David Madore's WebLog: Sur l'Arénaire d'Archimède, et les grands nombres

J'ai déjà évoqué (à plusieurs reprises) ma fascination pour les grands nombres, et même la raison pour laquelle ils me fascinent (cette entrée parle d'ordinaux, mais les très grands nombres entiers sont fabriqués à partir d'ordinaux par des mécanismes d'écrasement et en tout cas l'attrait psychologique est le même), et aussi les objections que j'ai à la position philosophique selon laquelle ils n'ont pas de sens.

Maintenant je voudrais dire un mot d'histoire, pour parler d'un texte d'Archimède intitulé Ψαμμίτης, ce qu'on traduit en français par l'Arénaire. (Enfin, en français, c'est vite dit : c'est surtout une transcription de la traduction latine (H)arenarius ; le TLF définit le substantif un arénaire comme carrière souterraine d'où l'on extrait le sable ou la pouzzolane ou gladiateur qui combattait dans l'arène ou encore, une arénaire comme carrière de sable. Bref, c'est un mot jamais utilisé qui peut apparemment signifier n'importe quoi ayant un rapport avec le sable. Et ça semble être à peu près le cas du mot grec d'origine, donc pourquoi pas — mais je ne sais pas si le titre est d'Archimède ou si c'est une description plus tardive.) En anglais, on appelle ce texte The Sand Reckoner, le compteur de grains de sable, ce qui est plus descriptif.

Il s'agit d'un texte assez court (une dizaine de pages) dans lequel Archimède cherche à démontrer que le nombre de grains de sable dans l'Univers est fini. Je suppose que le terme infini (enfin, ἄπειρος, ce qu'il vaut peut-être mieux traduire par illimité) était utilisé de façon assez floue, pour dire plus grand qu'on ne peut le concevoir ou le décrire Un peu comme dans le titre d'un célèbre livre de vulgarisation scientifique de George Gamow, One, Two, Three… Infinity (que mon papa m'a lu quand j'étais petit, et qui a beaucoup contribué à mon éveil scientifique), c'est une référence au fait que certains peuples humains, comme beaucoup animaux, savent compter « un », « deux », « trois » et « beaucoup ». (Donc l'idée c'est que si une cane a quatre canetons et qu'il y en a un qui disparaît, elle le remarque parce que ça passe de « beaucoup » à « trois », mais si elle en a cinq au début, elle ne remarque pas de différence, parce que « beaucoup » égale « beaucoup ».) Bref, la thèse d'Archimède c'est que non seulement le nombre de grains de sables est fini, mais qu'on peut en donner un majorant tout à fait explicite.

Pour ceux qui veulent lire le texte lui-même, j'en ai trouvé plusieurs versions en ligne : ici un scan d'une traduction française tout à fait ancienne mais assez littérale et amusante à lire, ici un scan d'une édition moderne du texte grec original, ici un scan d'une édition plus ancienne du texte grec original accompagné d'une traduction latine (je suis sûr que ça aide beaucoup de gens, ça, la traduction latine), ici un scan d'une traduction/paraphrase/analyse anglaise, ici une version retapée en TeX du texte grec, ici une traduction anglaise suivie d'une analyse, ici une traduction française qui coïncide sans doute avec la première que j'ai liée, et ici une traduction intercalée de notes et de commentaires. On peut aussi chercher le début du texte dans Google.

Je ne suis pas historien, même pas historien des sciences, et je ne suis pas terriblement habitué à lire des textes « anciens », même si ça m'arrive. (J'ai lu les Éléments d'Euclide, par exemple, et un certain nombre de textes d'Euler, Lagrange, Gauß et Galois, mais pas énormément, et encore, c'était plus par curiosité qu'autre chose ; mes lectures véritablement mathématiques commencent plutôt avec Hilbert. Comme j'aime bien le faire remarquer, un matheux peut être spécialiste de la théorie de Galois sans jamais de sa vie avoir lu une ligne de Galois, alors qu'il est sans doute plus difficile pour un philosophe d'être spécialiste de la métaphysique de Kant et de ne jamais avoir ouvert un livre de Kant ; on peut sans doute en tirer des conclusions sur la différence d'approche entre domaines, notamment dans le rapport à l'Histoire du domaine.) Je ne peux donc pas vraiment replacer ce texte dans son contexte historique. Mais il me semble qu'il est à la fois extrêmement moderne et fécond en idées modernes, et pourtant bizarrement ancien par certains aspects.

