David Madore's WebLog: Racontons des choses autour de la notion de groupe de Lie

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(vendredi)

Racontons des choses autour de la notion de groupe de Lie

Puisque j'ai publié une première entrée sur les octonions, je me dis qu'il faudrait que je fasse un peu de vulgarisation sur la notion de groupe de Lie et sur leur classification — et pourquoi c'est un résultat mathématique majeur. Voici une tentative pour raconter quelques choses dans cette direction.

Comme d'habitude quand je fais de la vulgarisation mathématique, (1) je ne sais pas bien à quel niveau de public je m'adresse (et ce niveau va d'ailleurs varier de façon incohérente au cours du texte, même pas forcément de façon monotone vu qu'il m'arrive de faire des digressions pour revenir ensuite à des choses plus basiques), et (2) je vais chercher à « raconter » les maths plus qu'énoncer des définitions et des résultats précis (j'essaie très fort de ne rien dire de faux, mais je dois souvent me réfugier dans un certain niveau de flou quand je veux cacher quelques détails techniques) : mon but est de donner un petit aperçu de ce à quoi ressemble cette théorie classique, certainement pas de l'enseigner précisément (pour ça, il y a toutes sortes de livres, d'ailleurs j'en suggère quelques uns). L'idée est que — qu'on me corrige si ce que je pense est en fait assez stupide — ça peut intéresser des gens de lire des choses à ce sujet, et de regarder les petits dessins que sont les diagrammes de Dynkin et de Satake, sans avoir envie d'apprendre (et/ou le temps de comprendre) ce qu'est précisément, par exemple, un système de racines, une involution de Cartan, ou en fait, un groupe de Lie.

Après, je peux aussi en profiter pour parler à un public plus averti pour lui dire, par exemple regardez le groupe SO*(2n) comme il est tout gentil et tout mimine, pourquoi est-ce que personne n'en parle jamais, de ce pauvre petit groupe ?, ou pour partager mon agacement qu'il soit si difficile de trouver des informations fiables et précises sur certaines choses (celui qui veut traverser le pont de la mort doit répondre aux questions suivantes : quel est le sous-groupe compact maximal de la forme déployée algébriquement simplement connexe de E₇ ? combien sa forme déployée adjointe algébriquement connexe a-t-elle de composantes réelles ? quelle est sa couleur préférée ?).

Table des matières

La notion de groupe et de groupe de Lie

Symétries discrètes

Pour commencer, si je devais m'adresser à un public qui n'a aucune connaissances mathématiques particulières, je présenterais un groupe comme les formes de symétries que peut posséder un objet mathématique (en étant délibérément vague sur ce que objet mathématique peut recouvrir, et en recouvrant sous le terme symétrie tout ce qui « ne change pas » cet objet, cf. les exemples et commentaires ci-dessous). Cette définition est assez floue, mais elle a le mérite de permettre de comprendre pourquoi il s'agit d'un concept extrêmement central en mathématiques (alors que si on prend la vraie définition comme un ensemble muni d'une loi de composition binaire vérifiant les axiomes gnagnagna, ça ne saute pas forcément aux yeux pourquoi cette définition est la bonne et pourquoi le concept est essentiel).

Par exemple, si je considère un pentagone régulier (ou de façon équivalente, une étoile à cinq branches comme ceci), cette figure a dix symétries : quatre rotations autour du centre du pentagone (de façon à amener un sommet sur un des quatre autres, ce qui donne des angles de ±72° ou ±144° mais peu importe), cinq symétries axiales (les réflexions par rapport à des axes passant par un des cinq sommets du pentagone), et la « symétrie » consistant à ne rien faire, qu'on appelle symétrie identité, ou élément neutre du groupe, et que les mathématiciens incluent toujours parce que cela rend la notion de groupe bien plus commode. L'ensemble de ces dix symétries s'appelle le groupe diédral du pentagone (et on dit qu'il est d'ordre 10, parce qu'il y a dix éléments dedans). Soit dit en passant, si on considère une étoile à cinq branches entrelacée (c'est-à-dire où on voit dans quel sens une branche passe au-dessus d'une autre, comme sur cette version du drapeau marocain), la figure n'a plus que cinq symétries (les cinq rotations de ±72° et ±144°, ou plus exactement, les quatre rotations et l'élément neutre / identité qui est une rotation de 0°), parce qu'une symétrie axiale changerait le sens d'entrelacement de l'étoile : ce groupe s'appelle alors le groupe cyclique à cinq éléments (et c'est un exemple d'un sous-groupe, en l'occurrence un sous-groupe du groupe diédral du pentagone : en ajoutant une structure à un objet mathématique, on restreint ses symétries). Remarquons que la plupart des figures géométriques (prenez un triangle quelconque, par exemple) n'ont pas du tout de symétrie, ou plutôt, ils n'ont que la symétrie idiote consistant à ne rien faire (l'identité ou élément neutre, comme je l'ai appelée ci-dessus), et leur groupe de symétrie est appelé le groupe trivial, ou groupe à un seul élément.

Mais bien sûr, quand je parle de symétries d'un objet mathématique, il faut être très inclusif dans ce qu'on appelle une symétrie (déjà, il ne s'agit pas des symétries au sens géométrique le plus étroit — i.e., réflexions — puisque j'ai inclus les rotations qui peuvent conserver la figure ; mais l'objet mathématique n'ayant pas besoin d'être une figure géométrique, on doit accepter tout ce qui préserve sa structure quelle qu'elle soit). Ce qui « fait » vraiment la structure mathématique de groupe, c'est qu'on peut composer les symétries : si je peux appliquer une symétrie g à un objet mathématique et que je peux aussi lui appliquer une symétrie g′, alors je peux appliquer les deux successivement, dans un certain ordre (il y a éventuellement un doute sur ce qu'on appelle g·g′ et ce qu'on appelle g′·g, lié à toutes sortes de confusions entre la gauche et la droite et l'ordre de notation des compositions de fonctions, mais au niveau tellement vague où je me place, ce n'est pas important de savoir lequel est lequel : en revanche, il est important de noter qu'ils peuvent être différents). Plutôt que de définir un groupe comme un ensemble de symétries, les mathématiciens le définissent donc comme un objet abstrait sur lequel on a cette opération de composition et qui doit vérifier différents axiomes que je ne vais pas citer ici (par exemple, l'associativité : (g·g′)·g″ doit coïncider avec g·(g′·g″), puisque dans les deux cas il s'agit d'effectuer les trois symétries dans le même ordre).

Je souligne qu'il faut prendre la notion de « symétrie » avec un grain de sel dans ma (pseudo-)définition : par exemple, si je considère un Rubik's cube, les mouvements qu'on peut effectuer sur le cube forment un groupe G (d'ordre 43 252 003 274 489 856 000 si on ne permet pas de bouger globalement les faces du cube) : il s'agit, si l'on veut, des symétries de l'objet mécanique non colorié, et les couleurs introduites sur les facettes servent justement à repérer visuellement à quel élément du groupe on a affaire, en cassant la symétrie pour la rendre visible. (Compliquons un peu : s'agissant du cube 3×3×3 coloré de façon usuelle, il n'y a aucun « mouvement invisible », c'est-à-dire que tout mouvement qui ramène chaque couleur à sa place depuis la position de départ le fera aussi depuis n'importe quelle configuration du cube — donc on peut identifier les configurations du cube aux éléments du groupe que sont les mouvements effectuables. Mais pour d'autres tailles de cube ou d'autres coloriage, ce n'est plus forcément le cas, et on peut considérer aussi le sous-groupe H des symétries du cube colorié, c'est-à-dire des mouvements qui, à partir de la situation initiale, la ramènent à une configuration identique, alors qu'ils pourraient avoir un effet sur une autre configuration. Pour les mathématiciens, l'ensemble des configurations du cube se voit alors comme l'espace homogène, ou ensemble quotient G/H. C'est un modèle d'une situation qui se produit très souvent sur des objets mathématiques.)

Symétries continues

Dans les exemples que j'ai donnés ci-dessus (le pentagone, le Rubik's cube), on a affaire à des symétries « discrètes », au sens où on ne peut pas faire un tout petit mouvement (une symétrie très proche de l'élément neutre) : le pentagone se tourne par mouvements de 72°, le Rubik's cube par mouvements de 90°, pas moins. Si on considère un cercle, les choses sont différentes : les symétries du cercle sont de deux sortes, on a les rotations d'un angle quelconque (symétries directes, celles qui ne changent pas l'orientation du cercle, c'est-à-dire son sens de rotation si on lui en donne un), et des symétries axiales autour de n'importe quelle droite passant par le centre du cercle. Cette fois, on a des mouvements continus, au sens où on peut faire des toutes petites rotations du cercle, c'est-à-dire, des mouvements très proches de l'identité. Ceci est le cas à la fois dans le groupe O(2) de toutes les symétries du cercle (=rotations et réflexions), ou bien dans le sous-groupe SO(2) des symétries directes (=rotations) qui est, si on veut, le groupe des symétries du « cercle orienté ». (En revanche, si on prend uniquement les réflexions (=symétries axiales), ce n'est pas un (sous-)groupe, car si on compose deux réflexions on retombe sur une rotation.) Le groupe (SO(2)) des rotations du cercle est, de plus, connexe, c'est-à-dire qu'on peut passer continûment (=sans faire de « sauts ») de l'identité à n'importe quelle rotation. Il s'agit là d'exemples de groupes de Lie (en fait, les exemples précédents sont aussi des exemples de groupes de Lie, mais ils ne sont pas d'intérêt en tant que groupes de Lie alors que l'ensemble des symétries d'un cercle commence à l'être) : de façon extrêmement grossière, un groupe de Lie, c'est les symétries que peut posséder un objet géométrique en « mettant l'accent » sur les mouvements continus, c'est-à-dire, les symétries très proches de l'identité. (Cette définition est plutôt bidon, bien sûr, parce qu'elle ne veut pas dire grand-chose, et en plus il manque des qualificatifs comme de dimension finie. Je la critiquerai et tenterai de l'améliorer un tout petit peu plus bas, mais on va partir là-dessus. Je la propose au moins pour essayer de convaincre que la notion de groupe de Lie est une notion naturelle et importante en mathématiques : des objets mathématiques — qu'il s'agisse de formes géométriques, d'équations, de systèmes physiques ou de n'importe quoi d'autre — qui ont des symétries continues qu'on veut étudier, c'est quelque chose d'extrêmement fréquent.)

