Comments on Déformation continue d'une rotation de 2 tours en rien du tout

En relisant cette vieille entrée, je viens de penser à une autre manière de réduire deux rotations en rien du tout.

Considérons que la Terre fait deux tours, dans le sens habituel (d'Ouest en Est) autour de l'axe des pôles. Je ne vais pas toucher au premier tour, qui sera toujours une rotation de 360° autour de l'axe des pôles. Pour le second tour, en revanche, je peux incliner très légèrement l'axe de rotation, de manière continue; par exemple, en passant par le point de latitude 85° N, sur le premier méridien. J'ai transformé mes deux rotations de même axe en deux rotations successives, d'axes légèrement différents. Ensuite, sans toucher au premier tour, je continue à incliner de plus en plus l'axe du deuxième : je passe par le point de coordonnées 0°N, 0°O (dans le golfe de Guinée), et je continue à l'envoyer de plus en plus au Sud, jusqu'au pôle Sud en fait. Là, l'axe de la deuxième rotation est redevenu identique à celui de la première, mais maintenant elle se fait dans l'autre sens ! Je fais donc un tour complet dans un sens, puis un tour dans l'autre sens.

Maintenant, je peux réduire les deux rotations : au lieu d'un tour complet, je tourne de 350° seulement dans un sens, puis dans l'autre. Du coup, toujours de manière continue, je peux réduire la rotation à trois quarts de tours, puis à un demi-tour, à un quart de tour, et enfin à rien du tout. Objectif atteint : j'ai transformé une rotation de deux tours en rien du tout.

C'est comme ça que j'arrive à comprendre la différence entre faire un tour et en faire deux. Si on fait un seul tour, alors il y a forcément des points de la sphère qui font un tour complet : quelle que soit la manière dont je déforme la rotation, ça ne changera pas, des points devront toujours faire un tour, peut-être pas les mêmes points, peut-être pas dans le même sens, peut-être en suivant une autre trajectoire qu'un grand cercle, au total ils feront quand même un tour. Mais si la sphère fait deux tours, je peux m'arranger (comme ci-dessus) pour que les deux tours s'annulent : au lieu de faire deux tours dans le même sens, des points feront un tour dans un sens et un dans l'autre. Ce qu'on peut réduire à "faire un peu moins d'un tour (dans un sens puis dans l'autre)", puis à faire de moins en moins, jusqu'à rien du tout.

1. Je ne suis pas sûr que ça ait un lien clair avec le retournement de la sphère. D'ailleurs, on peut retourner le tore, par exemple, et c'est même beaucoup plus facile.

Du point de vue de la topologie algébrique, ce qui est important pour le retournement, c'est que le deuxième groupe d'homotopie de SO(3) soit trivial [mais le point miraculeux c'est d'une certaine façon que cette absence d'obstruction homotopique « garantisse » la possibilité d'un retournement dans le monde différentiable. C'est la vraie difficulté de ce résultat de Smale, et un exemple historiquement important de ce que Gromov appellera plus tard le h-principe.]

2. On ne peut pas vraiment « associer un nœud à une variété. » Ce qui se passe est que toutes les variétés (fermées orientables) s'obtiennent par une opération (chirurgie de Dehn) sur un entrelacs (= un plongement de plusieurs copies du cercle, un sac de nœuds, si on veut). Un seul entrelacs peut produire plusieurs variétés (il y a des paramètres à préciser pour que la chirurgie soit bien définie) et une variété s'obtient d'une infinité de manières différentes (c'est le sujet de ce que l'on appelle le « calcul de Kirby »).

Pour SO(3) = P³(ℝ), le nœud trivial convient. (Les variétés que l'on peut obtenir à partir du nœud trivial s'appellent les espaces lenticulaires [à ceci près que la question de savoir si S² × S¹ doit être considéré comme un lenticulaire est quasi-religieuse ; en tout cas, on peut l'obtenir par chirurgie sur le nœud trivial]).

Merci à Nick Mandatory.
Je suppose que cette propriété (en 3D) explique le retournement de la sphère. Avec un peu de fibration de Hopf…
Encore une question naive :
Si on peut associer un noeud à une 3-variété (orientable, fermée, connexe, ???), quel noeud correspondrait à SO3 ?

