David Madore's WebLog: Quelques notions de géométrie sphérique et hyperbolique

La géométrie sphérique et la notion de polarité

En géométrie sphérique, les points vivent à la surface de la sphère, et les droites sont des grands cercles sur la sphère (c'est-à-dire des cercles ayant le même centre que la sphère, ou encore, les intersections de celle-ci avec un plan passant par le centre). Il y a cependant une petite subtilité : comme deux grands cercles distincts se coupent toujours en deux points (antipodaux l'un de l'autre), et que deux points distincts ne définissent un grand cercle que s'ils ne sont pas antipodaux, on a souvent envie d'identifier les antipodes, c'est-à-dire d'appeler point une paire de points antipodaux, auquel cas la structure d'incidence devient beaucoup plus naturelle (deux points définissent une droite, deux droites distinctes se coupent toujours en un point) : avec cette identification, on parle parfois de géométrie elliptique, mais cette distinction de langage n'est pas toujours faite (ou pas toujours de façon cohérente), et de toute façon, quand on veut faire de la géométrie métrique (mesurer des distances et des angles), on peut largement ignorer cette subtilité.

(Par ailleurs, en fait, quand on fait cette identification des points opposés, ce qui revient à voir la sphère par sa projection « gnomonique », pour ce qui est de l'incidence, on aboutit au même plan projectif réel qu'en ajoutant une droite à l'infini au plan euclidien.)

On remarquera que, sur la sphère, la notion de droite parallèle n'existe pas : deux droites se coupent toujours (en deux points antipodaux, donc, si on a fait l'identification des antipodes, en un point unique). En fait, points et droites jouent un rôle complètement symétrique sur la sphère parce qu'elles sont liées par la notion de polarité : à chaque droite de la sphère (=grand cercle) est associé une paire de points antipodaux (donc « un point » en géométrie elliptique), qu'on peut voir comme les pôles pour lesquels ce cercle serait l'équateur, ou comme le point le plus éloigné du grand cercle en question (pour être plus précis, si S est la sphère et S∩Π un grand cercle défini comme son intersection avec un plan Π passant par le centre O de S, alors les points en question sont l'intersection de S avec la droite orthogonale à Π passant par O) ; et réciproquement, à chaque point (paire de points antipodaux) est associé un grand cercle — on dit qu'ils sont polaires.

Cette notion de polarité préserve l'incidence : c'est-à-dire que si d₁ et d₂ sont deux grands cercles distincts, le grand cercle polaire de leur intersection est justement le grand cercle qui relie les polaires de d₁ et d₂. Autrement dit, en prenant une figure de géométrie elliptique et en transformant, par polarité, tous les points en droites et les droites en points, on obtient une nouvelle figure avec les mêmes incidences. Il s'agit donc d'une notion absolument cruciale (et qui réalise la « dualité projective »).

Il faut maintenant parler de distances et d'angles sur la sphère. Pour faire abstraction du rayon de la sphère, on fait la convention que les distances sont mesurées par les angles au centre de la sphère (exprimés en radians), ou, ce qui revient au même, que la sphère a rayon 1 (et qu'on mesure alors les distances à la surface de celle-ci). Ainsi, la plus grande distance possible entre deux points est π en géométrie sphérique (quand les deux points sont antipodaux), et π/2 en géométrie elliptique, c'est-à-dire entre deux paires de points antipodaux (auquel cas on pourra les dire perpendiculaires, et cela revient au même de dire que chacune est située sur le polaire de l'autre). L'angle entre deux droites (=grands cercles) est l'angle mesuré à la surface, mais là aussi la polarité relie les notions les unes aux autres puisque l'angle entre deux grands cercles est précisément la distance entre leurs polaires. Ainsi, la polarité non seulement échange points (au sens « paires de points antipodaux ») et droites (grands cercles), mais elle échange aussi distances et angles. (Il faut toutefois faire un peu attention, parce qu'il y a deux distances possibles entre deux points, complémentaires à π, selon la manière dont on choisit entre les antipodes, de même qu'il y a deux angles possibles entre deux droites, complémentaires à π, et on peut facilement se retrouver avec le mauvais angle ou la mauvaise distance si on ne fait pas attention.)