Parmi les choses que je trouve très modernes dans l'Arénaire, il y a l'idée d'étudier des ordres de grandeur, et de faire des majorants, même grossiers, sur des quantités qu'on ne sait pas estimer. (Par exemple, Archimède signale que la circonférence de la Terre est estimée à 300000 stades — c'est-à-dire environ 60000km dans nos unités modernes, la vraie valeur étant 40000km — mais pour que personne ne mette en doute sa démonstration, il rajoute un facteur 10 et la majore donc par 3000000 stades.) Il y a l'utilisation des puissances de 10 (je vais y revenir) avec le fait que 10^a×10^b=10^a+b, et il y a les grands nombres qu'il introduit.

Il faut se rappeler que les Grecs anciens avaient une notation particulièrement pourrie pour les nombres : ils utilisaient 27 symboles (les 24 lettres de l'alphabet plus 3 lettres anciennes), pour les unités de 1 à 9, les dizaines de 10 à 90 et les centaines de 100 à 900 ; puis ils reprenaient les symboles des unités pour les milliers de 1000 à 9000 avec un modificateur (quelque chose comme Ͳ) ; au-delà, les choses devenaient embrouillées : 10000 s'appelait une myriade, et on comptait les myriades et les unités séparément. Donc, en gros, le système permettait (mal) de noter les nombres jusqu'à une myriade de myriade, soit 10⁸, ou plutôt jusqu'à 99 999 999.

Archimède propose pour les grands nombres la terminologie suivante, qu'il avait apparemment exposée dans un texte antérieur (Principes, adressé à un certain Zeuxippe), lequel a été perdu, donc c'est une chance qu'il la réexplique — d'autant qu'il va beaucoup plus loin que ce dont il a besoin pour compter les grains de sable.

Les nombres de 1 à une myriade de myriade (10↑8) s'appelleront, nous propose Archimède, nombres premiers (rien à voir avec les nombres premiers en arithmétique) ; ensuite, les multiples du plus grand des nombres premiers (10↑8) s'appellent nombres seconds, jusqu'à une myriade de myriade de ceux-ci, c'est-à-dire (10↑8)↑2 = 10↑16 ; puis les multiples de ce nombre-là s'appellent nombres troisièmes, jusqu'à (10↑8)↑3 = 10↑24, et ainsi de suite jusqu'aux nombres myriade-de-myriadièmes, le plus grand desquels est donc (10↑8)↑(10↑8) = 10↑(8×10⁸). Ensuite, Archimède suggère qu'on peut aller encore plus loin, même s'il n'en aura aucun besoin pour compter les grains de sable (et il s'y prend un peu bizarrement) : il appelle nombres de la première période tous les nombres que je viens de décrire (jusqu'à 10↑(8×10↑8) donc), et il reprend les multiples de ce nombre-là pour former les nombres premiers de la seconde période (de 10↑(8×10↑8) à une myriade de myriade de fois ça, c'est-à-dire 10↑(8×10↑8+8)), puis il appelle seconds de la seconde période les multiples du plus grand nombre premier de la seconde période (de 10↑(8×10↑8+8) à 10↑(8×10↑8+16)), et ainsi de suite jusqu'aux nombres myriade-de-myriadièmes de la seconde période (qui se termine avec 10↑(16×10↑8)) ; et Archimède signale qu'on pourrait aller jusqu'à une myriade de myriade de périodes (le dernier nombre qu'il évoque est donc 10↑(8×10↑16)).

Pour dire les choses autrement, et c'est d'ailleurs ce qu'ajoute Archimède, si on compte juste les puissances de 10, les huit premières (=la première octade) appartiennent à ce qu'Archimède appelle les nombres premiers, les huit suivantes aux nombres seconds, etc., et ensemble les 800 000 000 premières (puissances de dix, c'est-à-dire une myriade de myriade d'octades) appartiennent à la première période, les 800 000 000 suivantes à la seconde période, et ainsi de suite jusqu'à 8×10↑16 = 80 000 000 000 000 000 (je parle toujours de puissances de dix) qui délimitent l'étendue des nombres considérés par Archimède. Jusqu'à 10↑(8×10↑16), donc (pour les non-mathématiciens, cela veut dire que le dernier nombre considéré par Archimède est un 1 suivi de 80 000 000 000 000 000 zéros).

