David Madore's WebLog: 2016-03

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Entries published in March 2016 / Entrées publiées en mars 2016:

(vendredi)

Sur l'Arénaire d'Archimède, et les grands nombres

J'ai déjà évoquéplusieurs reprises) ma fascination pour les grands nombres, et même la raison pour laquelle ils me fascinent (cette entrée parle d'ordinaux, mais les très grands nombres entiers sont fabriqués à partir d'ordinaux par des mécanismes d'écrasement et en tout cas l'attrait psychologique est le même), et aussi les objections que j'ai à la position philosophique selon laquelle ils n'ont pas de sens.

Maintenant je voudrais dire un mot d'histoire, pour parler d'un texte d'Archimède intitulé Ψαμμίτης, ce qu'on traduit en français par l'Arénaire. (Enfin, en français, c'est vite dit : c'est surtout une transcription de la traduction latine (H)arenarius ; le TLF définit le substantif un arénaire comme carrière souterraine d'où l'on extrait le sable ou la pouzzolane ou gladiateur qui combattait dans l'arène ou encore, une arénaire comme carrière de sable. Bref, c'est un mot jamais utilisé qui peut apparemment signifier n'importe quoi ayant un rapport avec le sable. Et ça semble être à peu près le cas du mot grec d'origine, donc pourquoi pas — mais je ne sais pas si le titre est d'Archimède ou si c'est une description plus tardive.) En anglais, on appelle ce texte The Sand Reckoner, le compteur de grains de sable, ce qui est plus descriptif.

Il s'agit d'un texte assez court (une dizaine de pages) dans lequel Archimède cherche à démontrer que le nombre de grains de sable dans l'Univers est fini. Je suppose que le terme infini (enfin, ἄπειρος, ce qu'il vaut peut-être mieux traduire par illimité) était utilisé de façon assez floue, pour dire plus grand qu'on ne peut le concevoir ou le décrire Un peu comme dans le titre d'un célèbre livre de vulgarisation scientifique de George Gamow, One, Two, Three… Infinity (que mon papa m'a lu quand j'étais petit, et qui a beaucoup contribué à mon éveil scientifique), c'est une référence au fait que certains peuples humains, comme beaucoup animaux, savent compter « un », « deux », « trois » et « beaucoup ». (Donc l'idée c'est que si une cane a quatre canetons et qu'il y en a un qui disparaît, elle le remarque parce que ça passe de « beaucoup » à « trois », mais si elle en a cinq au début, elle ne remarque pas de différence, parce que « beaucoup » égale « beaucoup ».) Bref, la thèse d'Archimède c'est que non seulement le nombre de grains de sables est fini, mais qu'on peut en donner un majorant tout à fait explicite.

Pour ceux qui veulent lire le texte lui-même, j'en ai trouvé plusieurs versions en ligne : ici un scan d'une traduction française tout à fait ancienne mais assez littérale et amusante à lire, ici un scan d'une édition moderne du texte grec original, ici un scan d'une édition plus ancienne du texte grec original accompagné d'une traduction latine (je suis sûr que ça aide beaucoup de gens, ça, la traduction latine), ici un scan d'une traduction/paraphrase/analyse anglaise, ici une version retapée en TeX du texte grec, ici une traduction anglaise suivie d'une analyse, ici une traduction française qui coïncide sans doute avec la première que j'ai liée, et ici une traduction intercalée de notes et de commentaires. On peut aussi chercher le début du texte dans Google.

Je ne suis pas historien, même pas historien des sciences, et je ne suis pas terriblement habitué à lire des textes « anciens », même si ça m'arrive. (J'ai lu les Éléments d'Euclide, par exemple, et un certain nombre de textes d'Euler, Lagrange, Gauß et Galois, mais pas énormément, et encore, c'était plus par curiosité qu'autre chose ; mes lectures véritablement mathématiques commencent plutôt avec Hilbert. Comme j'aime bien le faire remarquer, un matheux peut être spécialiste de la théorie de Galois sans jamais de sa vie avoir lu une ligne de Galois, alors qu'il est sans doute plus difficile pour un philosophe d'être spécialiste de la métaphysique de Kant et de ne jamais avoir ouvert un livre de Kant ; on peut sans doute en tirer des conclusions sur la différence d'approche entre domaines, notamment dans le rapport à l'Histoire du domaine.) Je ne peux donc pas vraiment replacer ce texte dans son contexte historique. Mais il me semble qu'il est à la fois extrêmement moderne et fécond en idées modernes, et pourtant bizarrement ancien par certains aspects.

Parmi les choses que je trouve très modernes dans l'Arénaire, il y a l'idée d'étudier des ordres de grandeur, et de faire des majorants, même grossiers, sur des quantités qu'on ne sait pas estimer. (Par exemple, Archimède signale que la circonférence de la Terre est estimée à 300000 stades — c'est-à-dire environ 60000km dans nos unités modernes, la vraie valeur étant 40000km — mais pour que personne ne mette en doute sa démonstration, il rajoute un facteur 10 et la majore donc par 3000000 stades.) Il y a l'utilisation des puissances de 10 (je vais y revenir) avec le fait que 10a×10b=10a+b, et il y a les grands nombres qu'il introduit.