Remarquons notamment que deux grands cercles sont orthogonaux si et seulement si chacun passe par le polaire de l'autre. Ce qui permet d'ailleurs de définir la polarité autrement : le polaire d'un grand cercle est l'intersection de tous les grands cercles qui lui sont orthogonaux, et le polaire d'un point est l'ensemble des points qui lui sont perpendiculaires (=à distance π/2).

La géométrie hyperbolique, ses points, points idéaux et points hyper-idéaux

Pour introduire la géométrie hyperbolique, je suis plus embêté que pour la géométrie sphérique, parce que si la sphère a un modèle naturel dans l'espace euclidien, ce n'est pas le cas du plan hyperbolique.

(Malgré le nom « hyperbolique », il ne suffit pas de prendre un hyperboloïde : la courbure de celui-ci n'est pas constant. En fait, on peut définir le plan hyperbolique comme un feuillet d'un hyperboloïde à deux nappes, mais il faut le faire dans l'espace de Lorentz et pas dans l'espace euclidien, mais je ne suis pas sûr que ce « modèle de Weierstraß » de l'espace hyperbolique aide vraiment le profane à y voir quelque chose.)

Je vais faire du mieux que je peux en partant du modèle de Beltrami-Klein : traçons un cercle dans le plan euclidien. Les points du disque intérieur à ce cercle s'appelleront points du plan hyperbolique (ce sont eux, et seulement eux, les points au sens strict). Ceux qui sont sur le cercle s'appelleront points idéaux : ils sont en quelque sorte « à l'infini » pour le plan hyperbolique, et joueront un peu le rôle de la « droite à l'infini » dans la géométrie euclidienne (c'est-à-dire qu'elle ne fait pas partie du plan euclidien mais qu'il est parfois commode d'en parler) — mais au lieu d'avoir une droite à l'infini on a un cercle à l'infini, le cercle des points idéaux. Enfin, les points qui sont au-delà (=à l'extérieur) du cercle s'appelleront points hyper-idéaux. (Il faut aussi compter, dans les points hyper-idéaux du plan hyperbolique, les points qui, dans le plan euclidien, sont « à l'infini », c'est-à-dire les directions des droites parallèles au sens euclidien — mais on pourra ignorer cette subtilité s'il s'agit juste de se faire une idée.) On va voir que les points hyper-idéaux correspondent aux droites de l'espace hyperbolique par une notion de polarité analogue à celle qu'on avait sur la sphère. Mais j'insiste sur le fait que le plan hyperbolique, ce sont uniquement les points intérieurs, les points du disque.

(Par ailleurs, j'espère qu'il est clair que ceci n'est qu'une façon, et une façon parmi d'autres, de se représenter le plan hyperbolique. Le plan hyperbolique n'est pas l'intérieur d'un disque, c'est juste la manière dont le modèle de Beltrami-Klein le décrit. Le cas échéant, pour lever l'ambiguïté entre un concept de géométrie hyperbolique et un concept de géométrie euclidienne sur le modèle de Beltrami-Klein, j'ajouterai l'adjectif hyperbolique ou euclidien ; ou je parlerai de la projection d'un objet hyperbolique pour désigner l'objet euclidien qui le représente.)

Une droite du plan hyperbolique se voit (dans le modèle de Beltrami-Klein) comme une droite euclidienne qui coupe le cercle proprement, c'est-à-dire, en deux points distincts. Les points du disque situés sur la droite s'appellent les points de la droite hyperbolique ; les deux points idéaux en lesquels la droite rencontre le cercle des points idéaux s'appellent les points idéaux ou points à l'infini, ou parfois directions asymptotiques de la droite (remarquons qu'il y en a deux, contrairement au cas euclidien où une droite n'a qu'une direction à l'infini, commune avec toutes ses parallèles). Enfin, les points hyper-idéaux situés sur la droite (i.e., sur son prolongement dans le plan euclidien au-delà du disque des points du plan hyperbolique) s'appellent points hyper-idéaux de la droite et on verra qu'ils correspondent en un certain sens (par polarité) aux droites hyperboliques perpendiculaires à elle.

