David Madore's WebLog: De la difficulté de visualiser trois dimensions ou plus

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(mardi)

De la difficulté de visualiser trois dimensions ou plus

Je suis notoirement incapable de visualiser la géométrie déjà en trois dimensions. Pourtant, quand j'étais petit, mon papa avait fabriqué pour moi, et suspendu au-dessus de mon lit, un mobile qui faisait tournoyer les cinq solides platoniciens : ça m'a peut-être donné le goût de la géométrie, mais ça ne m'a pas aidé à voir dans l'espace.

Un exemple de quelque chose de très simple que je n'ai jamais réussi à correctement me représenter mentalement, c'est le réseau que les chimistes appellent cubique faces centrées (tiens, pour une fois, Wikipédia en français n'est pas mauvais) et les mathématiciens le réseau A3 : il s'agit simplement d'un arrangement régulier de cubes où on place des points au sommets des cubes et aux milieux de leurs faces — dit comme ça ce n'est pas difficile à visualiser, mais on est censé pouvoir se rendre compte que le réseau en question est engendré par les vecteurs arêtes d'un tétraèdre régulier (voyez notamment cette image), et par ailleurs qu'en le tournant juste de la bonne façon on arrive à une superposition de plans sur chacun desquels les points sont en arrangement hexagonal (ce que les matheux appellent A2). Malgré la quantité tout à fait impressionnante de pages web qui illustrent ces choses de quantités de façons différentes (par exemple ici), et bien que mathématiquement je comprenne parfaitement ce qui se passe, je n'arrive décidément pas à le « voir » : soit je vois les cubes, soit je vois les tétraèdres et les hexagones, mais jamais les deux à la fois. (C'est un peu comme la fameuse illusion qu'on peut voir tourner dans un sens ou dans l'autre mais qu'il est très difficile de faire passer de l'un à l'autre.) Remarquez, si j'en crois le nombre de pages consacrées au réseau cubique faces centrées, justement, je ne dois pas être le seul à avoir du mal.

Dans ces conditions, il n'est pas surprenant que je n'arrive pas à visualiser quatre dimensions ou plus. Et si déjà le réseau A3 est surprenant par sa capacité à avoir une symétrie cubique, tétraédrale et hexagonale à la fois, il n'est pas étonnant que E8 recèle aussi des surprises.

Parfois les gens vous disent qu'ils arrivent à voir en quatre dimensions parce qu'ils ont regardé un tesseract tourner pendant assez longtemps. Demandez-leur alors : existe-t-il un hyperplan qui coupe le tesseract selon un tétraèdre régulier ? (la réponse est évidemment oui, et même un tétraèdre arbitrairement petit, de la même façon qu'on peut couper un cube par un plan proche d'un sommet pour obtenir un triangle équilatéral) ; puis : et pour un octaèdre régulier ? (la réponse est encore oui, en prenant un hyperplan défini par six sommets du tesseract). Je pense que ces questions en embarrasseront plus d'un.

