David Madore's WebLog: Hadwiger-Nelson et autres malheurs

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(mercredi)

Hadwiger-Nelson et autres malheurs

Les oulipiens ont inventé le concept du plagiat par anticipation, il faut peut-être que j'explore la manière dont il s'applique aux mathématiques. Pour une fois je vais raconter mes malheurs à ce sujet. Mais il faut d'abord que je donne le contexte.

J'ai déjà parlé du problème de Hadwiger-Nelson, cette question ouverte célèbre qui consiste à déterminer le nombre minimum de couleurs qu'il faut pour colorier le plan de façon que deux points situés à distance 1 (unité fixée quelconque) n'aient jamais la même couleur : on sait seulement que la réponse (i.e., le nombre chromatique du plan pour la relation être-à-distance-un) est entre 4 et 7 ; et je qualifie volontiers ça de problème ouvert le plus embarrassant des mathématiques, parce que vraiment tout le monde peut comprendre l'énoncé, un lycéen peut retrouver les bornes que je viens de donner et on n'a pas fait de progrès par rapport à ça. On peut, en revanche, essayer de changer un peu la question pour faire du progrès sur un terrain adjacent.

Vers avril 2012, j'ai réfléchi avec quelques collègues à de telles questions adjacentes (par exemple, savoir si on peut calculer d'autres invariants intéressants du graphe des points du plan avec la relation être-à-distance-un, comme sa capacité de Shannon — enfin, celle de son complémentaire, parce qu'un des collègues en question a des conventions opposées à tout le monde, et des bons arguments pour les défendre), mais nous n'avons pas trouvé grand-chose d'intéressant. • Comme je parlais du problème en question à mon poussinet, il m'a demandé ce qu'on savait du nombre chromatique pour des points à coordonnées rationnelles (i.e., le nombre minimum de couleurs qu'il faut pour colorier l'ensemble ℚ² des points à coordonnées rationnelles du plan, de façon que deux points situés à distance 1 n'aient jamais la même couleur). J'ai trouvé la solution à cette question-là (2 couleurs sont suffisantes — et évidemment nécessaires), et je l'ai exposée à mes collègues ; l'un d'eux a rapidement repéré que ce fait était déjà bien connu (le résultat est dû à un Douglas Woodall, en 1973). J'ai fait remarquer que les mêmes techniques permettaient de montrer des choses sur d'autres corps, par exemple ℚ(√3) (le corps des nombres de la forme a+b√3, où a et b sont rationnels) pour lesquel le nombre chromatique du plan vaut exactement 3, et cela a suscité un intérêt modéré.

Je suis alors tombé sur le livre d'Alexander Soifer, The Mathematical Coloring Book (publié en 2009), presque entièrement consacré au problème de Hadwiger-Nelson. Ce livre signale le résultat de Woodall (le nombre chromatique du plan à coordonnées dans ℚ vaut 2) et quelques unes de ses variations, et mentionne explicitement comme problème ouvert de trouver des nombres chromatiques d'autres corps, par exemple ℚ(√2). Je me suis rendu compte que je savais aussi calculer la réponse pour ℚ(√2) (c'est un peu plus compliqué que pour ℚ(√3)), et du coup que ça valait peut-être la peine de rédiger tout ça.

Les choses ont un peu traîné, mais j'ai mis sur l'arXiv une petite note contenant ces résultats et quelques faits liés que j'ai trouvé à dire sur le problème. Je pense qu'elle est facile à lire.

Je pense que les trois angoisses majeures du mathématicien quand il a obtenu son résultat sont : (1) de trouver une erreur dans sa démonstration, voire un contre-exemple à l'énoncé, (2) de trouver que le résultat est, en fait, quasiment trivial (i.e., au contraire du (1), trouver une démonstration « trop simple » de l'énoncé), et (3) d'apprendre que tout a déjà été fait avant. S'agissant du (1), j'ai passé (je passe toujours) un temps fou à relire, re-relire, et re-re-relire mes démonstrations, et j'ai atteint un niveau raisonnable de certitude qu'elles étaient correctes, même si je n'ai pas pu persuader qui que ce soit d'y jeter un coup d'œil. S'agissant du (2), l'angoisse est largement neutralisée quand il s'agit d'un problème ouvert répertorié (c'est notamment à ça qu'il sert de répertorier les problèmes ouverts). Restait l'angoisse numéro (3). J'ai écrit à Soifer (l'auteur du bouquin sur le sujet) pour lui demander si la question était toujours ouverte depuis 2009, mais il ne m'a pas répondu (je ne peux pas lui en tenir rigueur, je suis le premier à ne pas répondre à mes mails). J'ai cherché comme j'ai pu dans les bases de données de publications mathématiques et dans Google tout ce qui pouvait tourner autour de Hadwiger-Nelson ou tout ce qui citait le livre de Soifer ou quelques publications-clés, et je n'ai rien trouvé. En fait, presque personne ne semble faire quoi que ce soit au sujet du problème de Hadwiger-Nelson, donc je me suis dit que c'était certainement bon.