Un exemple un peu moins idiot de groupe de Lie est donné par les symétries de la sphère (=sphère de dimension 2, ou sphère en dimension 3) : soit l'ensemble de toutes les symétries de la sphère (rotations autour d'un axe, et réflexions par rapport à un plan), noté O(3), soit seulement les rotations (symétries de la « sphère orientée »), noté SO(3), ce dernier étant un groupe de Lie connexe parce qu'on peut amener continûment la sphère de n'importe quelle rotation à n'importe quelle autre. L'ensemble des symétries du plan euclidien (translations, rotations et symétrie axiales) est aussi un exemple de groupe de Lie (il n'y a pas vraiment de notation standard pour lui : généralement on va le noter quelque chose comme ℝ²⋊O(2), ce qui est une façon de dire qu'il se décompose d'une certaine manière — ce qu'on appelle un produit semidirect — en termes de son sous-groupe ℝ² des translations et de son sous-groupe O(2) des symétries d'un cercle). Ceux qui ont lu mes entrées précédentes sur la géométrie hyperbolique pourront aussi imaginer le groupe des symétries du plan hyperbolique, qui s'appelle O⁺(2,1) (ou SO⁺(2,1) si on se limite aux symétries directes, c'est-à-dire les rotations, translations hyperboliques et rotations idéales, excluant de nouveau les réflexions / symétries axiales).

On peut aussi considérer la sphère sur laquelle un point a été spécialement marqué (« colorié »), ou, ce qui revient en l'occurrence au même, les symétries de la sphère privée d'un point : il ne reste alors plus que les rotations autour de ce point et les réflexions dont le plan passe par ce point, c'est-à-dire le même groupe O(2) que les symétries d'un cercle. (Pour ceux qui ont lu ma parenthèse plus haut sur les coloriages du Rubik's cube, l'intérêt de cette présentation est que la 2-sphère peut alors se voir comme l'ensemble quotient O(3)/O(2) ou SO(3)/SO(2) de son groupe des symétries par le groupe des symétries de la sphère où on a colorié un point — appelé aussi sous-groupe stabilisateur d'un point. Ceci est une façon de voir la sphère comme un espace riemannien symétrique, dont je parlerai à la fin.)

Ceux qui ont lu mon texte sur les octonions savent ce qu'est le groupe G₂ des symétries (=automorphismes) des octonions : il s'agit d'un autre exemple important de groupe de Lie (on peut faire de tout petits changements dans i, j et , ce qui donne des automorphismes proches de l'identité).

Ceux qui savent ce qu'est une matrice et comment les multiplier ont bien sûr quantité d'exemples de groupes de Lie à leur disposition [les autres lecteurs peuvent sauter la fin de ce paragraphe]. Le plus évident est le groupe GL(n,K), dit général linéaire, de toutes les matrices n×n inversibles sur le corps K qui peut être celui des réels ou des complexes, ou même le corps-gauche des quaternions (pour les octonions, ça ne marche pas, en tout cas pas comme ça) : si on veut, c'est le groupe des symétries de l'espace de dimension n muni de sa seule structure vectorielle. On peut aussi former le groupe SL(n,K) (spécial linéaire) des matrices de déterminant 1 (c'est un peu subtil sur les quaternions, donc mettons sur les réels ou les complexes) : on peut décrire par exemple SL(n,ℝ) comme les symétries de l'espace de dimension n muni de sa structure vectorielle plus d'une notion de mesure du volume. Le groupe O(n) (orthogonal) en général est celui des matrices n×n réelles orthogonales, c'est-à-dire dont les lignes (ou de façon équivalente, les colonnes) forment une base orthonormée — et si de plus le déterminant, qui vaut forcément ±1, vaut en fait 1, on obtient le groupe SO(n). On peut voir O(n) et SO(n) comme les symétries de l'espace de dimension n muni de sa structure vectorielle plus une norme euclidienne et, dans le cas de SO, d'une orientation ; ou comme les symétries de la sphère (orientée dans le cas de SO) de dimension n−1 dans l'espace euclidien de dimension n. Si on considère les matrices n×n complexes dont les lignes (ou de façon équivalente, les colonnes) forment une base orthonormée pour le produit scalaire hermitien standard (au lieu du produit scalaire euclidien), on obtient le groupe U(n) (unitaire) ou, si on impose que le déterminant (qui est automatiquement un complexe de module 1) vaut 1, le groupe SU(n). Si on fait ça sur les quaternions (avec le produit hermitien « évident »), on obtient le groupe Sp(n) (symplectique [compact]), ou en tout cas, une façon de le décrire. (De nouveau, pour les octonions, ça ne marche pas, ou en tout cas pas comme ça.) Un exemple un peu différent (ce sera un groupe de Lie « résoluble » plutôt que « semi-simple ») : les matrices triangulaires supérieures dont la diagonale n'a pas de 0 (voire : dont la diagonale n'a que des 1). Il n'est pas tout à fait vrai que tout groupe de Lie peut se décrire comme un groupe de matrices (ce n'est vrai qu'à isogénie près, cf. ci-dessous), mais on ne perdra rien d'important à considérer les termes groupe de Lie et groupe de matrices (un chouïa moins vague : sous-groupe topologiquement fermé du groupe général linéaire) comme synonymes.

En physique, en relativité restreinte, le groupe O(3,1) joue un rôle extrêmement important sous le nom de groupe de Lorentz (il s'agit, grossièrement parlant, des symétries de l'espace des vitesses de la relativité restreinte — changements de référentiels et symétries de l'espace compris —, espace des vitesses qui s'avère être un espace hyperbolique), ainsi que ses différentes variantes O⁺(3,1), SO(3,1) et SO⁺(3,1) (grosso modo, la distinction est de savoir si on oriente le sens du temps, l'espace-temps, ou les deux à la fois — je ne veux vraiment pas rentrer dans les détails et je qualifierai bientôt ces groupes d'isogènes ; mais ce qui est sûr, c'est qu'on peut faire des toutes petites rotations de l'espace, ou des changements de référentiels très faibles, donc on a bien des éléments proches de l'identité). On considère aussi le groupe de Lie ℝ⁴⋊O(3,1) (de nouveau, avec différents avatars), dit groupe de Poincaré (grossièrement parlant, il s'agit du groupe des symétries de toute la relativité restreinte : à la fois de l'espace-temps et de l'espace des vitesses). Ceci n'est qu'un exemple : il y a énormément de groupes, et notamment de groupes de Lie, qui interviennent en physique. (Autre exemple : en théorie quantique des champs, le groupe SU(3) est au cœur de notre description des interactions fortes, et le groupe SU(2)×U(1) des interactions (électro)faibles.)

Maintenant, un des objectifs des mathématiques est de classifier les objets qu'elles définissent. Chercher à classifier les groupes de Lie, c'est-à-dire, grosso modo, les symétries continues que peut posséder un objet mathématique, est donc un problème central et important. Si on essaie d'y voir plus clair pour l'attaquer, il va forcément falloir réduire le problème.

Groupes de Lie isogènes, linéarisation et algèbres de Lie

La pseudo-définition de groupe de Lie que j'ai donnée est un peu (voire, complètement) bidon : avec ce que j'ai dit, on ne peut pas comprendre la distinction entre « groupe » et « groupe de Lie » (juste une question de point de vue : les groupes de Lie s'intéressent surtout à ce qui est proche de l'identité). Un groupe de Lie est un cas particulier d'un groupe ; et même s'il n'est pas vrai que tout groupe soit un groupe de Lie (ça va être difficile à comprendre avec les pseudo-définitions que j'ai faites), il est au moins vrai que tout groupe fini est un groupe de Lie, i.e., rien n'impose qu'il y ait effectivement des éléments très proches de l'identité. Pour autant, quand on veut « classifier les groupes de Lie », on ne va pas s'intéresser à classifier les groupes finis (ce qui est un problème beaucoup, mais alors beaucoup beaucoup plus compliqué que classifier les groupes de Lie). On va donc chercher à se donner un but qui ignore toute la partie « symétries discrètes » pour ne s'intéresser qu'à la partie « symétries continues ». (Par exemple, on va vouloir ignorer la différence entre O(3) et SO(3).) Pour ça, on va se limiter à la classification des groupes de Lie à isogénie près, et je dois essayer d'expliquer ce que ça signifie.

De façon approximative, on dit que deux groupes de Lie sont isogènes lorsqu'ils sont identiques au voisinage de l'identité (=élément neutre du groupe). Par exemple, O(3) (=toutes les symétries de la sphère) et son sous-groupe SO(3) (=uniquement les symétries directes, i.e., les rotations) sont isogènes, parce que les symétries proches de l'identité (celles qui ne bougent que très peu la sphère) sont forcément des rotations, c'est-à-dire sont forcément dans SO(3). En fait, pour être un peu plus précis, la notion de groupes de Lie isogènes ignore deux phénomènes, qu'on peut appeler le π₀ et le π₁ :

Le phénomène du π₀, c'est celui que j'ai illustré avec O(3) et SO(3), c'est qu'un groupe de Lie n'est pas forcément connexe (=on ne peut pas forcément passer continûment de l'identité à n'importe quel élément). Ce qu'on appelle la composante connexe neutre ou composante connexe de l'identité dans un groupe de Lie, c'est l'ensemble des éléments qui peuvent être atteints par une transformation continue depuis l'identité — dans le cas de O(3) c'est SO(3). C'est forcément un sous-groupe (idée de démonstration : si on peut relier par un chemin continu chacun de g et de g′ à l'élément neutre, on peut relier leur composée en faisant la composée à chaque pas du chemin), c'est d'ailleurs un sous-groupe distingué si vous savez ce que c'est, et par définition il est connexe. Un groupe de Lie est isogène à sa composante neutre : en choisissant de n'étudier les groupes de Lie qu'à isogénie près, on a donc éliminer la partie discrète (le groupe π₀ des composantes connexes, qui est le quotient du groupe par sa composante neutre de l'identité), et on ne s'intéresse, si on veut, qu'à classifier les groupes de Lie connexes. (Certains auteurs sous-entendent d'ailleurs le mot connexe quand ils parlent de groupes de Lie.)

Mais il y a un autre phénomène, plus subtil à expliquer, c'est le phénomène du π₁ : même si un groupe de Lie est connexe, il peut ne pas être simplement connexe. Un groupe de Lie connexe est dit simplement connexe lorsque toutes les façons de relier continûment un élément g à l'identité sont elles-mêmes équivalentes au sens où on peut passer continûment de l'une à l'autre ; ou, de façon équivalente, lorsque tout chemin qui part de l'identité et qui revient à elle peut être contracté de façon continue.

