David Madore's WebLog: 2013-10

This WebLog is bilingual, some entries are in English and others are in French. A few of them have a version in either language. Other than that, the French entries are not translations of the English ones or vice versa. Of course, if you understand only English, the English entries ought to be quite understandable without reading the French ones.

Ce WebLog est bilingue, certaines entrées sont en anglais et d'autres sont en français. Quelques-unes ont une version dans chaque langue. À part ça, les entrées en français ne sont pas des traductions de celles en anglais ou vice versa. Bien sûr, si vous ne comprenez que le français, les entrées en français devraient être assez compréhensibles sans lire celles en anglais.

Note that the first entry comes last! / Notez que la première entrée vient en dernier !

Index of all entries / Index de toutes les entréesXML (RSS 1.0) • Recent comments / Commentaires récents

Entries published in October 2013 / Entrées publiées en octobre 2013:

(mercredi)

C'est compliqué d'enseigner Fourier

Je donne à Télécom ParisChose un cours d'Analyse (cela me demande d'ailleurs beaucoup de travail parce que je ne suis pas du tout analyste) dont un des points centraux est la théorie de Fourier. J'avais l'an dernier fait un petit catalogue de quelques énoncés sur la théorie des séries de Fourier (dépassant largement le niveau du cours que j'enseigne, mais nécessaire pour me clarifier les idées). Mais il faudrait que je parle un peu aussi de la transformée de Fourier, pour expliquer à quel point c'est subtil à définir.

Si f est L¹ (=intégrable au sens de Lebesgue) sur ℝ, on définit sa transformée de Fourier ℱf par

f ( ξ ) = + f(x) e 2i πξx dx

(pour ceux qui ont un de ces vieux navigateurs qui ne comprennent pas le MathML, il s'agit de l'intégrale de f(x)·exp(−2iπξx) pour x allant de −∞ à +∞, vue comme fonction de la variable ξ). Cette fonction ℱf est continue (de ξ), de limite nulle à l'infini.

Si f est L² (=de carré intégrable) mais pas forcément L¹, la formule ci-dessus n'a pas de sens en général ; on peut cependant définir une transformée de Fourier sur L² : par exemple, on utilise la formule ci-dessus pour définir la transformée de Fourier sur L²∩L¹ (ou sur un espace plus petit, comme l'espace de Schwartz), dense dans L², on démontre que l'opération « transformée de Fourier » est une isométrie au sens L², et on la prolonge par continuité. C'est déjà quelque chose d'assez subtil pédagogiquement.

L'autre subtilité pédagogique, c'est que nos élèves sortent (généralement) de prépa et que si on leur y a défini une intégrale de −∞ à +∞, c'est comme limite des intégrales à bornes finies quand ces bornes tendent vers −∞ et +∞ ; alors que l'intégrale dont il est question ci-dessus est l'intégrale de Lebesgue, définie de façon holiste sur ℝ, et il se trouve que si elle existe, elle est effectivement égale à la limite des intégrales à bornes finies (par le théorème de convergence dominée), mais la réciproque n'est pas vraie.

Les choses deviennent catastrophiques parce que ces deux subtilités se combinent de façon encore plus subtile : si on considère la fonction fM = f×1[−M;+M] égale à f sur l'intervalle [−M;+M] et à 0 ailleurs, alors fM converge vers f au sens L² quand M→+∞, donc les transformées de Fourier des fM convergent vers celle de f au sens L² ; or fM est L¹ et sa transformée de Fourier est donc donnée par l'intégrale de −M à +M de de f(x)·exp(−2iπξx). On a donc (pour tout f∈L²) :

M +M f(x) e 2i πξx dx M+ f ( ξ )

mais il s'agit d'une convergence au sens L² (d'une fonction de ξ vers une autre fonction de ξ), qui ne dit rien sur ce qui se passe pour un ξ ou un autre. Et là où ça devient subtilissimement subtilissime, c'est que en fait, si, il y a bien convergence pour presque tout ξ, mais cette convergence p.p. est un théorème très difficile (le théorème de Carleson).

