David Madore's WebLog: Nouvelles mathématiques

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(jeudi)

Nouvelles mathématiques

OK, ça fait une semaine que je n'ai rien écrit, et pourtant je me me suis pas pendu. Je plaide coupable, tout ça tout ça… J'ai fait des maths. ☺

La situation de ma recherche n'est pas ce que je croyais : j'ai réussi à contourner les problèmes (1) et (2), et à démontrer un résultat vaguement intéressant en utilisant un théorème un peu différent et en considérant une situation un peu plus générale pour laquelle le problème n'est pas trivial. Tout est pour le mieux ? Pas tant que ça : le lemme technique que j'avais démontré, lui, s'avère être déjà connu (un lemme essentiellement équivalent est démontré dans un article de 1986, au moins, que mon directeur de thèse a déniché). Certes, c'est satisfaisant d'avoir redémontré indépendamment quelque chose de déjà connu (cela veut dire que je suis, d'une certaine manière, « sur la bonne piste »), mais cela fait aussi que mon résultat final, même s'il est vaguement intéressant, est quand même trop simple pour en faire un article (malheureusement, on ne juge pas les résultats uniquement à leur énoncé mais aussi à la longueur de leur démonstration). Solution possible : le généraliser, en utilisant une version plus forte du lemme qui a été démontrée depuis ; mais ça risque d'être extrêmement difficile, et en tout cas je vais devoir potasser beaucoup de grothendieckeries (la cohomologie étale de variétés singulières) avant d'avoir la moindre chance d'y arriver.

En attendant, je dis un mot d'un résultat (« classique », si j'ose dire) sur lequel je suis tombé par hasard dans un livre, qui a un rapport lointain avec ce sur quoi je réfléchis en ce moment, et que je trouve extrêmement joli. J'ai déjà dû raconter que j'éprouvais une fascination particulière, en mathématiques, non tant pour les théorèmes que pour certains objets remarquables et particulièrement élégants que l'on peut admirer dans, pour ainsi dire, le musée des curiosités du paradis platonique. En l'occurrence :

La variété sécante de la surface de Veronese dans P5 est une hypersurface cubique.

Alors j'essaie d'expliquer ce que ce charabia veut-dire. D'abord, Veronese, ce n'est pas le peintre, c'est le mathématicien. La surface de Veronese (dans P5, i.e., dans l'espace (projectif) de dimension 5) est un très joli objet mathématique, dont il est malheureusement difficile de donner une image vu qu'elle habite un espace à cinq dimensions (on peut cependant en représenter une projection, ou surface de Steiner) : il s'agit de la surface définie paramétriquement par les équations (v,w)↦(v²,w²,vw,w,v), autrement dit, l'image du plan par le système complet de degré deux, (sauf qu'il est plus commode et plus élégant de travailler dans l'espace projectif, c'est-à-dire en rajoutant les points à l'infini, auquel cas le paramétrage devient (U:V:W)↦(U²:V²:W²:VW:UW:UV) en coordonnées homogènes, et on voit bien apparaître tous les monômes de degré 2). Elle a notamment la propriété remarquable que n'importe quelle conique du plan en est une section hyperplane (i.e. : si vous coupez la surface de Veronese, qui vit dans l'espace de dimension 5, par un hyperplan de dimension 4, vous obtenez l'image — par le paramétrage ci-dessus — d'une conique plane, et toute conique s'obtient de la sorte) ; et si vous l'intersectez avec un espace linéaire de dimension 3, il reste quatre points dans l'espace (on dit donc que la surface de Veronese en question est de degré 4).

Maintenant, la variété sécante (de la surface de Veronese), c'est la réunion de toutes les droites passant par deux points de la surface (et les limites de telles droites). Comme on part d'une surface, donc d'un objet de dimension 2, et que pour chaque couple de points sur cette surface on prend la droite qui les relie, qui est de dimension 1, on s'attend à ce qu'en réunissant ces droites on obtienne un truc de dimension 2+2+1=5, donc tout l'espace. Eh bien non ! En fait on n'obtient qu'un truc de dimension 4, parce que n'importe quel point de la réunion est situé, en fait, sur une famille à un paramètre de telles droites (donc il y a une dimension qui tombe). Si vous voyez dans l'espace à cinq dimensions (ce qui n'est pas mon cas, hélas) ça vous fait une configuration géométrique extrêmement jolie. Et ce truc de dimension 4, cette variété sécante à la surface de Veronese, a le bon goût d'être une hypersurface cubique (une droite générale de P5 rencontre en trois points des droites reliant deux points de la surface de Veronese) ! Algébriquement, cela correspond à la relation cubique remarquable suivante : (AU²+BU′²)·(AV²+BV′²)·(AW²+BW′²) + 2(AVW+BVW′)·(AUW+BUW′)·(AUV+BUV′) = (AU²+BU′²)·(AVW+BVW′)² + (AV²+BV′²)·(AUW+BUW′)² + (AW²+BW′²)·(AUV+BUV′)², entre les six quantités AU²+BU′², AV²+BV′², AW²+BW′², AVW+BVW′, AUW+BUW′ et AUV+BUV′. Cette hypersurface cubique a pour points singuliers exactement les points de la surface de Veronese. Si on la coupe par un hyperplan général, on obtient une hypersurface cubique qui est la variété sécante d'une courbe rationnelle normale de degré 4 (qui sont ses points singuliers). Si on la coupe par un espace linéaire de dimension 3 général, on obtient une surface cubique de Cayley, la seule surface cubique ayant quatre points singuliers (donc si on veut, l'hypersurface de dimension 4 dont on parle est la réunion de toutes les surfaces de Cayley ayant pour quatre points singuliers n'importe quels quatre points sur la surface de Veronese).

Bref, voilà de la très jolie géométrie, où mes « yeux » de géomètre algébriste me permettent de voir quelque chose qui, vivant en dimension 5, n'est pas évident à visualiser, mais dont je perçois quand même la beauté.

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