David Madore's WebLog: 2018-04

This WebLog is bilingual, some entries are in English and others are in French. A few of them have a version in either language. Other than that, the French entries are not translations of the English ones or vice versa. Of course, if you understand only English, the English entries ought to be quite understandable without reading the French ones.

Ce WebLog est bilingue, certaines entrées sont en anglais et d'autres sont en français. Quelques-unes ont une version dans chaque langue. À part ça, les entrées en français ne sont pas des traductions de celles en anglais ou vice versa. Bien sûr, si vous ne comprenez que le français, les entrées en français devraient être assez compréhensibles sans lire celles en anglais.

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Entries published in April 2018 / Entrées publiées en avril 2018:

(jeudi)

Le JavaScript, le DOM et les petites crottes de ragondins

J'ai écrit dans l'entrée précédente un petit bout de code en JavaScript permettant de générer de jolies images de pavages quasipériodiques. Forcément, c'est le genre de choses qui donne envie d'ajouter une fonctionnalité, puis une autre, puis encore une autre : choix du jeu de couleurs, choix de l'échelle, ce genre de choses. Au fur et à mesure, le code tend à se compliquer et à devenir un peu illisible (surtout que je suis parti de quelque chose d'un peu ancien dont je ne me rappelais plus exactement comment il fonctionnait — raison pour laquelle mes explications dans l'entrée en question étaient un peu confuses).

Là, je viens d'ajouter une fonctionnalité permettant de déplacer la région qu'on voit (il faut cliquer quelque part, déplacer la souris en gardant le bouton appuyé, et relâcher le clic). C'était assez naturel de souhaiter ça : après tout, l'image représente un bout d'un pavage infini du plan, on a envie de pouvoir explorer ce qui se passe quand on s'éloigne de l'origine. Double difficulté, la première étant due au fait que je n'avais pas du tout prévu ça dans mon code initial — là je ne peux m'en prendre qu'à moi-même —, la seconde étant qu'en JavaScript+DOM, tout est toujours plus compliqué que prévu.

Notamment, à chaque fois que le navigateur fournit une information, par exemple sur un événement (clic de souris, ce genre de choses), il vous fournit quantité de choses qui vont avec, mais on a l'impression que ces choses ont été savamment choisies pour donner l'impression d'être utiles mais être, au final, vraiment pénibles à utiliser.

Un exemple qui me semble frappant : je crée mon image dans un <canvas> HTML (c'est-à-dire une région prévue, justement, pour qu'on puisse dessiner dessus en JavaScript). Le <canvas> en question a une certaine taille, dans mon cas j'ai choisi 1024×768 pixels. (Enfin, pixel, il faut le dire vite, parce que la notion de pixel sur le web est un vrai chaos et c'est devenu une unité de mesure comme une autre. Mais disons que je peux faire comme si j'avais une image de 1024×768 pixels sur laquelle je peux travailler.) Sauf que comme l'image peut vite devenir trop grande sur un mobile, j'ai utilisé une incantation CSS style="max-width: 100%; height: auto" sur mon <canvas> pour demander au navigateur que, si l'image est trop grande pour tenir dans l'élément enveloppant, il la réduise à la taille appropriée (et ce, de façon proportionnée) ; je ne suis pas sûr de comprendre les subtilités, d'ailleurs, mais bon, ça a l'air de marcher. Maintenant, quand le navigateur transmet une information concernant un clic de souris (disons), il donne plusieurs copies des coordonnées du clic : par rapport à l'écran (screenX et screenY), par rapport à la page complète (pageX et pageY), par rapport au contenu effectivement affiché de la page (clientX et clientY), par rapport à on ne sait pas bien quel bord de l'élément lui-même (offsetX et offsetY), et par rapport à un truc que personne ne semble comprendre (layerX et layerY). On s'y perd complètement ! Mais ce qui est vraiment hallucinant, c'est qu'aucune de ces nombreuses coordonnées n'est celles qu'on veut vraiment, c'est-à-dire celles par rapport au <canvas> dans son système de coordonnées par défaut ! (Autrement dit, quelque chose qui renverrait un nombre entre 0 et la largeur/hauteur en pixels telle que précisée dans l'attribut width ou height de l'élément. Ou éventuellement, dans son système de coordonnées transformé par les opérations de translations, rotations et d'échelles qu'on a pu appliquer ultérieurement.) Et, pire, il n'existe aucun mécanisme simple pour faire la conversion : en m'inspirant d'informations glanées çà et là sur le Web, je me suis retrouvé à écrire l'horreur suivante :

function undoCSSFuckery(e) {
    // Compute event x and y relative to canvas which may be scaled by
    // CSS (***sigh!***).
    "use strict";
    var x,y;
    var rect = e.target.getBoundingClientRect();
    var clX = typeof(e.changedTouches)=="undefined" ? e.clientX : e.changedTouches[0].clientX;
    var clY = typeof(e.changedTouches)=="undefined" ? e.clientY : e.changedTouches[0].clientY;
    x = clX - rect.left;
    y = clY - rect.top;
    var width = rect.right - rect.left;
    var height = rect.bottom - rect.top;
    if ( e.target.width != width || e.target.height != height ) {
        x *= (e.target.width/width);
        y *= (e.target.height/height);
    }
    return [x,y];
}

— qui n'est certainement pas robuste parce que, par exemple, si le <canvas> a des marges ça ne va probablement pas marcher. Ah oui, il y a moyen d'interroger CSS pour connaître toutes sortes de choses, mais il faut prononcer un nombre impressionnant d'incantations propitiatoires pour le faire, et le résultat est souvent encore à déchiffrer derrière : par exemple, il va souvent renvoyer des informations en pixels sous forme de chaînes du type "1024px", et on ne sait jamais si ce suffixe px est garanti être là, ou comment on doit se débrouiller si une autre unité devait être retournée (le navigateur n'expose évidemment pas au JavaScript tous les mécanismes de conversions d'unités qu'il a forcément en lui-même !).

On a vraiment l'impression que tout est fait pour mettre des bâtons dans les roues du programmeur : lui donner douze fois la même information de douze façons subtilement différentes pour l'embrouiller, et pour qu'il ne puisse pas savoir ce qui va marcher sur quel navigateur, mais surtout ne pas lui donner l'information qu'il veut vraiment, et le forcer à la calculer en utilisant, du coup, encore d'autres informations dont on ne sait pas ce qu'elles valent.

Le support du mouvement de la souris est du même acabit : je réagis aux événements "mousedown" et "mouseup" pour la souris, et aussi "touchstart" et "touchend" pour les interfaces tactiles, mais j'ai cru comprendre que les interfaces tactiles généraient typiquement ausis du "mousedown" et "mouseup", et qu'en utilisant e.preventDefault() j'allais éviter ça — mais je ne sais pas si j'ai fait ce que j'aurais dû. Et il n'y a évidemment aucun moyen fiable de s'assurer qu'on est en train de bien associer le bon événement "mouseup" au bon "mousedown" au cas où des événements se seraient perdus en route (il n'y a pas, par exemple, moyen de sauvegarder une information au moment du "mouseup" qui serait garantie être retournée par le "mousedown" correspondant). Quelle horreur !

Dans ces conditions, il n'est pas surprenant que fleurissent toutes sortes de bibliothèques et frameworks JavaScript (du style jQuery), qui facilitent certaines tâches mais augmentent la lourdeur du code et son temps de chargement, et ajoutent leur propre complexité à la moussaka en surchargeant des choses qui existent déjà et en rendant plus complexe la recherche de solutions en ligne (notamment pour distinguer les solutions en pur JavaScript et celles en jQuery ou équivalent). D'ailleurs, que je sache, jQuery ne fournit pas l'équivalent de ma fonction undoCSSFuckery() ci-dessus, ce qui est quand même impressionnant pour une bibliothèque censée tout faire même le café.

Bref, mon code pour déplacer dans les images de l'entrée précédente marche peut-être. Parfois. Certains jours. Sur certains navigateurs. Si vous voyez comment faire plus propre, n'hésitez-pas à me le dire.

(mardi)

Encore de jolies images quasipériodiques

Encore un peu d'art mathématique construit autour de l'élégance du nombre 7 et de la quasipériodicité. Cette fois-ci, je vais faire travailler votre navigateur plutôt que calculer les images moi-même (l'image qui suit, normalement, est animée et change de temps en temps ; sa périodicité est d'une semaine de 10 minutes et 04.8 secondes [correction () j'avais fait une erreur d'un facteur 1000 parce que JavaScript renvoie le temps en millisecondes et pas en secondes]) :

Jeu de couleurs : Échelle :

M'étant fatigué à programmer ça, j'avoue que j'ai maintenant un peu la flemme d'expliquer de quoi il s'agit (surtout que je ne suis pas sûr d'en avoir une idée si précise moi-même), et je suis un peu tenté de dire vous n'avez qu'à lire le source JavaScript, il n'est pas obfusqué. Mais pour dire quand même un peu d'où ça sort, je suis parti d'une jolie construction de pavages de Penrose décrite dans un article de Nicolaas Govert de Bruijn, Algebraic theory of Penrose's non-periodic tilings of the plane, I, Nederl. Akad. Wetensch. (=Indag. Math.) 43 (1981), 39–42 (notamment §4), et j'ai remplacé 5 par 7 un peu partout (on peut d'ailleurs changer seven = 7 par d'autres valeurs dans mon code et voir ce que ça fait, ça devrait marcher ou au moins marchouiller) et supprimé une hypothèse qui a sans doute un intérêt pour cet article mais pas vraiment s'il s'agit juste de faire de « jolies images ». (Cet article m'avait été présenté par un candidat au moment où j'étais examinateur aux TIPE à l'ENS. J'avais écrit du code à ce moment-là, mais je n'avais pas bien compris comment fabriquer quelque chose de symétrique, et par ailleurs je coloriais les morceaux de façon bizarre, donc ça ne donnait pas un résultat très beau ; j'y ai repensé en écrivant l'entrée précédente.)

Très sommairement, la construction est la suivante : on part de sept familles de droites parallèles régulièrement espacées dont les directions sont séparées des multiples de 2π/7 (dans un premier temps, on pourra imaginer que l'origine du plan est à mi-chemin entre deux droites dans chaque famille) : appelons ça une heptagrille. On fait l'hypothèse qu'il n'y a pas de points où trois droites différentes de l'heptagrille se coupent. Le pavage sera en quelque sorte dual de l'heptagrille, au sens où à chaque intersection de deux droites de l'heptagrille on va associer un losange du pavage (et chaque sommet du pavage est associé à une composante connexe du complémentaire de la réunion des droites de l'heptagrille). Pour calculer les coordonnées d'un point du pavage, on commence par attribuer des valeurs entières aux bandes délimitées par les droites de chaque famille de l'heptagrille, disons de façon que l'origine ait la valeur 0 : pour un point P « général » du plan où vit l'heptagrille (« général » c'est-à-dire non situé sur une droite) on a ainsi sept valeurs entières k₀,…,k₆, selon les bandes où il se situe, et on associe à P le point Φ(P) du plan complexe somme des kj·ζjζ=exp(2iπ/7) est une racine septième de l'unité ; si le point P est sur une droite, l'un des kj va prendre deux valeurs entières adjacentes au voisinage de P, et s'il est sur deux droites à la fois, on va avoir deux des kj qui prennent deux valeurs adjacentes : les quatre points associés par Φ (i.e., sommes des kj·ζj) sont alors les quatre sommets d'un losange du pavage. Ceci définit le pavage, qu'il est facile de construire en énumérant tous les points de croisement de droites de deux familles de l'heptagrille. (La forme du losange est déterminée par l'écart entre les angles des deux droites qui s'intersectent au point auquel il est associé.) Pour muter le pavage, on peut décaler les différentes familles de droites constituant l'heptagrille (si le décalage est le même pour chaque famille, la symétrie est conservée).

Bon, la description ci-dessus est certainement assez obscure, mais je n'ai pas le temps d'expliquer mieux. Par ailleurs, il y a certainement quelque chose d'intelligent à dire qui fait intervenir les mots système de racines de type A et plan de Coxeter, mais là, tout de suite, comme ça, je ne vois pas bien.

Ajout () : J'ai ajouté un sélecteur pour afficher ça en couleurs (les couleurs sont choisies d'après l'orientation des losanges). Mais je continue à préférer nettement la version en teintes de gris (choisies d'après la forme des losanges). Nouveaux ajouts : J'ai aussi ajouté de quoi changer l'échelle, et de quoi se déplacer (cliquer+déplacer la souris), voir aussi l'entrée suivante.

(lundi)

Je fais de jolies images avec la transformée de Fourier

[Transformée de Fourier d'un carré]

[Transformée de Fourier d'un hexagone]

[Transformée de Fourier d'un octogone]

[Transformée de Fourier d'un décagone]

[Transformée de Fourier d'un dodécagone]

[Transformée de Fourier d'un tétradécagone]

[Transformée de Fourier d'un hexadécagone]

[Transformée de Fourier d'un octadécagone]

[Transformée de Fourier d'un icosagone]

[Transformée de Fourier d'un doicosagone]

[Transformée de Fourier d'un tétraicosagone]

Pour une fois, cette entrée mathématique n'a aucun autre but que de « faire joli ». Il y a peut-être des choses intéressantes à dire à ce sujet (et ces choses intéressantes font peut-être intervenir des mots comme quasi-cristal ou pavage de Penrose), mais je n'ai pas vraiment envie d'y réfléchir.

Les images ci-contre à droite (faites défiler vers le haut et vers le bas, ou voyez ici sur Imgur) représentent les transformée de Fourier de polygones réguliers, et plus exactement des n-gones réguliers pour n pair allant de 4 à 24. Elles sont représentées par des nuances de gris pour les valeurs positives (où 0=noir et n=blanc) et des nuances de bleu pour les valeurs négatives (où 0=noir et −n=bleu intense). Ce que j'appelle transformée de Fourier d'un n-gone régulier (ou plus exactement, des sommets du polygone — je ne trouve pas de tournure qui ne soit pas invraisemblablement lourde), c'est la transformée de Fourier d'une somme de n distributions δ, l'une centrée en chaque sommet du n-gone (le n-gone étant lui-même centré à l'origine). Plus concrètement, la fonction tracée est donc la somme de n ondes planes (toutes en phase à l'origine) partant dans chacune des n directions régulièrement espacées autour de l'origine :

k=0n1 exp 2iπ cos2kπn x + sin2kπn y

(Ou, pour les navigateurs pourris qui ne gèrent pas le MathML : ∑k=0n−1exp(2iπ·(cos(2kπ/nx+sin(2kπ/ny)).) Pour n pair, ceci est bien une fonction réelle, et elle possède une symétrie de rotation d'ordre n autour de l'origine. Contrairement à l'impression qu'on peut avoir, elle n'est pas périodique (sauf dans les cas « cristallographiques » n=4 et n=6, qui ne sont pas franchement passionnants), seulement quasi-périodique. Il n'est pas concevable une seule seconde que je sois le premier à mettre de telles images en ligne mais, bizarrement, je ne trouve pas comment d'autres gens ont pu les appeler.

On pourra noter que quand n tend vers l'infini, la fonction (correctement renormalisée) tend (en un certain sens, que je n'ai vraiment pas envie de chercher à préciser) vers une fonction de Bessel de première espèce J de la distance à l'origine : c'est ce qu'on commence à voir par le jeu d'anneaux concentriques autour de l'origine pour n grands.

Bon, enfin, ce qui importe surtout c'est que ce soit visuellement plaisant, et je trouve que ça l'est.

Comme la fonction n'est pas périodique, ça pourrait être intéressant (surtout pour n modérément grand) d'en faire un « explorateur » interactif en JavaScript, où on pourrait se déplacer dessus, zoomer ou dézoomer, et ce serait calculé en temps réel. Mais j'avoue que je n'ai pas la patience de programmer ça.

En revanche, pour ceux qui trouvent que mes images 2D ci-dessus sont trop statiques, je peux vous proposer une version 3D, qui consiste à faire la transformée de Fourier d'un polyèdre régulier et de la « trancher » en tranches 2D (c'est-à-dire, d'afficher des valeurs dans des plans parallèles les uns aux autres) selon une direction de plan qui présente une symétrie maximale (plan de Coxeter) : j'ai mis ça sur YouTube, et vous pouvez voir la transformée de Fourier d'un icosaèdre régulier et celle d'un dodécaèdre régulier (le plan de Coxeter fournit une symétrie d'ordre 10 : c'est la direction de plan parallèle à deux faces opposées quelconques du dodécaèdre). Là aussi, j'ai du mal à comprendre pourquoi une recherche Google de Fourier transform of dodecahedron ou variantes ne donne essentiellement rien (à part des choses que j'ai moi-même calculées, dont une vieille version des mêmes vidéos) : même si ça ne doit servir qu'à « faire joli », c'est pourtant quelque chose d'éminemment naturel à regarder, il me semble.

(J'ai vaguement imaginé, aussi, calculer la transformée de Fourier de polygones et polyèdres pleins, et aussi de leurs facettes et arêtes, mais outre que ce serait excessivement pénible à calculer, je pense que ce serait très décevant, en fait : ça ressemblerait sans doute à peu près la même chose mais en s'atténuant très vite quand on s'écarte de l'origine.)

(vendredi)

Quelques réflexions décousues sur les « conseils-reproches »

Certains des retours que j'ai reçus (notamment hors du système de commentaires de ce blog) sur mes péripéties racontées dans l'entrée précédente m'inspirent quelques réflexions sur un phénomène psychologique auquel j'ai envie de donner le nom de « conseils-reproches » ou d'« écoute moralisatrice », mais il y a certainement des termes meilleurs et plus classiques. Ce dont je veux parler est assez proche de ce que je racontais ici déjà à propos des conseils, et peut être classé comme une variante ou une instance de la croyance en un monde juste. Je tiens à souligner que mon but en écrivant tout ça n'est pas du tout ici de faire des remontrances à qui que ce soit, et notamment pas à ceux qui ont pu croire bien faire en me suggérant ceci ou cela : c'est forcément quelque chose à quoi je dois m'attendre si je raconte ma vie sur Internet que de recevoir des messages disant tu devrais manger plus de carottes ou tu devrais arrêter de coucher avec un homme comme on couche avec une femme, c'est une abomination, et cela atteste la grande qualité du lectorat de ce blog 😁 que j'en reçoive, finalement, très peu. Bref.