Il faut se rappeler que les Grecs anciens avaient une notation particulièrement pourrie pour les nombres : ils utilisaient 27 symboles (les 24 lettres de l'alphabet plus 3 lettres anciennes), pour les unités de 1 à 9, les dizaines de 10 à 90 et les centaines de 100 à 900 ; puis ils reprenaient les symboles des unités pour les milliers de 1000 à 9000 avec un modificateur (quelque chose comme Ͳ) ; au-delà, les choses devenaient embrouillées : 10000 s'appelait une myriade, et on comptait les myriades et les unités séparément. Donc, en gros, le système permettait (mal) de noter les nombres jusqu'à une myriade de myriade, soit 10⁸, ou plutôt jusqu'à 99 999 999.

Archimède propose pour les grands nombres la terminologie suivante, qu'il avait apparemment exposée dans un texte antérieur (Principes, adressé à un certain Zeuxippe), lequel a été perdu, donc c'est une chance qu'il la réexplique — d'autant qu'il va beaucoup plus loin que ce dont il a besoin pour compter les grains de sable.

Les nombres de 1 à une myriade de myriade (10↑8) s'appelleront, nous propose Archimède, nombres premiers (rien à voir avec les nombres premiers en arithmétique) ; ensuite, les multiples du plus grand des nombres premiers (10↑8) s'appellent nombres seconds, jusqu'à une myriade de myriade de ceux-ci, c'est-à-dire (10↑8)↑2 = 10↑16 ; puis les multiples de ce nombre-là s'appellent nombres troisièmes, jusqu'à (10↑8)↑3 = 10↑24, et ainsi de suite jusqu'aux nombres myriade-de-myriadièmes, le plus grand desquels est donc (10↑8)↑(10↑8) = 10↑(8×10⁸). Ensuite, Archimède suggère qu'on peut aller encore plus loin, même s'il n'en aura aucun besoin pour compter les grains de sable (et il s'y prend un peu bizarrement) : il appelle nombres de la première période tous les nombres que je viens de décrire (jusqu'à 10↑(8×10↑8) donc), et il reprend les multiples de ce nombre-là pour former les nombres premiers de la seconde période (de 10↑(8×10↑8) à une myriade de myriade de fois ça, c'est-à-dire 10↑(8×10↑8+8)), puis il appelle seconds de la seconde période les multiples du plus grand nombre premier de la seconde période (de 10↑(8×10↑8+8) à 10↑(8×10↑8+16)), et ainsi de suite jusqu'aux nombres myriade-de-myriadièmes de la seconde période (qui se termine avec 10↑(16×10↑8)) ; et Archimède signale qu'on pourrait aller jusqu'à une myriade de myriade de périodes (le dernier nombre qu'il évoque est donc 10↑(8×10↑16)).

Pour dire les choses autrement, et c'est d'ailleurs ce qu'ajoute Archimède, si on compte juste les puissances de 10, les huit premières (=la première octade) appartiennent à ce qu'Archimède appelle les nombres premiers, les huit suivantes aux nombres seconds, etc., et ensemble les 800 000 000 premières (puissances de dix, c'est-à-dire une myriade de myriade d'octades) appartiennent à la première période, les 800 000 000 suivantes à la seconde période, et ainsi de suite jusqu'à 8×10↑16 = 80 000 000 000 000 000 (je parle toujours de puissances de dix) qui délimitent l'étendue des nombres considérés par Archimède. Jusqu'à 10↑(8×10↑16), donc (pour les non-mathématiciens, cela veut dire que le dernier nombre considéré par Archimède est un 1 suivi de 80 000 000 000 000 000 zéros).

Ce nombre est assez remarquablement grand, et il semble que personne, mathématicien ou autre, n'ait considéré ou décrit un nombre supérieur à 10↑(8×10↑16) jusqu'au XXe siècle. (On me souffle : jusqu'au livre de Hardy de 1910, Orders of Infinity — mais si quelqu'un trouve un exemple antérieur, ça m'intéresse. Ce texte d'introduction à la googologie suggère que Diophante a pu évoquer le nombre 10↑(10↑(10↑(10↑10))), mais je n'arrive pas à confirmer.)

Par ailleurs, le système d'écriture des nombres suggéré par Archimède n'est pas loin d'être un système positionnel (de base 10⁸) ; ceci dit, c'est un peu difficile à savoir parce qu'il ne mentionne pas explicitement, par exemple, qu'un nombre peut s'écrire comme la somme d'un nombre premier et d'un nombre second et d'un nombre troisième, etc. (ce qui serait véritablement l'écriture en base 10⁸). Peut-être de telles considérations étaient-elles dans les Principes qui ont été perdus.

Archimède évoque aussi les puissances de dix (la suite géométrique commençant par 1 et dont chaque terme est dix fois le précédent) : il démontre que 10a×10b=10a+b, formulé en gros de la façon suivante : le produit de deux termes de la série sera éloigné de l'unité d'autant de termes, moins un, que les deux facteurs le sont ensemble de l'unité (le moins un vient de ce qu'Archimède ne compte pas à partir de zéro, si bien que 10↑0=1 est le premier terme de la suite géométrique des puissances de dix, 10↑1=10 est le second, et ainsi de suite).

