David Madore's WebLog: Visualisation de la sphère et du plan hyperbolique

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(mardi)

Visualisation de la sphère et du plan hyperbolique

Écrire l'entrée précédente m'a motivé pour faire quelque chose dont je traîne l'idée depuis longtemps : produire de jolies illustrations de quelques projections de la sphère et du plan hyperbolique, et des analogies entre elles.

[Pavage heptagonal du plan hyperbolique] [Pavage pentagonal de la sphère (dodécaèdre)]

On trouve beaucoup d'images et de vidéos des projections de la sphère, mais elles utilisent généralement l'image des continents de la Terre, parce qu'elles ciblent la cartographie, et pour cette raison aussi elles ont tendance à omettre la projection gnomonique, ce qui est dommage parce qu'elle est mathématiquement intéressante (elle met en lumière le fait que la sphère quotientée par l'antipodie donne un plan projectif réel tandis que la projection stéréographique illustre le fait que la sphère peut être vue comme une droite projective complexe).

Il y a aussi beaucoup d'images et de vidéos du plan hyperbolique, mais presque exclusivement en utilisant les modèles du disque et demi-plan de Poincaré (les projections conformes standards), beaucoup plus rarement le modèle de Beltrami-Klein, et je crois que je n'ai jamais vu une projection équivalente (=préservant les aires) du plan hyperbolique, alors qu'on en montre souvent pour la sphère.

Enfin, les analogies entre la sphère et le plan hyperbolique sont rarement mises en valeur. Bref, j'ai fait cette vidéo pour essayer de combler les trous (le commentaire est en anglais ; apparemment YouTube ne permet pas de faire des vidéos bilingues, ce qui est tout de même con) :

Comme souvent, ce n'est pas ce qu'on pense qui a pris du temps : le programme pour calculer les images (qu'on peut trouver ici) est extrêmement simple et m'a pris nettement moins d'une heure à écrire (environ 150 lignes de C ! on fait difficilement plus simple, même s'il est vrai que j'ai dû faire quelques petits calculs de trigonométrie sphérique et hyperbolique pour calculer les constantes au début du programme). Le calcul lui-même a été aussi assez indolore. La lecture du commentaire, en revanche, a été abominable, et j'ai fini par craquer et renoncer à produire quelque chose de pas trop mauvaise qualité où je ne bégaierais pas sur plein de mots, où on n'entendrais pas les voisins qui passent dans le couloir, où je ne parlerais pas avec une voix différente entre chaque paragraphe, etc. Je ne suis vraiment pas doué pour ça.

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