Deux droites du plan hyperbolique peuvent se couper en un point du plan hyperbolique (i.e., leurs projections dans le modèle de Beltrami-Klein se coupent à l'intérieur du disque euclidien), auquel cas on les dira sécantes, elles peuvent se toucher en un point idéal (i.e., leurs projections se coupent sur le cercle des points idéaux), auquel cas on les dira idéalement parallèles au sens hyperbolique, ou enfin leurs projections peuvent se rencontrer à l'extérieur du disque (y compris si, au sens euclidien, elles sont parallèles), auquel cas on dira qu'elles sont hyper-parallèles, et on verra que cela signifie précisément qu'elles ont une (unique) perpendiculaire commune. L'intuition qu'il faut se faire est que deux droites hyperboliques idéalement parallèles se rapprochent de plus en plus à l'infini, alors que deux hyper-parallèles ont des points de distance hyperbolique minimale (la droite qui les relie sera la perpendiculaire commune), et s'éloignent ensuite dans les deux directions. On verra aussi qu'à deux droites sécantes on peut associer un angle (comme dans le cas elliptique ou euclidien) et qu'à deux droites hyper-parallèles on peut associer une distance (la plus petite distance entre elles) et qu'il y a une grande similarité entre ces deux situations.

(Dans la figure à droite, si votre navigateur affiche le SVG, j'ai tracé trois droites bordeaux, idéalement parallèles entre elles : la plus à droite est sécante à la droite verte, et d'ailleurs même perpendiculaire, le point d'intersection est marqué en rouge ; celle du milieu est idéalement parallèle à la droite verte, le point idéal commun étant aussi marqué en rouge ; et celle de gauche est hyper-parallèle à la droite verte, la perpendiculaire commune, qui forme la plus courte distance hyperbolique entre les deux droites, étant en rouge pointillé.)

La raison pour laquelle j'ai utilisé les termes idéalement parallèle et hyper-parallèle, et jamais parallèle tout court, est que la terminologie n'est pas complètement claire : il y a des gens qui appellent parallèles, en géométrie hyperbolique, deux droites idéalement parallèles, et d'autres pour qui ça signifie deux droites non sécantes, donc idéalement parallèles ou hyper-parallèles. Autant éviter le problème en utilisant une terminologie sans ambiguïté.

Il faut maintenant que je parle de la notion de polarité (il s'agit, en fait, de la polarité par rapport à une conique en géométrie projective, et pas vraiment d'une notion de géométrie hyperbolique, mais c'est au moyen de cette polarité que l'orthogonalité hyperbolique se voit dans le modèle de Beltrami-Klein).

Si on considère un cercle dans le plan euclidien, et une droite qui coupe ce cercle en deux points, on peut tracer les deux tangentes au cercle en ces deux points, qui se coupent en un point extérieur au cercle (cf. la figure ci-contre) : ce point s'appelle le polaire de la droite par rapport au cercle, ou inversement la droite s'appelle la polaire du point extérieur au cercle. (On peut aussi définir la droite polaire d'un point intérieur au cercle, de la façon suivante : on prend toutes les droites passant par ce point — il suffira d'en tracer deux — et on considère les points polaires de ces droites, ces derniers sont alignés, et la droite qu'ils définissent est la droite polaire du point en question.)

Cette notion est importante, pour la géométrie hyperbolique pour la raison suivante : à chaque droite hyperbolique est associé un point hyper-idéal, son polaire par rapport au cercle à l'infini, qui s'obtient par le procédé que je viens de dire sur le modèle de Beltrami-Klein. Et ce point hyper-idéal est intéressant parce que deux droites hyperboliques sont perpendiculaires si et seulement si, dans la projection de Beltrami-Klein, la première passe (si on la prolonge, hors du cercle, aux points hyper-idéaux) par le point polaire de la seconde par rapport au cercle des points idéaux (auquel cas la réciproque est aussi vraie : la seconde passe par le point polaire de la première).

Ceci éclaire donc quantité de choses : les points hyper-idéaux sur (le prolongement d')une droite hyperbolique correspondent aux droites orthogonales à celle-ci (c'est-à-dire, sont les points polaires de telles droites). Deux droites hyper-parallèles (donc se coupant, si on les prolonge, en un point hyper-idéal) ont une, et une seule, perpendiculaire commune (celle dont le point polaire est à l'intersection des deux droites prolongées). On remarquera aussi, si on réfléchit un peu à la manière dont le point polaire est placé, que deux droites perpendiculaires sont forcément sécantes.

