David Madore's WebLog: Pourquoi la physique utilise-t-elle des mathématiques ?

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(mercredi)

Pourquoi la physique utilise-t-elle des mathématiques ?

Puisque mes quelques dernières entrées étaient décidément dans le mode « métaphysique et science », j'en fais encore une :

La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l'universo), ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica. (La philosophie [c'est-à-dire : la physique] est écrite dans ce grand livre qui est continûment ouvert à nos yeux (je veux dire l'univers), mais on ne peut le comprendre que si d'abord on apprend à en comprendre la langue et à reconnaître les caractères dans lesquels il est écrit. Il est écrit en langue mathématique.) — Galileo Galilei, Il Saggiatore (1623), chap. VI

Voilà encore une question qui me fascine : pourquoi la physique fait-elle appel aux mathématiques ? Et les questions que cela sous-entend : est-ce un fait profond sur notre Univers (comme Galilée le suggère dans le passage que je cite ci-dessus), ou est-ce simplement lié à la façon dont nous comprenons la physique ? Est-ce un fait fondamental de la physique ou simplement lié à l'utilité des mathématiques pour comprendre n'importe quel phénomène émergent ? Pourquoi les autres sciences[#] n'utilisent-elles pas autant les mathématiques, ou pas de la même façon ou (pour reprendre la description un peu élitiste et provocatrice que Hardy fait dans l'Apologie d'un mathématicien) pas des mathématiques élégantes ? Est-ce parce que ces sciences sont plus complexes que la physique, trop pour être mathématisées ? Parce que nous ne les comprenons pas assez bien ? (Dans la vision comtéenne, elles n'auraient pas encore atteint le stade positiviste.) Ou parce qu'intrinsèquement elles ne se plient pas autant à l'analyse mathématique ? Parce que ce ne sont pas des sciences exactes ?

Et voici une question apparentée, et pas forcément plus facile : pourquoi la physique n'utilise-t-elle qu'un petit sous-ensemble des mathématiques, et celui-ci admet-il une description plus simple que la partie des mathématiques à laquelle la physique fait appel ?

Par exemple, la physique fait — au moins apparemment — abondamment appel à la notion de nombre réel. Le monde qui nous entoure a l'air de dépendre lourdement de la notion de nombre réel. Même ma maman a une idée de ce qu'est un nombre réel : pour le non-mathématicien, c'est un nombre à virgule, qui pourrait s'écrire en théorie avec une précision aussi grande que voulue (et plus on ajoute de décimales, plus on est précis). Toutes les grandeurs qui nous entourent, les tailles des objets, les durées dans le temps, les vitesses, les masses, les grandeurs électriques, etc., semblent mesurées par des nombres réels.

Pourtant, mathématiquement, il existe plein d'autres sortes de nombres sur lesquels on aurait pu imaginer a priori que la physique reposât. Les nombres p-adiques semblent le candidat le plus évident : les nombres p-adiques partagent beaucoup de propriétés en commun avec les nombres réels, il y a de très importantes et élégantes symétries entre eux (les nombres réels prenant essentiellement la place des nombres ∞-adiques, et je n'utilise pas le mot place au hasard). Mais, pour autant que je sache, les nombres p-adiques n'ont aucune application en physique (malgré des tentatives pour leur en donner, qui ressemblent plus à une volonté de les rechercher à tout prix qu'à une théorie basée sur l'expérience). Non seulement cela, mais même dans des sciences basées très indirectement sur la physique, les nombres p-adiques ne jouent aucun rôle alors que les nombres réels sont omniprésents : la somme d'argent présente sur mon compte en banque est peut-être un rationnel (de dénominateur divisant 100), mais il faut clairement le considérer comme un nombre réel et non comme un p-adique quel que soit p (par exemple, si c'était un 7-adique, il serait presque pareil d'avoir 403536.07€ sur son compte que d'avoir 0€ ce qui, de toute évidence, n'est pas le cas). Bizarrement, même l'informatique semble avoir très peu besoin de nombres 2-adiques alors qu'elle est intrinsèquement binaire (et les calculs avec débordements dans les nombres en représentation binaire sont exactement des calculs approchés dans les entiers 2-adiques).

Je peux imaginer plusieurs raisons pour lesquelles les nombres p-adiques ne semblent pas exister dans la nature, dont au moins les suivantes :

J'avoue avoir énormément de mal à imaginer à quoi pourrait ressembler un univers où (disons) les 2-adiques joueraient un rôle important (et ce n'est pas faute de bien comprendre ce qu'est un nombre 2-adique, je pense). Il est donc aussi possible que la question soit aussi stupide que de demander pourquoi je ne vois jamais −42 moutons dans un pré, chose également difficile à imaginer. Mais je préfère prendre le risque de poser des questions stupides que celui de ne pas en poser d'intelligentes. ☺

Les p-adiques ne sont qu'un exemple : pourquoi la physique n'utilise-t-elle jamais de nombres ordinaux ? (D'ailleurs, pour commencer, pourquoi les mathématiques en-dehors de la logique n'utilisent-elles quasiment jamais de nombres ordinaux ?) Utilise-t-elle E8 ou les tentatives de le voir apparaître sont-elles du wishful thinking ? Je ne sais pas si la physique gagne à se poser ce genre de questions, mais j'ai du mal à concevoir qu'on puisse ne pas se les poser.

[#] Enfin, ce n'est pas vrai : il y a une autre science qui utilise aussi lourdement les mathématiques, c'est l'informatique. Mais il y a quelque chose à dire sur le fait que si la physique est vraiment une branche à part car elle étudie le monde matériel, l'informatique, elle, est finalement une branche des mathématiques — celle que les mathématiciens sont trop snobs pour reconnaître comme telle. — Comme le disait éloquemment Dijkstra : Computer science is no more about computers than astronomy is about telescopes.

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