix des coordonnées utilisée pour représenter les points. Par ailleurs, le fait que trois points (u₁:v₁:w₁), (u₂:v₂:w₂) et (u₃:v₃:w₃) soient alignés au sens complexe (=situés sur une même droite complexe) peut se traduire par la nullité du déterminant de la matrice 3×3 (complexe) dont ces coordonnées sont les trois lignes.

Ayant parlé des droites complexes du plan projectif complexe, je veux maintenant parler de ses droites réelles. Celles-ci s'avèrent être les grand cercles des droites projectives complexes (vues comme des sphères de Riemann), ou comme une géodésique (c'est-à-dire une courbe qui « va tout droit » : voir cette entrée passée) sur le plan projectif complexe tout entier ; topologiquement, bien sûr, ce sont des cercles. Mais ces points de vue ne sont pas très parlants : on cherche une condition plus algébrique.

On est bien sûr tenté naïvement de définir la droite réelle passant par (u₁:v₁:w₁) et (u₂:v₂:w₂) comme l'ensemble des points (c₁·u₁+c₂·u₂ : c₁·v₁+c₂·v₂ : c₁·w₁+c₂·w₂) avec c₁ et c₂ deux constantes réelles (non toutes les deux nulles). Cette définition n'a toutefois pas de sens : car faut se rappeler que (u:v:w) est le même que (λ·u : λ·v : λ·w) pour λ complexe de module 1, et ce, pour (u₁:v₁:w₁) et (u₂:v₂:w₂) indépendamment : du coup si on peut faire des combinaisons réelles de (u₁:v₁:w₁) et (u₂:v₂:w₂) on peut aussi faire des combinaisons complexes. Pour donner un sens à la définition ci-dessus, on peut chercher à imposer une condition supplémentaire au choix des coordonnées (u₁:v₁:w₁) et (u₂:v₂:w₂). Une condition naturelle s'impose : demander que le produit scalaire hermitien u₁·u₂^*+v₁·v₂^*+w₁·w₂^* soit réel. Soulignons qu'il s'agit d'une condition portant sur les coordonnées projectives représentant les deux points, et pas sur les points eux-mêmes : en fait, il est facile de voir que deux points (u₁:v₁:w₁) et (u₂:v₂:w₂) distincts peuvent toujours être décrits par des coordonnées (normalisées, si on veut) telles que u₁·u₂^*+v₁·v₂^*+w₁·w₂^* soit réel (il suffit de multiplier, disons, les coordonnées du point 1 par l'inverse du nombre complexe de module 1 qui a le même argument que le produit scalaire dans les coordonnées initialement données, si celui-ci n'est pas nul). Dans ces conditions, on peut donc résumer la discussion ci-dessus et définir :

Une droite réelle passant par deux points (u₁:v₁:w₁) et (u₂:v₂:w₂) distincts du plan projectif complexe est définie comme l'ensemble des points (c₁·u₁+c₂·u₂ : c₁·v₁+c₂·v₂ : c₁·w₁+c₂·w₂), avec c₁ et c₂ deux constantes réelles (non toutes les deux nulles), où les coordonnées (u₁,v₁,w₁) et (u₂,v₂,w₂) ont été choisies de sorte que le produit scalaire hermitien u₁·u₂^*+v₁·v₂^*+w₁·w₂^* soit réel. Il est clair que la droite réelle est unique si le produit scalaire est non nul, c'est-à-dire, si les points ne sont pas en polarité (=situés à distance π/2) l'un par rapport à l'autre.

Bref, deux points distincts du plan projectif complexe sont toujours reliés par une unique droite complexe ; ils sont de plus reliés par une unique droite réelle lorsqu'ils ne sont pas en polarité — s'ils le sont, il existe une infinité de droites réelles entre eux, dont la réunion est précisément la droite complexe les reliant.

On a vu que deux droites complexes distinctes se coupent toujours en un point unique. Deux droites réeles, bien sûr, peuvent ne pas se couper du tout (prendre deux droites complexes distinctes et deux grands cercles de celles-ci ne passant pas par leur unique point d'intersection), ou en un seul point (prendre deux droites complexes distinctes et deux grands cercles de celles-ci passant par leur unique point d'intersection), ou en deux points polaires l'un par rapport à l'autre, cette dernière situation se produisant exactement lorsque les deux droites réelles sont contenues dans une même droite complexe. Soulignons que toute droite réelle est contenue dans une unique droite complexe ; on pourra donc abusivement parler du point polaire d'une droite réelle, défini comme le point polaire de l'unique droite complexe contenant cette droite réelle.

Qu'en est-il enfin des plans réels du plan projectif complexe ? Pour définir les droites réelles, on a cherché à trouver des coordonnées projectives pour deux points telles que le produit scalaire hermitien entre elles soit réel : pour définir les plans projectifs réels, on va naturellement chercher à trouver des coordonnées projectives pour trois points simultanément telles que le produit scalaire hermitien entre deux quelconques d'entre eux soit réel (vu que cette condition est certainement réalisée sur le plan projectif réel !). Cette fois, trois points quelconques du plan projectif complexe n'admettent pas nécessairement de telles coordonnées : on peut certainement multiplier les coordonnées du second par un complexe de module 1 pour que le produit scalaire avec celles du premier soit réel, puis celles du troisième pour que le produit scalaire avec celles du second soit réel, mais on tombe alors sur une vraie condition en demandant que le produit scalaire entre le premier et le troisième soit réel.

Pour dire les choses autrement, si P,P′,P″ sont trois triplets de nombres complexes, on va être amené à considérer la quantité ⟨P,P′⟩·⟨P′,P″⟩·⟨P″,P⟩ (où je rappelle que ⟨P,P′⟩ désigne le produit scalaire hermitien u·u′^*+v·v′^*+w·w′^* entre deux vecteurs P et P′ complexes). On remarquera que cette quantité ne change que par un facteur réel si on normalise P,P′,P″ ; par ailleurs, elle ne change pas du tout si on multiplie chacun de P,P′,P″ par un complexe de module 1 (qui peut être différent pour chacun), autrement dit, quitte à normaliser les coordonnées, on peut considérer la quantité ci-dessus comme définie pour trois points [P],[P′],[P″] du plan projectif complexe. Je ne sais pas si cette quantité a un nom classique (j'ai vu sa partie réelle appelée invariant de forme du triangle [P][P′][P″]).

