David Madore's WebLog: 2018-06

This WebLog is bilingual, some entries are in English and others are in French. A few of them have a version in either language. Other than that, the French entries are not translations of the English ones or vice versa. Of course, if you understand only English, the English entries ought to be quite understandable without reading the French ones.

Ce WebLog est bilingue, certaines entrées sont en anglais et d'autres sont en français. Quelques-unes ont une version dans chaque langue. À part ça, les entrées en français ne sont pas des traductions de celles en anglais ou vice versa. Bien sûr, si vous ne comprenez que le français, les entrées en français devraient être assez compréhensibles sans lire celles en anglais.

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Entries published in June 2018 / Entrées publiées en juin 2018:

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(samedi)

Nouvelles balades à Chantilly et Provins, et histoires de voitures

Après Vaux-le-Vicomte, Champs-sur-Marne et Villarceaux, les aventures horticopalatines(?) de Ruxor et du poussinet à la recherche des « jardins remarquables » nous ont menés le week-end dernier à Chantilly (en consentant exceptionnellement à quitter notre pays d'Île-de-France). Le château est joli à voir de l'extérieur, très peu notable de l'intérieur, mais le parc est effectivement remarquable : il y a des parterres organisés par Le Nôtre pour un jardin à la française, certes moins magnifique que celui de Versailles et moins bien conservé que celui de Vaux, et dont les jeux d'eau restants sont peu impressionnants, mais qui demeure néanmoins un beau morceau ; mais ce qui fait surtout l'intérêt de ce parc de Chantilly est une certaine diversité, puisque ce jardin à la française du XVIIe se fond, côté ouest, [L'Île d'Amour du parc de Chantilly]en un jardin à l'anglaise du XIXe, et côté est, en un « petit parc » boisé très agréable et un « jardin anglo-chinois » (sic, mais le caractère chinois n'est vraiment pas évident) du XVIIIe avec un hameau potemkine qui a apparemment inspiré celui de Marie-Antoinette à Versailles. Le petit parc contient aussi, un peu caché, un jeu de l'oie grandeur nature, que nous n'avons malheureusement pas eu le temps d'explorer complètement parce que si on veut suivre la spirale complètement, même sans jouer suivant les règles, c'est vraiment long.

Ma visite des jardins a malheureusement été en partie gâchée par l'intervention d'un prédateur aérien des humains, sans doute de l'espèce Culex pipiens, en tout cas d'une famille de bestioles qui m'aiment notoirement beaucoup.

Mon poussinet nous avait pris une chambre pour la nuit à l'Auberge du Jeu de paume, labelisé Relais & Châteaux, ce qui n'était sans doute pas une bonne idée parce qu'il est dangereux de prendre goût au luxe.

Mais ce que je regrette surtout à Chantilly est que nous avons réussi à rater le Potager des Princes, un jardin juste à côté du parc du château, lui aussi étiqueté « jardin remarquable », mais auquel nous n'avions pas fait attention parce qu'il est séparé du domaine lui-même même s'il en faisait historiquement partie : les gens qui ont fait le plan du parc affiché partout sont quand même assez salauds de ne pas du tout le faire figurer, même pas avec une légende « autre endroit remarquable » ou quelque chose de ce goût.

Hier soir nous avons passé la nuit à Provins[#] (à la Demeure des Vieux Bains, beaucoup plus familiale que l'Auberge du Jeu de paume à Chantilly, mais également très confortable). La ville historique ressemble beaucoup à un parc d'animations thème médiéval, ce qui ne me branche pas plus que ça ; elle a comme thème secondaire la rose, ce qui ne me branche pas non plus tant que ça, mais du coup, il y a [Roses Velasquez dans la roseraie de Provins]une roseraie qui, même si on n'est pas passionné par les roses, est un jardin (étiqueté « remarquable », donc) incroyablement manucuré et qui justifie à lui seul qu'on aille visiter Provins, surtout qu'il y a aussi là un salon de thé merveilleusement relaxant. Enfin, tout ça aurait été merveilleusement relaxant s'il n'y avait pas une fois de plus un salaud de culcidé qui voulait profiter du sang de Ruxor comme le Ruxor voulait profiter de son thé à la rose.

Sinon, même si les vieilles pierres moyenâgeuses ne me branchent pas tant que ça, elles ont un intérêt, c'est que les gens à cette époque aimaient bien construire des villes à des endroits d'où on voit loin, et la vue depuis la tour César[#1b] sur la c(h)ampagne alentours n'est pas mal du tout, ainsi que depuis les remparts, d'où nous avons observé un magnifique coucher de soleil hier soir. Dans la foulée, nous nous sommes dits que nous allions aussi regarder les planètes. En fait, l'idée était surtout de voir Mercure, parce que je n'ai jamais réussi à voir Mercure. Grâce aux excellentes applications Sky Map et PlanetDroid, nous savions en principe où était chaque planète (alignement par rapport aux autres astres, élévation en degrés au-dessus de l'horizon, azimut par rapport aux points cardinaux ou par rapport au point de coucher du soleil, magnitude apparente, bref, tout ce qu'on pouvait vouloir savoir), mais malgré ça, nous n'avons réussi à localiser que Vénus (qui se couchait plus tard que le Soleil) et Jupiter (culminant au moment où le Soleil se couchait), et même ça n'a pas été facile ; Mercure, qui était à peu près pile mi-chemin entre Vénus et le Soleil, ainsi que Saturne, en train de se lever, ont résisté à nos tentatives pour les trouver, sans que nous parvinssions à savoir si c'était parce qu'elles se cachaient derrière les nuages ou parce qu'il ne faisait pas encore assez noir pour que la magnitude 0 devienne discernable, surtout avec mes yeux de myope — ou simplement parce que nous étions nuls.

[#] Provins qui, administrativement, est en Île-de-France, même si historiquement elle faisait partie de la Champagne, jusqu'à ce que cette dernière intègre (en partie ?) le domaine royal par la dot apportée par Jeanne de Navarre (et de Champagne) lors de son mariage en 1284 au futur Philippe IV le Bel. Mais j'entends des histoires contradictoires sur le fait que l'actuelle limite entre l'Île-de-France et la Champagne ait un rapport avec cette histoire ancienne ou soit simplement le fruit de hasards administratifs bien plus tardifs. (Y a-t-il eu une différence entre le sort de Provins et celui de Troyes lors de ce mariage ?)

[#1b] (Ajout) Soit dit en passant, la tour en question a un escalier à vis orienté selon la main droite, ce qui met en doute l'idée que les escaliers des ouvrages défensifs étaient toujours orientés selon la main gauche.

Sinon, ces différentes excursions me donnent l'occasion de continuer d'apprendre à conduire[#2], et d'apprendre toutes sortes de choses que je n'ai pas apprises à l'auto-école soit parce que ce n'était pas le lieu soit parce qu'il n'y avait pas vraiment le temps. Par exemple, comment sortir la tuture du poussinet du garage de notre immeuble, ce qui est assez technique (parce que la tuture est large et que la montée est biscornue). [Courbe bouchons en Île-de-France observé par Sytadin.fr]Ou comment profiter d'un match de la coupe du monde de foot où la France joue, parce que les routes deviennent soudainement beaucoup plus vides, ce qui nous a permis de revenir de Provins dans de bonnes conditions (cf. la forme complètement hallucinante à partir de de la courbe noire ci-contre, piquée au site Web Sytadin, comparée aux niveaux « habituels » en couleur : il s'agit du nombre de kilomètres de bouchons en Île-de-France).

[#2] Et d'éprouver la patience du poussinet, qui craint pour sa tuture et se retrouve parfois à me disputer comme le faisait mon moniteur (qui devait craindre aussi pour sa voiture…). Le poussinet, pourtant, me disait que je n'aurais pas dû accepter de me faire tellement disputer à l'auto-école, et que j'aurais dû changer de moniteur.

[Image enregistrée par la dashcam arrière 2018-06-29T15:41:48+02:00]

[Image enregistrée par la dashcam arrière 2018-06-29T15:55:04+02:00]

[Image enregistrée par la dashcam avant 2018-06-29T15:55:12+02:00]

Plus sérieusement, je n'avais essentiellement pas eu l'occasion en leçon de conduite de pratiquer les routes départementales deux voies qui sont limitées à 90km/h jusqu'à ce soir et 80km/h à partir de demain — mais de toute façon 80km/h pour moi en tant que conducteur novice. Comme je respecte les limitations de vitesse, j'y fais du (80±ε)km/h (au tachymètre, donc plutôt −ε en réalité), ce qui, évidemment, énerve les autres usagers. Comme ce sagouin de conducteur de poids-lourd slovaque immatriculé SA·142DC et SA·338YF (vu la manière dont il s'est comporté, je ne vais pas me priver d'aider Google à indicer sa plaque d'immatriculation) qui m'a collé au cul sur un bout de la D231 parce qu'il trouvait qu'à (80−ε)km/h j'allais vraiment trop lentement, fulminait de ne pas trouver d'occasion de me dépasser, et n'a pas manqué de me le faire bien sentir. Comme il se trouve que le poussinet a une dashcam et que je suis maniaque de la précision, je me fais un plaisir de mettre en ligne ses photos (horodatées et géolocalisées par la dashcam) : en train de me faire un appel de phare alors que je roule à 79km/h, puis réussissant enfin à me doubler, en klaxonnant rageusement (ça ça ne se voit pas sur les images, évidemment), 13′20″ plus tard et 16.4km plus loin (je roule plus lentement sur la dernière photo, mais c'est exprès pour l'aider à me doubler ; et oui, 16.4km en 13′20″ ça fait seulement 73.8km/h de moyenne, mais il y avait des sections limitées à 70 et à 50 et des sens giratoires). En admettant qu'il aurait conduit à 90km/h tout du long, je lui ai fait perdre la durée absolument affolante de 2′24″. Bon, mais sérieusement, est-ce que j'aurais dû trouver moyen de lui permettre le dépassement ? (J'avais envisagé de faire quelques tours inutiles d'un giratoire pour m'en débarrasser, mon poussinet m'a conseillé de continuer en ignorant le camion.)

Peut-être que le Slovaque en question ignorait que la plaque A à l'arrière de ma voiture signifiait que je ne devais pas dépasser 80. Ou peut-être qu'il le savait mais s'en foutait (de toute façon, quand on conduit dans un pays étranger, on doit bien se dire qu'il est possible qu'il y ait des règles qui nous échappent). Ou peut-être qu'il aurait été tout aussi furieux si j'avais fait du 90, en fait.

Tant que j'y suis à parler de voiture et de vitesses : la boîte de vitesse de la Renault Captur sur laquelle j'ai pris mes leçons de conduite était échelonnée de manière qu'on utilise la 1re vitesse typiquement de 0 à 20km/h, la 2e de 20 à 40, la 3e de 40 à 60, la 4e de 60 à 80, et la 5e à partir de 80. D'une part c'est assez commode à retenir, d'autre part cela va bien avec les limitations de vitesse françaises qui sont très souvent congrues à 10 modulo 20 (en km/h), c'est-à-dire surtout 30, 50, 70, 90 (et 110 et 130, mais ça c'est hors grille). Mon moniteur m'avait expliqué que c'était fait exprès, et que l'idée était donc de simplifier la réflexion : quand c'est limité à 30 on roule en 2e, à 50 en 3e, et à 70 en 4e. Mais le joujou polluant du poussinet, il a une boîte de vitesses échelonnée très différemment : Tuture a 6 vitesses, mais ce n'est pas une simple extension du même schéma, les vitesses pallier sont plus basses, on peut sans problème rouler à 50 en 4e, par exemple, sans être en sous-régime, et la première a un rapport extrêmement faible. Mais du coup ça complique des choses pour moi : on m'a appris à faire une reprise [en] première dans toutes sortes de circonstances, par exemple à chaque fois qu'on arrive par la branche non prolongée à une intersection en T — or sur la tuture du poussinet, une reprise première est très difficile à faire ; mon poussinet propose plutôt de rester en deuxième, quitte à débrayer un peu, mais il y a un risque plus fort de caler si on ralentit trop. De même, pour les sens giratoires, on m'a appris à les passer toujours en deuxième, mais sur la tuture du poussinet, on est facilement en surrégime de la sorte. Je ne sais pas si c'est parce que Tuture est vieille et que les rapports ont été restandardisés(?) plus tard, ou si c'est juste des différences aléatoires entre modèles.

