David Madore's WebLog: La formule fondamentale de la trigonométrie du triangle

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(mardi)

La formule fondamentale de la trigonométrie du triangle

Je continue une série commencée dans l'entrée précédente sur la géométrie elliptique et hyperbolique, mais, en fait, je vais tâcher de faire en sorte que ces entrées soient aussi indépendantes que possible, pour qu'on puisse les lire dans l'ordre qu'on veut. Je continue à me placer environ au niveau lycée (au moins dans les passages qui ne sont pas en petits caractères ; enfin, j'espère). Ici je veux parler un peu de la trigonométrie du triangle (la loi des cosinus et la loi des sinus). Dans une entrée ultérieure, je parlerai des spécificités et bizarreries de la géométrie hyperbolique.

A B C b a c α β γ

Considérons un triangle ABC (euclidien, sphérique ou hyperbolique, on verra plus tard) : j'appelle a la longueur BC (c'est-à-dire la longueur du côté opposé au sommet A), b la longueur CA, et c la longueur AB ; j'appelle α l'angle CAB (c'est-à-dire l'angle interne au sommet A), β l'angle ABC, et γ l'angle BCA. (On remarquera que ces notations, qui sont standard, sont symétriques si on permute les noms tant qu'on le fait de la même manière sur (A,B,C), (a,b,c) et (α,β,γ), et bien sûr tout ce qu'on pourra dire sur le triangle le sera aussi.)

On s'intéresse aux différentes relations qui peuvent exister entre les six quantités a,b,c et α,β,γ, et éventuellement, du coup, au problème de trouver les trois manquantes si on en connaît trois parmi les six (problème de la résolution du triangle).

Le triangle euclidien

Dans le cas euclidien, les trois angles d'un triangle ne sont pas libres : leur somme vaut π (radians, c'est-à-dire 180°) ; ceci sera la plus évidente différence avec le triangle sphérique ou hyperbolique.

Le théorème le plus célèbre de l'univers (sans doute le théorème que le plus grand nombre de personnes est capable de citer vaguement correctement) affirme que, en géométrie euclidienne, si le triangle est rectangle en C, c'est-à-dire si γ=π/2 (soit cos(γ)=0), alors c² = a² + b². Si on retire cette hypothèse d'être rectangle en C, la relation qui relie a, b, c et l'angle γ est la suivante :

c² = a² + b² − 2a·b·cos(γ)

On l'appelle loi des cosinus (ou théorème d'al-Kashi uniquement dans l'enseignement scolaire français) ou par plein d'autres noms : théorème de Pythagore généralisé, formule fondamentale du triangle, etc. Une manière de s'en souvenir est de se dire que si l'angle γ vaut 0 on doit trouver c=ab ou c=ba, bref, c² = a² + b² − 2a·b, et il n'y a plus qu'à mettre un cosinus.

Pour ce qui est de la démontrer, il y a mille et une manières de s'y prendre, je renvoie le lecteur à la Wikipédia en anglais ou celle en français pour différents arguments — comme je proposerai une démonstration de l'analogue sphérique et que j'expliquerai pourquoi la version euclidienne peut se lire comme un cas limite de cette dernière, je pense qu'il n'est pas utile que j'encombre cette entrée avec une démonstration euclidienne. (De toute façon, je ne parle du cas euclidien que pour rappeler la situation.)

Bien entendu, on peut permuter les variables :

a² = b² + c² − 2b·c·cos(α)

b² = c² + a² − 2c·a·cos(β)

Cette formule permet aisément, si on connaît deux côtés du triangle et l'angle entre eux de calculer le troisième côté, c'est-à-dire, pour la première formule que j'ai écrite, de calculer c en fonction de a, b et γ. Elle permet aussi, si on connaît les trois côtés d'un triangle de calculer n'importe quel angle, par exemple la première formule permet de trouver γ en fonction de a, b et c (plus exactement, elle donnera cos(γ) en fonction de a, b et c, mais comme un angle intérieur d'un triangle euclidien est compris entre 0 et π, le fait de connaître son cosinus détermine complètement cet angle ; néanmoins, signalons que si l'angle est très petit, ou au contraire très proche de π, ceci n'est pas numériquement très robuste, et il vaudra mieux utiliser la loi des sinus ci-dessous).

Enfin, si on connaît deux côtés du triangle et un angle qui n'est pas entre les deux, on pourra encore utiliser la loi des cosinus, mais il faudra cette fois résoudre une équation du second degré (par exemple, si je connais a et b et β, la formule c² − 2c·a·cos(β) + a² − b² = 0 peut se lire comme une équation du second degré en c) ; en général, elle aura deux solutions, ce qui correspond à un phénomène géométrique réel : si on fixe le segment BC (de longueur a connue), le cercle de centre C et de rayon b donné, et la droite passant par B et faisant un angle β avec BC, sur l'intersection desquels doit se trouver le point A recherché, se coupent typiquement en deux points, donc il y a bien deux triangles vérifiant les paramètres connus.