@MathOMan: C'est même le seul exemple. Les autres surfaces ont un groupe fondamental sans torsion.

@frankie: Sans savoir ce que tu entends par "deux tours sur une surface", je pense qu'un exemple de ce que tu cherches comme surface est l'espace projectif (réel) P^2. En fait, pour tout n>1, le groupe fondamental de P^n est Z/2Z.

La seule surface possédant cette propriété est le plan projectif. Comme SO(3) est l'espace projectif de dimension 3, on peut dire que c'est essentiellement le même phénomène.

Question naïve : existe-t-il une surface possédant cette propriété (deux tours se ramenant à rien) ?

Après avoir essayé plusieurs fois, je commence à comprendre ta vidéo! On pourrait la rendre plus facile, en laissant au spectateur plus de temps (tu as mis 6 périodes, il me faudrait peut-être 20) et annonçant le début de chaque période par un signal (acoustique ou flash).

@Ruxor
> or dans le cas de la ceinture ou à plus forte raison de l'assiette, on nous
> dit de tourner d'une manière bien particulière.

En quoi cette manière de tourner est-elle particulière? C'est un double-tour autour d'un axe ("vertical", mais ça n'a pas d'importance).

J'ai du mal à "voir" la contraction sur tes vidéos, mais je vais re-essayer. Pour moi la chose se présente de manière plus "ensembliste":

SO(3) est homéomorphe à la boule unité B^3 dont on a identifié chaque couple d'antipodes sur le bord S^2 ; notons B^3/~ ce quotient. (C'est d'ailleurs aussi l'espace projectif réel P^3.) Cela est vrai car chaque élément de SO(3) peut être décrit par un vecteur v (axe orienté) dont la norme donne l'angle de rotation normalisé entre 0 et 1 (au lieu de 0 et pi). Il est nécessaire de quotienter puisque si v est de norme 1 alors il représente la même rotation (demi-tour) que -v.

Un simple tour (360°) correspond au lacet dans B^3/~ qui parcourt un "diamètre" D de la boule d'unité. C'est bien un lacet puisque les extrémités de D sont identifiées. Vu comme ça il me semble géométriquement évident qu'il n'est pas contractile!

En revanche, on voit très bien que le double-tour (720°) est contractile. Il correspond au lacet DD. (Pour parler plus facilement je suppose dans la suite que le "diamètre" D est "horizontal".) Or D est homotope au lacet sur l'équateur allant de 0° à 180°, et aussi au lacet sur l'équateur allant de 0° à -180°. Or, toujours par identification d'antipodes, le lacet sur l'équateur allant de 0° à -180° est identique à celui de 180° à 0°. Par conséquence, le double-toure DD est homotopiquement nul.

D'ailleurs il est intéressant que ces "doublures" d'angles interviennent également lorsqu'on veut déterminer l'axe et l'angle de la composée de deux rotations. Voir la belle construction géométrique de Penrose ici:

http://www.mathoman.com/en/index.php/1537-axis-and-angle-of-the-composition-of-two-rotations

…Esprit de l'escalier :
Les rotations étant liées, on peut aussi voir le système comme un engrenage cônique = un cône d'axe –Ω2 roulant sans glisser sur un cône fixe d'axe –Ω1, les deux cônes étant d'ouverture θ, avec leur sommet au centre de la sphère (il faut passer aux antipodes pour avoir un roulement sans glisser) ; le point de contact est repéré par le vecteur –Ω1–Ω2. Dans ce mouvement les trajectoires des points courants de la sphère sont des cycloïdes sphériques éventuellement allongées ou raccourcies. Exemple d’animation à <URL: http://www.mathcurve.com/courbes3d/cycloidspheric/conesanim1.gif >

@RRt: merci pour le lien

@Ruxor: pour t’aider à visualiser "géométriquement" ce qui se passe, as-tu essayé de peindre la sphère autrement, par exemple en globe terrestre, ou d’en faire une projection stéréographique bien choisie ?