Ah, et tant que j'y suis, je signale une astuce complètement idiote qu'on ne m'a pas donnée à l'auto-école et j'ai vraiment honte du temps incroyable qu'il m'a fallu pour y penser alors qu'elle est complètement évidente :

Un des problèmes que je rencontrais souvent était celui du bon centrage de la voiture. Mon moniteur m'avertissait souvent de surveiller mon placement, me disait que j'étais trop à gauche ou trop à droite. Il m'avait bien donné une demi-astuce : repérer mon placement à la zone sombre laissée sur la chaussée entre les roues des nombreuses voitures et qui finit par définir une zone médiane correcte. Mais comme le conducteur est à gauche du milieu de la voiture, ce n'est pas évident de savoir si on est bien centré sur la zone sombre en question. (Il me disait régulièrement : n'oublie pas que tu dois centrer ta voiture sur la zone sombre : pas toi mais la voiture ; certes, mais comment est-ce que je repère que la voiture est bien centrée ?) Parce qu'il manquait la deuxième moitié de cette astuce, complètement évidente, donc, mais à laquelle je n'ai pensé qu'après avoir passé le permis. Il s'agit une fois pour toutes, à l'arrêt, de s'installer au poste de conduite comme on le fait normalement, et de regarder une ligne tracée sur la chaussée (au niveau du sol), le long de l'axe médian de la voiture (on peut tracer cette ligne à la craie, ou demander à quelqu'un de la figurer avec son bras) : de là où on est assis, on repère le point où cette ligne intersecte la base du pare-brise et/ou l'avant du capot (dans la tuture du poussinet, pour la manière dont je m'assieds, ça tombe sur un angle des essuie-glace, donc c'est facile à repérer, mais bien sûr il n'est pas nécessaire d'être ultra-précis) ; cela définit la ligne de visée vers l'axe médian de la voiture, et quand on veut centrer la voiture, on s'arrange pour faire coller ce point sur l'axe où on veut la centrer (par exemple, le milieu de la zone sombre de la chaussée). Certes, il faut penser à faire cette visée quand on change de véhicule, et chaque conducteur doit la faire pour sa façon de s'asseoir, et c'est un peu moins pratique quand les essuie-glace sont en marche, mais globalement, je n'ai plus de problème de centrage depuis que j'ai repéré et visualisé ce « point de centrage » au lieu de l'estimer pifométriquement en me disant je suis un peu à gauche, donc ça doit être par là.

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(mercredi)

Petite animation (merdique) d'ondes sur un tore plat

En lien avec l'entrée précédente (que personne n'a lue mais c'est normal), j'ai produit ce petit gadget JavaScript qui (s'il n'est pas complètement cassé) représente une animation de l'équation des ondes sur un tore plat, en l'occurrence le tore plat E/L quotient du plan euclidien E=ℝ² par un réseau L triangulaire équilatéral (i.e., la fonction est périodique par L), à partir d'une condition initiale gaussienne assez piquée (censée donnée une idée d'approximation d'une distribution δ). Si on préfère, cela revient à faire l'équation des ondes dans le plan à partir d'une condition initiale qui est la somme d'une gaussienne centrée sur chaque point de L. Concrètement, il s'agit juste de calculer (la fonction du temps t et du point xE/L) :

αL* cα exp 2 i π αx cos 2 π α t cα = exp α2 / U2

— soit, en plus moche pour les navigateurs cassés qui ne gèrent pas le MathML —

αL* cα·exp(2iπ(α·x))·cos(2π|αt) cα = exp(−|α|²/U²)

U est un paramètre d'étroitesse de la condition initiale, et, histoire de faire le lien avec les notations de l'entrée précédente, Λ(α)=|α|² et m(α)=1 pour le paramétrage par tous les éléments αL*. Ce que fait mon programme est uniquement de calculer cette somme (pour les α pas trop loin de l'origine dans L* ; pour alléger les calculs, il précalcule les fonctions de α et x et se contente ensuite de les sommer).

Commentaire mathématique : Si la dimension d'espace était impaire, l'évolution de l'équation des ondes à partir d'un δ initial se ferait uniquement sur des fronts sphériques centrés sur les points du réseau (imaginez que vous superposez une sphère centrée en chaque point de L, dont le rayon croit linéairement avec le temps, et dont l'amplitude décroît proportionnellement à la surface de façon que la quantité totale reste constante), et l'évolution à partir d'une gaussienne donne la même chose avec des sphères un peu épaissies ; en dimension paire, ce qui est le cas ici, ce « principe de Huygens » ne vaut pas, la fonction de Green de l'équation des ondes n'est pas concentrée sur une sphère[#], il y a une « queue » (négative par rapport au front d'onde, et qui apparaît en bleu sur mon animation). • Par ailleurs, même si le réseau L* ici est le réseau des poids de SU₃ et même si on a symétrie par le groupe de Weyl, il ne s'agit pas de l'équation des ondes sur SU₃ (pour ça il faudrait corriger Λ(α) et m(α)), c'est en gros ce qu'essaie d'expliquer l'interminable entrée qui précède.

[#] Ceci dit, ça doit être aussi assez joli comme dessin, une superposition de cercles de rayon croissant linéairement avec le temps et centrés sur chacun des points d'un réseau L triangulaire équilatéral.

Bon, tout ça fait des images pas trop moches, je dois l'avouer, et l'aspect « kaléidoscopique » apparaît assez clairement. Je pourrais mettre une animation de ce genre sur YouTube.

Ajout () : Voici les vidéos YouTube : pour un réseau triangulaire équilatéral et pour un réseau carré (j'ai eu la folie, dans les deux cas, de calculer ça en 1920×1080, 25fps, pour une vidéo de 3′=180s ; ça m'a pris deux fois 40 minutes de calcul, mais il faut reconnaître que le résultat n'est pas mal).

Ajout 2 : Je recopie le lien fourni dans le commentaire de Benoit qui a écrit une version bien plus efficace de mon animation en utilisant WebGL.

Mais le calcul en direct est péniblement lent. Je pensais que sur un ordinateur moderne je n'aurais même pas besoin d'optimiser et je pouvais calculer la somme de quelques centaines de cosinus par pixel d'une image de taille raisonnable à une vitesse d'animation qui dépasse la perception de l'œil humain, mais apparemment calculer des centaines de millions de cosinus par seconde ça ne se fait pas sur un simple ordinateur de bureau, en tout cas pas en JavaScript.

Comme je déteste optimiser par-dessus tout, et que JavaScript commence à me sortir par les oreilles, je ne touche plus à ce code. Si quelqu'un veut l'améliorer (rendre le truc interactif en ajoutant un bouton pause ou quelque chose comme ça, permettre de bouger, zoomer, ou ce que vous voudrez, ou encore changer le réseau — il y a juste quelques lignes à commenter/décommenter pour faire un réseau carré), envoyez-moi des patchs, mon code est lisible et commenté, mais je ne veux pas de suggestions non codées. Parce que, là, pour le moment, les incantations propitiatoires du JavaScript servant à conjurer des petites crottes de ragondin, elles me gonflent prodigieusement.

Si vous voulez savoir ce que ça donne comme son, voici la conversion directe en onde sonore de la valeur mesurée au point central (l'origine de E/L, celle où est centrée la gaussienne initiale, i.e., mettre x=0 dans les formules ci-dessus), avec exactement les paramètres de l'animation, juste accélérée d'un facteur 8800 par rapport à l'animation affichée par le JavaScript. Mais ça donne juste un bruit strident atroce (moralité, une jolie image ne correspond pas forcément à un joli son, et si je veux transformer des spectres en sons un peu harmonieux, une dissipation dans le temps, dépendant de la fréquence, est indispensable).

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(lundi)

Où je commence par penser tout haut toujours à propos de spectres, et finis par ranter de façon interminable sur les caractères des groupes de Lie

Avant-propos : Cette entrée est une sorte de brain-dump, qui finit assez différemment de ce qu'elle commence. J'étais parti sur l'idée, sans avoir forcément pour but d'être compréhensible (en tout cas pas complètement, en tout cas pas par tout le monde), de jeter des réflexions surtout pour moi-même (comme une sorte de sauvegarde de mon état mental) sur des questions autour du spectre du laplacien. Sachant que je n'avais pas les idées complètement claires sur certaines des choses qui suivent, donc je ne peux pas expliquer tout ça parfaitement, encore moins le vulgariser au niveau où j'aimerais idéalement le faire : le but était plutôt de retrouver mes idées éventuellement plus tard, quitte à produire quelque chose d'un peu abscons et pas forcément bien correct mathématiquement ; et je me disais que ça ne ferait pas de mal de les mettre en ligne. Mais en pondant tout ça, je me suis laissé emporter par mon sujet, et la section sur les groupes de Lie compacts a pris une place démesurée, et s'est écartée du point de vue initial (finalement, pour ce que je raconte sur les groupes de Lie, on n'a pas vraiment besoin de savoir ce qu'est un laplacien ni de prononcer son nom, et d'ailleurs comme je prends l'exemple du groupe des rotations, on n'a pas vraiment non plus besoin de savoir ce qu'est un groupe de Lie compact) ; et j'en ai écrit des pages sur l'analyse de Fourier sur un groupe de Lie compact. Chose que je comprends quand même nettement mieux que le problème du spectre du laplacien en général, mais ça ne veut pas forcément dire que je l'explique mieux. Et finalement, je ne sais plus bien de quoi parle cette entrée, il y a plusieurs sujets assez indépendants, et le niveau auquel je place mes explications varie d'un endroit à l'autre. Bref, je ne sais pas ce que tout ça vaut, mais maintenant que c'est écrit, ce serait quand même idiot de ne pas le mettre en ligne. C'est dommage que, comme j'ai fait une énorme moussaka, tout le monde va être rebuté, mais tant pis, je n'ai plus le courage d'essayer de démêler les ingrédients de la moussaka.

Je commence en reprenant la ligne de pensées commencée dans l'entrée précédente (et inspirée par un roman de Connes, Chéreau et Dixmier, donc) : je cherche à produire des sons mathématiques intéressants (et pas déplaisants) à écouter, et une des façons d'y arriver semble être de considérer un spectre, notamment le spectre du laplacien (et donc en pratique, de l'équation des ondes) sur une variété riemannienne (compacte, parce que je ne suis pas analyste ni géomètre, moi, je ne sais pas gérer le cas non-compact[#]) ; plusieurs questions soulevées incidemment : quels objets choisir pour lesquels on sait calculer explicitement le spectre du laplacien (et qu'est-ce que ça signifie au juste) ?, quelles données sont associées au spectre en question ?, comment précisément convertir ce spectre en un son ?, d'ailleurs, comment mener le calcul sur ordinateur ? ; et aussi : comment vulgariser la notion de spectre du laplacien (notamment sur un groupe de Lie, espace riemannien symétrique, etc.) ? (Je ne compte pas tant essayer de faire cette vulgarisation ici et maintenant, mais peut-être donner les pistes par lesquelles je l'aborderais pour pouvoir les retrouver si je devais le faire plus tard.) Je vais évoquer le cas des tores plats (quotients de l'espace euclidien par un réseau) puis, comme expliqué au paragraphe précédent, je vais dévier sur la théorie de Weyl de l'analyse harmonique sur les groupes de Lie compacts, ce qui est largement indépendant de ce que je raconte au début. Et à la fin, je serai trop fatigué pour parler des espaces riemanniens symétriques autrement que pour dire que suis trop fatigué.

[#] Une blague, qui est d'ailleurs peut-être une histoire vraie, qu'on m'avait racontée il y a longtemps, concerne un mathématicien dont la femme… — non, ne soyons pas sexiste comme ceux qui m'ont raconté cette histoire, je vais plutôt dire : — une mathématicienne dont le mari ne connaît absolument rien aux maths ; mais elle lui a donné l'astuce suivante permettant presque à tous les coups de poser une question pertinente lors d'un échange entre matheux : il suffit d'attendre qu'il y ait une petite pause dans la conversation, de prendre un air pensif, et de demander et est-ce que vous avez considéré le cas non-compact ?.

Plan

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(samedi)

Petite pub pour une pub de Trainline

Trainline (qui a racheté Capitaine Train) est l'employeur de mon poussinet. Ce ne serait donc pas correct de ma part de leur faire de la pub éhontée sur mon blog.

Par contre, je peux faire de la pub éhontée pour une pub qu'ils ont faite (enfin, qu'ils ont fait faire) et que je trouve absolument magnifique : Travel by train in Europe with Trainline (destinée, apparemment, au public nord-américain).

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(samedi)

Ready Player One de Steven Spielberg (le film, donc)

J'avais parlé du roman ici, et j'avais écrit : Je me demande si Spielberg s'en sera mieux tiré en adoptant l'œuvre au grand écran. Je viens de voir le film, et ma réponse est :

Oui.