En revanche, je suis assez convaincu, même si je n'ai pas de contre-exemple, qu'il est parfaitement possible qu'une fonction f localement intégrable ait une transformée de Fourier au sens des distributions g elle aussi localement intégrable, c'est-à-dire qu'on ait ∫(f·ψ)=∫(g·φ) pour toute fonction φ de l'espace de Schwartz ayant transformée de Fourier ψ (automatiquement elle-même dans l'espace de Schwartz), et pourtant que la limite écrite ci-dessus n'existe pour aucun ξ. Je me demande bien, d'ailleurs, s'il est possible que la limite existe pour tout ξ mais ne soit jamais égale à g(ξ) ; mais je n'ai pas du tout le temps d'y réfléchir.

Comment faire pour enseigner quelque chose qui soit rigoureux et qui ne noie pas pour autant les élèves sous la subtilité ?

(mardi)

Une montre programmable : la TI eZ430-Chronos

La eZ430-Chronos (dont il existe plusieurs sous-modèles, en l'occurrence il s'agit de celle qui communique à 433MHz) est une montre fabriquée par Texas Instruments, probablement pour servir de vitrine à une de leurs puces (le CC430, un microcontrôleur intégré avec un contrôleur radio).

Ce qui la rend intéressante pour les geeks, c'est que cette montre est programmable, au sens où elle est fournie avec une interface JTAG facilement accessible et un petit dongle USB permettant très facilement d'en réécrire le firmware, ainsi que les sources du firmware de démonstration ; comme on a aussi accès aux spécifications détaillées du microcontrôleur utilisé, et à des instructions assez précises qui incluent notamment le diagramme complet de la montre, on peut dire qu'il s'agit d'un matériel très ouvert.

En outre, la montre contient des accéléromètres, un capteur de temérature et de pression atmosphérique / altimètre, et, comme je l'ai déjà dit, un émetteur/récepteur radio à 433MHz (il y a aussi des modèles à d'autres fréquences ; le 433MHz n'a pas forcément la meilleure portée, mais il est utilisable dans le monde entier), et le kit vendu par TI contient un contrôleur USB (lui-même très ouvert) permettant de communiquer avec la montre. On peut donc imaginer toutes sortes d'applications amusantes, et comme le tout ne coûte que USD 58 (livraison comprise), je me suis dit que ce serait bête de ne pas en acheter une pour voir.

Je l'ai reçue tout récemment et je suis trop occupé en ce moment pour avoir le temps de jouer beaucoup avec pour l'instant. J'ai juste eu l'occasion de vérifier que j'arrivais bien à compiler un nouveau firmware (un OpenChronos, que j'ai compilé avec un mspgcc version 20120406) et à l'installer sur la montre, et que je pouvais communiquer avec elle pour écrire l'heure dessus depuis l'ordinateur. (Par contre, l'altimètre a cessé de fonctionner, et je n'ai pas eu le temps de chercher à comprendre la raison.) Je ne peux donc pas dire grand-chose pour l'instant à part que c'est potentiellement intéressant.

Il faut remarquer, cependant, que l'écran LCD est un peu limité (essentiellement 4+5 blocs standard de 7 traits arrangés en chiffre 8, plus encore deux traits formant un chiffre 1, plus quelques icônes fixes : c'est à peu près impossible d'afficher des lettres, par exemple). Et que le firmware doit tenir dans 32ko, ce qui n'est pas énorme surtout si on garde la possibilité de communiquer par radio.

En tout cas, c'est amusant de regarder à quoi peuvent ressembler les sources d'une montre. C'est assez pédestre, en fait ; par exemple :

void clock_tick(void)
{
	// Use sTime.drawFlag to minimize display updates
	// sTime.drawFlag = 1: second
	// sTime.drawFlag = 2: minute, second
	// sTime.drawFlag = 3: hour, minute
	sTime.drawFlag = 1;

	// Increase global system time
	sTime.system_time++;

	// Add 1 second
	sTime.second++;

	// Add 1 minute
	if (sTime.second == 60)
	{
		sTime.second = 0;
		sTime.minute++;
		sTime.drawFlag++;

		// Add 1 hour
		if (sTime.minute == 60)
		{
			sTime.minute = 0;
			sTime.hour++;
			sTime.drawFlag++;

			// Add 1 day
			if (sTime.hour == 24)
			{
				sTime.hour = 0;
				add_day();
			}
		}
	}
}

Il y a peut-être moyen de tirer de ce truc un projet intéressant à proposer à nos étudiants à Télécom MachinBiduleTech, même si je ne sais pas si je me sens vraiment le courage d'encadrer ça.