Pour essayer d'expliquer ce que signifie ce terme de simple connexité, considérons le groupe SO(3) des rotations de la (2-)sphère, et considérons le mouvement continu consistant à faire faire à la sphère un tour complet (autour d'un axe quelconque) : il s'agit là d'un chemin dans SO(3) qui relie continûment l'identité (la rotation d'angle 0°) à elle-même (la rotation d'angle 360°, ce qui est pareil) en passant par d'autres rotations (la rotation d'angle α autour du même axe, pour 0≤α≤360°). Il n'y a pas moyen de passer continûment de ce mouvement continu à un autre qui ne fait rien du tout : c'est-à-dire, il n'est pas possible de faire un mouvement continu un peu différent mais qui part et revient quand même à la position de référence (l'identité), puis un autre encore un peu différent, puis un autre, et ainsi de suite, et au final ne faire aucun mouvement. (Je souligne le fait qu'il y a deux paramètres dans cette histoire : le temps d'un mouvement continu, et le passage d'un mouvement continu à un autre. Chaque mouvement continu doit — dans le premier paramètre — partir de l'identité et revenir à l'identité, et on essaie de passer ainsi — dans le second paramètre — du mouvement qui fait un tour complet à celui qui ne fait rien du tout.) De façon peut-être encore plus surprenante, quand on fait faire deux tours complets à une sphère de façon continue, ce mouvement-là est déformable de façon continue en le mouvement trivial. (Il faudrait que je fasse une animation vidéo pour montrer ça, même si ce n'est pas évident comment le montrer de façon claire vu qu'il y a deux paramètres de temps dans l'histoire. Ajout : voir l'entrée suivante.) Il s'agit là d'une manifestation du fait qu'il existe un groupe de Lie, appelé Spin(3) (c'est, par exemple, le groupe des quaternions de module 1 pour la multiplication), qui enregistre à la fois une rotation de la sphère et « la façon dont on peut la réaliser continûment, à déformation près », et concrètement ce groupe distingue une rotation d'un tour (quel que soit son axe) de pas de rotation du tout (en revanche, deux tours sont pareils que rien du tout). On dit que Spin(3) est le revêtement universel de SO(3), et que les éléments de Spin(3) qui correspondent à l'élément neutre de SO(3) forment le groupe fondamental ou π₁, de SO(3) (en l'occurrence, il s'agit du groupe à deux éléments : l'élément neutre et la rotation d'un tour complet). Remarquons que SO(3) n'est pas un sous-groupe de Spin(3) (ni le contraire) : les éléments de Spin(3) sont des rotations « enrichies » d'une donnée supplémentaire, pas un ensemble plus général que les rotations (comme l'était O(3)). Remarquons que le problème du π₁, quoique plus délicat à expliquer que celui du π₀, est aussi plus limité : en effet, si les π₀ pouvant intervenir dans un groupe de Lie connue à isogénie près sont arbitraires (n'importe quel groupe fini), les π₁ possibles sont mieux contrôlés (ce sont des sous-groupes du centre du revêtement fondamental, le centre d'un groupe G étant l'ensemble des z tels que z·g=g·z pour tout g ; et « typiquement » le centre est plutôt petit).

Pour compliquer encore les choses, dans le cas des groupes de Lie réels (cf. plus bas ; pour les complexes, ce problème supplémentaire ne se pose pas), la géométrie différentielle et la géométrie algébrique (qui parle de groupes algébriques linéaires réels) ne sont pas d'accord sur ce que connexe et simplement connexe signifient. Pour la géométrie algébrique, par exemple, SO(3,1) est connexe, alors que pour la géométrie différentielle, c'est SO⁺(3,1) qui l'est (ou pour prendre un exemple, essentiellement identique, qui n'est pas un groupe mais qui est plus éclairant : pour la géométrie algébrique, un hyperboloïde à deux nappes est connexe, parce qu'il est impossible de trouver un polynôme dessus qui ne prend que les valeurs 0 et 1, alors que pour la géométrie différentielle, bien sûr, c'est une seule nappe qui l'est). De même, pour la géométrie algébrique, SL(3,ℝ) est simplement connexe, alors que pour la géométrie différentielle, il ne l'est pas, il a un revêtement double (ce qui se passe est que ce revêtement double n'est pas algébrique — contrairement au cas de Spin(3)→SO(3) — donc pour la géométrie algébrique il n'existe pas). On peut évidemment dire je n'ai rien à faire de ces fous de géomètres algébristes qui croient qu'un hyperboloïde à deux nappes est connexe !, mais il n'empêche que c'est ça qui « explique » pourquoi le revêtement double Spin(3) de SO(3) est très très important alors que le revêtement double de SL(3,ℝ) l'est beaucoup moins et n'a d'ailleurs même pas de nom standard (il n'est pas algébrique : il n'existe pas comme groupe de matrices — de taille finie, du moins — parce qu'il n'a pas de représentation fidèle de dimension finie). Bien sûr, chaque texte de maths va être cohérent avec lui-même (enfin, on espère !) dans son usage des mots connexe et simplement connexe, mais un débutant peut être trompé par le fait qu'il comparera un livre parlant de groupes de Lie réels (sous l'angle de la géométrie différentielle) et un autre parlant de groupes algébriques linéaires réels (donc sous l'angle de la géométrie algébrique) et qu'ils utilisent les termes dans des sens différents sans faire l'effort de mettre en garde ; et par ailleurs, peu de livres font l'effort de présenter à la fois les deux regards pour faire le pont entre les deux.

Ajout : Pour répondre à une question qu'on m'a posée en commentaire, chaque classe d'isogénie de groupes de Lie contient exactement un représentant simplement connexe, il est le « revêtement universel » de [la composante neutre de] n'importe quel groupe dans la classe d'isogénie (et le π₁ de n'importe quel groupe dans la classe d'isogénie peut se voir de façon naturelle, comme un sous-groupe du centre de ce groupe simplement connexe). De plus, pour les groupes semisimples (cf. plus bas ; et en particulier, pour les groupes simples), il y a aussi dans la classe d'isogénie exactement un représentant algébriquement simplement connexe (ce qui signifie grosso modo « le revêtement le plus gros possible qui soit un groupe de matrices », i.e., simplement connexe au sens de la géométrie algébrique) : ces deux notions ne coïncident pas en général (cf. le paragraphe précédent), mais elles coïncident pour les groupes complexes, ou les groupes réels compacts.

Tout ça est un peu subtil (et beaucoup de textes mathématiques où interviennent des groupes de Lie font des erreurs par un « facteur fini », c'est-à-dire des affirmations qui ne sont vraies qu'à isogénie près), mais à la limite peu importe : classifier les groupes de Lie à isogénie près c'est justement ignorer ces subtilités, c'est traiter Spin(3) et SO(3) comme la même chose (ils sont isogènes) de même qu'on a traité SO(3) et O(3) comme la même chose.

Partant maintenant sur cette idée « cherchons à classifier les groupes de Lie à isogénie près » (donc, en identifiant ceux qui se ressemblent au voisinage de l'élément neutre), on introduit une nouvelle structure mathématique, celle d'algèbre de Lie associée à un groupe de Lie (on dit aussi algèbre de Lie tangente à un groupe de Lie, car géométriquement, c'est exactement l'espace tangent du groupe de Lie en l'élément neutre). Je ne vais pas chercher à définir exactement ce que c'est, mais de façon grossière, il s'agit des symétries « infinitésimales », c'est-à-dire, en quelque sorte, infiniment proches de l'identité (ceci n'a pas de sens rigoureux, mais il y a une façon de le définir rigoureusement). En faisant cette opération, on a fait disparaître les subtilités du π₀ et du π₁ dont j'ai parlé plus haut : deux groupes de Lie isogènes ont la même algèbre de Lie (et par ailleurs, la réciproque est vraie, comme je vais le dire plus bas, mais c'est moins évident).

Le passage du groupe de Lie à l'algèbre de Lie est une opération de « linéarisation », le même genre de choses que font les physiciens quand ils ont un calcul compliqué sur lequel ils font des approximations « au premier ordre » : on remplace un objet compliqué, non-linéaire, ici le groupe de Lie, par quelque chose de plus simple, linéaire, ici (l'addition sur) l'algèbre de Lie. (Une algèbre de Lie est un espace vectoriel, c'est-à-dire essentiellement qu'on peut ajouter, soustraire, et multiplier par des constantes ses éléments ; c'est en ce sens que je la qualifie de linéaire. Mais surtout, l'addition est commutative, parce que si on fait deux mouvements infinitésimaux, le sens dans lequel on les fait n'a pas d'importance, ou plutôt, n'a pas d'importance au premier ordre infinitésimal.) Maintenant, on ne veut quand même pas perdre toute l'information : si on ne garde que la structure linéaire d'une algèbre de Lie, on n'a essentiellement retenu que la dimension du groupe de Lie (on ne verra pas la différence, par exemple, entre les mouvements de la sphère, du plan euclidien et du plan hyperbolique, parce que dans les trois cas on peut translater un point un tout petit peu, ou tourner un tout petit peu autour de lui — l'algèbre de Lie est de dimension 3). On va donc retenir une chose supplémentaire en plus de la structure linéaire, c'est ce qu'on appelle le crochet de Lie, qui sert, en gros, à enregistrer l'ordre le plus bas du défaut de commutativité (c'est-à-dire la manière dont g·g′ et g′·g diffèrent « à l'ordre 2 », i.e., à l'ordre d'approximation juste au-dessus de celui consistant à dire qu'ils sont égaux puisque g et g′ ont été choisis proches de l'identité).

Pour ceux qui savent ce que sont les matrices, voici une définition un peu plus opérationnelle de la notion d'algèbre de Lie : si G est un groupe de matrices, défini par des équations sur les coordonnées de celles-ci (par exemple, le fait que le déterminant vaille 1 pour le groupe spécial linéaire ; ou, pour le groupe orthogonal, le fait que les produits scalaires entre les lignes vaillent 0, sauf 1 pour une ligne avec elle-même ; je passe sous silence le fait que les équations en question ne peuvent pas être n'importe quoi : il y a une condition de non-dégénérescence que je ne précise pas), on peut définir son algèbre de Lie 𝔤 (←ceci est un g gothique) de la façon suivante. Si 1 désigne la matrice unité, on considère la condition à laquelle 1+ε·X appartient à G, où X est une matrice quelconque et ε une constante en laquelle on va faire un développement limité à l'ordre 1 : le terme linéaire en ε donne précisément une condition sur X (en fait, l'espace tangent à G en 1) qui définit l'appartenance à 𝔤. (Par exemple, si G est le groupe spécial linéaire, on trouve comme condition que la trace de X soit nulle, parce que le déterminant de 1 + ε·X vaut 1 + ε·tr(X) + O(ε²) où O(ε²) désigne des termes d'ordre au moins 2 en ε. Si G est le groupe général linéaire GL(n), il n'y a aucune condition : son algèbre de Lie 𝔤𝔩(n) est l'ensemble de toutes les matrices n×n. Et si G est le groupe orthogonal ou spécial orthogonal SO(n), la condition est que X est antisymétrique.) Pour définir le crochet de Lie [X,Y] entre deux éléments X,Y de 𝔤, on calcule le produit dans G de (1+ε·X)·(1+ε·Y) par l'inverse de (1+ε·Y)·(1+ε·X) (i.e., le commutateur de 1+ε·X et 1+ε·Y), qu'on développe à l'ordre 2 en ε (l'ordre 1 s'annule forcément) : le terme devant ε² est par définition [X,Y].