Ce qui va m'intéresser est de savoir si ce nombre complexe ⟨P,P′⟩·⟨P′,P″⟩·⟨P″,P⟩ est purement réel (c'est-à-dire, de partie imaginaire nulle) : lorsque c'est le cas, on dira que [P],[P′],[P″] sont sur un même plan réel. C'est automatiquement le cas si deux des trois points sont polaires l'un par rapport à l'autre (car le fait que [P] et [P′] soient polaires signifie que ⟨P,P′⟩=0), ou encore si deux d'entre eux sont confondus (car le produit a alors un facteur réel et deux facteurs complexes conjugués).

Lorsque [P],[P′],[P″] sont situés sur un même plan réel au sens où ⟨P,P′⟩·⟨P′,P″⟩·⟨P″,P⟩ est purement réel, si ⟨P,P′⟩ et ⟨P′,P″⟩ ne sont pas nuls, on va pouvoir multiplier les coordonnées P′ représentant [P′] par un complexe de module 1 de façon à avoir ⟨P,P′⟩ réel, puis celles P″ représentant [P″] pour avoir ⟨P′,P″⟩ réel, et alors ⟨P″,P⟩ est réel puisque le produit des trois est réel ; et a contrario si l'un de ⟨P,P′⟩ ou ⟨P′,P″⟩ est nul, il n'impose aucune contrainte sur le choix des coordonnées des points correspondants, donc la conclusion est claire. Bref, la condition de réalité de ⟨P,P′⟩·⟨P′,P″⟩·⟨P″,P⟩ équivaut bien à dire que les coordonnées peuvent être choisies de façon à avoir les trois produits scalaires réels. Et on définit alors bien sûr :

Un plan réel passant par trois points [P₁] = (u₁:v₁:w₁), [P₂] = (u₂:v₂:w₂) et [P₃] = (u₃:v₃:w₃) non alignés au sens complexe du plan projectif complexe est définie comme l'ensemble des points (c₁·u₁+c₂·u₂+c₃·u₃ : c₁·v₁+c₂·v₂+c₃·v₃ : c₁·w₁+c₂·w₂+c₃·w₃), avec c₁ et c₂ et c₃ trois constantes réelles (non toutes les trois nulles), où les coordonnées P₁ = (u₁,v₁,w₁), P₂ = (u₂,v₂,w₂) et P₃ = (u₃,v₃,w₃) ont été choisies de sorte que les produits scalaires hermitiens ⟨P₁,P₂⟩, ⟨P₂,P₃⟩ et ⟨P₃,P₁⟩ soient tous réels, ce qui est possible (pour trois points donnés) si et seulement si leur produit ⟨P₁,P₂⟩ · ⟨P₂,P₃⟩ · ⟨P₃,P₁⟩ est réel autrement dit ssi ces points sont sur un même plan réel. Il est clair que le plan réel contenant [P₁],[P₂],[P₃] est unique dès lors que les points (ne sont pas alignés au sens complexe et) qu'aucune paire d'entre eux n'est en polarité.

Parmi les plans réels du plan projectif complexe, il y en a un évident, c'est celui formé de tous les (u:v:w) qui peuvent être représentés avec u,v,w réels : pour faire le lien avec la définition ci-dessus, on peut le définir comme le plan réel passant par (1:0:0), (1:1:0) et (1:1:1). On l'appellera aussi le plan réel standard. Attention : il est tentant d'y penser comme le plan réel passant par (1:0:0), (0:1:0) et (0:0:1), et c'est vrai qu'il passe par ces trois points mais ce n'est pas le seul car l'unicité du plan réel passant par trois points (énoncée ci-dessus) ne vaut que pour trois points qui deux à deux ne sont pas en polarité ; et de fait, si on pense que (1:0:0), (0:1:0) et (0:0:1) sont aussi, disons, (1:0:0), (0:ζ:0) et (0:0:ζ²) avec ζ = exp(2·i·π/3) une racine primitive cubique de l'unité, alors le plan réel formé des (u:v:w) qui peuvent être représentés avec u, v/ζ et w/ζ² tous les trois réels passe aussi par ces trois points, et il est distinct du plan réel standard.

Manifestement, un plan réel du plan projectif complexe, tel qu'on vient de le définir, peut être considéré comme un plan projectif réel à son propre titre ; par ailleurs, l'alignement de trois points d'un tel plan, étant défini par un déterminant, est le même dans le cas réel ou complexe : il s'ensuit que les droites réelles passant par deux points du plan projectif complexe sont précisément les intersections entre la droite complexe reliant ces deux points et les plans réels les contenant. Notons cependant que l'intersection entre une droite complexe et un plan réel peut être réduite à un seul point (elle ne peut pas, en revanche, être vide) : un exemple simple est fourni par le plan réel standard (celui formé des (u:v:w) avec u,v,w réels, cf. ci-dessus) et de la droite, disons, v+i·w=0 : ils ne s'intersectent qu'en (1:0:0).

Quant à l'intersection de deux plans réels distincts du plan complexe, elle est en général formée de trois points dont deux quelconques sont en polarité (autrement dit, un triangle dont les trois arêtes ont la longueur π/2) ; mais elle peut aussi être la réunion d'une droite réelle et de son point polaire (c'est le cas, par exemple, des plans réels définis par (1:0:0), (1:1:0) et (1:1:1) — c'est-à-dire le plan réel standard — et par (1:0:0), (1:1:0) et (1:1:i) : leur intersection est formée de la droite réelle passant par les deux premiers points — autrement dit, celle des (u:v:0) avec u et v en rapport réel — et de son point polaire (0:0:1)=(0:0:i)).

Homogénéité, isotropie, et différentes sortes d'angles

Le plan projectif complexe (comme la sphère, le plan projectif réel, ou le plan euclidien) est homogène. Informellement, ceci signifie que tous les points sont « équivalents », il n'y en a pas qu'on puisse distinguer sur la base de caractéristiques intrinsèques de la forme. De façon plus précise, ceci signifie que n'importe quel point peut être amené en n'importe quel autre point par une transformation de la forme qui préserve les distances (une isométrie) : de façon plus jargonisante, le groupe des isométries opère transitivement. La démonstration de ce fait n'est pas bien difficile, elle passe par une description explicite du groupe des isométries du plan projectif complexe, qui s'avère être plus ou moins le groupe SU₃ des matrices 3×3 complexes unitaires de déterminant 1 ; bien sûr, pour montrer l'homogénéité, il suffit de montrer qu'on peut amener le point (1:0:0) sur n'importe quel point (u:v:w) donné, et on est alors ramené à montrer un fait simple sur les matrices 3×3 (qui est par exemple une conséquence du procédé de Gram-Schmidt hermitien), à savoir que donné (u,v,w) normalisé, on peut compléter cette colonne en une matrice 3×3 complexe unitaire de déterminant 1.

