Encore un peu d'art mathématique
construit autour de l'élégance du nombre 7 et de la quasipériodicité.
Cette fois-ci, je vais faire travailler votre navigateur plutôt que
calculer les images moi-même (l'image qui suit, normalement, est
animée et change de temps en temps ; sa périodicité est d'une
semaine de 10 minutes et 04.8 secondes
[correction ()
j'avais fait une erreur d'un facteur 1000 parce que JavaScript renvoie
le temps en millisecondes et pas en secondes]) :
⁂Jeu de couleurs : ⁂Échelle :
M'étant fatigué à programmer ça, j'avoue que j'ai maintenant un peu
la flemme d'expliquer de quoi il s'agit (surtout que je ne suis pas
sûr d'en avoir une idée si précise moi-même), et je suis un peu tenté
de dire vous n'avez qu'à lire le source JavaScript, il n'est pas
obfusqué
. Mais pour dire quand même un peu d'où ça sort, je suis
parti d'une jolie construction
de pavages de
Penrose décrite dans un article de Nicolaas Govert
de Bruijn, Algebraic theory of Penrose's non-periodic
tilings of the
plane, I
, Nederl. Akad. Wetensch.
(=Indag. Math.) 43 (1981), 39–42
(notamment §4), et j'ai remplacé 5 par 7 un peu partout (on peut
d'ailleurs changer seven = 7
par d'autres valeurs dans
mon code et voir ce que ça fait, ça devrait marcher ou au moins
marchouiller) et supprimé une hypothèse qui a sans doute un intérêt
pour cet article mais pas vraiment s'il s'agit juste de faire de
« jolies images ». (Cet article m'avait été présenté par un candidat
au moment où j'étais examinateur aux TIPE à
l'ENS. J'avais écrit du code à ce moment-là, mais je
n'avais pas bien compris comment fabriquer quelque chose de
symétrique, et par ailleurs je coloriais les morceaux de façon
bizarre, donc ça ne donnait pas un résultat très beau ; j'y ai repensé
en écrivant l'entrée précédente.)
Très sommairement, la construction est la suivante : on part de
sept familles de droites parallèles régulièrement espacées dont les
directions sont séparées des multiples de 2π/7 (dans un premier temps,
on pourra imaginer que l'origine du plan est à mi-chemin entre deux
droites dans chaque famille) : appelons ça une heptagrille
. On
fait l'hypothèse qu'il n'y a pas de points où trois droites
différentes de l'heptagrille se coupent. Le pavage sera en quelque
sorte dual de l'heptagrille, au sens où à chaque intersection de deux
droites de l'heptagrille on va associer un losange du pavage (et
chaque sommet du pavage est associé à une composante connexe du
complémentaire de la réunion des droites de l'heptagrille). Pour
calculer les coordonnées d'un point du pavage, on commence par
attribuer des valeurs entières aux bandes délimitées par les droites
de chaque famille de l'heptagrille, disons de façon que l'origine ait
la valeur 0 : pour un point P « général » du plan où vit
l'heptagrille (« général » c'est-à-dire non situé sur une droite) on a
ainsi sept valeurs entières k₀,…,k₆, selon les
bandes où il se situe, et on associe à P le
point Φ(P) du plan complexe somme
des kj·ζj
où ζ=exp(2iπ/7) est une racine septième de
l'unité ; si le point P est sur une droite, l'un
des kj va prendre deux valeurs
entières adjacentes au voisinage de P, et s'il est sur deux
droites à la fois, on va avoir deux
des kj qui prennent deux valeurs
adjacentes : les quatre points associés par Φ (i.e., sommes
des kj·ζj)
sont alors les quatre sommets d'un losange du pavage. Ceci définit le
pavage, qu'il est facile de construire en énumérant tous les points de
croisement de droites de deux familles de l'heptagrille. (La forme du
losange est déterminée par l'écart entre les angles des deux droites
qui s'intersectent au point auquel il est associé.) Pour muter le
pavage, on peut décaler les différentes familles de droites
constituant l'heptagrille (si le décalage est le même pour chaque
famille, la symétrie est conservée).
Bon, la description ci-dessus est certainement assez obscure, mais
je n'ai pas le temps d'expliquer mieux. Par ailleurs, il y a
certainement quelque chose d'intelligent à dire qui fait intervenir
les mots système de racines de type A₆
et plan de
Coxeter
, mais là, tout de suite, comme ça, je ne vois pas
bien.
Ajout () : J'ai ajouté un sélecteur pour afficher ça en couleurs (les couleurs sont choisies d'après l'orientation des losanges). Mais je continue à préférer nettement la version en teintes de gris (choisies d'après la forme des losanges). Nouveaux ajouts : J'ai aussi ajouté de quoi changer l'échelle, et de quoi se déplacer (cliquer+déplacer la souris), voir aussi l'entrée suivante.