Comme je l'ai dit plus haut, deux groupes de Lie isogènes ont la même algèbre de Lie (c'est plus ou moins évident : on ne s'intéresse qu'à ce qui se passe près de l'identité). Ce qui est moins évident, c'est que cette opération est « fidèle » : deux groupes de Lie qui ont la même algèbre de Lie sont isogènes ; autrement dit, la structure d'algèbre de Lie (donc essentiellement, le crochet de Lie) permet de retrouver la structure de groupe de Lie à isogénie près. Ceci résulte de la formule de Baker-Campbell-Hausdorff qui permet de retrouver le produit (=la composition) du groupe de Lie à partir du crochet de Lie (celui-ci n'étant que l'ordre 2 de la formule) : autour de l'identité, les éléments du groupe de Lie sont des « exponentielles » d'éléments de l'algèbre de Lie, et la formule de BCH permet de multiplier ces exponentielles. (On peut remarquer le cas particulier suivant : si le crochet de Lie est nul, ce qui se produit lorsque le groupe de Lie est commutatif, autrement dit g·g′ = g′·g pour tous g et g′, alors le groupe de Lie est complètement déterminé simplement par sa dimension : il n'y a donc, à isogénie près, qu'un seul groupe de Lie commutatif de dimension donnée. C'est, par exemple, le groupe des translations dans l'espace de dimension n. Mais il faut souligner que même dans ce cas, la classification exacte — à « isomorphisme » près et pas juste à isogénie près — est compliquée par le phénomène du π₁ : cela revient à la classification des réseaux euclidiens.)

Il y a plus : l'opération de passage du groupe à l'algèbre de Lie est également « pleine », au sens où n'importe quelle structure abstraite d'algèbre de Lie (ce qui se définit en termes de propriétés du crochet de Lie, par exemple on demande la formule de Jacobi [[X,Y],Z] + [[Y,Z],X] + [[Z,X],Y] = 0) est bien l'algèbre de Lie associée à (=tangente à) un groupe de Lie. Tout ceci permet de dire que classifier les groupes de Lie à isogénie près revient à classifier les algèbres de Lie. Or ce problème est sensiblement plus simple parce qu'on a maintenant affaire à de l'algèbre linéaire.

Briques élémentaires ; algèbres de Lie semisimples, réductives

Note : On l'aura sans doute deviné, mais le terme de brique élémentaire dans ce qui suit n'est pas un terme technique. (Ce n'est pas un terme mathématique standard. Je l'utilise parce que je veux regrouper sous un nom commun les algèbres de Lie simples et l'algèbre de Lie abélienne de dimension 1. La terminologie mathématique standard est un peu merdique parce que si le terme algèbre de Lie simple exclut normalement cette dernière, il n'y a pas de terme pour l'inclure explicitement.)

En passant des groupes de Lie (modulo isogénie) aux algèbres de Lie, on a rendu le problème de classification « linéaire ». Ce n'est pas pour autant que le problème soit évident. D'ailleurs, il n'est pas vraiment résolu(ble?), ou en tout cas pas sous sa forme la plus générale. Mais ce qu'on peut faire, et c'est généralement ce qu'on veut dire abusivement quand on parle de la classification des groupes de Lie, c'est classifier les « briques élémentaires » qui servent à fabriquer toutes les algèbres de Lie, et qu'on appelle les algèbres de Lie simples, un peu à la manière dont les nombres premiers permettent de fabriquer tous les entiers par multiplication. C'est ceci (la classification des algèbres de Lie simples) qu'ont accompli Wilhelm Killing en 1888–1890 (pour le cas des algèbres de Lie complexes, à quelques erreurs près et avec une rigueur parfois approximative), puis Élie Cartan dans sa thèse en 1894 (pour le cas complexe, complétant les petites lacunes des travaux de Killing) et ensuite en 1914 (pour le cas réel) : collectivement, ce résultat s'appelle la classification de Killing-Cartan.

Dire qu'on a classifié toutes les briques élémentaires ne signifie pas exactement qu'on ait classifié toutes les algèbres de Lie. Plus exactement, la situation est en gros la suivante. Il y a deux sortes de briques élémentaires : les algèbres de Lie simples (celles classifiées par Killing et Cartan, et dont je vais reparler), et une très spéciale, qu'on peut ou non ranger parmi les algèbres de Lie simples (généralement, on considère que non, et dorénavant je suivrai cette convention), l'algèbre de Lie abélienne (=commutative, =dont le crochet de Lie est identiquement nul) de dimension 1. (Les algèbres de Lie abéliennes de toute autre dimension sont simplement un produit d'autant de fois l'algèbre de Lie abélienne de dimension 1.) L'algèbre de Lie abélienne de dimension 1 est un objet très facile à comprendre (c'est juste la droite réelle, si on veut, avec un crochet de Lie nul : c'est l'algèbre de Lie associée aux rotations du cercle ou aux translations de la droite), donc ce n'est pas qu'il soit problématique en lui-même, l'ennui est qu'il se comporte différemment des autres briques, et notamment, contrairement aux algèbres de Lie simples stricto sensu, il peut se combiner avec lui-même pour donner des choses plus riches.

La manière dont ces briques sont mises ensemble (le problème des extensions), donc, peut être plus ou moins compliquée. Quand l'algèbre de Lie abélienne de dimension 1 n'intervient pas, il s'agit simplement d'un produit, et on dira que l'algèbre en question est semisimple (il y a toutes sortes d'autres caractérisations de cette propriété, dont certaines sont a priori, c'est-à-dire qu'on peut les énoncer avant toute classification). En revanche, quand l'algèbre de Lie abélienne de dimension 1 intervient dans l'histoire, le résultat peut être plus compliqué qu'un produit entre les briques. (Témoin l'algèbre de Lie des déplacements de l'espace euclidien de dimension 3, ℝ³ ⋊ 𝔰𝔬(3), qui est fabriquée avec trois copies de l'algèbre de Lie abélienne de dimension 1 (sur les réels, donc ℝ) et l'algèbre de Lie simple 𝔰𝔬(3) tangente au groupe SO(3) des rotations de la sphère, mais ce n'est pas un produit, c'est ce qu'on appelle un produit semidirect. Et encore, il y a des extensions plus compliquées que les produits semidirects.) Le cas extrême opposé aux algèbres de Lie semisimples (=les produits d'algèbres simples) est celui des algèbres résolubles, où seule intervient l'algèbre de Lie abélienne de dimension 1 comme brique (là aussi, il y a d'autres caractérisations équivalentes, dont certaines a priori) ; ce qui ne signifie pas que l'algèbre soit elle-même abélienne. (Par exemple, l'algèbre de Lie des matrices triangulaires supérieures est résoluble, et n'est pas abélienne.) Ces algèbres de Lie résolubles ne sont complètement classifiées qu'en petite dimension, et il n'est pas du tout clair qu'il y ait un sens à les classifier en général. On définit aussi les algèbres de Lie réductives, qui sont produit d'une algèbre semisimple (donc : d'algèbres de Lie simples) et d'une algèbre de Lie abélienne (donc : de copies de l'algèbre de Lie abélienne de dimension 1), i.e., qui sont fabriquées par simple produit à partir des briques élémentaires. Toute cette terminologie peut être source de confusion (et ça n'aide pas que les définitions a priori, celles qu'on trouve dans les livres, soient assez peu parlantes si on ne connaît pas déjà les conclusions de la classification). Voici une tentative pour la récapituler :

Type d'algèbreType d'extensionType de briques
Une algèbre de Lie quelconqueest extension (quelconque)de toutes les briques (=algèbres de Lie simples et abélienne de dimension 1).
Une algèbre de Lie semisimpleest extension, automatiquement produit,d'algèbres de Lie simples.
Une algèbre de Lie abélienneest produitde [copies de] l'algèbre de Lie abélienne de dimension 1.
Une algèbre de Lie réductiveest produitde toutes les briques (=algèbres de Lie simples et abélienne de dimension 1).
Une algèbre de Lie résolubleest extension (quelconque)de [copies de] l'algèbre de Lie abélienne de dimension 1.

On peut dire que la classification de Killing-Cartan classifie complètement les algèbres de Lie semisimples, ou éventuellement les réductives, puisque ce sont de simples produits des briques élémentaires que sont les algèbres de Lie simples (et éventuellement de l'algèbre de Lie abélienne de dimension 1). Sur les algèbres de Lie en général (i.e., quelconques), on peut seulement dire qu'elles sont formées par un produit semidirect (la décomposition de Levi) entre une partie résoluble (le radical) et une partie semisimple (une sous-algèbre de Levi). (Notons que la situation est quand même bien meilleure que pour les groupes finis, où les extensions compliquées peuvent exister à tous les niveaux, alors que je viens de dire que dans le cas des algèbres de Lie ce n'est que pour la seule algèbre abélienne de dimension 1 qu'ils se posent vraiment.) De beaucoup de points de vue, les algèbres de Lie semisimples (ou au moins, réductives) sont les plus importantes, donc ce n'est pas très grave que la partie résoluble ne soit pas totalement, euh, résolue.

(Notons que la terminologie des algèbres de Lie se transfère aux groupes dont elles sont l'algèbre tangente : un groupe de Lie simple (resp. semisimple, réductif, résoluble) est un groupe dont l'algèbre de Lie est simple (resp…). C'est un peu navrant, parce que du coup un groupe de Lie simple au sens des groupes de Lie — son algèbre de Lie est simple — et un groupe de Lie simple au sens des groupes abstraits — il n'a pas de sous-groupe distingué non-trivial — ne sont pas exactement la même chose.)

Mais revenons à la classification de Killing-Cartan. Je ne compte pas l'exposer ici complètement, mais je peux en dire quelque chose.