Ce n'est pas souvent que je trouve qu'un film est meilleur que le livre dont il est tiré, et quand c'est le cas c'est presque toujours que j'ai vu le film en premier, ce qui me fait soupçonner que j'ai un biais naturel en faveur de la version que je vois en premier — probablement elle me fixe l'idée que je me fais de l'œuvre, et quand je rencontre la seconde, toute différence me déçoit… ou quelque chose comme ça.

Comme le livre m'avait semblé assez médiocre (même s'il m'avait inexplicablement plu !), je n'étais a priori pas tellement enthousiaste d'aller voir un film que je pensais que j'aimerais forcément moins ; et comme cette critique dévastatrice par Ars Technica explique par le menu que le film est moins bon que le livre, j'avais tiré un trait dessus. Mais voilà qu'un bombardement de rayons cosmiques a fait apparaître le film sur un disque dur près de chez moi, et pour me changer les idées des spectres de groupes de Lie qui me hantent en ce moment, je me suis dit que j'allais y jeter un coup d'œil.

Les différences du film avec le livre sont considérables, et mon avis est que la plupart des changements me semblent être des améliorations. La critique de Ars Technica se plaint d'un certain nombre de choses, par exemple que les scènes d'actions sont mauvaises (ça ne m'a pas vraiment frappé, mais de toute façon, les scènes d'action ont tendance à me faire prodigieusement chier quel que soit le film — là elles ont le mérite de ne pas être trop envahissantes), mais surtout, que toute la subtilité de la culture Geek des années '80 d'Ernest Cline a été perdue dans un endless dump of pop-culture references… which have little connection to the specific nostalgia window that Cline opened up in the book. Je trouve au contraire que Spielberg, par son adaptation très libre, a donné un sens à l'intrigue.

Je copie de mon entrée sur le livre, en la résumant et la remaniant un peu, la prémisse commune au film et au livre (ceci est un divulgâchage extrêmement léger, et essentiellement contenu dans la bande annonce du film) :

L'action se passe en 2045. Le monde réel est devenu encore un chouïa plus dystopique que celui dans lequel nous vivons actuellement, des millions s'entassent dans des bidonvilles de fortune en périphérie des villes. Il y a une chose à quoi les gens ont accès, c'est un jeu en réalité virtuelle, l'OASIS, où beaucoup trouvent refuge et moyen d'oublier une réalité déprimante.

Le point de départ de l'action est que le créateur de ce jeu vient de mourir : le James Halliday en question était un nerd excentrique et introverti, obsédé par la culture pop/geek des années '80 où il a grandi ; et dans un testament virtuel diffusé à l'ensemble de l'OASIS il annonce qu'il a caché un easter egg quelque part dans son monde virtuel, et qu'il lègue la totalité de sa très considérable fortune (incluant le contrôle de l'OASIS lui-même) à celui qui le trouvera. Pour trouver cet œuf, il faudra franchir des épreuves ou résoudre des énigmes permettant de trouver trois clés qui donnent accès à l'endroit où il est caché.

Le héros est un des egg-hunters, ou simplement gunters, qui se dédient à la recherche de l'œuf. Mais évidemment, il y a de la concurrence, et notamment une société (concurrente de celle qui opère l'OASIS) qui utilise tous les moyens dont elle dispose pour essayer de trouver l'œuf et ainsi prendre le contrôle du monde virtuel.

Tout ça est commun entre le livre et le film, mais c'est presque tout. Certains des changements suppriment des invraisemblances ou des passages longuets, poussifs ou téléphonés. (Par exemple le fait que le héros du livre passe plein de temps coincé sur une seule planète de l'OASIS, ce qui est certes justifié, mais pas franchement nécessaire. Ou l'apparition providentielle du co-créateur du jeu qui, dans le livre, fait figure de deus ex machina alors que Spielberg lui donne un rôle beaucoup plus satisfaisant.) D'autres, il est vrai, ajoutent des invraisemblances ou obscurcissent certains éléments. (Les règles du jeu de l'OASIS sont décrites assez précisément dans le livre, alors que dans le film elles semblent à géométrie variable, et la manière dont les héros se font poursuivre et échappent aux méchants semble vraiment dépendre très fort de la commodité du scénario. Le héros du film ne semble pas avoir de problème d'argent, ce qui contredit un peu sa situation dans le monde réel.) Mais ce ne sont pas de ces différences-là que je veux parler.

Dans le roman de Cline, James Halliday est un geek obsédé par la culture des années '80, et c'est à peu près tout. Les épreuves ou énigmes permettant d'accéder à l'œuf presque uniquement des tests de la connaissance des moindres recoins de cette culture pop/geek. Elles n'ont pas une grande cohérence, et sont même franchement idiotes : il faut connaître par cœur les répliques de tel ou tel film, il faut savoir jouer parfaitement à tel ou tel jeu… même pour un geek obsessif, c'est assez con, comme type d'épreuve. (En plus, ça devient un peu confus, parce qu'il y a essentiellement douze épreuves : trois fois il faut trouver où est cachée une clé, faire quelque chose pour obtenir la clé, puis trouver où est cachée la porte qu'ouvre la clé, et faire encore quelque chose à l'intérieur de la porte. En plus de ça, le héros accomplit presque par accident une petite side quest qui bien sûr s'avère essentielle à la toute fin. Les douze ou treize épreuves en question sont de difficulté très inégale et ça déplaît à mon sens de la symétrie.) La motivation expliquée de Halliday est qu'il veut en quelque sorte obliger les gens à apprendre à apprécier la culture qui le fascinait.

Spielberg modifie tout ça : il y a moins d'épreuves, elles sont très différentes du livre, et surtout, ce sont des tests du caractère du personnage (réfléchir avant de foncer dans le tas, savoir sauter le pas, ne pas jouer que pour gagner, ce genre de choses), un peu de son intelligence, et en tout cas pas uniquement de sa culture geek (même s'il y a un peu de ça). Même la side quest du livre est transformée en quelque chose de plus intéressant. Et surtout, les motivations de Halliday sont différentes et plus subtiles : on comprend qu'il cherche, en quelque sorte, à réparer des erreurs qu'il a pu commettre, et à sélectionner quelqu'un qui ne commettra pas les mêmes erreurs.

Je ne dis pas que c'est génial (les tests de caractère c'est un peu le cliché du film hollywoodien grand public), mais c'est quand même, à mes yeux, nettement mieux que dans le livre. Et ça devient moins important que les éléments culturels balancés au hasard dans le film (et oui, il y en a plein[#]) ne soient pas tous très cohérent ou rattachés spécifiquement à la culture qui dans le livre est censé obséder Halliday. (Surtout que, franchement, l'OASIS est censé être grand et ouvert à plein de gens, donc il est logique qu'il y ait des gens qui y aient développé des fan-zones d'autres sous-cultures !)

Et par ricochet, comme ils sont plongés dans une quête qui a un sens, les personnages du film acquièrent eux aussi une certaine profondeur, alors que ceux du livre n'en ont essentiellement aucune (ils sont juste des réservoirs à geek-culture). Pas tellement le héros Parzival, il faut l'avouer, qui reste presque aussi plat dans le film que dans le livre sauf à la toute fin, mais ses compagnons d'aventure : l'héroïne Art3mis a une vraie motivation dans le film, et surtout, le principal second rôle, H, extrêmement bien interprété et très drôle, devient réellement attachant. Et comme on dit souvent qu'un film est aussi réussi que son grand méchant, moi j'ai aimé celui du film, qui est certes tout à fait caricatural comme corporate asshole, mais il est aussi très crédible et très drôle en tant que tel. (Il y a aussi un méchant de second rôle qui est très réussi et très drôle.)

Au final, je trouve que c'est de la bonne SF, et je recommande.

Ajout () : cette critique par l'excellente chaîne YouTube Just Write rejoint partiellement ce que je dis (en allant plus loin et en analysant beaucoup mieux) : le film a eu raison de changer le livre, mais aurait dû s'en affranchir encore plus. Je souscris totalement au message final : ça aurait été tellement plus intéressant si le héros avait été le seul gunter qui, au lieu de mémoriser plein de faits aléatoires sur plein d'histoires de la culture pop, avait poussé un cran plus loin jusqu'à comprendre la morale et le sens profond de ces histoires.

[#] Juste pour la note en bas de page, j'étais fier d'avoir immédiatement reconnu, entre autres choses, la formule magique utilisée par Merlin dans le film Excalibur. Parfois je ne comprends pas comment ma mémoire fonctionne.

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(lundi)

Le Spectre d'Atacama — et quelques spectres de groupes de Lie à écouter

(La première partie de cette entrée parle d'un roman qui parle de maths, la second parle de maths vaguement inspirées par le roman en question : à part cette proximité d'idées, il n'y a pas vraiment de rapport entre elles. Si les maths vous ennuient, à la fin, il y a des sons bizarres à écouter.)

Je viens de finir de lire le livre Le Spectre d'Atacama d'Alain Connes, Danye Chéreau et Jacques Dixmier, et j'avoue que je ne sais pas bien ce que j'en ai pensé. Pour commencer, c'est un livre assez difficilement classable : une sorte de mélange entre roman de science-fiction, fantaisie poétique, vulgarisation scientifique, plaidoyer sur l'intelligence artificielle, conte philosophique, récit picaresque et transposition en fiction de cet essai sur l'hypothèse de Riemann. Chacun des ingrédients me plaît a priori, et j'aime beaucoup l'idée de faire de la fiction à partir de la science, y compris de façon un peu poétique ; mais je trouve le mélange trop peu homogène… disons qu'il y a des grumeaux.

Le style est souvent un peu faible, mais ça ne me gêne pas tant que ça ; ce qui me gêne nettement plus, en revanche, c'est que l'intrigue part tellement dans tous les sens, accumule tellement d'invraisemblances et de rebondissements en apparence gratuits que ma suspension d'incrédulité, à force d'être tellement secouée, finit par lâcher complètement le coup. Parfois le roman devient didactique, parfois il est humoristique, parfois encore onirique, mais il y a trop de moments où on ne sait pas vraiment à quel degré le lire. L'idée de départ est bonne : un astrophysicien travaillant au réseau d'antennes de l'Atacama détecte un spectre d'absorption qui l'intrigue et fait appel à un ami mathématicien (de l'IHÉS…) pour essayer de le comprendre. Il y a aussi quelques tableaux du milieu académique qui sont plutôt réussis. Mais rapidement, et quitte à divulgâcher jusqu'à la fin de ce paragraphe, il est question d'une physicienne qui a volontairement passé son cerveau dans le rayon du LHC et qui a acquis la conscience quantique de vivre dans un espace de Hilbert et des capacités transhumaines mais seulement quand elle est à proximité d'un certain ordinateur : et là, je trouve que c'est vraiment un peu trop ; en plus de ça, le mathématicien part dans un périple dont on ne comprend pas vraiment le sens, qui l'emmène à Valparaiso puis sur une île perdue au milieu de nulle part puis à Sainte-Hélène, et tout ça ne sert pas vraiment l'intrigue. Et quand il est question d'ordinateurs, on sent que les auteurs ne sont pas du tout dans leur élément.

Ceci étant, je pense que c'est un ouvrage intéressant sur le plan de la communication scientifique : pas tellement d'idées scientifiques (il y a un peu de vulgarisation, mais ce n'est certainement pas l'objet principal du livre, et elle est plutôt light), mais de l'amour de la science et — et c'est important — des liens qui relient mathématiques, physique et informatique, et aussi du fait que la science « dure » peut avoir des aspects poétiques. Sur ce plan-là, je dirais que c'est plutôt une réussite. Peut-être finalement que ce roman, qui ne présuppose pas de connaissances scientifiques ou mathématiques, plaira plus à ceux qui justement l'abordent sans a priori.

J'en viens à des maths : la lecture du roman décrit ci-dessus m'a au moins convaincu (ou rappelé) que « les spectres » c'est important et intéressant. Je sais bien, pour avoir souvent entendu des gens le dire, que le spectre du laplacien (sur une variété riemannienne, disons), par exemple, c'est archi-super-important, mais j'avoue que je ne sais essentiellement rien de ce qu'il y a à dire, justement, sur ce spectre du laplacien, même dans des cas idiots (compacts, agréablement symétriques, tout ça tout ça).

En guise d'exercice, je me suis dit que j'allais calculer le spectre du laplacien pour des groupes de Lie compacts G (ou éventuellement des espaces homogènes G/H, par exemple des espaces riemanniens symétriques ou bien des R-espaces (variétés de drapeaux réelles), choses que je confonds d'ailleurs trop facilement[#]).

