Comments on Racontons des choses autour de la notion de groupe de Lie

Ilia (2021-04-28T09:18:53Z)

Update : je viens de remaquer que Ran Cui a publié dans sa thèse ( https://cuiran.github.io/pdf/mainthesis.pdf , appendice B) une correction de la table d'Onishchik et Vinberg. Il existe donc bien au moins une version correcte de cette table dans la littérature.

Pour ce que ça vaut (shameless self-plugging): j'ai fini par mettre en ligne mes tables dont j'ai parlé - sous une forme pas très propre certes (j'en ai un peu honte), mais c'est toujours mieux que rien : http://www.normalesup.org/~smilga/Lie_group_tables/tables.html .

Ilia (2015-06-26T11:08:57Z)

Merci pour cette référence. Effectivement, Onishchik 2004 semble donner les bonnes formules (elles coïncident avec celles de Tits, et sont cohérentes entre elles) avec leurs preuves, et semble être assez agréable à lire. Je m'y plongerai à l'occasion.

Dans Onishchik et Vinberg, les formules en question (uniquement pour les formes non compactes) se trouvent tout à la fin du paragraphe 1 ("Useful formulae") de l'annexe ("Reference chapter"), en haut de la page 292 dans l'édition que j'ai sous les yeux. Cependant, elles ne sont pas correctes (il y a une erreur dans les première, quatrième et cinquième cases du tableau).

Pour information, j'ai fait au brouillon plusieurs tables contenant les informations sur les groupes et algèbres de Lie semisimples réelles, notamment :
- un tableau synthétique permettant de savoir en un coup d'oeil quelles sont les représentations réelles, complexes ou quaternioniques d'une algèbre de Lie réelle simple donnée (contenant essentiellement les mêmes informations que la Table 5 tout à la fin de Onishchik 2004 mais de façon plus concise) ;
- un grand tableau d'algèbres de Lie simples de petit rang (rang complexe <= 6, plus E7 et E8) avec toutes leurs formes réelles données par toutes leurs descriptions isomorphes possibles, leurs diagrammes de Vogan et leurs systèmes de racines restreintes ;
- un tableau exhaustif énumérant les *groupes* de Lie simples réels, et pas seulement les algèbres (donc tous les revêtements algébriques du groupe adjoint correspondant à une algèbre donnée ; pour D_n, j'ai dû inventer des noms pour certains de ces groupes…) ;
- des dessins plaçant, pour chaque groupe de Lie réel simple de petit rang (rang complexe <= 3), les dimensions des petites représentations sur le réseau des poids, avec un code couleur pour dire si la représentation est réelle, complexe ou quaternionique ;
- pour certaines représentations (cette fois-ci je ne prétends pas être exhaustif), des dessins donnant les dimensions de tous les espaces de poids et espaces de poids restreints. (Ces dessins sont classiques pour SL_3 ; pour ma part, je suis allé jusqu'au rang 3…)
Nulle part dans la littérature je n'ai vu de tables similaires. Si cela intéresse quelqu'un, je peux les scanner et les envoyer. (Je rêve un jour de faire ces tables au propre, sur Internet, avec des hyperliens et tout ça. Pour le moment, j'ai d'autres choses à faire…)

Ruxor (2015-06-13T10:44:34Z)

@Ilia: Je crois que la réponse à la question de savoir comment on calcule le type réel ou quaternionique d'une représentation (=: index de Cartan de celle-ci) figure dans un autre texte d'Onishchik, *Lectures on Real Semisimple Lie Algebras and Their Representations* (AMS, 2004), en combinant §7 théorème 1 (p.54, <URL: https://books.google.fr/books?id=mwFCe7HgKFoC&pg=PA54#v=onepage&q&f=false > si Google Books accepte de l'afficher) et §8 théorème 3 (p.68). Je m'y perds un peu dans ses notations, mais je suis en tout cas convaincu que ça se calcule uniquement par des opérations d'algèbre linéaire sur les réseaux (le réseau des poids, l'action de la conjugaison complexe et celle du groupe de Weyl), et cette formule semble être de ce type. Logiquement le même résultat devrait aussi se trouver dans le livre d'Onishchik et Vinberg, mais bizarrement je ne trouve pas.

Si tu arrives à démêler les choses, ça m'intéresse.

Ilia (2015-06-12T22:32:09Z)

Pour information : les formules censées donner le caractère réel ou quaternionique d'une représentation d'algèbre de Lie simple réelle sont manifestement fausses chez Onishchik et Vinberg. (Notamment parce qu'elles ne donnent pas le même résultat pour so(5,3) et so(3,5) par exemple, ce qui est tout de même un peu gênant… Sans parler du fait qu'il manque de toute façon une parenthèse.)