(J'écris plus ou moins parce que SU₃ ne donne que le groupe des déplacements, i.e., les isométries qu'on peut ramener continûment à l'identité ; il y a aussi des antidéplacements, obtenus par composition avec la conjugaison complexe, mais peu importe, les déplacements suffisent pour montrer l'homogénéité. Par ailleurs, le vrai groupe des déplacements n'est pas non plus SU₃ mais PU₃ parce qu'il faut ignorer la différence entre la matrice identité et la matrice diagonale dont les trois valeurs diagonales sont la même racine primitive cubique de l'unité ζ, mais de nouveau, peu importe pour ce que je veux dire. Le point important est que SU₃ opère transitivement par isométries sur le plan projectif complexe, même si cette action n'est pas fidèle et ne donne pas tout le groupe d'isométries.)

Si on examine plus attentivement la démonstration esquissée ci-dessus, on s'aperçoit qu'elle démontre plus : le plan projectif complexe n'est pas seulement homogène (=tous les points sont interchangeables), mais il est deux-points-homogènes, c'est-à-dire que n'importe quel couple de points peut être amené sur n'importe quel autre couple de points par une isométrie (en fait, même un déplacement), à la condition simplement que les deux couples de points soient à la même distance (cette condition étant évidemment nécessaire). Comme cette condition n'est pas forcément évidente à visualiser intuitivement, mais elle est logiquement équivalente à celle, plus intuitive, que tous les points sont équivalents ainsi que toutes les directions en un point (quelconque), c'est-à-dire que le plan projectif complexe est homogène et isotrope. (Une direction, dans ce contexte, peut être identifiée à une droite réelle au sens défini plus haut, passant par le point considéré, et éventuellement orientée.)

L'homogénéité s'arrête là, cependant : deux points à une distance donnée peuvent être amenés sur deux autres points à même distance, et une direction à partir d'un certain point peut être amenée sur une autre direction, mais deux directions formant un angle donné à partir d'un certain point ne peuvent pas forcément être amenées sur deux autres directions formant le même angle. Pour s'en convaincre facilement, on peut faire l'observation suivante : toute direction partant d'un point p, c'est-à-dire, toute droite réelle (peut-être orientée) passant par p, dans le plan projectif complexe, est contenue, on l'a vu, dans une unique droite complexe, qui est topologiquement une sphère, passant par p — et à la surface de cette sphère, il existe donc une unique direction perpendiculaire à celle qu'on s'était donnée et passant par p (ou, si on veut une direction orientée, on prendra un quart de tour vers la gauche). Cette nouvelle direction est manifestement définie de façon canonique en fonction de celle de départ (et du point p) : c'est bien que toutes les directions ne sont pas équivalentes dès lors qu'on en a fixé une, même si on considère deux directions perpendiculaires. (En fait, la construction que je viens de décrire définit la structure complexe canonique sur le plan projectif complexe : si on imagine cette opération comme la multiplication par le nombre i, elle munit les espaces tangents au plan projectif complexe d'une structure d'espaces vectoriels complexes.)

Pour dire les choses de façon plus informelle, dans le plan projectif complexe, tous les points se valent, et, en un point donné, toutes les directions se valent, mais une fois qu'on a choisi une direction, il y a une autre direction qui se dégage naturellement (celle que j'ai décrite ci-dessus, définie par la structure complexe), ce qui met un terme à la symétrie complète — on peut dire que le plan projectif complexe, s'il est homogène et isotrope, n'est pas « maximalement » symétrique. (Il n'y a que les espaces euclidiens, les sphères et plans projectifs réels et les espaces hyperboliques [réels] qui soient maximalement symétriques.)

En fait, et à cause de cette limitation d'homogénéité/symétrie, il y a plusieurs notions d'angles différentes qui peuvent être définies entre deux directions [i.e., deux droites réelles éventuellement orientées] à partir d'un même point du plan projectif complexe. Il y a même toute une batterie d'angles différents qu'on peut définir sur le plan projectif complexe (ou plus généralement, sur une variété de Kähler) : mais il y a essentiellement deux angles indépendants et les autres en découlent. Les quatre notions d'angles les plus courants et dont je vais essayer de dire un mot sont (λ) l'angle géométrique / euclidien, (κ) l'angle d'holomorphie / de Kähler, (θ) l'angle hermitien et (φ) l'angle de Kasner / pseudo-angle / angle de phase (malheureusement, les termes ne sont pas complètement standardisés, et les notations ne le sont pas du tout). Les deux premiers (λ,κ) ou les deux derniers (θ,φ) définissent complètement le secteur angulaire au sens où on peut amener un couple de droites réelles sur un autre lorsqu'ils ont les mêmes angles (λ,κ) ou (θ,φ) (je ne suis pas totalement certain des histoires d'orientation, il faut faire gaffe à l'intervalle dans lequel on prend les angles, mais c'est au moins vrai pour un couple de droites réelles non orientées). On peut sans doute utiliser une autre paire d'angles, mais ce sont à mon avis les plus sensées ; et on peut passer de l'une à l'autre en utilisant les formules suivantes, qui sont d'ailleurs simplement un changement de pôle dans des coordonnées sur une sphère :

cos(λ) = cos(θ)·cos(φ)

sin(λ)·cos(κ) = cos(θ)·sin(φ)

sin(λ)·sin(κ) = sin(θ)

La première de ces égalités vaut 1 (i.e., λ=0, κ est indéfini, θ=0 et φ=0) lorsque les deux droites réelles sont confondues ; la seconde vaut 1 (i.e., λ=π/2, κ=0, θ=0 et φ=π/2) lorsque les deux droites réelles sont orthogonales dans une même droite complexe, i.e., obtenues l'une de l'autre par la structure complexe ; et la troisième égalité vaut 1 (i.e., λ=π/2, κ=π/2, θ=π/2 et φ indéfini) lorsque les deux droites réelles sont orthogonales dans un même plan réel.