[#] Digression : Les espaces riemanniens symétriques irréductibles de type compact et simplement connexes sont (les groupes de Lie compacts simples simplement connexes eux-mêmes ainsi que) les quotients G/KG est un groupe de Lie compact simple simplement connexe et K le sous-groupe compact connexe maximal d'une forme réelle G₀ de G (par exemple, la sphère de dimension n est Spin(n+1)/Spin(n) où Spin(n) est le compact connexe maximal de la forme Spin(n,1) de Spin(n+1)), et on peut aussi voir K comme les points fixes d'une involution de G qui correspond à l'involution de Cartan définissant G₀ ; j'ai certainement commis quelques erreurs en disant ça (notamment dans la connexité et la simple connexité), mais l'idée générale doit être à peu près ce que j'ai dit. Les R-espaces, eux, s'obtiennent sous la forme G₁/PP est un parabolique d'un groupe de Lie réel semisimple G₁, qu'on peut aussi voir comme G/(GP) où G est un sous-groupe compact connexe maximal de G₁ et GP un sous-groupe compact maximal (du facteur de Levi) de P (par exemple, l'espace projectif réel dimension n est défini par le quotient de SL(n+1,ℝ) par son parabolique maximal associé à la première racine simple, i.e., les matrices dont la première colonne n'a que des zéros à partir de la deuxième ligne, et on peut le voir comme le quotient SO(n+1)/S(O(n)×O(1)) du sous-groupe compact connexe maximal SO(n+1) de SL(n+1,ℝ)) ; de nouveau, j'ai certainement commis quelques erreurs en disant ça, mais l'idée générale doit être ça. Je n'ai jamais vraiment compris « pourquoi » il y avait ces deux types de quotients très importants des groupes de Lie réels compacts, comment il faut y penser, par exemple du point de vue de l'analyse harmonique, et, de façon encore plus perturbante, pourquoi certains espaces peuvent se voir à la fois comme un espace riemannien symétrique et comme un R-espace (ou presque : cf. l'exemple que je viens de donner de la sphère et de l'espace projectif réel). Si quelqu'un a des éléments de réponse à m'apporter ou simplement des références où ces deux types de quotients sont discutés côte à côte de manière à me désembrouiller, ça m'intéresse ! (J'ai regardé l'article Geometry of Symmetric R-spaces de Tanaka, et j'ai eu l'impression de comprendre encore moins bien et de confondre encore plus après sa lecture.)

Mais aussi, j'avais (peut-être même que j'ai encore) vaguement l'espoir que des spectres intéressants, comme le spectre du laplacien sur tel ou tel espace bien sympathique, pourrait conduire à des sons harmonieux et donc répondre à ma question de trouver un objet mathématique qui s'« auditorise » de façon intéressante et agréable (plutôt que de se « visualiser ») ; dans cet ordre d'idées j'avais bien produit ceci, mais ce n'était pas du tout agréable à écouter et la construction de ces sons n'était pas franchement des plus naturelles.

L'idée générale, cette fois-ci, est qu'une fois connu le spectre du laplacien on peut s'en servir pour résoudre l'équation des ondes et obtenir les fréquences des vibrations propres de l'objet considéré (comme les racines carrées des opposées des valeurs propres du laplacien). Et donc produire des sons qui correspondraient à la manière dont « vibre » l'objet considéré — un groupe de Lie compact G ou un espace homogène G/H — quand, par exemple, on donne un coup dessus.

J'avoue que l'idée de taper un groupe de Lie pour voir comment il résonne me plaît énormément. (Et si j'en crois la lecture du Spectre d'Atacama, ça a aussi des chances de plaire à Connes et/ou Dixmier.)

Bref. Du peu que je sais de l'analyse harmonique sur les groupes de Lie et du théorème de Peter-Weyl, et si je comprends bien que le Casimir fournit la valeur du laplacien sur ce qui correspond à chaque représentation irréductible, le spectre du laplacien sur un groupe de Lie compact G est donné, à un facteur multiplicatif près (essentiellement arbitraire(?), mais négatif), par l'ensemble des valeurs C(v) := ⟨v,v+2ρ⟩ où v parcourt le réseau des poids dominants pour G. (Si tout ceci est du chinois pour vous, ce n'est pas très important, mais l'idée est qu'à G est associé un réseau euclidien appelé le « réseau des poids » et un cône polyédral de sommet l'origine dans cet espace euclidien appelé la « chambre de Weyl », auquel appartient le vecteur ρ dit « vecteur de Weyl », et les poids dominants sont les éléments de la chambre de Weyl ; chaque tel v, ou plus exactement le « caractère » χv associé, peut se concevoir comme un mode propre — un mode de vibration, si on veut — du groupe G, et la valeur du Casimir C(v) := ⟨v,v+2ρ⟩, est essentiellement l'opposé de la valeur propre du laplacien dont le vecteur propre est le caractère : Δχv = −C(vχv pour une certaine normalisation de Δ. S'il y a dans l'assistance des gens qui s'y connaissent en analyse harmonique et qui pourraient confirmer que j'ai bien compris, et peut-être même recommander un endroit où ce que je viens de dire serait écrit noir sur blanc sous cette forme y compris avec la valeur du Casimir, je leur serais reconnaissant.) Par exemple, pour les groupes de rang 2 : pour A₂ (i.e., SU₃), je trouve des valeurs (proportionnelles à) 8/3, 6, 20/3, 32/3, 12, 16, 50/3, 56/3, 68/3, 24, 80/3, 30… (où seules celles qui sont entières sont possibles pour la forme adjointe PSU₃) ; pour B₂ (i.e., Spin₅), je trouve 5/2, 4, 6, 15/2, 10, 21/2, 12, 29/2, 16, 35/2, 18, 20… (où seules celles que j'ai soulignées sont possibles pour la forme adjointe SO₅) ; et pour G₂, je trouve 12, 24, 28, 42, 48, 60, 64, 72, 84, 90, 100, 108… ; et sinon, pour F₄ : 12, 18, 24, 26, 32, 36, 39, 40, 42, 46, 48, 52… ; et vous devinez évidemment j'ai fait le calcul pour E₈ : 60, 96, 120, 124, 144, 160, 180, 186, 192, 196, 200, 210…

Et pour les espaces homogènes G/H, il doit s'agir de se limiter aux plus hauts poids v qui définissent des représentations de G dont la restriction à H a des points fixes (ou, ce qui revient au même par réciprocité de Frobenius, des représentations qui apparaissent dans l'induite à G de la représentation triviale de H, mais je ne suis pas si ça aide de le dire comme ça). J'arrive (mais laborieusement) à faire les calculs sur des cas particuliers en utilisant l'implémentation des règles de branchement dans Sage. Par exemple, le spectre de G₂/SO₄ (l'espace des sous-algèbres de quaternions dans les octonions) semble être : 28, 60, 72, 112, 132, 168, 180, 208, 244, 264, 300, 324… Mais je comprends trop mal les règles de branchement pour savoir s'il faut chercher une logique d'ensemble ou ce à quoi elle ressemblerait (sur les coordonnées de v dans la base des poids fondamentaux ; ce n'est même pas clair pour moi les v en question forment un sous-réseau du réseau des poids ou quel est son rang). Ajout () : À la réflexion, pour les espaces riemanniens symétriques, je crois que je comprends au moins à peu près la situation (tout est dans la notion de système de racines restreintes) ; je crois même que tout est dit dans le chapitre V (par ex., théorème V.4.1) du livre de 1984 de Sigurður Helgason (Groups and Geometric Analysis), même si j'ai vraiment du mal à le lire ; je crois bien que le rang du réseau des poids v tels que la restriction à H ait des points fixes non triviaux coïncide avec le rang de l'espace symétrique G/H, même si j'aimerais bien voir ça écrit noir sur blanc.

Une chose qui m'étonne beaucoup est que ces suites ne semblent pas être dans l'OEIS. Tout le monde parle de l'importance du spectre du laplacien et personne n'a pris la peine de mettre le résultat, pour les cas les plus évidents que sont les groupes de Lie compacts, dans l'OEIS ‽ Comment est-ce possible ‽ J'hésite cependant à les soumettre moi-même parce que, à vrai dire, je ne suis pas très sûr de bien comprendre ce que je fais. (Et, entre autres choses, je ne sais pas du tout si les valeurs que j'ai listées ci-dessus ont un sens dans l'absolu ou seulement à proportionalité près. La valeur du Casimir semble dépendre d'une normalisation un peu arbitraire sur la longueur des racines ou quelque chose comme ça, et du coup je ne sais pas bien quoi prendre ou quoi soumettre.)

Pour ce qui est de produire des sons à partir de ça, il y a un autre truc sur lequel je n'ai pas des idées claires, c'est quelles amplitudes relatives il serait logique d'utiliser pour ces différentes harmoniques. Si on donne un coup de marteau sur le groupe de Lie G₂ (mais pas assez fort pour le casser !), il va peut-être résonner à des fréquences proportionnelles aux racines carrées de 12, 24, 28, 42, 48, 60, etc., mais avec quelles amplitudes ? Le problème se pose déjà sur une sphère de dimension 2 (SO₃/SO₂, si on veut) : les valeurs propres du laplacien sphérique sont (proportionnelles à) (+1), donc si on fait vibrer une sphère, elle produit des fréquences proportionnelles à 1, √3, √6, √10, etc., mais une fois ce spectre connu, ça ne donne pas pour autant un son (même si ça peut faire de jolies animations). Un bout de la réponse est fourni par la multiplicité des valeurs propres en question (sur la sphère, par exemple, (+1) a la multiplicité +1 parce qu'il y a ce nombre-là d'harmoniques sphériques de niveau  indépendantes) ; s'agissant d'un groupe de Lie G, les multiplicités sont les carrés N(v)² des dimensions N(v) = χv(1) des représentations irréductibles correspondantes (par exemple, s'agisant de G₂, les valeurs propres avec multiplicité sont (12,7²), (24,14²), (28,27²), (42,64²), (48,77²), (60,77²), etc.). Mais ensuite ? Il me semble que, pour parler abusivement, les « coefficients » de la distribution δ (centrée en 1∈G) sur la base des caractères χv sont les N(v) = χv(1) et qu'il serait donc logique de donner à la fréquence √C(v) une amplitude proportionnelle à N(v)² (si on tape un coup sec et très localisé sur notre groupe de Lie), mais évidemment ceci diverge très méchamment. Je peux régulariser en remplaçant δ par une gaussienne, ce qui doit revenir à multiplier les coefficients par exp(−C(vσ²) avec σ une sorte d'écart-type de la gaussienne, mais le choix de σ est complètement arbitraire dans l'histoire. Bref, je peux produire des sons en superposant des fréquences proportionnelles aux √C(v) avec des amplitudes proportionnelles aux N(v)²·exp(−C(vσ²), mais le son en question dépend de façon énorme de σ. Une autre idée est de faire varier l'amplitude avec le temps pour donner une dissipation aux modes de vibration, par exemple en exp(−C(vt) (inspiré de l'équation de la chaleur).

Pour faire quand même des essais, de façon assez arbitraire, j'ai décidé de faire que l'intensité de la fréquence √C(v) décroisse en exp(−(C(v)/C(v₀))·(1+t/3s)) où v₀ est le poids qui correspond à la représentation adjointe de G (c'est-à-dire, la plus haute racine), et j'ai de même normalisé les fréquences pour que la fréquence de v₀ soit à 440Hz. C'est-à-dire que j'ai superposé des sin(2π·440Hz·(C(v)/C(v₀))·t) · N(v)² · exp(−(C(v)/C(v₀))·(1+t/3s)) où t est le temps et v parcourt les poids de G. Je n'aime pas le côté assez arbitraire de tout ça (et en particulier de mon 1+), donc je suis preneur d'idées plus naturelles, mais au moins les sons sont intéressants et, pour une fois, pas du tout désagréables à écouter.

Ceci n'est qu'une première expérience : j'en ferai sans doute d'autres quand j'aurai des idées plus claires sur ce que je veux faire et ce qui est intéressant, mais en attendant, voici quelques essais de ce que ça peut donner comme son de frapper différents groupes de Lie compacts (calibrés pour que leur représentation adjointe sonne le la à 440Hz) : en rang 1 : A₁ (c'est-à-dire SU₂, qui est vraiment une 3-sphère, je voulais vérifier que ça avait un son de cloche plausible et ça a effectivement un son de cloche vaguement plausible, c'est déjà ça) ; en rang 2 : A₂ (c'est-à-dire SU₃), B₂ (c'est-à-dire Spin₅) et G₂ ; en rang 4 : A₄ (c'est-à-dire SU₅), B₄ (c'est-à-dire Spin₉), C₄ (c'est-à-dire Sp₄), D₄ (c'est-à-dire Spin₈) et F₄ ; et bien sûr : E₆ et E₈. Tous ces fichiers sont du FLAC et chacun dure 6 secondes, si votre navigateur ne les ouvre pas spontanément, téléchargez-les et vous trouverez certainement un truc qui les lit. Tous les groupes que je viens de donner sont la forme simplement connexe, mais j'ai aussi produit des essais pour comparer le son de la forme simplement connexe avec la forme adjointe (laquelle a moins d'harmoniques) : Spin₅ versus SO₅ d'une part, et SU₃ versus PSU₃ de l'autre.