Le phénomène dont je veux parler est illustré par un scénario qui était assez typique quand j'étais ado : je me plains que j'ai mal à la tête, et ma mère me répond immédiatement que, vu à quel point je me couche tard, ce n'est pas du tout surprenant. Je ne sais plus si cet échange précis s'est produit — je sais juste qu'il est plausible — mais je parle de ce genre de choses. J'avais commencé à faire des blagues sur le fait qu'à force, un jour, on allait me dire que si j'avais perdu ma montre c'était sans doute parce que je n'avais pas voulu manger de carottes, ou que si j'avais mal au ventre c'était parce que je ne rangeais pas ma chambre. Puis je me suis rendu compte que j'avais moi-même tendance à faire des « conseils-reproches » de la sorte et que ce n'était pas une bonne idée de jeter la pierre mais plutôt d'essayer de comprendre ce qui se passe.

Bref, l'idée est qu'une personne A se plaint de quelque chose X (par exemple une douleur, un petit malheur, une contrariété quelconque), et une autre, B, le « donneur de conseils-reproches », saisit n'importe quoi Y qui lui déplaît dans l'attitude de A, pour établir un lien de causalité entre Y et X, soit sous la forme d'une admonestation (tu devrais arrêter Y [ça t'éviterait certainement X], souvent la seconde partie n'est pas explicitée), soit sous une forme encore plus moralisatrice (vu tout le Y que tu fais, ça ne m'étonne pas !), voire je te l'avais bien dit !. Typiquement, le lien est présenté dans l'optique d'une « hygiène de vie » : B perçoit Y comme une sorte de manquement aux principes généraux d'une vie saine (sans que ce concept soit nécessairement explicité ni même clair dans l'esprit de B), et toutes sortes de problèmes X sont perçus comme conséquences possibles d'un tel manquement. Grâce à cette sorte de subterfuge, B n'a pas l'impression d'être moralisateur : il ne fait (dans sa propre perception des choses) qu'énoncer une sorte d'inévitabilité causale, comme si tu fais des acrobaties comme ça, tu vas finir par tomber.

Et ce qui est subtil, c'est qu'il y a évidemment plein de cas où ce genre d'approche est intellectuellement justifié : si quelqu'un (A) a pour habitude (Y) de caresser les cactus (les cacti ?), et qu'il se plaint de s'y piquer (X), la réaction à la fois naturelle et éminemment logique est de dire tu devrais peut-être arrêter de caresser les cactus ou, de façon moins charitable, ça ne m'étonne pas. Comme pour beaucoup d'erreurs de logique (en tout cas celles qui sont intéressantes), il n'y a pas de critère de pure forme permettant de distinguer les causalités « justifiées » de celles qui sont dictées par le phénomène dont je parle, et il y a tout un continuum de situation où on (=B) est plus ou moins de mauvaise foi en tirant la conclusion d'un rapport entre Y et X.

Le rapport suggéré est souvent plausible : il est tout à fait raisonnable, par exemple, de penser que se coucher très tard puisse donner mal à la tête dans la journée. (Contrairement aux blagues mentionnées ci-dessus personne ne m'a jamais dit que c'était par manque de carottes que j'avais perdu ma montre.) Mais plausible ne suffit pas, en tout cas pour affirmer quelque chose péremptoirement (évidemment, c'est déjà différent si le ton est plus modeste : as-tu envisagé peut-être qu'il pouvait y avoir un rapport entre Y et X ?). Par exemple, si Y est quelque chose que A pratique depuis longtemps et que X est un problème nouveau ou rare, tenter d'expliquer X par Y devrait au moins proposer un mécanisme expliquant pourquoi l'effet suggéré n'est pas systématique. Le problème dans l'affaire, ce n'est pas que Y soit ou pas une explication possible/plausible de X, c'est que la démarche intellectuelle de B n'est pas de rechercher honnêtement une explication mais de sauter sur quelque chose qu'il avait en tête depuis longtemps.

Or il va de soi que personne ne se conforme parfaitement à l'hygiène de vie qu'il se donne comme idéal, et a fortiori encore moins à l'hygiène de vie qu'une autre personne a en tête (et comme ces hygiènes de vie se contredisent les unes les autres, il est encore plus impossible de se conformer à plusieurs d'entre elles simultanément). Quoi qu'on fasse, et de quoi qu'on se plaigne, on aura toujours des gens pour vous dire tu devrais arrêter de faire ceci-cela ou tu devrais plus faire ceci-cela. Toutes bien intentionnées que sont ces personnes, elles peuvent apporter plus d'angoisse que d'aide.

La nourriture est sans doute le terreau (relativement innocent) le plus fertile pour les conseils-reproches : tu devrais manger plus de fruits et légumes, tu devrais manger bio, tu devrais être végétarien, tu ne devrais pas être végétarien (quand je vous dis que les hygiènes de vie se contredisent…). Mais il y a toutes sortes de terrains adjacents : tu devrais prendre des compléments de vitamine Z, tu devrais éviter de prendre des compléments alimentaires, tu devrais faire plus de sport, tu ne devrais pas trop tirer sur ton corps, etc. Ce genre de choses survient surtout quand l'objet X de la plainte est du domaine médical ou para-médical.

Sur d'autres terrains cela peut devenir éminemment détestable. Si quelqu'un devait me dire que ma tendance à l'angoisse ou à l'hypocondrie est due au fait que je suis en couple avec un garçon et que ce n'est pas naturel, par exemple, j'espère qu'on sera d'accord que c'est une forme d'homophobie. (Plutôt dans le genre Christine Boutin, l'homophobie compassée de la dame qui demandait le à l'Assemblée nationale : en effet, qu'est-ce que l'homosexualité sinon l'impossibilité d'une personne à pouvoir atteindre l'autre dans sa différence sexuelle ?.) On ne m'a jamais dit ça (il est encore temps !), mais j'ai entendu plus d'une fois, il y a longtemps dans des associations de jeunes homos, des remarques tout aussi moralisatrices du genre si A est malheureux, c'est parce qu'il n'arrête pas de baiser à gauche et à droite au lieu de se trouver un copain stable (prononcée par un jeune homme homo au sujet d'un autre, donc, sans forcément qu'il y ait une histoire de jalousie qui pimente le reproche) ; ou stigmatisant implicitement telle ou telle pratique de la sexualité (un exemple typique étant de laisser comprendre que le SM, ce n'est pas bien ou que c'est malsain, et que ceci ou cela en est évidemment la conséquence néfaste). À part la sexualité, un autre terreau fertile est, évidemment, la religion (et les conseils-reproches d'aller dans tous les sens, évidemment !, et notamment du religieux vers le non-religieux comme le contraire). Là on parle plutôt de pseudo-expliquer des plaintes X qui seraient de l'ordre du bien-être général ou de l'équilibre psychologique.

Comme je le disais plus haut, je ne suis certainement pas moi-même immunisé au fait de donner des conseils-reproches, ou en tout cas à la tentation d'en donner. À titre d'exemple, je ne bois pas plus qu'un verre de cidre de temps en temps, je ne fume pas, et je ne prends pas de psychotropes (sauf si on commence à classifier le café comme un psychotrope, mais même la caféine, j'en fais une consommation très modérée) : et je dois avouer que ça me démange parfois de prononcer des jugements, dissimulés sous forme de conseils-reproches, à des gens qui n'auraient pas cette même hygiène de vie. Quelque part il faut tracer une ligne entre celui qui se bourre la gueule et monte dans une voiture, et celui à qui j'ai envie de faire des reproches parce que, à un certain niveau épidermique, ça me dérange qu'il boive, parce que je n'arrive pas à accepter que c'est sa vie et ça ne me regarde pas ; et cette ligne, elle n'est pas toute tracée, il faut faire preuve de discernement pour la placer, et je ne peux pas proposer de formule magique parce que je n'en ai pas.

(Un domaine plus anecdotique mais qui est facilement l'arène où se déroulent des combats quasi religieux, c'est l'informatique : pour une raison qu'il n'est pas lieu ici de ne serait-ce que commencer à analyser, les informaticiens — et je m'inclus dedans en l'occurrence — ont tendance à avoir des idées extrêmement arrêtées sur ce qui est The Right Thing. [Tiens, dans le monde parallèle dont je viens, le terme de rightthingfulness, un jeu de mot entre The Right Thing et le nom commun rightfulness, était tout à fait standard : mais dans ce monde-ci, même en variant le nombre de ‘t’ ou de ‘l’, Google n'en connaît pas une seule occurrence ! Apparemment, il faut croire que dans ce monde-ci, c'est moi qui l'ai inventé. (En fait, le terme est courant sur le forum des anciens élèves de l'ENS, mais je vois que je suis quand même le premier à l'avoir utilisé, le .) Du coup, je ne peux pas me permettre de dire que ce jeu de mot est extrêmement bien trouvé, vous êtes priés de le dire pour moi, merci. 😉] Et par conséquent, il y a aussi tendance à reporter la « faute » de tout problème informatique sur l'utilisateur qui n'a pas suivi tel ou tel impératif quasi-religieux : utiliser Microsoft, utiliser Apple, utiliser des logiciels libres, utiliser Linux, ne pas utiliser Linux, utiliser Emacs, ne pas utiliser Emacs, écrire en Unicode, ne pas abuser d'Unicode, etc.)

Il n'y a donc pas de conclusion à ces réflexions. Si je dois essayer de donner des méta-conseils sur comment donner des conseils, je vais sans doute répéter en gros ce que j'ai écrit dans cette entrée (déjà liée ci-dessus) et celle-ci (qui parle d'autre chose mais finalement la démarche peut se ressembler) ; cependant, je ne garantis certainement pas que ces méta-conseils soient les meilleurs. Mais cela vaut certainement la peine de garder à l'esprit que la tentation est souvent grande, et particulièrement insidieuse, de faire preuve de mauvaise foi et de prodiguer des admonestations qui ne visent pas tant à soulager les problèmes de celui à qui on s'adresse mais, en quelque sorte, de contrôler un peu sa vie. Le minimum est donc probablement de faire preuve de modestie (et je ne prétends certainement pas être bien placé pour donner des leçons à ce sujet ! ☺) et de s'interroger soi-même sur le lien causal qu'on voit vraiment entre Y et X et peut-être sur le lien qu'on voudrait y voir.

(mardi)

Où est le docteur Sacks quand j'ai besoin de lui ?

(Oui, je sais, la réponse à la question du titre est qu'il est mort — il n'y a pas si longtemps d'ailleurs.)

Hier, j'ai encore eu un épisode bizarre qui m'a mené aux urgences et a dû donner à tout le monde l'impression que je suis un hypocondriaque qui s'écoute trop et qui fait perdre du temps précieux qui devrait être consacré aux gens vraiment malades, mais qui m'inquiète quand même beaucoup.

J'étais en train de faire de la musculation et de lire des articles de maths. Oui, c'est une combinaison bizarre, mais j'ai déjà dû expliquer que je faisais régulièrement ça : je lis des maths pendant le temps de repos entre deux séries de mouvements de muscu, le fait que ça m'oblige à lire lentement est plutôt une bonne chose. Mais c'est peut-être aussi une combinaison redoutable pour le cerveau, je ne sais pas, même si je n'ai jamais eu de problème particulier jusqu'à maintenant. Je n'ai rien consommé d'inhabituel ni rien qui ne soit pas vendu en pharmacie en France (poudre de protéines, HMB), et j'ai bu normalement et régulièrement tout au long de ma séance. Je n'ai pas subi de choc particulier. Il est possible que j'aie forcé sur les mouvements. Ou peut-être que les articles que je lisais étaient particulièrement ésotériques ; je ne peux pas trop donner de détails parce qu'il s'agit de quelque chose sur quoi on m'a demandé d'écrire un rapport, mais disons qu'il était question d'applications possibles des groupes finis sporadiques à la crypto et, au point précis où j'en étais, de produits de Zappa-Szép.

Toujours est-il que (sans doute vers ) j'ai commencé à avoir des sentiments récurrents d'absence, couplés à une impression de déjà vu. Je n'arrivais plus du tout à suivre ce que je lisais. J'avais la sensation d'être un peu endormi, ou bien dans cet état mental incertain quand on est réveillé au milieu de la nuit et que les idées sont confuses (voir aussi ici). J'ai eu plusieurs fois des souvenirs bizarres qui me sont remontés à l'esprit, comme des restes de rêves qui remontent à la surface et qu'on n'arrive pas à préciser complètement (et si j'essayais, ça me causait une sorte de panique). Mais surtout, et c'est le symptôme qui a persisté le plus, de vivre comme « en pointillé » : un instant j'étais ici, un instant là, et entre les deux, rien, comme si ma vie n'était soudainement faite que de flashs, sans continuité entre eux. Comme si ma mémoire à court terme fonctionnait très mal, ou très bizarrement.

J'ai demandé à l'accueil de la salle de sport qu'ils parlent un peu avec moi, puis, comme ça ne passait décidément pas, qu'ils appellent les secours. Le SAMU et les pompiers ont jugé que je n'étais pas un cas pour eux et que je n'avais qu'à me débrouiller. Quelqu'un de la sécurité du club a eu la gentillesse de me raccompagner jusqu'à chez moi où j'ai pu prendre quelques affaires et appelé mon poussinet, lequel m'a mis dans un taxi et amené aux urgences de la Pitié-Salpêtrière (à si j'en crois le compte-rendu, parce que mes souvenirs à moi sont, justement, très confus pour ce qui est du temps).

Je pense que tout le monde m'a un peu pris pour un affabulateur, parce que ma conversation, si j'en crois ce que dit mon poussinet, était complètement cohérente et sensée, je donnais juste l'impression d'être agité et peut-être de me répéter. Et je reconnais franchement que j'ai une tendance très nette à l'hypocondrie. Mais moi, de mon côté, j'ai l'impression de n'avoir vécu cette soirée que par tableaux : un instant je suis dans la salle d'attente de la Pitié, un autre je parle à l'IAO[#], encore un autre un patient voisin me jette un regard noir parce que je parle très fort, encore un autre je suis en conversation avec l'interne qui s'est occupé de mon cas, puis on me fait passer un scanner, etc. Le point positif, si on veut, c'est que je ne me suis pas du tout ennuyé malgré les heures que j'ai passés à l'hôpital, je n'ai à aucun moment sorti mon mobile comme j'ai tendance à faire quand je trouve le temps long (juste une fois, vers la fin, et j'ai vu que j'avais précédemment ouvert l'article déjà vu sur Wikipédia en anglais, chose que je ne me rappelais plus du tout avoir fait).

[#] Il était très choupinou, d'ailleurs, l'IAO en question, comme je l'ai fait remarquer à mon poussinet : preuve que certaines parties de mon cerveau, au moins, fonctionnaient normalement. ☺

Je veux bien croire que je donnais la sensation d'affabuler mais quand même, pour prendre un exemple un peu précis, je ne savais plus quel jour de la semaine nous étions, ni en quel mois. J'ai dû le faire remarquer à mon poussinet (j'ai laborieusement fini par reconstituer que nous étions lundi, mais je pensais que nous étions en mai) ; le poussinet qui, bêtement, n'a lui-même pas pensé à signaler ce fait aux médecins. C'est sans doute le problème d'avoir une conversation très cohérente : personne n'a eu l'air de juger utile de me poser des questions pour vérifier ma mémoire ou pour gratter sous le plâtre de cette cohérence. (Un des flashs de mémoire que j'ai est que j'ai blagué auprès de l'interne qu'il ne me demandait pas quel était le nom du président de la République. Bon, mais ça je ne l'avais pas oublié, justement.) Et les conversations que j'ai eu avec différentes personnes autres que mon poussinet étaient sans doute trop courtes pour qu'on remarque que je radotais (beaucoup plus que d'habitude, je veux dire). D'ailleurs, même en écrivant cette entrée, ce n'est pas complètement dissipé : j'ai failli écrire une nouvelle fois que le point positif c'est que je ne me suis pas du tout ennuyé, j'avais oublié que je l'avais déjà dit au paragraphe précédent ; et je me suis plusieurs fois rendu compte en me relisant que je réemployais une tournure qui figurait déjà deux lignes plus haut, vous voyez l'idée. À vous de juger si ce que j'écris est, par ailleurs, globalement sensé et grammaticalement correct (et si ça l'est plus ou moins que ce que j'écris d'ordinaire).

Il y a des souvenirs qui me manquent vraiment. Je me rappelle avoir téléphoné à mon poussinet, mais rien de ce que j'ai pu lui dire ou comment j'ai pu lui présenter le problème. Je me rappelle être monté dans un taxi pour la Pitié, mais rien de la course elle-même. Je ne me rappelle absolument pas avoir ouvert l'article Wikipédia sur le déjà vu, mais mon téléphone s'en souvenait. Quand mon poussinet est allé nous chercher à manger parce que notre attente aux urgences s'éternisait, je lui ai envoyé un message, et cinq minutes plus tard je me rappelais lui avoir envoyé un message mais rien de ce qu'il pouvait dire. Ce genre de choses.

À l'inverse, parmi les souvenirs quasi-oniriques qui m'obsédaient dans mon état second, il y a une histoire de jeu de cartes. J'ai plusieurs fois répété (apparemment, parce que je ne m'en souviens que très vaguement) à mon poussinet qu'il fallait absolument que je me rappelle cette histoire de jeu de cartes. (Mais il insiste sur le fait que je n'ai rien dit de vraiment incohérent, juste sur le fait que j'avais une pensée de jeu de cartes et que je devais m'en souvenir.) A posteriori, je pense qu'il s'agit du jeu que j'ai fait imprimer et qui est basé sur la combinatoire des 27 droites sur une surface cubique, mais je ne saurais pas expliquer pourquoi cette pensée m'obsédait (il y a un rapport très lointain avec ce que je lisais, mais ça ressemble surtout aux idées de maths confuses que je peux avoir en rêve).

Comme je suppliais mon poussinet de trouver une tâche permettant de juger un petit peu l'état de mon cerveau, il a fini par me proposer de faire un sudoku. (Parmi les flashs de souvenirs que j'ai, il y a celui où j'ai fait remarquer à l'interne que j'y tenais, à mon cerveau, parce que c'était mon outil de travail.) Ça marchait plus ou moins, c'est-à-dire que j'arrivais à remplir quelques cases (correctement), mais vraiment lentement, et je n'arrêtais pas de perdre le fil de mes raisonnements.

Bref. On m'a fait un examen sanguin sommaire (essentiellement normal, cf. le rapport complet ci-dessous), un scanner sans produit de contraste (normal) ; on n'a pas jugé utile de me faire voir par un psy aux urgences, et on m'a renvoyé chez moi (vers 1h ce matin). J'ai eu le sentiment d'aller mieux une fois au lit, et ce matin en me réveillant, mais je ne peux pas dire que ce soit complètement passé pour autant, j'ai encore l'impression d'avoir du mal à me concentrer et de perdre inhabituellement souvent le fil de mes idées ou d'avoir oublié ce que je viens de dire ou d'écrire. Ceci étant, il est vrai que j'ai mal dormi (je me suis couché tard à cause des péripéties que je viens de dire, j'étais stressé donc j'ai eu du mal à m'endormir, et j'ai été réveillé tôt par le bruit de travaux dans un immeuble voisin).

