David Madore's WebLog: Anneaux tournant les uns dans les autres

Je ne sais pas comment m'est venue l'idée de cet objet — qui a certainement déjà dû être réalisé physiquement — mais je le trouve particulièrement séduisant : il s'agit d'un nombre donné d'anneaux concentriques (en l'occurrence, cinq) pouvant tourner librement les uns dans les autres. Le dessin est probablement plus clair que tous les mots que je pourrais utiliser pour le décrire, mais voici tout de même une spécification plus précise : il s'agit d'anneaux circulaires concentriques, chacun relié à celui immédiatement à l'extérieur de lui par un axe passant par le centre des deux anneaux et autour duquel il tourne librement, et tels que, de plus, dans le plan de chaque anneau, l'axe qui le relie à l'anneau immédiatement extérieur[#] et l'axe qui le relie à l'anneau immédiatement intérieur sont perpendiculaires (s'ils étaient identiques, le problème n'aurait que peu d'intérêt physique !).

L'intérêt de ce dispositif est double : d'abord, c'est très joli à regarder, ensuite, c'est un problème de mécanique tout à fait amusant (et qui conduit à une dynamique chaotique, au moins empiriquement). Et entre les deux, c'est un exercice de programmation que de faire simuler le mouvement à un ordinateur, et c'est à ça que je me suis appliqué aujourd'hui.

Il en est sorti trois petits films que je trouve tout à fait envoûtants à regarder — et que voici : nº1 (on met en mouvement le premier et le quatrième anneaux), nº2 (on met en mouvement le quatrième et le cinquième anneaux) et nº3 (on met en mouvement le deuxième et très légèrement le premier). [Note : il s'agit là de fichiers AVI, d'environ 20Mo chacun[#2], et durant 1′30″, au format DivX;-). Utilisez par exemple VLC pour les lire.] Dès lors qu'on met en mouvement relatif des deux anneaux selon au moins deux directions différentes, des transferts de moment cinétique s'effectuent dans tous les sens, et le mouvement est très complexe (et, je suppose, chaotique à long terme).

Pour la modélisation numérique, j'ai choisi cinq anneaux dont les rayons sont en rapport 8:7:6:5:4, et pour le calcul des moments d'inertie j'ai décrété qu'ils étaient dans un matériau dont la masse linéique est partout constante (y compris sur les bouts d'axe qui relient chaque anneau au suivant, dont j'ai tenu compte). Pour obtenir les équations du mouvement, j'ai utilisé le formalisme lagrangien avec pour variables les cinq angles de liberté du mobile, et j'ai été stupéfait[#3] de voir à quel point un problème d'apparence si simple donnait des équations aussi impressionnantes de complexité (j'espérais voir une quelconque simplification, mais je n'en ai trouvé aucune) ; en fait, déjà le cas de deux anneaux (dont l'extérieur serait infiniment plus massif que l'intérieur, mettons) serait un problème de physique de prépa pas totalement évident. Pour résoudre numériquement ces équations, j'ai utilisé l'algorithme de Runge-Kutta à l'ordre 4, avec cinq pas de calcul par image tracée ; je vérifie que l'énergie cinétique reste constante, ce qui me permet de penser que je ne me suis pas trompé dans les calculs (chose qu'on peut d'ailleurs qualifier de miraculeuse). Si quelqu'un veut voir le source, qu'il ne se prive pas. Le programme est très lent (mais ce n'est évidemment rien par rapport au raytracing qui vient derrière, de toute façon), c'est entre autres parce que je n'ai pas fait le moindre effort pour éviter de recalculer des valeurs déjà calculées.

Je me demande si je devrais en faire un DVD ?

[#] Par ailleurs, on convient que l'anneau le plus extérieur tourne lui aussi autour d'un axe — complètement fixe, cette fois — et lui aussi perpendiculaire à l'axe qui le relie au deuxième anneau. M'imaginant à tort que la présence de cet axe zéro n'avait pas d'importance sur le problème (c'est-à-dire que je pensais que le mouvement serait le même si l'anneau le plus extérieur était complètement libre de tourner dans l'espace : or c'est faux, il y a bien des couples qui s'exercent là aussi), j'ai oublié de figurer cet axe zéro dans mes images (corrigé : voir l'entrée suivante).

[#2] Je devrais peut-être plutôt mettre ce genre de vidéos sur un site du style YourDailyMedia que les héberger moi-même. Si quelqu'un veut les y copier, qu'il n'hésite pas.

[#3] En fait, j'avais déjà réfléchi à ce problème il y a un peu plus d'un an, et je n'avais pas eu le courage d'aller jusqu'au bout des équations. Un de mes amis avait alors écrit un programme à sa façon, mais en utilisant la formulation newtonienne (principe fondamental de la dynamique) plutôt que lagrangienne de la mécanique : je trouve ça moins élégant, mais il est possible que, pour l'implémentation informatique, il ait fait le bon choix. Quoique, au final, une fois écrites, mes équations ne sont pas si terribles.