David Madore's WebLog: Deux cours que je donne

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(lundi)

Deux cours que je donne

J'enseigne en ce moment, et jusqu'à fin avril, deux cours (je l'ai déjà mentionné ici), tous deux de niveau master : l'un intitulé théorie des jeux le lundi matin de 8h30 à 11h45, et l'autre intitulé courbes algébriques le lundi après-midi de 15h15 à 18h30.

C'est assez crevant : rien que le fait de soutenir la voix pendant six heures dans la même journée est usant pour la gorge, et mine de rien, écrire au tableau blanc finit aussi par fatiguer le bras. Mais le pire est surtout le cycle vicieux où le dimanche soir je me dis il faut que je dorme bien cette nuit sinon demain va être un enfer, et du coup je stresse, et du coup je ne dors pas bien, et je stresse encore plus (voir le 6º de cette liste). Et si la longue pause entre le cours du matin et le cours de l'après-midi me permet de me détendre un peu, je n'arrive pas à faire une sieste dans la journée, et au final ça fait des horaires assez longs. L'avantage, c'est que le lundi soir je suis un peu tranquille (enfin, le lundi soir je suis surtout crevé et tout juste bon à regarder des conneries sur YouTube, mais le mardi je suis tranquille). D'un autre côté, si je laisse passer trop de temps à souffler, je me rends vite compte qu'il me faut en gros toute la semaine pour préparer les cours du lundi suivant, donc ça peut vite redevenir la panique : du coup, je suis un peu débordé en ce moment.

Je suis très libre de décider ce que je mets dans ces deux cours, ce qui est très agréable (mais aussi potentiellement dangereux).

Pour le cours de théorie des jeux, dont j'ai expliqué à mes étudiants que j'aurais plutôt dû l'appeler théories des jeux, j'aimerais aborder toutes sortes de sujets différents — quitte à ne faire que les effleurer — pour donner une aperçu aussi varié que possible. Un de mes sujets d'énervement préférés est les gens qui utilisent le terme théorie des jeux pour désigner un tout petit sous-ensemble de la théorie : voyez par exemple ce cours en ligne dont la liste des sujets évoqués fait apparaître en creux la quantité de choses dont ils ne parlent pas (par exemple : toute la théorie combinatoire des jeux, aussi bien celle de Sprague-Grundy que celle de Conway, toutes les questions de calculabilité et de complexité adjacents, tous les problèmes de détermination des jeux infinis à information parfaite style Gale-Stewart, et les liens entre la théorie des jeux et la logique comme les jeux sémantiques et les jeux d'Ehrenfeucht-Fraïssé, pour ne même pas parler de la théorie des jeux différentiels) ; ce n'est pas interdit de ne parler que d'un tout petit bout de la théorie, mais je trouve que ç'en est un d'appeler ça théorie des jeux (enfin, game theory). Enfin, ce qui me pose surtout problème, c'est que je ne sais pas quel nom donner au petit sous-ensemble de la théorie des jeux que considèrent les auteurs du cours dont j'ai donné le lien (j'ai envie d'appeler ça la théorie nashienne des jeux, parce le concept fondateur est celui d'équilibre de Nash).

Pour le cours de courbes algébriques, la question est surtout comment arriver à des choses intéressantes sans noyer les étudiants dans trop de prérequis d'algèbre, et je ne suis pas du tout certain d'y arriver. Jusqu'à l'an dernier, je donnais un cours de géométrie algébrique qui était plutôt un échec de ce point de vue-là : même si j'admettais quasiment tout, il fallait une quantité énorme de formalisme pour arriver à ne serait-ce qu'énoncer les résultats intéressants. Le fait de se concentrer sur la dimension 1 devrait simplifier les choses, mais je me rends compte qu'il y a quand même énormément de choses à introduire sur les corps et extensions de corps pour pouvoir parler commodément de corps de fonctions. • Je n'ai toujours pas décidé, d'ailleurs, si le terme K est un corps de fonction de courbe sur k devrait vouloir dire K est un corps de type fini sur k, de degré de transcendance 1, et dans lequel k est algébriquement fermé ou bien (plus fort) K est un corps de type fini sur k, de degré de transcendance 1, et linéairement disjoint de la clôture algébrique de k : notamment, est-ce que k(x,y : u·xp+v·yp=0) est un corps de fonction de courbe sur k := Fp(u,v), sachant qu'il vérifie la première mais pas la seconde condition ? et laquelle de ces conditions est pédagogiquement la moins indigeste ?

Le fait de chercher à écrire un cours sur un sujet est souvent l'occasion de se rendre compte de lacunes inexplicables dans la litérature : comme des résultats bien connus mais néanmoins introuvables, ou comme des résultats trouvables mais pas de la façon qu'on voudrait, par exemple (sur ces deux liens, voir à la fois la question que je pose et la réponse que j'ai fini par faire à moi-même).

Il y a une autre chose dont on ne se rend correctement compte qu'en essayant d'enseigner un sujet, c'est à quel point une notion mathématique dépend d'une autre pour sa construction. Je fais référence au fait suivant : si je fais un cours sur les foobars bleutés, je consulte la litérature sur les foobars bleutés et je constate que le théorème de frobnification locale des foobars bleutés fait appel au théorème de Pumpernickel qui assure qu'un foobar est localement isomorphe à un bazqux et au lemme de Bratwurst qui affirme que tout bazqux est finiment frobnicable ; la question se pose alors, dans un cours sur les foobars, faut-il mettre un chapitre sur la théorie des bazqux, faut-il admettre ou démontrer le lemme de Bratwurst, et si on le démontre, peut-être faut-il essayer de le démontrer dans le cas particulier des foobars, foire des foobars bleutés, où peut-être il se simplifiera ?

Parfois une démontration mathématique se simplifie quand on l'« instancie » dans un cas particulier (certains arguments peuvent être évités, d'autres deviennent plus simples, plus courts ou plus transparents) ; ou simplement, ça évite d'avoir à introduire des concepts généraux qui ne sont pas très parlants. Mais parfois c'est le contraire : la démonstration appliquée dans un cas particulier devient plus complexe ou plus obscure. Et le plus souvent, la seule façon de savoir, c'est d'essayer : prendre la démonstration du théorème de théorème de Pumpernickel en la combinant à celle du lemme de Bratwurst et voir s'il en résulte quelque chose de plus ou moins indigeste. Et le fait de ne pas savoir à l'avance peut faire perdre énormément de temps : on commence par écrire toute la théorie des foobars en cherchant à éviter celle des bazqux, puis on se rend compte que c'est vraiment trop pénible, et il faut alors tout remanier pour dégager cette théorie dans une partie à part.

Bref, pour l'instant j'écris mes notes de cours au fur et à mesure, et j'espère que je ne vais pas tomber sur des impasses en me rendant compte que je n'ai vraiment pas présenté les choses comme je l'aurais dû. Mes notes en cours d'écriture (et pour l'instant très inachevées) sont ici pour la théories des jeux (PDF ici, pas forcément à jour) et ici pour les courbes algébriques (PDF ici, même remarque).

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