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(jeudi)

Une conjecture « du dimanche » sur les nombres premiers

Je racontais ici que les « mathématiciens du dimanche » étaient souvent fascinés par les nombres premiers et capables de produire toutes sortes de conjectures fantaisistes à leur sujet ; et aussi, ils sont fascinés par l'écriture en base 10. Voici que je vois passer sur MathOverflow (et précédemment sur Math.StackExchange) la conjecture suivante, qui ressemble beaucoup à la caricature de la « conjecture du mathématicien du dimanche », à ceci près qu'elle conjecture que des nombres ne sont pas premiers :

Soit j≥1 un entier naturel, et Nj le nombre formé de la concaténation des écritures en base 10 des nombres (« de Mersenne » consécutifs) 2j+1−1 et 2j−1 ; c'est-à-dire : Nj = 10m·(2j+1−1) + (2j−1) où m := ⌊log(2j−1)/log(10)⌋+1 est le nombre de chiffres de l'écriture décimale de 2j−1.

(Par exemple, N₁=31 (concaténation de 3 et 1), N₂=73 (concaténation de 7 et 3), N₃=157 (concaténation de 15 et 7), N₄=3115 (concaténation de 31 et 15), etc.)

Conjecture d'Enzo Creti : si Nj≡6 (mod 7), alors Nj n'est pas premier.

(Par exemple : pour j=9, on a N9=1023511, qui est congru à 6 modulo 7, et il n'est pas premier : il vaut 19×103×523 ; pour j=10, on a N10=20471023, qui est congru à 6 modulo 7, et il n'est pas premier : il vaut 479×42737.)

(Je ne sais pas si l'auteur de cette conjecture est un mathématicien « du dimanche », je ne sais rien sur lui, mais l'énoncé, en tout cas, ressemble exactement au type de spéculations sur les nombres premiers et les écritures en base 10 dont je voulais parler.)

Ce genre de problèmes est à la fois agaçant et passablement intéressant au niveau méta.

Expérimentalement, la conjecture est vérifiée jusqu'à des valeurs passablement grandes de j (l'auteur prétend être allé jusqu'à 4×10⁵ ; moi je me suis arrêté à 10⁴) ; et de plus, elle n'est pas vide, c'est-à-dire qu'il y a effectivement une densité significative (en fait, 1 sur 9) de j pour lesquels la prémisse Nj≡6 (mod 7) est vérifiée.

(On peut accessoirement remarquer que dans chacune des autres classes de congruence de Nj modulo 7, exceptée bien sûr la classe 0, on trouve des nombres premiers. C'est la classe 6 qui semble éviter les nombres premiers. À toutes fins utiles, en distinguant les cas de congruence de m modulo 6 et de j modulo 3, on peut remarquer que 10m·(2j+1−1) + (2j−1) est congru à 6 modulo 7 lorsque soit (m≡3 (mod 6) et j≡0 (mod 3)) soit (m≡4 (mod 6) et j≡1 (mod 3)).)

Pourtant, je pense que n'importe quel théoricien des nombres sera d'accord avec moi pour dire qu'il ne croit pas une seule seconde à une telle conjecture. Pourquoi ?

D'abord, on se rappelle que le théorème des nombres premiers peut s'interpréter en disant que la « probabilité d'être premier » empirique d'un entier x tiré au hasard vaut environ 1/log(x) ; ou si le nombre est impair par construction, disons plutôt 2/log(x). En l'occurrence, on a log(Nj) = 2·log(2)·j + O(1), si bien que Nj a empiriquement une « probabilité d'être premier » qui décroît comme une fonction harmonique de j (quelque chose comme 1/(log(2)·j), en tenant compte du fait qu'il est forcément impair). Or la série harmonique diverge, donc il n'est pas vraisemblable que les Nj échouent tous à être premiers « par hasard ». En revanche, comme la série harmonique diverge très lentement (logarithmiquement), cela veut bien dire qu'il peut être nécessaire de pousser très très loin pour trouver un contre-exemple, donc avoir vérifié 10⁴ ou 10⁵ valeurs ne vaut pas grand-chose, et il n'est pas du tout invraisemblable que 10⁴ ou 10⁵ valeurs échouent toutes à être premières « par hasard » (expliquant ainsi la constatation expérimentale).

Il est donc invraisemblable que la conjecture soit vraie « par hasard », mais vraisemblable qu'elle le paraisse quand même jusqu'à 10⁴ ou 10⁵. Maintenant, se peut-il que la conjecture soit vraie autrement que « par hasard » ? Cela voudrait dire qu'il y aurait une « raison » expliquant une factorisation de 10m·(2j+1−1) + (2j−1) à tous les coups (par exemple une identité algébrique, ou une conguence à 0 qui vaut à tous les coups, enfin, une « raison » qui fait qu'il n'est jamais premier). Or, si on met de côté la donnée que m est le nombre de chiffres décimaux de 2j−1, ce n'est pas vrai que 10m·(2j+1−1) + (2j−1) n'est jamais premier. En effet, en changeant un petit peu m, j'ai le contre-exemple de 1070·(2230−1) + (2229−1) (où le nombre 2229−1 a 69 chiffres décimaux, j'ai inséré juste un 0 de plus dans la concaténation) : ce nombre est bien congru à 6 modulo 7, et il est premier (il a 140 chiffres, alors vous m'épargnerez de l'écrire complètement). Bref, si la conjecture était vraie autrement que par hasard, il faudrait avoir une factorisation de 10m·(2j+1−1) + (2j−1) qui dépende du fait que m est précisément le nombre de chiffres décimaux de 2j−1, et ça, ça semble complètement abracadabrant. (Tout ce que je raconte est complètement empirique, bien sûr, je n'ai pas de contre-exemple à la conjecture énoncée plus haut, mais j'explique pourquoi je n'y crois pas.)

Bref, je suis complètement convaincu qu'il y a un contre-exemple, et que ce contre-exemple a un j très grand (donc un Nj gigantesque), et ce n'est pas très surprenant qu'il soit difficile à trouver. Pour être un peu plus précis dans la quantification de la vraisemblance, numériquement, le produit des 1−(2/log(Nj)) (i.e., leur probabilité empirique de ne pas être premiers, le 2 étant là parce qu'ils sont impairs) parcourant ceux des Nj qui sont congrus à 6 modulo 7 vaut environ 0.25 pour j allant jusqu'à 10⁴, c'est-à-dire qu'il y avait a priori environ 25% de chances pour qu'aucun de ces nombres ne soit premier compte tenu de leurs tailles (et du fait qu'ils sont impairs) ; si on monte jusqu'à 4×10⁵, cela doit tomber à environ 18%. Bref, ce n'est pas du tout invraisemblable que la conjecture soit vraie jusqu'à ce point-là « par hasard ». Il suffit qu'il y ait une dizaine de mathématiciens du dimanche qui essaient des conjectures de ce genre, et il y en aura bien un qui tombera sur une qui marche sur toutes les valeurs que sa patience lui permettra de tester ; en fait, il suffit même qu'un seul mathématicien du dimanche ait testé la restriction des Nj à suffisamment de classes de congruence modulo des petits nombres pour tomber sur une qui semble ne contenir que des nombres composés.

Il n'est cependant pas exclu à mes yeux qu'il y ait une « raison » un peu plus précise que le hasard pour laquelle la conjecture soit vraie pour des « assez petites » valeurs de j, et c'est un problème possiblement intéressant. Il est par exemple possible que plein de cas de congruence de j et de m excluent la primalité. (Un exemple idiot est que si j est congru à 0 modulo 4, sans aucune discussion sur m, alors Nj est multiple de 5 — parce que 2j−1 l'est — et donc Nj n'est certainement pas premier ; donc déjà il n'y a plus que les quatre cinquièmes des j qui jouent vraiment, et cela contribue à rendre encore moins invraisemblable que la conjecture soit vraie « par hasard » pour des petites valeurs de j. Mais il y a peut-être des choses plus intelligentes à dire.)

Il y a notamment une chose qu'on peut voir, c'est que m := ⌊log(2j−1)/log(10)⌋+1 (le nombre de chiffres décimaux de 2j−1) vaut en fait ⌊j·ξ⌋+1 où ξ := log(2)/log(10) ≈ 0.301. Les réduites du développement en fraction continue de ξ sont 1/3, 3/10, 28/93, 59/196, etc. Si je remplace m=⌊j·ξ⌋+1 par m=⌊j·x⌋+1 où x est une de ces réduites, j'obtiens d'autres suites de nombres Nj (dépendant de x que j'omets abusivement dans la notation), à savoir Nj := 10(⌊j·x⌋+1)·(2j+1−1) + (2j−1), qui coïncident avec Nj au début (et d'autant plus loin que la réduite est bonne), et je peux poser la question de la conjecture analogue pour ces suites-là. Pour x=1/3, la conjecture sur les N′ ne vaut pas, car pour j=330, le nombre N330 = 10111·(2331−1) + (2330−1) est congru à 6 modulo 7 et est premier ; pour x=3/10, la conjecture sur les N′ ne vaut pas non plus, car pour j=849, le nombre N849 = 10255·(2850−1) + (2849−1) est congru à 6 modulo 7 et est premier. Mais pour x=28/93 (autrement dit, avec Nj := 10(⌊j·28/93⌋+1)·(2j+1−1) + (2j−1)), je n'ai pas trouvé de contre-exemple : au moins jusqu'à j=10⁴, les Nj qui sont congrus à 6 modulo 7 ne sont jamais premiers. C'est déjà moins invraisembable d'imaginer que tous ces Nj-là soient premiers que pour les Nj de la conjecture de départ : on peut tout à fait imaginer qu'il y ait une distinction de quelque chose comme 93 cas selon la valeur de j qui permette, dans chacun des cas (ou simplement dans un grand nombre de ces cas, diminuant d'autant le hasard !), de montrer que Nj serait divisible par quelque chose. Du coup, si Nj n'est jamais premier, cela expliquerait que plein de petites valeurs de Nj soient composées, et il est encore moins surprenant qu'ensuite on tombe par hasard sur des nombres composés.

Mise à jour (avant publication) : bon, en fait, pour j=14058, le nombre N14058 = 104233·(214059−1) + (214058−1) est congru à 6 modulo 7 et semble être premier (en tout cas il passe des tests de pseudo-primalité), donc mon explication n'est pas la bonne, mais je la laisse parce qu'on voit que ce genre de choses est tout à fait imaginable.

Laissant de côté la question mathématique proprement dite, il reste la question de savoir comment un mathématicien (au hasard, féru de vulgarisation) doit réagir face à ce genre de conjectures. C'est toujours un peu délicat d'expliquer je n'y crois pas du tout malgré vos constatations expérimentales, et même si on peut expliquer tout ce que je viens d'expliquer sur les probabilités, il reste quand même un certain acte de foi, quand je dis qu'il est « complètement abracadabrant » qu'il y ait un phénomène de ce genre sur les nombres premiers qui fasse intervenir de façon cruciale le nombre de chiffres décimaux du nombre 2j−1 (même si on le revoit comme ⌊j·ξ⌋+1 avec ξ = log(2)/log(10)).

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(mercredi)

Sur un tatouage, le dessin de l'ADN et le sens des spirales et escaliers

Il y a quelqu'un qui fait de la muscu dans la même salle de sport que moi (et non, ce n'est pas Michel Houellebecq) qui a sur l'épaule un tatouage représentant une sorte d'allégorie de la vie où on voit, entre autres, une double hélice barrée qu'on comprend facilement devoir être de l'ADN. À un moment où je regardais dans sa direction, je me suis dit qu'il y avait des choses qui clochaient dans son dessin, et ça m'a frappé que la spirale tournait dans le mauvais sens. J'ai sorti mon téléphone pour vérifier en ligne, et je suis tombé sur ce post décrivant les erreurs courantes sur les dessins l'ADN et, remarquablement, la double hélice sur le tatouage en question commet toutes les quatre erreurs évoquées : non seulement elle est lévogyre (aristérogyre ? enfin, elle tourne selon la main gauche, quoi) au lieu de dextrogyre (dexiogyre ?), mais en plus, elle a deux sillons de taille égale, elle est beaucoup trop fine ou étirée[#], et il semble que le nombre de barreaux par tour soit trop grand ; de surcroît, ses barreaux sont perpendiculaires à l'axe de l'hélice alors que dans l'ADN ils sont légèrement penchés (d'environ 1°).

