David Madore's WebLog: Une envoûtante animation d'ondes sur la sphère

Comme il faut bien que je dise au moins approximativement de quoi il est question, voici une petite digression à ce sujet.

Beaucoup de gens, même non-mathématiciens, ont probablement entendu parler des séries de Fourier, qui sont une façon d'analyser un signal périodique en le décomposant en fréquences harmoniques : grossièrement parlant, il s'agit d'écrire une fonction de fréquence f comme comme de sinusoïdes de fréquences n·f (la « n-ième harmonique ») dont l'amplitude et la phase dépendent de n. Par ailleurs, un signal périodique, c'est la même chose qu'une fonction sur le cercle (un temps circulaire, c'est la même chose qu'un temps qui se répète périodiquement : voyez l'article Wikipédia que je viens de lier, il y a plein d'animations très cool dessus) : les séries de Fourier sont donc, si on préfère, une façon d'analyser les fonctions sur le cercle.

Mais il existe aussi une façon très analogue de décomposer un signal sur la sphère (il existe des choses analogues en toute dimension, et même sur des espaces nettement plus généraux, mais limitons-nous à la sphère de dimension 2) : au lieu de développer en sinusoïdes de fréquences multiples de la fondamentale comme on le fait pour les séries de Fourier (séries trigonométriques), on développe en termes de ce qu'on appelle des harmoniques sphériques, et le développement correspondant s'appelle l'expansion multipolaire (note : ces deux articles Wikipédia parlent en gros de la même chose, et il faudrait sans doute les fusionner, ou au moins les harmoniser — mais c'est un bon exemple de la manière dont des gens peuvent faire la même chose sans vraiment se parler). Ce développement a beaucoup de propriétés communes avec le développement de Fourier. Une différence notable est qu'au lieu d'avoir juste le multiple n de la fréquence fondamentale (si on veut, le nombre de bosses sur le cercle), les harmoniques sphériques Y[ℓ,m] dépendent de deux entiers, ℓ étant en quelque sorte le niveau de fréquence totale et m la fréquence en longitude. (Elles dépendent, du coup, du choix d'un pôle nord : si on effectue une rotation quelconque de la sphère, la fonction Y[ℓ,m] se transforme en une combinaison linéaire des Y[ℓ,m′] pour ce même ℓ et l'ensemble de tous les m′. Une recherche sur Google images donnera au moins une idée de ce à quoi ces fonctions ressemblent, sous différentes représentations graphiques — et on voit vaguement en quoi ce sont des analogues sur la sphère des sinusoïdes sur le cercle.) Du coup, au lieu d'avoir une série simple de coefficients de Fourier, on a une série à deux indices ℓ,m de coefficients harmoniques.

Cette décomposition a des applications dans beaucoup de domaines : elle est très souvent pertinente pour étudier une fonction sur la sphère. Par exemple, une quantité définie sur la Terre tout entière, ça aurait un sens, et souvent un intérêt, d'essayer de la décomposer en harmoniques sphériques (je ne sais pas, moi, la forme du géoïde, la température de surface à un instant donné, la densité de population humaine, ce genre de choses ; les physiciens font ça aussi, entre autres, pour analyser le rayonnement cosmologique fossile et confronter son spectre aux théories).

Mais un intérêt particulier de la décomposition en séries de Fourier (ou de la transformée de Fourier), c'est aussi de résoudre des équations aux dérivées partielles linéaires ; d'ailleurs, Fourier cherchait, historiquement, à résoudre l'équation de la chaleur sur un cercle. C'est aussi le cas pour la décomposition en harmoniques sphériques, essentiellement à cause du fait que les harmoniques sphériques Y[ℓ,m] sont des vecteurs propres du laplacien shérique (ΔY[ℓ,m] = −ℓ(ℓ+1)·Y[ℓ,m]), ce qui les rend très confortables dans des équations faisant intervenir cet opérateur, comme l'équation de la chaleur ou l'équation des ondes. C'est pour cette raison que les harmoniques sphériques apparaissent dans la résolution de l'équation de Schrödinger pour le calcul des orbitales des électrons dans un atome.