David Madore's WebLog: 2009-05

La nuit est avancée : l'Auteur est las. La voilà qui approche, cette heure où l'inspiration va frapper, impitoyable ; où les mots s'arracheront de sa plume en lui volant son âme. Les livres attendent leur tour : le moment où la synesthésie passagère de l'écrivain leur prêtera une voix, une odeur de sang et de sueur, et la faculté d'invoquer les spectres. Sur une feuille accrochée au mur, un sceau de Salomon, au centre duquel figure le mot liminaire du dernier évangile selon Jean : λόγος. Que signifie ce mot ? L'esprit ? La force ? Non, il est écrit : au commencement était l'action. Au moment où l'Auteur murmure cela, le premier fantôme paraît — c'est le caliphe Hakem, qui emprunte les traits de de Quincey et le costume des Turcs ; il fume un houka d'où se dégage une fumée verte, rouge, jaune, bleue et blanche. Les volutes perdent leur couleur et se transforment en une mer de nuages, noyant le fumeur. Sur une montagne dominant ce brouillard, l'Auteur voit soudain la figure de Lord Byron, tenant ouvert le Paradis perdu de Milton ; apercevant l'Auteur, il lit à haute voix : Il vaut mieux régner en Enfer que servir au Paradis. Ici, au moins, nous serons libres ! Lorsqu'il prononce ces mots en disparaissant, les pages du livre s'envolent, et sept d'entre elles prennent des formes d'hommes : l'Auteur sait aussitôt qu'ils sont Homère, Virgile, Ossian, Wolfram von Eschenbach, Dante, le Tasse et Edmund Spenser. Un chariot et des chevaux de feu apparaissent et les emportent dans une tempête. Le visage d'Albrecht Dürer, riant, gigantesque, se matérialise un instant. Puis une femme à l'apparence maladive : il s'agit de Mignon, qui chante doucement le pays où les citronniers fleurissent. Enfin, l'Auteur voit son propre reflet devant lui, mais il sait qu'il s'agit là de Prospero, qu'il entend faire ses adieux à la magie et implorer l'indulgence du spectateur.

Les visions se dissipent. L'Auteur peut enfin lire les vers que sa main a tracés ; il a écrit :

Je suis le ténébreux, — le veuf, — l'inconsolé…

Je dois présenter mes excuses à ceux qui trouveront que c'est inutilement savant ; mais comme il s'agit d'une sorte de glose sur un poème (et un de mes poèmes préférés, d'ailleurs) qui est lui-même passablement hermétique et dont l'auteur n'avait plus toute sa lucidité, il n'est pas surprenant que quand j'essaie d'imaginer quelles visions ont pu en créer l'inspiration, ce soit un peu tortueux. (Je dis bien imaginer car je ne prétends même pas être vraisemblable : j'ai très bien pu commettre des anachronismes[#] ridicules.) Même si c'est parfaitement déplacé de commenter ses propres textes, j'essaierai peut-être d'expliquer plus tard quelques uns des choix que j'ai faits. En tout cas, il m'arrive de ressentir l'inspiration un peu comme ce que je viens de décrire (mais de façon moins graphique, évidemment : je ne prends pas de drogues), c'est-à-dire comme une cohorte d'auteurs, de personnages ou d'idées qui se pressent dans mon esprit pour me persuader d'écrire ceci ou cela.

Mise à jour : une tentative d'explication est ici.

[#] J'ai hésité — mais finalement renoncé — à en commettre un exprès : car je regrette profondément que Nerval soit mort juste un chouïa trop tôt pour avoir pu connaître les Rubáiyát d'Omar Khayyám telles que traduits — ou faudrait-il plutôt dire, composés — par Edward FitzGerald. Je suis sûr qu'il les aurait immensément aimés.

Les remarques faites en commentaire sur mon entrée récente me semblent mériter quelques précisions d'ordre mathématique, auxquelles je vais consacrer cette entrée. Les deux parties suivantes, et même leurs différentes sous-parties, sont indépendantes (et au moins formellement indépendantes de l'entrée précédente). Vue la longueur de ce post, ce n'est pas une mauvaise chose, d'ailleurs.