On peut aussi faire remarquer que le fait que deux droites hyperboliques d₁ et d₂ soient sécantes, idéalement parallèles, ou hyper-parallèles, se voit sur leurs points polaires, ou plus exactement sur la droite (euclidienne) ℓ qui relie ceux-ci : les droites d₁ et d₂ sont hyper-parallèles si et seulement si ℓ croise le cercle des points idéaux (donc définit une droite hyperbolique, qui est la perpendiculaire commune à d₁ et d₂), elle sont idéalement parallèles si et seulement si ℓ est tangente au cercle des points idéaux (et le point de tangence est alors le point idéal commun à d₁ et d₂), et elles sont sécantes si et seulement si ℓ ne rencontre pas le cercle des points idéaux (auquel cas ℓ est la droite polaire du point d'intersection).

On peut utiliser ces constructions, par exemple, pour définir une réflexion (=symétrie orthogonale par rapport à une droite) et une symétrie par rapport à un point en géométrie hyperbolique. Le plus simple est de commencer par définir les symétries des points idéaux : pour déterminer le symétrique d'un point idéal I par rapport à une droite d, on trace simplement la droite reliant I au point (hyper-idéal) polaire de d, c'est-à-dire la perpendiculaire hyperbolique à d par I, cette droite coupe le cercle des points idéaux en un deuxième point, qui est le symétrique de I par rapport à d (sur la figure ci-contre, les droites en pointillés gris sont des perpendiculaires hyperboliques de la droite verte, et relient donc deux points idéaux symétriques l'un de l'autre par rapport à cette droite verte) ; pour le symétrique d'un point idéal I par rapport à un point O, c'est encore plus simple : on trace la droite reliant O à I, et l'autre point d'intersection avec le cercle des points idéaux donne le symétrique (sur la figure ci-contre, les lignes en pointillés bleus font cette construction). Or une fois qu'on sait définir le symétrique d'un point idéal, on sait définir celui d'une droite, puisqu'une droite est définie par ses deux points idéaux (donc, dans la figure ci-contre, les deux droites bordeaux sont symétriques l'une de l'autre par rapport à la droite verte, ainsi que les deux paires de lignes bleues pointillées ; et chaque droite bordeaux est symétrique de la droite verte par rapport au point bleu situé du même côté d'elle). Du coup, on sait aussi définir le symétrique d'un point quelconque, puisqu'un point peut être défini par l'intersection de deux droites (dans la figure ci-contre, qui sert décidément à tout, les deux points bleus sont symétriques par rapport à la droite verte ; et du coup la droite qui les relie, en rouge pointillé, est elle aussi hyperboliquement perpendiculaire à la droite verte : c'est la perpendiculaire commune aux deux droites bordeaux et à la droite verte).

Il y a aussi une chose que je devrais souligner : le centre (euclidien) du cercle qui m'a servi à définir le modèle de Beltrami-Klein, il n'a pas de rôle privilégié dans la géométrie hyperbolique : tous les points du plan hyperbolique sont semblables aux autres (le plan hyperbolique est homogène) ; ce point n'est particulier que dans la projection, mais pas dans la géométrie hyperbolique projetée. Le cercle des points idéaux n'a pas de « centre » en géométrie hyperbolique : le cercle euclidien qui le représente a bien un cercle, que j'appellerai l'origine, mais c'est un point comme un autre, qui se trouve être au centre de la projection.

La notion de distance et d'angle en géométrie hyperbolique

Dans le cas de la sphère, j'ai pu définir la distance entre deux points simplement comme l'angle au centre entre ces points, et l'angle entre deux droites comme l'angle euclidien à la surface de la sphère. Dans le cas hyperbolique, je n'ai pas d'approche aussi facile, parce que le modèle de Beltrami-Klein, s'il a le bon goût de préserver les droites, ne préserve ni les distances ni les angles.