Je sais qu'il est arrivé quelque chose de semblable à la maman de mon poussinet, et même à deux reprises. (La première fois je n'étais pas là, mais elle avait soudainement oublié beaucoup de choses, y compris le fait que son fils était homo, et elle n'arrêtait pas de perdre le fil de ses pensées et de revenir sur des choses déjà dites. La seconde fois, je lui ai parlé, et j'avoue que c'était assez délicat de se rendre compte que quelque chose « n'allait pas », il fallait surtout remarquer qu'elle radotait beaucoup.) Il ne semblait pas y avoir de déclencheur particulier à ces épisodes, et ils n'ont pas laissé de séquelle particulière, ni été corrélés à une quelconque lésion visible sur une IRM.

Mise à jour nº1 () : Je pense que maintenant tout est revenu à la normale. Mais ça aura pris plus que 24 heures.

Mise à jour nº2 : Un ami de ma petite sœur (bien informé de ce genre de choses) me fait remarquer que les symptômes que je décris ressemblent pas mal aux effets des antagonistes des récepteurs NMDA (comme la diphénidine, mais elle a une durée de vie plus courte). Je précise donc à tout hasard que je n'ai consommé aucun psychotrope, certainement pas volontairement, et que je ne vois aucun scénario qui ne soit pas invraisemblablement tarabiscoté pour imaginer qu'on aurait pu m'en faire consommer à mon insu ce jour-là (ni que ce soit arrivé par accident). • Sinon, pour répondre à d'autres remarques que j'ai reçues, je n'étais pas inhabituellement stressé, je n'étais pas en carence de sommeil, je n'ai pas mangé de façon très différente de ce que je mange d'ordinaire, et je n'étais pas en manque de caféine. • À la limite, si je dois pointer du doigt des choses, je suis tenté de souligner qu'il faisait à la fois plus chaud et plus lumineux que ces derniers jours, or je suis très sensible à la chaleur et à la lumière.

Mise à jour nº3 () : The plot thickens. Vers (c'est-à-dire hier soir au moment où j'écris), en même temps que les effets cognitifs bizarres finissaient de s'estomper complètement, j'ai commencé à avoir un de ces « maux de tête extérieurs » dont je parlais ici (pour résumer, un mal de tête qui au début semble intérieur à la tête mais qui, au bout d'un certain temps, se révèle comme venant de la surface et s'accompagne de l'apparition d'une sorte de petit bouton ou de toute petite bosse sur la peau du crâne, en l'occurrence, quelques centimètres au-dessus du point le plus arrière de l'oreille gauche) ; j'ai appris à ignorer ces trucs qui m'arrivent occasionnellement et semblent sans gravité aucune, mais celui-ci était inhabituellement fort, et la coïncidence est tout de même troublante (d'autant que ça faisait assez longtemps que je n'avais rien eu de la sorte). Je suis absolument certain de ne pas avoir subi de choc à cet endroit-là. Peut-être que c'est du Dr. House que j'ai besoin, pas du Dr. Sacks ; ce qui est mauvais signe, parce que les patients de House, généralement, il leur arrive plein de choses pas drôles. • Mise à jour nº4 : C'est passé aussi.

Extraits du compte-rendu des urgences [reformaté et légèrement édité ; les commentaires entre crochets sont de moi] :

Entré le .

Constantes initiales] : PA 161/93 [normalement je suis autour de 130/70 au repos, mais je sais que je monte très facilement] ; FC 100/min [je fais 60/min au repos] ; Temp : 36.8°C ; SaO₂ : 97% ; Dextro [=glycémie] : 6.3 mmol/L ; Glasgow : 15

Antécédents : crises d'angoisse. • Traitement en cours : propranolol [à faible dose pour des crises de tachycardie].

Histoire de la maladie : Mathématicien. Cet après-midi, dans la salle de musculation le patient a senti une perte de contact avec la réalité brève et fluctuante. Perte de mémoire court terme. Pas d'hallucination. Notion de première crise. Dernière selle : ce matin. A uriné il y a peu. Pas de saut de repas. Pas de nuit blanche.

Examen clinique initial : Glycémie à l'entrée normale. Tachycarde. Pas d'essoufflement. Pas de douleur thoracique. Nausée [légère et intermittente]. Pas de palpitation. Pas de sueurs. Pas de vertige. Pas de sentiment de déréalisation ni de dépersonnification [hum, ça je suis un peu surpris que ce soit écrit, parce que c'était quand même un peu tout le problème]. • Examen neuro : conscient, cohérent, orienté. ScGw=15. Pas de déficit sensitivo-moteur. ROT présents et symétriques. Paires craniennes normales. Pas de syndrome cérebelleux. • Examen cardiaque : BdC réguliers. Souffle en foyer aortique [mon cardiologue m'a expliqué qu'en fait ce n'était pas un souffle que j'avais mais que le bruit de la circulation donnait cette impression — ou quelque chose comme ça, je n'ai pas bien compris]. • Examen pulmonaire : MVBS. Eupnéique en air ambiant. Pas de toux. Pas d'expectoration. Abdomen : souple, dépressible, indolore. Pas de SFU.

Évolution clinique :

[ — bilan sanguin] Iono : subnormal. Calcémie à 2.55 mmol/L [c'est à peu près ce que j'ai normalement]. Pas de dosage des protéines. Hyperleucocytose à PPN : 12.78 GB dont 10.93 PPN [là, par contre, ce n'est pas habituel pour moi, mon dernier bilan sanguin donnait 5.39 G/L leucocytes dont 2.7 PPN]. • En attente du TDM.

[] Scanner cérébral sans injection : Pas d'anomalie de densité visible au niveau du parenchyme cérébral. Pas d'anomalie significative visible au niveau des espaces sous-arachnoïdiens. Les cavités ventriculaires et les sillons cordicaux sont de forme et de dimension normales. Les structures médianes sont en place. Absence de lésion ossseuse suspecte de malignité visualisée. Conclusion : Scanner cérébral sans injection normale.

[] Avis sénior psy de garde : pas besoin d'un avis dans la nuit ni sur le groupe. Peut consulter sans urgence au CMP du Paris 13.

Maintenant, je ne sais pas bien ce que je dois en conclure, ni ce que je dois faire. Mon poussinet insiste que je n'ai rien oublié de notable, qu'à chaque fois qu'il me rappelait un événement précis, en fait, je m'en souvenais ; je crois qu'il me prend lui aussi un peu pour un affabulateur (vilain poussinet !). Est-ce que je dois prendre des précautions particulières en faisant de la muscu (voire arrêter complètement), ou est-ce que c'est un « hareng rouge » dans l'histoire ? Est-ce que je devrais essayer de trouver des tests cognitifs à faire en ligne (un peu mieux calibrés que des sudoku) ? Mais il me manquerait une valeur de référence pour mon état « normal », donc ce ne serait pas forcément significatif. Est-ce que je dois me forcer à faire des maths même si j'ai du mal à me concentrer, ou au contraire essayer de m'aérer le cerveau quelques jours ? Est-ce utile que j'aille consulter un psychiatre ? neurologue ? neuropsychiatre ? Je n'en sais rien.

Ajout () : Mon hypothèse personnelle provisoire est qu'il y a eu un déclencheur initial (peut-être une montée en tension inhabituelle, une légère hypoglycémie d'effort) et/ou un processus de pensée inhabituel (les produits de Zappa-Szép ont pu faire une connexion avec un rêve que j'aurais fait) qui auraient provoqué un état mental inhabituel avec ensuite une sorte de feedback.

Bon, au moins, je ne me suis pas mis à prendre mon poussinet pour un chapeau. Je sais bien que c'est un oiseau !

(dimanche)

Pourquoi faut-il tellement de temps pour fabriquer un permis ?

Cela fait maintenant deux mois que j'ai obtenu le permis, où par obtenu le permis je veux dire passé l'épreuve qui ouvre le droit administratif de conduire, mais je n'ai toujours pas le morceau de plastique délivré, en France, par l'ANTS, et qui atteste ce droit. Ce qui m'en tient lieu provisoirement — pour conduire Tuture aux endroits où elle se fait accidenter ou pour conduire Autolib quand Tuture est au garage parce qu'elle s'est fait accidenter —, c'est la version (imprimée sur papier) de mon certificat de réussite à l'examen. D'un certain côté c'est plus pratique, parce que comme c'est moi qui l'imprime je n'ai pas à avoir peur de le perdre, j'ai le PDF sur mon ordinateur. Mais d'un autre côté, ce papier n'est pas valable à l'étranger, et même en France il n'est valable que quatre mois.

Quelques jours après avoir obtenu ce certificat provisoire, je suis donc allé chez un photographe me faire tirer le portrait (moche parce qu'on n'a pas le droit de sourire) sous forme de photo numérique, et j'ai déposé le dossier pour demander le titre définitif. Rien de bien compliqué dans ce dossier : essentiellement, une copie d'une pièce d'identité, la photographie numérique en question, un justificatif de domicile (je me suis déjà plaint que le concept même de justificatif de domicile est scandaleux ? ah oui, c'était ici), et les certificats de réussite aux épreuves théorique et pratique du permis, parce que, bien sûr, l'Administration adore demander qu'on lui renvoie des pièces qu'elle vous a elle-même données, c'est tellement plus amusant de demander au citoyen de transmettre des informations du bureau X au bureau Y que de les transmettre directement. Le même jour que je déposais une demande de permis de conduire, j'ai profité du fait que je créais un compte sur le site de l'ANTS pour déposer une demande de passeport (enfin, une pré-demande, il faut finaliser ça en mairie en se faisant scanner les empreintes digitales). Les pièces sont assez semblables (une photo, une pièce d'identité, l'éternel justificatif de domicile, et l'ancien passeport), sauf que, bizarrement, pour le passeport, la photo n'est pas transmise numériquement par le photographe. Le passeport a pris dix jours pour être fait. Le permis de conduire, je ne l'ai toujours pas.

Pendant pratiquement deux mois, mon dossier était indiqué sur le site comme étant à l'étape en cours d'instruction. Sur cette discussion du forum de Que Choisir on trouve toutes sortes d'histoires d'horreurs de gens dont le dossier est resté coincé indéfiniment dans cette étape (mais aussi toutes les variations possibles : certains dont le dossier a été traité correctement et rapidement, d'autres dont le dossier a été traité mais qui n'ont jamais été prévenus, d'autres encore dont le dossier était bloqué mais qui n'ont pas été prévenus du blocage, enfin bref, à peu près tout ce qu'on peut imaginer). Je suis prudemment optimiste parce que mon dossier est passé, jeudi, à l'état validé par l'administration, ce qui suggère qu'il n'est pas complètement bloqué. On verra.

Mais je reste vraiment mystifié par ce système. Qu'est-ce qu'il peut y avoir à instruire dans un dossier dont la principale pièce est le certificat provisoire que l'Administration m'a elle-même communiqué (et qui me donne déjà le droit de conduire) ? Que font-ils exactement ? Et comment se fait-il que ça prenne deux mois alors que le passeport, lui, se fait en dix jours, production comprise ?

Mon but n'est pas de râler, mais je ne comprends tout simplement pas comment il est possible d'avoir une organisation, même mal faite, qui conduise à ce que le traitement d'une demande de ce genre prenne deux mois :

L'explication qui vient le plus évidemment à l'esprit serait que, par manque de moyens techniques ou humains, ils sont débordés (i.e., il y a quelque chose à faire, pas forcément quelque chose de long, mais quelque chose qui prend un certain temps, et les dossiers s'accumulent plus vite que l'Administration n'arrive à les traiter). Mais cette explication ne peut pas être correcte ici : parce que si c'était ça, le délai de traitement deviendrait de plus en plus long avec le temps (quand le débit moyen avec lequel une file d'attente se remplit dépasse celui avec lequel elle se vide, la longueur de la file augmente indéfiniment) ; or l'Administration prévoit visiblement depuis longtemps un délai butoir de quatre mois, et ça n'a pas vraiment de sens d'imaginer qu'elle ait prévu à l'avance qu'elle serait débordée dans tel ou tel nombre d'années.

L'explication du débordement pourrait quand même fonctionner s'il y avait, par exemple, un processus de rétroaction (dans un restaurant, par exemple, si le délai pour avoir une table devient déraisonnable, les gens abandonnent et ceci fournit une rétroaction de la longueur de la file d'attente sur le remplissage de celle-ci), mais dans le cas des permis, je doute que beaucoup de gens renoncent à passer le permis parce que l'attente pour obtenir le plastique est trop longue. Une autre sous-explication serait celle des variations saisonnières (ils ne seraient pas débordés sur l'ensemble de l'année mais ils le seraient en cette période et du coup la file connaîtrait des variations de mois en mois) ; mais je ne vois aucune raison de penser que le mois de février serait particulièrement volumineux en demandes de permis.

À part le débordement, on peut expliquer le délai par un véritable délai de traitement (à flux tendu, donc). Mais ça ne tient pas debout de penser que quelqu'un prenne deux mois pour regarder mon dossier, même en tenant compte de délais de communication entre services. (Alors que, pour un passeport, j'arrive à expliquer les dix jours comme ça.) Multiplier un tel délai par le nombre de permis demandés par an, qui doit être à la louche d'un million rien qu'en comptant ceux qui viennent de le passer (et donc sans compter les renouvellements pour des raisons techniques) voudrait dire qu'on aurait plus de 150 mille agents occupés juste à « instruire » les dossiers : ce n'est évidemment pas possible.

Le seul début de commencement d'explication que j'arrive à imaginer est que les dossiers sont traités en mode batch — comment dit-on ça en français ? par lots, par fournées. C'est-à-dire qu'on les laisse s'accumuler sur, disons, un mois, qu'on les traite alors tous d'un coup, ou en tout cas qu'on fait en bloc une étape de traitement sur tous ces dossiers, qui vont peut-être alors rejoindre une autre file où une autre étape sera effectuée en bloc, et ainsi de suite. Mais je ne vois pas pourquoi on traiterait en mode batch sur ce cas précis, ou quel serait l'intérêt. Ça peut avoir un sens de s'organiser de la sorte quand le flux entrant est très irrégulier (pour le lisser), ou s'il y a une économie substantielle (de temps, d'argent ou que sais-je) à regrouper les traitements, mais je ne vois rien qui puisse s'appliquer à la validation des dossiers de permis. (Toute explication qui me vient à l'esprit s'appliquer plus ou moins aussi aux passeports, où j'ai dit que le délai était tout à fait raisonnable.) Au contraire, comme j'estime qu'il y a à la louche 80k dossiers de permis qui arrivent chaque mois en France, dont 3000 à Paris, traiter les choses par lots (en tout cas sur l'ordre du mois) semble démesurément plus difficile que les traiter au fil de l'eau.

Bref, je ne vois vraiment rien qui fasse sens. Et je répète que, pour une fois, mon intention n'est pas de râler (c'est un peu trop facile et, en l'occurrence, ce n'est pas très important pour moi d'obtenir le plastique), je suis juste curieux de savoir ce qui peut se passer.

Ajout () : Je l'ai reçu par recommandé ce matin.

(mercredi)

Le progrès récent sur le problème de Hadwiger-Nelson

J'ai déjà parlé à plusieurs reprises du problème de Hadwiger-Nelson sur ce blog (ici en général, et ici pour mes malheurs personnels liés à ce problème), et il faut que j'en reparle puisqu'il y a eu un progrès considérable. Le problème de Hadwiger-Nelson a ceci de sympathique que c'est un problème de mathématique de niveau recherche (au sens empirique où il y a, effectivement, des mathématiciens professionnels qui ont fait de la recherche dessus et publié des choses à son sujet) dont un bon élève de primaire peut comprendre l'énoncé, un bon collégien peut comprendre les meilleures bornes connues jusqu'à la semaine dernière, et un bon lycéen peut les trouver lui-même. (Enfin, quelque chose comme ça.) Je rappelle l'énoncé :

Trouver le plus petit nombre χ de couleurs nécessaires pour colorier le plan de manière à ce qu'il n'y ait jamais deux points situés à distance 1 l'un de l'autre et qui aient la même couleur.

Ce χ s'appelle le nombre chromatique du plan ou nombre [chromatique] de Hadwiger-Nelson. Jusqu'à la semaine dernière, tout ce qu'on savait était que 4≤χ≤7.

Le fait que χ≤7, c'est-à-dire que sept couleurs suffisent, est montré par un coloriage explicite (d'un pavage du plan par des hexagones) avec 7 couleurs, coloriage qui est représenté par le dessin ci-contre à droite que je recopie de ma précédente entrée sur le sujet ; l'unité de longueur est figurée par le trait noir dans le coin en haut à gauche de la figure : quel que soit l'endroit où on le place et la manière dont on le tourne, les deux extrémités tombent toujours sur deux couleurs différentes ; et le problème est, donc, de savoir si on peut faire ça avec strictement moins de sept couleurs.

La minoration χ≥4 (c'est-à-dire qu'au moins quatre couleurs sont nécessaires), elle, est démontrée par un graphe fini tout à fait explicite, appelé Moser's spindle (fuseau de Moser ?) : je le recopie lui aussi de mon entrée précédente (ci-contre à gauche), toutes les arêtes représentées ont la même longueur (l'unité de longueur), et il n'est pas possible de colorier ses sommets avec seulement trois couleurs de façon que deux sommets reliés par une arête ne soient jamais de la même couleur. (En effet, si on ne dispose que de trois couleurs, chaque triangle équilatéral de côté 1 [du graphe] doit avoir un sommet de chaque couleur, du coup, dans le graphe représenté à gauche, chacun des deux sommets en haut à droite a la même couleur que celui en bas à gauche, donc ils ont la même couleur l'un que l'autre, or ils sont reliés par une arête.) Bref, dans tout coloriage du plan avec 3 couleurs, il y en a deux situés à distance 1 qui ont la même couleur.

Si vous n'aimez pas le fuseau de Moser, vous pouvez aussi utiliser le graphe de Golomb, représenté ci-contre à gauche (lui n'était pas dans l'entrée précédente, il faut bien que je m'embête un peu à faire du SVG et à calculer que les coordonnées d'un point valent (1,√11)/6), qui est plus joli et plus symétrique. Comme le fuseau de Moser, il n'est pas coloriable avec trois couleurs : si on a seulement trois couleurs, une fois qu'on en donne une au point central, les six points à distance 1 de lui doivent partager les deux autres couleurs en alternance, et notamment les trois qui sont reliés au triangle « oblique » sont de la même couleur, ce qui ne laisse que deux couleurs pour colorier ce dernier.