La classification de Killing-Cartan (des algèbres de Lie simples)

Pour exposer un peu les conclusions de la classification de Killing-Cartan, d'abord, il faut distinguer le cas réel et le cas complexe : j'ai fait exprès d'être assez vague sur ce sujet, même si ce dont j'ai parlé est, a priori, plutôt les groupes et algèbres de Lie réels. Une algèbre de Lie complexe est une algèbre de Lie sur laquelle on peut multiplier par un nombre complexe, ce qui signifie, puisqu'on peut déjà multiplier par un nombre réel, qu'on peut multiplier par i (en fait, pour être précis, une algèbre de Lie complexe est une algèbre de Lie réelle munie d'une structure complexe ; mais pour ce qui nous intéresse, cette structure est de toute façon essentiellement unique, donc on peut considérer qu'une algèbre de Lie complexe est un cas particulier d'une algèbre de Lie réelle) ; et on dit que le groupe de Lie est complexe lui aussi. Ce n'est pas quelque chose de géométriquement évident (multiplier par 2 un déplacement infinitésimal, on voit ce que ça veut dire : ça veut dire, le faire deux fois de suite ; le multiplier par 1.618 on voit encore ce que ça veut dire ; mais le multiplier par i, c'est moins clair) : cependant, un groupe de Lie défini par des équations polynomiales complexes est naturellement un groupe de Lie complexe (par exemple, le groupe spécial linéaire SL(n,ℂ) sur les complexes ; ou bien le groupe SO(n,ℂ), analogue évident de SO(n) sur les complexes, c'est-à-dire en « complexifiant » naïvement toutes les coordonnées ; en revanche, le groupe spécial unitaire SU(n), bien que défini avec des matrices complexes, n'est pas un groupe de Lie complexe, parce que sa définition fait intervenir des conjugués complexes).

Ajout : Pour répondre à une question qu'on m'a posée en commentaire, ce que j'ai dit jusqu'à présent, normalement (et sauf erreur de ma part), s'applique aussi bien aux groupes et algèbres de Lie réels que complexes. Par exemple, la notion d'algèbre de Lie simple ou résoluble, ou la décomposition de Levi, marchent aussi bien dans un cas que dans l'autre.

Le cas complexe

La classification des algèbres de Lie simples complexes [oui, ça ressemble à un oxymore, mais je ne crois pas que le jeu de mot soit volontaire de la part de qui que ce soit], donc des groupes de Lie simples complexes à isogénie près, est relativement facile à énoncer : il existe quatre familles infinies, qu'on appelle les groupes classiques parce qu'ils étaient connus avant Lie, Killing et Cartan, à savoir (je reparlerai plus bas des petits dessins représentés en face, mais disons au moins que r est le nombre de nœuds du graphe) :

  • (Ar) (pour r≥1)[Diagramme de Dynkin de A_r] le groupe spécial linéaire complexe SL(r+1,ℂ),
  • (Br) (pour r≥2)[Diagramme de Dynkin de B_r] le groupe spin complexe impair Spin(2r+1,ℂ),
  • (Cr) (pour r≥3)[Diagramme de Dynkin de C_r] le groupe symplectique complexe Sp(r,ℂ), et
  • (Dr) (pour r≥4)[Diagramme de Dynkin de D_r] le groupe spin complexe pair Spin(2r,ℂ).

(Le groupe spécial orthogonal est isogène au groupe spin : c'est ce dernier que j'ai listé parce que j'ai suivi la convention d'écrire le représentant « simplement connexe » de chaque classe d'isogénie ; si on n'aime pas Spin, on peut lire le groupe spécial orthogonal SO(…,ℂ) à la place vu qu'on classifie de toute façon à isogénie près. D'autre part, ce groupe spin ou spécial orthogonal est divisé en cas pair et cas impair parce que la classification fait apparaître de façon naturelle qu'ils se comportent différemment. Évidemment, rien n'interdit de dire qu'il y a trois familles infinies, le groupe spécial linéaire, le groupe orthogonal, et le groupe symplectique.)

L'entier r qui apparait dans ces familles a un sens uniforme, ce qu'on appelle le rang du groupe en question — voir notamment cette entrée passée. Par ailleurs, je limite Br à r≥2, Cr à r≥3, et Dr à r≥4 : ce n'est pas qu'ils n'existent pas avant, mais B1 et C1 coïncident avec A1, et C2 coïncide avec B2 ; par ailleurs, D1 n'a pas vraiment de sens, ou décrit l'algèbre de Lie abélienne de dimension 1, D2 n'est pas simple mais seulement semisimple, et coïncide avec A1×A1, et enfin D3 coïncide avec A3 — tout ceci se voit très bien sur les petits dessins qui aident à la classification et dont je dois reparler ; on appelle ça les isomorphismes exceptionnels, et plus précisément, on a (o) Spin(2,ℂ) ≅ ℂ× := GL(1,ℂ) et (i) Spin(3,ℂ) ≅ Sp(1,ℂ) ≅ SL(2,ℂ) et (ii) Spin(4,ℂ) ≅ SL(2,ℂ)×SL(2,ℂ) et (iii) Spin(5,ℂ) ≅ Sp(2,ℂ) et enfin (iv) Spin(6,ℂ) ≅ SL(4,ℂ) (j'ai essayé d'écrire des vrais isomorphismes, pas juste des isogénies, et j'espère ne pas m'être trompé d'un facteur fini ici ou là).

  • G2[Diagramme de Dynkin de G₂]
  • F4[Diagramme de Dynkin de F₄]
  • E6[Diagramme de Dynkin de E₆]
  • E7[Diagramme de Dynkin de E₇]
  • E8[Diagramme de Dynkin de E₈]

À côté de ces quatre familles infinies, il existe cinq algèbres de Lie simples complexes dites exceptionnelles (donc, à isogénie près, cinq groupes de Lie simples complexes exceptionnels), qu'on appelle G2, F4, E6, E7 et E8. (Il s'agit de groupes complexes, donc le G2 dont je parle ici n'est pas le groupe des automorphismes des octonions dont j'ai parlé dans une entrée antérieure mais le groupe des automorphismes des « octonions complexes » que j'évoque brièvement à la fin.) Ces groupes n'étaient pas connus avant, ils ont été découverts lors de la classification (au départ, Killing espérait pouvoir se débarrasser de ces cas bizarres, mais Cartan a montré qu'ils existaient vraiment). Il n'existe pas de façon très simple de les construire ou de les décrire, mais le mieux — passant par une variation ou une autre du carré magique — fait intervenir les octonions.

Pour expliquer très sommairement les ingrédients derrière cette classification des algèbres de Lie simples, on utilise d'abord des techniques de réduction des endomorphismes (pour ceux de mes lecteurs qui ont suivi des cours de prépa…) : il s'agit essentiellement de trouver des éléments de l'algèbre de Lie qui commutent ensemble et qu'on peut donc réduire simultanément — on trouve ce qu'on appelle une sous-algèbre de Cartan, dont la dimension r est ce qu'on appelle le « rang » du groupe ; et les valeurs propres associées (ou plus exactement, les valeurs propres des éléments de la sous-algèbre de Cartan opérant par crochet de Lie sur l'algèbre tout entière) définissent un objet géométrique dans le dual de la sous-algèbre de Cartan, qu'on appelle un système de racines. Enfin, peu importe : on associe à une algèbre de Lie simple une donnée géométrique qu'on appelle un système de racines (c'est une sorte de solide régulier, vivant en dimension rr est le « rang » du groupe : ça ressemble à ceci dans le cas de E₈) ; on montre que le système de racines détermine complètement l'algèbre (l'opération est « fidèle ») et que tout système de racines abstrait provient effectivement d'une algèbre de Lie complexe (l'opération est « pleine », ce qui est plus difficile à montrer). On a donc ramené successivement la classification des groupes de Lie à isogénie près à celle des algèbres de Lie, puis celle des algèbres de Lie à celle des systèmes de racines. Il reste à classifier les systèmes de racines, ce qui est maintenant un problème de géométrie euclidienne.

[Diagramme de Dynkin de E₈]

Grâce aux travaux de gens comme Ludwig Schläfli, H. S. M. Coxeter, Eugene Dynkin et d'autres, le problème de la classification des systèmes de racines dans l'espace euclidien est maintenant extrêmement bien compris. (C'était beaucoup plus douloureux pour le pauvre Cartan.) On les représente par des petits dessins portant le nom d'un sous-ensemble des trois personnes que je viens de citer : ces petits dessins ressemblent à des ensembles de (r) points dont certains sont reliés par des traits éventuellement doubles ou triples (et dans ce cas, avec une orientation) ; grossièrement, ces points désignent une « base » du système de racines, et les traits indiquent les angles entre les éléments de cette base (π/2 pour une absence de trait, 2π/3 pour un trait simple, 3π/4 pour un trait double, 5π/6 pour un trait triple, avec dans ces deux derniers cas une indication de quel est le bout le plus long). Par exemple, le diagramme ci-contre vous donne les instructions pour construire le système de racines E₈ : partez de 8 points dans un espace euclidien de dimension 8, tous à même distance de l'origine (parce qu'il n'y a pas de trait double ou triple), et dont les angles mesurés depuis l'origine sont de 2π/3 ou π/2 selon qu'il y a ou n'y a pas de trait entre les points correspondants sur le dessin, ce qui conduit à une configuration essentiellement unique, puis effectuez toutes les réflexions de ces points par rapport aux hyperplans perpendiculaires aux vecteurs reliant l'origine à un de ces points, et ce de façon répétée jusqu'à ce qu'on n'obtienne plus de nouveau point, et l'ensemble des points obtenus (il y en a 240) est le système de racines de E₈ (dont les projections sont si belles). Pour classifier les systèmes de racines, on trouve toutes les conditions sur le diagramme de Dynkin qui conduisent à un tel système, ou plutôt, en fait, celles qui sont interdites.

Bref, on a ramené un problème de théorie des groupes (classifier les groupes de Lie simples à isogénie près) à un problème d'algèbre linéaire (classifier les algèbres de Lie simples) à un problème de géométrie euclidienne (classifier les systèmes de racines) à un problème de théorie des graphes (énumérer les diagrammes de Dynkin possibles). Ce dernier est très facile (les contraintes sur le diagramme sont très fortes), donc on a fini. Au moins pour ce qui est des groupes et algèbres de Lie simples complexes.

Notons par ailleurs que le passage par la géométrie euclidienne fait que les mêmes petits dessins qui servent à classifier les systèmes de racines servent aussi, sous différentes variantes, à classifier toutes sortes d'objets de la géométrie euclidienne, comme des solides réguliers ou semi-réguliers. Plus exactement, ce sont plutôt les groupes (finis !) de symétries des systèmes de racines et des polytopes euclidiens plus ou moins réguliers qui sont très apparentés. Les objets en question ne sont pas exactement les mêmes : les symétries du dodécaèdre ou de l'icosaèdre (c'est la même chose), par exemple, ne peuvent pas correspondre à un système de racines (essentiellement parce qu'ils ne sont pas « cristallographiques » : ils ne pavent pas l'espace euclidien), et inversement, les systèmes de racines E₆, E₇ et E₈ déterminent des solides qui ne sont pas tout à fait réguliers mais plutôt « uniformes ». Comme il y a plein de définitions très liées et entre lesquelles on s'embrouille facilement, je ne vais pas entrer dans plus de détails.