La notion λ d'angle géométrique, ou angle euclidien, que j'ai utilisée implicitement plus haut sous le nom d'angle sans précision supplémentaire (par exemple dans l'expression deux directions formant un angle donné), est la notion qui correspond le mieux à ce qu'on appellera intuitivement l'angle. C'est une notion géométrique générale (c'est-à-dire, définie pour toute variété riemannienne — on peut par exemple la définir grâce à la comparaison entre un triangle infinitésimal et un triangle euclidien ayant les mêmes longueurs au premier ordre), ce qui explique qu'elle mérite de s'appeler angle tout court (et deux directions sont perpendiculaires, par exemple, quand leur angle euclidien vaut π/2).

La notion θ d'angle hermitien est aussi un angle géométrique, mais cette fois entre deux droites complexes : on peut bien sûr l'appliquer à deux droites réelles (en remplaçant chacune par l'unique droite complexe la contenant), mais elle ne dépend, en fait, que de la droite complexe. Si on définit une structure de produit scalaire hermitien sur les vecteurs tangents en un point (ce que je n'ai pas fait, mais ce qui n'est pas difficile), la notion d'angle hermitienne est naturelle en ce sens que le module du produit scalaire hermitien entre deux vecteurs de norme 1 est le cosinus de l'angle hermitien entre eux (tandis que la partie réelle du même produit scalaire sera le cosinus de l'angle euclidien ; et l'argument du produit scalaire sera le pseudo-angle). Enfin, l'angle hermitien est aussi agréable en ce que ce sont les angles hermitiens d'un triangle qui donnent les longueurs du triangle polaire que j'évoquerai un peu plus bas.

La notion κ d'angle d'holomorphie ou d'angle de Kähler, mesure à quel point les deux directions données, vues comme des droites réelles, sont plus ou moins proches d'être dans la même droite complexe (il vaut 0, ou π selon l'orientation, lorsque les deux droites réelles sont contenues dans la même droite complexe, et à l'inverse il vaut π/2 lorsqu'elles sont contenues dans un même plan réel). Cet angle d'holomorphie, en fait, ne dépend pas des deux directions (orientées) données mais seulement de la « direction de surface (orientée) » qu'elles définissent (techniquement, le produit extérieur entre les deux vecteurs unitaires donnés). Bref, c'est une mesure caractérisant un bout de surface. D'ailleurs, la courbure du petit élément de surface défini par deux directions à partir d'un même point (=courbure sectionnelle) dans le plan projectif complexe vaut 1 + 3·cos²(κ) où κ est l'angle d'holomorphie des deux directions en question (dans le cas extrême κ=0 ou π, on trouve 4 parce que la surface locale est une droite projective complexe, c'est-à-dire métriquement une sphère de rayon ½, tandis que dans l'autre cas extrême κ=π/2, on trouve 1 parce qu'on a affaire à un plan projectif réel, de rayon 1).

Enfin, le pseudo-angle φ apparaît naturellement comme l'argument d'un certain produit scalaire hermitien (complexe) dont la partie réelle est le cosinus de l'angle euclidien et dont le module est le cosinus de l'angle hermitien.

Je renvoie à ce texte pour une introduction à différents angles, ainsi qu'au début de celui-ci, et aussi à ce papier (malheureusement pas en accès libre).

Bien entendu, ces différentes sortes d'angles sont aussi reliées par toutes sortes de relations trigonométriques : j'ai explicité ci-dessus celles qui relient les différents angles en un sommet donné, mais il y a aussi les relations qui relient les longueurs des côtés d'un triangle avec les angles en ses sommets. J'avais déjà parlé dans une entrée précédente des formules fondamentales du triangle sphérique, mais il existe des formules du même genre, quoique plus complexes parce que faisant intervenir deux sortes d'angles en chaque sommet, et moins connues / développées, pour la trigonométrie du triangle dans le plan projectif complexe (on parle parfois de trigonométrie du triangle hermitien, ou trigonométrie hermitienne) : en voici les principales :

On peut associer à un triangle ABC du plan projectif complexe un triangle polaire (parfois aussi appelé dual), dont les sommets sont les points polaires aux droites complexes BC, CA et AB (le point polaire d'une droite complexe étant le point situé à distance π/2 de tous les points de cette droite ; ou encore, si elle a pour équation u·p+v·q+w·r=0, il s'agit du point (p^*:q^*:r^*)). Les longueurs des côtés du triangle dual sont les angles hermitiens aux sommets du triangle primal, et vice versa. En revanche, je ne sais pas si on peut interpréter simplement, dans le triangle primal, les angles euclidiens et d'holomorphie aux sommets du triangle dual (ou vice versa).

Le plan projectif quaternionique

On peut définir le plan projectif quaternionique (de dimension réelle 8) presque exactement comme on l'a fait avec les réels et les complexes. Il faut juste faire attention dans ce cas à choisir le sens de la multiplication : on part des triplets (u,v,w) de quaternions non tous nuls, et disons qu'on identifie (u,v,w) avec (λu,λv,λw) pour λ un quaternion non nul (on pourrait multiplier par λ à droite, cela ne changerait pas l'espace finalement construit, mais cela changerait la façon de le voir et de le paramétrer ; il faut juste fixer la convention et s'y tenir). Cela revient à identifier (u,v,w) et (u′,v′,w′) lorsque les coordonnées nulles sont les mêmes d'un côté et de l'autre et que u·u′⁻¹, v·v′⁻¹ et w·w′⁻¹ sont égaux ; ou encore, ce qui revient au même, que u⁻¹·v=u′⁻¹·v′ et v⁻¹·w=v′⁻¹·w′ et w⁻¹·u=w′⁻¹·u′ (les dénominateurs nuls sont traités de façon évidente quand on se rappelle qu'on a demande, de toute façon, que les coordonnées nulles soient les mêmes entre u,v,w et u′,v′,w′).

Exactement comme pour les réels et les complexes, on introduit sur le plan projectif quaternionique la distance dist((u:v:w), (u′:v′:w′)) = Arccos(|u·u′^*+v·v′^*+w·w′^*| / √((|u|²+|v|²+|w|²)·(|u′|²+|v′|²+|w′|²))) où q^* désigne le conjugué du quaternion q ; donc, pour des coordonnées normalisées (i.e., |u|²+|v|²+|w|²=1 et |u′|²+|v′|²+|w′|²=1), c'est simplement dist((u:v:w), (u′:v′:w′)) = Arccos(|u·u′^*+v·v′^*+w·w′^*|). Le sens des multiplications (c'est u·u′^* et pas u′^*·u) a une importance, car on veut que la multiplication de (u,v,w) par λ à gauche et de (u′,v′,w′) par λ′ à gauche (donc de leurs conjugués par λ′^* à droite) ne change pas la distance ; en particulier, la distance entre deux points égaux doit être zéro, quelles que soient les coordonnées homogènes utilisées pour le représenter.

