David Madore's WebLog: Déformation continue d'une rotation de 2 tours en rien du tout

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(samedi)

Déformation continue d'une rotation de 2 tours en rien du tout

Dans l'entrée que j'ai postée hier je mentionnais le groupe Spin(3), revêtement double du groupe SO(3) des rotations de la sphère, c'est-à-dire qu'il distingue une rotation par un tour complet de pas de rotation du tout ; et je mentionnais que le groupe Spin(3), lui, est simplement connexe (on ne peut pas le revêtir à son tour) : tout lacet, i.e., tout chemin qui revient à son point de départ, dans Spin(3), et notamment celui qui fait faire deux tours complets à la sphère, peut être contracté en rien du tout. J'ai essayé d'illustrer ce fait par une vidéo que je viens de mettre sur YouTube :

La sphère en haut à gauche (celle numérotée 0) fait deux tours complets pendant une période (=8 secondes) de la vidéo ; celle en bas à droite (numérotée 27) ne bouge pas. Chacune des sphères intermédiaires effectue un mouvement qui part et arrive à la même position de référence, et chacun de ces mouvements est très proche des mouvements de la sphère précédente et suivante. Ceci illustre le fait qu'on peut passer continûment de deux tours complets à zéro. Chose qui ne serait pas possible pour un seul tour (ou si on avait affaire à un cercle, quel que soit le nombre non-nul de tours).

Ceci étant, je n'y vois toujours pas grand-chose à la manière dont cette déformation se fait ou pourquoi elle n'est pas possible pour un seul tour (mon espoir était d'acquérir une intuition visuelle sur le groupe spin, pour le comprendre autrement que juste intellectuellement, et ce n'est pas franchement un succès). J'ai aussi produit une version séquentielle de la vidéo, où la sphère fait des mouvements successifs au lieu qu'on les voie tous simultanément, je ne sais pas si c'est plus clair :

OK, je vois bien que l'idée très grossière est que l'axe qui sert d'axe de rotation dans le premier mouvement (suivre des yeux le point de rencontre des trois pentagones verts) se met, au cours des différents mouvements, à faire des tours, si bien que la sphère n'a plus vraiment besoin de tourner autour de lui, puis ce tour qu'il décrit est lui-même recontracté à rien du tout, mais cette description est vraiment vague, et ne me fournit pas une explication visuelle intuitive de pourquoi on a besoin de faire deux tours pour contracter.

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