Comments on La formule fondamentale de la trigonométrie du triangle

Ce n'est pas évident de décider ce qu'on veut appeler une « géométrie ». Pour ma part, j'aurais tendance à dire que la formalisation correcte, ce sont les « espaces symétriques (de Riemann) » (<URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_space > — peut-être en ajoutant des hypothèses comme irréductible et simplement connexe, et peut-être en écartant aussi explicitement les groupes de Lie eux-mêmes). Cela correspond à l'intuition d'espaces homogènes (au sens informel) sur lesquels on peut, c'est la moindre des choses, faire des symétries. Et j'aime bien les listes élégantes et bien closes : or les espaces symétriques sont complètement classifiés (et ils correspondent bien à des espaces sur lesquels on peut faire de la géométrie, même dans un sens assez élémentaire : le livre de Rosenfeld sur la géométrie des groupes de Lie donne d'ailleurs des exemples de formules de trigonométrie sur certains de ces espaces — enfin, je crois, parce que ce livre est aussi bordélique qu'il est fascinant).

En un certain sens, on reste quand même avec trois modèles : le type compact / sphérique / positivement courbé, le type noncompact / déployé / hyperbolique / négativement courbé, et le type euclidien / plat. Il y a juste plusieurs espaces symétriques dans chaque type.

Mais bon, je n'ai pas les idées parfaitement claires (et plus je regarde le livre de Rosenfeld moins elles le sont ;-). Par exemple sur le rapport entre les espaces symétriques (quotients de groupes de Lie par des sous-groupes fixés par une involution) et les variétés de drapeaux (quotients de groupes de Lie par des sous-groupes paraboliques). On aurait envie que les types d'objets (points, droites, plans…), en géométrie, correspondent aux nœuds du diagramme de Dynkin du groupe de Lie des symétries de la géométrie en question, mais je ne sais pas comment ceci se relie aux espaces symétriques. Et je n'ai pas plus les idées claires sur le fait qu'on doive comprendre le « carré magique » de Freudenthal comme la façon de voir quatre degrés de géométrie (elliptique de dimension 2, projective de dimension 2, symplectique de dimension 5 et « métaplectique ») sur quatre domaines (réels, complexes, quaternions et octonions).

@jonas: Yes, a• or b• can be negative in the simply hyper-ideal case, though only their relative sign matters. I didn't give much thought to capturing all cases, though.