Celles de Tits ont au moins l'air cohérentes entre elles. (Pour pouvoir affirmer de façon certaines qu'elles sont justes, il faudrait savoir comment ça se calcule…)

jonas (2015-04-29T06:14:56Z)

Thank you.

This also reveals that you named “phénomène du π₀” and “du π₁” from the homotopy groups $\\pi_0$ and $\\pi_1$ of the manifolds. Makes sense in retrospect, but I didn't realize that until your reply.

Ruxor (2015-04-28T20:59:43Z)

@jonas: Very good questions! And I should have answered them, so I'll add a few notes on these subjects. Here are some answers in English:

Yes, each isogeny class of (real or complex) Lie groups contains exactly one simply connected representative: it is the "universal cover" of [the neutral component of] any element in the isogeny class (and the π₁ of any group in the isogeny class can be seen, in a natural way, as a subgroup of the center of this simply connected group). Furthermore, for semisimple[#] (and, in particular, for simple) Lie groups, there is exactly one algebraically simply connected representative (essentially, "algebraically simply connected" means it is the largest cover which can be seen as a matrix group: equivalently, it is simply connected in the sense of algebraic geometry): these two notions do not coincide in general (SL(2,ℝ) is algebraically simply connected but not simply connected), but they do coincide either for complex, or for compact real, Lie groups.

[#] To give a sense of what can go wrong, the group U(1) of complex numbers of unit modulus is an Abelian real Lie group: its universal cover (=simply connected element in the isogeny class) is (ℝ,+), the covering map being t ↦ exp(2·i·π·t). But here there is no algebraically simply connected group (although it is true that (ℝ,+) can be seen as upper triangular 2×2 matrices with 1's on the diagonal, this does not map algebraically to U(1) because the exponential is not algebraic). This complication does not arise in the case of semisimple groups.

(The English word corresponding to the French "résoluble" is "solvable", by the way.)

And yes, the Levi decomposition works, at the Lie algebra level, over the reals and over the complex numbers. A precise statement would be: if 𝔤 is a real or complex Lie algebra, and 𝔯 is its radical, defined as the largest solvable Lie subalgebra of 𝔤 (this is well-defined as the sum of two solvable Lie subalgebras is still solvable), then there exists a semisimple Lie subalgebra 𝔩 such that 𝔤 = 𝔯 ⊕ 𝔩 (a semidirect product of Lie algebras). There is also a statement at the Lie group level, but only in the case of algebraic groups (in characteristic 0; in particular, over the reals or complex numbers): in the case of non-algebraic Lie groups, some things can go wrong.

jonas (2015-04-28T16:57:42Z)

Thank you for this tale. It's particularly welcome because I know almost nothing about Lie-groups or Lie-algebras. But I'd like to ask you to clarify a few points.

Firstly, in what sense is the phenomenon π₁ really about simply-connectedness? Does each isogeny class of Lie-groups contain exactly one simply-connected Lie-group up to isomorphism? You don't seem to state this explicitly anywhere.

Secondly, you describe the restrictions of how Lie-algebras are built from simple Lie-algebras and resoluble ones. Does all you say there apply to both real and complex Lie-algebras? (Presumably you have to take whatever the natural definition of a normal subgroup is for real and complex Lie-algebras respectively.)

Ruxor (2015-04-27T10:29:47Z)

@Ilia: Concernant les représentations des groupes réels non (nécessairement) compacts, il y a d'un côté des analystes (principalement) qui s'intéressent aux représentations unitaires mais pas forcément de dimension finie, avec la théorie de Harish-Chandra, les séries discrète et continue, et ce genre de choses, et de l'autre des algébristes (principalement) qui s'intéressent aux représentations de dimension finie (forcément algébriques) mais pas forcément unitaires. Dans le cas des groupes compacts, ces deux théories coïncident (sauf peut-être par le point de vue et par des petits facteurs finis), dans le cas général elles n'ont, je crois, essentiellement rien à voir.

Le paragraphe précédent est une remarque très simple, bien sûr, mais je peste contre le fait que les textes d'expositions de l'une ou l'autre de ces théories ne fassent pas l'effort minimal consistant à bien expliquer qu'il y en a deux, en quoi elles se rejoignent et en quoi elles diffèrent, et celle qui les intéresse ! C'est l'exemple prototypal de la myopie "je m'intéresse à mon sujet, et j'oublie complètement qu'il y a des gens à côté qui utilisent les mêmes mots pour désigner des choses sans aucun rapport et qui pourraient induire les débutants en erreur". Ça devrait être obligatoire de faire une mise en garde dans chaque texte utilisant le terme « représentation » pour expliquer de quelle théorie il parle (et rappeler qu'il y en a d'autres).