Pour accompagner la loi des cosinus, et pour finir de résoudre tous les cas du triangle euclidien, on a la formule suivante dite loi des sinus (cette fois, l'enseignement scolaire français ne semble pas lui avoir trouvé un nom différent) :

(a : b : c) = (sin(α) : sin(β) : sin(γ))

où le symbole ':' signifie, ici, que les trois quantités à gauche sont proportionnelles aux trois quantités à droite, c'est-à-dire, si on veut, que a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ), ou encore que a/b = sin(α)/sin(β), ou encore b·sin(α) = a·sin(β), et toutes les permutations de ces choses, mais je trouve plus parlant d'y voir une proportionnalité comme je l'ai écrite.

Pour compléter les différentes démonstrations qu'on peut trouver sur Internet, mais que je ne trouve pas très satisfaisantes, voici une démonstration de la loi des sinus à partir de la loi des cosinus, qui peut éventuellement se transposer aux autres géométries. En ajoutant les deux relations b² = c² + a² − 2c·a·cos(β) et a² = b² + c² − 2b·c·cos(α), en simplifiant par a² + b² des deux côtés et en divisant par 2c (je suppose mon triangle non dégénéré, donc notamment c≠0), on trouve : c = a·cos(β) + b·cos(α) ; on a bien sûr les relations analogues en permutant les variables, notamment b = c·cos(α) + a·cos(γ). Si on remplace dans cette dernière expression la valeur de c donnée par la précédente, on obtient : b = a·(cos(α)·cos(β)+cos(γ)) + b·cos²(α), et en utilisant le fait que sin²(α) = 1 − cos²(α) et que cos(γ) = cos(π−(α+β)) = − cos(α)·cos(β) + sin(α)·sin(β), on trouve b·sin²(α) = a·sin(α)·sin(β), donc, en divisant par sin(α) (de nouveau, mon triangle est non dégénéré), la relation b·sin(α) = a·sin(β) affirmant la proportionalité de (a : b) avec (sin(α) : sin(β)) (et par permutation des variables, toutes les proportionalités voulues).

La loi des sinus permet de simplifier, de préciser ou d'améliorer certains cas de la résolution du triangle.

Notamment, si on connaît deux côtés du triangle et un angle qui n'est pas entre les deux, disons a et b et β, on peut utiliser la loi des sinus pour trouver α, puis la formule α+β+γ=π pour trouver γ (et enfin la loi des cosinus ou la loi des sinus pour finir la résolution) : on évite ainsi la résolution d'une équation du second degré, mais le fait qu'on ait deux solutions apparaît toujours, dans le fait que connaître le sinus d'un angle (quand on cherche à trouver α) détermine non pas un mais deux angles entre 0 et π. Si on connaît deux angles d'un triangle et un côté, on connaît les trois angles d'après la formule α+β+γ=π, et la loi des sinus permet immédiatement de trouver les deux côtés manquants (ce cas serait beaucoup plus fastidieux à résoudre directement avec la loi des cosinus). Même dans les cas où la loi des cosinus s'applique, par exemple quand on connaît les trois côtés d'un triangle, la loi des sinus permet éventuellement de gagner en précision numérique (si un angle est proche de 0, il est beaucoup plus avantageux numériquement de le retrouver à partir de son sinus qu'à partir de son cosinus). Il va de soi que, dans le cas euclidien, on ne peut pas résoudre un triangle à partir de ses trois angles, car ceux-ci ne peuvent pas contraindre l'échelle globale (si on fixe une longueur du triangle comme unité, bien sûr, on est ramené à un cas déjà examiné).

Il existe bien sûr quantité d'autres formules de trigonométrie du triangle (comme la loi des tangentes (ab)/(a+b) = tan(½(αβ))/tan(½(α+β)), les formules des demi-angles tan(γ/2)=√(((sa)·(sb))/(s·(sc))) et sin(γ/2)=√(((sa)·(sb))/(a·b)) où s=½(a+b+c) est le demi-périmètre du triangle, la formule de Héron S=√(s·(sa)·(sb)·(sc)) qui calcule l'aire S en fonction des longueurs des côtés, et c'est loin d'être tout). Mais la loi des cosinus et la loi des sinus me semblent à la fois les plus importantes, les plus mémorisables, et suffisantes pour la résolution des triangles.

Le triangle sphérique

Considérons maintenant ABC un triangle sphérique (c'est-à-dire trois points sur la sphère, les côtés étant des « droites » sphériques ou arcs de grands cercles). Les longueurs des côtés seront mesurées (le long de la sphère) en unités du rayon de la sphère, c'est-à-dire par les angles euclidiens au centre de la sphère et exprimés en radians (par exemple, deux points antipodaux sont à distance π, et deux points « perpendiculaires » sur la sphère, c'est-à-dire séparés d'un quart de tour, sont à distance π/2). Puisque les longueurs sont des angles, cela a un sens de parler du sinus ou du cosinus de ces longueurs.