Finalement, j'ai soumis ma note à un journal en octobre dernier. Ils l'ont gardé plutôt longtemps (octobre à juillet), et je me suis dit que c'était sans doute un bon signe : si on rejette un article par manque d'intérêt, d'habitude, on le fait rapidement, alors que si on prend le temps de rentrer dans les détails mathématiques, c'est certainement que l'article est jugé assez intéressant, or je ne craignais pas trop qu'on y trouvât des fautes.

J'ai reçu hier le rapport : il commence plutôt bien, mais in cauda venenum : il m'apprend à la fin que l'immense majorité des résultats que je croyais avoir obtenus figurent déjà dans une note non publiée (et pas non plus mise sur l'arXiv, seulement sur la page personnelle de son auteur) d'un certain Eric Moorhouse de l'Université du Wyoming. Et ce Moorhouse a une très nette antériorité, puisque la version actuelle de sa note est datée de 2010 et qu'on trouve même des traces d'une version de 1999 qui contient aussi les résultats essentiels. Cette note m'avait échappé sans doute parce qu'elle n'utilise nulle part le terme Hadwiger-Nelson, et apparemment elle (ou en tout cas, sa version de 1999) avait aussi échappé à Soifer quand il a écrit son livre.

Et il n'y a pas que les résultats qui sont proches : les techniques que j'ai mises en œuvre sont quasiment identiques à celles de Moorhouse (je ne peux même pas espérer parler de démonstrations alternatives). Même la question que je soulève de savoir si le nombre chromatique de ℂ² pour la relation (xx′)² + (yy′)² = 1 est finie, est déjà dans l'article antérieur. J'ai bel et bien été « plagié par anticipation » ! Plus sérieusement, je suis dans une situation vraiment embarrassante, parce qu'on pourrait m'accuser de plagiat ; le rapporteur qui a lu ma note a eu l'intelligence de deviner que ce n'était pas le cas (et il l'écrit clairement à l'éditeur), mais je me méfierai à l'avenir avant d'accuser qui que ce soit de plagiat, parce que je me rends compte à quel point ça peut arriver facilement.

Il y a bien quelques bouts restants dans ma note qui ne sont pas contenus dans ce qu'a fait Moorhouse (pour ceux qui veulent regarder, les §2–4 sont essentiellement incluses dans son travail, sauf peut-être la borne inférieure de la proposition 4.6, mais ce n'est pas franchement passionnant, et les §5–7 partent un peu dans une autre direction), mais je vois mal comment ils pourraient être publiés, ne serait-ce que par manque de cohérence : ce sont des petites remarques éparses qui n'ont plus aucun fil conducteur. (La réponse de l'éditeur du journal auquel j'avais soumis l'article ne ferme pas complètement la porte à cette possibilité, mais il demande des révisions substantielles qui ont l'air difficiles à mener.) À vrai dire, j'espérais beaucoup pouvoir profiter de la publication de cette note pour attirer l'attention sur le problème de Hadwiger-Nelson minkowskien (=lorentzien), i.e., pour la métrique de Minkowski (ℝ² pour la relation (tt′)² − (zz′)² = 1), et sur le fait que je ne sais même pas si le nombre chromatique est fini. Mais ça ne se fait pas de publier un article avec des questions, il faut qu'il y ait des résultats nouveaux pour servir de prétexte à poser des questions. C'est vraiment triste.

En fait, je suis même assez effondré, parce que j'avais investi pas mal de temps, pas tant dans les résultats eux-mêmes mais dans la rédaction de cette note, que j'espérais rendre aussi jolie que possible.

J'ai écrit à Moorhouse pour lui faire part de mon embarras, lui présenter mes excuses d'avoir mis sur l'arXiv comme mien des résultats qu'il avait obtenus avant, et demander s'il accepterait de faire une publication jointe, mais je ne vois pas vraiment pourquoi il accepterait (par ailleurs, je ne sais pas s'il est encore actif, ou s'il lit son mail, ou s'il y répond).

Ce n'est pas la première fois que ça m'arrive de retomber sur des résultats déjà connus, en fait, ou quelque mésaventure du genre — même si c'est la première fois que c'est aussi flagrant. Deux fois pendant ma thèse, d'autres mathématiciens ont obtenu des résultats beaucoup plus forts que les miens et quasiment simultanément (là, j'avais techniquement l'antériorité, mais quand elle se joue à très très peu, ce n'est pas forcément évident pour les journaux et relecteurs, et ça a quelque chose d'un peu absurde de se retrouver à citer un article postérieur qui fait que l'article qu'on écrit n'a déjà plus aucun intérêt). Et je ne compte pas le nombre de concepts que j'ai « découverts » pour apprendre que j'étais né trop tard dans un monde déjà trop vieux : par exemple, en 2001, j'ai « découvert » les séries de Hahn, j'étais tout excité de comprendre qu'elles formaient un corps algébriquement clos, et on m'a fait savoir que j'arrivais à peu près un siècle trop tard. J'ai aussi trouvé plein de choses sur la multiplication de nim avant de découvrir que Lenstra était passé avant, etc. Ce genre de choses arrive à tout mathématicien, mais la multiplicité des cas qui m'ont touché commence à me rendre parano. Pourtant, je cherche à m'écarter des sentiers battus.

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