Comments on Jouons avec le groupe de Weyl de E₈ et cherchons la logique

Ruxor (2018-04-13T14:35:23Z)

J'ai fait faire le calcul à un ordinateur, et les (8108190720) éléments du réseau E₈ de norme carrée égale à 620 se répartissent en 158 orbites sous le groupe de Weyl W(E₈), l'orbite de (0,1,2,3,4,5,6,23) étant la seule de stabilisateur trivial (donc de cardinal 696729600). Des exemples d'autre orbites sont (0,0,0,0,0,6,10,22) (qui a 362880 éléments), ou bien (1/2, 1/2, 3/2, 5/2, 7/2, 9/2, 17/2, 45/2) (qui en a 348364800).

Ce qu'on peut dire, c'est que les vecteurs que j'ai listés sont exactement les vecteurs de ℝ⁸ qui vérifient la conjonction des conditions suivantes:

(i.a) les coordonnées sont toutes entières ou entières-et-demi,

(i.b) leur somme est paire [ces deux conditions assurent que le vecteur est dans le réseau E₈],

(ii) la somme de leurs carrés vaut 620,

(iii.a) aucune coordonnée n'est égale à une autre ni à l'opposée d'une autre,

(iii.b) la somme d'aucun nombre pair des coordonnées n'est égale à la somme des autres [ces deux dernières conditions assurent que le vecteur a un stabilisateur trivial sous W(E₈)],

(iv.a) les valeurs absolues des coordonnées sont en ordre croissant,

(iv.b) et toutes les coordonnées sauf éventuellement la première sont positives [ces deux dernières conditions assurent que le vecteur est dominant pour W(D₈)].

Il y a 8108190720 vecteurs vérifiant (i) et (ii), il y en a 696729600 vérifiant (i) à (iii), et il y en a 135 vérifiant (i) à (iv).

Mais bon, c'est vraiment une façon horrible de dire les choses.

Mauvaisours (2018-04-08T13:01:25Z)

Après relecture, et plusieurs essais, effectivement, on peut effectivement appliquer W(E8) plusieurs fois, je ne sais plus pourquoi j'avais l'impression inverse, c'est du grand n'importe quoi dans ma tête maintenant !

Ruxor (2018-04-06T21:58:43Z)

@François Gueritaud: Il y a 8108190720 éléments du réseau de E₈ qui sont de norme carrée 620 (à savoir, 240 fois la somme des cubes des diviseurs de 620/2). Je n'ai pas cherché à calculer exactement comment ça se décompose en orbites sous W(E₈), mais comme c'est un peu plus de 11 fois 696729600, il doit y avoir au moins 11 orbites, et j'imagine que plusieurs d'entre elles sont sans stabilisateur. (Bon, en écrivant ça, j'ai tout d'un coup un doute puisque ça semble vaguement contredire l'idée que le vecteur de Weyl est le plus petit dans le réseau à ne pas avoir de stabilisateur : je dois avoir une idée fausse quelque part.)

François Gueritaud (2018-04-06T20:58:02Z)

Parmi les vecteurs de même norme (racine carrée de 620), entiers ou demi-entiers, n'appartenant à aucun mur, y en a-t-il beaucoup qui ne sont pas dans l'orbite O en question ? Il y en a forcément à cause de la condition de parité des signes, mais peut-être forment-ils seulement une copie identique de O (mettons) ? Évidemment ça n'aiderait en rien pour voir la loi de groupe.

Ruxor (2018-04-06T10:34:12Z)

Bon, j'ai écrit une entrée sur F₄ rigoureusement parallèle à celle sur E₈. C'était peut-être un peu idiot, en fait.

Ruxor (2018-04-05T20:34:33Z)

@Ilia: Effectivement, je m'étais dit que ça pouvait être intéressant (au moins pédagogiquement/expositionnellement(?)) de regarder la situation analogue pour W(F₄)/W(B₄) au lieu de W(E₈)/W(D₈), et je suis arrivé aux mêmes vecteurs que toi. Par contre, je n'avais pas pensé à l'idée de représenter la chambre de Weyl… Bon, il s'agit de trois simplexes (sphériques) qui se réunissent pour n'en former qu'un, mais il y a peut-être quand même quelque chose à « voir ». Il faudrait faire une vidéo comme <URL: http://www.youtube.com/watch?v=bBotgbXtoqo >, mais ces machins sont super pénibles à programmer.

