Comments on Quelques points de vue (de matheux) sur les grandeurs physiques et unités de mesure

Bonjour,

Texte intéressant, qui interroge du moins sur la formalisation de tout ceci.

En tant que physicien, je soulignerais toutefois deux points importants :

(i) Il manque la distinction entre choix des grandeurs de base (par exemple la masse, la longueur, la durée, le courant), et choix des unités de base associées aux grandeurs de base.
Ce second choix vient dans un second temps, une fois les grandeurs de base choisies. Ainsi avec masse, longueur, durée, courant, on peut associer les unités de base kg, m, s, A, ou autre chose (once, pouce, année, mA).

Le choix des grandeurs de base fixe la forme des équations. Par exemple les équations de Maxwell ont une forme différente en fonction du système de grandeurs de base choisi : MKSA, CGS (électrostatique, électromagnétique, etc… qui correspondent ensuite à différentes définitions de ce que sont les champs). Mais au sein d'un système de grandeurs (de base) donné, la forme des équations ne dépend plus du choix subséquent des unités et de leurs définitions.

Or le texte ne disstingue pas vraiment clairement les deux choix. Ceci lève pourtant des ambiguïtés : par exemple dire "il n'est pas normal que les équations de Maxwell dépendent du choix du système d'unités" n'a pas trop de sens. De fait, elles ne dépendent pas du système d'unités de base. Elles dépendent en revanche du choix de grandeurs de base ! Comme toute équation.

(ii) Il manque la notion de "nature" d'une grandeur. Cf brochure VIM éditée par le BIPM. La nature d'une grandeur est définie (verbalement, ou par l'usage des équations) par la théorie utilisée. Une masse a la nature d'une masse, une énergie a la nature d'une énergie, etc. Ceci est indépendant du choix de grandeurs de base (puis du choix d'unités de base).

Ainsi, dire "par exemple je ne distingue pas les grandeurs « énergie » et « moment d'une force »" n'est pas satisfaisant pour le physicien.

- D'une part le fait que l'énergie et le moment d'une force ont la même dimension est un accident qui se produit dans le système de grandeurs de base {longueur, masse, durée, courant}, et pas dans d'autres. Idem pour l'égalité des dimensions d'une entropie et d'une capacité calorifique, d'un indice optique et d'un facteur de qualité, etc…

- La nature de ces grandeurs reste définitivement différente : l'une est une énergie, l'autre le moment d'une force. Elles n'interviennent pas de la même façon dans les équations. On ne somme jamais un moment et une énergie, ni une entropie et une capacité calorifique !

Cette ambiguïté se retrouve dans la discussion sur la disparition des constantes ou la fusion des grandeurs. Oui il existe la relation x=ct, et alors ? Longueur et durée n'en restent pas moins de *natures* différentes (même en relativité générale les deux ne sont pas interchangeable et ont des rôle distinct dans la théorie). On peut certes, par un changement du *système de grandeurs de base*, éliminer la longueur des grandeurs de base et faire que la relation précédente s'écrit x=t, mais il ne faut pas accorder un statut trop ontologique à ceci…

De même en thermodynamique lorsque l'on a cessé de mesurer Q en calorie et W en joule, on a en fait retiré la chaleur des grandeurs de base et on a ainsi absorbé la constante de conversion J (cal/J). Mais W et Q n'en restent pas moins de nature différentes (Q a un rôle que W n'a pas dans le second principe).

(iii) Je suis très dubitatif sur la digression sur l'étude statistique des exposants des dimensions. Et si on fait le même tableau dans le système de grandeur de base {surface,longueur,temps,masse} ? Ou {temps,masse} ? ou {masse} ? ou {force,surface,longueur,temps,masse grave,masse inertielle} ?

Tout ceci est très contingent et il ne faut pas trop en faire dire aux dimensions.

(iv) (oui, il ne devait y avoir que deux points :)) "une définition possible d'une grandeur est un ensemble de quantités entre lesquelles on arrive à mesurer expérimentalement des rapports avec une précision raisonnable." Ici le physicien est d'accord. Encore que, cette définition se restreint aux grandeurs mesurables par référence à une unité de mesure. Ce n'est pas le cas de toutes les grandeurs : la température centigrade est mesurée par référence à une échelle de valeur, la dureté de Mohs des solide est mesurée par rapport à une échelle ordinale, etc.

You might want to also update the old page on Maxwell equations "http://www.madore.org/~david/misc/maxwell.xhtml" where it says

> this follows from the definition of the ampere

to clarify which definition that is before the new definition is adopted. That page isn't clearly dated, so it's hard to guess.

<URL: https://lejournal.cnrs.fr/articles/mesures-le-grand-renversement >

Le paquet Fortran Physunits <URL: http://sleet.aos.wisc.edu/~gpetty/gpetty//physunits.html< peut être utile pour gérer le casse tête des unités dans un programme.

Yes, the redefinitions of the metre and the second are merely cosmetic, they are equivalent to the previous ones.