De fait, voici la formule fondamentale du triangle sphérique, ou loi des cosinus sphérique :

cos(c) = cos(a)·cos(b) + sin(a)·sin(b)·cos(γ)

Cette formule appelle plusieurs commentaires. D'abord, comment s'en souvenir ? Comme dans le cas euclidien, si l'angle γ vaut 0 on doit trouver c=ab, c'est-à-dire cos(c) = cos(a)·cos(b) + sin(a)·sin(b), et comme dans le cas euclidien il n'y a qu'à mettre un cos(γ) là-dedans. Ensuite, pourquoi cette formule correspond-elle à la formule euclidienne ? Si les longueurs des côtés sont très petites, un triangle sphérique diffère très peu d'un triangle euclidien : or pour x petit on a sin(x) = x + o(x²) et cos(x) = 1 − ½·x² + o(x²) (le lecteur qui ne sait pas ce que signifie o(x²) peut lire ceci comme quelque chose de très petit (encore plus petit que x²)), et en remplaçant ces formules asymptotiques dans la loi des cosinus sphérique on s'aperçoit qu'on obtient la loi des cosinus euclidienne. Enfin, si le triangle est rectangle en C (γ=π/2 donc cos(γ)=0), la formule devient simplement cos(c) = cos(a)·cos(b), ce qui peut s'appeler, si on veut, le théorème de Pythagore sphérique.

☞ La loi des cosinus peut servir, entre autres choses, à calculer la distance entre deux points de la Terre (si on l'assimile à une sphère) connaissant leurs coordonnées géographiques : pour cela, il suffit de considérer, outre les deux points A et B entre lesquels on cherche à calculer la distance, le point C placé au pôle nord de la Terre : alors c est la distance recherchée (divisée par le rayon de la Terre), b et a sont les distances des points au pôle nord, c'est-à-dire leurs colatitudes (π/2 moins la latitude exprimée en radians), et γ est l'angle entre les points mesuré depuis le pôle nord, c'est-à-dire la différence des longitudes. Si on veut calculer le cap vers où il faut partir pour aller de A à B (ou de B à A) en ligne droite, c'est-à-dire α (resp. β), on utilisera les autres formules ci-dessous.

Voici maintenant une démonstration de la loi des cosinus sphérique : je considère une sphère de rayon 1 centrée à l'origine dans l'espace euclidien. Quitte à faire tourner la sphère, je peux supposer que mon point C a les coordonnées (0,0,1) ; et quitte à faire tourner autour de l'axe OC (où O=(0,0,0) est le centre de la sphère), je peux supposer que B est dans le plan où la deuxième coordonnée s'annule, donc B=(sin(a), 0 ,cos(a)) ; quant à A, il s'obtient en effectuant une rotation d'angle γ, autour de l'axe OC, du point (sin(b), 0 ,cos(b)), donc en (sin(b)·cos(γ), sin(b)·sin(γ), cos(b)). On peut alors calculer de deux façons différentes le produit scalaire entre A et B (je veux dire, les vecteurs reliant O à A et O à B respectivement) : d'une part, d'après leurs coordonnées, ce produit scalaire vaut cos(a)·cos(b) + sin(a)·sin(b)·cos(γ) ; d'autre part, comme les points A et B sont distants de c sur la sphère, il vaut cos(c) : l'égalité entre les deux donne la loi des cosinus sphérique. Si on veut en profiter pour montrer la loi des sinus (plutôt que de la déduire de la loi des cosinus comme dans le cas euclidien), il suffit d'évaluer le déterminant det(A,B,C) (c'est-à-dire, si on ne sait pas ce que c'est, le volume du parallélépipède dont O est un sommet et A, B, C les trois sommets adjacents) : d'après les coordonnées il vaut sin(a)·sin(b)·sin(γ), et comme il doit être invariant par toute permutation des variables, on a la relation de proportionalité qui va être écrite plus bas.

Bien entendu, on peut jouer à permuter les variables :

cos(a) = cos(b)·cos(c) + sin(b)·sin(c)·cos(α)

cos(b) = cos(c)·cos(a) + sin(c)·sin(a)·cos(β)

Et on a aussi une loi des sinus sphérique, qui se déduit soit de la manière analogue à la façon dont j'ai prouvé la loi des sinus euclidienne à partir de la loi des cosinus euclidienne (mais il faut plus de patience dans la manipulation des formules trigonométriques !, et il faut sans doute utiliser la formule des cosinus duale donnée ci-dessous) soit directement à partir d'un raisonnement sur la sphère (ce que j'ai fait ci-dessus) :

(sin(a) : sin(b) : sin(c)) = (sin(α) : sin(β) : sin(γ))

Ces formules permettent, comme dans le cas euclidien, de résoudre le triangle sphérique dans un certain nombre de cas. Il y a cependant une différence majeure avec le cas euclidien, c'est que les angles n'ont plus pour somme π : ceci invalide certains raisonnements, mais la bonne nouvelle est que le triangle sphérique est, en fait, beaucoup plus élégant que le triangle euclidien et que sa résolution est en un certain sens plus simple grâce à la très agréable symétrie entre angles et longueurs des côtés.