Pour prendre un exemple très simple de quelque chose sur quoi notre intuition de trois dimensions conduit à penser des choses fausses, considérons une simple rotation uniforme. Par rotation uniforme j'entends ici ce que les mathématiciens appellent un sous-groupe à un paramètre du groupe des rotations : un mécanicien aura plutôt tendance à dire qu'on a affaire à une rotation (à vitesse) constante ; si l'on veut, on fait une rotation infinitésimale entre les temps 0 et δt puis on répète indéfiniment cette même rotation. Je ne sais pas bien quelle terminologie adopter pour souligner que c'est le concept le plus simple qu'on puisse concevoir, on fait juste tourner un solide toujours de la même façon et à vitesse toujours égale. Sauf qu'en fait ce n'est pas si simple que ça, parce que notre intuition de la dimension trois nous induit facilement en erreur : en dimension trois, une telle rotation uniforme se fait autour d'un axe de rotation, qui est une droite de points laissés fixes lors du mouvement ; mais en dimension quatre, il n'y a généralement pas d'axe de rotation : si on applique une rotation uniforme à une boule, il n'y a en général qu'un seul point fixe (le centre de la boule), et c'est le cas en toute dimension paire. Mais il y a pire : en dimension trois, si on continue la rotation pendant suffisamment longtemps, le solide finit par revenir à son orientation de départ, i.e., le mouvement est périodique. À partir de la dimension quatre, ce n'est plus le cas : une rotation uniforme très générale n'a pas de période[#]. Autre idée fausse : le fait que le mouvement d'un point donné, sous une rotation uniforme, soit un cercle — ceci est vrai de façon évidente en dimension deux, et aussi en dimension trois où c'est un cercle centré sur, et perpendiculaire à, l'axe de rotation. En dimension quatre ou plus, la trajectoire d'un point sous l'effet d'une rotation uniforme est une sorte de courbe de Lissajous, qui en dimension paire va avoir tendance à être dense dans [correction] un tore de la sphère (c'est-à-dire à passer arbitrairement près d'un point quelconque de celui-ci).

On pourrait illustrer les choses comme ceci : en dimension quatre, les habitants d'une planète sphérique en rotation dans l'espace pourraient généralement connaître l'heure et la date par la simple observation de la position d'une seule étoile. Ou pourraient réaliser des pendules qui sont une simple boule qui tourne uniformément, avec un point marqué. (Bon, tout ceci ne serait pas très pratique, certes, parce que ce serait pénible de faire une lecture précise, mais au moins dans l'idée de nos horloges analogiques avec deux aiguilles qui tournent on pourrait faire des horloges sphériques qui tournent rapidement dans une direction pour indiquer la minute et plus lentement dans une autre pour indiquer l'heure.)

La notion implicite sous-jacente, c'est plus ou moins celle du rang d'un groupe de Lie : le groupe SO3 des rotations en trois dimensions est de rang 1, c'est à peu près ça qui fait qu'on a une seule vitesse de rotation, que les trajectoires des points sont des cercles, etc. Mais en général, SOn est de rang ⌊n/2⌋, c'est par exemple le nombre de vitesses de rotation différentes qu'il faudra donner (sans même chercher à savoir dans quelles directions elles se font), le nombre de paramètres des courbes de Lissajous décrites par les points, etc.

Bref, ce sont différentes réflexions qui me sont venues en réalisant une nouvelle vidéo de rotation du système de racines de E8, rotation cette fois uniforme tout du long. (Pour l'instant la vidéo est sur YouTube, mais la qualité en est tellement abominablement atroce que ça n'a vraiment pas grand intérêt de la regarder ; je publierai une version JavaScript dès que j'aurai fini d'écrire une petite introduction mathématique pour aller avec.) Comme en huit dimensions il y a beaucoup de directions dans lesquelles on puisse tourner (SO8 est de dimension 28 et de rang 4), j'ai fait un choix qui m'a semblé amusant — et je reviendrai dessus pour l'expliquer plus précisément — consistant à prendre une rotation qui appartienne au groupe de Lie exceptionnel G2 (de dimension 14 et de rang 2) formé des rotations qui laissent invariante une structure octonionique sur l'espace de dimension 8, structure octonionique avec laquelle le réseau de E8 a d'intéressants rapports. Du coup, la vidéo fournit une illustration de deux groupes de Lie exceptionnels à la fois, G2 par son action et E8 par son système de racines.

[#] Ce qui ne signifie pas pour autant qu'il soit compliqué : si je prends bêtement deux points tournants à vitesse uniforme sur deux cercles dans le plan, et que leurs vitesses de rotation sont irrationnelles entre elles — ce qui est la situation la plus générale — alors ce mouvement n'est pas périodique non plus, et c'est quand même quelque chose de très simple ; en vérité, la rotation uniforme d'une sphère en dimension quatre n'est pas très éloignée de cette idée (justement parce que le rang du groupe des rotations vaut 2).

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