David Madore's WebLog: 2006-11

Puisque mon rythme d'écriture sur ce blog semble avoir baissé d'une entrée par jour à une entrée par semaine[#], j'ai intérêt à forcer un peu sur le côté racolleur de mes titres, d'où mon annonce du secret du bonheur (ceci étant, les lecteurs réguliers savent que j'en ai déjà parlé et même donné le secret : désolé si je me répète, mais comme vous savez tout et que je sais tout, nous ne pouvons que répéter ce que nous savons déjà). J'y viens.

Il y a une conférence qui se tient annuellement à Monterey en Californie et qui s'appelle TED, comme Technology Entertainment Design (voici ce que Wikipédia en dit, et voici leur site Web), et qui, bien entendu, prétend être une sorte de marmite à pensées de gens remarquables. Et pour le commun des mortels qui n'ont pas l'honneur de payer les quatre mille dollars pour être un gens remarquable, il y a des vidéos sur leur site ; j'en ai regardé quelques-unes et il faut admettre qu'il y en a de très bonnes dans le tas :

• Dans une des toutes premières sessions à être enregistrées, par exemple, on a Hans Rosling (vidéo en ligne ici ou ici, vidéo téléchargeable là) qui présente des statistiques, sous forme d'animations époustouflantes, sur l'économie (et l'état, plus généralement) du monde, à la fois pour le présent et pour l'évolution depuis une quarantaine d'années, les différences géographiques, etc. Il s'agit d'une réfutation assez flagrante d'un certain nombre d'idées reçues sur ce qu'est « le tiers-monde », « les pays riches », tout ça. Quel pays a, selon vous, la plus forte mortalité infantile, entre le Sri Lanka et la Turquie ? Si vous pensiez comme moi que c'était le premier, vous feriez bien de regarder pour vous remettre les idées en place.
• Le secret du bonheur que je vous promettais, c'est le psychologue Daniel Gilbert qui le révèle (vidéo en ligne ici, audio téléchargeable et vidéo téléchargeable là). Il présente quelques expériences tendant à montrer la thèse apparemment surprenante suivante : si demain vous deviez gagner un jackpot au loto ou si demain vous deviez devenir tétraplégique, cela ne ferait pas une différence significative sur votre bonheur à long terme ; et notre idée de la manière dont nous seront heureux dans l'avenir, ou dont nous le serions dans tel ou tel avenir hypothétique, sont totalement fausses par rapport à ce qu'on observe vraiment. Je connaissais ce phénomène par la lecture par exemple de ce rapport, qui prouve que, contrairement à ce que tout le monde croit, on devient plus heureux en vieillissant (alors qu'on s'imagine soi-même avoir été plus heureux quand on était jeune et devoir devenir moins heureux en vieillissant).
• J'ai aussi bien aimé l'intervention du statisticien Peter Donnelly (vidéo en ligne ici, audio téléchargeable et vidéo téléchargeable là), qui réfute plusieurs idées fausses, parmi les préférées, qu'on a souvent sur les statistiques. Notamment le piège « bayesien » classique : s'il y a une maladie qui frappe environ une personne sur dix mille et qu'on dispose d'un test fiable à 99% pour déterminer si quelqu'un a cette maladie, si le test indique que quelqu'un est malade, quelle est la probabilité qu'il le soit vraiment ? (La réponse est, environ 1%, pas 99% comme beaucoup de gens s'imaginent. Malheureusement, quand les beaucoup de gens constituent un jury d'assises et que le test est dans le cadre d'une enquête criminelle, l'erreur peut conduire un innocent en prison. C'est aussi le même genre de phénomène qui fait que mes spams sont souvent mal classés.)

Zut, j'avais prévu de parler d'autres choses que seulement de ces vidéos, mais, comme toujours, je commence à m'étaler sur un sujet à tel point que j'ai l'impression que ce serait vraiment disproportionné d'en mentionner un autre après. Ce sera pour un autre jour.

[#] Mon avocat me conseille de ne pas révéler, dans cette baisse de productivité, les parts relatives des effets David, arrête de raconter ta vie et viens te coucher et zut, je n'ai vraiment pas fini le boulot que je m'étais promis de faire pour demain, je continue. Plus sérieusement, il y a des fois où ça me manque, de ne pas trouver le temps, par exemple pour écrire des fragments littéraires gratuits.