En effet, si ABC est un triangle sphérique, on peut fabriquer un triangle polaire ou dual de ABC de la manière suivante. On considère un point A′ « polaire » du grand cercle BC, c'est-à-dire que l'axe qui le relie au centre de la sphère est perpendiculaire au plan contenant le grand cercle (voir dans l'entrée précédente pour plus de détails), et, pour choisir entre les deux points antipodaux (si on ne veut pas les identifier), on prendra A′ du même côté que A de la droite BC (i.e., dans le même des deux hémisphères définis par ce grand cercle). On fait de même pour définir B′ et C′. L'intérêt de ce triangle polaire ABC′ est que les longueurs a′,b′,c′ de ses côtés sont données par πα, πβ, πγ respectivement (pour les gens qui voient un peu dans l'espace, ça devrait être totalement évident : γ est l'angle entre les plans des grands cercles AC et BC, donc c'est aussi l'angle entre les plans de ces grands cercles, donc entre les droites perpendiculaires à ces plans passant par le centre de la sphère, ce qui est presque c′=AB′ sauf qu'on a choisi des directions opposées donc en fait ces angles sont supplémentaires) ; et de même, ou parce que le polaire de ABC′ est ABC, les angles α′,β′,γ′ valent respectivement πa, πb, πc. Bref, à un supplément à π près, les longueurs des côtés d'un triangle sphérique sont les angles d'un autre triangle sphérique, et les angles sont les longueurs des côtés de cet autre triangle ! Du coup, en considérant la loi des cosinus pour cet autre triangle, on obtient la loi des cosinus sphérique duale, à savoir :

cos(γ) = − cos(α)·cos(β) + sin(α)·sin(β)·cos(c)

Pour retenir le signe, on se dit que si c est très petit, le triangle est presque euclidien donc γ doit être très proche de π-(α+β). Cette formule et ses sœurs

cos(α) = − cos(β)·cos(γ) + sin(β)·sin(γ)·cos(a)

cos(β) = − cos(γ)·cos(α) + sin(γ)·sin(α)·cos(b)

prennent la place de la formule du triangle euclidien qui affirme que la somme des angles de celui-ci vaut π.

Dispose-t-on d'assez de formules pour résoudre tous les cas possibles du triangle sphérique ? Si on a deux côtés du triangle et l'angle entre eux, on trouve le troisième côté grâce à la loi des cosinus (primale), tandis que si on a angles du triangle et le côté entre eux, on trouve le troisième angle grâce à la loi des cosinus duale ; si on a les trois côtés du triangle, la loi des cosinus (primale) donne les trois angles, et si on a les trois angles du triangle, la loi des cosinus duale donne les trois côtés. (La loi des sinus peut toujours servir soit à contrôler, soit à gagner de la précision numérique, soit à aller plus vite.) Reste le cas potentiellement problématique : si on a deux côtés du triangle et un angle qui n'est pas entre les deux, ou dualement deux angles du triangle et un côté qui n'est pas entre les deux ; en fait, grâce à la loi des sinus, ces deux cas donnent facilement deux côtés et leurs angles opposés. Autrement dit, la situation problématique est celle où il manque c et γ tandis qu'on a a et b ainsi que α et β (ou au moins trois quelconques parmi ces quatre, mais comme je l'ai dit, la quatrième quantité s'obtient par la loi des sinus). Une façon de s'en sortir est de connaître des formules dites analogies de Napier, par exemple tan(c/2)·cos((αβ)/2) = tan((a+b)/2)·cos((α+β)/2) ; personnellement, je préfère ne pas m'encombrer de formules ad hoc et plutôt écrire cos(c) et sin(c) en fonction de t := tan(c/2), c'est-à-dire comme (1−t²)/(1+t²) et 2t/(1+t²) respectivement (ces formules-là de pure trigonométrie sont extraordinairement utiles et importantes, donc je les connais vraiment par cœur), injecter ces valeurs dans la loi des cosinus, par exemple cos(b) = cos(c)·cos(a) + sin(c)·sin(a)·cos(β) si on connaît a, b et β, qui devient une équation du second degré en t et permet donc de retrouver c.