La droite projective quaternionique se définit sans difficulté particulière (par exemple en prenant w=0 dans ce qui précède), et comme pour les complexes, elle s'obtient en ajoutant un unique point à l'infini à l'ensemble des quaternions ; et il s'agit d'une 4-sphère, ce qui peut se voir par le plongement de Veronese (qui, à peu près comme dans le cas des complexes, donne la projection stéréographique de la sphère, sauf qu'il s'agit cette fois de la 4-sphère).

Les droites quaternioniques du plan quaternionique sont définies par des équations du type u·a+v·b+w·c=0 où a,b,c sont trois coefficients quaternioniques (remarquer qu'il revient à dire que le point (u:v:w) est à distance π/2 du point (a^*:b^*:c^*), ce dernier étant dit polaire à la droite). Ces droites quaternioniques sont, topologiquement et métriquement, des sphères de dimension 4. Au niveau de la géométrie d'incidence, le plan projectif quaternionique et ses droites quaternioniques vérifie les axiomes de base de la géométrie projective (par deux points distincts passe une unique droite, deux droites distinctes se coupent en un unique point, et il existe au moins quatre points dont trois quelconques ne sont pas colinéaires), y compris le théorème de Desargues, mais pas le théorème de Pappus (à cause de la non-commutativité des quaternions).

Le plan projectif octonionique

Si on veut définir le plan projectif octonionique (de dimension réelle 16), on considère les triplets (u,v,w) d'octonions non tous nuls, et associatifs, c'est-à-dire que u(vw) = (uv)w (ou de façon équivalente, u,v,w appartiennent à une même algèbre de quaternions), et on identifie (u,v,w) et (u′,v′,w′) lorsque les coordonnées nulles sont les mêmes d'un côté et de l'autre et que u⁻¹·v=u′⁻¹·v′ et v⁻¹·w=v′⁻¹·w′ et w⁻¹·u=w′⁻¹·u′ (toujours avec les conventions évidentes pour les dénominateurs nuls). Une autre façon de dire les choses est qu'on identifie (u,v,w) avec (λu,λv,λw) lorsque λ,u,v,w appartiennent tous à une même algèbre de quaternions (i.e., trois quelconques d'entre eux sont associatifs) : mais telle quelle, ce n'est pas une relation d'équivalence, il faut prendre sa clôture transitive, c'est-à-dire qu'il faudra parfois passer par plusieurs étapes pour identifier deux systèmes de coordonnées. À titre d'exemple, (0:i:iℓ) = (0:1:ℓ) = (0:j:jℓ) en multipliant les coordonnées successivement par −i puis par j, mais on ne passe pas directement de la première écriture à la dernière en multipliant à gauche par un octonion (multiplier à gauche par k transforme i en j mais iℓ en −jℓ : cette opération n'est pas légitime car k,i,iℓ n'appartiennent pas à une même algèbre de quaternions). Et soulignons qu'un système de coordonnées comme (i:j:ℓ) n'a tout simplement pas de sens (car les trois coordonnées proposées ne s'associent pas, i.e., n'appartiennent pas à une même algèbre de quaternions).

Et comme pour les plans projectifs réel, complexe et quaternionique, on veut définir sur le plan projectif octonionique une distance. Cette fois, la formule Arccos(|u·u′^*+v·v′^*+w·w′^*|) (sur les coordonnées normalisées, ou la version correspondante sans normalisation — ce n'est pas le problème) ne convient pas : on s'aperçoit, par exemple, que cette formule donnerait une distance de π/2 entre les points (0:i:iℓ) et (0:j:jℓ)… alors qu'il s'agit du même point ! Voici comment on remédie à ce problème : sur les réels, complexes ou quaternions, le carré du module du produit scalaire hermitien ⟨P,P′⟩ := u·u′^*+v·v′^*+w·w′^* vaut, en développant |⟨P,P′⟩|² = ⟨P,P′⟩·⟨P,P′⟩^* = (u·u′^*+v·v′^*+w·w′^*) · (u′·u^*+v′·v^*+w′·w^*), ce qui donne une somme de neuf termes u·u′^*·u′·u^* + u·u′^*·v′·v^* + ⋯ + w·w′^*·w′·w^* ; maintenant, cette quantité est un nombre réel, donc égal à sa partie réelle, or la partie réelle d'un produit de quaternions ne change pas si on permute cycliquement les facteurs (sur les complexes ou à plus forte raison les réels, ce que je viens de dire est trivialement vrai, bien sûr) : ainsi, |⟨P,P′⟩|² est la partie réelle de la somme de neuf termes où j'ai fait passer le dernier facteur en premier dans chaque produit, c'est-à-dire u^*·u·u′^*·u′ + v^*·u·u′^*·v′ + ⋯ + w^*·w·w′^*·w′ ; replaçons maintenant des parenthèses autour des coordonnées d'un même jeu : l'expression complète est (la partie réelle de) h := (u^*·u)·(u′^*·u′) + (v^*·u)·(u′^*·v′) + (w^*·u)·(u′^*·w′) + (u^*·v)·(v′^*·u′) + (v^*·v)·(v′^*·v′) + (w^*·v)·(v′^*·w′) + (u^*·w)·(w′^*·u′) + (v^*·w)·(w′^*·v′) + (w^*·w)·(w′^*·w′). Cette expression (une fois parenthésée comme je viens de l'écrire) a un sens pour les octonions, et elle a le bon goût que si on remplace (u,v,w) par (λu,λv,λw) où λ,u,v,w appartiennent tous à une même algèbre de quaternions (i.e., s'associent trois à trois) elle est multipliée par |λ|², et un énoncé analogue vaut pour les coordonnées (u′,v′,w′). On définit donc une fonction sur les couples de points du plan projectif octonionique en posant dist((u:v:w), (u′:v′:w′)) := Arccos(√Re(h)) avec h la somme définie ci-dessus (i.e., la distance est l'arc-cosinus de la racine carrée de la partie réelle de la somme de neuf termes h écrite ci-dessus) lorsque les coordonnées sont normalisées (et sinon, on divise l'argument de l'arc-cosinus par √((|u|²+|v|²+|w|²)·(|u′|²+|v′|²+|w′|²)) comme précédemment).