Sur la calculabilité, et l'utilisation de l'axiome du choix

Plutôt que discuter sur le problème d'origine, je vais utiliser celui-ci, qui est légèrement plus simple :

Le cruel Docteur No a capturé une infinité dénombrable de mathématiciens pour les soumettre à une épreuve pernicieuse. Il a créé des chapeaux de plusieurs couleurs différentes. Après avoir permis aux mathématiciens de se concerter, il va les soumettre à son épreuve dont il leur communique les termes : il empêchera toute communication entre eux, puis rangera les mathématiciens en file indienne dans un certain ordre (indexé par les entiers naturels), et mettra sur la tête de chacun un chapeau d'une certaine couleur (les couleurs possibles sont connues à l'avance), de sorte que chaque mathématicien puisse voir les couleurs des chapeaux de tous ceux situés devant lui (une infinité), mais pas de ceux (en nombre fini) situés derrière lui ni du sien propre. Chaque mathématicien devra noter sur un papier (et toujours sans aucune communication avec les autres) ce qu'il croit être la couleur de son chapeau. Le Docteur No tolérera un nombre fini d'erreurs, mais pas plus : si une infinité de mathématiciens s'est trompée en annonçant la couleur de leur chapeau, tous seront tués avec des tortures particulièrement raffinées — à l'inverse, si tous sauf un nombre fini avaient raison, ils seront tous libérés. Comment les mathématiciens se tirent-ils de ce mauvais pas (de façon certaine) ?

De façon mathématique, on demande de construire une fonction φ:X^ℕ→X^ℕ (où X est l'ensemble des couleurs et ℕ l'ensemble des naturels) qui à une suite de couleurs de chapeau associe la suite des réponses des mathématiciens, telle que si u et v ne diffèrent que sur les n premiers termes alors φ(u) et φ(v) ne diffèrent que sur les n−1 premiers termes (car, pour tout n, seuls les n−1 premiers mathématiciens peuvent pas voir certains des n premiers chapeaux), et telle que pour tout u les suites u et φ(u) coïncident sauf en un nombre fini de termes (seuls un nombre fini des mathématiciens a le droit d'avoir tort). Dispensons-nous des généralités vaseuses et mettons que X={0,1} (il n'y a que deux couleurs de chapeau : noir et blanc).

Peut-on avoir une stratégie calculable ?

Supposons un instant que nos mathématiciens soient, en fait, des informaticiens : ils ne peuvent calculer que les fonctions calculables effectivement par une machine de Turing ; plus exactement, il doit exister une machine de Turing T qui, quand on l'exécute en lui fournissant un entier naturel n et un oracle u (dont elle peut interroger librement les valeurs mais seulement celles qui sont au moins égales à n+1) doit terminer et renvoyer φ(u)(n). (On souligne qu'une machine de Turing ne peut évidemment, au cours de son exécution, interroger qu'un nombre fini de valeurs de l'oracle.) Or, dans ces conditions, les informaticiens ne peuvent pas être certains d'être libérés : en effet, si le Docteur No a connaissance[#] de la machine de Turing T qui sera utilisée par les informaticiens, il peut lancer l'exécution de T sur le nombre n₀=0 en fixant arbitrairement la valeur de u(k) lorsque la machine T interroge l'oracle en k (forcément différent de 0 par hypothèse), puis choisir une couleur de chapeau u(0) pour l'informaticien 0 qui soit différente de la valeur retournée par T pour ce calcul (qui se fait en temps fini puisque T est censée toujours terminer) ; puis il lance l'exécution de T sur le premier nombre n₁ pour lequel la valeur de u n'a pas encore été fixée, et de nouveau, à chaque fois que la machine T interroge l'oracle sur une valeur non encore déterminée de u, elle est fixée arbitrairement, et à la fin u(n₁) est choisi différent du nombre renvoyé par T. Et ainsi de suite : alors les informaticiens n₀, n₁, n₂, etc., se tromperont tous, donc le Docteur No aura réussi son plan diabolique.