Il existe de nouveau quantité d'autres formules de trigonométrie du triangle sphérique (comme la loi des tangentes tan(½(ab))/tan(½(a+b)) = tan(½(αβ))/tan(½(α+β)), les formules des demi-angles tan(γ/2)=√((sin(sa)·sin(sb))/(sin(s)·sin(sc))) et sin(γ/2)=√((sin(sa)·sin(sb))/(sin(a)·sin(b))) où s=½(a+b+c) est le demi-périmètre du triangle, la formule de l'Huilier [ou l'Huillier] tan²(S/4)=tan(s/2)·tan((sa)/2)·tan((sb)/2)·tan((sc)/2) qui calcule l'aire S en fonction des longueurs des côtés, et les duales de toutes ces formules, et c'est loin d'être tout). Mais la loi des cosinus et la loi des sinus me semblent à la fois les plus importantes, les plus mémorisables, et suffisantes pour la résolution des triangles. Il y a cependant une autre formule, remarquable par sa simplicité, qui mérite d'être signalée, c'est celle qui calcule l'aire S du triangle sphérique (dans les unités du carré du rayon de la sphère, ou encore en stéradians, l'aire totale de la sphère étant 4π) en fonction simplement des angles du triangle :

S = α + β + γπ

Cette formule reflète le fait que la courbure de la sphère est constante (donc l'excès angulaire accumulé par une figure géométrique, par rapport à son analogue euclidien, est directement proportionnel à l'aire de cette figure). On peut la montrer en considérant d'abord le cas d'un dièdre, c'est-à-dire la région située entre deux demi-grands cercles, reliant les deux mêmes points antipodaux, et séparés par un angle δ : cette aire est manifestement proportionnelle à δ et vaut donc 4δ ; on considère maintenant le dièdre ayant pour sommets A et son antipode et dont les côtés sont AB et AC (de sorte que son angle est α et son aire 4α), puis les deux autres dièdres analogues ayant pour sommets B et C : la somme de leurs aires vaut 4(α+β+γ), or on a recouvert la totalité de la sphère, plus deux fois le triangle, plus encore deux fois son antipodal, ce qui donne 4π + 4S, et l'égalité démontre la formule ci-dessus.

Le triangle hyperbolique

Il est beaucoup plus difficile de trouver des références pour les formules de la trigonométrie du triangle hyperbolique que pour celles du cas sphérique. Il y a pourtant une analogie profonde : essentiellement, on obtient les formules hyperboliques en remplaçant dans les formules sphériques toutes les lignes trigonométriques ordinaires s'appliquant à des distances par des lignes trigonométriques hyperboliques (à savoir cosh(t) = ½(exp(t)+exp(−t)) et sinh(t) = ½(exp(t)−exp(−t)), ainsi que tanh(t)=sinh(t)/cosh(t)), et en changeant éventuellement quelques signes (qu'on retrouve assez facilement en réfléchissant à des cas limites ou aux inégalités évidentes, ou par toutes sortes d'autres manières) ; les distances hyperboliques, comme les distances sphériques, et contrairement aux distances euclidiennes, ont une unité naturelle. Voyons un peu ce que cela signifie.

Je passe complètement sur la démonstration de ces formules, faute d'avoir donné une définition du plan hyperbolique ! Si on sait ce que c'est que la métrique de Minkowski/Lorentz, on peut définir le plan hyperbolique comme le feuillet t>0 de l'hyperboloïde t²−x²−y²=1 pour la métrique de Minkowski : auquel cas on ne devrait avoir aucune difficulté à reprendre les démonstrations du cas sphérique et à les adapter pour le cas hyperbolique. Mais si on ne connaît pas du tout le plan hyperbolique, autant admettre ces formules comme des postulats.

Une façon systématique de trouver les signes, voire de démontrer les formules, est de considérer qu'un triangle hyperbolique de côtés a, b, c et d'angles α, β, γ est, formellement, un triangle sphérique de côtés i·a, i·b, i·c et de mêmes angles (α, β, γ), où i=√−1 est l'unité imaginaire, et utiliser les formules cos(i·θ)=cosh(θ) et sin(i·θ)=i·sinh(θ). Ceci est justifié par le fait que, formellement, un point de l'hyperboloïde t²−x²−y²=1 peut se voir comme le point (t,i·x,i·y) de la sphère u²+v²+w²=1.

La formule fondamentale, la loi des cosinus hyperbolique, est la suivante :

cosh(c) = cosh(a)·cosh(b) − sinh(a)·sinh(b)·cos(γ)

On la retient, de nouveau, en pensant à la formule cosh(ab) = cosh(a)·cosh(b) − sinh(a)·sinh(b) et en mettant un cos(γ) (on peut retrouver le signe en se demandant ce qui se passe si a, b et c sont très petits).

☞ La loi des cosinus peut servir, par exemple, à composer des vitesses en relativité restreinte. Supposons que je sois au « repos » (C), et je voie deux objets (A et B) s'éloigner de moi à des vitesses que j'exprime sous la forme tanh(b) et tanh(a) en unités de la vitesse de la lumière, et dans des directions séparées d'un angle γ. Alors chacun des deux objets verra l'autre s'éloigner à une vitesse tanh(c) (fois la vitesse de la lumière), où c est donné par la formule ci-dessus. (Plutôt que parler de vitesses, qui sont les tangentes hyperboliques, il vaut mieux parler de rapidités, qui sont les arguments de ces tangentes hyperboliques, soit ici les quantité a, b, c ; notamment, lorsque tout le monde se déplace sur une droite — autrement dit que γ vaut π ou 0 — alors les rapidités s'ajoutent ou se soustraient. La loi des cosinus hyperbolique est donc l'expression de la composition des rapidités en relativité restreinte.) Et si on veut calculer les angles α et β dont chacun des objets verra les deux autres être séparés, on utilisera les formules qui suivent.