Bref, la minoration vient de graphes finis tout à fait explicites.

En fait, on sait à cause d'un théorème de compacité (que les théoriciens des graphes appellent le théorème d'Erdős et de Bruijn, et que les logiciens considèrent comme une conséquence immédiate du théorème de compacité du calcul propositionnel) que toute minoration sur χ s'obtient par un graphe fini, c'est-à-dire que χ est aussi la plus grande valeur possible du nombre de couleurs d'un graphe de ce genre. Donc on peut reformuler le problème de Hadwiger-Nelson de la façon suivante :

Trouver le plus petit nombre χ de couleurs nécessaires pour colorier un nombre fini quelconque de points du plan de manière à ce qu'il n'y ait jamais deux points situés à distance 1 l'un de l'autre et qui aient la même couleur.

(Le « fuseau de Moser » ci-dessus étant à comprendre comme l'ensemble de sept points qui sont les sommets tracés : on ne peut pas colorier cet ensemble de sept points avec trois couleurs donc χ≥4.)

Jusqu'à la semaine dernière, donc, c'est tout ce qu'on savait. Toute recherche sur ce problème a porté sur des analogues ou des généralisations (nombre chromatique de l'espace, nombre chromatique du plan à coordonnées dans ceci-cela, nombre chromatique fractionnaire, ce genre de choses).

Voilà que, dimanche, un certain Aubrey (David Nicholas Jasper) de Grey a mis un papier sur l'arXiv prouvant que χ≥5 : i.e., dans tout coloriage du plan avec 4 couleurs, il y en a deux situés à distance 1 qui ont la même couleur. (Je l'ai appris par un commentaire sur ma première entrée au sujet du problème.)

C'est assez sidérant pour plusieurs raisons. D'abord parce que c'est quand même un problème sur lequel on est restés coincés pendant environ 50 ou 60 ans (l'histoire du problème est elle-même assez tarabiscotée, mais il semble que Nelson l'ait imaginé dans les années '50 et qu'il — le problème — soit devenu célèbre une petite dizaine d'années plus tard). Mais aussi parce le de Grey auteur du papier n'est pas mathématicien (ou en tout cas, pour éviter de se mouiller sur ce que mathématicien veut dire, il n'est pas mathématicien de profession, et ne semble pas avoir fait de contributions aux mathématiques avant ça) ; il est « biogérontologue », connu pour ses positions contre le vieillissement, et considéré par certains comme un gourou voire un crackpot (le fait qu'il ressemble à Gandalf doit aider ce genre de préjugés). Il ne faut pas croire sur parole n'importe quel papier mis sur l'arXiv surtout quand il annonce un résultat « spectaculaire », mais, en l'occurrence, (1) le papier est bien écrit (les arguments sont rapides mais clairs et écrits dans le style habituel dans lequel on écrit les mathématiques), et de toute façon (2) une fois connu le graphe construit, il est modérément facile de vérifier le résultat par ordinateur, des gens ont déjà vérifié qu'un des graphes décrits par de Grey est réalisable avec distance 1[#] et (au moyen d'un SAT-solver) n'est pas 4-coloriable[#2], donc le résultat principal est certifié valable (nonobstant d'éventuelles erreurs très mineures dans la description).

[#] Ici et dans la suite, j'emploie le terme réalisable avec distance 1 pour dire que le graphe est réalisable comme un ensemble de points dans le plan de sorte que toutes les arêtes aient longueur 1. (On peut éventuellement demander que, réciproquement, chaque paire de points à distance 1 donne effectivement une arête du graphe ça ne changera rien puisque ajouter des arêtes ne peut qu'augmenter le nombre chromatique.)

[#2] Ici et dans la suite, j'emploie le terme k-coloriage pour signifier, bien sûr, un coloriage avec k couleurs de façon que deux sommets reliés par une arête (i.e. à distance 1) ne soient jamais de la même couleur ; et k-coloriable pour dire qu'un k-coloriage existe.

Mais pour être épatant, ce résultat est aussi un peu frustrant, je vais essayer de dire pourquoi.

Quand j'avais commencé à réfléchir au problème de Hadwiger-Nelson, ma première intuition était que χ=7 était sans l'ombre d'un doute la bonne valeur, et qu'il s'agissait juste de trouver de bons graphes, et que, si on ne les connaissait pas, c'était juste qu'on n'avait pas cherché assez fort, notamment avec des ordinateurs. (Cette intuition initiale est donc confirmée par le résultat de de Grey, mais je ne vais pas dire ha ha, j'avais raison, puisque, comme je vais l'expliquer, j'ai ensuite changé d'avis.) En gros, ce qui fait « marcher » le « fuseau de Moser » représenté ci-dessus est qu'on a le triangle équilatéral dont les 3-coloriages sont très peu nombreux, donc suffisamment rigides pour qu'on arrive à les combiner pour fabriquer un graphe plus gros qui n'est pas 3-coloriable. L'espoir, ensuite, serait que les 4-coloriages du fuseau (ou du graphe de Golomb) soient assez rigides pour qu'on arrive à combiner plusieurs fuseaux pour former un graphe qui ne soit pas 4-coloriable. Et qu'on puisse monter encore un coup pour former un graphe qui ne soit pas 5-coloriable, puis un qui ne soit pas 6-coloriable, ce qui démontrerait χ=7.

Plus tard, j'étais beaucoup moins convaincu de χ=7 : la raison est que j'ai essayé de réfléchir à comment on pourrait construire des graphes réalisable avec distance 1 et qui ne soient pas 4-coloriables, et j'ai eu l'impression de buter contre des problèmes insurmontables. Comme je le dis au paragraphe précédent, on peut essayer de combiner des fuseaux de Moser (ou des graphes de Golomb) et essayer de limiter leurs possibilités de 4-coloriages jusqu'à toutes les tuer. Mais j'ai un peu essayé et je m'y suis salement cassé les dents : tout me semblait suggérer que plus on augmente le nombre de sommets plus les possibilités de 4-coloriages se multiplient, plus vite qu'on arrive à les tuer en ajoutant des arêtes. Pour être un peu moins vague, j'ai eu l'impression que la seule façon exploitable de fabriquer des graphes réalisables avec distance 1 dans le plan est de prendre deux graphes G₁,G₂ déjà réalisés avec distance 1 et utiliser une isométrie plane sur G₂ (en faixant G₁) pour imposer des identifications de sommets ou fabriquer des arêtes, mais pour ça, on n'a que très peu de degrés de liberté (le groupe des isométries planes est de dimension 3), donc, sauf coïncidences, on ne peut ajouter essentiellement que trois arêtes (ou une identification de sommet et une arête) ; j'ai eu l'impression que « sauf coïncidence », tout ceci devrait conduire à une borne sévère sur la dégénérescence des graphes réalisables avec distance 1, donc sur leur nombre chromatique ; en fait, qu'ils devaient être des graphes de Laman — « sauf coïncidence », donc, mais je ne voyais pas comment fabriquer des « coïncidences » intéressantes. Bref, tout ça pour dire que j'ai essayé justement l'approche que de Grey fait marcher, que je n'ai pas du tout réussi à en faire quoi que ce soit, et que je me suis même mis à penser que ça ne pouvait pas marcher « sauf coïncidence » mais que ce serait extraordinairement difficile de prouver l'inexistence de telles « coïncidences » ou, a contrario, d'en fabriquer. Du coup, j'ai commencé à douter que χ=7 soit la bonne valeur (je ne prétends pas que j'étais convaincu que χ=4, mais que ma foi dans le fait que χ=7 s'était envolée jusqu'à ce qu'on me signale la trouvaille de de Grey).

Ajout : Un autre de mes espoirs était qu'on puisse chercher à extraire un graphe de nombre chromatique au moins 5 (voire 6, voire 7) comme un sous-graphe de l'analogue de Hadwiger-Nelson sur un corps fini, disons le graphe (ℤ/pℤ)² avec une arête entre (x₁,y₁) et (x₂,y₂) lorsque (x₂−x₁)² − (y₂−y₁)² = 1. (La motivation étant que si un graphe plan est réalisable avec distance 1, il est aussi réalisable à coordonnées algébriques, ces coordonnées de scindent modulo un ensemble de densité >0 de nombres premiers p, donc imposent la même inégalité sur les nombres chromatiques des (ℤ/pℤ)² pour la relation que je viens de dire.) Évidemment, cet espoir était naïf — mais vu que les coordonnées du graphe calculé par de Grey sont dans des extensions assez petites de ℚ comme je le soupçonnais, ce n'était pas complètement stupide non plus.

C'est dire que je suis surpris par le tour de force. La lecture du papier lui-même est un peu décevante, cependant : il y a un mélange de raisonnements « à la main » sur les 4-coloriages de graphes de plus en plus grands réalisables avec distance 1, et de vérifications par ordinateur (avec différentes astuces pour rendre la vérification plus gérable), mais au final je ne suis pas vraiment Éclairé sur la manière dont il arrive à obtenir suffisamment d'arêtes eu égart au nombre de sommets (le graphe réalisable avec distance 1 et non 4-coloriable dont Dustin Mixon publie le fichier de données sur son blog — revoici le lien — a 1585 sommets et 7909 arêtes), ou sur la raison pour laquelle je m'étais trompé en pensant qu'il était très difficile d'obtenir une grande dégénérescence.

Ce qui est frustrant, c'est que ce progrès rend le problème de Hadwiger-Nelson beaucoup moins intéressant. Peut-être que la presse généraliste va s'en emparer (et raconter des conneries), et il va sans doute y avoir des efforts renouvelés pour construire des graphes plus simples prouvant χ≥5 (cf. ici) ou pour pousser jusqu'à χ≥6 voire χ=7, mais mathématiquement, le problème a un peu perdu de sa beauté. Pourquoi ? Déjà parce qu'on ne peut plus donner ça comme un exemple de problème où l'état de l'art correspond à ce qu'un lycéen peut trouver tout seul. Mais surtout je suis maintenant revenu à mon intuition première, et complètement convaincu d'une part que χ=7 et d'autre part que des graphes le démontrant peuvent se construire avec des techniques de type « dupliquer et identifier » et des recherches sur ordinateur (à supposer qu'ils ne soient pas trop grands). Il aurait été beaucoup plus intéressant de chercher à montrer que certains graphes ne peuvent pas exister que de chercher à les exhiber.

Après, on peut s'intéresser à toutes sortes de problèmes adjacents. Je soumets notamment la question suivante, ou problème de Hadwiger-Nelson lorentzien (que j'espérais rendre publique via cette note, mais comme cette dernière est partie à la poubelle, personne n'est au courant de ce problème) :

Trouver le plus petit nombre χL de couleurs nécessaires (ou bien ∞ si aucun nombre fini ne suffit) pour colorier le plan de manière à ce qu'il n'y ait jamais deux points (t₁,x₁) et (t₂,x₂) situés à intervalle de Lorentz 1 l'un de l'autre, c'est-à-dire (t₂−t₁)² − (x₂−x₁)² = 1, et qui aient la même couleur.

(Autrement dit, on remplace les cercles de rayon 1 — translatés de {x²+y²=1} — dans le problème de Hadwiger-Nelson par des hyperboles translatées de {t²−x²=1}, représentant, si on veut, un intervalle d'espace-temps. Il y a beaucoup de similarités, parce que le groupe des isométries lorentziennes, comme le groupe des isométries euclidiennes, et de dimension 3. À la différence du problème de Hadwiger-Nelson euclidien, dans le problème lorentzien les graphes réalisables avec intervalle 1 sont naturellement orientés, par la valeur de la coordonnée t ; et on peut se convaincre qu'il n'existe pas de triangle ; comme il existe néanmoins des cycles d'ordre impair, on a quand même χL≥3.)

Je conjecture que χL=∞ (en tout cas, je ne sais montrer aucune borne supérieure sur χL). Le problème semble plus dur que Hadwiger-Nelson euclidien, car il ne semble pas exister de coloriage évident avec un nombre fini de couleurs, mais a contrario, si on veut prouver χL=∞, il faudra construire toute une famille de graphes finis.

Ajout : Je devrais mentionner qu'une des raisons de s'intéresser à χL est que l'analogue complexe du nombre de Hadwiger-Nelson, c'est-à-dire le nombre chromatique χC du graphe ℂ² avec une arête entre (x₁,y₁) et (x₂,y₂) lorsque (x₂−x₁)² − (y₂−y₁)² = 1, majore à la fois χ (euclidien) et χL (lorentzien), et qu'il est lui-même majoré par le χ de ℝ⁴ pour la métrique de signature indéfinie (++−−) (c'est-à-dire le nombre chromatique du graphe ℝ⁴ avec des arêtes définies par des hyperboloïdes translatés de {t²+u²−v²−w²=1}). Je conjecture à plus forte raison que χC=∞, et en fait c'est surtout ça que je trouve intéressant (parce que c'est un problème purement algébrique).

(mardi)

Le Club Contexte voyage en Île-de-France

Rien qu'en Île-de-France, et rien qu'en se limitant aux communes d'au moins 2000 habitants, voici :

Et je ne vous parle pas des petits patelins que sont Boissy-aux-Cailles, Boissy-Mauvoisin, Boissy-sans-Avoir, Boissy-la-Rivière, Boissy-le-Cutté, Boissy-le-Sec et Boissy-l'Aillerie, Choisy-en-Brie, Noisy-Rudignon, Noisy-sur-École, Noisy-sur-Oise, Soisy-Bouy, Soisy-sur-École, et j'en ai sans doute raté. En pas trop petit et pas trop loin de l'Île-de-France, il y a aussi un Choisy-au-Bac (dans l'Oise). Sinon, en France, il y a bien un Poisy et un Groisy, mais c'est en Haute-Savoie.

Après le défi métro, quelqu'un devrait essayer le défi ois(s)y, consistant à mettre le pied dans chacune de ces communes dans une journée. (Sinon, vous avez le défi ologne, consistant à aller le même week-end en Pologne, à Bologne, à Cologne, en Sologne et sur les bords de la Vologne.)

(lundi)

La voiture et la poisse

Il y a un mois, mon poussinet a fait l'acquisition d'un joujou bruyant pour polluer l'air, également connu sous le nom de voiture : puisque j'ai récemment obtenu le droit de jouer avec ces choses-là, il a voulu que nous en ayons une, histoire qu'il puisse me forcer à conduire régulièrement. Et comme l'idée est notamment que je ne perde pas l'habitude de cet exercice un petit peu absurde (mais qui impressionne parfois les Américains) consistant à jouer du pied gauche et de la boîte de vitesse, il s'agit d'une voiture à boîte manuelle (ce qui exclut toute forme d'électrique ou d'hybride). Une Volkswagen Golf IV — diesel parce qu'il faut bien assumer la pollution maximale — 1.9L TDI 130ch — c'est à peu près aussi cryptique que la numérotation des processeurs Intel — tout juste assez récente pour avoir le droit de rouler dans Paris. Avec quelque chose comme 200000km au compteur (tiens, j'ai vraiment du mal à écrire 200Mm). Et d'ailleurs immatriculée, je n'ai pas bien compris pourquoi, à la Réunion.

L'idée de mon poussinet était d'acheter à peu près la voiture la moins chère possible (qui ait le droit de circuler à Paris) pour que ce ne soit pas trop grave si je la bousille. Vous voyez qu'il a confiance en ma capacité à conduire, le poussinet. Mais comme nous vivions très bien sans voiture, c'est vraiment à peu près la seule raison d'en acheter une. La copine d'un de ses collègues vendait justement ça, alors il s'est précipité sur la bonne affaire ; et comme les bonnes affaires sont rares, et que ce qui est rare est cher, il a accepté de monter le prix jusqu'à environ 3k€. Je plaisante, mais c'est un peu l'idée : il a vu la voiture, décidé qu'elle était vraiment bien et que c'était mieux d'acheter à quelqu'un qu'on connaît, et qu'à 2.5k€ c'était très raisonnable, mais quelqu'un d'autre était sur le coup, et c'est ainsi que le prix a augmenté.

La voiture était en bon état, mais pas parfait pour autant. La batterie était faiblarde, donc mon poussinet l'a fait changer ; et il en a profité pour faire changer les plaquettes de frein et les soufflets de joints de Cardan. Ce qui a encore un peu gonflé la facture. Le poussinet a fait quelques éraflures à la carosserie en rentrant et sortant la voiture du parking situé sous notre immeuble et dont la descente est très étroite et compliquée, et il envisageait de l'apporter chez le carrossier. Et moi j'ai commencé à me moquer du concept de voiture achetée pour que je puisse la bousiller mais qui passe son temps au garage et se fait bichonner.

La voiture étant, après le gosse, la pire pompe à fric qui soit, ç'aurait peut-être été mieux de notre part de rester sans l'un ni l'autre. Bref.

[La voiture intacte]Samedi (avant-hier), enfin, Tuture était (presque !) comme neuve, et nous sortons avec, presque pour la première fois, aller nous balader du côté de Marly et de la forêt de Louveciennes. Je me suis garé sur l'accotement de la route de Marly (derrière une file de voitures qui avaient fait de même et, je précise, à une distance tout à fait raisonnable de celle qui était devant). J'ai même fait une photo du poussinet tout fier de son joujou polluant. Nous nous sommes promenés quelques heures, avons profité du beau temps de cette première vraie journée de printemps, avons répondu au passage à un sondage de militantes LREM sur lesquelles nous sommes tombés à la gare de Bougival et avons pris un goûter au salon de thé Au Vieux Marly. Et quand nous sommes revenus à l'endroit où nous avions laissé Tuture, qui nous attendait maintenant toute seule, nous avons remarqué un reflet bizarre sur le capot et constaté, en nous approchant, que celui-ci était enfoncé. [La voiture enfoncée]

Et ce n'est pas tout : une fois rentrés nous avons constaté que le liquide de refroidissement fuyait (certes très peu), et que le radiateur était plié : comme le capot et le pare-chocs, il faudra le changer. Il semble qu'il faille changer, en outre, la façade de l'optique gauche et un échangeur d'eau, ou quelque chose comme ça. (Mise à jour : l'optique gauche n'est pas à changer, finalement, mais la clim, elle, fuit, ce qui fait encore plus de réparations.) En fait, le coût de faire réparer Tuture dépasse le prix qu'elle vaut.