(Monday)

Gratuitous Literary Fragment #147 (referee report)

To whom it may concern:

This is a referee report on the thesis titled The Character Table of the Weyl Group of E8: Applications to the Arcane Arts, a dissertation submitted by M. Parry Hotter in partial fulfillment of the degree of Magiæ Doctor at the University of Hogsbridge.

Context: To put this study in its proper historical perspective, which M. Hotter himself does at length in the first chapter of the thesis under review, would require more space than can be afforded here. As the author aptly recalls, the E8 perspective on the arcane arts can be traced back to the unification, proposed by Leibniz in 1710, of six of the seven classical schools of magic (Earth, Water, Air, Fire, Macrocosm, Life and Spirit, arranged linearly by Paracelsus) with six of the seven oriental phases (Earth, Water, Wind, Fire, Heaven, Change and Unchange, with Change and Unchange branching from Heaven), by equating Heaven with Macrocosm and Change with Life (and renaming Unchange as Time). The asymetrical nature of the resulting diagram — which we now know as the Dynkin diagram of E8 — prompted a number of attempts to identify at least one more house — attempts that we presently understand to be misguided.

But it is in the year 1918, which saw the publication of Hermann Weyl's now classic Earth, Water, Air, Fire, Space, Time, Life and Spirit, that the 240 directions of the mysticohedron were put upon a firm theoretical footing. This represents a considerable paradigm shift, whose practical consequences were slow to come to fruition (starting with the startling realization of where the level grades, 1, 248, 3 875, 27 000, 30 380, 147 250, 779 247… appear). And as examined in more detail in Aldus Bumblebore's The Eight Elements (or: What's so Special about the Number 696 729 600?), it was only considerably recently that any attention was given to the profond interconnection between the largest exceptional Weyl group and the transmutations of magic.

As explained in the abstract, M. Hotter's work consists of two main parts. The first explores applications of the « pure » character theory of W(E8) beyond the mere, and previously known, identification of the 112 representations (lines of the character table) and conjugacy classes (columns) with the arcane circles and astral configurations. The second, and much deeper, part of this thesis, develops an invariant theory for E8 that is analogous to the classical Schur-Weyl duality between representations of the linear group and those of the symmetric group, and then applies this duality to obtain esoterica. Eight specific and illustrative examples are given in an appendix. We now review each of the chapters in greater detail.


Some commentary: (Generally I don't discuss the references in my texts but I've made exceptions before.)

I've often said that E8 (and the cohort of related objects) is so deeply fascinating and profoundly beautiful (see here and there) that if the Universe has any sense of æsthetics, it really should involve E8 in some way (some people have indeed tried to find it, but with dubious success: it is possible that the Universe we live in does not have the same notion of æsthetics as mathematicians). At any rate, in a world in which magic is real and wizards who (after their elementary and high school years spent doing more applied work like fighting supervillain wizards) go to university and write doctoral theses in pure and theoretical magic, I cannot conceive the mathematical foundations of magic to be anything but E8 (OK, maybe I'll take the largest Mathieu group as an acceptable substitute). Of course, in my vision of magic, the head magician does not look so much like this as like that (seriously, if anyone is a real world magician, it's John Conway). Anyway.