Pour ce qui est des angles, je peux utiliser l'astuce de passer par le modèle du disque de Poincaré : il suffit que je dise que pour transformer une droite hyperbolique du modèle de Beltrami-Klein au modèle de Poincaré, on considère l'arc de cercle euclidien qui a pour centre le point polaire de cette droite et qui relie ses deux points idéaux (il y coupe orthogonalement le cercle euclidien représentant les points à l'infini, comme on s'en convainc facilement). Or le modèle de Poincaré est conforme : il préserve les angles, ce qui permet de définir l'angle hyperbolique comme l'angle d'intersection des deux arcs de cercle. (Sur la figure ci-contre, la droite verte — représentée par le segment de droite euclidien vert dans le modèle de Beltrami-Klein et par l'arc de cercle euclidien vert dans le modèle de Poincaré — et la droite bordeau se coupent au point rouge, figuré à la fois dans le modèle de Beltrami-Klein et dans celui de Poincaré, mais l'angle hyperbolique entre les deux droites est celui qu'on lit en euclidien entre les arcs de cercle.)

Le lecteur motivé pourra vérifier que le concept de droites hyperboliques perpendiculaires que j'ai défini plus haut correspond bien au cas où l'angle hyperbolique est droit. C'est-à-dire, que si chacune de d₁ et d₂ passe par le point polaire de l'autre, alors les arcs de cercles euclidiens correspondant dans le modèle de Poincaré (ayant pour centres les points polaires de d₁ et d₂ respectivement et passant par les points idéaux de d₁ et d₂ respectivement) sont effectivement perpendiculaires à l'endroit où ils se coupent.

Pour ce qui est de la distance, il n'y a pas d'approche aussi facile. Je pourrais éventuellement dire que les symétries hyperboliques (par rapport à une droite ou par rapport à un point), que j'ai définies plus haut, préservent la distance : il resterait une question de normalisation (cf. ci-dessous).

Je pourrais aussi simplement donner une formule, au moins pour la distance à l'origine : si j'appelle O le point représenté par le centre (euclidien) du cercle des points idéaux, et P un point du plan hyperbolique situé à distance hyperbolique d de O, alors le point qui le représente dans le modèle de Beltrami-Klein (en faisant l'hypothèse que le rayon euclidien du cercle des points idéaux vaut 1) est situé à distance euclidienne tanh(d) de O, tandis que dans le modèle de Poincaré il est situé à distance tanh(d/2). Comme la fonction tanh (tangente hyperbolique) tend vers 1 quand son paramètre tend vers +∞, on voit qu'en s'éloignant à l'infini dans le monde hyperbolique, le point projeté, que ce soit dans la projection de Beltrami-Klein ou dans celle de Poincaré, tend vers le cercle des points idéaux (sans jamais l'atteindre). (Sur la figure ci-contre, les dix cercles gris sont régulièrement espacés — qu'on l'imagine comme une projection de Beltrami-Klein, auquel cas ils ont pour rayons 0.2, 0.4, 0.6…, 2 — ou bien une projection de Poincaré, auquel cas ils ont pour rayons 0.4, 0.6, 0.8…, 4.)

Mais j'expliquerai dans une entrée ultérieure, au moyen de la formule fondamentale du triangle hyperbolique, comment manipuler la distance hyperbolique.

Je veux simplement insister sur une chose : contrairement à la distance en géométrie euclidienne, mais comme la notion d'angle en géométrie euclidienne, ou comme la notion d'angle ou de distance en géométrie sphérique (ou d'angle en géométrie hyperbolique), la distance hyperbolique n'a pas d'unité, ou plutôt, elle a une unité naturelle. Pour ce qui est des angles (ou des distances en géométrie sphérique), l'unité naturelle est le radian : il n'est pas aussi évident d'expliquer pourquoi la distance hyperbolique a aussi une unité naturelle (l'élégance et les analogies entre les formules de la trigonométrie du triangle aidera certainement à s'en convaincre ; des raisons plus fondamentales viendraient de la mesure de la courbure), mais c'est le cas. Ce qui est sûr, en tout cas, c'est que contrairement à la géométrie euclidienne, où il existe une notion d'homothétie (et plus généralement de similitude), transformation qui change l'échelle des objets (=multiplie toutes les longueurs par une constante) tout en préservant leur forme, ceci n'existe pas en géométrie sphérique ou hyperbolique : une transformation qui préserve les angles préserve aussi les distances. Du coup, l'étalon de longueur est imposé par l'espace lui-même (dans le cas de la sphère, on comprend ce que c'est : le rayon de la sphère !).