En permutant les variables :

cosh(a) = cosh(b)·cosh(c) − sinh(b)·sinh(c)·cos(α)

cosh(b) = cosh(c)·cosh(a) − sinh(c)·sinh(a)·cos(β)

La loi des sinus hyperbolique, quant à elle, est :

(sinh(a) : sinh(b) : sinh(c)) = (sin(α) : sin(β) : sin(γ))

(cette fois, il n'y a pas de signe à changer : il est clair que quand les côtés sont petits on doit retrouver la situation euclidienne — de toute façon, on voit mal comment on pourrait changer un signe ici).

On a aussi une loi des cosinus hyperbolique duale :

cos(γ) = − cos(α)·cos(β) + sin(α)·sin(β)·cosh(c)

(les signes sont forcément les mêmes que dans le cas sphérique car pour c très petit le cosinus sphérique comme hyperbolique tendent vers 1 et on doit avoir la même formule), et ses sœurs

cos(α) = − cos(β)·cos(γ) + sin(β)·sin(γ)·cosh(a)

cos(β) = − cos(γ)·cos(α) + sin(γ)·sin(α)·cosh(b)

Comme dans le cas sphérique, ces formules permettent de résoudre tous les cas du triangle hyperbolique. La plupart des cas sont très faciles, le cas un peu problématique étant celui où on a deux côtés du triangle et un angle qui n'est pas entre les deux, ou dualement deux angles du triangle et un côté qui n'est pas entre les deux, ces cas donnant facilement, grace à la loi des sinus, deux côtés et leurs angles opposés. De nouveau, une façon de s'en sortir est de connaître des formules dites analogies de Napier, par exemple tanh(c/2)·cos((αβ)/2) = tanh((a+b)/2)·cos((α+β)/2) ; mais personnellement, je préfère plutôt écrire cosh(c) et sinh(c) en fonction de t := tanh(c/2), c'est-à-dire comme (1+t²)/(1−t²) et 2t/(1−t²) respectivement, et injecter ces valeurs dans la loi des cosinus, qui devient une équation du second degré en t et permet donc de retrouver c.

Il existe encore une fois quantité d'autres formules de trigonométrie du triangle hyperbolique (comme la loi des tangentes tanh(½(ab))/tanh(½(a+b)) = tan(½(αβ))/tan(½(α+β)), les formules des demi-angles tan(γ/2)=√((sinh(sa)·sinh(sb))/(sinh(s)·sinh(sc))) et sin(γ/2)=√((sinh(sa)·sinh(sb))/(sinh(a)·sinh(b))) où s=½(a+b+c) est le demi-périmètre du triangle, la formule de l'Huilier hyperbolique tan²(S/4)=tanh(s/2)·tanh((sa)/2)·tanh((sb)/2)·tanh((sc)/2) — remarquez qu'on a une tangente à gauche et des tangentes hyperboliques à droite — qui calcule l'aire S en fonction des longueurs des côtés, et les duales de toutes ces formules, et c'est loin d'être tout). Mais de nouveau, la seule formule que je trouve vraiment digne d'intérêt, au-delà des lois des cosinus et des sinus, est l'expression de l'aire du triangle hyperbolique en fonction de ses angles :

S = παβγ

Une conséquence remarquable de cette formule, ou de celle de l'Huilier hyperbolique, est que, bien que le plan hyperbolique ait une aire infinie, il y a une aire maximale pour un triangle hyperbolique, à savoir π, qui est l'aire du cas limite, un triangle dont les trois sommets sont des points « idéaux ».

Trilatères hyperboliques

Triangle euclidien, triangle sphérique, triangle hyperbolique : j'ai fait le tour, n'est-ce pas ? En fait, non : car en géométrie hyperbolique il y a une figure un peu plus générale que le triangle (défini par trois points, les sommets du triangle), c'est le trilatère, défini par trois droites (les côtés du trilatère). En effet, en géométrie hyperbolique, les droites ont la fâcheuse tendance à ne pas se couper : en géométrie sphérique elles se coupent toujours, en géométrie euclidienne elles se coupent sauf dans le cas limite des droites parallèles, mais en géométrie hyperbolique il est tout aussi « typique » d'avoir des droites hyper-parallèles, c'est-à-dire qui ne se coupent pas mais ont une perpendiculaire commune, que des droites sécantes. Je renvoie à l'entrée précédente pour plus de détails et d'explications.