Note : il y a peut-être une interprétation à donner à h lui-même, et pas seulement à sa partie réelle, mais j'avoue que je ne comprends pas bien. Sur les réels ou les complexes, h est déjà un réel donc la partie réelle ne sert à rien. Sur les quaternions ou les octonions, h n'est pas forcément réel, mais seule sa partie réelle est invariante par déplacements, ce qui suggère que le reste n'est pas très intéressant.

Cette définition peut paraître très compliquée, et peut-être que je ne l'ai pas présentée de la façon la plus simple. Une façon différente de la voir est la suivante : donné un système de coordonnées normalisées (u,v,w) de réels, complexes, quaternions ou octonions (pour les octonions, on suppose donc qu'il y a associativité !), disons qu'on voit ces coordonnées comme un vecteur-ligne P, i.e., une matrice 1×3 (une ligne de 3 entrées) ; puis on peut introduire P^†, le conjugué hermitien de P, qui est le vecteur colonne (i.e., matrice 3×1) dont les coordonnées sont les conjuguées de celles de P. La matrice M := P^†·P (le produit de matrices étant fait de manière usuelle ; et ici, comme on multiplie une matrice 3×1 par une matrice 3×1, il n'y a rien à sommer, juste à prendre tous les produits) est une matrice 3×3 dont les entrées sont les u^*·u, u^*·v, etc. jusqu'à w^*·w. Cette matrice M est hermitienne (i.e., M^†=M, autrement dit, elle est égale à la conjuguée de sa transposée), et il est facile de voir qu'elle vérifie aussi trace(M)=1 et M²=M (on utilise le fait que les coordonnées sont normalisées — sinon on aurait un facteur |u|²+|v|²+|w|² — et par ailleurs qu'elles s'associent). (Sur les réels, complexes ou quaternions, cette matrice est celle d'un projecteur sur la droite vectorielle réelle/complexe/quaternionique engendrée par (u,v,w).) Si maintenant on fait la même chose pour le deuxième jeu de coordonnées (u′,v′,w′), ce qui donne une matrice M′, l'expression h que j'ai écrite ci-dessus est la partie réelle de la trace de M·M′, et sa partie réelle Re(h) est aussi, si on préfère, la trace de M∘M′ := ½(M·M′+M′·M) (automatiquement réelle). Pour P=(u,v,w) normalisé par P·P^† (et vérifiant u(vw) = (uv)w) et pareil pour P′, on a donc posé dist([P], [P′]) = Arccos(√trace(M∘M′)) = Arccos(√trace((P^†·P)∘(P′^†·P′))) = Arccos(√trace(½((P^†·P)·(P′^†·P′)+(P′^†·P′)·(P^†·P)))). Et si on ne veut pas supposer P,P′ normalisés, en définissant toujours M := P^†·P, la distance est dist([P], [P′]) = Arccos(√(trace(M∘M′)/(trace(M)·trace(M′)))), ou, ce qui revient au même, M/trace(M) donne la version normalisée de M. Qui plus est, l'application qui envoie [P] = (u:v:w) (normalisées) sur la matrice hermitienne M=P^†·P (vue comme élément d'un espace vectoriel réel de dimension 6, 9, 15 ou 27 selon qu'on est sur les réels, complexes, quaternions ou octonions, espace muni de la norme trace(M²), qui n'est autre que la somme des carrés des modules de tous les coefficients de M) est essentiellement ce que j'ai appelé le plongement de Veronese plus haut.

L'ensemble des matrices 3×3 octonioniques hermitiennes munies du produit bilinéaire M∘M′ := ½(M·M′+M′·M) est une algèbre de Jordan appelée algèbre d'Albert, et qui apparaît comme (unique) objet exceptionnel dans la classification des algèbres de Jordan formellement réelles.

La droite projective octonionique se définit sans difficulté particulière (par exemple en prenant w=0 tout du long dans tout ce que je viens de dire), mais elle n'est pas particulièrement intéressante : comme sur les complexes ou les quaternions, on peut juste la voir comme l'ensemble des octonions auxquels on a ajouté un unique point à l'infini, et il s'agit d'une 8-sphère (via le plongement de Veronese).

Pour définir les droites octonioniques dans le plan projectif octonionique, on ne peut pas simplement écrire l'équation u·a+v·b+w·c=0, mais on peut reprendre la formule de la distance et demander que le point (u:v:w) soit à distance π/2 du point (a^*:b^*:c^*) (c'est-à-dire que Re[(u^*·u)·(a·a^*) + (v^*·u)·(a·b^*) + ⋯ + (w^*·w)·(c·c^*)] = 0). Il reste vrai que par deux points distincts passe une unique droite, et que deux droites distinctes se coupent en un unique point, mais cette fois le théorème de Desargues n'est plus valable, sauf (« petit théorème de Desargues ») si on ajoute l'hypothèse supplémentaire que le centre de perspectivité est situé sur l'axe de perspectivité.

Les espaces projectifs de dimension supérieure

Définir l'espace projectif de dimension m sur les réels, complexes ou quaternions ne pose aucune difficulté particulière : on prend simplement m+1 coordonnées là où j'en ai pris 3 pour le plan. Autrement dit, l'espace projectif de dimension m sur les réels, complexes ou quaternions est l'ensemble des (m+1)-uplets (u₁,u₂,…,u_m,u₀) de réels/complexes/quaternions non tous nuls, où on identifie (u₁,u₂,…,u_m,u₀) avec (λu₁,λu₂,…,λu_m,λu₀) pour tout réel/complexe/quaternion λ ; on note les coordonnées (u₁:u₂:…:u_m:u₀) et on parle de coordonnées homogènes ; on peut imposer la condition de normalisation |u₁|²+|u₂|²+⋯+|u_m|²+|u₀|² = 1 (qui fait que l'indétermination est réduite aux λ de module 1). La distance entre deux points est donnée par Arccos(|u₁·u′₁^* + u₂·u′₂^* + ⋯ + u_m·u′_m^* + u₀·u′₀^*|) en coordonnées normalisées (et sinon, diviser l'argument de l'arc-cosinus par la racine carrée qu'on imagine).

Sur les octonions, en revanche, on ne peut définir que les espaces projectifs de dimension 1 et 2 : quelle que soit la manière dont on s'y prenne, les choses cassent en dimension supérieure (une façon de s'en convaincre est que le théorème de Desargues, qui n'est pas valable dans le plan projectif octonionique, est une conséquence des axiomes d'incidence à partir de la dimension 3 ; une autre façon de s'en convaincre est de classifier les algèbres de Jordan). J'ai défini le plan projectif octonionique ci-dessus : la droite projective octonionique peut s'obtenir simplement en mettant une coordonnée à 0, et on peut se convaincre que c'est une 8-sphère de rayon ½ obtenue en ajoutant un point à l'infini à l'ensemble des octonions, via la projection stéréographique, exactement comme pour les complexes (et de même, mutatis mutandis, pour les quaternions).