Bon, peut-être que le tatouage était censé représenter de l'ADN Z ou une structure extra-terrestre ou quelque chose qui n'a rien à voir[#2]. En tout cas je n'ai pas voulu faire de remarque.

Mais je suis toujours un peu perplexe que des gens se fassent tatouer des choses probablement « incorrectes » (pour une certaine définition de « incorrecte », qui n'est pas entièrement claire, j'en conviens). Je ne compte plus le nombre de fois où j'ai vu des tatouages en toutes sortes de langue dont l'orthographe ou la grammaire me faisaient, disons, suspecter que ce n'était pas du tout volontaire (et probablement, que la personne portant le tatouage ne connaissait pas la langue dans laquelle le tatouage était écrit, ce que j'ai tendance à classer comme une Très Mauvaise Idée®), voire, qu'ils venaient directement de Google Translate. (Voir notamment ici.) Si je devais me faire écrire quelque chose de façon indélébile dans la peau, soit je pencherais quelque chose qui ne peut pas être « faux » (c'est ce qu'a choisi mon poussinet), soit je passerais un temps fou à vérifier, re-vérifier et re-re-vérifier[#5] qu'il n'y a pas de bug (et que l'artiste est fiable[#6]). Encore, une phrase qu'on se fait tatouer sur un coup de tête (autre Très Mauvaise Idée®), ça ne m'étonne pas que ça se retrouve souvent à contenir des fautes, mais le type qui a son ADN qui tourne à l'envers, il a dû passer un certain temps à concevoir ou faire concevoir le dessin, ça ne pouvait vraiment pas être un coup de tête.

Bon, j'avoue que le but de cette entrée est surtout de digresser dans des notes en bas de page sur les notes en bas de page. Donc :

[#] Ce que je veux dire, c'est que sa pente est trop grande. La pente d'une hélice est le rapport (sans dimension !) entre sa torsion et sa courbure ; si on préfère, c'est la tangente de l'angle (en n'importe quel point) entre l'hélice et le plan perpendiculaire à son axe ; c'est aussi le rapport entre la vitesse selon l'axe et la vitesse dans le plan perpendiculaire à l'axe lorsqu'on parcourt l'hélice à vitesse constante, ou bien le rapport entre la distance qu'il faut parcourir selon l'axe pour faire un tour complet de l'hélice et la circonférence du cercle projeté dans le plan perpendiculaire à l'axe. (Et si on imagine que l'hélice a un axe vertical, c'est bien la pente qu'il va falloir gravir pour la monter.) Dans le cas de l'ADN (dans sa forme « normale », l'ADN B), la pente vaut environ 0.53 (soit un angle de 28°) ; je donne ce nombre parce qu'il était assez difficile à trouver à cause du fait que les matheux, biologistes et ingénieurs ne parlent pas le même langage (d'où les quatre ou cinq définitions différentes que je viens de donner de la pente d'une hélice). [Accessoirement, je ne trouve pas de traduction française pour lead angle ; l'angle complémentaire, ou helix angle s'appelle angle d'hélice : donc pour l'ADN, l'angle d'hélice vaut 62°.]

[#2] Le centre commercial de la Part-Dieu, à Lyon, a un escalier en double hélice (voir par exemple sur cette photo), c'est d'ailleurs source de confusion amusante quand deux personnes sont chacune sur un brin différent et essaient de se rejoindre sans remarquer que l'hélice est double. En plus, cet escalier est orienté selon la main gauche (alors que Google Images suggère que la majorité des escaliers en colimaçon sont orientés selon la main droite[#3]). Donc peut-être que le tatouage est un hommage à cet escalier un peu inhabituel. Mais la pente de l'escalier de la Part-Dieu est à vue de nez autour de tan(20°)≈0.35 à son point le plus extérieur, donc encore plus faible que l'ADN (et à plus forte raison que le tatouage). Tiens, sinon, ça me fait penser que je crois avoir emprunté quelque part dans ma vie un escalier mécanique hélicoïdal (ces choses existent mais c'est extrêmement rare), mais je suis incapable de me rappeler où (et je n'exclus pas que ce soit un faux souvenir).

[#3] J'avais entendu dire qu'historiquement dans les châteaux-forts les escaliers à vis étaient orientés selon la main gauche (= ils tournent dans le sens des aiguilles d'une montre en montant)[#4] parce que cela permet à un défenseur, qui fuit en montant l'escalier et tient son épée à droite, de ne pas être gêné par le pilier central (lequel sera à sa gauche quand il se tourne vers le bas), tandis que l'assaillant, lui, aura le pilier à sa droite quand il monte l'escalier. Et qu'à un certain moment on a changé pour que la rampe soit à droite pour celui qui monte. Sauf que ça ressemble pas mal à une légende urbaine dans tous les sens : Google Images me montre plein de photos d'escaliers tournant dans les deux sens dans ce qui semble être des châteaux très anciens (il est vrai que la recherche en anglais, elle, donne nettement plus de sens main gauche — je ne m'explique pas la différence) ; et pour ce qui est de l'histoire de rampe, j'aurais tendance à dire que la rampe est plus utile quand on descend que quand on monte.

[#4] Remarquez que l'histoire est rendue encore plus embrouillée par le fait que ce que les matheux appellent une hélice dextrogyre (= orientée dans le sens de la main droite, c'est-à-dire que le pouce de la main droite repliée indique le sens de progression si les autres doigts indiquent le sens de rotation ; comme l'ADN normal, quoi) est plutôt appelé escalier vers la gauche en archicture puisque cela signifie qu'on tourne vers la gauche quand on monte ; on pourrait parler de sens de tire-bouchon ou de pas de vis (les vis et les tire-bouchons sont dans ce sens vu qu'on veut les enfoncer en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre), mais personnellement, comme je ne vois rien dans l'espace, je mets toujours dix minutes à retrouver le sens de spirale d'une vis, donc ce n'est pas une bonne idée. Le Club Contexte vous remercie de votre attention.

[#5] Pas comme les entrées dans ce blog, que je relis à peine, et qui contiennent une densité assez embarrassante de fautes de frappe. Mais j'ai plein de petits Elfes qui me les signalent après coup. 😉

[#6] Je ne sais plus où j'avais vu un dessin humoristique (peut-être chez Gary Larson ou Wumo) montrant un mec super musclé et l'air pas commode du tout en train de se faire tatouer des symboles terriblement virils : le mec raconte que s'il y a une chose que je ne tolère pas, c'est l'erreur, et qu'il peut pardonner beaucoup de choses mais pas l'erreur ; et on voit que l'artiste tatoueur est parti faire quelque chose et que son gosse a pris sa place et a tatoué plein de dessins enfantins tout mignons sur le dos du client.

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(lundi)

Club Contexte : Communications Papier (ou pensées en vrac sur les lettres et leur forme)

Les communications papier dont je veux parler c'est, bien sûr, l'écriture, mais le titre de cette entrée s'abrège en CCCP, ce qui n'a absolument rien à voir avec СССР qui est l'abréviation de Союз Советских Социалистических Республик, autrement dit, de l'URSS. Selon votre navigateur et les polices installées sur votre ordinateur, le ‘C’ de Club Contexte (U+0043 LATIN CAPITAL LETTER C) et le ‘С’ de Советский Союз (U+0421 CYRILLIC CAPITAL LETTER ES) apparaîtront peut-être, ou peut-être pas, comme identiques. Ce sont néanmoins des caractères différents pour Unicode, comme vous pouvez le vérifier en recherchant ‘C’ dans cette page, ou en copiant-collant le caractère et en le recherchant dans Google, ou quelque chose de ce genre. (Hum, à vrai dire, ce serait peut-être le jeu de décider que Club Contexte s'abrège en СС avec un ‘С’ cyrillique — cyrillique, pas сyrillique. Mais comme le ‘С’ cyrillique est plutôt une ‘S’, enfin, se prononce quelque chose ressemblant à /s/, je devrais dire l'‘С’ cyrillique : il va falloir que j'interroge le Club Contexte en Сection Politique pour fixer les détails.)

Bref, vous aurez compris l'idée : ce qu'est une lettre est quelque chose d'assez délicat. Un matheux a envie de dire qu'une lettre est une classe d'équivalence pour la relation d'équivalence être la même lettre, mais qu'est-ce que c'est que cette relation d'équivalence, justement ?

Unicode doit régulièrement prendre des décisions to conflate or to disunify?, autrement dit, décider si on doit considérer que deux machins sont ou non la même lettre. Et cette décision n'a souvent rien d'évident, toutes sortes de problèmes peuvent survenir dans les deux sens, et il n'y a souvent pas de bonne solution. Notamment parce que la relation être la même lettre a furieusement tendance à ne pas être une relation d'équivalence : elle n'est pas transitive (une langue pourrait considérer que foo et bar sont la même lettre, une autre que bar et qux sont la même lettre, et une troisième que foo et qux ne sont pas du tout la même lettre).

Voici quelques unes des choses, en vrac, que j'ai apprises en me documentant à gauche et à droite sur Unicode et sur l'histoire des formes d'écriture. On va voir que le Club Contexte aime beaucoup s'amuser avec l'écriture. (Quasiment chaque paragraphe dans ce qui suit raconte sa propre petite histoire et peut être lu indépendamment des autres ; j'ai essayé de trouver un fil directeur, mais c'est trop difficile, il n'y a juste aucune logique dans cette collection de faits.)

Commençons par une question basique : faut-il considérer que la première lettre des alphabets latin, grec et cyrillique, c'est-à-dire ‘A’, ‘Α’ et ‘А’ sont la même lettre ? Dans Unicode, ce sont U+0041 LATIN CAPITAL LETTER A, U+0391 GREEK CAPITAL LETTER ALPHA et U+0410 CYRILLIC CAPITAL LETTER A, c'est-à-dire qu'Unicode a tranché pour désunifier.

D'un côté, considérer que non (comme le fait Unicode), i.e., que ce sont trois lettres différentes, est très confusant pour les gens qui ne voient aucune différence (notamment sur leur écran), cela peut être la cause de toutes sortes de problèmes informatiques, notamment d'attaques délibérées. (gооgle.com, par exemple, avec deux U+043E CYRILLIC SMALL LETTER O, a été acheté par Google pour ne pas qu'on puisse y rediriger malicieusement les gens qui pensaient aller à google.com — et de toute façon votre navigateur vous montrera probablement le Punycode xn--ggle-55da.com si vous y allez — mais on ne peut pas éliminer tous les risques de ce genre. Remarquez que quasiment tous les langages de programmations acceptent, maintenant, des identificateurs en Unicode, et j'attends le moment où quelqu'un aura malicieusement introduit un trou de sécurité quelque part en nommant une variable locale ‘а’ (U+0430 CYRILLIC SMALL LETTER A) pour cacher le fait qu'elle ne masque pas, du coup, une variable ‘a’ (U+0061 LATIN SMALL LETTER A) de portée plus lointaine.) Ou à défaut de bugs, simplement de petites tracasseries : si je veux vérifier que je ne me suis pas trompé dans l'ordre de mes ‘A’, ‘Α’ et ‘А’, c'est plus fastidieux que si je devais trier ‘A’, ‘B’ et ‘C’.

D'un autre côté, considérer que ‘A’, ‘Α’ et ‘А’ sont la même lettre serait très gênant quand il s'agit de passer en minuscules, par exemple (‘a’ et ‘α’ diffèrent certainement, et ‘а’ diffère peut-être aussi), ou si on veut développer des polices spécifiques à l'un ou l'autre des alphabets. (L'affichage du grec sur mon navigateur est souvent rendu moche par le fait que j'ai des polices qui ont juste le ‘π’, probablement parce qu'il sert plus souvent que d'autres, et comme je ne sais pourquoi mon navigateur tend à préférer cette police, je vois souvent cette seule lettre dans une police visiblement différente. Imaginez à quel point la lecture du cyrillique serait moche si les lettres communes à l'alphabet latin étaient prises dans une police prévue pour l'alphabet latin et les autres dans une autre.) Et je vais revenir plus bas sur la question de l'écriture cursive.

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(dimanche)

Quelques lectures récentes

Call Me by Your Name par André Aciman

Ce livre m'a fait en quelque sorte l'effet tout contraire de Ready Player One (ils n'ont rien à voir entre eux, mais je les compare parce que je les ai achetés le même jour et que les deux portaient des étiquettes vantant le fait qu'il y avait — ou allait y avoir — un film ; je précise que je n'ai encore vu aucun des deux films). Ready Player One m'avait semblé assez mal écrit et mal construit mais m'a quand même inexplicablement plu, au moins au sens où j'étais assez motivé pour continuer sa lecture : Call Me by Your Name m'a semblé très bien écrit et très bien contruit mais m'a un peu déplu, ou en tout cas suffisamment ennuyé pour que j'aie du mal à le finir.