On m'a posé aujourd'hui l'énigme suivante :

Le cruel Docteur No a capturé 100 mathématiciens pour les soumettre à une épreuve démoniaque. Il a placé (dans un ordre connu de lui seul) le nom de chacun des 100 mathématiciens dans autant de boîtes numérotées de 1 à 100. Après avoir permis aux mathématiciens de se concerter, il va les soumettre à son épreuve dont il leur communique les termes : il empêchera toute communication entre eux et les emmènera, dans un certain ordre, dans la pièce où se trouvent les 100 boîtes. Lorsqu'un mathématicien est dans la pièce, il pourra ouvrir une boîte de son choix pour lire le nom qui y figure, puis, s'il le souhaite, en ouvrir une autre, puis éventuellement une autre, et ainsi de suite jusqu'à 50 boîtes au maximum. (Les boîtes sont, bien entendu, refermées avant le passage du prochain mathématicien, puisque toute communication est interdite après la concertation initiale.) Le but de chaque mathématicien, lorsqu'il passe dans la pièce contenant les boîtes, est d'ouvrir la boîte contenant son nom (parmi les ≤50 boîtes qu'il peut ouvrir). Si chaque mathématicien a réussi à ouvrir la boîte contenant son nom, alors le Docteur No les libérera tous. Si ne serait-ce qu'un seul n'a pas réussi, alors le Docteur No tuera tous les mathématiciens avec ses tortures particulièrement raffinées.

Si chaque mathématicien ouvrait bêtement 50 boîtes au hasard, il aurait une chance sur deux de voir son nom dans l'une d'elles, et la probabilité que tous les mathématiciens réussissent le test (donc soient libérés) serait d'une chance sur 2 puissance 100 (en gros une chance sur un quintillion, ce qui ne pèse pas très lourd). Mais comme ce sont des mathématiciens, ils vont trouver une solution bien plus intelligente.  En fait, ils élaborent une stratégie qui leur permet d'avoir plus de 30% de chances de s'en sortir. Comment font-ils ?

[Ajout (2018-11-29) : voir ici.]

Mon propos n'est pas de donner la réponse à cette énigme (qui m'a demandé un bon moment de réflexion, d'ailleurs), je le ferai éventuellement plus tard (mais sans doute quelqu'un se dévouera-t-il dans les commentaires), mais de faire le parallèle avec d'autres. Il y a en effet toutes sortes d'énigmes bien connues dans ce genre, et qui font souvent appel au Docteur No et à nombre variable de mathématiciens.

[Lire la suite…]

OK, ça fait une semaine que je n'ai rien écrit, et pourtant je me me suis pas pendu. Je plaide coupable, tout ça tout ça… J'ai fait des maths.

La situation de ma recherche n'est pas ce que je croyais : j'ai réussi à contourner les problèmes (1) et (2), et à démontrer un résultat vaguement intéressant en utilisant un théorème un peu différent et en considérant une situation un peu plus générale pour laquelle le problème n'est pas trivial. Tout est pour le mieux ? Pas tant que ça : le lemme technique que j'avais démontré, lui, s'avère être déjà connu (un lemme essentiellement équivalent est démontré dans un article de 1986, au moins, que mon directeur de thèse a déniché). Certes, c'est satisfaisant d'avoir redémontré indépendamment quelque chose de déjà connu (cela veut dire que je suis, d'une certaine manière, « sur la bonne piste »), mais cela fait aussi que mon résultat final, même s'il est vaguement intéressant, est quand même trop simple pour en faire un article (malheureusement, on ne juge pas les résultats uniquement à leur énoncé mais aussi à la longueur de leur démonstration). Solution possible : le généraliser, en utilisant une version plus forte du lemme qui a été démontrée depuis ; mais ça risque d'être extrêmement difficile, et en tout cas je vais devoir potasser beaucoup de grothendieckeries (la cohomologie étale de variétés singulières) avant d'avoir la moindre chance d'y arriver.

En attendant, je dis un mot d'un résultat (« classique », si j'ose dire) sur lequel je suis tombé par hasard dans un livre, qui a un rapport lointain avec ce sur quoi je réfléchis en ce moment, et que je trouve extrêmement joli. J'ai déjà dû raconter que j'éprouvais une fascination particulière, en mathématiques, non tant pour les théorèmes que pour certains objets remarquables et particulièrement élégants que l'on peut admirer dans, pour ainsi dire, le musée des curiosités du paradis platonique. En l'occurrence :

La variété sécante de la surface de Veronese dans P⁵ est une hypersurface cubique.