Il y a deux choses que je trouve bizarres dans l'histoire : la première est juste bizarre, la seconde l'est moins mais est assez dommage. Ce qui est vraiment bizarre, c'est que finalement Archimède introduit deux terminologies sur les nombres, l'une à base de 10⁸ (une myriade de myriades) et l'autre à base de 10, et il passe son temps à convertir entre les deux, ce qui revient essentiellement à multiplier ou diviser par 8 (laborieusement, parce qu'il y a des ±1 dans tous les sens à cause de cette histoire de zéro), par exemple il passe du cinquante-deuxième terme de la progression des puissances de 10 (soit 10↑51) à mille unités des nombres septièmes (de la première période) (soit 1000×(10⁸)↑6). Tout ça est fondamentalement inutile, surtout pour les calculs intermédiaires, et ça rend le texte lourd à suivre. Il aurait pu se contenter de puissances de 10 ou de celles de 10⁸, ou dire une fois pour toutes qu'il peut passer de l'un à l'autre en divisant ou multipliant par 8, mais au lieu de ça il refait plein de fois des décomptes d'octades. • L'autre chose qui est dommage aux yeux du gogolologue que je suis, c'est qu'il n'a pas eu l'idée d'appliquer les exposants aux exposants, par exemple mettre dans la seconde période autant d'ordres (=nombres premiers, deuxièmes, troisièmes, etc.) qu'il y avait de nombres dans la première période, et ainsi de suite : du coup, il aurait considéré des nombres non pas comme 10↑(8×10↑16) mais comme 10↑(8×10↑(8×10↑(8×10↑(8×10↑(⋯))))) avec 10⁸ exponentiations, ce qui aurait été encore plus impressionnant et encore plus en avance sur son époque.

Mais bon, les grands nombres ne sont pas vraiment l'objet du texte (je pense qu'il en parle un peu pour se vanter — et il a raison — d'avoir introduit des nombres qui dépassent considérablement le nombre de grains de sable dans l'univers) : il faut aussi que je résume un peu les calculs qu'il fait. Là aussi, il y a des choses extrêmement modernes et d'autres qui paraissent être des distractions.

Archimède cherche à estimer le nombre de grains de sable qui tiendront dans une boule dont le rayon est la distance Terre-Soleil (ce que d'après lui les astronomes/astrologues appellent univers, enfin, κόσμος, cosmos), même si ensuite il utilise une théorie d'Aristarque pour élargir jusqu'à une boule encore plus grosse, supposée aller jusqu'aux étoiles fixes. Il fait les hypothèses suivantes :

  1. La circonférence de la Terre ne dépasse pas 3 000 000 stades, c'est-à-dire que le rayon de la Terre est inférieur à 10⁸ mètres en unités SI. Il dit clairement que c'est une majoration grossière, et il a entièrement raison.
  2. Le diamètre la Terre est plus grand que celui de la Lune, et celui du Soleil est plus grand que celui de la Terre. Là, il a indiscutablement raison.
  3. Le diamètre du Soleil est au plus 30 fois celui de la Lune. En fait, la vraie valeur du rapport de taille Soleil/Lune est à peu près 400. Ceci dit, cette sous-estimation faite par Archimède va être compensée par les marges qu'il a prises ailleurs : d'une part, en fait, il combine cette estimation avec la première partie du point précédent pour dire que le diamètre du Soleil est au plus 30 fois celui de la Terre, ce qui est toujours faux mais moins (la vraie valeur est environ 100) ; d'autre part, comme il a volontairement surestimé d'un facteur plus que 10 la taille de la Terre, finalement son majorant fonctionne.
  4. Le diamètre du Soleil est plus grand que le côté d'un kilogone/chiliogone (:= polygone à mille côtés) régulier inscrit dans un cercle dont le rayon est la distance Terre-Soleil. (C'est-à-dire, dans des termes plus modernes, que le diamètre du soleil vaut au moins 2·sin(π/1000) fois la distance Terre-Soleil.) Là, ce n'est pas tant une hypothèse qu'une observation, à savoir la mesure du diamètre apparent du Soleil, qu'il estime entre 1/200 et 1/164 d'un angle droit, c'est-à-dire entre 27 et 33 minutes d'arc, ce qui est très bien mesuré (la bonne valeur est apparemment 32′), et Archimède prend le temps d'expliquer comment il a fait la mesure, y compris comment il a essayé de tenir compte du fait que son œil n'est lui-même pas un point. • Ensuite, il y a une démonstration géométrique qui paraît incroyablement fastidieuse au lecteur moderne que je suis, pour passer de cette estimation (diamètre apparent du Soleil entre (π/2)/200 et (π/2)/164 radians) à la conclusion annoncée sur le diamètre du Soleil (au moins 2·sin(π/1000) de la circonférence d'un cercle de rayon la distance Terre-Soleil) ; la raison pour laquelle ce n'est pas complètement évident est que l'observateur n'est pas au centre de la Terre, il est plus près du Soleil (d'au plus un rayon terrestre), donc Archimède explique pourquoi l'angle qui serait mesuré au centre de la Terre ne serait pas trop diminué : si je résume, le diamètre du Soleil est au plus (π/2)/164 < 1/100 de la distance Terre-Soleil, donc a fortiori (d'après la deuxième partie de l'avant-dernier point) le diamètre de la Terre est au plus 1/100 de la distance Terre-Soleil, donc la distance de l'observateur au Soleil (plus exactement, à un point du Soleil au bord de ce qu'on observe, i.e., un point de tangence) est au moins 99/100 de ce qu'elle serait au centre de la Terre, du coup l'angle qu'on observerait au centre de la Terre serait au moins 99/100 de l'angle de (π/2)/200 mesuré, et comme 99/20000 > 1/203, le diamètre apparent au centre de la Terre serait au moins (π/2)/203, conclut Archimède, or 4×203<1000, c.q.f.d.
  5. Le nombre de grains de sables dans le volume d'une graine de pavot ne dépasse pas 10000, et le diamètre d'une graine de pavot n'est pas moins de 1/40 de la largeur d'un doigt. La seconde estimation est très conservatrice (une graine de pavot doit faire dans les 2mm, c'est donc plutôt quelque chose comme 1/10 de la largeur d'un doigt selon les doigts qu'on a et ce qu'il appelle la largeur d'un doigt) ; la première, je ne sais pas bien, parce qu'il y a du sable de toutes sortes de tailles : pour du sable moyennement grossier, ça semble tourner autour de 5 grains par mm³, donc l'estimation d'Archimède serait de nouveau très conservatrice, mais il y a des poussières dont on ne sait pas si elles comptent comme des grains — en tout cas, si un grain de sable doit être visible à l'œil nu, Archimède a certainement raison qu'il y en a moins de 10000 dans le volume d'une graine de pavot.