Et bien sûr, Tuture n'était assurée qu'aux tiers. (Dans l'absolu, c'est une décision plutôt rationnelle : si on a les moyens de s'assurer soi-même, et vu le prix de la voiture mon poussinet a sans problème les moyens, il vaut mieux le faire, parce que l'assurance, elle, ajoute ses frais de fonctionnement par rapport à toute estimation de l'espérance des coûts. On l'a quand même dans les dents.) Et bien sûr, le sagouin qui l'a amochée ainsi n'a pas pris la peine de laisser sa carte de visite. (Je me rends compte à cette occasion que les gens que je fréquente sont des gens bien parce que j'ai plusieurs amis qui, ayant provoqué des dommages dans des circonstances analogues, ont laissé un mot sous l'essuie-glace de la voiture endommagée pour faire régler les dommages par leur assurance.) Et à Marly-le-Roi, ce n'était probablement pas quelqu'un qui risquait d'être ruiné par la hausse de sa prime d'assurance. Mon poussinet a porté plainte pour délit de fuite, mais évidemment les chances de retrouver le sagouin sont nulles ; je n'avais pas eu, notamment, la bonne idée de photographier aussi la voiture devant nous, et nous n'avons pas de dashcam.

Peut-être que le plus raisonnable aurait été d'envoyer Tuture à la casse. Mais j'ai fait remarquer à mon poussinet que s'il avait été prêt une fois à payer ∼3.5k€ (prix d'achat plus premières réparations) pour avoir son joujou en bon état, les circonstances n'ayant, finalement, pas changé, cela avait un sens de dépenser de nouveau cette somme pour avoir le joujou en bon état. (Voir, à ce sujet, cette entrée passée, et notamment sa note #2, où je raconte un raisonnement du même genre que j'avais tenu autrefois au sujet d'un livre que j'ai acheté et perdu le jour même où je l'avais acheté. Certes, un livre est moins cher qu'une voiture, mais fondamentalement, ça ne change rien : on aurait pu voler ∼3.5k€ à mon poussinet, ça ne changeait rien au fait qu'il décide ou non d'être prêt à dépenser cette somme pour avoir une voiture de ce type.)

En fait, ce n'est vraiment pas une question d'argent ni de rationalité. Ç'aurait été tout simplement trop rageant d'envoyer Tuture à la casse après quasiment sa première journée d'utilisation, et je ne dis pas ça juste parce que je me suis mis à l'appeler Tuture comme si le joujou polluant était mignon ni parce que le poussinet trouve qu'elle est agréable à conduire. Je veux dire « rageant » à la manière de ces histoires de gens qui recueillent un petit oiseau blessé, le soignent patiemment, et le relâchent dans la nature juste pour le voir se faire dévorer immédiatement par un oiseau de proie. (J'ai vu passer des vidéos de ce genre, probablement fausses, enfin je n'en sais rien, mais ça n'a aucune importance, ce qui importe est que ce genre de situation fait vraiment rager.) Mon poussinet était vraiment très contrarié par l'idée que Tuture ne soit pas réparable, ou que les réparations coûtent si cher qu'il soit impensable de faire autre chose que la mettre à la casse.

Bon, reste que moi, de mon côté, je me demande si je vais vraiment oser la conduire à nouveau, parce que si je l'envoie à la casse, mon poussinet risque de craquer complètement. Et en tout cas j'ai sans doute bien fait de prendre un abonnement Autolib pour les jours où Tuture est au garage (sauf qu'en fait, le lendemain même — c'est-à-dire hier — Autolib était en rade).

Mise à jour () : Le poussinet a reçu une lettre d'un assureur l'informant que son véhicule était impliqué dans un accident le jour en question, et lui demandant sa vision des faits. Du coup, il a déclaré le sinistre à notre propre assureur et va faire expertiser Tuture (qui, entre temps, a déjà été réparée…). Il y a donc peut-être moyen de récupérer un dédommagement, au prix d'une certaine quantité de paperasse et de temps perdu en coups de fil. En espérant, quand même, que ce n'est pas un coup tordu pour essayer de nous faire porter une part de responsabilité dans l'histoire !

(samedi)

Petite pub pour le livre Contes et légendes de Florence Azé

J'avoue faire de la pub alors que je n'ai pas encore lu le livre lui-même, mais déjà l'idée du livre me plaît ; et j'avoue que l'auteure est une amie, mais je sais qu'elle écrit bien : je prends donc une minute pour mentionner le livre Contes et légendes des autres amours de Florence Azé. Il s'agit d'un petit recueil de contes et légendes racontant des histoires d'amour homo, bi, trans, ou en fait tout ce qui sort un peu du banal prince-charmant-qui-sauve-une-princesse. La narration est de Florence, mais les histoires ne sont pas d'elle, ce sont des histoires anciennes de pays variés, et ce qui m'impressionne surtout est qu'elle ait réussi à en trouver assez pour en faire un livre (fût-il mince). Et elle tient à souligner, et je suis d'accord que c'est très excellente initiative, que c'est un livre pour enfants (ou pour adolescents, parce que bon, quand même, dans les contes de fée, il y a toujours de la violence). Recommandation particulière pour les parents, donc, qui veulent aider leurs enfants à s'ouvrir l'esprit.

Mise à jour : maintenant je l'ai lu, mais je n'ai pas grand-chose à ajouter. Le choix est intéressant et assez varié, et c'est bien écrit. Je pense que cela convient à un public de tout âge.

La maison d'édition Édilivre a l'air intéressante, aussi, comme une sorte d'intermédiaire entre l'édition classique et l'édition à compte d'auteur. (← J'ai commencé par écrire à conte d'auteur, c'est mignon.)

Pour terminer par un peu de shameless self-plug, sur le même thème, j'avais écrit autrefois ce conte de fée (en anglais), ces quatre petites histoires d'amour très courtes, et cette histoire-là carrément plus explicite.

(vendredi)

Jouons maintenant avec le groupe de Weyl de F₄ parce que c'est plus facile

Cette entrée est la petite sœur de la précédente : après avoir écrit cette dernière, je me suis rendu compte (et on me l'a par ailleurs fait remarquer dans les commentaires) qu'il y a une version plus simple de ce dont j'y parlais et que j'aurais pu évoquer. Du coup, je vais essayer de le faire ici, en utilisant massivement le copier-coller et le recherche-remplacement. Ce que je ne sais pas, c'est s'il vaut mieux lire cette entrée-ci, ou la précédente, ou les deux en parallèle ou dans un certain ordre (bon, la réponse est peut-être bien « aucune des deux »).

Note : Principales modifications systématiques par rapport à l'entrée précédente : 8→4, E₈→F₄, D₈→B₄, 696 729 600 → 1152, et (0,1,2,3,4,5,6,23) → (½,3⁄2,5⁄2,11/2) ; il n'y a que trois vecteurs dans ma liste finale au lieu de 135 ; les contraintes de parité de changements de signes disparaissent (et du coup trouver un représentant dominaint pour W(B₄) consiste juste à passer aux valeurs absolues et à trier) ; l'opération de soustraire à chacune des huit composantes le quart de la somme de toutes devient soustraire à chacune des quatre composantes la moitié de la somme de toutes. Mais il y a quelques autres différences par ci par là, comme le fait que le système de racines est un tout petit peu plus compliqué à définir (c'est bien la seule chose qui se complique). ⁂ Ah, et puis sinon j'ai un problème typographique, qui est de savoir comment représenter agréablement des demi-entiers : il y a un symbole magique ½ pour un demi, qui est bien pratique parce que ça apparaît souvent, pour trois demis et cinq demis on peut utiliser le U+2044 FRACTION SLASH et écrire 3⁄2 et 5⁄2 ce qui si vous avez la bonne police apparaîtra peut-être comme une jolie fraction ; mais pour 11/2 je ne peux pas vraiment faire mieux qu'avec un bête U+002F SOLIDUS, parce que si je mets U+2044 FRACTION SLASH à la place, la sémantique est celle de (et ça apparaîtra exactement comme ça sous certaines polices), soit un-et-demi. Du coup, j'ai le choix entre cette écriture (½, 3⁄2, 5⁄2, 11/2) qui est bien moche, ou bien écrire (1/2, 3/2, 5/2, 11/2) mais alors il y a à la fois du ½ et du 1/2 pour le même nombre, c'est bizarre ; et si j'écris 1/2 partout, le vecteur (1/2, 1/2, 1/2, 1/2) est quand même moins lisible que (½, ½, ½, ½). Remarquez, je pourrais écrire 1½ pour trois demis et 2½ pour cinq demis, mais les matheux détestent ça en général (vu que 2·½ c'est 1 et pas 5/2). Pfff, que c'est pénible, les petites crottes de ragondin.

Partons de quatre nombres (= un élément de ℝ⁴) ; pour que ce que je raconte ne suppose aucune connaissance mathématique particulière, je précise que j'appellerai ça un vecteur et j'appellerai composantes du vecteur les quatre nombres en question. Par exemple (1, 0, 0, 0), ou bien (½, 3⁄2, 5⁄2, 11/2) sont des vecteurs avec lesquels on va pouvoir jouer (ces exemples vont être intéressants pour la suite ; et oui, c'est bien un 11/2 que j'ai écrit à la fin, bear with me, ce n'est pas une blague dans le style quel est le quatrième nombre qui complète la suite : ½, 3⁄2, 5⁄2… ?c'est évidemment 11/2). Maintenant, à partir de ce vecteur, imaginons qu'on ait le droit de faire, autant de fois qu'on veut, et dans n'importe quel ordre, les opérations très simples suivantes :

Voilà qui n'est pas bien compliqué. Pour fixer la terminologie les opérations des deux premiers types que je viens de dire seront appelées opérations de W(B₄) tandis que les opérations des trois types seront dites opérations de W(F₄) (je n'essaye pas du tout de définir ce que c'est que W(B₄) ou W(F₄), en tout cas pas pour le moment, ce sont juste des termes à considérer comme un bloc).

Les opérations de W(B₄) sont assez faciles à comprendre, en réfléchissant un peu on arrive assez facilement à voir ce qu'on peut faire avec (une description plus précise sera donnée plus bas, notamment, de quand on peut passer d'un vecteur à un autre par ces opérations). Celles de W(F₄), c'est-à-dire si on permet la troisième opération que j'ai dite, sont déjà plus mystérieuses mystérieuses : je vais donner quelques exemples ci-dessous ce qu'on peut faire avec.

La question générale est, que peut-on atteindre en appliquant les règles qui viennent d'être dites ? Autrement dit, partant d'un certain vecteur initial, quels vecteurs va-t-on pouvoir fabriquer avec les opérations qui viennent d'être dites (et combien y en a-t-il) ?

Pour prendre un exemple vraiment idiot, si le vecteur d'origine était (0, 0, 0, 0), on ne va pas très loin, il reste identique à lui-même sous l'effet de n'importe laquelle des opérations que j'ai décrites, et donc c'est la seule chose qu'on pourra atteindre.

Si le vecteur de départ est (1, 0, 0, 0), les opérations de W(B₄) (i.e., celles les deux premiers types) permettent de le transformer en n'importe quel vecteur ayant une composante égale à +1 ou −1 et les trois autres nulles, ou en abrégé un vecteur du type (±1, 0, 0, 0) (cela fait 4×2=8 vecteurs si on compte bien) ; la troisième opération transforme (1, 0, 0, 0) en (½, −½, −½, −½), et de là avec les opérations de W(B₄) on peut fabriquer les différents vecteurs (±½, ±½, ±½, ±½) dont toutes les composantes valent +½ ou −½ ; cela fait 2⁴=16 vecteurs de cette forme, soit 8+16=24 vecteurs : il se trouve (il faut le vérifier mais ce n'est pas difficile) que c'est tout ce qu'on obtient de la sorte : 24 vecteurs et pas plus. Ces 24 vecteurs portent le nom de racines courtes de F₄ (là aussi, je ne vais pas chercher à définir ce que ça veut dire, en tout cas pas aujourd'hui).

Pour donner un autre exemple, si le vecteur de départ est (1, 1, 0, 0), les opérations de W(B₄) permettent de le transformer en n'importe quel vecteur du type (±1, ±1, 0, 0) (deux composantes égales à +1 ou −1, les deux autres nulles : cela fait 6×4=24 vecteurs), et la troisième opération ne fait, cette fois, rien de nouveau. Ces 24 vecteurs portent le nom de racines longues de F₄ ; et réunies aux 24 vecteurs définis au paragraphe précédent, on obtient 48 vecteurs appelés système de racines de F₄ (c'est là essentiellement le seul point sur lequel F₄ est plus compliqué que E₈ défini à l'entrée précédente : il y a des racines courtes et longues alors que dans E₈ il n'y a qu'une seule longueur).

Je peux donner d'autres exemples. Si on part de (1, 1, 1, 0), on va pouvoir atteindre 96 vecteurs différents par les opérations de W(F₄) : il y a les 32 vecteurs du type (±1, ±1, ±1, 0) avec des signes quelconques (et un emplacement quelconque du 0), et les 64 vecteurs du type (±3⁄2, ±½, ±½, ±½) avec des signes quelconques (et un emplacement quelconque du 3⁄2), ce qui fait 32+64=96 vecteurs au total. Si on part de (2, 1, 1, 0), on peut aussi atteindre 96 vecteurs différents (ce sont juste ceux qui s'obtiennent déjà par les opérations de W(B₄), c'est-à-dire (±2, ±1, ±1, 0) avec des signes quelconques et une permutation quelconque des composantes). Si on part de (2, 1, 0, 0), on peut atteindre 144 vecteurs différents (les 48 du type (±2, ±1, 0, 0) et les 96 du type (±3⁄2, ±3⁄2, ±½, ±½)).

Mais dans le « cas général » (disons, celui qui se produit avec probabilité 1 si notre vecteur initial a été tiré au hasard, ou bien si on est parti de (½, 3⁄2, 5⁄2, 11/2)), on va atteindre exactement 1152 vecteurs. (En fait, la condition pour que ça soit le cas n'est pas très compliqué : il est nécessaire et suffisant, pour que cela se produise, que les quatre composantes du vecteur initial soient toutes non nulles, deux à deux distinctes, qu'il n'y en ait pas deux qui soient opposées, et qu'il n'y en ait pas non plus un certain nombre dont la somme soit égale à la somme des autres.) Et dans absolument tous les cas, le nombre de vecteurs qu'on peut atteindre sera fini, et sera même un diviseur de ce nombre maximal qu'est 1152.

(Il y a d'ailleurs exactement 16 cas possibles entre le cas le plus spécial qu'est (0, 0, 0, 0) et qui donne un seul vecteur atteignable et le cas le plus général qui en donne 1152. Mais je préfère rester vague sur ce que j'entends par un cas possible, parce que ce n'est pas vrai que chacun de ces cas donne forcément un nombre de vecteurs atteints différents. Les nombres de vecteurs atteignables possibles sont : 1, 24, 96, 144, 192, 288, 576 et 1152)

Pour y voir plus clair, je vais appeler orbite sous W(F₄) l'ensemble de tous les vecteurs qu'on peut atteindre à partir d'un vecteur donné par les opérations de W(F₄) (toutes celles que j'ai décrites), et orbite sous W(B₄) la chose analogue avec les opérations de W(B₄) (c'est-à-dire celles qui n'autorisent qu'à permuter les composantes et à changer le signe d'un nombre quelconques d'entre elles). Par exemple, (½, ½, ½, ½) est dans l'orbite sous W(F₄) de (1, 0, 0, 0), mais pas dans son orbite sous W(B₄).

Il sera utile de faire l'observation suivante : toutes les opérations que j'ai décrites peuvent se faire à l'envers. S'agissant des opérations de W(B₄) c'est évident (une permutation des composantes a pour inverse une autre permutation des composantes, et changer les signes deux fois revient au vecteur de départ) ; s'agissant de W(F₄), il suffit de remarquer que la troisième opération que j'ai décrite retourne sur le vecteur dont on est parti quand on l'applique deux fois (c'est un petit exercice que je laisse au lecteur). Par conséquent, si un vecteur v est dans l'orbite d'un vecteur w (que ce soit sous W(B₄) ou sous W(F₄)), alors réciproquement, w est dans l'orbite de v, et, en fait, ils ont exactement la même orbite : a contrario, deux orbites distinctes sont forcément disjointes (c'est-à-dire, sans élément commun).

Il est facile de reconnaître à quelle condition deux vecteurs définissent la même orbite sous W(B₄) : c'est-à-dire qu'on peut passer de l'un à l'autre en permutant les composantes et en changeant le signe d'un nombre quelconque d'entre elles. Pour ce faire, le mieux est de rendre toutes les composantes positives, puis de les trier par ordre croissant : on obtient ainsi un représentant de l'orbite du vecteur sous W(B₄) que je vais appeler le représentant dominant ou vecteur dominant pour W(B₄) (il faut que je souligne, cependant, que c'est un choix que j'ai fait : j'aurais pu trier par ordre décroissant, ou mettre autant de signes moins que possible ou ce genre de choses). Par exemple, le représentant dominant de (−3, −2, 5, −1) est (1, 2, 3, 5) (on passe bien d'un vecteur à l'autre par les opérations de W(B₄), et les composantes du second sont bien triées, et toutes positives). Il est très facile de calculer le représentant dominant d'un vecteur, et deux vecteurs ont la même orbite sous W(B₄) exactement lorsqu'ils ont le même représentant dominant (il y a un représentant dominant par orbite).

Il est par ailleurs aussi facile, avec un peu de dénombrement, de calculer le nombre de vecteurs dans une orbite sous W(B₄) : dans tous les cas, c'est un diviseur de 4!×2⁴ (où 4! := 1×2×3×4 = 24), soit 384, ce nombre correspondant au cas « général » qui est, par exemple, le cas pour (1, 2, 3, 4) : je détaille ça dans le paragraphe suivant en petits caractères parce que ce n'est pas important pour ce que je veux raconter.

Pour dénombrer l'orbite d'un vecteur sous W(B₄), ce qui importe est, premièrement, le nombre r de composantes qui valent 0, et, deuxièmement, les nombres s1,…,sk de composantes qui sont égales en valeur absolue. Le premier détermine le nombre de changements de signes sur un nombre de composantes qui ne change rien au vecteur : il vaut 2r ; les si, eux, déterminent le nombre de permutations des valeurs absolues des composantes qui ne changent rien : il vaut s1!⋯sk! ; donc finalement, la taille de l'orbite sous W(B₄) vaut 384/(2r·s1!⋯sk!). Par exemple, (−1, 1, 3, 3) a une orbite sous W(B₄) de taille 384/(2!·2!) (comptez un 2! pour chacune des valeurs absolues 1 et 3 qui sont répétées deux fois), soit 96, tandis que (0, 0, 0, 1) en a une de taille 384/(2³·3!) = 8, un nombre déjà signalé ci-dessus.