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Essayez de trouver un journal français qui parle des élections du parlement européen pour donner des pronostics ou des sondages qui dépassent un peu le cadre de la France : ce n'est pas facile (← ceci est une litote). Et ça m'agace énormément : les députés européens ne représentent pas leur pays (il y a le Conseil pour ça), et les études (comme l'excellent livre de Hix, Noury & Roland à ce sujet) montrent qu'ils votent réellement selon les lignes des partis, ou au moins des groupes parlementaires, au niveau européen, et non selon leur pays d'origine — et accessoirement (parce que certains semblent parfois en douter dans le cadre de l'espèce de coalition perpétuelle entre PSE et PPE-DE) qu'il y a une vraie différence entre la gauche et la droite au niveau des votes. Donc savoir combien le parti socialiste et l'UMP auront en France m'importe très peu. Savoir comment l'équilibre des partis va changer au niveau européen, et notamment si Rasmussen[#] a la moindre chance de remplacer à Barroso, ça, en revanche, ça me semble important[#2].

Je veux bien croire que ce soit difficile pour les journalistes d'obtenir des chiffres et de faire des prévisions pour 27 pays, dont 26 qu'ils connaissent mal : mais, d'un autre côté, rien ne leur interdit d'aller trouver des collègues à eux dans ces 26 autres pays et de se partager le boulot de pronostic !

Enfin, toujours est-il que quelqu'un a enfin (le mois dernier — je suis toujours le dernier informé de tout) eu la bonne idée de lancer un vrai site web rassemblant des prévisions au niveau européen, www.predict09.eu, enfin quelque chose d'un peu comparable avec ce qu'on pouvait trouver aux États-Unis, avec des analyses état par état et une synthèse globale faite intelligemment et de façon lisible.

Maintenant, ce serait bien s'il y avait un peu plus que un site de ce genre.

[#] Je veux évidemment parler de Poul Nyrup Rasmussen, président du PSE, à ne pas confondre avec Anders Fogh Rasmussen, bientôt secrétaire-général de l'OTAN, ni avec Lars Løkke Rasmussen, l'actuel premier ministre danois et successeurs des deux précédents à ce poste (oui, le Club Contexte est très fier de son coup : les trois derniers chefs de gouvernement danois s'appellent tous Rasmussen !).

[#2] Sans compter la question éminemment importante de savoir si le Piratpartiet aura un, voire deux, parlementaires.

Dans l'esprit des énigmes de combinatoire cybernétique que j'avais déjà posées, celle-ci est particulièrement étrange et étonnante (je la décris donc de façon très détaillée et verbeuse, pour qu'il n'y ait aucun doute sur les termes de l'épreuve) :

Le cruel Docteur No a capturé 100 mathématiciens pour les soumettre à une épreuve démoniaque. Il dispose dans une pièce de son bateau d'une infinité (dénombrable) de boîtes, étiquetées par les entiers naturels (0,1,2,3,…), contenant chacune un nombre (disons un nombre réel pour fixer les idées, même si des naturels marcheraient tout aussi bien : en tout cas, il n'y a aucune contrainte sur la suite de nombres ainsi formée) ; il est évidemment impossible de connaître le contenu d'une boîte sans l'ouvrir. Après avoir permis aux mathématiciens de se concerter, il va les soumettre à son épreuve dont il leur communique les termes : il empêchera toute communication entre eux et les emmènera chacun, dans un certain ordre, dans la pièce où se trouvent les boîtes.

Lorsqu'un mathématicien est dans la pièce, il pourra ouvrir les boîtes qu'il souhaite pour en examiner le contenu, y compris une infinité d'entre elles (en fonction éventuellement des nombres lus dans les boîtes déjà ouvertes) ; il devra cependant laisser au moins une boîte sans l'ouvrir, et faire une prédiction sur le contenu exact d'une boîte qu'il n'aura pas ouverte. (Entre les passages de deux mathématiciens, les boîtes sont bien sûr refermées, puisque les mathématiciens ne doivent disposer d'aucun moyen de communication ; ou, si on préfère, on peut imaginer qu'il y a 100 pièces différentes contenant chacune une copie identique de la même suite de nombres, et que tous les passages ont lieu simultanément : c'est équivalent.)