On en déduit que le diamètre de l'« univers » (:= deux fois la distance Terre-Soleil) ne dépasse pas (1000/3) fois celui du Soleil (i.e., il minore 2·sin(π/1000) par 6/1000), donc ce diamètre dépasse 10000 fois le diamètre de la Terre (avec l'estimation d'Archimède ; le vrai rapport est plutôt dans les 20000), qui est lui-même d'au plus 10↑6 stades, ce qui donne un diamètre de l'« univers » d'au plus 10↑10 stades (soit 2×10↑12 mètres, la bonne valeur est de 3×10↑11 mètres).

À partir de là, il n'y a plus qu'à faire les calculs d'ordre de grandeur : en commençant par une boule de diamètre 1/40 de la largeur d'un doigt et en multipliant à chaque fois par 100, Archimède calcule un majorant du nombre de grains de sables qui peuvent tenir dans la boule en question : moins de 6.4×10⁸ < 10⁹ pour une boule de diamètre d'un doigt, donc moins de 10↑15 pour une boule de diamètre 100 doigts, donc moins de 10↑21 pour une boule de diamètre 10000 doigts, largeur qui est elle-même plus grande qu'un stade, donc moins de 10↑27 pour une boule de diamètre 100 stades, donc moins de 10↑33 pour une boule de diamètre 10↑4 stades, donc moins de 10↑39 pour une boule de diamètre 10↑6 stades, donc moins de 10↑45 pour une boule de diamètre 10↑8 stades, donc moins de 10↑51 pour une boule de diamètre 10↑10 stades, qui est la taille par laquelle il a majoré le diamètre de l'« univers ». Comme je le disais, à chaque multiplication par 100, il reconvertit de la puissance de 10 dans son système de grands nombres basé sur 10⁸, on se demande pourquoi.

Ensuite, Archimède rappelle la théorie d'Aristarque selon laquelle la sphère des étoiles fixes a une taille comparée à celle qu'il a appelé l'univers (i.e., de rayon la distance Terre-Soleil) comme celle-ci par rapport à la Terre (si on prend les mesures modernes, ça mettrait les étoiles fixes à environ un tiers d'année-lumière, ce qui est sous-estimé mais pas du tout ridicule ; cf. aussi ce que je racontais dans cette entrée sur l'expérience menée beaucoup plus tard par Huygens). Et même avec cette estimation, fait remarquer Archimède, le nombre de grains de sable qui remplirait la totalité de la sphère des étoiles fixes serait fini : puisque l'univers (i.e., la distance Terre-Soleil) est au plus 10000 fois la taille de la Terre (a-t-on estimé plus haut), il suffit de mettre encore deux facteurs 100, et au final Archimède arrive à moins de 10↑63 grains de sable dans cette sphère.

Ce que j'ignore totalement, c'est comment ce texte a été reçu. On a l'impression qu'il était à deux doigts d'inventer les logarithmes et le système d'écriture positionnel, et que si personne ne l'a fait pendant si longtemps c'est forcément que ce texte avait été oublié, ou n'avait pas été compris, et notamment que personne n'avait vraiment réfléchi à la magnitude des nombres décrits par Archimède. Mais est-ce le cas ? De nouveau, je ne suis pas historien, je n'en sais rien ; je suis étonné de voir que les quelques articles que je trouve qui étudient l'impact historique de l'Arénaire se concentrent sur l'héliocentrisme (franchement, ça ne me semble pas très intéressant comme question, et ça ne semble pas intéresser énormément Archimède). Ah, j'ai quand même trouvé cet article (Piero Delsedime, L'infini numérique dans l'Arénaire d'Archimède, Archive for History of Exact Sciences 6 (1970), 345–359), mais je le trouve assez vaseux. • En revanche, cet article (assez difficile à suivre) pourrait expliquer que les œuvres d'Archimède, et ce texte particulièrement, n'étaient pas très connus, voire pas connus du tout, jusqu'au milieu du XVe siècle.

Pour d'autres remarques sur l'histoire de la googologie (i.e., des grands nombres), je peux renvoyer à plusieurs articles de Craig Smoryński, par exemple “Big” news from Archimedes to Friedman (Notices Amer. Math. Soc. 30 (1983), 251–256), c'est d'ailleurs là où j'ai entendu parler de l'Arénaire, partiellement visible ici, ou bien Some rapidly growing functions (Math. Intelligencer 2 (1980), 149–154), disponible ici, et sa suite, The varieties of arboreal experience (Math. Intelligencer 4 (1982), 182–189), disponible ici.

