David Madore's WebLog: Je fais de jolies images avec la transformée de Fourier

Pour une fois, cette entrée mathématique n'a aucun autre but que de « faire joli ». Il y a peut-être des choses intéressantes à dire à ce sujet (et ces choses intéressantes font peut-être intervenir des mots comme quasi-cristal ou pavage de Penrose), mais je n'ai pas vraiment envie d'y réfléchir.

Les images ci-contre à droite (faites défiler vers le haut et vers le bas, ou voyez ici sur Imgur) représentent les transformée de Fourier de polygones réguliers, et plus exactement des n-gones réguliers pour n pair allant de 4 à 24. Elles sont représentées par des nuances de gris pour les valeurs positives (où 0=noir et n=blanc) et des nuances de bleu pour les valeurs négatives (où 0=noir et −n=bleu intense). Ce que j'appelle transformée de Fourier d'un n-gone régulier (ou plus exactement, des sommets du polygone — je ne trouve pas de tournure qui ne soit pas invraisemblablement lourde), c'est la transformée de Fourier d'une somme de n distributions δ, l'une centrée en chaque sommet du n-gone (le n-gone étant lui-même centré à l'origine). Plus concrètement, la fonction tracée est donc la somme de n ondes planes (toutes en phase à l'origine) partant dans chacune des n directions régulièrement espacées autour de l'origine :

$\sum_{k = 0}^{n - 1} exp (2 i π (cos (\frac{2 k π}{n}) x + sin (\frac{2 k π}{n}) y))$

(Ou, pour les navigateurs pourris qui ne gèrent pas le MathML : ∑_k=0ⁿ⁻¹exp(2iπ·(cos(2kπ/n)·x+sin(2kπ/n)·y)).) Pour n pair, ceci est bien une fonction réelle, et elle possède une symétrie de rotation d'ordre n autour de l'origine. Contrairement à l'impression qu'on peut avoir, elle n'est pas périodique (sauf dans les cas « cristallographiques » n=4 et n=6, qui ne sont pas franchement passionnants), seulement quasi-périodique. Il n'est pas concevable une seule seconde que je sois le premier à mettre de telles images en ligne mais, bizarrement, je ne trouve pas comment d'autres gens ont pu les appeler.

On pourra noter que quand n tend vers l'infini, la fonction (correctement renormalisée) tend (en un certain sens, que je n'ai vraiment pas envie de chercher à préciser) vers une fonction de Bessel de première espèce J₀ de la distance à l'origine : c'est ce qu'on commence à voir par le jeu d'anneaux concentriques autour de l'origine pour n grands.

Bon, enfin, ce qui importe surtout c'est que ce soit visuellement plaisant, et je trouve que ça l'est.

Comme la fonction n'est pas périodique, ça pourrait être intéressant (surtout pour n modérément grand) d'en faire un « explorateur » interactif en JavaScript, où on pourrait se déplacer dessus, zoomer ou dézoomer, et ce serait calculé en temps réel. Mais j'avoue que je n'ai pas la patience de programmer ça.

En revanche, pour ceux qui trouvent que mes images 2D ci-dessus sont trop statiques, je peux vous proposer une version 3D, qui consiste à faire la transformée de Fourier d'un polyèdre régulier et de la « trancher » en tranches 2D (c'est-à-dire, d'afficher des valeurs dans des plans parallèles les uns aux autres) selon une direction de plan qui présente une symétrie maximale (plan de Coxeter) : j'ai mis ça sur YouTube, et vous pouvez voir la transformée de Fourier d'un icosaèdre régulier et celle d'un dodécaèdre régulier (le plan de Coxeter fournit une symétrie d'ordre 10 : c'est la direction de plan parallèle à deux faces opposées quelconques du dodécaèdre). Là aussi, j'ai du mal à comprendre pourquoi une recherche Google de Fourier transform of dodecahedron ou variantes ne donne essentiellement rien (à part des choses que j'ai moi-même calculées, dont une vieille version des mêmes vidéos) : même si ça ne doit servir qu'à « faire joli », c'est pourtant quelque chose d'éminemment naturel à regarder, il me semble.

(J'ai vaguement imaginé, aussi, calculer la transformée de Fourier de polygones et polyèdres pleins, et aussi de leurs facettes et arêtes, mais outre que ce serait excessivement pénible à calculer, je pense que ce serait très décevant, en fait : ça ressemblerait sans doute à peu près la même chose mais en s'atténuant très vite quand on s'écarte de l'origine.)