C'est une histoire d'amour, qui se passe pour l'essentiel sur la côte ligurienne, pendant un été dans les années '80, entre Elio, le narrateur, fils âgé de 17 ans d'un universitaire américain qui a une maison de vacances du côté de San Remo, et Oliver, un doctorant (ou post-doctorant, ou quelque chose comme ça, il a 24 ans) invité par le père d'Elio pour travailler avec lui et l'aider à réviser un livre. A priori je suis plutôt réceptif à ce genre d'histoires (d'ailleurs, cf. ici) ; mais j'ai eu du mal à accrocher. Disons qu'il se passe quelque chose comme la moitié du roman à ne rien se passer : le narrateur fait des nœuds de façon incroyablement compliquée à vouloir draguer l'autre sans accepter de montrer qu'il est intéressé, à vouloir le rendre jaloux et à en être jaloux à la fois, et l'un et l'autre se lancent dans une sorte de one-upmanship académique et culturel qui, à la longue, est juste chiant pour le lecteur (en tout cas, pour moi). Ensuite, ça s'améliore, et il faut avouer que la manière dont l'auteur couvre le jeu un peu fétichiste qui se met en place entre eux ; et, plus simplement, la relation eu égard à la différence d'âge entre les protagonistes est très bien gérée. C'est, par ailleurs, extrêmement bien écrit. Mais je reste sur l'idée qu'à trop délayer l'intrigue, même quand on écrit bien, on finit par produire un roman moins captivant qu'un truc facile où il se passe des choses. (Tout le monde n'est pas Racine à pouvoir écrire un chef d'œuvre sur une histoire d'amour où il ne se passe rien.)

Soit dit en passant, j'ai cru entendre qu'il y avait une sorte de polémique autour de ce roman parce que l'auteur est hétérosexuel et que certains considèrent qu'il n'aurait, du coup, pas le droit ou pas la légitimité d'écrire une histoire pareille. Ou toutes sortes de variantes de cette critique : que ses personnages sont « trop hétérosexuels » (parce qu'il n'y a essentiellement aucune référence à la culture gay telle qu'elle pouvait exister à l'époque où se déroule l'intrigue, ou parce qu'ils sont tous les deux bisexuels et apparemment plus attirés par les femmes en général) ; ou bien que les homosexuels (il faudrait savoir…) sont présentés comme des prédateurs parce que l'un des protagonistes a sept ans de plus que l'autre (pour qu'il n'y ait pas de doute, tel que je comprends le roman, c'est très clairement le plus jeune qui drague le plus âgé). Je trouve ce genre de critiques vraiment idiotes : on ne peut pas à la fois se plaindre que la culture « mainstream » occulte la diversité des formes de sexualité et interdire à un auteur hétérosexuel d'en parler ou bien lui faire des procès en sorcellerie dès qu'il montre, justement, des personnages à la sexualité un peu grise. Et cela fait partie de la potestas quidlibet audendi des écrivains que de parler de ce qu'ils ne sont pas et de ce qu'ils ne connaissent pas comme s'ils l'étaient et le connaissaient. Il se trouve qu'Aciman voulait avant tout raconter une romance d'un été et qu'il a décidé presque par hasard que ce serait entre deux hommes : je ne comprends vraiment pas comment on peut le lui reprocher.

Sinon, je pourrais mentionner au passage le livre By Nightfall de Michael Cunningham que j'ai lu il y a beaucoup trop longtemps pour en faire un compte-rendu intéressant, mais qui, dans mon esprit, a un certain nombre de ressemblances avec les caractéristiques que j'ai bien aimées dans Call Me by Your Name, sans les longueurs qui m'ont agacées.

Le Mystère Henri Pick par David Foenkinos

Je vais être très bref sur celui-ci. C'est un roman articulé autour d'un mystère littéraire (un manuscrit trouvé dans une bibliothèque prétendant être d'un certain Henri Pick, récemment décédé, se fait publier, rencontre un succès inattendu, et on commence à enquêter sur l'auteur). La prémisse m'intéressait, le roman n'est pas trop mauvais, mais sans plus : les personnages n'ont pas beaucoup de profondeur, l'écriture est sans originalité, l'intrigue est assez prévisible. C'est cependant assez distrayant pour, disons, un trajet en train ou en avion. Au moins, c'est assez court pour qu'on n'ait pas le temps de s'ennuyer.

Ulugh Beg (L'Astronome de Samarcande) par Jean-Pierre Luminet

Je connais un tout petit peu Jean-Pierre Luminet par mon père (disons que j'ai dû le rencontrer quelques fois, je ne sais pas si lui se souviendrait de moi) ; mais je le connais surtout par son livre de vulgarisation sur les trous noirs, que j'ai lu quand j'étais petit, et qui m'a absolument fasciné (cf. ce que je disais ici sur la vulgarisation scientifique). Apparemment il s'est lancé dans l'écriture de livres sur l'histoire des sciences et plus spécialement de l'astronomie, à travers l'histoire de la vie de différents personnages : Euclide, Copernic, Kepler, Galilée, Newton, et maintenant Ulugh Beg. Peut-être que ce n'était pas le meilleur roman par lequel commencer, parce que j'ignorais jusqu'au nom d'Ulugh Beg, qui est pourtant un des petits-fils de Tamerlan (Temür — je ne sais pas bien comment le nommer), mais je ne savais pas grand-chose de Tamerlan ou des Timourides pour commencer ; ou peut-être au contraire que c'était justement le mieux de commencer par là : en tout cas, ça m'aura donné l'occasion (à la fois en lisant le livre et en le complétant par Wikipédia) d'être un peu moins ignorant, c'est-à-dire moins que totalement, sur la géopolitique de l'Asie centrale autour des XIVe et XVe siècles.

L'auteur précise bien qu'il s'agit d'un roman, certes basé sur des personnages historiques, mais où il n'a pas hésité à inventer quand il ne parvenait pas à reconstituer l'exactitude historique, ni à faire des choix quand elle est incertaine. Le roman suit, en fait, différents personnages : l'astronome Qāḍī Zāda, le shah Rukh (un des fils de Tamerlan), l'astronome Ulugh Beg (fils aîné du précédent et personnage central et éponyme du livre), et le mathématicien al-Kashī (bien connu pour la loi des cosinus). Le début ne m'a pas trop emballé, mais dès qu'il est question des Timourides j'ai trouvé ça plus intéressant. À vrai dire, il n'y a pas des masses de sciences, ni même d'histoire(s) des sciences, il y a plus d'histoires de politique et de luttes de pouvoirs (et de rapports entre science et religion), mais c'est raconté de façon plutôt agréable et qui se lit très bien.

Les Ondes gravitationnelles par Nathalie Deruelle et Jean-Pierre Lasota

Là aussi je dois préciser que je connais bien la coauteure de ce livre (nettement mieux que Jean-Pierre Luminet), donc je ne suis pas forcément neutre. Plus généralement, le fait que j'aie rencontré ou côtoyé un certain nombre des acteurs de l'histoire peut aussi jouer dans le fait que je la trouve intéressante (mon père a fait sa thèse d'État, sous la direction d'Achille Papapetrou, sur l'absorption des ondes gravitationnelles par les milieux visqueux ; et même si j'étais trop petit pour m'en souvenir vraiment, j'étais présent à une des sessions de l'école de physique des Houches du début des années '80 où les questions théoriques du sujet ont beaucoup été discutées).

Bref. Il s'agit d'un livre de vulgarisation sur les ondes gravitationnelles, expliquant ce qu'elles sont en général et l'origine du concept et de leur prédiction, et retraçant l'histoire et la technique de leur détection, à la fois du côté des théoricien et de celui des expérimentateurs. Mais quand je dis vulgarisation, il faut quand même préciser que ce livre entend manifestement s'adresser à des lecteurs ayant un bagage minimal en physique (disons, sachant ce qu'est une énergie, une force, la loi de Newton, ce genre de choses), pas vraiment à Madame Michu : c'est intéressant parce que cela recouvre justement des choses que j'évoquais tout récemment à propos de la communication scientifique et de l'intérêt d'occuper les niveaux intermédiaires entre « parler à Madame Michu » et « s'adresser aux spécialistes du même domaine ». Je suppose qu'un certain nombre de lecteurs de mon blog peuvent être intéressés par ce genre d'ouvrages.

Sans aller jusqu'à écrire des équations, le livre rentre assez précisément dans les détails de tout un tas de questions autour du concept et de la détection des ondes gravitationnelles. Par exemple sur le débat autour de l'existence même des ondes gravitationnelles et de la question de si elles véhiculent de l'énergie (le concept même d'énergie étant, en relativité générale, assez épineux) et la controverse autour de la validité de la formule du quadrupôle d'Einstein. Ou sur la difficulté à mener les calculs aussi bien théoriques (symboliques) que numériques, et comment on y remédie. Ou sur l'histoire de Joseph Weber et de ses premiers détecteurs (qui n'ont rien détecté du tout, mais il l'a cru). Ou sur l'histoire technique et administrative de la mise en place des détecteurs LIGO et Virgo (y compris l'obtention des subventions). Ou encore, et j'ai trouvé ce passage particulièrement intéressant, sur les questions sociologiques et épistémologiques autour du fait qu'il avait été décidé d'injecter des faux signaux dans les détecteurs (pour tester la capacité à les démasquer, mais au risque de laisser subsister un doute sur le fait que tel ou tel signal soit bien réel). Certains passages souffrent peut-être du défaut d'entrer un peu trop dans les détails (personnellement, les histoires de financement ne me fascinent pas tant que ça), mais on peut facilement les sauter, les différents chapitres et sous-chapitres du livre étant organisés de façon suffisamment claire pour qu'on se raccroche facilement.

(Pour ceux qui veulent une histoire des ondes gravitationnelles avec un peu de formules mais quand même pas trop, je suis tombé sur cet article, qui peut très bien se lire en complément de certains passages du livre de Deruelle et Lasota.)

La Mille et Deuxième Nuit par Théophile Gautier

Je sais que ça ne se fait pas d'écrire des critiques de classiques parce que les classiques sont des livres que tout le monde est censé avoir déjà lu (et que personne ne veut lire) et que c'est tabou d'en dire du mal, mais je suis tombé par hasard sur ce recueil, publié par Folio, de quatre nouvelles de Théophile Gautier autour du thème général approximatif du « double amour » (je n'ai pas compris si c'était Gautier ou l'éditeur qui avait fait le choix de regrouper précisément ces nouvelles-là ensemble) : Laquelle des deux, La Chaîne d'or, La Mille et Deuxième Nuit et Le Chevalier double. C'est plutôt amusant à lire.

Depuis, j'ai commencé à lire Le Spectre d'Atacama, un roman d'Alain Connes, Danye Chéreau et Jacques Dixmier (le premier et le troisième étant bien connus comme mathématiciens ; en fait, j'avais déjà lu des nouvelles de science-fiction de Dixmier, et même si je n'avais pas été emballé, les idées étaient intéressantes : du coup, là, j'étais curieux). Sinon, au rayon des romans co-écrits par des gens qu'on n'imaginait pas forcément comme romanciers, j'avoue que j'ai succombé au hype et acheté le roman The President is Missing de Bill Clinton et James Patterson, et peut-être même que je le lirai.

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(vendredi)

Un tout petit hommage

Je reviens à l'instant des obsèques d'un collègue, récemment retraité, et décédé la semaine dernière à la suite d'une longue maladie contre laquelle il avait combattu courageusement — et en continuant à faire des maths jusqu'au bout. Je ne me sens pas très doué dans l'art de composer des oraisons funèbres et je ne pense pas qu'un blog soit un bon endroit pour le faire, mais j'éprouve quand même le besoin de m'exprimer, donc je veux juste dire un tout petit mot sur une facette particulière de la personnalité de Gérard qui, en plus de son humour, me faisait spécialement apprécier sa compagnie. Je ne sais plus qui me suggérait cette idée que les hommes sont, dans leurs rapports sociaux, comme des objets de grande dimension que chacun de leurs proches perçoit dans une projection légèrement différente et sans forcément soupçonner la diversité de ce que les autres peuvent voir. Voici donc ma toute petite pièce du puzzle.