(mardi)

Comment je corrige des copies

S'il y a un aspect du métier d'enseignant que je n'aime vraiment pas, c'est corriger des copies : à l'agacement de voir passer 25 fois la même erreur s'ajoute la frustration de ne pas pouvoir interagir avec celui qui l'a faite. (Au contraire, quand je fais passer un oral, les erreurs du candidats sont plutôt une source d'intérêt pour moi, parce que c'est l'occasion de comprendre la profondeur de l'erreur, de laisser des occasions de la découvrir et de la corriger, bref, d'interroger de façon personnelle.)

Le tout, donc, est de maximiser l'efficacité. Quand je corrige des copies que les étudiants ne demanderont pas à voir (ce qui, à Télécom ParisPloum, est presque toujours le cas), je ne mets aucune annotation dessus, sauf de très rares mentions pour moi-même s'il y a une faute qui risque d'être difficile à retrouver en cas de relecture. Ça fait gagner un temps important : j'ouvre un tableur avec la liste des élèves en colonne, la liste des questions en ligne, et je prends les copies une par une en entrant des nombres dans le tableau. On gagne encore plus de temps à ce que toutes les questions soient sur le même nombre de points (ça évite de regarder le barème à chaque fois) : par exemple, mettre un nombre entre 0 (=tout faux) et 1 (=tout juste) à chaque question, quitte à insérer une pondération plus tard (et tant pis si ça conduit à des notes bizarrement fractionnaires). Il est aussi bon, pour l'efficacité, qu'il y ait essentiellement une chose à dire par question (si ce n'est pas le cas, il vaut mieux subdiviser — sinon, on risque de se retrouver à mettre la totalité des points à une copie qui n'a répondu qu'à la moitié de la question).

Les premières copies prennent beaucoup plus de temps à corriger que les suivantes. Peut-être cinq fois plus pour la première copie, parce qu'on ne connaît pas encore le sujet, donc pas encore les choses à repérer dans chaque question — les réponses vraiment attendues, les fautes courantes. Parce que rapidement, la correction de chaque question se termine à vérifier un ou deux points-clés comme le nom du théorème à invoquer ou la présence de tel calcul intermédiaire ou quelque chose de ce genre ; inversement, tel ou tel signe rapidement familier, comme un théorème qui ne peut tout simplement pas s'appliquer, voudra dire que la question est fausse et on ne cherche pas plus loin. Il y a bien parfois quelques copies exceptionnelles qui arrivent à dire des choses justes ou fausses, peu importe, mais différemment des autres, et elles peuvent demander plus de temps que trois copies « normales », mais ça reste une infime minorité.

Pendant des années, j'avais l'habitude de corriger « transversalement », c'est-à-dire de corriger un bout du sujet (par exemple, un exercice) sur l'ensemble du paquet, puis un autre bout du sujet, etc. L'avantage est qu'on se familiarise d'autant plus vite avec les fautes courantes, et la notation est sans doute d'autant plus juste : on se rappellera parfaitement comment on a pénalisé telle ou telle faute vénielle sur la question ; on peut commencer la correction de chaque partie par une copie différente, ce qui diminue d'autant l'impact de l'effet « première copie » (cf. ci-dessous) ; et ça évite aussi de se laisser influencer dans la question 2 par le fait que la question 1 était bien traitée (ceci dit, ça peut être un avantage ou un inconvénient). Le problème avec cette façon de faire est surtout que les étudiants ne marquent jamais assez clairement où commence chaque question, et sont capables de semer des bouts de réponse un peu partout — donc on perd énormément de temps à les retrouver, et j'ai fini par arrêter de faire comme ça.

Vu que je ne corrige plus transversalement, il est possible que la première copie que je corrige soit favorisée, ou défavorisée, je ne sais pas : du coup, je la tire toujours au hasard (et je cycle ensuite dans l'ordre alphabétique — il reste sans doute un biais systématique parce qu'un élève qui arrive alphabétiquement juste après un élève très mauvais sera peut-être favorisé, ou défavorisé, je ne sais pas, mais je pense que c'est vraiment très mineur comme effet). J'essaie aussi de ne pas lire le nom de l'étudiant dont je corrige la copie (je vérifie que j'ai rempli la bonne ligne du tableau seulement après l'avoir fait), ne serait-ce que pour ne pas risquer de favoriser, ou défavoriser, les filles, ou les noms ayant telle ou telle consonance, ou bien sûr, dans les groupes d'étudiants que je connais, telle ou telle tête familière.

(dimanche)

L'histoire compliquée du salut-qui-n'est-pas-romain, et la destruction de Carthage

Je suis tombé sur la question du salut romain en regardant un épisode de QI qui, comme d'habitude, nous apprend à nous méfier de plein d'idées répandues, notamment :

La vérité est qu'on ne sait pas vraiment comment les Romains saluaient (outre qu'il n'y avait certainement pas une unique forme de salut dans tous les contextes et pendant toute l'histoire de la Rome même classique), et si certaines variantes du geste fait avec la main droite levée semblent effectivement avoir eu une signification particulière, ce qui est d'ailleurs difficilement évitable, ce n'était pas forcément un salut (cela peut être un geste accompagnant une prière, un serment, ou encore la marque d'autorité d'un empereur ou d'allocution à un groupe) comme dans la position de la statue d'Auguste Prima Porta, dont la main n'est d'ailleurs peut-être même pas d'origine, ou la statue équestre de Marc-Aurèle, dont le bras n'est pas franchement levé.