Le cas réel

Le cas réel est plus subtil que le cas complexe, et Cartan ne l'a résolu que vingt ans plus tard.

On le résout en partant du cas complexe. Il faut savoir qu'à une algèbre de Lie réelle on peut associer une algèbre de Lie complexe, qu'on appelle sa complexifiée, en prenant essentiellement la même structure linéaire et le même crochet de Lie mais sur les complexes au lieu de les prendre sur les réels. (Ceci marche aussi pour un groupe de Lie, mais parfois seulement à isogénie près : il y a des groupes de Lie réels qui n'ont pas de complexifié, par exemple le revêtement fondamental de SL(n,ℝ). Les géomètres algébristes ne regardent pas ce genre d'horreurs, et on peut faire comme s'ils n'existaient pas.) On peut donc partir d'un groupe ou d'une algèbre de Lie simple complexe et se demander quelles sont ses formes réelles, c'est-à-dire les groupes/algèbres de Lie réel(le)s (automatiquement simples) dont il/elle est le/la complexifié(e). En fait, le problème relève de la problématique générale de la cohomologie galoisienne (ou en tout cas, de la « descente » galoisienne), l'extension galoisienne étant ici celle de ℂ sur ℝ. L'exemple le plus évident est que tous les groupes SO(p,q) associés à des formes quadratiques non dégénérées de signature (p,q) pour lesquels p+q prend la même valeur n, sont tous des formes réelles du même complexifié SO(n,ℂ), puisque sur les complexes la signature d'une forme quadratique non dégénérée n'a plus d'importance.

Il y a deux formes réelles qui existent toujours, en quelque sorte extrêmes, et parfois il y en a plus. Les deux formes qui existent toujours sont la forme compacte et la forme déployée. La forme compacte du groupe est, comme son nom l'indique, compacte (c'est-à-dire qu'il n'y a pas d'éléments arbitrairement « loin »). La forme déployée peut se décrire intuitivement (et très grossièrement) comme fabriquée par la même recette algébrique que le groupe complexe, mais sur les réels au lieu d'être sur les complexes. Par exemple, le groupe spécial linéaire complexe SL(n,ℂ) a pour forme compacte le groupe spécial unitaire SU(n) (ça ne saute pas aux yeux que si on complexifie son algèbre de Lie on obtient celle de SL(n,ℂ)), tandis que sa forme déployée est SL(n,ℝ). Le groupe symplectique complexe Sp(n,ℂ) (formé des matrices 2n×2n complexes qui vérifient une certaine condition qui peut s'exprimer sur la base des lignes ou celle des colonnes) a pour forme compacte Sp(n) qu'on peut définir comme les matrices n×n unitaires quaternioniques, alors que la forme déployée Sp(n,ℝ) est formée des matrices 2n×2n réelles vérifiant la même condition que pour le groupe complexe. En revanche, pour le groupe spécial orthogonal SO(2n,ℂ) ou SO(2n+1,ℂ), c'est plutôt la forme compacte qui est ce qu'on attend naïvement, SO(2n) ou SO(2n+1), tandis que la forme déployée est SO(n,n) ou SO(n+1,n) (matrices de déterminant 1 préservant une forme quadratique non dégénérée dont la signature est ce qu'il y a dans la parenthèse). Les groupes exceptionnels ont aussi une forme compacte et une forme déployée : par exemple, pour le groupe complexe G₂ (automorphismes des octonions complexes), la forme compacte est donnée par les automorphismes des octonions usuels, la forme déployée par les automorphismes des octonions déployés. Mais en général il y a bien d'autres formes réelles que la forme compacte et la forme déployée (s'agissant de SO(5,ℂ), par exemple, on a la forme compacte SO(5), la forme déployée SO(2,3), mais aussi la forme SO(1,4) des matrices de déterminant 1 préservant une forme quadratique de signature (1,4) ; et s'agissant de SO(6,ℂ), on a non seulement la forme compacte SO(6), la forme déployée SO(3,3) et les deux formes intermédiaires SO(1,5) et SO(2,4), mais on en a encore une autre, SO*(6), qui se place plus ou moins entre ces deux dernières).

Par ailleurs, il ne faut pas oublier les groupes de Lie simples complexes eux-mêmes, qui peuvent être considérés comme des groupes de Lie simples réels si on oublie leur structure complexe (on oublie qu'on peut multiplier par i sur l'algèbre de Lie). Leur complexifié (c'est-à-dire, si on part d'une algèbre de Lie complexe, qu'on oublie sa structure complexe, et qu'on en refabrique une !) est le produit de deux copies du groupe complexe de départ (il n'est donc pas simple comme groupe complexe, seulement semisimple : c'est le seul cas où un groupe de Lie complexe qui n'est pas simple peut avoir une forme réelle qui soit simple). On peut donc dire que chaque groupe de Lie simple complexe donne au moins trois groupes de Lie simples réels : sa forme compacte, sa forme déployée, et le groupe complexe lui-même. Le problème, c'est de comprendre toutes les autres.

Il y a principalement deux approches de la classification des groupes de Lie simples réels : classifier en comparant à la forme compacte, ou en comparant à la forme déployée. La première approche apparaît sous une forme primitive dans la première classification par Cartan en 1914, et de façon plus nette dans sa simplification de son propre travail en 1929 ; elle a été systématisée par Gantmacher en 1939, et encore plus par Murakami en 1965, en exploitant notamment des résultats importants dus à Borel et de Siebenthal en 1949. Cette approche est la plus simple pour ce qui est de produire la classification, surtout depuis les différentes simplifications que j'ai évoquées ; en revanche, la lecture des propriétés des objets classifiés est moins évidente. La comparaison à la forme déployée, effectuée par Araki en 1962, est plus dans l'esprit de ce qu'on appelle dans un contexte plus général la cohomologie galoisienne, elle est plus difficile à utiliser pour classifier les formes réelles des algèbres de Lie simples complexes, mais une fois effectuée, elle permet une lecture plus transparente de leurs propriétés. Cette approche est celle qui se généralise à la classification des groupes algébriques linéaires simples sur d'autres corps parfaits que celui des réels (on a par exemple une classification sur les corps finis et p-adiques).

Les deux approches donnent naissance, au moins dans leur formulation moderne, à une description par des petits dessins qui généralisent les diagrammes de Dynkin : dans les deux cas, il s'agit de diagrammes de Dynkin dans lesquels on a noirci certains nœuds et on en a relié d'autres par des doubles flèches. Ces dessins se ressemblent formellement, ce qui est terriblement confusant : la classification par comparaison avec la forme compacte utilise ce qu'on appelle (du moins, ce que Knapp appelle dans son livre où il les décrit) les diagrammes de Vogan ; la classification par comparaison avec la forme déployée utilise ce qu'on appelle les diagrammes de Satake. Ce sont les diagrammes de Satake que je représente ci-dessous : je ne vais pas expliquer exactement ce dont il s'agit, mais pour donner au moins une vague idée intuitive, les racines (dont j'ai dit que c'était des sortes de valeurs propres) sont soit réelles, soit imaginaires pures, soit complexes conjuguées, et le diagramme de Satake les représente respectivement par des nœuds blancs, des nœuds noirs, ou des nœuds blancs liés par une double flèche ; la forme déployée n'aura que des nœuds blancs, tandis que la forme compacte n'aura que des nœuds noirs, et enfin, la forme complexe vue comme groupe réel est représentée par un diagramme de Satake formé de deux copies du diagramme de Dynkin avec des doubles flèches entre chaque nœud d'une copie et le nœud correspondant de l'autre copie (je n'ai pas représenté ces diagrammes-là).

Diagrammes de Satake des groupes de Lie semisimples réels (algébriquement simplement connexes) :

  • SL(r+1,ℝ)[Diagramme de Satake de SL(r+1,ℝ)]
  • SL(½(r+1),ℍ) [r impair][Diagramme de Satake de SL(½(r+1),ℝ)]
  • SU(r+1)[Diagramme de Satake de SU(r+1)]
  • SU(s,r+1−s) [s paires de nœuds blancs, r−2s noirs][Diagramme de Satake de SU(s,r+1−s)]
  • SU(½(r+1),½(r+1)) [r impair][Diagramme de Satake de SU(½(r+1),½(r+1))]
  • Spin(2r+1)[Diagramme de Satake de Spin(2r+1)]
  • Spin(s,2r+1−s) [s nœuds blancs, rs noirs][Diagramme de Satake de Spin(s,2r+1−s)]
  • Spin(r,r+1)[Diagramme de Satake de Spin(r,r+1)]
  • Sp(r)[Diagramme de Satake de Sp(r)]
  • Sp(s,r) [s nœuds blancs alternant avec rs noirs][Diagramme de Satake de Sp(s,r)]
  • Sp(½rr) [r pair][Diagramme de Satake de Sp(½r,½r)]
  • Sp(r,ℝ)[Diagramme de Satake de Sp(r,ℝ)]
  • Spin(2r)[Diagramme de Satake de Spin(2r)]
  • Spin(s,2rs) [s nœuds blancs, rs≥2 noirs][Diagramme de Satake de Spin(s,2r−s)]
  • Spin(r−1,r+1)[Diagramme de Satake de Spin(r−1,r+1)]
  • Spin(r,r)[Diagramme de Satake de Spin(r,r)]
  • Spin*(2r) [r pair][Diagramme de Satake de Spin*(2r)]
  • Spin*(2r) [r impair][Diagramme de Satake de Spin*(2r)]
  • G₂(SO(3)×SU(2)) ≜ G₂(2) ≜ “G”[Diagramme de Satake de G₂(SO(3)×SU(2))]
  • G₂(cpt) ≜ G₂(−14)[Diagramme de Satake de G₂(cpt)]
  • F₄((SU(2)×Sp(3))/±1) ≜ F₄(4) ≜ “F.I”[Diagramme de Satake de F₄((SU(2)×Sp(3))/±1)]
  • F₄(Spin(9)) ≜ F₄(−20) ≜ “F.II”[Diagramme de Satake de F₄(Spin(9))]
  • F₄(cpt) ≜ F₄(−52)[Diagramme de Satake de F₄(cpt)]
  • E₆(Sp(4)/±1) ≜ E₆(6) ≜ “E.I”[Diagramme de Satake de E₆(Sp(4)/±1)]
  • E₆((SU(2)×SU(6))/±1) ≜ E₆(2) ≜ “E.II”[Diagramme de Satake de E₆((SU(2)×SU(6))/±1)]
  • E₆((Spin(10)×U(1))/{±1,±i}) ≜ E₆(−14) ≜ “E.III”[Diagramme de Satake de E₆((Spin(10)×U(1))/{±1,±i})]
  • E₆(F₄) ≜ E₆(−26) ≜ “E.IV”[Diagramme de Satake de E₆(F₄)]
  • E₆(cpt) ≜ E₆(−78)[Diagramme de Satake de E₆(cpt)]
  • E₇(SU(8)/±1) ≜ E₇(7) ≜ “E.V”[Diagramme de Satake de E₇(SU(8)/±1)]
  • E₇((SU(2)×Spin(12))/⟨(−1,vol)⟩) ≜ E₇(−5) ≜ “E.VI”[Diagramme de Satake de E₇((SU(2)×Spin(12))/⟨(−1,vol)⟩)]
  • E₇((E₆×U(1))/⟨ζ₃⟩) ≜ E₇(−25) ≜ “E.VII”[Diagramme de Satake de E₇((E₆×U(1))/⟨ζ₃⟩)]
  • E₇(cpt) ≜ E₇(−133)[Diagramme de Satake de E₇(cpt)]
  • E₈(SO′(16)) ≜ E₈(8) ≜ “E.VIII”[Diagramme de Satake de E₈(SO′(16))]
  • E₈((SU(2)×E₇)/±1) ≜ E₈(−24) ≜ “E.IX”[Diagramme de Satake de E₈((SU(2)×E₇)/±1)]
  • E₈(cpt) ≜ E₈(−248)[Diagramme de Satake de E₈(cpt)]