Sinon, pour ce qui est du type réel, complexe ou quarternionique d'une représentation réelle, les tables du livre de Tits ou d'Onishchik et Vinberg que je cite répondent complètement à la question (enfin, je crois).

Ilia (2015-04-26T12:05:17Z)

Merci pour ton billet, et surtout pour la bibliographie. Je viens de passer plusieurs mois à lire le livre de Knapp, à applaudir mentalement la qualité de l'exposition mais à pester parce que je le trouve incomplet. Comme toi, je suis consterné par le manque de références. Pour ma part, j'aimerais surtout trouver un ouvrage qui couvre de façon raisonnablement exhaustive la théorie des représentations réelles des groupes de Lie réels (pas forcément compacts) - qui ferait donc entre autres apparaître la notion de "plus haut poids restreint", et qui donnerait un critère pour déterminer si une représentation est réelle, quaternionique ou complexe.

Je ne connaissais pas le Cap et Slovak (pour moi c'est sans doute trop tard, mais je vais jeter un coup d'oeil !), ni les tables de Tits (potentiellement utiles). Je n'étais pas non plus conscient de l'ambiguïté possible pour "le livre d'Onishchik et Vinberg" (il faudra que je vérifie si je n'étais pas tombé dans le panneau !)

Ruxor (2015-04-25T16:38:29Z)

@jonas: I was aware of this, but I got bitten by the necessity of dumbing things down which doesn't mix well with the fine print involved, hence the handwaving about the usual coloring. The fact I really mean to point out about the 3×3×3 cube with the standard coloring is that the set of color configurations can be considered as a group (once a standard "pristine" pattern has been chosen): this is equivalent to saying that if a sequence of moves produces no visible effect on some color configuration, then it produces no visible effect on any color configuration; so it's not so much the fact that there are no invisible moves (I agree with you: there are) as the fact that these invisible moves form a distinguished (=normal) subgroup. In contrast, for larger cube sizes, the set of color patterns must be considered as a homogeneous space, it is not a group.

I can't figure out a non-confusing way of explaining all of this. The idea that a group is a set of symmetries is a fundamental intuition in mathematics, but as soon as one starts looking in detail into what a "symmetry" is, things can get a bit messy, or circular.

jonas (2015-04-25T15:47:33Z)

It's not quite true what you say about Rubik's Cube. The cube with its usual coloring does have some invisible rotations, which become visible if the faces have different patterns. The invisible rotations are the rotations of the face centers, and they form a group of order 2048. These invisible rotations aren't counted in the usual definition of the Rubik's Cube group, and the cube counts as solved if you solve the cube up to such a rotation. There are, however, physical variants of the puzzle with pictures on the faces, where these movements are visible, so solving such a cube is more difficult. Jaap's puzzle pages at <URL: http://www.jaapsch.net/puzzles/cube3.htm > describes these and calls them “Picture Cubes”, whereas the speedsolving wiki at <URL: https://www.speedsolving.com/wiki/index.php/Supercube > calls them a supercube. Erich Friedman's puzzle page at <URL: http://www2.stetson.edu/~efriedma/rubik/3rubik/index.html > shows some more physical realizations.

Autre touriste (2015-04-25T11:10:17Z)

Je pense que la façon correcte de montrer la déformation de deux tours complets en zéro tour est de montrer une série de vidéos du mouvement - d'abord deux tours complets, puis divers mouvements intermédiaires, pour finir par une sphère immobile. On ne voit pas complètement la continuité, mais on la comprend.

Fred le marin (2015-04-24T18:14:37Z)

Trop basique ?

On retombe bien sur ses pieds lorsque l'on multiplie deux matrices de SO(2).
(groupe à un paramètre réel, non évoqué ici ?)
C'est à croire que l'exponentielle complexe, les formules de trigonométrie et la multiplication des matrices ont été ajustées (finement) par une main invisible !
(= dessein "intelligent", oups)
Très beau travail (pour Ruxor aussi, qui cherche toujours à "soulever un coin du grand voile").
Mais je me tais désormais.

Ruxor (2015-04-24T17:14:08Z)

@W: J'en ai rajouté une couche. (Mais je pense que la plupart des gens ne connaissant rien aux maths, si on leur montre une étoile à 5 branches régulière entrelacée, diront bien que cette figure a des symétries, même si elle n'est invariante par aucune réflexion ni symétrie centrale.)

W (2015-04-24T16:33:56Z)

En lisant le tout début, je remarque que si tu veux t'adresser à n'importe qui, tu pourrais commencer par dire qu'une symétrie est une opération qui ne change pas un objet. Sinon quelqu'un qui n'a pas fait de maths après le bac pense symétrie axiale ou centrale mais pas rotation ou quoi que ce soit de plus général, je crois.