C'est certainement le tableau Le Serment des Horaces de David de 1784 et dans son Serment du Jeu de Paume (inachevé, mais néanmoins célèbre à travers son dessin préparatoire) où il reproduit consciemment le même geste, que le serment main droite tendue est devenu célèbre. Mais l'histoire de ce salut-qui-n'est-pas-romain est vraiment compliquée : des variantes sont devenu le salut de Bellamy États-Unis (1892–1942) pour le serment d'allégeance au drapeau, et le salut (ou geste du serment) olympique aux jeux de 1920 à 1936 ; il a été utilisé par Gabriele d'Annunzio dans le film Cabiria et ensuite comme signe d'adhésion pendant sa régence de Fiume en 1919, qui a ensuite inspiré Mussolini, puis Hitler, lequel n'était pas mécontent en 1936 de la quasi indistinguabilité avec le salut olympique (largement mise en scène par Leni Riefenstahl dans son Olympia), et ceci nous ramène d'ailleurs à ce dont je parlais au début de cette entrée.

Je ne vais pas raconter plus en détails cette histoire du salut « romain », parce que c'est fait dans l'article Wikipédia sur le sujet qui est lui-même un résumé assez long (et par endroits, une paraphrase, voire une (re)copie un peu douteuse) d'un livre de 235 pages publié sur le sujet, The Roman Salute (Cinema, History, Ideology) de Martin Winkler, disponible en ligne ici : un voyage assez fascinant à travers l'histoire, l'historiographie, l'iconographie et le cinéma pour retracer le cheminement bizarre de ce geste.

Je pense que c'est une histoire, d'erreurs ou falsifications historiques et d'inspirations aux conséquences inattendues, qui avait dû — ou aurait pu — énormément plaire à Umberto Eco (dont je salue au passage la mémoire) : il y a quelque chose de délicieusement ecoïen(?) et en tout cas ouroborien quand l'erreur historique devient elle-même histoire qu'on peut étudier et retracer.

J'en profite pour mentionner une autre erreur historique qui est devenu un lieu commun sur l'antiquité romaine et qui a même mordu des historiens sérieux. « Tout le monde sait » que quand Scipion Émilien a fait détruire Carthage, il a fait semer le sol de sel pour que rien n'y repousse jamais, en tout cas c'est ce qu'on m'a raconté quand j'étais au lycée et c'est un symbole souvent répété tellement l'image est forte. L'ennui — mais ce n'est peut-être pas un ennui puisque comme je le signale dans le fragment littéraire gratuit lié ci-dessus, la vérité historique n'est peut-être pas le point le plus important, ou, de façon plus concise, se non è vero, è ben trovato — l'ennui possible, donc, c'est que cette histoire est essentiellement inventée : aucun texte ancien ne confirme cette histoire de sel.

Retrouver l'origine de cette invention s'avère étonnamment difficile : R. T. Ridley de l'université de Melbourne a publié en 1986 un article (To be taken with a pinch of salt: the destruction of Carthage, Classical Philology 81, 140–146) retraçant cette « information » à l'historien Bertrand Hallward, dans la première édition du Cambridge Ancient History (volume VIII, p. 484), en 1930, mais d'autres ont retrouvé des sources plus anciennes et peut-être indépendantes. Notamment, on apprend dans un article de Warmington de 1988 (The Destruction of Carthage: a Retractatio, Classical Philology 83, 308–310) que le pape Boniface VIII, dans une bulle De civitate nova, sub nomine Civitatis Papalis, prope civitatis Prænestinæ destructæ locum constructo[#] datée à Anagni du 13 juin 1299, fait référence au sort réservé à la ville de Palestrina prise à la famille Colonna (qui avait déclaré l'élection du pape illégitime, et qui avait capitulé suite à la promesse que la ville serait épargnée) : ipsam aratro subjici[t] ad veteris instar Carthaginis Africanae, ac salem in ea etiam [Dominus papa] fecit et mandavit seminari ut nec rem nec nomen aut titulum habeat civitatis — bref, rasée et semée de sel comme l'ancienne Carthage. (Si vous trouvez ça révoltant et voulez une forme de justice : dans sa Divine Comédie, Dante imagine Guy I de Montefeltro en enfer pour avoir conseillé au pape de mentir aux Colonna en leur promettant l'amnistie.) Mais le pape suit certainement la référence à l'histoire biblique d'Abimélek qui une fois reprise la ville de Sichem dont il avait été chassé par ses habitants il en massacra la population, détruisit la ville et y sema du sel (Juges 9:45). Comme pour l'histoire du salut bras tendu, les comportements supposés des Romains inspirent des gens aux mœurs si sympathiques !

[#] Oh, que c'est pénible de retrouver en ligne une bulle papale du Moyen-Âge ! Moi je me suis dit naïvement je vais aller sur le site du Vatican, ils les ont certainement toutes numérisées sous un format recherchable, que nenni. Donc si vous voulez retrouver cette bulle, il faut aller récupérer le bouquin Les Registres de Boniface VIII (Recueil des bulles de ce pape publiées ou analysées d'après les manuscrits originaux des archives du Vatican) par Georges Digard, Maurice Faucon, Antoine Thomas & Robert Fawtier, tome deuxième, 1904, et chercher sous le numéro 3416 (page 587–588), numéro que Warmington se garde bien de donner quand il cite la bulle en qustion. J'ai bien fait de ne pas avoir fait des études d'histoire parce que ma première réaction devant ce genre de merde, c'est de dire bon, on arrête tout, on fait un site Web où ce genre de documents sera facile à trouver.