Pour donner l'allure du résultat, les groupes de Lie simples réels sont, à isogénie près, pour ce qui est des quatre familles infinies :

  • SL(r+1,ℂ) ou l'une de ses formes réelles, à savoir le groupe spécial linéaire réel SL(r+1,ℝ), le groupe spécial linéaire quaternionique SL(½(r+1),ℍ) (si r est impair) ou le groupe spécial unitaire de signature quelconque SU(s,r+1−s) pour 0 ≤ s ≤ ½(r+1) [lorsque s=0, la forme compacte SU(0,r+1) s'écrit simplement SU(r+1)],
  • Spin(2r+1,ℂ) ou l'une de ses formes réelles, à savoir le groupe spin de signature quelconque Spin(s,2r+1−s) pour 0 ≤ sr [lorsque s=0, la forme compacte Spin(0,2r+1) s'écrit simplement Spin(2r+1)],
  • Sp(r,ℂ) ou l'une de ses formes réelles, à savoir le groupe symplectique (déployé) réel Sp(r,ℝ) ou le groupe unitaire quaternionique (=symplectique) de signature quelconque Sp(s,rs) pour 0 ≤ s ≤ ½r [lorsque s=0, la forme compacte Sp(0,r) s'écrit simplement Sp(r)],
  • Spin(2r,ℂ) ou l'une de ses formes réelles, à savoir le groupe spin de signature quelconque Spin(s,2rs) pour 0 ≤ sr [lorsque s=0, la forme compacte Spin(0,2r) s'écrit simplement Spin(2r)], ou le groupe qui-n'a-pas-de-nom-standard, Spin*(2r).

(Le dernier listé, Spin*(2r), est le pauvre oublié de la liste : il ne semble avoir ni nom standard ni de notation vraiment standard, ni de page sur Wikipédia, et quasiment personne n'en parle jamais. C'est le (revêtement double du) groupe SO*(2r) des matrices quaternioniques r×r préservant une forme anti-hermitienne non-dégénérée (sur les complexes, une forme anti-hermitienne ou une forme hermitienne sont essentiellement la même chose, il suffit de multiplier par i pour passer de l'une à l'autre — mais sur les quaternions ce n'est pas pareil). Quelqu'un devrait faire une bonne action et consacrer un article d'exposition à ce pauvre petit groupe qui ne demande qu'à être aimé autant que ses copains. À ce sujet, j'ai une question un peu philosophique, qui est de savoir s'il y a une façon naturelle de présenter les formes quadratiques réelles de façon à y faire apparaître les formes quaternioniques anti-hermitiennes.)

Les isomorphismes exceptionnels dont j'ai parlé plus haut, à savoir (o) Spin(2,ℂ) ≅ GL(1,ℂ), (i) Spin(3,ℂ) ≅ Sp(1,ℂ) ≅ SL(2,ℂ), (ii) Spin(4,ℂ) ≅ SL(2,ℂ)×SL(2,ℂ), (iii) Spin(5,ℂ) ≅ Sp(2,ℂ) et (iv) Spin(6,ℂ) ≅ SL(4,ℂ), ont aussi leur pendant pour chacune des formes réels de ces groupes. Précisément, on a : (o.a) Spin(2) ≅ U(1), (o.b) Spin(1,1) ≅ GL(1,ℝ), (i.a) Spin(3) ≅ Sp(1) ≅ SU(2), (i.b) Spin(1,2) ≅ Sp(1,ℝ) ≅ SL(2,ℝ), (ii.a) Spin(4) ≅ SU(2)×SU(2), (ii.b) Spin(1,3) ≅ SL(2,ℂ), (ii.c) Spin(2,2) ≅ SL(2,ℝ)×SL(2,ℝ), (iii.a) Spin(5) ≅ Sp(2), (iii.b) Spin(1,4) ≅ Sp(1,1), (iii.c) Spin(2,3) ≅ Sp(2,ℝ), (iv.a) Spin(6) ≅ SU(4), (iv.b) Spin(1,5) ≅ SL(2,ℍ), (iv.c) Spin*(6) ≅ SU(1,3), (iv.d) Spin(2,4) ≅ SU(2,2), (iv.e) Spin(3,3) ≅ SL(4,ℝ). (J'ai pris la peine de les écrire complètement, parce que ça a l'air de n'être fait essentiellement nulle part, et ça pourrait me resservir.)

À côté de ça, on a les 5 algèbres exceptionnelles complexes et leurs 17 formes réelles (2 pour G₂, 3 pour F₄, 5 pour E₆, 4 pour E₇ et 3 pour E₈), correspondant à autant de classes d'isogénie de groupes de Lie exceptionnels. Il n'y a pas de notation vraiment établie pour ces objets : certains les appellent G₂(2), G₂(−14), F₄(4), F₄(−20), F₄(−52), E₆(6), E₆(2), E₆(−14), E₆(−26), E₆(−78), E₇(7), E₇(−5), E₇(−25), E₇(−133), E₈(8), E₈(−24) et E₈(−248), le nombre entre parenthèses étant l'« indice de Cartan » (en gros, plus il est positif plus l'algèbre est déployée, et plus il est négatif plus elle est compacte), mais ce n'est pas vraiment facile à retenir. D'autres écrivent G, G₂, F.I, F.II, F₄, E.I, E.II, E.III, E.IV, E₆, E.V, E.VI, E.VII, E₇, E.VIII, E.IX et E₈ (les formes compactes étant nommées comme les groupes/algèbres complexes correspondant, toutes les autres avec un numéro en chiffre romain dans la série E ou F) : c'est quand même effroyablement pourri comme notation. Enfin, certains écrivent entre parenthèses ce qu'on appelle le sous-groupe compact maximal (de façon très grossière, le plus grand sous-groupe qui n'a pas d'éléments arbitrairement loin de l'origine ; ou la mention cpt si c'est le groupe tout entier qui est déjà une forme compact), ce qui est tout de même plus informatif : G₂(SO(3)×SU(2)), G₂(cpt), F₄((SU(2)×Sp(3))/±1), F₄(Spin(9)), F₄(cpt), E₆(Sp(4)/±1), E₆((SU(2)×SU(6))/±1), E₆((Spin(10)×U(1))/{±1,±i}), E₆(F₄), E₆(cpt), E₇(SU(8)/±1), E₇((SU(2)×Spin(12))/⟨(−1,vol)⟩), E₇((E₆×U(1))/⟨ζ₃⟩), E₇(cpt), E₈(SO′(16)), E₈((SU(2)×E₇)/±1), E₈(cpt). Mais une des difficultés dans l'histoire est que si on veut citer le sous-groupe compact maximal exact et pas juste à isogénie près (ce que je crois avoir fait à l'instant, s'agissant des versions « algébriquement simplement connexes », c'est-à-dire la plus grande version connexe, dans chaque classe d'isogénie, qui peut se voir comme un groupe de matrices), il est très difficile de trouver dans la littérature mathématique l'information exacte de ce qu'est le groupe en question, et puis, c'est un peu long à écrire.

Un mot sur les espaces riemanniens symétriques

Maintenant, classifier les groupes de Lie simples réels n'a pas qu'un intérêt pour les groupes de Lie simples réels eux-mêmes. Ce qui intéressait principalement Cartan, je crois, c'est aussi de classifier un autre type d'objet dont il a découvert qu'il a le bon goût de se classifier exactement en même temps que les groupes de Lie simples réels : les espaces riemannien symétriques. Un espace riemannien symétrique, c'est un « espace » (variété riemannienne connexe, mais peu importe au niveau tellement vague où je me place) dans lequel on peut faire une symétrie par rapport à n'importe quel point. (Ceci implique donc un grand niveau de symétrie, justement : pour commencer, l'espace est « homogène » au sens intuitif où « tous les points se valent » — n'importe quel point peut être amené en n'importe quel autre point par une isométrie. Il n'est pas vrai que l'espace soit forcément « homogène et isotrope » — j'ai parlé des ces choses-là dans mon entrée sur les octonionshomogène et isotrope signifiant intuitivement que « tous les points et toutes les directions se valent » et signifie techniquement que n'importe quel couple de points peut être amené en n'importe quel autre à la même distance par une isométrie ; mais il y a une condition du même genre de cette dernière qui vaut pour les espaces riemanniens symétriques en remplaçant la distance par une sorte de généralisation prenant la forme de r nombres réels où r est le « rang » de l'espace symétrique ; et les espaces homogènes et isotropes sont exactement — même si ce n'est pas du tout évident — les espaces riemanniens symétriques de rang 1 et les espaces euclidiens.)

Comme les groupes de Lie, les espaces riemanniens symétriques s'analysent au moyen d'objets « simples », qui ici s'appellent plutôt irréductibles, mais cette fois-ci la décomposition est plus simple puisqu'il s'agit simplement d'un produit. Et si on met de côté les espaces euclidiens, les espaces riemanniens symétriques simples/irréductibles sont classifiés exactement comme les groupes de Lie simples réels qui ne sont pas compacts. Plus précisément, à chaque classe d'isogénie de groupes de Lie simples réels non compacts G (i.e., à chaque algèbre de Lie simple réelle non compacte 𝔤) est associé un espace riemannien symétrique dit de type non-compact (il serait plus parlant de dire hyperbolique, mais bon, la terminologie est ce qu'elle est) et — à isogénie près — un espace riemannien symétrique dit de type compact. Le premier est l'espace homogène G/KK est le sous-groupe compact maximal de G, et le second est (à des isogénies près) l'espace homogène G*/KG* est la forme compacte associée à G (et K est toujours le sous-groupe compact maximal de G). Ces espaces sont dits duaux l'un de l'autre.

