David Madore's WebLog: Encore des trucs qui tournent

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(mercredi)

Encore des trucs qui tournent

(Si le blabla physique vous ennuie, vous pouvez toujours juste regarder les vidéos ! 😉)

Je n'étais pas complètement content des vidéos signalées dans l'entrée précédente (commencez par lire celle-ci si ce n'est déjà fait…), alors j'en ai refait certaines et produit de nouvelles. Le problème concernait le dernier anneau : dans la description que je fais dans l'entrée précédente, le dernier anneau tourne autour d'un axe fixe (que j'avais oublié de figurer sur les vidéos, mais ceci est corrigé) ; que se passe-t-il si on le laisse totalement libre ? Cette nouvelle animation (de 25Mo durant 2′) montre un exemple ; je l'ai choisi tel que le moment cinétique total soit nul dans toutes les directions (et puisque le système est libre, c'est maintenant bien conservé) : je trouve que ça lui donne encore plus d'élégance (les anneaux se communiquent du moment cinétique les uns aux autres, mais à tout instant le total est nul). Pour cela, j'ai dû faire un nouveau programme, qui est bien plus clair que le précédent. J'espère voir prochainement un programme basé sur OpenGL qui permette de voir le mouvement en temps réel sans avoir à calculer une vidéo (en attendant, il y a celui-ci, basé sur la version précédente).

Comme mon nouveau programme le permettait (quitte à faire des changements assez simples), j'ai aussi produit cette animation-ci (seulement 3.3Mo, encore 2′), qui ne représente plus des anneaux mais un ellipsoïde en rotation libre (équations dites d'Euler-Poinsot pour le mouvement inertiel d'un objet rigide). Il s'agit d'illustrer un phénomène physique assez frappant : la polhodie. Regardez bien le mouvement du patatoïde, et suivez notamment les repères vert et mauve (j'ai mis ces six petits repères de couleur pour qu'on puisse mieux suivre le mouvement d'ensemble) : bien que le moment cinétique et l'énergie cinétique soit conservés, le mouvement est assez complexe et semble se « retourner » périodiquement.

En effet, chaque solide (rigide) a trois axes privilégiés orthogonaux (passant par le centre de gravité) autour duquel il peut tourner : les axes principaux d'inertie. Ce sont les trois directions (liées au solide) telles que, si on met le solide en rotation autour de l'une d'entre elles, il décrit un mouvement de rotation uniforme simple autour de l'axe en question. Dans le cas d'un ellipsoïde ou d'un parallélépipède rectangle, par exemple, les axes seront ce qu'on pense (les axes principaux de l'objet) ; en général, ce sera compliqué à déterminer. En fait, à chacun de ces trois axes est associé un moment d'inertie (qui décrit, donc, le moment de force qu'il faut appliquer pour faire augmenter la vitesse de rotation autour de cet axe) : la rotation autour de l'axe principal de grand ou de petit moment d'inertie est stable, c'est-à-dire que, si on la perturbe un petit peu, le mouvement va juste se fair autour d'un axe instantané qui lui-même se balade un peu (dans le repère du solide) autour de cet axe principal d'inertie. En revanche, la rotation autour de l'axe principal de moment d'inertie intermédiaire est instable, et c'est ce que montre mon animation : si on essaie de faire tourner l'objet autour d'un axe qui diffère un petit peu de l'axe principal intermédiaire, il va commencer par tourner autour de cet axe, puis s'en écarter de plus en plus par un mouvement vaguement en spirale, pour arriver à la direction opposée (dans le repère du solide !) à celle dont on était parti, puis revenir à l'axe de départ, etc. Il y a une très jolie explication géométrique à ça (basée sur l'intersection de l'ellipsoïde d'énergie constante et de la sphère de norme constante dans l'espace des moments angulaires), mais cette entrée de blog est trop courte pour la contenir. En tout cas, c'est un phénomène que je trouve intéressant, parce qu'on a souvent tendance à s'imaginer naïvement qu'un objet rigide, quand on le met en rotation purement inertielle va simplement tourner autour d'un axe fixe : cette vidéo illustre combien c'est faux. Je ne sais pas s'il y a des situations de la vie réelle où on voit ce phénomène se produire de façon vraiment nette.

J'ai aussi expérimenté avec les situations dans lesquelles les axes reliant les anneaux les uns aux autres ne sont pas consécutivement perpendiculaires, mais à 45° à chaque fois : ça donne ceci (21Mo pour 1′30″) pour un cas où l'anneau extérieur tourne librement autour d'un axe fixe (je démarre avec des vitesses angulaires relatives toutes égales), et ceci (19Mo pour encore 1′30″) qui illustre le fait que si on met en rotation un objet qui n'est pas complètement rigide, il risque de se déformer (d'accord, ça n'a rien de bien surprenant).

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