The trickiest thing to measure is the kilogramme and there are two ways: by equating electromagnetic power with mechanical power using the watt balance (we can link resistance and voltage to h via quantum mechanical effects) or counting atoms in a crystal (the ratio of the atomic mass unit to the Planck constant is well known).

There are "mise en pratique" documents available for each unit
* https://www.bipm.org/utils/en/pdf/si-mep/MeP-kg-2018.pdf
* https://www.bipm.org/cc/CCT/Allowed/28/MeP-K-19_June_2017_DRAFT.pdf
* https://www.bipm.org/cc/CCQM/Allowed/22/CCQM16-04_Mole_m_en_p_draft_2018.pdf
* https://www.bipm.org/utils/en/pdf/SIApp2_cd_en.pdf

As-tu trouvé un titre pour ton ouvrage sur les grandeurs physiques et les mesures ? Je te propose "The Thing - La Chose" en référence au célèbre film. Car la réalité est multi-forme, on ne sait ni d'où elle vient, ni où elle va, on ignore si elle est amicale ou hostile et elle transcende largement toute catégorie morale !

Thank you for the links, Ruxor.

Re empty nickname (2018-08-19T02:23:58+0200): That doesn't help me too much though, becuase it doesn't tell about the experiments that physicists made that showed that the quantities used in those definitions. I'm not even sure I know which measurements they use to replace all three of the kilogram, the ampere and the mole at the same time, because there just don't seem to be enough independent experiments that can compare the old definitions to the new ones. Also, that document seems to claim that they redefine the meter and the second, but the new definitions seem to be the same as the current ones, which have been in effect for decades.

@jonas : a two-page draft resolution https://www.bipm.org/utils/en/pdf/CGPM/Draft-Resolution-A-EN.pdf

> there is a bad case of terminology mismatch between French and English here

Oh no. I'm already confused by the terminology mismatch between English and Hungarian. Now I'm even more confused.

> il s'agit de multiplier toutes les longueurs par une quantité disons $\\lambda_1$

I wonder why you wrote “une quantité” instead of “un scalaire” or “un nombre réel strictement positif” or “un nombre réel strictement positif sans dimension”. It confused me, because I thought at first that you wanted transformations that change the grandeur.

> quand on décide de rendre une constante égale à 1 pour unifier deux grandeurs, on fait un choix de ce qu'est exactement la constante

Right. And even between the meter and the second, you have to decide if the conversion factor is the speed of light $ c $ or rather $ ic $ or $ -ic $.

> (En plus de ça, comme la permittivité diélectrique a un exposant +2 dans le tableau ci-dessus, la rendre égale à 1 pour définir les grandeurs électriques fait apparaître des exposants <i>fractionnaires</i> […])

I was wrong. You would tell about it.

> Le kelvin était défini à partir du point triple de l'eau et va être redéfini de manière à fixer la constante de Boltzmann.

Oh? I haven't heard of that proposal yet. Everyone talks about the flashy units like the kilogram and mole only. I wonder how much profit people will make from selling pseudo-science like baby weight scales and body thermometers “certified to be compatible with the redefined SI units of measurements of 2019”.

As I understand things, “couple” is the torque of a pair of opposing forces. If there is a fixed axis, the reaction of the axis can always used to turn any single force into a couple. But if there is no fixed axis, a single force will convey translation and rotation while a “couple” will only convey rotation.

C'est un joli chapitre de ton futur livre "Philosophie de la Mesure" !

A mi-chemin entre l'histoire des sciences et la philosophie pure du langage tu as trouvé ta voie !

Un lien en rapport : <URL: https://terrytao.wordpress.com/2012/12/29/a-mathematical-formalisation-of-dimensional-analysis/ >

> sur les grandeurs physiques et unités de mesure

So the title of this entry surprised me, until you explained what you meant by grandeur. It makes more sense after.

> Le tableau ci-dessous … liste la plupart des grandeurs physiques les plus usuelles

I'm surprised this table doesn't have a row for dimensionless numbers, despite that you've introduced it above.

> Viscosité [dynamique]; Potentiel magnétique ($\\mathbf{A}$)

Ah yes, now you're getting into the difficult ones. I've heard about both of these, but don't really know what viscosity as a quantity actually means or what the correct grandeur for describing it is. And I recall that in the non-relativistic formulation of Maxwell electromagnetic theory, just as the electric potential gives a less redundant way to describe an electric field whose div is everywhere zero (which is the case if the magnetic field is stationary) by making the electric field the space gradient of the potential (which is why the grandeur of the electric field is the grandeur of the electric potential divided by the grandeur of distance), similarly the magnetic potential gives a way to describe a magnetic field whose div must be everywhere zero, but I also know that this was not on the few physics exams I took, and I don't understand how it could be a less redundant representation, given that both the magnetic field and the magnetic potential is a field of 3-vectors. I should look this up (in Budó Ágoston's physics textbook ideally), because I think only the reason I didn't understand magnetic potential back when I first read about it is that I didn't yet know the basics of differential geometry that are required.