Au final, les 100 mathématiciens auront chacun fait une prédiction sur le contenu d'une boîte sans en avoir regardé le contenu. (Les mathématiciens ont le droit de faire des prédictions sur des boîtes différentes les uns des autres, ou sur la même.) Le Docteur No tolérera une seule erreur parmi ces prédictions : si au moins 99 des 100 mathématiciens ont donné exactement le bon nombre pour la boîte qu'ils ont désignée, alors le Docteur No les libérera tous. Si deux mathématiciens ou plus se sont trompés, alors le Docteur No tuera tous les mathématiciens avec ses tortures particulièrement raffinées.

Comment les mathématiciens font-ils pour être certains d'être tous libérés ?

La raison pour laquelle l'énigme semble (si on essaie d'y réfléchir) impossible à résoudre, c'est bien sûr qu'ouvrir des boîtes autres que celle sur laquelle on va faire la prédiction n'apporte aucune information sur cette dernière (puisque le Docteur No a le droit d'avoir rempli les boîtes absolumnet comme il le veut !), et on ne voit pas ce que peut apporter le fait qu'il y ait 100 mathématiciens, puisqu'ils ne communiquent pas du tout entre eux ; certes, on a droit à une erreur, mais on voit mal comment exploiter ce droit.

Je vais donc donner trois indications (cachées ci-dessous : cliquez sur les liens qui suivent pour les dévoiler) : la première est mathématique et devrait clarifier ce qu'on s'autorise à faire d'une infinité de nombres. La seconde indication est une nouvelle énigme, beaucoup plus simple (mais qui peut éventuellement être intéressante en elle-même, notamment pour les gens qui n'aiment pas les infinis), censée démystifier comment utiliser le droit à faire une erreur. Les deux ensemble devraient rendre claire la façon dont on peut prédire quelque chose sur une boîte sans l'avoir ouverte. (Attention cependant, il est possible que ma seconde indication, prise seule, mette sur une fausse piste.) Enfin, la troisième indication propose le mode opératoire. Les trois indications mises ensemble devraient rendre la solution assez évidente. Au lecteur de choisir quelle(s) indication(s) il souhaite ouvrir pour en lire le contenu !

Première indication : On peut considérer la relation d'équivalence ∼ sur les suites de nombres qui est définie en convenant que u∼v lorsque les suites u et v coïncident après un nombre fini de termes : si on appelle C un ensemble qui contient un représentant et un seul de chaque classe d'équivalence (un tel ensemble existe grâce à l'axiome du choix, auquel nos mathématiciens n'hésitent pas à avoir recours !), alors par définition toute suite de nombres u coïncide, à partir d'un certain rang n, avec un unique élément v de C — donc si on connaît les éléments de u à partir de N≥n, on peut se servir de C pour « prédire » les éléments entre n et N.

Deuxième indication : Dans une variante plus facile de l'énigme, le Docteur No a non plus une infinité de boîtes, mais seulement 100 (autant que de mathématiciens), chaque mathématicien pourra toujours en ouvrir autant qu'il le souhaite mais devra en laisser (au moins) une fermée, et on demande non plus aux mathématiciens de prédire le contenu exact d'une boîte non ouverte mais seulement de le majorer, c'est-à-dire, de dire qu'il sera inférieur à tant (et, de nouveau, les mathématiciens ont collectivement droit à une unique erreur). Comment les mathématiciens font-ils pour faire des majorations toutes correctes sauf au plus une ?

Troisième indication : On peut diviser la suite infinie de boîtes en 100 suites infinies de boîtes, chaque mathématicien peut ouvrir la totalité des boîtes de 99 de ces 100 suites pour les examiner, puis enfin toutes les boîtes de la dernière suite sauf un nombre fini judicieusement choisi d'après l'observation des autres suites.