(vendredi)

Zootopia

Pour ceux qui sont en France il est probablement déjà difficile de trouver une séance du dernier Disney, surtout si on veut le voir en VO (ce que je recommande vivement) : mon poussinet y sommes allés hier soir, et il ne restait plus beaucoup de cinémas qui le diffusent à Paris. Mais si vous y arrivez, ou si vous attendez la sortie en DVD (ou tout autre moyen plus ou moins légal de le voir), toujours est-il que je le recommande très vivement.

Ce film est vraiment excellent. Et pas que pour les enfants (enfin, je suppose qu'il est bien pour les enfants, je ne sais pas trop juger, mais en tout cas il n'est pas besoin d'en être un pour apprécier). Peut-être que je suis bon public pour les films de Disney en général, mais en fait je ne crois pas (si je regarde la liste sur Wikipédia, il y en a énormément que je n'ai aucune envie de voir, et de ceux que j'ai vus mon avis n'est pas forcément des plus enthousiastes).

Bref. Je ne pense pas que ce soit vraiment utile que je fasse une critique. Comme beaucoup de films pour enfants de Disney ou Pixar[#] (genre Ratatouille[#2]), une des morales de l'histoire est on peut devenir ce qu'on veut en grandissant (mais ce ne sera pas facile et il faudra sans doute lutter pour y arriver), bref, rien de très original, même si la façon dont cette morale est amenée est plutôt intelligente, et il y a des rebondissements intéressants. Une autre morale est une leçon contre le racisme (un monde d'animaux[#3] s'y prête, évidemment, très bien), leçon qui n'est pas non plus originale, mais ça ne l'empêche pas d'être la bienvenue et zeitgemäß (comment on dit ça en français, déjà ?), et j'ai trouvé qu'elle était construite de façon assez subtile. J'ai eu la larme à l'œil plus d'une fois.

Mais c'est vraiment l'humour graphique et situationnel qui est absolument génial, et il n'y a pas beaucoup de films qui m'aient autant fait rire. Certes, ce n'est pas très difficile de trouver plein de blagues à faire sur un monde d'animaux, mais même les gags les plus faciles marchent vraiment bien (comme le service des permis de conduire où tous les employés sont des paresseux, le chef de la police qui dit devoir reconnaître the elephant in the room, ou encore l'héroïne qui passe devant une banque appelée Lemming Brothers). Chaque scène regorge de détails incroyablement bien trouvés.

Bref, je ne m'appesantis pas : allez-voir Zootopia si vous pouvez, vous ne le regretterez sans doute pas.

[#] Précisons que Zootopia n'est pas de Pixar (après, je ne comprends rien à l'organisation interne de Disney, et je soupçonne que comme toute grosse organisation, eux-mêmes ne doivent pas vraiment se comprendre, donc je ne sais pas exactement ce que ça veut dire, d'être ou de ne pas être de Pixar : mais en tout cas, parmi les quarante-douze logos qu'on voit défiler au début du film, il n'y a pas celui avec les fameuses lampes).

[#2] Contre-exemple notable : Monsters University. Sans doute pas un des meilleurs films de Disney ou Pixar, mais avoir eu l'audace de faire un film pour enfants dont la morale soit essetiellement non, on ne peut pas toujours devenir ce dont on rêve (mais ce n'est pas si grave) mérite d'être applaudi.

[#3] Enfin, de mammifères : le film est peut-être contre le spécisme, mais il est un peu classiste(?).

(lundi)

Deux cours que je donne

J'enseigne en ce moment, et jusqu'à fin avril, deux cours (je l'ai déjà mentionné ici), tous deux de niveau master : l'un intitulé théorie des jeux le lundi matin de 8h30 à 11h45, et l'autre intitulé courbes algébriques le lundi après-midi de 15h15 à 18h30.

C'est assez crevant : rien que le fait de soutenir la voix pendant six heures dans la même journée est usant pour la gorge, et mine de rien, écrire au tableau blanc finit aussi par fatiguer le bras. Mais le pire est surtout le cycle vicieux où le dimanche soir je me dis il faut que je dorme bien cette nuit sinon demain va être un enfer, et du coup je stresse, et du coup je ne dors pas bien, et je stresse encore plus (voir le 6º de cette liste). Et si la longue pause entre le cours du matin et le cours de l'après-midi me permet de me détendre un peu, je n'arrive pas à faire une sieste dans la journée, et au final ça fait des horaires assez longs. L'avantage, c'est que le lundi soir je suis un peu tranquille (enfin, le lundi soir je suis surtout crevé et tout juste bon à regarder des conneries sur YouTube, mais le mardi je suis tranquille). D'un autre côté, si je laisse passer trop de temps à souffler, je me rends vite compte qu'il me faut en gros toute la semaine pour préparer les cours du lundi suivant, donc ça peut vite redevenir la panique : du coup, je suis un peu débordé en ce moment.

Je suis très libre de décider ce que je mets dans ces deux cours, ce qui est très agréable (mais aussi potentiellement dangereux).