> Action, moment cinétique; Énergie, moment de force

Ah yes, you didn't have enough space on that latter line to also include angular momentum.

> on essaye de lever le problème en exprimant la fréquence en hertz (Hz) alors que la pulsation s'exprime en radians par seconde (rad/s), mais il n'est pas possible d'être systématique

Actually I just heard of this convention from an engineer a few weeks ago. Before, I only knew about representing the unit of energy as J and the unit of angular momentum as N·m. That's why I was looking for angular momentum in your table. A more complicated case that comes to mind is thermal expansion coefficients: you use the volumetric thermal expansion coefficient to design a mercury thermometer, but linear thermal expansion coefficient to design a bridge. But of course that would be an awkward example to bring up after starting with just the four base units.

> Ceux qui ont eu le malheur d'être confrontés aux différentes sortes d'unité CGS

Luckily I was too young to have seen them used in practice. And I see you wanted to spare the innocent minds of those people who are lucky to never have heared of CGS, which is why you didn't mention that the half-powers of distance and of time come up.

> la <i>grandeur quotient</i> de $V$ par $U$ est la grandeur correspondant à l'espace vectoriel $\\mathrm{L}(U,V)$ des applications linéaires $U\\to V$

Right, but if you say that, then you'll get multiple vector spaces that correspond to the same grandeur, and I don't know enough category theory to guess how you'll continue these axioms to get a precise definition of which grandeurs we consider equal. Or rather, I can guess you'd continue it with something like your rule 7., but I don't actually understand the meaning of that. And this one isn't in triple brackets.

> si $U$ a une base ($e_i$) et

Ah yes. Those French vowel clusters we just talked about. :-)

> Est-ce que dire tout ça éclaire une situation confuse ou bien obscurcit sous du formalisme inutile quelque chose qui était déjà parfaitement clair ?

Yes, both of those. Obviously I'll continue modeling units of measure as a formal Abelian product of powers of units like you described them earlier, and quantities as a formal product of a real number and a unit, without thinking of any of these new rules. But we don't just use quantities alone, we also do arithmetic on them, and vector arithmetic, and calculus, and tensor field calculus, and I know the rules for when and how it makes sense to perform those operations on quantities, but clearly there must be some hidden meaning under those rules, which is why they work so well in practice. So even if I don't understand the meaning, it's comforting to know that there is a meaning that is known to some mathematicians.

> la difficulté fondamentale de la pédagogie : il y a plus d'une tournure d'esprit, et ce qui peut être éclairant pour une peut être obscurcissant pour une autre,

Yes. I recall examples when an older mathematician (in the general sense) taught something in a way that seemed too formal to me at that time, but a few years later I realized that he did use what would have been the right amount of formalism for an older me. A remarkable one of them was when a class of us, as students of mathematics in our third year (of what counts as BsC now), were sitting a lecture of functional analysis, and the professor said, “Let me give a concrete example. Let $\\mathbf{A}$ be a self-adjoint operator.”, and our muffled laughter filled the room, but years later I realized that hearing the sentence again, I would no longer find it funny. A similar example that I no longer find funny is from an exercise I found in our chemistry textbook (a single volume that covered several years of middle school chemistry), saying “Arabinose is a monosaccharide constitutional isomer of ribose”, which was impossible for me to even parse because I didn't know what any of those words meant (the original Hungarian phrasing can be significant: “Az arabinóz a ribózzal konstitúciós izomer monoszacharid.”).

I'll post this now but I've read less than half of your post, and I'll get back to the rest later.

Un autre exemple d'unification de grandeurs est celui de la chaleur, historiquement exprimée en calories, et de l'énergie, exprimée en joules.

ooten : on peut voir ça comme une manifestation du principe anthropique : si le monde n'était pas bien foutu, on ne s'extasierait pas qu'il le soit, voire on ne serait pas là pour le constater.

Hyper bien foutu pour l'époque !

Durant le millénaire précédent, j'avais une calculatrice HP-48SX qui gérait les unités en Physique (avec les calculs/conversions et la notation polonaise inverse, mais ce dernier point est une autre histoire)
"units could be attached to numbers" <URL: http://www.hpmuseum.org/hp48s.htm >

C'est dommage sur la fin de nous faire languir avec des choses que tu ne feras pas!

Que peut-on dire des unités qui se ressemblent mais représentent des notions différentes?

* Le Nm est soit un joule soit un moment (comme tu le notes dans ton tableau)
* Le VA est homogène à un W mais utilisé dans des contextes différents

En plus du rad/s on a aussi le tour/s, lui aussi ressemblant pas mal à un Hz…

Juste une remarque qui n'est pas en rapport direct avec le post : notre monde est hyper bien foutu car les distances qui le définit et la vitesse de la lumière font que sur terre on peut dialoguer en direct d'un bout à l'autre de la terre alors que cela ne serait déjà plus le cas si on devait communiquer entre la terre et la lune.