b a c α β γ
b• a• c α β γ♯
b• a• c◦ α♯ β♯ γ
b◦ a◦ c◦ α♯ β♯ γ♯

Du coup, il faut considérer que le triangle n'est qu'un cas particulier des trilatères, celui où les trois droites (côtés du trilatère ; que j'appellerai (a), (b) et (c)) sont sécantes deux à deux. Si on exclut les cas limites (ou « idéaux »), il y a quatre cas possibles de trilatères, selon que trois, deux, une, ou zéro paires de côtés sont sécantes (c'est-à-dire que zéro, une, deux ou trois paires de côtés sont hyper-parallèles, ou encore que zéro, un, deux ou trois sommets sont remplacés par des points « hyper-idéaux »). Si votre navigateur affiche le SVG, les quatre cas possibles sont représentés par les dessins ci-contre à droite (pardonnez le placement des étiquettes, j'ai essayé de finasser puis j'ai craqué et je les ai placées très grossièrement — voilà pourquoi, normalement, je n'étiquette pas mes figures).

Même si cela fait beaucoup de formules, je pense qu'il est intéressant d'expliquer les relations dans ces différents trilatères, qui mettent mieux en lumière la symétrie entre angles et distances en géométrie hyperbolique que ne peut le faire le simple cas du triangle hyperbolique.

Expliquons un peu les notations (j'espère qu'elles ne sont pas trop confuses : j'ai choisi de mettre d'abondantes, et sans doute un peu baroques, décorations sur les symboles, de manière à ce que tous les cas soient désignés de façon inambiguë).

Si deux côtés ne se coupent pas, disons (a) et (b), alors au lieu d'avoir un point d'intersection (C) où on peut mesurer un angle (γ) entre ces deux côtés, on a une perpendiculaire commune (en pointillés rouges sur la deuxième figure, je pourrais l'appeler C♯ mais j'ai préféré ne pas mettre cette étiquette), perpendiculaire le long de laquelle est mesurée une distance entre ces deux côtés (distance minimale entre les deux droites), et je vais noter γ♯ cette distance. J'insiste sur le fait que γ♯, malgré la lettre grecque, est une longueur et non un angle : c'est à rappeler ce fait que sert la décoration dont j'ai affublé le symbole.

Mais du coup, la notion de longueur du côté est aussi à redéfinir légèrement : comme il n'y a plus de sommet C, je ne peux pas poser simplement a=BC et b=AC. À la place, je vais noter a• et b• les longueurs respectives, mesurées (le long des droites (a) et (b)) entre B et A respectivement et la perpendiculaire commune (C♯) aux droites (a) et (b). La décoration sur les lettres sert à rappeler quelles longueurs sont mesurées de la sorte, et ce sera important dans les formules : j'espère que la deuxième figure rendra assez clair ce que chaque notation désigne. On peut bien sûr imaginer qu'on a affaire à un quadrilatère (quadrangle ?), dont les côtés ont pour longueurs a•, γ♯, b• et c, mais il a ceci de particulier que deux angles sont droits.

Quand deux sommets manquent, disons A et B (voir la troisième figure), alors je noterai α♯ et β♯ les distances respectives entre les côtés (soit entre (b) et (c), et entre (a) et (c)) ; et je noterai c◦, la distance entre les deux perpendiculaires communes (A♯ et B♯).

Enfin, si les trois sommets manquent (dernière figure), on a six distances : d'une part a◦,b◦,c◦ qui sont les distances, le long des côtés du trilatère, entre les perpendiculaires communes aux côtés, et d'autre part α♯,β♯,γ♯ qui sont les longueurs de ces perpendiculaires (distances entre les côtés). Lues dans l'ordre a◦, β♯, c◦, α♯, b◦, γ♯, ce sont les longueurs des six côtés d'un hexagone six fois rectangle. On remarquera qu'il y a une symétrie complète, dans cette situation, entre les côtés que j'ai appelés (a◦),(b◦),(c◦), et ceux que j'ai appelés (A♯),(B♯),(C♯).

Je ne donne pas de formule pour l'aire d'un trilatère. Pourquoi ? Parce que si on considère que la surface est toute la partie limitée entre les côtés, alors elle est infinie dès que deux droites ne sont pas sécantes ; et si on s'arrête aux perpendiculaires (en pointillés sur les figures), alors l'aire est donnée par la même formule que l'aire d'un triangle, en mettant simplement à 0 les angles manquants (et notamment, dans le cas totalement hyper-idéal — où aucune paire de côtés ne se rencontre — l'aire vaut toujours exactement π, c'est l'aire de n'importe quel hexagone six fois rectangle dans le plan hyperbolique).

Trilatère simplement hyper-idéal (en C)

Les formules s'obtiennent, par exemple, en remplaçant a, b et γ, dans les formules du triangle hyperbolique, par a•i·π/2, b•i·π/2, et i·γ♯ respectivement.