On peut chercher à dire des choses analogues avec les orbites sous W(F₄). À la limite ce n'est pas tellement ça qui m'intéresse ici, mais il faut quand même que j'en dise un mot, par souci de cohérence. Je vais appeler représentant dominant d'une orbite sous W(F₄), ou vecteur dominant pour W(F₄), un vecteur qui vérifie déjà toutes les conditions pour être dominant pour W(B₄) (c'est-à-dire trié par ordre croissant, avec des composantes positives), et qui vérifie, en outre, la condition suivante : la dernière composante est supérieure ou égale à la somme des trois autres (si on veut : − v₀ − v₁ − v₂ + v₃ ≥ 0, où les composantes du vecteur ont été notées v₀ à v₃). (Là aussi, c'est un choix que je fais, on pourrait en faire d'autres ; ce choix précis a une certaine logique, et comme pour le choix que j'ai fait pour W(B₄) il est vaguement « standard », mais il n'est pas forcément le plus opportun eu égard à la description que j'ai donnée des opérations de W(F₄) : peu importe.) Par exemple, (½, 3⁄2, 5⁄2, 11/2) est dominant pour W(F₄) parce que, outre qu'il l'est déjà pour W(B₄), on a 11/2≥½+3⁄2+5⁄2 ; il en va de même de (0, 0, 0, 1) (ou, d'ailleurs, de (0, 0, 0, 0)) ; en revanche, (½, ½, ½, ½) n'est pas dominant pour W(F₄) (il l'est pour W(B₄)) parce que ½ est strictement plus petit que ½+½+½. Chaque orbite sous W(F₄) possède un unique représentant dominant ; et un algorithme pour le calculer consiste à alterner les deux étapes suivantes (qui effectuent bien des opérations de W(F₄)) :

Il s'agit de répéter jusqu'à ce que le vecteur ne change plus, mais, en fait, il me semble que deux itérations suffiront toujours. À titre d'exemple, si je pars de (9⁄2, −7⁄2, −5⁄2, ½), son représentant dominant pour W(B₄) est (½, 5⁄2, 7⁄2, 9⁄2), l'étape suivante soustrait ½(−½−5⁄2−7⁄2+9⁄2)=−1 (c'est-à-dire, ajoute 1) à la dernière composante tandis qu'elle l'ajoute (c'est-à-dire, retire 1) aux autres, ce qui donne (−½, 3⁄2, 5⁄2, 11/2), dont le représentant dominant pour W(B₄) est (½, 3⁄2, 5⁄2, 11/2), et l'algorithme s'arrête là. On est donc passé de (9⁄2, −7⁄2, −5⁄2, ½) à son représentant dominant (½, 3⁄2, 5⁄2, 11/2) par des opérations de W(F₄), et bien sûr, si on inverse les opérations, on peut passer dans l'autre sens : ces deux vecteurs sont dans une même orbite sous W(F₄).

Ajout/digression : Pour dénombrer l'orbite d'un vecteur sous W(F₄), il y a une méthode, mais elle est plus compliquée que celle que j'ai donnée plus haut pour W(B₄). (Le présent paragraphe n'est inséré ici que pour être un peu complet, et il est recommandé de ne pas le lire.) On commence par remplacer le vecteur par le représentant dominant de son orbite pour W(F₄), qu'on peut calculer comme on l'a expliqué ci-dessus. Maintenant, on trace le diagramme de Dynkin de F₄, qui est représenté sur cette page. Pour chacun des quatre nœuds qui sont alignés sur ce diagramme, dans l'ordre (en suivant l'ordre indiqué par la flèche), on va l'effacer si l'une des sept quantités suivantes est non nulle : v₂ − v₁, v₁ − v₀, v₀ et ½·(− v₀ − v₁ − v₂ + v₃). (Remarquer que, par la définition d'un représentant dominant pour W(F₄), toutes les quantités qu'on vient de tester sont positives ou nulles : on efface le nœud quand la quantité est strictement positive.) À la fin du processus, il reste entre 0 et 4 nœuds (à savoir 4 si le vecteur était identiquement nul, et 0 si c'était par exemple (½, 3⁄2, 5⁄2, 11/2)) ; on efface aussi toutes les arêtes du diagramme reliant des nœuds dont au moins l'un a été effacé. Il reste une réunion disjointe de diagrammes de Dynkin (de nouveau, consulter la page Wikipédia que j'ai indiquée) : on considère l'ordre du groupe de Weyl de chacun, sachant que l'ordre du groupe de Weyl de An vaut (n+1)!, et celui de Bn ou Cn vaut 2n·n! (ce sont les seuls qui peuvent apparaître) ; on fait le produit de tous ces ordres, et on divise 1152 par le produit en question : le quotient est un entier, qui est la taille de l'orbite. Par exemple, si le vecteur était (0, 0, 0, 1), qui est bien un représentant dominant sous W(F₄), la seule quantité non nulle parmi celles testées est ½·(− v₀ − v₁ − v₂ + v₃) (qui vaut ½), donc on efface le quatrième nœud de la chaîne de quatre, ce qui reste est le diagramme de Dynkin de B₃, et on effectue donc le rapport 1152 / 48 = 24. L'orbite est donc de cardinal 24.

Maintenant, quand on a une orbite sous W(F₄), pour mieux la comprendre, on peut essayer de la décomposer en orbites sous W(B₄). C'est ce que j'ai fait plus haut : l'orbite de (0, 0, 0, 1) sous W(F₄) est la réunion de deux orbites sous W(B₄), à savoir celle de (0, 0, 0, 1) lui-même, qui a 8 éléments, et celle de (½, ½, ½, ½), qui en a 16. De même, l'orbite de (0, 0, 1, 2) sous W(F₄) est réunion de deux orbites sous W(B₄), à savoir celle de (0, 0, 1, 2) (qui a 48 éléments), celle de (½, ½, 3⁄2, 3⁄2) (qui en a 96). Ce que j'ai écrit, ici, colle avec ce que j'ai déjà écrit plus haut, si ce n'est que j'ai systématiquement utilisé les représentants dominants, à la fois pour les orbites sous W(F₄) et sous W(B₄).

Mais le cas qui m'intéresse le plus est le cas général, celui des orbites sous W(F₄) de taille 1152 (le maximum) : elles se décomposent en exactement trois orbites sous W(B₄), toutes également de taille maximale 384. La liste complète des 3 représentants des orbites pour W(B₄) constituant l'orbite pour W(F₄) de (½, 3⁄2, 5⁄2, 11/2) est la suivante :

(1/2, 3/2, 5/2, 11/2)
(1, 2, 3, 5)
(1/2, 5/2, 7/2, 9/2)

(Ils sont ici triés par ordre lexicographique inverse donnant le poids le plus fort aux dernières composantes. Mais ce n'est peut-être pas l'ordre le plus logique ici.)

Autrement dit, les vecteurs qu'on peut atteindre à partir de (½, 3⁄2, 5⁄2, 11/2) par application des opérations de W(F₄) sont exactement les vecteurs qu'on peut atteindre à partir de l'un des trois vecteurs ci-dessus par application des opérations de W(B₄) (384 vecteurs atteignables par permutation des coordonnées et changement de signes sur chacun des trois listés, soit 1152 au total). C'est d'ailleurs un exercice de programmation assez simple de vérifier la liste en question.

Voici maintenant la question à 3 zorkmids : y a-t-il une description élémentaire de la liste ci-dessus ? Euh, non, là, franchement, le copier-coller de l'entrée sur E₈ échoue un peu : autant chercher la logique dans une liste de 135×8 nombres se tient assez, autant la chercher dans une liste de 3×4 nombres aussi petits semble un peu idiot. Mais quand même, en supposant que je donne juste cette liste (en précisant éventuellement que l'ordre des entrées n'a pas d'importance, que l'ordre des composantes de chaque ligne n'en a pas non plus, et qu'on peut changer arbitrairement les signes) et que je demande trouvez la logique, y a-t-il quelque chose qui évite de parler de F₄ ?

Je subodore que la réponse est oui dans le cas de E₈, mais j'avoue que le cas de F₄ me fait un peu douter.

Il faut que j'explique cependant en quoi cela peut avoir un intérêt d'en chercher une. Dans mes explications (peut-être irritantes) ci-dessus, j'ai soigneusement omis d'expliquer ce qu'est, au juste, W(F₄), j'ai juste défini les opérations de W(F₄) et les orbites sous W(F₄). Ceux qui en savent un peu plus que le niveau élémentaire où je me suis placé auront bien sûr deviné que W(F₄) est censé être un groupe, que 1152 est son ordre, et que les 1152 vecteurs atteignables à partir de (½, 3⁄2, 5⁄2, 11/2) sont une orbite régulière (= un espace principal homogène) pour ce groupe, qui, du coup, peut servir à représenter le groupe si on choisit une origine. Pour éviter de supposer qu'on sait ce qu'est un groupe, je peux dire les choses ainsi : si je prend deux vecteurs v et w quelconques de l'orbite de (½, 3⁄2, 5⁄2, 11/2) sous W(F₄), et si j'appelle u le vecteur (½, 3⁄2, 5⁄2, 11/2) lui-même (le représentant qu'on a choisi d'appeler « dominant »), quelle que soit la succession d'opérations de W(F₄) amenant u en v, on peut appliquer la même suite d'opérations sur w, et on obtient un nouveau vecteur de l'orbite, que je vais noter vw : il se trouve qu'il ne dépend pas des opérations choisies pour amener u en v (ce n'est pas du tout évident, et c'est là qu'intervient le fait que l'orbite a 1152 éléments et pas moins). Ceci constitue une « loi de composition » sur mes 1152 éléments ; cette loi est, de plus, associative (on a x•(yz) = (xy)•z quels que soient x,y,z) et elle a u pour élément neutre (c'est-à-dire que uv=vu=v quel que soit v, ce qui est évident sur la définition), et chaque élément v a un inverse v′ (c'est-à-dire que vv′=v′•v=u). C'est ça qu'on appelle un groupe, et c'est ce groupe-là qui s'appelle W(F₄) (même si ce n'est pas vraiment la façon la plus naturelle de le définir : on a plutôt envie de le voir comme les transformations elles-mêmes plutôt que leur effet sur le vecteur particulier (½, 3⁄2, 5⁄2, 11/2)). Si on faisait pareil pour W(B₄) sur l'orbite de (1, 2, 3, 4), la loi de composition ainsi fabriquée serait la composition des permutations signées ; dans le cadre de W(Ar), que je n'ai pas défini, on obtient la composition des permutations sur r+1 objets. Représenter les éléments de W(F₄) par des quadruplets de nombres est possiblement plus sympathique que de le représenter comme on le fait habituellement (par des matrices 4×4, pour ceux qui savent ce que c'est, correspondant à la transformation linéaire effectuée) ; la description que j'ai faite est en principe algorithmique puisque j'ai donné ci-dessus un algorithme pour envoyer u = (½, 3⁄2, 5⁄2, 11/2) sur un vecteur v quelconque de l'orbite (ce qui permet, du coup, de refaire les mêmes opérations sur w), mais en pratique ce n'est pas très commode. J'aimerais croire qu'il y a une description plus élémentaire et plus sympathique comme il y a pour la composition des permutations ou des permutations signées. Ou en tout cas qui permette de calculer différentes choses sur un élément de W(F₄), par exemple son ordre ou son inverse.

Ajout/éclaircissement : Le paragraphe précédent est assez confus, mais l'idée générale est que W(F₄) est, de beaucoup de point de vues, très semblable à un groupe de permutations ou de permutations signées ; or il est facile et courant de représenter les éléments d'un groupe de permutations (éventuellement signées) par des listes d'entiers : il est possible d'en faire autant pour W(F₄), et c'est essentiellement ce que j'ai expliqué jusqu'ici, mais ce qui n'est pas très clair c'est ce que sont, au juste, les listes d'entiers en question (ou, à plus forte raison, comment fonctionne au juste l'opération de composition — ce que j'ai présenté est algorithmique, mais l'algorithme n'est vraiment pas très parlant).

J'ai posé la question sur MathOverflow pour le cas de E₈, mais pour l'instant sans grand succès.

Ajout/exemple : Avec la description que j'ai choisie, L'élément (2, 3, −1, 5) est un élément d'ordre 12 du groupe W(F₄), c'est-à-dire que c'est ce nombre de fois qu'il faut le composer avec lui-même pour retomber sur l'élément unité (½, 3⁄2, 5⁄2, 11/2). (C'est, en fait, un élément dit de Coxeter, ils jouent un rôle assez important.) Ses puissances successives sont les suivantes :

0	(1/2, 3/2, 5/2, 11/2)
1	(2, 3, -1, 5)
2	(7/2, -1/2, -5/2, 9/2)
3	(3/2, -1/2, -11/2, 5/2)
4	(3, -2, -5, -1)
5	(-1/2, -7/2, -9/2, -5/2)
6	(-1/2, -3/2, -5/2, -11/2)
7	(-2, -3, 1, -5)
8	(-7/2, 1/2, 5/2, -9/2)
9	(-3/2, 1/2, 11/2, -5/2)
10	(-3, 2, 5, 1)
11	(1/2, 7/2, 9/2, 5/2)
12	(1/2, 3/2, 5/2, 11/2)

J'avoue que tout ça a l'air assez aléatoire (à part la puissance sixième, mais ce n'est pas difficile à comprendre), et c'est sans doute de mauvais augure pour trouver une logique dans ce foutoir.

Il faut que je précise encore une chose : pourquoi précisément (½, 3⁄2, 5⁄2, 11/2) ? On pourrait chercher à représenter le groupe W(F₄) à partir de n'importe quel vecteur ayant une orbite de taille 1152, mais (½, 3⁄2, 5⁄2, 11/2) est ce qu'on appelle un vecteur de Weyl, et je soupçonne que c'est ce qui a le plus de chances de donner une réponse simple à ma question s'il peut y en avoir une (dans le cas de W(B₄), le vecteur de Weyl dominant est (1, 2, 3, 4), ce qui est quand même bien sympathique pour représenter les permutations signées). Définir exactement ce qu'est un vecteur de Weyl n'est pas tout à fait évident : je peux par exemple proposer la façon suivante, mais ce n'est pas forcément clair que ce soit intéressant : considérons un vecteur dominant u général pour W(F₄), et maintenant considérons parmi les 48 vecteurs que j'ai appelés système de racines de F₄ ci-dessus, ceux dont le produit scalaire avec u (c'est-à-dire la somme des produits des coordonnées correspondantes) est positif (sachant qu'il ne peut pas être nul) ; il se trouve que ce sont les 24 vecteurs (sur les 24 du système de racines) dont la dernière coordonnée non nulle est strictement positive ; maintenant, faisons la demi-somme de tous ces vecteurs : cela donne (½, 3⁄2, 5⁄2, 11/2) ; et en fait, si j'étais parti d'un vecteur u général quelconque (général voulant dire que son orbite a 1152 éléments, ou, ce qui revient au même, que les quatre composantes du vecteur u soient toutes non nulles et deux à deux distinctes, qu'il n'y en ait pas deux qui soient opposées, et qu'il n'y en ait pas non plus un certain nombre dont la somme soit égale à la somme des autres), alors la même procédure (faire la demi-somme des 120 vecteurs du système de racine ayant un produit scalaire positif avec u) donnerait un des 1152 vecteurs de l'orbite de (½, 3⁄2, 5⁄2, 11/2) sous W(F₄), que je cherche justement à identifier. Mais bon, cette description n'est pas franchement éclairante. Il faut plutôt se dire, moralement, que (½, 3⁄2, 5⁄2, 11/2) est, en un certain sens, le vecteur « le plus petit et le plus simple » (mais je ne veux pas chercher à définir exactement ce que cela signifie) qui ait une orbite sous W(F₄) de taille 1152.

(mercredi)

Jouons avec le groupe de Weyl de E₈ et cherchons la logique

J'ai raconté plein de fois dans ce blog (généralement je fais référence à cette entrée-là, mais c'est un thème récurrent, et de toute façon je radote) à quel point je suis fasciné par la symétrie et les structures combinatoires et toujours à la recherche de nouvelles façons de faire apparaître ou de représenter des objets mathématiques que je trouve remarquables. (Tiens, je n'ai pas encore parlé de mon jeu de cartes faussement divinatoires basé sur la combinatoire des 27 droites sur une surface cubique ? Faites-moi penser à vous montrer ça, un jour.) Je voudrais essayer ici de parler de façon extrêmement élémentaire un de mes objets préférés (il s'agit du groupe de Weyl de E₈, mais chut ! je veux éviter les mots barbares) pour arriver à une sorte de petite devinette, dont je n'ai pas la réponse, sur le mode « quelle est la logique dans les nombres suivants ? ».

Avertissement : La présentation qui suit risque d'être un peu irritante pour les mathématiciens — ou d'ailleurs pour des non-mathématiciens — parce que je vais faire tout un tas d'affirmations sans aucune sorte de justification, ce qui est normal pour de la vulgarisation, mais, pire, de façon peut-être gratuitement mystifiante ou à l'encontre de l'ordre et de la présentation logiques des choses. Désolé pour ceux que ça agacera, mais cette approche a un certain mérite pour là où je veux en venir. • Pour ceux qui veulent jouer, vous pouvez sauter toutes les explications, aller voir directement la liste de nombres donnée ci-dessus, et chercher une logique élémentaire : je pense qu'il y en a une, mais je ne la trouve pas.

Ajout : Voir aussi l'entrée suivante (qui est en bonne partie un copier-coller de celle-ci) pour le cas de F₄, qui est plus simple et donc peut-être pédagogiquement préférable.

Partons de huit nombres (= un élément de ℝ⁸) ; pour que ce que je raconte ne suppose aucune connaissance mathématique particulière, je précise que j'appellerai ça un vecteur et j'appellerai composantes du vecteur les huit nombres en question. Par exemple (1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0), ou bien (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 23) sont des vecteurs avec lesquels on va pouvoir jouer (ces exemples vont être intéressants pour la suite ; et oui, c'est bien un 23 que j'ai écrit à la fin, bear with me, ce n'est pas une blague dans le style quel est le huitième nombre qui complète la suite : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6… ?c'est évidemment 23). Maintenant, à partir de ce vecteur, imaginons qu'on ait le droit de faire, autant de fois qu'on veut, et dans n'importe quel ordre, les opérations très simples suivantes :

Voilà qui n'est pas bien compliqué. Pour fixer la terminologie les opérations des deux premiers types que je viens de dire seront appelées opérations de W(D₈) tandis que les opérations des trois types seront dites opérations de W(E₈) (je n'essaye pas du tout de définir ce que c'est que W(D₈) ou W(E₈), en tout cas pas pour le moment, ce sont juste des termes à considérer comme un bloc).