[Ajout : voir une entrée ultérieure pour des éclaircissements sur le sens des règles.]

[Ajout ultérieur (2022-06-20) : voir cette question de 2013 sur MathOverflow pour une discussion.]

Je crois que vous ne voulez vraiment pas rencontrer cette langue en vrai :

§339. La forme d'un verbe est déterminée par son mode, son temps, son aspect et sa voix.

Les modes verbaux à flexion interne (ou finitifs) sont : l'indicatif, le subjonctif, le métajonctif, l'orthojonctif, l'optatif et l'impératif (sur leur emploi, cf. §828–852). Les modes verbaux à flexion quasi-nominale sont : l'indéfinitif, le définitif et le participe (sur leur emploi, cf. §853–867) : les deux premiers sont souvent, et parfois aussi par abus de langage le troisième, regroupés sous le nom de modes infinitifs. Les temps simples sont (à l'indicatif) : l'éternel, le présent, le prétérit et le futur. Les aspects verbaux sont (à l'indicatif prétérit) : l'aoriste, l'inchoatif, l'imparfait et le parfait. (Sur l'emploi des temps et aspects, cf. §898–914.) Les voix verbales sont : l'actif, l'objectif et le subjectif (sur le sens des voix verbales, cf. §784–789).

Toutes les combinaisons ne sont cependant pas possibles : le mode optatif n'a pas de prétérit, et le mode impératif n'a pas de futur ; le mode indéfinitif entraîne nécessairement l'aspect aoriste ; l'aspect inchoatif n'existe qu'aux temps présent et prétérit, et le temps éternel qu'aux aspects aoriste et imparfait.

§340. Chacun des mode, temps et aspect du verbe est marqué par un flexème particulier, qui sont normalement adjoints dans cet ordre sauf pour le flexème *u₀[3] du métajonctif qui est adjoint en dernier (cf. §347–351). Les voix verbales sont ensuite marquées dans les modes finitifs par un jeu de flexèmes (§390–398) dépendant du sujet principal aux voix active et subjective, et de l'objet principal à la voix objective.

Il existe en outre, à l'indicatif, des temps dits composés (cf. §378–382), qui sont le plus-que-prétérit (aux aspects imparfait et parfait), le futur antérieur, et le conditionnel (ou futur postérieur), formés respectivement par l'adjonction de deux flexèmes *ne[2] du prétérit, d'un flexème du prétérit puis d'un flexème *s[3] du futur, ou inversement d'un flexème du futur puis d'un flexème du prétérit.

§341. Les paradigmes grammaticaux sont généralement donnés sur le verbe *tis[2]gar[3] (faire, accomplir).

Ainsi on a à l'indicatif : éternel aoriste tiset gar (il fait), présent aoriste tisgar i (il fait), prétérit aoriste tisne gar (il fit), futur aoriste tisgars (il fera), présent inchoatif tisgarəŋ (il commence à faire), prétérit inchoatif tisneŋ gar (il commençait à faire), éternel imparfait tisja gar (il fait pour toujours), présent imparfait tisjasu gar (il est en train de faire), prétérit imparfait tisneja gar (il faisait), futur imparfait tisjas gar (il sera en train de faire), présent parfait ekkar tis (il a fait), prétérit parfait ekne tis-gar (il avait fait), futur parfait ekkars tis (il fera).

Au subjonctif (flexème *j/*jə[4], cf. §342–344) : éternel aoriste tiseč gar, présent aoriste tisgarji, prétérit aoriste tisnej gar, futur aoriste tisgars jə, présent inchoatif tisgarəŋ jə, prétérit inchoatif tisneŋ garjə, éternel imparfait tisjaj gar, présent imparfait tisjasu gar-jə, prétérit imparfait tisneja garjə, futur imparfait tisjas gar-jə, présent parfait ekkarjə tis, prétérit parfait eknej tis-gar, futur parfait ekkars tis-jə.