À titre d'exemple :

  • au groupe de Lie simple réel Spin(1,m) (de sous-groupe compact maximal Spin(m)) sont associés :
    • comme espace riemannien symétrique de type non-compact l'espace hyperbolique de dimension m soit Spin(1,m)/Spin(m) = SO⁺(1,m)/SO(m),
    • et comme espace riemannien symétrique de type compact [i.e., comme dual du précédent] la m-sphère Spin(m+1)/Spin(m) = SO(m+1)/SO(m) ;
  • au groupe de Lie simple réel Spin(2,m) (de sous-groupe compact maximal (Spin(2)×Spin(m))/±1) sont associés :
    • comme espace riemannien symétrique de type non-compact l'espace (« grassmannien ») des droites dans l'espace hyperbolique de dimension m soit Spin(2,m)/((Spin(2)×Spin(m))/±1) = SO⁺(2,m)/(SO(2)×SO(m)),
    • et comme espace riemannien symétrique de type compact [i.e., comme dual du précédent] l'espace (« grassmannien ») des droites (=grands cercles) orientées dans la m-sphère Spin(m+2)/((Spin(2)×Spin(m))/±1) = SO(m+2)/(SO(2)×SO(m)) ;
  • au groupe de Lie simple réel SL(n,ℝ) (de sous-groupe compact maximal SO(n)) sont associés :
    • comme espace riemannien symétrique de type non-compact l'espace SL(n,ℝ)/SO(n) des formes d'un parallélipipède de dimension n, ou, si on préfère, des matrices n×n symétriques réelles définies positives de déterminant 1,
    • et comme espace riemannien symétrique de type compact [i.e., comme dual du précédent] l'espace SU(n)/SO(n) des sous-espaces totalement réels de dimension n de ℂn, ou, si on préfère, des matrices n×n (complexes) symétriques et unitaires de déterminant 1 ;
  • au groupe de Lie simple complexe (vu comme groupe de Lie réel) SL(n,ℂ) (de sous-groupe compact maximal SU(n)) sont associés :
    • comme espace riemannien symétrique de type non-compact l'espace SL(n,ℂ)/SU(n) des matrices n×n hermitiennes définies positives de déterminant 1,
    • et comme espace riemannien symétrique de type compact [i.e., comme dual du précédent] l'espace SU(n) des matrices unitaires de déterminant 1 (groupe de Lie compact vu comme espace riemannien symétrique, qu'on peut aussi écrire comme SU(n)×SU(n)/SU(n)) ;
  • au groupe de Lie simple réel Sp(n,ℝ) (de sous-groupe compact maximal U(n)) sont associés :
    • comme espace riemannien symétrique de type non-compact le « demi-espace de Siegel » Sp(n,ℝ)/U(n) des matrices n×n symétriques complexes dont la partie imaginaire est définie positive,
    • et comme espace riemannien symétrique de type compact [i.e., comme dual du précédent] l'espace Sp(n)/U(n) des sous-espaces totalement complexes de dimension n de ℍn (il y avoir une façon de le décrire avec des matrices de façon analogue au précédent, mais je ne sais pas exactement comment) ;
  • au groupe de Lie simple réel F₄(−20) (de sous-groupe compact maximal Spin(9)) sont associés :
    • comme espace riemannien symétrique de type non-compact le plan hyperbolique octonionique F₄(−20)/Spin(9),
    • et comme espace riemannien symétrique de type compact [i.e., comme dual du précédent] le plan projectif octonionique F₄/Spin(9).

Il serait intéressant de se fatiguer à écrire un petit paragraphe de description pour chacun des espaces riemanniens symétriques (surtout que chacun peut souvent être décrit de plusieurs façons différentes : pour décrire SL(n,ℝ)/SO(n), passer des formes d'un parallélipipède de dimension n aux matrices n×n symétriques réelles définies positives de déterminant 1 nécessite dans un cas de le voir via Gram-Schmidt, dans l'autre cas en utilisant le théorème spectral, et la transformation d'une présentation en l'autre se fait en considérant tous les produits scalaires entre deux vecteurs définissant le parallélipipède supposé de volume 1).

Si j'ai le courage, je reparlerai un jour de ces espaces riemanniens symétriques (voire, des espaces symétriques pseudo-riemanniens — c'est-à-dire de signature quelconque). Ils sont intéressants pour toutes sortes de raisons : ils sont un cadre naturel pour faire de l'analyse harmonique (je n'y connais rien), ils sont un modèle pour étudier le problème de l'holonomie en géométrie différentielle, ils possèdent des structures arithmétiques riches et intéressantes, ils vérifient les équations d'Einstein (comprendre : avec constante cosmologique ; je parle implicitement des espaces symétriques simples/irréductibles), ils sont une réponse possible à la question existentielle que je me posais, qu'est-ce qu'une géométrie ? (par eux-mêmes et aussi à travers leur lien avec les R-espaces / variétés de drapeaux généralisées), et, tout bêtement, ils sont des objets mathématiques fascinants par leur très grande et très élégante symétrie (et qui généralise les espaces homogènes-et-isotropes / 2-points-homogènes).

Quelques références

Les livres parlant de groupes de Lie ne manquent pas. Si on se restreint à ceux qui traitent correctement la classification des groupes de Lie simples réels et pas juste complexes (au moins pour l'énoncer complètement, à défaut de la démontrer), on limite déjà beaucoup le terrain. (Et si on demande que la classification soit donnée exactement et pas juste à isogénie près, c'est-à-dire en indiquant comment sont faits les centres ou groupes fondamentaux de tous les groupes de Lie simples réels, il semble qu'il reste 1 ou 2 livres, dont 0 donnent des démonstrations de ce qu'ils affirment, ce qui est tout de même inadmissible pour un sujet qui devrait être parfaitement classique.) Voici au moins quelques endroits où le mathématicien non-spécialiste pourra apprendre le sujet :

  • Andreas Čap & Jan Slovák, Parabolic Geometries I (Background and General Theory) (AMS 2009). J'aime bien citer ce livre, même s'il est consacré à un sujet plus avancé, parce que son chapitre 2, qui est un rappel de la théorie des algèbres et groupes de Lie semisimples, me semble être un modèle de qualité d'exposition mathématique : en 90 pages, à partir de prérequis très modestes (et essentiellement nuls si on tient compte du chapitre 1 du même livre), il expose tout ce que tout honnête mathématicien non-spécialiste devrait savoir sur les groupes et algèbres de Lie réels et complexes et leurs représentations, de façon équilibrée entre les différents points de vue, avec une clarté que j'ai rarement vue ailleurs, et juste le bon niveau (à mon avis) de démonstrations et d'exemples. On aura certainement intérêt à commencer par là avant de chercher à en savoir plus. Mon principal reproche porterait juste sur la numérotation interne (il y a un théorème 2.2.9 et un corollaire 2.2.9 à l'intérieur d'une section 2.2.9, c'est pénible).
  • Sigurdur Helgason [je suppose que le prénom devrait être Sigurður mais qu'il a capitulé devant la difficulté à le faire écrire correctement], Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces (Academic Press 1978, réimprimé plusieurs fois dont en 2012 par l'AMS). Ce livre très classique, qui aborde les groupes de Lie sous l'angle des espaces symétriques plutôt que le contraire, est excellent par son niveau de complétude et la qualité de son exposition (qui a très peu de prérequis), mais il a un défaut vraiment pénible, c'est qu'il a tendance à introduire des définitions ou des notations (or il en fait beaucoup) au milieu d'un paragraphe un peu caché dans le texte, et si on le lit en diagonale ou qu'on saute directement à la section qui nous intéresse, on peut passer un temps fou à retrouver où telle ou telle chose a été définie.
  • Anthony W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction (Birkhäuser, 2e édition 2002). Autre livre classique, dont l'exposition, que je qualifierais de bonne sans être excellente, est plus moderne que celle de Helgason ; le point de vue est plus orienté vers la théorie de la représentation et moins vers la géométrie différentielle.
  • Arkadij L. Onishchik & Ernest B. Vinberg, Lie Groups and Algebraic Groups (traduction de : Эрнест Борисович Винберг & Аркадий Львович Онищик, Семинар по группам Ли и алгебраическим группам, Наука 1988), Springer 1990. (À ne pas confondre avec deux autres livres des mêmes auteurs, chez le même éditeur, au titre extrêmement semblable, mais faisant partie de l'Encyclopædia of Mathematical Sciences !) Il s'agit là plutôt d'un livre de référence que d'un livre d'exposition, et l'aspect didactique laisse à désirer (beaucoup d'énoncés sont présentés sous forme de problèmes, de difficulté complètement aléatoire). Mais il y a une chose qui le rend très séduisant, c'est que c'est un des très rares livres qui traite à la fois l'angle de la géométrie différentielle (→groupes de Lie) et celui de la géométrie algébrique (→groupes algébriques linéaires réels) et cherche à faire le pont entre eux. Il y a aussi des tables à la fin contenant des informations qu'on ne trouve nulle part ailleurs (mais sans démonstration).
  • Jacques Tits, Tabellen zu den einfachen Lie Gruppen und ihren Darstellungen (Springer 1967). Il s'agit d'un livre de références et, en fait, de tables, avec juste une courte introduction (sans aucune démonstration, mais par ailleurs bien écrite) expliquant les résultats basiques et la manière de lire les tables. Ces tables comportent des informations qui semblent n'être trouvables nulle part ailleurs (notamment, la manière dont sont foutus les centres des groupes de Lie réels simples vis-à-vis de leur sous-groupe compact maximal : c'est peut-être possible de le déduire des tables du livre d'Onishchik & Vinberg, mais je ne sais pas exactement le faire, et de toute façon il n'y a pas plus de démonstrations dans l'un que dans l'autre) ; à titre d'exemple, le fait que le sous-groupe compact maximal de la forme déployée algébriquement simplement connexe de E₈ soit le quotient par 2 non-diagonal SO′(16) de Spin(16) (et pas le quotient par 2 diagonal, SO(16)), c'est une information que je ne trouve pas ailleurs, et c'est quand même un peu navrant que quelque chose d'assez fondamental comme ça ne se trouve que dans un livre en allemand tapé à la machine, publié en 1967, et sans démonstration.

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