Loi des cosinus :

cosh(c) = − sinh(a•)·sinh(b•) + cosh(a•)·cosh(b•)·cosh(γ♯)

sinh(a•) = sinh(b•)·cosh(c) − cosh(b•)·sinh(c)·cos(α)

sinh(b•) = cosh(c)·sinh(a•) − sinh(c)·cosh(a•)·cos(β)

On peut s'étonner des lignes trigonométrique qui interviennent ici, mais c'est justement ce que rappelle la notation a• et b• : le cosinus et le sinus sont échangés (sans parler des signes) ; par cohérence avec les autres cas, je continue à parler de loi des cosinus pour les formules ci-dessus et de loi des sinus pour celle qui vient.

Loi des sinus :

(cosh(a•) : cosh(b•) : sinh(c)) = (sin(α) : sin(β) : sinh(γ♯))

Loi des cosinus duale :

cosh(γ♯) = − cos(α)·cos(β) + sin(α)·sin(β)·cosh(c)

cos(α) = − cos(β)·cosh(γ♯) + sin(β)·sinh(γ♯)·sinh(a•)

cos(β) = − cosh(γ♯)·cos(α) + sinh(γ♯)·sin(α)·sinh(b•)

Remarquons que, contrairement au cas d'un triangle où changer le signe de a ou b revient simplement à remplacer les deux angles qu'il porte par leur supplémentaire, ici, si a et b ont des signes opposés, cela correspond vraiment à la situation où les deux points B et A s'éloignent de la perpendiculaire commune dans des sens opposés.

Trilatère doublement hyper-idéal (en A et B)

Les formules s'obtiennent, par exemple, en remplaçant a, b, c et α, β, dans les formules du triangle hyperbolique, par a•i·π/2, b•i·π/2, c◦i·π et i·α♯, i·β♯ respectivement.

Loi des cosinus :

cosh(c◦) = sinh(a•)·sinh(b•) − cosh(a•)·cosh(b•)·cos(γ)

sinh(a•) = − sinh(b•)·cosh(c◦) + cosh(b•)·sinh(c◦)·cosh(α♯)

sinh(b•) = − cosh(c◦)·sinh(a•) + sinh(c◦)·cosh(a•)·cosh(β♯)

Loi des sinus :

(cosh(a•) : cosh(b•) : sinh(c◦)) = (sinh(α♯) : sinh(β♯) : sin(γ))

Loi des cosinus duale :

cos(γ) = − cosh(α♯)·cosh(β♯) + sinh(α♯)·sinh(β♯)·cosh(c◦)

cosh(α♯) = − cosh(β♯)·cos(γ) + sinh(β♯)·sin(γ)·sinh(a•)

cosh(β♯) = − cos(γ)·cosh(α♯) + sin(γ)·sinh(α♯)·sinh(b•)

Trilatère totalement hyper-idéal

Un trilatère totalement hyper-idéal peut se voir comme un hexagone dont les six angles sont droits.

Les formules s'obtiennent, par exemple, en remplaçant a, b, c et α, β, γ, dans les formules du triangle hyperbolique, par a◦i·π, b◦i·π, c◦i·π et i·α♯, i·β♯, i·γ♯ respectivement.

Loi des cosinus :

cosh(c◦) = − cosh(a◦)·cosh(b◦) + sinh(a◦)·sinh(b◦)·cosh(γ♯)

cosh(a◦) = − cosh(b◦)·cosh(c◦) + sinh(b◦)·sinh(c◦)·cosh(α♯)

cosh(b◦) = − cosh(c◦)·cosh(a◦) + sinh(c◦)·sinh(a◦)·cosh(β♯)

Loi des sinus :

(sinh(a◦) : sinh(b◦) : sinh(c◦)) = (sinh(α♯) : sinh(β♯) : sinh(γ♯))

Loi des cosinus duale :

cosh(γ♯) = − cosh(α♯)·cosh(β♯) + sinh(α♯)·sinh(β♯)·cosh(c◦)

cosh(α♯) = − cosh(β♯)·cosh(γ♯) + sinh(β♯)·sinh(γ♯)·cosh(a◦)

cosh(β♯) = − cosh(γ♯)·cosh(α♯) + sinh(γ♯)·sinh(α♯)·cosh(b◦)

Comme je l'ai déjà signalé, ce cas est symétrique (auto-dual) : si on remplace a◦,b◦,c◦ par α♯,β♯,γ♯ et réciproquement, on obtient un trilatère dit dual ou polaire du précédent (si on voit le trilatère comme un hexagone, cela revient à changer simplement la nomenclature des côtés).

On remarquera le cas particulier où tous les côtés valent arccosh(2)≈1.316958, c'est l'hexagone régulier six fois rectangle en géométrie hyperbolique, une figure agréablement symétrique, et qui pave le plan hyperbolique — c'est sur ce dessin (à gauche dans la projection de Poincaré, à droite dans celle de Beltrami-Klein) que je terminerai cette entrée.

[Pavage hexagonal du plan hyperbolique] [Pavage hexagonal du plan hyperbolique]

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