Ce nombre est assez remarquablement grand, et il semble que personne, mathématicien ou autre, n'ait considéré ou décrit un nombre supérieur à 10↑(8×10↑16) jusqu'au XXe siècle. (On me souffle : jusqu'au livre de Hardy de 1910, Orders of Infinity — mais si quelqu'un trouve un exemple antérieur, ça m'intéresse. Ce texte d'introduction à la googologie suggère que Diophante a pu évoquer le nombre 10↑(10↑(10↑(10↑10))), mais je n'arrive pas à confirmer.)

Par ailleurs, le système d'écriture des nombres suggéré par Archimède n'est pas loin d'être un système positionnel (de base 10⁸) ; ceci dit, c'est un peu difficile à savoir parce qu'il ne mentionne pas explicitement, par exemple, qu'un nombre peut s'écrire comme la somme d'un nombre premier et d'un nombre second et d'un nombre troisième, etc. (ce qui serait véritablement l'écriture en base 10⁸). Peut-être de telles considérations étaient-elles dans les Principes qui ont été perdus.

Archimède évoque aussi les puissances de dix (la suite géométrique commençant par 1 et dont chaque terme est dix fois le précédent) : il démontre que 10^a×10^b=10^a+b, formulé en gros de la façon suivante : le produit de deux termes de la série sera éloigné de l'unité d'autant de termes, moins un, que les deux facteurs le sont ensemble de l'unité (le moins un vient de ce qu'Archimède ne compte pas à partir de zéro, si bien que 10↑0=1 est le premier terme de la suite géométrique des puissances de dix, 10↑1=10 est le second, et ainsi de suite).

Il y a deux choses que je trouve bizarres dans l'histoire : la première est juste bizarre, la seconde l'est moins mais est assez dommage. Ce qui est vraiment bizarre, c'est que finalement Archimède introduit deux terminologies sur les nombres, l'une à base de 10⁸ (une myriade de myriades) et l'autre à base de 10, et il passe son temps à convertir entre les deux, ce qui revient essentiellement à multiplier ou diviser par 8 (laborieusement, parce qu'il y a des ±1 dans tous les sens à cause de cette histoire de zéro), par exemple il passe du cinquante-deuxième terme de la progression des puissances de 10 (soit 10↑51) à mille unités des nombres septièmes (de la première période) (soit 1000×(10⁸)↑6). Tout ça est fondamentalement inutile, surtout pour les calculs intermédiaires, et ça rend le texte lourd à suivre. Il aurait pu se contenter de puissances de 10 ou de celles de 10⁸, ou dire une fois pour toutes qu'il peut passer de l'un à l'autre en divisant ou multipliant par 8, mais au lieu de ça il refait plein de fois des décomptes d'octades. • L'autre chose qui est dommage aux yeux du gogolologue que je suis, c'est qu'il n'a pas eu l'idée d'appliquer les exposants aux exposants, par exemple mettre dans la seconde période autant d'ordres (=nombres premiers, deuxièmes, troisièmes, etc.) qu'il y avait de nombres dans la première période, et ainsi de suite : du coup, il aurait considéré des nombres non pas comme 10↑(8×10↑16) mais comme 10↑(8×10↑(8×10↑(8×10↑(8×10↑(⋯))))) avec 10⁸ exponentiations, ce qui aurait été encore plus impressionnant et encore plus en avance sur son époque.

Mais bon, les grands nombres ne sont pas vraiment l'objet du texte (je pense qu'il en parle un peu pour se vanter — et il a raison — d'avoir introduit des nombres qui dépassent considérablement le nombre de grains de sable dans l'univers) : il faut aussi que je résume un peu les calculs qu'il fait. Là aussi, il y a des choses extrêmement modernes et d'autres qui paraissent être des distractions.

