J'évoquais hier le fait que je travaillais sur deux questions à la fois : voici que ces deux questions se sont reliées de façon inattendue, chacune apportant la solution de l'autre. À savoir :
- l'hypothèse de Riemann est indécidable (dans ZFC et dans des systèmes beaucoup plus forts, devrais-je préciser), et
- il existe un algorithme en temps polynomial pour factoriser les entiers (mais la complexité de cet algorithme n'est pas démontrable dans ZFC).
L'idée-clé de la démonstration du premier fait est d'associer à
chaque zéro de la fonction zêta une démonstration dans un certain
système formel 魚 (un peu compliqué à définir) : si le zéro ne
se trouve pas sur l'axe critique, la démonstration prouvera ⊥
(i.e., une contradiction) dans ce système formel 魚 ; a
contrario, si une contradiction se trouve, alors on peut l'utiliser
pour produire des zéros non situés sur l'axe critique. Donc,
l'hypothèse de Riemann équivaut à la consistance du système formel en
question. Encore faut-il pouvoir en dire quelque chose ! C'est là
qu'intervient le second point : ce système formel peut se voir, en
fait, comme lié un protocole cryptographique 𓆛 (là aussi, les
détails sont un peu compliqués) tel que prouver la sécurité du
protocole 𓆛 revienne exactement à prouver la contradiction du
système formel 魚. Or il est relativement facile de ramener la
sécurité du protocole 𓆛 à la difficulté de la factorisation
des entiers. Reste la dernière pièce du puzzle : ce protocole peut se
voir comme un jeu à deux joueurs et, interprété dans le cadre de la
théorie des
jeux à
la Conway, il définit naturellement un ordinal, qui se décrit
comme
l'écrasement
d'un certain grand cardinal que j'appelle icthy un (c'est
le premier d'une famille infinie), et qui mesure
précisément la
force du système formel 魚. Tout tombe donc
dans ZFC augmenté de l'hypothèse le cardinal icthy un
existe
, et si on croit à cette hypothèse, les résultats ci-dessus
sont démontrés.