Au métajonctif (flexème *t/*ti[3], cf. §345–346) : éternel aoriste tisetti gar, présent aoriste tisgart i, prétérit aoriste tisnet gar, futur aoriste tisgarts, présent inchoatif tisgartəŋ, prétérit inchoatif tisnetəŋ gar, éternel imparfait tisjat gar, présent imparfait tisjatsu gar, prétérit imparfait tisneja gart, futur imparfait tisjats gar, présent parfait ekkart tis, prétérit parfait eknet tis-gar, futur parfait ekkarts tis.

À l'orthojonctif (flexème *u₀[3] post-adjoint, cf. §347–351) : éternel aoriste tisetu gar, présent aoriste tisgaru i, prétérit aoriste tisneu gar, futur aoriste tisgarsu, présent inchoatif tisgarəŋu, prétérit inchoatif tisneŋu gar, éternel imparfait tisjau gar, présent imparfait tisjasuu gar, prétérit imparfait tisnejau gar, futur imparfait tisjasu gar, présent parfait ekkaru tis, prétérit parfait ekneu tis-gar, futur parfait ekkarsu tis.

À l'optatif (flexème *e[3], cf. §352–354) : éternel aoriste tisete gar, présent aoriste tisgare i, futur aoriste tisgares, présent inchoatif tisgareŋ, éternel imparfait tisjaa gar, présent imparfait tisjaasu gar, futur imparfait tisjaas gar, présent parfait ekkare tis, futur parfait ekkares tis.

À l'impératif (flexème *an[1], cf. §355–359) : éternel aoriste anet tisgar, présent aoriste aŋgar tis, prétérit aoriste anne tisgar, présent inchoatif aŋgarəŋ tis, prétérit inchoatif anneŋ tisgar, éternel imparfait añja tisgar, présent imparfait añjasu tisgar, prétérit imparfait anneja tisgar, présent parfait anek tisgar, prétérit parfait anek tisne-gar.

(Pour les modes infinitifs et participe, cf. §403–410.

§342. L'indicatif n'est pas marqué par un flexème particulier : *tis[2]gar[3] (faire, accomplir) → tisgar i (il fait, présent aoriste). Les verbes dits éthiques (dont le mode naturel est l'optatif) et prennent cependant flexème *pa₂[4] : ainsi, *deʒ[3] (avoir pour but) → deʒpa i (il a pour but, présent aoriste), nepa deʒ (il eut pour but, prétérit aoriste).

Le défi, ensuite, ce serait de reconstituer, à partir de ça, les règles d'ordonnement des flexèmes (celles qui constituent les §35ss).

— Vous avez insisté pour me voir, aussi vous ai-je reçu : mais vous connaissez déjà quelle sera ma réponse. Le personnage que vous me demandez d'être n'existe plus ; et cela, vous le savez.

Ce furent les premières paroles qu'il m'adressa après le long silence qui suivit un échange de politesses et de formalités. Il ajouta encore :

— Celui que j'ai été, je ne le suis plus. J'ai beau savoir que c'est bien moi qui ai fait les choses qu'on met sur mon compte, je ne reconnais pas comme miennes les actions de ce héros. Car ce n'est pas tant moi qui ai été lui que lui qui a été moi : moi qui ne suis que cette carcasse qu'ont animée un instant les dieux de l'Histoire pour faire avancer leurs desseins, vous me demandez plus que je n'ai à vous offrir. Ce n'est pas ce corps que vous cherchez, c'est l'âme qui l'habitait : or cette âme, elle pourrait aussi bien être en vous car elle m'a été reprise.

L'idée que la postérité a choisi de retenir de cette conversation provient des mémoires de mon interlocuteur et, plus que de ces mémoires eux-mêmes, de l'adaptation cinématographique qui en a été tirée et dont chacun connaît le succès. Elle me montre sous les traits d'un prêcheur déterminé à persuader et sûr de la réponse qu'il obtiendra finalement : peut-être même est-ce le souvenir que l'autre en a sincèrement gardé. Mais je dois à regret m'élever contre cette gloire que je ne mérite pas : le jeune homme que j'étais alors, tout intimidé par qui était assis en face de lui, n'avait pas plus la fougue de l'acteur qui joue mon rôle que je n'avais sa beauté ravageuse. Si j'ai convaincu, c'est presque par hasard, c'est presque malgré moi. Non, je dois respectueusement contredire le récit que fait notre héros de ma première rencontre avec lui : jamais je ne lui ai dit — jamais je n'aurais pu lui dire — jamais je n'aurais eu l'audace de lui faire cette réponse : Et cette âme, Monsieur, je suis venu pour tâcher de vous la retrouver.