Ilia (2018-04-05T19:17:27Z)

Une question : as-tu réfléchi pour le problème analogue pour F4 et B4 à la place de E8 et D8 ?

L'indice de W(F4) dans W(B4) est seulement 3 (au lieu de 135). La liste analogue est :
(1/2, 3/2, 5/2, 11/2)
(1, 2, 3, 5)
(1/2, 5/2, 7/2, 9/2)
Bon, vu comme ça, on se dit qu'on n'a que 3 points de données au lieu de 135, et que donc c'est plus dur de dire quoi que ce soit d'intelligent… Je pense quand même que ce cas a moyen d'aider. Notamment, dans ce cas, on peut faire un dessin de la chambre de Weyl de B4 et de la façon dont elle se subdivise en trois chambres de Weyl de F4. (Ce sont techniquement des objets de dimension 4, mais comme ce sont des cônes, on peut les projeter sur la sphère pour obtenir des objets de dimension 3, qui sont donc dessinables.)

Ruxor (2018-04-05T07:58:05Z)

@Mauvaisours: Ah mais si, on peut l'appliquer autant de fois qu'on veut. Si on l'applique deux fois consécutivement, c'est comme si on n'avait rien fait (je le mentionne au passage, mais ce n'est pas très important), mais entrecalée d'opérations de W(D₈) on peut tout à fait l'appliquer plusieurs fois, et je crois que c'est essentiel. Est-ce que quelque chose t'a laissé croire le contraire, que je devrais rectifier ?

Mauvaisours (2018-04-05T04:54:00Z)

Ca te parait peut-être évident, mais ça vaudrait peut-être le coup de préciser qu'on ne peut appliquer qu'une fois l'opération de W(E8). Pour un informaticien complètement novice comme moi, ça ne l'était pas…

Ruxor (2018-04-04T21:20:34Z)

@Ilia: Oui, c'est aussi surtout comme ça que j'y pense (et c'est bien ce à quoi je faisais implicitement référence en parlant du vecteur « le plus petit et le plus simple »), mais au niveau de vulgarisation où je me suis placé, pour définir la somme des poids fondamentaux, la difficulté est de définir la notion de base des racines simples et j'ai un peu capitulé. (De toute façon, mon dernier paragraphe est tout pourri.)

Ilia (2018-04-04T19:57:59Z)

Pour ma part, je trouve que la façon la plus éclairante de voir le vecteur de Weyl est de dire que c'est la somme de tous les poids fondamentaux. (Bon, je ne t'apprends peut-être rien, auquel cas désolé d'enfoncer des portes ouvertes.)

Voilà pourquoi je trouve ça pertinent. Chaque poids fondamental est un vecteur directeur de l'une des arêtes de la chambre de Weyl. Ainsi l'ensemble des poids dominants, qui est par définition l'intersection du réseau des racines avec la chambre de Weyl, est en fait précisément l'ensemble des combinaisons linéaires de poids fondamentaux avec des coefficients entiers naturels (ou plus simplement, l'ensemble de toutes les sommes de* poids fondamentaux). Un tel poids dominant appartient au i-ième mur de la chambre de Weyl si et seulement si sa i-ième coordonnée dans cette base est nulle. Le poids dominant avec les coordonnées (1, 1, …, 1), qui est donc la somme des* poids fondamentaux, est alors le plus petit poids dominant qui se trouve à l'intérieur de la chambre de Weyl.

Par ailleurs, étant donné un vecteur v, ses coordonnées (c_1, c_2, …, c_r) dans la base formée par les poids fondamentaux ont une signification importante : pour tout i, le reflet de v dans le i-ième mur de la chambre de Weyl est précisément égal à v moins c_i fois la i-ième racine simple… (On voit alors l'intérêt de la condition que toutes ces coordonnées soient entières, pour définir le réseau des poids.)

*Le langage naturel joue parfois des tours quand on parle de mathématiques : apprécier la différence subtile entre "la somme des poids fondamentaux" et "une somme de poids fondamentaux"… En voyant des trucs comme ça, je me demande d'ailleurs comment j'ai survécu pendant les 9 premières années de ma vie sans utiliser d'articles.