Les opérations de W(D₈) sont assez faciles à comprendre, en réfléchissant un peu on arrive assez facilement à voir ce qu'on peut faire avec (une description plus précise sera donnée plus bas, notamment, de quand on peut passer d'un vecteur à un autre par ces opérations). Celles de W(E₈), c'est-à-dire si on permet la troisième opération que j'ai dite, sont déjà plus mystérieuses mystérieuses : je vais donner quelques exemples ci-dessous ce qu'on peut faire avec.

La question générale est, que peut-on atteindre en appliquant les règles qui viennent d'être dites ? Autrement dit, partant d'un certain vecteur initial, quels vecteurs va-t-on pouvoir fabriquer avec les opérations qui viennent d'être dites (et combien y en a-t-il) ?

Pour prendre un exemple vraiment idiot, si le vecteur d'origine était (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), on ne va pas très loin, il reste identique à lui-même sous l'effet de n'importe laquelle des opérations que j'ai décrites, et donc c'est la seule chose qu'on pourra atteindre.

Si le vecteur de départ est (1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0), les opérations de W(D₈) (i.e., celles les deux premiers types) permettent de le transformer en n'importe quel vecteur ayant deux composantes égales à +1 ou −1 et les six autres nulles, ou en abrégé un vecteur du type (±1, ±1, 0, 0, 0, 0, 0, 0) (cela fait 8×7×2=112 vecteurs si on compte bien) ; la troisième opération transforme (1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0) en (½, ½, −½, −½, −½, −½, −½, −½), et de là avec les opérations de W(D₈) on peut fabriquer les différents vecteurs (±½, ±½, ±½, ±½, ±½, ±½, ±½, ±½) dont toutes les composantes valent ±½ avec un nombre pair de signes moins (ou, ce qui revient au même, de signes plus ; cela fait 2⁷=128 vecteurs de cette forme), soit 112+128=240 vecteurs : il se trouve (il faut le vérifier mais ce n'est pas très difficile) que c'est tout ce qu'on obtient de la sorte : 240 vecteurs et pas plus. Ces 240 vecteurs forment d'ailleurs ce qui s'appelle le système de racines de E₈ (là aussi, je ne vais pas chercher à définir ce que ça veut dire, en tout cas pas aujourd'hui).

Je peux donner d'autres exemples. Si on part de (2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) (ou de (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), cela revient évidemment au même quitte à tout diviser par deux, mais j'ai des raisons de préférer (2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)), on va pouvoir atteindre 2160 vecteurs différents par les opérations de W(E₈) ; c'est un peu plus fastidieux à compter : pour ceux qui veulent les détails, il y a les 16 vecteurs du type (±2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), les 1024 du type (∓3⁄2, ±½, ±½, ±½, ±½, ±½, ±½, ±½) avec un nombre pair de signes d'en bas, et les 1120 du type (±1, ±1, ±1, ±1, 0, 0, 0, 0) avec des signes quelconques. Si on part de (2, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0), on peut atteindre 6720 vecteurs différents (c'est encore plus pénible à compter). Si on part de (5⁄2, ½, ½, ½, ½, ½, ½, ½), on peut atteindre 17 280 vecteurs différents. Si on part de (3, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0) on peut atteindre 30 240 vecteurs différents.

Mais dans le « cas général » (disons, celui qui se produit avec probabilité 1 si notre vecteur initial a été tiré au hasard, ou bien si on est parti de (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 23)), on va atteindre exactement 696 729 600 vecteurs. (En fait, la condition pour que ça soit le cas n'est pas très compliqué : il est nécessaire et suffisant, pour que cela se produise, que les huit composantes du vecteur initial soient deux à deux distinctes, qu'il n'y en ait pas deux qui soient opposées, et qu'il n'y ait pas non plus un nombre pair d'entre elles dont la somme soit égale à la somme des autres.) Et dans absolument tous les cas, le nombre de vecteurs qu'on peut atteindre sera fini, et sera même un diviseur de ce nombre maximal qu'est 696 729 600.

(Il y a d'ailleurs exactement 256 cas possibles entre le cas le plus spécial qu'est (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) et qui donne un seul vecteur atteignable et le cas le plus général qui en donne 696 729 600. Mais je préfère rester vague sur ce que j'entends par un cas possible, parce que je ne crois pas que chacun de ces cas donne forcément un nombre de vecteurs atteints différents. En tout cas, les plus petits nombres possibles de vecteurs qu'on peut atteindre à partir d'un vecteur donné sont essentiellement ceux que j'ai listés ci-dessus : 1, 240, 2160, 6720, 13 440 et 17 280.)

☞ Il faut que je souligne que le fait qu'on obtienne un nombre fini de vecteurs est tout à fait remarquable. Si je faisais juste une toute petite modification à mes règles ci-dessus en autorisant, dans la deuxième opération, de changer le signe d'un nombre quelconque de composantes (au lieu d'exiger un nombre pair), alors n'importe quel vecteur non nul permettrait d'atteindre un nombre infini d'autres vecteurs avec les règles ainsi modifiées. La situation que je décris est véritablement exceptionnelle au sens où les « choses de ce genre » (en fait, les groupes finis de réflexions dans un espace euclidien) se rangent en un certain nombre de familles infinies plus une poignée d'exceptions, et W(E₈) fait partie de ces exceptions. Mais revenons à la situation bien particulière que j'ai considérée.

Pour y voir plus clair, je vais appeler orbite sous W(E₈) l'ensemble de tous les vecteurs qu'on peut atteindre à partir d'un vecteur donné par les opérations de W(E₈) (toutes celles que j'ai décrites), et orbite sous W(D₈) la chose analogue avec les opérations de W(D₈) (c'est-à-dire celles qui n'autorisent qu'à permuter les composantes et à changer le signe d'un nombre pair quelconques d'entre elles). Par exemple, (½, ½, ½, ½, ½, ½, ½, ½) est dans l'orbite sous W(E₈) de (1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0), mais pas dans son orbite sous W(D₈).

Il sera utile de faire l'observation suivante : toutes les opérations que j'ai décrites peuvent se faire à l'envers. S'agissant des opérations de W(D₈) c'est évident (une permutation des composantes a pour inverse une autre permutation des composantes, et changer les signes deux fois revient au vecteur de départ) ; s'agissant de W(E₈), il suffit de remarquer que la troisième opération que j'ai décrite retourne sur le vecteur dont on est parti quand on l'applique deux fois (c'est un petit exercice que je laisse au lecteur). Par conséquent, si un vecteur v est dans l'orbite d'un vecteur w (que ce soit sous W(D₈) ou sous W(E₈)), alors réciproquement, w est dans l'orbite de v, et, en fait, ils ont exactement la même orbite : a contrario, deux orbites distinctes sont forcément disjointes (c'est-à-dire, sans élément commun).

Il est facile de reconnaître à quelle condition deux vecteurs définissent la même orbite sous W(D₈) : c'est-à-dire qu'on peut passer de l'un à l'autre en permutant les composantes et en changeant le signe d'un nombre pair d'entre elles. Pour ce faire, le mieux est de rendre toutes les composantes positives sauf éventuellement la plus petite en valeur absolue (lorsqu'il y avait initialement un nombre impair de composantes négatives), puis de les trier par ordre croissant : on obtient ainsi un représentant de l'orbite du vecteur sous W(D₈) que je vais appeler le représentant dominant ou vecteur dominant pour W(D₈) (il faut que je souligne, cependant, que c'est un choix que j'ai fait : j'aurais pu trier par ordre décroissant, ou mettre autant de signes moins que possible ou ce genre de choses). Par exemple, le représentant dominant de (−6, 3, −2, 1, 5, 5, −3, 1) est (−1, 1, 2, 3, 3, 5, 5, 6) (on passe bien d'un vecteur à l'autre par les opérations de W(D₈), et les composantes du second sont bien triées, et toutes positives sauf éventuellement la plus petite en valeur absolue). Il est très facile de calculer le représentant dominant d'un vecteur, et deux vecteurs ont la même orbite sous W(D₈) exactement lorsqu'ils ont le même représentant dominant (il y a un représentant dominant par orbite).

Il est par ailleurs aussi facile, avec un peu de dénombrement, de calculer le nombre de vecteurs dans une orbite sous W(D₈) : dans tous les cas, c'est un diviseur de 8!×2⁷ (où 8! := 1×2×⋯×8 = 40 320), soit 5 160 960, ce nombre correspondant au cas « général » qui est, par exemple, le cas pour (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) : je détaille ça dans le paragraphe suivant en petits caractères parce que ce n'est pas important pour ce que je veux raconter.

Pour dénombrer l'orbite d'un vecteur sous W(D₈), ce qui importe est, premièrement, le nombre r de composantes qui valent 0, et, deuxièmement, les nombres s1,…,sk de composantes qui sont égales en valeur absolue. Le premier détermine le nombre de changements de signes sur un nombre pair de composantes qui ne change rien au vecteur : il vaut 2r−1 si r≥1 (ou bien 1 si r=0, soit 2max(r,1)−1) ; les si, eux, déterminent le nombre de permutations des valeurs absolues des composantes qui ne changent rien : il vaut s1!⋯sk! ; donc finalement, la taille de l'orbite sous W(D₈) vaut 5 160 960/(2max(r,1)−1·s1!⋯sk!). Par exemple, (−1, 1, 2, 3, 3, 5, 5, 6) a une orbite sous W(D₈) de taille 5 160 960/(2!·2!·2!) (comptez un 2! pour chacune des valeurs absolues 1, 3 et 5 qui sont répétées deux fois), soit 645 120, tandis que (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1) en a une de taille 5 160 960/(2⁵·6!·2!) = 112, un nombre déjà signalé ci-dessus.

On peut chercher à dire des choses analogues avec les orbites sous W(E₈). À la limite ce n'est pas tellement ça qui m'intéresse ici, mais il faut quand même que j'en dise un mot, par souci de cohérence. Je vais appeler représentant dominant d'une orbite sous W(E₈), ou vecteur dominant pour W(E₈), un vecteur qui vérifie déjà toutes les conditions pour être dominant pour W(D₈) (c'est-à-dire trié par ordre croissant, avec au plus une composante de signe négatif, qui est alors la première et qui est inférieure ou égale à la suivante en valeur absolue), et qui vérifie, en outre, la condition suivante : la somme de la première et de la dernière composante est supérieure ou égale à la somme des six autres (si on veut : v₀ − v₁ − v₂ − v₃ − v₄ − v₅ − v₆ + v₇ ≥ 0, où les composantes du vecteur ont été notées v₀ à v₇). (Là aussi, c'est un choix que je fais, on pourrait en faire d'autres ; ce choix précis a une certaine logique, et comme pour le choix que j'ai fait pour W(D₈) il est vaguement « standard », mais il n'est pas forcément le plus opportun eu égard à la description que j'ai donnée des opérations de W(E₈) : peu importe.) Par exemple, (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 23) est dominant pour W(E₈) parce que, outre qu'il l'est déjà pour W(D₈), on a 0+23≥1+2+3+4+5+6 ; il en va de même de (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1) (ou, d'ailleurs, de (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)) ; en revanche, (½, ½, ½, ½, ½, ½, ½, ½) n'est pas dominant pour W(E₈) (il l'est pour W(D₈)) parce que ½+½ est strictement plus petit que ½+½+½+½+½+½. Chaque orbite sous W(E₈) possède un unique représentant dominant ; et un algorithme pour le calculer consiste à alterner les deux étapes suivantes (qui effectuent bien des opérations de W(E₈)) :

Il s'agit de répéter jusqu'à ce que le vecteur ne change plus, mais, en fait, il me semble que trois itérations suffiront toujours. À titre d'exemple, si je pars de (0, 10, 11, 12, 13, −9, 1, 2), son représentant dominant pour W(D₈) est (0, 1, 2, 9, 10, 11, 12, 13), l'étape suivante soustrait ¼(0−1−2−9−10−11−12+13)=−8 (c'est-à-dire, ajoute 8) à la première et dernière composante tandis qu'elle l'ajoute (c'est-à-dire, retire 8) aux autres, ce qui donne (8, −7, −6, 1, 2, 3, 4, 21), dont le représentant dominant pour W(D₈) est (1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 21), l'étape suivante (en notant que ¼(1−2−3−4−6−7−8+21)=−8) donne (3, 0, 1, 2, 4, 5, 6, 23), dont le représentant dominant pour W(D₈) est (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 23), et l'algorithme s'arrête là. On est donc passé de (0, 10, 11, 12, 13, −9, 1, 2) à son représentant dominant (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 23) par des opérations de W(E₈), et bien sûr, si on inverse les opérations, on peut passer dans l'autre sens : ces deux vecteurs sont dans une même orbite sous W(E₈).

Ajout/digression : Pour dénombrer l'orbite d'un vecteur sous W(E₈), il y a une méthode, mais elle est plus compliquée que celle que j'ai donnée plus haut pour W(D₈). (Le présent paragraphe n'est inséré ici que pour être un peu complet, et il est recommandé de ne pas le lire.) On commence par remplacer le vecteur par le représentant dominant de son orbite pour W(E₈), qu'on peut calculer comme on l'a expliqué ci-dessus. Maintenant, on trace le diagramme de Dynkin de E₈, qui est représenté sur cette page. Pour chacun des sept nœuds qui sont alignés sur ce diagramme, dans l'ordre (sachant que le troisième des sept porte trois voisins), on va l'effacer si l'une des sept quantités suivantes est non nulle : ½·(v₀ − v₁ − v₂ − v₃ − v₄ − v₅ − v₆ + v₇), v₁ − v₀, v₂ − v₁, v₃ − v₂, v₄ − v₃, v₅ − v₄, v₆ − v₅ ; et pour le dernier nœud (celui qui est attaché au troisième des sept alignés) : v₀ + v₁. (Remarquer que, par la définition d'un représentant dominant pour W(E₈), toutes les quantités qu'on vient de tester sont positives ou nulles : on efface le nœud quand la quantité est strictement positive.) À la fin du processus, il reste entre 0 et 8 nœuds (à savoir 8 si le vecteur était identiquement nul, et 0 si c'était par exemple (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 23)) ; on efface aussi toutes les arêtes du diagramme reliant des nœuds dont au moins l'un a été effacé. Il reste une réunion disjointe de diagrammes de Dynkin (de nouveau, consulter la page Wikipédia que j'ai indiquée) : on considère l'ordre du groupe de Weyl de chacun, sachant que le groupe de Weyl de E₇ vaut 2 903 040, celui de E₆ vaut 51 840, celui de An vaut (n+1)!, et celui de Dn vaut 2n−1·n! (ce sont les seuls qui peuvent apparaître) ; on fait le produit de tous ces ordres, et on divise 696 729 600 par le produit en question : le quotient est un entier, qui est la taille de l'orbite. Par exemple, si le vecteur était (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1), qui est bien un représentant dominant sous W(E₈), la seule quantité non nulle parmi celles testées est v₆−v₅ (qui vaut 1), donc on efface le septième nœud de la chaîne de sept, ce qui reste est le diagramme de Dynkin de E₇, et on effectue donc le rapport 696 729 600 / 2 903 040 = 240. L'orbite est donc de cardinal 240.

Maintenant, quand on a une orbite sous W(E₈), pour mieux la comprendre, on peut essayer de la décomposer en orbites sous W(D₈). C'est ce que j'ai fait plus haut : l'orbite de (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1) sous W(E₈) est la réunion de deux orbites sous W(D₈), à savoir celle de (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1) lui-même, qui a 112 éléments, et celle de (½, ½, ½, ½, ½, ½, ½, ½), qui en a 128. De même, l'orbite de (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2) sous W(E₈) est réunion de trois orbites sous W(D₈), à savoir celle de (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2) (qui a 16 éléments), celle de (−½, ½, ½, ½, ½, ½, ½, 3⁄2) (qui en a 1024), et celle de (0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1) (qui en a 1120). Ce que j'ai écrit, ici, colle avec ce que j'ai déjà écrit plus haut, si ce n'est que j'ai systématiquement utilisé les représentants dominants, à la fois pour les orbites sous W(E₈) et sous W(D₈).