Au lieu de ça, j'ai baissé la tête vers la tasse de thé qu'il m'avait servie, et je crois que j'ai dit : J'ai peur. Je ne veux pas mourir.

J'avais déjà proposé (deux fois) des petits jeux comme ça : celui qui se trouve en bas de cette entrée (cliquez ici s'il n'apparaît pas bien ci-dessous, et maudissez avec moi la norme HTML qui ne permet pas d'inclure un document dans un autre en l'insérant à sa taille naturelle) est donc ma troisième tentative, et j'en suis un peu plus content parce que, contrairement aux deux précédents qui étaient sérieusement trop durs, je crois qu'il est vraiment jouable (et construit de façon un peu moins ad hoc). Par contre, je ne suis pas du tout content de l'interface, comme je vais l'expliquer.

Le but du jeu, donc, est de mélanger les nombres de 1 à 24 puis d'arriver à les remettre dans l'ordre évident dans lequel ils sont présentés initialement. La commande ¿ (un point d'interrogation à l'envers, ne me demandez pas pourquoi) mélange complètement le taquin, et la commande † (une croix) le réinitialise à sa position de départ ; quant à ¡ (un point d'exclamation à l'envers), elle effectue un mélange partiel, que j'appelle un m12lange pour une raison que je vais expliquer, qui n'échange pas de nombres entre les deux moitiés (dodécades), et qui peut donc servir de puzzle plus simple pour s'entraîner avant de passer au problème complet. Bref, votre mission est de mélanger — ou au moins de m12langer — le puzzle, puis d'arriver à le remettre dans son état initial en n'utilisant que les commandes de mouvement que je vais expliquer (mais peut-être que le mieux est d'expérimenter avec plutôt que de lire les instructions). Avant que quelqu'un n'exprime sa déception à ce sujet : non, il n'y a pas de message de félicitation quand on arrive à remettre le puzzle en ordre.

Expliquons donc quels sont les mouvements autorisés. Tout d'abord, les nombres sont placés en deux tableaux de 3 lignes × 4 colonnes (qu'on pourrait appeler dodécades), le tableau d'en haut contenant initialement les nombres de 1 à 12 et celui d'en bas de 13 à 24. Parmi les mouvements possibles, on peut faire n'importe quelle permutation des trois lignes d'un tableau, à condition de faire la même sur l'autre tableau : pour concrétiser ça, j'ai mis des commandes ↓ et ↑, qui permutent cycliquement les trois lignes de chaque tableau, et ↕ qui échange les deux lignes d'en bas de chaque tableau : avec ça, on arrive assez facilement à faire n'importe quelle permutation des lignes (la même sur les deux tableaux). Pour ce qui est des colonnes, on à le droit à ce qu'on appelle une permutation paire (toujours la même sur les deux tableaux) : concrètement, j'autorise à faire une permutation cyclique des trois colonnes de gauche, ou des trois colonnes de droite, avec les commandes ← et → situées de part et d'autre du losange central — celles à gauche permutent cycliquement les trois colonnes de gauche et celles à droite les trois colonnes de droite. Ensuite, on a l'opération la plus importante, le flip de Mathieu, commandée par le losange ◊ : elle échange huit paires de nombres (quatre en haut et quatre en bas, mais pas organisées de la même façon), rappelées par des couleurs sur les cases en question — le contenu de chaque case coloriée est échangé avec celui de la case de même couleur. (Chaque paire est composée de deux cases adjacentes en diagonale — du moins, pour le tableau du bas, si on regarde les colonnes cycliquement.)

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