Un mot sur les espaces hyperboliques

À côté de l'espace hyperbolique réel, il existe des espaces hyperboliques complexes et quaternioniques et une droite et un plan hyperboliques octonioniques, exactement comme à côté de l'espace projectif réel, il existe des espaces projectifs complexes et quaternioniques et une droite et un plan projectifs octonioniques (c'est ici que je me dis que j'aurais sans doute dû écrire elliptique plutôt que projectif tout du long).

Leur définition est extrêmement proche, il faut simplement changer des signes : pour le plan hyperbolique réel, complexe ou quaternionique, on considère l'ensemble des triplets (u,v,w) mais sujets, cette fois, à la normalisation −|u|²−|v|²+|w|²=1 en identifiant (u,v,w) avec (λu,λv,λw) lorsque λ est de module 1 (ou, si on ne veut pas normaliser, on prendra −|u|²−|v|²+|w|²>0 et on identifiera (u,v,w) avec (λu,λv,λw) quel que soit λ). Et la distance est donnée par dist((u:v:w), (u′:v′:w′)) = Arccosh(|−u·u′^*−v·v′^*+w·w′^*|) avec cette fois un arc-cosinus hyperbolique (Arccosh(t)=log(t+√(t²−1))), l'argument du Arccosh devant bien sûr être divisé par √((−|u|²−|v|²+|w|²)·(−|u′|²−|v′|²+|w′|²)) si on a pris des coordonnées non normalisées.

De même que j'ai expliqué que le plan projectif (i.e., elliptique) réel et la droite projective (i.e., elliptique) complexe avaient un rapport fort avec la sphère vue en projection gnomonique et stéréographique respectivement, de même, le plan hyperbolique réel doit plutôt se penser dans sa projection de Beltrami-Klein (celle qui envoie (u,v,w) tels que −u²−v²+w²=1 sur (u/w,v/w)), tandis que la projection du disque de Poincaré est plutôt associée à la droite hyperbolique complexe. Mais en réalité, cette fois, il n'y a pas de différence (pas d'antipodie par laquelle quotienter), et le plan hyperbolique réel est exactement le même que la droite hyperbolique complexe (si ce n'est, peut-être, pour un facteur ½ dans la distance si on suit les conventions que j'ai prises).

Pour l'espace hyperbolique de dimension supérieure, on augmente de façon évidente le nombre de coordonnées ; on garde un signe moins devant toutes les coordonnées sauf une (j'ai choisi de mettre cette coordonnée en dernier par cohérence avec ce que j'ai écrit plus haut, mais bien sûr ça n'a pas d'importance). Remarquer par ailleurs que sur les réels, comme w n'est jamais nul, on pourra fixer complètement les coordonnées normalisées en imposant w>0.

Pour le plan hyperbolique octonionique, on considère une fois de plus les triplets (u,v,w) d'octonions qui s'associent (c'est-à-dire u(vw) = (uv)w), et sujets à la condition de normalisation −|u|²−|v|²+|w|²=1 (ou en tout cas −|u|²−|v|²+|w|²>0 si on ne veut pas normaliser). Et la distance est donnée par Arccosh(√Re[(u^*·u)·(u′^*·u′) + (v^*·u)·(u′^*·v′) − (w^*·u)·(u′^*·w′) + (u^*·v)·(v′^*·u′) + (v^*·v)·(v′^*·v′) − (w^*·v)·(v′^*·w′) − (u^*·w)·(w′^*·u′) − (v^*·w)·(w′^*·v′) + (w^*·w)·(w′^*·w′)]). J'espère ne pas m'être trompé dans l'histoire (il n'y a quasiment aucune littérature mathématique sur le plan hyperbolique octonionique).

Il existe aussi des espaces qui peuvent s'obtenir avec une combinaison de signes quelconque (au lieu de +++⋯+++ et −−−⋯−−+ comme les espaces projectifs/elliptiques et hyperboliques que j'ai présentés). Ce ne sont pas des espaces métriques / variétés riemanniennes, mais plutôt des variétés pseudo-riemanniennes (a.k.a., à métrique de signature indéfinie), c'est-à-dire quelque chose comme l'espace de la relativité générale mais où on pourrait avoir plusieurs dimensions « de type temps » en plus de plusieurs dimensions « de type espace ». Les plus intéressants pour les physiciens, car ce sont les seuls qui aient la bonne signature d'espace-temps, sont les espaces de De Sitter et anti-de Sitter (je les ai évoqués ici), qui sont des sortes d'analogues de la sphère / espace elliptique, et et l'espace hyperbolique, en signature 1+3 (une dimension de temps et trois d'espace, ou le contraire). Mais il existe aussi des espaces complexes, quaternioniques et octonioniques de signature indéfinie (simplement, chaque partie de la signature, c'est-à-dire le nombre de dimensions de temps et d'espace, doit être divisible par 2, 4 ou 8 selon le cas ; pour le cas octonionique, comme la dimension totale est 16, ça ne laisse pas des masses de possibilités), et ils sont encore « homogènes et isotropes », pour une définition raisonnablement adaptée de ces termes au cas pseudo-riemannien.

Quelques remarques supplémentaires (et des groupes de Lie)

(Je renvoie à ce que j'avais écrit ici pour des généralités sur la notion de groupe de Lie et leur classification, ainsi que pour quelques mots sur les espaces riemanniens symétriques.)

Pour chacun des espaces que j'ai définis, il y a lieu de s'interroger sur son groupe des déplacements : une isométrie de l'espace est une transformation (forcément continue) qui préserve la distance, et un déplacement est une isométrie qu'on peut ramener continûment à l'identité (par exemple, dans le plan euclidien, une rotation ou une translation est un déplacement, parce qu'on peut faire de petites rotations ou de petites translations, mais une symétrie axiale est une isométrie qui n'est pas un déplacement ; il est plus simple de se pencher sur les déplacements que sur les isométries en général, mais au niveau très vague où je veux me place, la différence n'est pas vraiment importante). Les déplacements (comme les isométries) forment un groupe pour la composition (et les déplacements sont la composante connexe de l'identité dans le groupe des isométries).