Archimède cherche à estimer le nombre de grains de sable qui tiendront dans une boule dont le rayon est la distance Terre-Soleil (ce que d'après lui les astronomes/astrologues appellent univers, enfin, κόσμος, cosmos), même si ensuite il utilise une théorie d'Aristarque pour élargir jusqu'à une boule encore plus grosse, supposée aller jusqu'aux étoiles fixes. Il fait les hypothèses suivantes :

La circonférence de la Terre ne dépasse pas 3 000 000 stades, c'est-à-dire que le rayon de la Terre est inférieur à 10⁸ mètres en unités SI. Il dit clairement que c'est une majoration grossière, et il a entièrement raison.
Le diamètre la Terre est plus grand que celui de la Lune, et celui du Soleil est plus grand que celui de la Terre. Là, il a indiscutablement raison.
Le diamètre du Soleil est au plus 30 fois celui de la Lune. En fait, la vraie valeur du rapport de taille Soleil/Lune est à peu près 400. Ceci dit, cette sous-estimation faite par Archimède va être compensée par les marges qu'il a prises ailleurs : d'une part, en fait, il combine cette estimation avec la première partie du point précédent pour dire que le diamètre du Soleil est au plus 30 fois celui de la Terre, ce qui est toujours faux mais moins (la vraie valeur est environ 100) ; d'autre part, comme il a volontairement surestimé d'un facteur plus que 10 la taille de la Terre, finalement son majorant fonctionne.
Le diamètre du Soleil est plus grand que le côté d'un kilogone/chiliogone (:= polygone à mille côtés) régulier inscrit dans un cercle dont le rayon est la distance Terre-Soleil. (C'est-à-dire, dans des termes plus modernes, que le diamètre du soleil vaut au moins 2·sin(π/1000) fois la distance Terre-Soleil.) Là, ce n'est pas tant une hypothèse qu'une observation, à savoir la mesure du diamètre apparent du Soleil, qu'il estime entre 1/200 et 1/164 d'un angle droit, c'est-à-dire entre 27 et 33 minutes d'arc, ce qui est très bien mesuré (la bonne valeur est apparemment 32′), et Archimède prend le temps d'expliquer comment il a fait la mesure, y compris comment il a essayé de tenir compte du fait que son œil n'est lui-même pas un point. • Ensuite, il y a une démonstration géométrique qui paraît incroyablement fastidieuse au lecteur moderne que je suis, pour passer de cette estimation (diamètre apparent du Soleil entre (π/2)/200 et (π/2)/164 radians) à la conclusion annoncée sur le diamètre du Soleil (au moins 2·sin(π/1000) de la circonférence d'un cercle de rayon la distance Terre-Soleil) ; la raison pour laquelle ce n'est pas complètement évident est que l'observateur n'est pas au centre de la Terre, il est plus près du Soleil (d'au plus un rayon terrestre), donc Archimède explique pourquoi l'angle qui serait mesuré au centre de la Terre ne serait pas trop diminué : si je résume, le diamètre du Soleil est au plus (π/2)/164 < 1/100 de la distance Terre-Soleil, donc a fortiori (d'après la deuxième partie de l'avant-dernier point) le diamètre de la Terre est au plus 1/100 de la distance Terre-Soleil, donc la distance de l'observateur au Soleil (plus exactement, à un point du Soleil au bord de ce qu'on observe, i.e., un point de tangence) est au moins 99/100 de ce qu'elle serait au centre de la Terre, du coup l'angle qu'on observerait au centre de la Terre serait au moins 99/100 de l'angle de (π/2)/200 mesuré, et comme 99/20000 > 1/203, le diamètre apparent au centre de la Terre serait au moins (π/2)/203, conclut Archimède, or 4×203<1000, c.q.f.d.
Le nombre de grains de sables dans le volume d'une graine de pavot ne dépasse pas 10000, et le diamètre d'une graine de pavot n'est pas moins de 1/40 de la largeur d'un doigt. La seconde estimation est très conservatrice (une graine de pavot doit faire dans les 2mm, c'est donc plutôt quelque chose comme 1/10 de la largeur d'un doigt selon les doigts qu'on a et ce qu'il appelle la largeur d'un doigt) ; la première, je ne sais pas bien, parce qu'il y a du sable de toutes sortes de tailles : pour du sable moyennement grossier, ça semble tourner autour de 5 grains par mm³, donc l'estimation d'Archimède serait de nouveau très conservatrice, mais il y a des poussières dont on ne sait pas si elles comptent comme des grains — en tout cas, si un grain de sable doit être visible à l'œil nu, Archimède a certainement raison qu'il y en a moins de 10000 dans le volume d'une graine de pavot.