Alors j'essaie d'expliquer ce que ce charabia veut-dire. D'abord, Veronese, ce n'est pas le peintre, c'est le mathématicien. La surface de Veronese (dans P⁵, i.e., dans l'espace (projectif) de dimension 5) est un très joli objet mathématique, dont il est malheureusement difficile de donner une image vu qu'elle habite un espace à cinq dimensions (on peut cependant en représenter une projection, ou surface de Steiner) : il s'agit de la surface définie paramétriquement par les équations (v,w)↦(v²,w²,vw,w,v), autrement dit, l'image du plan par le système complet de degré deux, (sauf qu'il est plus commode et plus élégant de travailler dans l'espace projectif, c'est-à-dire en rajoutant les points à l'infini, auquel cas le paramétrage devient (U:V:W)↦(U²:V²:W²:VW:UW:UV) en coordonnées homogènes, et on voit bien apparaître tous les monômes de degré 2). Elle a notamment la propriété remarquable que n'importe quelle conique du plan en est une section hyperplane (i.e. : si vous coupez la surface de Veronese, qui vit dans l'espace de dimension 5, par un hyperplan de dimension 4, vous obtenez l'image — par le paramétrage ci-dessus — d'une conique plane, et toute conique s'obtient de la sorte) ; et si vous l'intersectez avec un espace linéaire de dimension 3, il reste quatre points dans l'espace (on dit donc que la surface de Veronese en question est de degré 4).

Maintenant, la variété sécante (de la surface de Veronese), c'est la réunion de toutes les droites passant par deux points de la surface (et les limites de telles droites). Comme on part d'une surface, donc d'un objet de dimension 2, et que pour chaque couple de points sur cette surface on prend la droite qui les relie, qui est de dimension 1, on s'attend à ce qu'en réunissant ces droites on obtienne un truc de dimension 2+2+1=5, donc tout l'espace. Eh bien non ! En fait on n'obtient qu'un truc de dimension 4, parce que n'importe quel point de la réunion est situé, en fait, sur une famille à un paramètre de telles droites (donc il y a une dimension qui tombe). Si vous voyez dans l'espace à cinq dimensions (ce qui n'est pas mon cas, hélas) ça vous fait une configuration géométrique extrêmement jolie. Et ce truc de dimension 4, cette variété sécante à la surface de Veronese, a le bon goût d'être une hypersurface cubique (une droite générale de P⁵ rencontre en trois points des droites reliant deux points de la surface de Veronese) ! Algébriquement, cela correspond à la relation cubique remarquable suivante : (AU²+BU′²)·(AV²+BV′²)·(AW²+BW′²) + 2(AVW+BV′W′)·(AUW+BU′W′)·(AUV+BU′V′) = (AU²+BU′²)·(AVW+BV′W′)² + (AV²+BV′²)·(AUW+BU′W′)² + (AW²+BW′²)·(AUV+BU′V′)², entre les six quantités AU²+BU′², AV²+BV′², AW²+BW′², AVW+BV′W′, AUW+BU′W′ et AUV+BU′V′. Cette hypersurface cubique a pour points singuliers exactement les points de la surface de Veronese. Si on la coupe par un hyperplan général, on obtient une hypersurface cubique qui est la variété sécante d'une courbe rationnelle normale de degré 4 (qui sont ses points singuliers). Si on la coupe par un espace linéaire de dimension 3 général, on obtient une surface cubique de Cayley, la seule surface cubique ayant quatre points singuliers (donc si on veut, l'hypersurface de dimension 4 dont on parle est la réunion de toutes les surfaces de Cayley ayant pour quatre points singuliers n'importe quels quatre points sur la surface de Veronese).

Bref, voilà de la très jolie géométrie, où mes « yeux » de géomètre algébriste me permettent de voir quelque chose qui, vivant en dimension 5, n'est pas évident à visualiser, mais dont je perçois quand même la beauté.

J'ai passé des semaines à réfléchir sur un problème, à élaborer une stratégie de démonstration, à commencer à la rédiger, à me rendre compte d'erreurs, à les corriger, à trouver des erreurs dans ma façon de corriger les erreurs, à contourner ces erreurs, à croire que je touchais au but, pour finalement m'apercevoir aujourd'hui que (1) le résultat principal sur lequel je comptais appuyer toute ma démonstration est faux (je m'étais trompé en croyant me souvenir d'un théorème censément bien connu) et (2) de toute façon, le problème sur lequel je réfléchissais admet une réponse en deux lignes complètement évidente (i.e., le problème lui-même est sans intérêt). Je ne sais pas ce qui est le plus frustrant, entre (1) et (2), d'ailleurs.

Je me retrouve avec sur les bras un lemme technique qui m'a coûté très cher et qui a l'air de ne pouvoir servir dans aucun autre contexte que celui qui s'avère sans objet.

Quelqu'un a une corde, pour que je puisse me pendre ?