Par exemple, le groupe des déplacements de la sphère (de dimension 2) est le groupe SO₃ des rotations de l'espace euclidien de dimension 3, et plus généralement, le groupe des déplacements de la sphère de dimension m est SO_m+1 (de dimension ½(m²+m)). On peut aussi dire que la sphère de dimension m est le quotient SO_m+1/SO_m, parce que SO_m peut se voir comme le sous-groupe des déplacements qui préservent un point p₀ fixé (typiquement, (0,0,…,0,1)) sur la sphère (=: stabilisateur de p₀) ; et se donner un point p quelconque de la sphère revient à se donner un déplacement g envoyant p₀ sur p modulo les déplacements qui fixent p₀ (i.e., tout élément de g·SO_m envoie p₀ sur p et réciproquement tout déplacement qui envoie p₀ sur p appartient à g·SO_m).

Il en va presque de même de l'espace projectif (i.e., elliptique) réel de dimension m : cette fois, son groupe des déplacements est PO_m+1, qui est la même chose que SO_m+1 lorsque m est pair, et qui est son quotient par le déplacement « antipodie » (qui envoie chaque point de la sphère sur son antipode, i.e., la symétrie par rapport à l'origine) lorsque m est impair (cette condition est celle qui fait que l'antipodie est bien un déplacement). (Ce groupe PO_m+1 est toujours de dimension ½(m²+m), bien sûr.) On peut aussi écrire que l'espace projectif réel est SO_m+1/O_m (lorsque m est impair, l'antipodie dans SO_m+1 donne l'identité sur l'espace projectif réel, mais comme elle est de toute façon dans O_m, ce n'est pas grave, et l'écriture est bien correcte).

Pour ce qui est de l'espace projectif (i.e., elliptique) complexe de dimension complexe m (donc réelle 2m), son groupe des déplacements est lié au groupe U_m+1 des matrices (m+1)×(m+1) complexes unitaires, c'est-à-dire des matrices g telles que g·g^†=1 où g^† désigne la conjuguée hermitienne (conjuguée complexe de la transposée) : en effet, une telle matrice, qui opère sur les coordonnées homogènes d'un point va préserver la distance de Fubini-Study. Plus exactement, le groupe des déplacements de l'espace projectif complexe est le groupe PU_m+1 qui est le groupe U_m+1 modulo le groupe U₁ des scalaires λ (i.e., des matrices diagonales de matrice diagonale λ) avec |λ|=1. Ce groupe (PU_m+1 comme d'ailleurs SU_m+1) est de dimension (réelle) m²+2m. Et l'espace projectif complexe peut s'écrire comme SU_m+1/U_m (ici, SU_m+1 est l'ensemble des matrices unitaires (m+1)×(m+1) de déterminant 1 : le lien avec PU_m+1 est que ce dernier est le quotient de SU_m+1 par le groupe des matrices scalaires λ avec λ^m+1=1 une racine (m+1)-ième de l'unité : comme l'antipodie dans le cas réel, ces matrices réalisent l'identité sur l'espace projectif complexe).

La situation est semblable pour les quaternions, mais je ne vais pas l'écrire complètement, parce que je me rends compte que j'ai mal fait mes choix entre la gauche et la droite dans mes définitions (si on veut que les matrices opèrent par la gauche sur les coordonnées, on doit quotienter les scalaires λ à droite, et je n'ai pas envie de tout réécrire). Mais disons que l'espace projectif quaternionique de dimension quaternionique m (donc réelle 4m) peut s'écrire Sp_m+1/(Sp_m×Sp₁) où Sp_m+1 est le groupe symplectique compact / hyperunitaire (de dimension 2m²+5m+3), formé des matrices quaternioniques (m+1)×(m+1) unitaires ou complexes 2(m+1)×2(m+1) unitaires et préservant une forme symplectique (et en particulier, Sp₁ est le groupe des quaternions λ de module 1, qui peut se voir de plein de façons différentes : Spin₃ ou SU₂ notamment). Le groupe des déplacements de l'espace projectif quaternionique est PgSp_m+1 := Sp_m+1/{±1}.

Quant au plan projectif octonionique, son groupe des déplacements est un groupe de Lie dit exceptionnel de dimension 52 : c'est le groupe compact F₄ (i.e., la forme réelle compacte de F₄), qui n'admet pas vraiment de description plus simple que celle que je viens de lui donner (on peut dire que c'est le groupe des automorphismes de l'algèbre d'Albert des matrices hermitiennes 3×3 octonioniques pour le produit M∘M′ := ½(M·M′+M′·M), mais c'est essentiellement redire la même chose). Le stabilisateur d'un point est Spin₉, et le plan projectif octonionique peut donc se décrire comme F₄(cpt)/Spin₉. Peut-être que je reviendrai dessus un jour, parce que la manière de voir Spin₉ dans F₄ a un joli rapport avec le phénomène de « trialité ».

Il y a, de même, des descriptions semblables pour les espaces hyperboliques : l'espace hyperbolique réel de dimension m peut se voir comme SO⁰_m,1/SO_m (où SO_m,1 désigne le groupe spécial orthogonal pour la forme quadratique de signature (m,1), et SO⁰_m,1 sa composante connexe de l'identité), l'espace hyperbolique complexe comme SU_m,1/U_m, l'espace hyperbolique quaternionique comme Sp_m,1/(Sp_m×Sp₁), et le plan hyperbolique octonionique comme F₄(Spin₉)/Spin₉ où F₄(Spin₉) désigne la forme réelle du groupe exceptionnel F₄ dont le sous-groupe compact maximal est Spin₉. Tout ceci est un cas particulier d'un phénomène dit de dualité des espaces riemanniens symétriques.

Mais il y a d'autres sortes de groupes qu'on peut définir sur les espaces projectifs, à savoir les groupes des colinéations, c'est-à-dire les transformations continues qui préservent l'alignement (autrement dit les droites réelles/complexes/quaternioniques/octonioniques de l'espace réel/complexe/quaternionique/octonionique). On trouve alors d'autres choses : dans le cas réel, PGL_m+1, dans le cas complexe PGL_m+1,ℂ (bon, je triche un tout petit peu, je me limite aux colinéations qui préservent la structure complexe), dans le cas quaternionique PGL_m+1,ℍ, et dans le cas du plan projectif octonionique, E₆(F₄) (une forme réelle du groupe de Lie exceptionnel E₆, de dimension 78).