On peut illustrer le passage homotope entre “deux tours” et “zéro tour” par la composition de deux rotations de même vitesse angulaire dont les axes [orientés] Ω1 et Ω2 font un angle θ, avec Ω2 au départ vertical (pôle nord) et Ω1 oblique (de colatitude θ); Ω1 restant fixe et Ω2 effectuant une précession autour de Ω1 ; considérer la situation après un tour (360°) autour de chaque axe.[#]

Le cas θ = 0° (i.e. les deux rotations dans le même sens) correspond au “deux tours” ; le cas θ = 180° correspond à deux rotations de sens opposés (donc qui s’annulent) soit “zéro tour” ; varier θ de 0 à 180° montre toutes les situations intermédiaires.

Dans le cas θ = 90° (Ω1 sur l’équateur), Ω2 parcourt un grand cercle (vertical) passant par le pôle sud, mais la trajectoire des autres points est plus compliquée. Chose amusante : si on arrête le mouvement à mi-chemin (180°, donc quand Ω2 est au pôle sud), la position obtenue est équivalente au résultat d’un demi-tour (en l’occurrence autour de [produit vectoriel] ±Ω1∧Ω2[initial]), en ayant fait un mouvement homotope à une rotation de 360°.

[#] je ne suis pas sûr que ce soit strictement le modèle appliqué dans ta vidéo mais ça y ressemble.

Laurent : il y a une vidéo ici : <URL: http://www.mathoman.com/index.php/1277-torsion-du-bras-le-groupe-fondamental-de-so3 >.

Quand j'avais suivi un cours sur les groupes classiques, on m'avait présenté ça sous le nom d'"assiette à soupe" (apparemment c'est le nom que lui donne Berger), mais une recherche Google ne donne pas beaucoup de résultats.

Variante du "belt trick" pour visualiser ce qui se passe : la manip consistant à poser une assiette ou autre horizontalement sur le plat de la main, et restant debout et immobile, puis à la faire tourner (toujours dans le même sens) en la gardant horizontale : on passe une fois par-dessous l'épaule, puis une fois par-dessus la tête (souplesse articulaire poignet-coude-épaule requise).
Au bout du compte l'assiette revient à sa position initiale après avoir fait deux tours (720°) autour d'un axe vertical; les pieds du manipulateur n'ont pas bougé, le mouvement du bras (éventuellement du torse) dans son ensemble illustre les différentes situations intermédiaires en continuité entre deux tours et zéro rotation.
Il y a sûrement des vidéos illustratives en ligne, mais je ne connais pas le nom de cette manip et je n'imagine même pas quels mots-clés il faut entrer pour les trouver…

Peut être que ce n'est pas une bonne idée, mais ça me paraîtrait plus visuel de remplacer la sphère par un cylindre pour visualiser ça : initialement on a un cylindre (avec un certain motif sur les bords pour se repérer) qui fait deux tours autour de son axe, puis l'axe se mettrait progressivement à se déplacer.
J'ose imaginer qu'il serait plus facile comme ça de suivre l'évolution de l'axe de rotation initial.

Pour le "belt trick", effectivement ça permet de bien "voir" qu'il est possible de passer de deux tours à rien du tout, mais j'ai quand même du mal à comprendre pourquoi on obtient forcément deux tours plutôt qu'un, et j'ai du mal à visualiser le lacet dans l'espace des rotations à partir de la ceinture .

Peut-être l'animation séquentielle serait-elle plus parlante si elle allait plus vite : une durée plus courte pour les deux premiers tours (d'un faccteur 50% environ), mais surtout, pour les transformations suivantes, de plus en plus vite pour garder la même vitesse angulaire quand l'amplitude des mouvements décroît.

Je pense qu'une illustration plus visuelle du phénomène de spin est le "belt trick" - le fait qu'on puisse passer d'une ceinture mise à plat à une ceinture deux fois vrillée en gardant les extrémités fixes [en revanche, il faut autoriser la ceinture à passer au-delà de ses extrémités ; i. e. si les deux extrémités sont encastrés dans les murs d'une pièce, ça ne marche plus.] Ainsi on utilise la coordonnée spatiale pour le paramètre du lacet (et donc on peut visualiser tout le lacet d'un seul coup), ce qui permet de garder la coordonnée temporelle pour le paramètre de l'homotopie.