So if magic is to be built on E8, then the system at the root of all arcana is represented by the following diagram:

—and there should definitely be some labels attached here. (They would actually be of some use to real world mathematicians because nobody can agree on how to number the vertices of this diagram. Unfortunately, Conway, the great inventor of witty names, did not do his job here.) So I propose to name the seven on the bottom line, from left to right: Spirit, Life, Macrocosm, Fire, Air, Water and Earth, and the top one, Time. There isn't much rationale to my suggestion that the Europeans and Chinese(?) should have discovered the A7 (i.e., all but the top node) and D7 (i.e., all but the leftmode node) subdiagrams of the above, but it is true that Leibniz was fascinated by the Yi Jing and popularized it in Europe. (It seemed right to make Leibniz play a role here when I had had fun with Newton in a previous fragment.)

More importantly, Hermann Weyl, something of a magician himself, to whom we owe much of the theory of representations of compact Lie groups (and in particular the formula which allows to compute the sequence I mention), wrote a book called Space, Time, Matter, one of the first expositions of Einstein's theory of general relativity (and indeed one of the books — found in my father's library — through which I myself learned the subject): in an alternate universe, it would certainly have been a book on magic.

Incidentally, I wish someone would tell me how one can construct some kind of analogue of Schur-Weyl duality for the exceptional groups (or in any way relate the representations of E8 to those of W(E8)).

Continue to older entries. / Continuer à lire les entrées plus anciennes.


Entries by month / Entrées par mois:

2017 Jan 2017 Feb 2017
2016 Jan 2016 Feb 2016 Mar 2016 Apr 2016 May 2016 Jun 2016 Jul 2016 Aug 2016 Sep 2016 Oct 2016 Nov 2016 Dec 2016
2015 Jan 2015 Feb 2015 Mar 2015 Apr 2015 May 2015 Jun 2015 Jul 2015 Aug 2015 Sep 2015 Oct 2015 Nov 2015 Dec 2015
2014 Jan 2014 Feb 2014 Mar 2014 Apr 2014 May 2014 Jun 2014 Jul 2014 Aug 2014 Sep 2014 Oct 2014 Nov 2014 Dec 2014
2013 Jan 2013 Feb 2013 Mar 2013 Apr 2013 May 2013 Jun 2013 Jul 2013 Aug 2013 Sep 2013 Oct 2013 Nov 2013 Dec 2013
2012 Jan 2012 Feb 2012 Mar 2012 Apr 2012 May 2012 Jun 2012 Jul 2012 Aug 2012 Sep 2012 Oct 2012 Nov 2012 Dec 2012
2011 Jan 2011 Feb 2011 Mar 2011 Apr 2011 May 2011 Jun 2011 Jul 2011 Aug 2011 Sep 2011 Oct 2011 Nov 2011 Dec 2011
2010 Jan 2010 Feb 2010 Mar 2010 Apr 2010 May 2010 Jun 2010 Jul 2010 Aug 2010 Sep 2010 Oct 2010 Nov 2010 Dec 2010
2009 Jan 2009 Feb 2009 Mar 2009 Apr 2009 May 2009 Jun 2009 Jul 2009 Aug 2009 Sep 2009 Oct 2009 Nov 2009 Dec 2009
2008 Jan 2008 Feb 2008 Mar 2008 Apr 2008 May 2008 Jun 2008 Jul 2008 Aug 2008 Sep 2008 Oct 2008 Nov 2008 Dec 2008
2007 Jan 2007 Feb 2007 Mar 2007 Apr 2007 May 2007 Jun 2007 Jul 2007 Aug 2007 Sep 2007 Oct 2007 Nov 2007 Dec 2007
2006 Jan 2006 Feb 2006 Mar 2006 Apr 2006 May 2006 Jun 2006 Jul 2006 Aug 2006 Sep 2006 Oct 2006 Nov 2006 Dec 2006
2005 Jan 2005 Feb 2005 Mar 2005 Apr 2005 May 2005 Jun 2005 Jul 2005 Aug 2005 Sep 2005 Oct 2005 Nov 2005 Dec 2005
2004 Jan 2004 Feb 2004 Mar 2004 Apr 2004 May 2004 Jun 2004 Jul 2004 Aug 2004 Sep 2004 Oct 2004 Nov 2004 Dec 2004
2003 May 2003 Jun 2003 Jul 2003 Aug 2003 Sep 2003 Oct 2003 Nov 2003 Dec 2003