Mais le cas qui m'intéresse le plus est le cas général, celui des orbites sous W(E₈) de taille 696 729 600 (le maximum) : elles se décomposent en exactement 135 orbites sous W(D₈), toutes également de taille maximale 5 160 960. La liste complète des 135 représentants des orbites pour W(D₈) constituant l'orbite pour W(E₈) de (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 23) est la suivante :

(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 23)
(-1/2, 3/2, 5/2, 7/2, 9/2, 11/2, 13/2, 45/2)
(0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 22)
(1/2, 3/2, 5/2, 9/2, 11/2, 13/2, 15/2, 43/2)
(0, 1, 2, 5, 6, 7, 8, 21)
(1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 21)
(1/2, 3/2, 5/2, 9/2, 13/2, 15/2, 17/2, 41/2)
(3/2, 5/2, 7/2, 9/2, 11/2, 15/2, 17/2, 41/2)
(0, 1, 3, 4, 7, 8, 9, 20)
(1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 20)
(2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 20)
(-1/2, 3/2, 5/2, 7/2, 15/2, 17/2, 19/2, 39/2)
(1/2, 3/2, 7/2, 9/2, 13/2, 17/2, 19/2, 39/2)
(3/2, 5/2, 7/2, 11/2, 13/2, 15/2, 19/2, 39/2)
(5/2, 7/2, 9/2, 11/2, 13/2, 15/2, 17/2, 39/2)
(0, 1, 2, 3, 8, 9, 10, 19)
(0, 2, 3, 4, 7, 9, 10, 19)
(0, 1, 4, 5, 6, 9, 10, 19)
(1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 19)
(2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 19)
(1/2, 3/2, 5/2, 7/2, 15/2, 19/2, 21/2, 37/2)
(-1/2, 3/2, 7/2, 9/2, 13/2, 19/2, 21/2, 37/2)
(1/2, 5/2, 7/2, 9/2, 15/2, 17/2, 21/2, 37/2)
(1/2, 3/2, 9/2, 11/2, 13/2, 17/2, 21/2, 37/2)
(3/2, 5/2, 9/2, 11/2, 15/2, 17/2, 19/2, 37/2)
(0, 1, 3, 4, 7, 10, 11, 18)
(-1, 2, 3, 5, 6, 10, 11, 18)
(1, 2, 3, 4, 8, 9, 11, 18)
(0, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 18)
(0, 1, 5, 6, 7, 8, 11, 18)
(1, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 18)
(1, 2, 5, 6, 7, 9, 10, 18)
(-1/2, 3/2, 5/2, 9/2, 13/2, 21/2, 23/2, 35/2)
(-3/2, 5/2, 7/2, 9/2, 11/2, 21/2, 23/2, 35/2)
(1/2, 3/2, 7/2, 9/2, 15/2, 19/2, 23/2, 35/2)
(-1/2, 5/2, 7/2, 11/2, 13/2, 19/2, 23/2, 35/2)
(-1/2, 3/2, 9/2, 11/2, 15/2, 17/2, 23/2, 35/2)
(3/2, 5/2, 7/2, 9/2, 17/2, 19/2, 21/2, 35/2)
(1/2, 5/2, 9/2, 11/2, 15/2, 19/2, 21/2, 35/2)
(1/2, 3/2, 11/2, 13/2, 15/2, 17/2, 21/2, 35/2)
(0, 1, 2, 5, 6, 11, 12, 17)
(-1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 17)
(0, 2, 3, 5, 7, 10, 12, 17)
(-1, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 17)
(0, 1, 4, 5, 8, 9, 12, 17)
(-1, 2, 4, 6, 7, 9, 12, 17)
(1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 17)
(0, 3, 4, 6, 7, 10, 11, 17)
(0, 2, 5, 6, 8, 9, 11, 17)
(0, 1, 6, 7, 8, 9, 10, 17)
(-1/2, 3/2, 5/2, 9/2, 11/2, 23/2, 25/2, 33/2)
(1/2, 3/2, 5/2, 11/2, 13/2, 21/2, 25/2, 33/2)
(-1/2, 5/2, 7/2, 9/2, 13/2, 21/2, 25/2, 33/2)
(-1/2, 3/2, 7/2, 11/2, 15/2, 19/2, 25/2, 33/2)
(-3/2, 5/2, 9/2, 11/2, 13/2, 19/2, 25/2, 33/2)
(-3/2, 5/2, 7/2, 13/2, 15/2, 17/2, 25/2, 33/2)
(1/2, 5/2, 7/2, 11/2, 15/2, 21/2, 23/2, 33/2)
(-1/2, 7/2, 9/2, 11/2, 13/2, 21/2, 23/2, 33/2)
(1/2, 3/2, 9/2, 11/2, 17/2, 19/2, 23/2, 33/2)
(-1/2, 5/2, 9/2, 13/2, 15/2, 19/2, 23/2, 33/2)
(-1/2, 3/2, 11/2, 13/2, 17/2, 19/2, 21/2, 33/2)
(0, 1, 3, 4, 5, 12, 13, 16)
(0, 2, 3, 5, 6, 11, 13, 16)
(0, 1, 3, 6, 7, 10, 13, 16)
(-1, 2, 4, 5, 7, 10, 13, 16)
(-1, 2, 3, 6, 8, 9, 13, 16)
(-2, 3, 4, 6, 7, 9, 13, 16)
(1, 2, 3, 6, 7, 11, 12, 16)
(0, 3, 4, 5, 7, 11, 12, 16)
(0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 16)
(-1, 3, 5, 6, 7, 10, 12, 16)
(-1, 3, 4, 7, 8, 9, 12, 16)
(0, 1, 5, 6, 9, 10, 11, 16)
(-1, 2, 5, 7, 8, 10, 11, 16)
(1/2, 3/2, 5/2, 7/2, 9/2, 25/2, 27/2, 31/2)
(1/2, 3/2, 7/2, 9/2, 11/2, 23/2, 27/2, 31/2)
(-1/2, 3/2, 7/2, 11/2, 13/2, 21/2, 27/2, 31/2)
(-1/2, 3/2, 5/2, 13/2, 15/2, 19/2, 27/2, 31/2)
(-3/2, 5/2, 7/2, 11/2, 15/2, 19/2, 27/2, 31/2)
(-5/2, 7/2, 9/2, 11/2, 15/2, 17/2, 27/2, 31/2)
(1/2, 5/2, 7/2, 11/2, 13/2, 23/2, 25/2, 31/2)
(1/2, 3/2, 7/2, 13/2, 15/2, 21/2, 25/2, 31/2)
(-1/2, 5/2, 9/2, 11/2, 15/2, 21/2, 25/2, 31/2)
(-1/2, 5/2, 7/2, 13/2, 17/2, 19/2, 25/2, 31/2)
(-3/2, 7/2, 9/2, 13/2, 15/2, 19/2, 25/2, 31/2)
(-1/2, 3/2, 9/2, 13/2, 17/2, 21/2, 23/2, 31/2)
(-3/2, 5/2, 11/2, 13/2, 15/2, 21/2, 23/2, 31/2)
(-3/2, 5/2, 9/2, 15/2, 17/2, 19/2, 23/2, 31/2)
(0, 1, 2, 3, 4, 13, 14, 15)
(1, 2, 3, 4, 5, 12, 14, 15)
(0, 1, 4, 5, 6, 11, 14, 15)
(-1, 2, 3, 6, 7, 10, 14, 15)
(0, 1, 2, 7, 8, 9, 14, 15)
(-2, 3, 4, 5, 8, 9, 14, 15)
(-3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 15)
(1, 2, 4, 5, 6, 12, 13, 15)
(0, 2, 4, 6, 7, 11, 13, 15)
(0, 2, 3, 7, 8, 10, 13, 15)
(-1, 3, 4, 6, 8, 10, 13, 15)
(-2, 4, 5, 6, 8, 9, 13, 15)
(0, 1, 4, 7, 8, 11, 12, 15)
(-1, 2, 5, 6, 8, 11, 12, 15)
(-1, 2, 4, 7, 9, 10, 12, 15)
(-2, 3, 5, 7, 8, 10, 12, 15)
(-2, 3, 4, 8, 9, 10, 11, 15)
(3/2, 5/2, 7/2, 9/2, 11/2, 25/2, 27/2, 29/2)
(1/2, 3/2, 9/2, 11/2, 13/2, 23/2, 27/2, 29/2)
(-1/2, 5/2, 7/2, 13/2, 15/2, 21/2, 27/2, 29/2)
(1/2, 3/2, 5/2, 15/2, 17/2, 19/2, 27/2, 29/2)
(-3/2, 7/2, 9/2, 11/2, 17/2, 19/2, 27/2, 29/2)
(-5/2, 9/2, 11/2, 13/2, 15/2, 17/2, 27/2, 29/2)
(-1/2, 3/2, 9/2, 13/2, 15/2, 23/2, 25/2, 29/2)
(-1/2, 3/2, 7/2, 15/2, 17/2, 21/2, 25/2, 29/2)
(-3/2, 5/2, 9/2, 13/2, 17/2, 21/2, 25/2, 29/2)
(-5/2, 7/2, 11/2, 13/2, 17/2, 19/2, 25/2, 29/2)
(-3/2, 5/2, 7/2, 15/2, 19/2, 21/2, 23/2, 29/2)
(-5/2, 7/2, 9/2, 15/2, 17/2, 21/2, 23/2, 29/2)
(0, 1, 5, 6, 7, 12, 13, 14)
(-1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14)
(0, 1, 3, 8, 9, 10, 13, 14)
(-2, 3, 5, 6, 9, 10, 13, 14)
(-3, 4, 6, 7, 8, 9, 13, 14)
(-1, 2, 3, 8, 9, 11, 12, 14)
(-2, 3, 4, 7, 9, 11, 12, 14)
(-3, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14)
(-3/2, 5/2, 7/2, 15/2, 17/2, 23/2, 25/2, 27/2)
(-1/2, 3/2, 5/2, 17/2, 19/2, 21/2, 25/2, 27/2)
(-5/2, 7/2, 9/2, 13/2, 19/2, 21/2, 25/2, 27/2)
(-7/2, 9/2, 11/2, 15/2, 17/2, 19/2, 25/2, 27/2)
(-7/2, 9/2, 11/2, 13/2, 19/2, 21/2, 23/2, 27/2)
(0, 1, 2, 9, 10, 11, 12, 13)
(-3, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 13)
(-4, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 13)
(-9/2, 11/2, 13/2, 15/2, 17/2, 21/2, 23/2, 25/2)
(-5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12)

(Ils sont ici triés par ordre lexicographique inverse donnant le poids le plus fort aux dernières composantes. Mais ce n'est peut-être pas l'ordre le plus logique ici.)

Autrement dit, les vecteurs qu'on peut atteindre à partir de (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 23) par application des opérations de W(E₈) sont exactement les vecteurs qu'on peut atteindre à partir de l'un des 135 vecteurs ci-dessus par application des opérations de W(D₈) (5 160 960 vecteurs atteignables par permutation des coordonnées et changement d'un nombre pair de signes sur chacun des 135 listés, soit 696 729 600 au total). C'est d'ailleurs un exercice de programmation assez simple mais possiblement rigolo de générer ou vérifier la liste en question (si possible sans utiliser de tableau de taille 696 729 600).

Voici maintenant la question à 135 zorkmids : y a-t-il une description élémentaire de la liste ci-dessus ? Autrement dit, en supposant que je donne juste cette liste (en précisant éventuellement que l'ordre des entrées n'a pas d'importance, que l'ordre des composantes de chaque ligne n'en a pas non plus, et que pour ce qui est des signes seule leur parité importe) et que je demande trouvez la logique, y a-t-il quelque chose qui évite de parler de E₈ ?

Je subodore que la réponse est oui, mais j'avoue que je n'ai pas vraiment de raison de le croire à part une sorte de foi inébranlable en l'harmonie des mathématiques.

Il faut que j'explique cependant en quoi cela peut avoir un intérêt d'en chercher une. Dans mes explications (peut-être irritantes) ci-dessus, j'ai soigneusement omis d'expliquer ce qu'est, au juste, W(E₈), j'ai juste défini les opérations de W(E₈) et les orbites sous W(E₈). Ceux qui en savent un peu plus que le niveau élémentaire où je me suis placé auront bien sûr deviné que W(E₈) est censé être un groupe, que 696 729 600 est son ordre, et que les 696 729 600 vecteurs atteignables à partir de (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 23) sont une orbite régulière (= un espace principal homogène) pour ce groupe, qui, du coup, peut servir à représenter le groupe si on choisit une origine. Pour éviter de supposer qu'on sait ce qu'est un groupe, je peux dire les choses ainsi : si je prend deux vecteurs v et w quelconques de l'orbite de (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 23) sous W(E₈), et si j'appelle u le vecteur (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 23) lui-même (le représentant qu'on a choisi d'appeler « dominant »), quelle que soit la succession d'opérations de W(E₈) amenant u en v, on peut appliquer la même suite d'opérations sur w, et on obtient un nouveau vecteur de l'orbite, que je vais noter vw : il se trouve qu'il ne dépend pas des opérations choisies pour amener u en v (ce n'est pas du tout évident, et c'est là qu'intervient le fait que l'orbite a 696 729 600 éléments et pas moins). Ceci constitue une « loi de composition » sur mes 696 729 600 éléments ; cette loi est, de plus, associative (on a x•(yz) = (xy)•z quels que soient x,y,z) et elle a u pour élément neutre (c'est-à-dire que uv=vu=v quel que soit v, ce qui est évident sur la définition), et chaque élément v a un inverse v′ (c'est-à-dire que vv′=v′•v=u). C'est ça qu'on appelle un groupe, et c'est ce groupe-là qui s'appelle W(E₈) (même si ce n'est pas vraiment la façon la plus naturelle de le définir : on a plutôt envie de le voir comme les transformations elles-mêmes plutôt que leur effet sur le vecteur particulier (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 23)). Si on faisait pareil pour W(D₈) sur l'orbite de (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), la loi de composition ainsi fabriquée serait la composition des permutations signées-avec-un-nombre-pair-de-signes-moins ; dans le cadre de W(Ar), que je n'ai pas défini, on obtient la composition des permutations sur r+1 objets. Représenter les éléments de W(E₈) par des octuplets de nombres est possiblement plus sympathique que de le représenter comme on le fait habituellement (par des matrices 8×8, pour ceux qui savent ce que c'est, correspondant à la transformation linéaire effectuée) ; la description que j'ai faite est en principe algorithmique puisque j'ai donné ci-dessus un algorithme pour envoyer u = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 23) sur un vecteur v quelconque de l'orbite (ce qui permet, du coup, de refaire les mêmes opérations sur w), mais en pratique ce n'est pas très commode. J'aimerais croire qu'il y a une description plus élémentaire et plus sympathique comme il y a pour la composition des permutations ou des permutations signées. Ou en tout cas qui permette de calculer différentes choses sur un élément de W(E₈), par exemple son ordre ou son inverse.

Ajout/éclaircissement : Le paragraphe précédent est assez confus, mais l'idée générale est que W(E₈) est, de beaucoup de point de vues, très semblable à un groupe de permutations ou de permutations signées ; or il est facile et courant de représenter les éléments d'un groupe de permutations (éventuellement signées) par des listes d'entiers : il est possible d'en faire autant pour W(E₈), et c'est essentiellement ce que j'ai expliqué jusqu'ici, mais ce qui n'est pas très clair c'est ce que sont, au juste, les listes d'entiers en question (ou, à plus forte raison, comment fonctionne au juste l'opération de composition — ce que j'ai présenté est algorithmique, mais l'algorithme n'est vraiment pas très parlant).

J'ai posé la question sur MathOverflow, mais pour l'instant sans grand succès.

Ajout/exemple : Avec la description que j'ai choisie, L'élément (−1, 3, 4, 5, 6, 7, 0, 22) est un élément d'ordre 30 du groupe W(E₈), c'est-à-dire que c'est ce nombre de fois qu'il faut le composer avec lui-même pour retomber sur l'élément unité (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 23). (C'est, en fait, un élément dit de Coxeter, ils jouent un rôle assez important.) Ses puissances successives sont les suivantes :

0	(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 23)
1	(-1, 3, 4, 5, 6, 7, 0, 22)
2	(0, 5, 6, 7, 8, 1, -2, 21)
3	(-3/2, 15/2, 17/2, 19/2, 5/2, -1/2, -7/2, 39/2)
4	(-3/2, 23/2, 25/2, 11/2, 5/2, -1/2, -9/2, 33/2)
5	(-2, 16, 9, 6, 3, -1, -8, 13)
6	(-7/2, 29/2, 23/2, 17/2, 9/2, -5/2, -21/2, 15/2)
7	(0, 15, 12, 8, 1, -7, -11, 4)
8	(-4, 16, 12, 5, -3, -7, -11, 0)
9	(-2, 18, 11, 3, -1, -5, -10, -6)
10	(-2, 15, 7, 3, -1, -6, -14, -10)
11	(-5/2, 23/2, 15/2, 7/2, -3/2, -19/2, -21/2, -29/2)
12	(0, 10, 6, 1, -7, -8, -9, -17)
13	(-5/2, 17/2, 7/2, -9/2, -11/2, -13/2, -15/2, -39/2)
14	(-1/2, 13/2, -3/2, -5/2, -7/2, -9/2, -11/2, -45/2)
15	(0, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -23)
16	(1, -3, -4, -5, -6, -7, 0, -22)
17	(0, -5, -6, -7, -8, -1, 2, -21)
18	(3/2, -15/2, -17/2, -19/2, -5/2, 1/2, 7/2, -39/2)
19	(3/2, -23/2, -25/2, -11/2, -5/2, 1/2, 9/2, -33/2)
20	(2, -16, -9, -6, -3, 1, 8, -13)
21	(7/2, -29/2, -23/2, -17/2, -9/2, 5/2, 21/2, -15/2)
22	(0, -15, -12, -8, -1, 7, 11, -4)
23	(4, -16, -12, -5, 3, 7, 11, 0)
24	(2, -18, -11, -3, 1, 5, 10, 6)
25	(2, -15, -7, -3, 1, 6, 14, 10)
26	(5/2, -23/2, -15/2, -7/2, 3/2, 19/2, 21/2, 29/2)
27	(0, -10, -6, -1, 7, 8, 9, 17)
28	(5/2, -17/2, -7/2, 9/2, 11/2, 13/2, 15/2, 39/2)
29	(1/2, -13/2, 3/2, 5/2, 7/2, 9/2, 11/2, 45/2)
30	(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 23)

J'avoue que tout ça a l'air assez aléatoire (à part la puissance quinzième, mais ce n'est pas difficile à comprendre), et c'est sans doute de mauvais augure pour trouver une logique dans ce foutoir.

Il faut que je précise encore une chose : pourquoi précisément (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 23) ? On pourrait chercher à représenter le groupe W(E₈) à partir de n'importe quel vecteur ayant une orbite de taille 696 729 600, mais (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 23) est ce qu'on appelle un vecteur de Weyl, et je soupçonne que c'est ce qui a le plus de chances de donner une réponse simple à ma question s'il peut y en avoir une (dans le cas de W(D₈), le vecteur de Weyl dominant est (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), ce qui est quand même bien sympathique pour représenter les permutations signées). Définir exactement ce qu'est un vecteur de Weyl n'est pas tout à fait évident : je peux par exemple proposer la façon suivante, mais ce n'est pas forcément clair que ce soit intéressant : considérons un vecteur dominant u général pour W(E₈), et maintenant considérons parmi les 240 vecteurs que j'ai appelés système de racines de E₈ ci-dessus, ceux dont le produit scalaire avec u (c'est-à-dire la somme des produits des coordonnées correspondantes) est positif (sachant qu'il ne peut pas être nul) ; il se trouve que ce sont les 120 vecteurs (sur les 240 du système de racines) dont la dernière coordonnée non nulle est strictement positive ; maintenant, faisons la demi-somme de tous ces vecteurs : cela donne (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 23) ; et en fait, si j'étais parti d'un vecteur u général quelconque (général voulant dire que son orbite a 696 729 600 éléments, ou, ce qui revient au même, que les huit composantes du vecteur u soient deux à deux distinctes, qu'il n'y en ait pas deux qui soient opposées, et qu'il n'y ait pas non plus un nombre pair d'entre elles dont la somme soit égale à la somme des autres), alors la même procédure (faire la demi-somme des 120 vecteurs du système de racine ayant un produit scalaire positif avec u) donnerait un des 696 729 600 vecteurs de l'orbite de (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 23) sous W(E₈), que je cherche justement à identifier. Mais bon, cette description n'est pas franchement éclairante. Il faut plutôt se dire, moralement, que (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 23) est, en un certain sens, le vecteur « le plus petit et le plus simple » (mais je ne veux pas chercher à définir exactement ce que cela signifie) qui ait une orbite sous W(E₈) de taille 696 729 600.

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