• Ma dent va mieux : on vient de me retirer deux grosses caries (qui avaient évolué de façon foudroyante) sur deux dents adjacentes (la 26 et la 27). On ne sait pas encore s'il faudra dévitaliser l'une ou l'autre ou les deux (les caries étaient bien près du nerf, sans le toucher cependant), mais il y a encore une petite chance que je m'en tire bien. Je pense que je vais garder comme dentiste régulier celle qui m'a pris en urgence pour ces opérations (elle me fait très bonne impression, et son cabinet est vraiment à deux pas de chez moi). En attendant j'ai droit à un goût de clou de girofle dans tous mes aliments (goût dû au pansement que les dentistes utilisent : il paraît que le clou de girofle a des propriétés très intéressantes) ; heureusement, je ne trouve pas ça (trop) mauvais.
• Aujourd'hui j'ai fait le garde-malade pour mon copain, qui était pris de nausées terribles. Il a été plus courageux que moi et ne s'est pas rendu aux urgences. Moi j'ai l'air malin parce que, fait exceptionnel, c'est moi qui ai « fait la cuisine » (i.e., qui ai mis les surgelés dans la poêle) pour le dîner hier soir ; si c'est une gastro-entérite, on verra demain si je suis malade à mon tour.
• Ma recherche mathématique avance en zig-zag. Plus encore que d'habitude : je crois avoir prouvé un résultat potentiellement intéressant, je trouve une erreur, je trouve une façon de contourner ce problème, je trouve une erreur dans cette façon de contourner, etc. On ne le dit pas assez, mais c'est vraiment angoissant de parcourir une démonstration en se demandant : Tiendra ? Tiendra pas ? Surtout quand sa carrière en dépend !
• Au rayon des divertissements, en revanche, j'ai pratiquement fini Underworld II (d'accord, je triche — mais il reste quand même beaucoup de choses intéressantes à faire). Je reste persuadé que ce jeu (et ses cousins), même une douzaine d'années après, sont encore inégalés sur le plan de la richesse du scénario et de la variété des épreuves à accomplir.
• Cela fait longtemps que je n'ai pas écrit un fragment littéraire gratuit et ça me manque — mais je n'arrive pas à trouver le temps pour rassembler de l'inspiration et me concentrer. J'avais quelques idées qui m'étaient venues, mais elles sont pour l'essentiel parties avant que j'aie le temps de les noter.
• J'ai décidé (entre autres pour éviter le problème signalé au point précédent…) de me promener maintenant toujours avec un mini-bloc-notes (un PDA serait plus geek, mais c'est pénible à transporter, même les plus petits), histoire de noter les idées qui me viennent, les choses que je dois faire, les recherche à faire dans Wikipédia (j'en ai déjà dit un mot) — et les prix à entrer dans Gnucash.

Je viens de voir le dernier Woody Allen : j'ai trouvé ça pas mal du tout. Disons que c'est un peu le pendant en comédie du précédent : ça se passe aussi dans la haute société britannique, et il y a aussi des histoires de meurtre. Évidemment, il est difficile de dire si l'un ou l'autre est meilleur — personnellement j'ai bien aimé les deux.

Aujourd'hui j'ai eu l'idée de mettre du miel dans mes pâtes : je ne sais pas ce qui m'a poussé à faire ça, je mets souvent plein d'épices ou de sauces différentes dans mes pâtes, parfois pour faire des mélanges audacieux, mais je n'avais encore jamais essayé le miel. Bref, j'ai mélangé du miel de sapin, un filet d'huile d'olive, de la purée de piments extra forte (Albert Ménès) et de la coriandre (fraîche, enfin, surgelée, mais pas des graines, quoi : les feuilles). Eh bien ce n'est pas mal du tout. En tout cas j'ai bien aimé. Mais il est vrai que certaines mauvaises langues m'accusent d'aimer les mélanges douteux.

J'aime bien m'amuser avec Gimp, alors comme il fallait une image pour servir de couverture à la prochaine édition de l'annuaire des élèves de l'ENS, je me suis porté volontaire pour faire une proposition. C'est vraiment rigolo et facile (même pour moi qui ne suis pas du tout doué en arts graphiques) de faire ce genre de collage. J'ai surtout manqué un peu de matériau (l'an dernier j'avais fait une proposition de ce genre, qui n'avait pas été retenue, mais il faut dire qu'elle était plus confuse et moins lisible, et j'avais demandé ensuite si des gens pourraient prendre de belles photos en prévision de l'édition suivante, mais, malheureusement sans grand résultat) : je remercie quand même Franziska pour une très belle photo, en bas de la page, du bassin aux Ernests. La figure de Pasteur, me dit Joël, est peut-être un peu trop tutélaire : c'est vrai, mais je ne trouvais pas autre chose à mettre à cet endroit-là.

Un bon point à ceux qui arriveront à identifier le texte en grec (c'est probablement assez facile) ou le texte mathématique (c'est probablement plus dur).