On en déduit que le diamètre de l'« univers » (:= deux fois la distance Terre-Soleil) ne dépasse pas (1000/3) fois celui du Soleil (i.e., il minore 2·sin(π/1000) par 6/1000), donc ce diamètre dépasse 10000 fois le diamètre de la Terre (avec l'estimation d'Archimède ; le vrai rapport est plutôt dans les 20000), qui est lui-même d'au plus 10↑6 stades, ce qui donne un diamètre de l'« univers » d'au plus 10↑10 stades (soit 2×10↑12 mètres, la bonne valeur est de 3×10↑11 mètres).

À partir de là, il n'y a plus qu'à faire les calculs d'ordre de grandeur : en commençant par une boule de diamètre 1/40 de la largeur d'un doigt et en multipliant à chaque fois par 100, Archimède calcule un majorant du nombre de grains de sables qui peuvent tenir dans la boule en question : moins de 6.4×10⁸ < 10⁹ pour une boule de diamètre d'un doigt, donc moins de 10↑15 pour une boule de diamètre 100 doigts, donc moins de 10↑21 pour une boule de diamètre 10000 doigts, largeur qui est elle-même plus grande qu'un stade, donc moins de 10↑27 pour une boule de diamètre 100 stades, donc moins de 10↑33 pour une boule de diamètre 10↑4 stades, donc moins de 10↑39 pour une boule de diamètre 10↑6 stades, donc moins de 10↑45 pour une boule de diamètre 10↑8 stades, donc moins de 10↑51 pour une boule de diamètre 10↑10 stades, qui est la taille par laquelle il a majoré le diamètre de l'« univers ». Comme je le disais, à chaque multiplication par 100, il reconvertit de la puissance de 10 dans son système de grands nombres basé sur 10⁸, on se demande pourquoi.

Ensuite, Archimède rappelle la théorie d'Aristarque selon laquelle la sphère des étoiles fixes a une taille comparée à celle qu'il a appelé l'univers (i.e., de rayon la distance Terre-Soleil) comme celle-ci par rapport à la Terre (si on prend les mesures modernes, ça mettrait les étoiles fixes à environ un tiers d'année-lumière, ce qui est sous-estimé mais pas du tout ridicule ; cf. aussi ce que je racontais dans cette entrée sur l'expérience menée beaucoup plus tard par Huygens). Et même avec cette estimation, fait remarquer Archimède, le nombre de grains de sable qui remplirait la totalité de la sphère des étoiles fixes serait fini : puisque l'univers (i.e., la distance Terre-Soleil) est au plus 10000 fois la taille de la Terre (a-t-on estimé plus haut), il suffit de mettre encore deux facteurs 100, et au final Archimède arrive à moins de 10↑63 grains de sable dans cette sphère.

Ce que j'ignore totalement, c'est comment ce texte a été reçu. On a l'impression qu'il était à deux doigts d'inventer les logarithmes et le système d'écriture positionnel, et que si personne ne l'a fait pendant si longtemps c'est forcément que ce texte avait été oublié, ou n'avait pas été compris, et notamment que personne n'avait vraiment réfléchi à la magnitude des nombres décrits par Archimède. Mais est-ce le cas ? De nouveau, je ne suis pas historien, je n'en sais rien ; je suis étonné de voir que les quelques articles que je trouve qui étudient l'impact historique de l'Arénaire se concentrent sur l'héliocentrisme (franchement, ça ne me semble pas très intéressant comme question, et ça ne semble pas intéresser énormément Archimède). Ah, j'ai quand même trouvé cet article (Piero Delsedime, L'infini numérique dans l'Arénaire d'Archimède, Archive for History of Exact Sciences 6 (1970), 345–359), mais je le trouve assez vaseux. • En revanche, cet article (assez difficile à suivre) pourrait expliquer que les œuvres d'Archimède, et ce texte particulièrement, n'étaient pas très connus, voire pas connus du tout, jusqu'au milieu du XVe siècle.

Pour d'autres remarques sur l'histoire de la googologie (i.e., des grands nombres), je peux renvoyer à plusieurs articles de Craig Smoryński, par exemple “Big” news from Archimedes to Friedman (Notices Amer. Math. Soc. 30 (1983), 251–256), c'est d'ailleurs là où j'ai entendu parler de l'Arénaire, partiellement visible ici, ou bien Some rapidly growing functions (Math. Intelligencer 2 (1980), 149–154), disponible ici, et sa suite, The varieties of arboreal experience (Math. Intelligencer 4 (1982), 182–189), disponible ici.