Pour le cours de théorie des jeux, dont j'ai expliqué à mes étudiants que j'aurais plutôt dû l'appeler théories des jeux, j'aimerais aborder toutes sortes de sujets différents — quitte à ne faire que les effleurer — pour donner une aperçu aussi varié que possible. Un de mes sujets d'énervement préférés est les gens qui utilisent le terme théorie des jeux pour désigner un tout petit sous-ensemble de la théorie : voyez par exemple ce cours en ligne dont la liste des sujets évoqués fait apparaître en creux la quantité de choses dont ils ne parlent pas (par exemple : toute la théorie combinatoire des jeux, aussi bien celle de Sprague-Grundy que celle de Conway, toutes les questions de calculabilité et de complexité adjacents, tous les problèmes de détermination des jeux infinis à information parfaite style Gale-Stewart, et les liens entre la théorie des jeux et la logique comme les jeux sémantiques et les jeux d'Ehrenfeucht-Fraïssé, pour ne même pas parler de la théorie des jeux différentiels) ; ce n'est pas interdit de ne parler que d'un tout petit bout de la théorie, mais je trouve que ç'en est un d'appeler ça théorie des jeux (enfin, game theory). Enfin, ce qui me pose surtout problème, c'est que je ne sais pas quel nom donner au petit sous-ensemble de la théorie des jeux que considèrent les auteurs du cours dont j'ai donné le lien (j'ai envie d'appeler ça la théorie nashienne des jeux, parce le concept fondateur est celui d'équilibre de Nash).

Pour le cours de courbes algébriques, la question est surtout comment arriver à des choses intéressantes sans noyer les étudiants dans trop de prérequis d'algèbre, et je ne suis pas du tout certain d'y arriver. Jusqu'à l'an dernier, je donnais un cours de géométrie algébrique qui était plutôt un échec de ce point de vue-là : même si j'admettais quasiment tout, il fallait une quantité énorme de formalisme pour arriver à ne serait-ce qu'énoncer les résultats intéressants. Le fait de se concentrer sur la dimension 1 devrait simplifier les choses, mais je me rends compte qu'il y a quand même énormément de choses à introduire sur les corps et extensions de corps pour pouvoir parler commodément de corps de fonctions. • Je n'ai toujours pas décidé, d'ailleurs, si le terme K est un corps de fonction de courbe sur k devrait vouloir dire K est un corps de type fini sur k, de degré de transcendance 1, et dans lequel k est algébriquement fermé ou bien (plus fort) K est un corps de type fini sur k, de degré de transcendance 1, et linéairement disjoint de la clôture algébrique de k : notamment, est-ce que k(x,y : u·xp+v·yp=0) est un corps de fonction de courbe sur k := Fp(u,v), sachant qu'il vérifie la première mais pas la seconde condition ? et laquelle de ces conditions est pédagogiquement la moins indigeste ?

Le fait de chercher à écrire un cours sur un sujet est souvent l'occasion de se rendre compte de lacunes inexplicables dans la litérature : comme des résultats bien connus mais néanmoins introuvables, ou comme des résultats trouvables mais pas de la façon qu'on voudrait, par exemple (sur ces deux liens, voir à la fois la question que je pose et la réponse que j'ai fini par faire à moi-même).

Il y a une autre chose dont on ne se rend correctement compte qu'en essayant d'enseigner un sujet, c'est à quel point une notion mathématique dépend d'une autre pour sa construction. Je fais référence au fait suivant : si je fais un cours sur les foobars bleutés, je consulte la litérature sur les foobars bleutés et je constate que le théorème de frobnification locale des foobars bleutés fait appel au théorème de Pumpernickel qui assure qu'un foobar est localement isomorphe à un bazqux et au lemme de Bratwurst qui affirme que tout bazqux est finiment frobnicable ; la question se pose alors, dans un cours sur les foobars, faut-il mettre un chapitre sur la théorie des bazqux, faut-il admettre ou démontrer le lemme de Bratwurst, et si on le démontre, peut-être faut-il essayer de le démontrer dans le cas particulier des foobars, foire des foobars bleutés, où peut-être il se simplifiera ?

Parfois une démontration mathématique se simplifie quand on l'« instancie » dans un cas particulier (certains arguments peuvent être évités, d'autres deviennent plus simples, plus courts ou plus transparents) ; ou simplement, ça évite d'avoir à introduire des concepts généraux qui ne sont pas très parlants. Mais parfois c'est le contraire : la démonstration appliquée dans un cas particulier devient plus complexe ou plus obscure. Et le plus souvent, la seule façon de savoir, c'est d'essayer : prendre la démonstration du théorème de théorème de Pumpernickel en la combinant à celle du lemme de Bratwurst et voir s'il en résulte quelque chose de plus ou moins indigeste. Et le fait de ne pas savoir à l'avance peut faire perdre énormément de temps : on commence par écrire toute la théorie des foobars en cherchant à éviter celle des bazqux, puis on se rend compte que c'est vraiment trop pénible, et il faut alors tout remanier pour dégager cette théorie dans une partie à part.

Bref, pour l'instant j'écris mes notes de cours au fur et à mesure, et j'espère que je ne vais pas tomber sur des impasses en me rendant compte que je n'ai vraiment pas présenté les choses comme je l'aurais dû. Mes notes en cours d'écriture (et pour l'instant très inachevées) sont ici pour la théories des jeux (PDF ici, pas forcément à jour) et ici pour les courbes algébriques (PDF ici, même remarque).

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