En un mot : éclectisme. Gérard avait comme moi le goût de s'intéresser à toutes sortes de choses au-delà des maths : de la physique à la linguistique et à la politique en passant par la biologie, la théologie ou encore l'histoire des sciences. Sans jamais avoir peur d'avouer son ignorance pour poser les bonnes questions. Le rituel social des matheux que j'apprécie le plus est celui du café où chacun de nous à tour de rôle apporte une tablette de chocolat que nous partageons en même temps que nos interrogations saugrenues sur le monde qui nous entoure. Comme je le disais naguère, l'intérêt du café n'est donc pas tant le breuvage consommé que la conversation qui l'accompagne. On peut partir d'un problème de maths rigolo et se retrouver rapidement à faire toutes sortes de blagues et à se demander s'il y a une étymologie indo-européenne commune, le souffle, entre le surnom mahātmā de Gandhi et le verbe atmen en allemand (Gérard aimait beaucoup proposer des rapports étymologiques ; et sur ce point précis, je n'y croyais pas mais son intuition était la bonne). Tôt ou tard, je finis toujours pas sortir mon mobile pour regarder Wikipédia ou Wiktionary, et là, Gérard me chariait gentiment : ça y est, on a réussi à lui faire sortir Wikipédia : alors, que dit l'Oracle ?. Je lisais ce que j'avais compris, et aussitôt nous repartions sur de nouvelles interrogations.

Voilà, c'est peut-être dérisoirement anecdotique comparé à d'autres choses comme sa descendance académique, mais c'est ça qui va me manquer le plus : So long, Gérard, and thanks for all the coffee!

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(mercredi)

Les revêtements doubles du groupe symétrique sont pénibles

Écrire l'entrée récente sur la vulgarisation des mathématiques m'a motivé a essayer d'écrire un morceau de vulgarisation sur la symétrie, les groupes finis et (l'histoire de) la classification des groupes simples finis. Comme c'était évidemment prévisible, ce texte est en train de grandir jusqu'à une taille démesurée, et comme d'habitude le risque commence à devenir sérieux que je finisse par en avoir marre et que je laisse tomber ; j'essaierai, le cas échéant, de m'efforcer de publier ce que j'aurai déjà écrit même si c'est inachevé plutôt que le garder indéfiniment dans mes cartons en pensant je finirai peut-être un jour. Ceci n'est pas le texte en question : c'est une tangente qui est déjà insupportablement longue en elle-même. Mais ceci est une illustration de ce que je disais dans l'entrée récente liée ci-dessus : on apprend toujours quelque chose en faisant de la vulgarisation, même quand on croit se placer à un niveau où on sait déjà tout ; et aussi que ça peut être un problème mathématiquement difficile de trouver comment bien expliquer ceci ou cela.

Puisqu'il s'agit de raconter mes difficultés, je m'adresse dans ce qui suit à des lecteurs qui sont déjà familiers avec la notion de groupe (et de sous-groupe, de quotient, de permutations, de signature (=parité) d'une permutation, et quelques choses à peu près à ce niveau-là). Normalement le contenu de l'entrée interminable que je viens de promettre pour un lendemain rieur devrait suffire à comprendre celle-ci (mais bon, c'est la théorie ; pour la pratique, je ne sais pas bien). Bref.

Remarque informatique : J'utilise la notation 𝔖 pour le groupe symétrique et 𝔄 pour le groupe alterné. Vous devriez voir une ‘S’ gothique (enfin, fraktur) pour le premier et un ‘A’ gothique pour le second. Mais on me souffle que dans certaines contrées reculées où la totalité d'Unicode ne baigne pas encore le monde de sa lumière bienfaisante et où les polices sont incomplètes, ces deux symboles pourraient apparaître comme des simples carrés (sans même un numéro hexadécimal à l'intérieur permettant de les distinguer simplement), ce qui est un peu fâcheux si je cherche à dire que 𝔄n est simple (pour n≥5) alors que 𝔖n n'est que « presque simple », par exemple. Pour toucher aussi ces provinces reculées (ainsi que les gens qui font une allergie à l'écriture gothique), j'ai prévu un peu de magie en JavaScript qui remplacera en un seul clic tous ces symboles par des identifiants plus explicites Sym et Alt : cliquez ici pour activer ce remplacement.

Je commence par expliquer le contexte (même si ce n'est pas vraiment important pour ce que je veux raconter ci-dessous, et c'est un peu plus technique, donc on peut ignorer), une des idées que je veux évoquer, au moins rapidement et en petits caractères, même si c'est un peu technique, est le fait qu'un groupe simple fini non abélien G apparaît souvent, dans la nature, « étendu » par des petits groupes (résolubles, souvent cycliques), de l'une ou l'autre, ou les deux, de manières (que, à ma grande honte, j'ai beaucoup tendance à confondre). À savoir : (1) « par la droite » par des automorphismes extérieurs, c'est-à-dire sous la forme d'un groupe E (dit presque simple) intermédiaire entre G et le groupe Aut(G) des automorphismes de G, si bien que G est un sous-groupe distingué de E avec un « petit » quotient (le plus gros possible étant le groupe Out(G)=Aut(G)/Int(G) des automorphismes extérieurs de G) ; ou bien (2) « par la gauche » par un sous-groupe central, c'est-à-dire sous la forme d'un groupe G˜ (dit quasisimple), parfait (= sans quotient abélien), ayant cette fois G comme quotient par un noyau contenu dans le centre de G˜ (et de nouveau il y a un plus gros revêtement possible, donné par le multiplicateur de Schur) ; et on peut avoir les deux à la fois, ce qui complique encore les définitions (je n'en connais d'ailleurs pas qui ne soient pas passablement pénibles à donner, donc si quelqu'un a ça, ça m'intéresse), et en plus on se perd dans les marais de l'« isoclinisme ». Je voudrais donner des exemples des deux phénomènes, voire des deux à la fois. Ne voulant pas supposer que mon lecteur est familier avec l'algèbre linéaire, je voudrais donner l'exemple du groupe alterné G = 𝔄n des permutations paires sur n objets. À ce moment-là, l'exemple de la situation (1) est facile à donner, c'est le groupe symétrique E = G:2 = 𝔖n de toutes les permutations sur n objets (et il n'est pas difficile d'expliquer que l'automorphisme intérieur défini par une permutation impaire devient, quand on le restreint au groupe alterné G = 𝔄n, un automorphisme extérieur). La situation (2) se produit aussi, et il existe un revêtement double G˜ = 2·G = 2·𝔄n, et deux revêtements doubles (« isoclinaux ») 2·𝔖n⁺ et 2·𝔖n⁻. J'ai donc bien envie d'essayer de décrire à quoi ressemblent ces groupes. L'ennui, c'est qu'ils ne sont vraiment pas commodes à décrire.

Ce dont il est question, ce sont deux groupes 2·𝔖n⁺ et 2·𝔖n⁻ qui sont des « revêtements doubles » du groupe symétrique 𝔖n sur n objets, et qu'on peut considérer comme des sortes de « permutations avec un signe »[#].

[#] (Ajout)Il vaut mieux éviter de dire permutations signées, parce que le groupe des permutations signées est encore autre chose (que les quatre groupes de permutations-avec-un-signé décrits ci-dessous, et qui ont tous 2·n! éléments) : le groupe des permutations signés, ou « produit en couronne » {±1} ≀ 𝔖n, lui, a 2n·n! éléments : on peut le décrire comme les permutations de l'ensemble {±1}×{1,…,n} qui, si elles envoient (+1,x) sur (±1,y) doivent alors nécessairement envoyer (−1,x) sur (∓1,y) (autrement dit, changer la première coordonnée de la source change la première coordonnée de la cible) ; on peut aussi voir ça comme des matrices dont toutes les entrées sont nulles sauf qu'il y a des ±1 sur le graphe d'une permutation (entre lignes et colonnes). Ce groupe {±1} ≀ 𝔖n, bien que plus gros, est assez simple à manipuler, et malheureusement il ne contient pas (sauf pour n très petit) les groupes 2·𝔖n⁺ et 2·𝔖n⁻ dont je veux parler ici. Je vais y revenir.

L'idée est la suivante : je vais chercher des groupes G˜ ayant 2n! éléments, à savoir deux pour chaque permutation σ dans G := 𝔖n ; disons qu'on va noter +[σ] (ou simplement [σ]) et −[σ] les deux éléments de G˜ correspondant à une permutation σ, mais attention, le choix de qui est +[σ] et qui est −[σ] est dans une certaine mesure arbitraire, c'est bien ça qui va poser problème. Je vais maintenant imposer plusieurs choses : d'abord, si 1 désigne la permutation triviale (l'identité : celle qui envoie chaque objet sur lui-même), alors +[1], qu'on va juste noter +1 ou 1 sera l'élément neutre de mon groupe ; quant à −[1], qu'on va simplement noter −1, il aura la propriété que le produit (−1)·[σ] sera −[σ] et le produit (−1)·(−[σ]) sera +[σ] comme on s'y attend, autrement dit, −1 est « central » (il commute à tout) et échange +[σ] et −[σ] ; enfin, je vais vouloir que [σ]·[τ] soit ±[σ·τ] où σ·τ désigne le produit dans 𝔖n et ± signifie qu'il y a peut-être un signe (cela dépend de σ et τ : on pourrait le noter c(σ,τ)) mais je n'impose rien à son sujet (c'est-à-dire, rien que ce qui est nécessaire pour obtenir un groupe).

Il se trouve qu'il y a (pour n≥4) exactement quatre groupes qui répondent aux contraintes que je viens d'énoncer : deux sont sans intérêt (mais il est pertinent de les décrire pour expliquer un peu comment les choses peuvent fonctionner) et les deux autres sont ces fameux revêtements doubles 2·𝔖n⁺ et 2·𝔖n⁻ dus à Issai Schur :

  1. Le plus évident est le groupe produit direct {±1}×𝔖n (ou 2×𝔖n étant entendu que 2 désigne abusivement le groupe cyclique Z₂={+1,−1} à deux éléments) ; c'est-à-dire qu'ici le signe et la permutation n'interagissent pas du tout. Autrement dit, dans ce groupe-là, on a [σ]·[τ] = [σ·τ] (toujours avec un signe ‘+’), et il n'y a vraiment rien d'intéressant à en dire. Remarquons que si σ est une transposition (= permutation d'ordre 2 échangeant deux éléments et laissant fixes tous les autres), alors ±[σ] est d'ordre 2 dans ce groupe, et que si σ est le produit de deux transpositions de support disjoints (= permutation d'ordre 2 échangeant deux paires d'éléments et laissant fixes tous les autres), alors ±[σ] est encore d'ordre 2.
  2. Un groupe un petit peu moins évident est celui dans lequel [σ]·[τ] = [σ·τ] sauf lorsque σ et τ sont toutes les deux impaires, auquel cas [σ]·[τ] = −[σ·τ]. Faute d'idée de meilleure notation, je vais le noter 2⊙𝔖n pour y faire référence plus tard. En fait, il est peut-être plus parlant pour y penser de modifier la notation et, lorsque σ est une permutation impaire, de noter (ou en tout cas de penser comme) +i[σ] et −i[σ] plutôt que +[σ] et −[σ] les deux éléments du groupe qui relèvent σ, où i est la racine carrée complexe standard de −1, auquel cas la règle des signes que je viens de donner est assez logique. (Je répète que je ne change pas du tout le groupe, là, je change juste la manière de noter ses éléments ou simplement d'y penser.) Ce groupe a la propriété que si σ est une transposition, alors ±[σ] est d'ordre 4 dans ce groupe (puisque son carré va être −1 d'après la règle de signe), et que si σ est le produit de deux transpositions de support disjoints, alors ±[σ] est d'ordre 2.
  3. On a le groupe 2·𝔖n⁺ que je vais essayer (sans grand succès) de décrire : il a la propriété que si σ est une transposition, alors ±[σ] est d'ordre 2 dans ce groupe (son carré vaut 1), et que si σ est le produit de deux transpositions de support disjoints, alors ±[σ] est d'ordre 4 (son carré vaut −1).
  4. Enfin, on a le groupe 2·𝔖n⁻ : il a la propriété que si σ est une transposition, alors ±[σ] est d'ordre 4 dans ce groupe (son carré vaut −1), et que si σ est le produit de deux transpositions de support disjoints, alors ±[σ] est également d'ordre 4 (son carré vaut −1).

Les deux premiers groupes dont je viens de parler (2×𝔖n et 2⊙𝔖n) deviennent identiques si on se limite aux permutations paires (et c'est toujours aussi inintéressant : c'est {±1}×𝔄n qu'on peut aussi noter 2×𝔄n) ; il en va de même des deux derniers : on note 2·𝔄n (groupe d'ordre n!) la restriction de l'un ou l'autre de 2·𝔖n⁺ ou 2·𝔖n⁻ aux permutations ±[σ] avec σ paire.

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