David Madore's WebLog: 2017-04

This WebLog is bilingual, some entries are in English and others are in French. A few of them have a version in either language. Other than that, the French entries are not translations of the English ones or vice versa. Of course, if you understand only English, the English entries ought to be quite understandable without reading the French ones.

Ce WebLog est bilingue, certaines entrées sont en anglais et d'autres sont en français. Quelques-unes ont une version dans chaque langue. À part ça, les entrées en français ne sont pas des traductions de celles en anglais ou vice versa. Bien sûr, si vous ne comprenez que le français, les entrées en français devraient être assez compréhensibles sans lire celles en anglais.

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Entries published in April 2017 / Entrées publiées en avril 2017:

(Friday)

Gratuitous Literary Fragment #157 (The Empire harks back)

Chilon shook his head. There he goes again with this Emperor business. Do you really have to believe in such fairy tales?

Chatter on the subject was something of a ritual. But because of Miranda's presence, today's recurrence took a slightly different turn.

You see, Chilon explained, Halcyon fantasizes about a mythical being who supposedly rules over the entire Universe.

Oh, he isn't mythical at all! Halcyon protested. He's a man just like you and I. Only he lives in a distant galaxy.

You think there are human beings on other planets? Miranda asked. What do you make of the Earth myth, then? Is it related?

I don't know about the Earth story, but I'm sure we came from another planet. We can't possibly have originated on this one. And if humans arrived here, they must have settled on other places…

Maybe. Chilon sounded doubtful. But if so, we've lost the ability to travel across space. We're stranded. And the only ruler whose word matters here is the Aedile, not some hypothetical overlord of all the galaxies.

Our Aedile is only one of many, and he answers to a greater ruler, and himself to another, and so on, each more powerful than the last, until we reach the Prime Prefect, and above him the Minister of the Provinces who reports directly to His Majesty the Emperor.

There goes his mythology, said Chilon, addressing Miranda. It's quite elaborate, really. Very inventive. He even has a name for each one of the intermediate ranks of rulership, there are something like twenty of them: procurators and viceroys and governors and I forget what else. Be thankful he didn't get into that! What he can't tell you is where he got the specifics. Even if I were to believe in a grand human civilization spanning the entire Universe, why couldn't it be a Republic?

Miranda ignored Chilon's comments. If these rulers exist, she asked, how come we never get to hear from them? Or even about them?

I don't know. But I think the Aedile is deliberately keeping us in the dark. Surely he's depriving us of our rights as subjects of the Empire!

And the proof? Chilon demanded. You have exactly none.

There's the Great Seal, for one. This was Halcyon's master argument.

The Seal doesn't prove anything. Even if it's authentic, we're not even sure what the words mean. Besides, that thing is ancient.

Here's a thought, said Miranda. What if your theory was right, but a long time ago? Maybe the Empire once stood, but then died out?

Halcyon looked distinctly unhappy at the suggestion. The Empire can't die out, he protested. That's impossible.

Or maybe they've forgotten all about us, we're the most obscure backwater of the Universe, and our planet's very existence is lost from the archives.

Halcyon looked even more distressed now. Well, if that's so, then I'll find a way to make contact again, and we can leave this pile of dirt.

Halcyon's theories, of course, were wrong in almost every respect; but the most important way in which he erred was in failing to understand how the pile of dirt they were standing on was, in a very real sense, the capital of the Universe.

[I already wrote about my fascination with Asimov and galactic empires, so I am, obviously, making fun of myself here. That being said, I think I would be curious to read the rest of a novel of which this were a part!]

(lundi)

Quelques remarques sur les pouvoirs du président français

Je n'ai pas envie de m'appesantir sur les élections françaises. Comme beaucoup d'électeurs, je n'étais pas très heureux d'avoir le choix, essentiellement, entre • l'arriviste qui propose de détruire le système social français, • celui qui propose la même chose mais en version encore plus réac et avec l'ignominie personnelle en supplément, • l'autre arriviste qui propose de détruire l'Union européenne, • celle qui propose la même chose mais en version réac avec une bonne couche de nationalisme nauséabond en supplément et la même ignominie que l'autre réac, ou enfin • les sept nains qui proposent de jeter mon bulletin dans sept corbeilles de couleurs différentes (voire dix, si on compte l'abstention, le vote blanc et le vote nul : que de choix !).

J'ai pris une décision, à la dernière minute et en me basant sur les informations fuitées à 19h30 : décision qu'il n'y a aucun intérêt à ce que je communique parce qu'elle n'a rien de spécialement intelligente devant tant de mauvais choix. Mais je ne veux pas non plus alimenter le thème « tous pourris, tous pareils » qui est encore plus puant que toutes les options que je viens de citer, et qu'on pourrait croire comprendre en lisant en diagonale ce que j'écris. Le débat sur la réforme des institutions, s'il est posé dans des termes raisonnables, est intéressant, et je sais au moins gré à l'un des candidats d'en avoir fait un de ses thèmes de campagne. (La vision positive des choses est que, parmi les candidats crédibles et pas trop détestables, l'un avait les mêmes idées que moi sur l'Europe, l'autre sur la fonction présidentielle : quel dommage qu'ils n'aient pas été le même.) Je reviendrai peut-être là-dessus plus tard (et aussi sur les idées qui tournent autour des problèmes avec le vote, comme les idées de tirages aléatoires), mais le fait est que le système, aussi critiquable qu'il soit, ne changera pas de sitôt, et probablement pas de mon vivant.

Il y a un second tour derrière (quel dommage qu'il n'y en ait qu'un), et je crois profondément en l'importance de faire des choix même quand c'est entre Charybde et Scylla (la description que je fais des candidats ci-dessus devrait rendre mon choix de second tour assez évident) : pas seulement en politique, mais dans tous les aspects de la vie (par exemple, quand je dois choisir un système d'exploitation à mettre sur mon ordinateur ou un langage dans lequel programmer, que de Charybdeis et de Scyllai s'offrent à moi !). Ne serait-ce que parce que le fait de faire un tel choix donne le droit de râler, ensuite, que les choix étaient nuls (j'ai essayé le langage X, il était merdique, j'ai essayé le Y, pareil), et râler est une de mes activités préférées, alors que si on refuse le choix on accrédite l'idée que ceux qui en ont fait un ont forcément approuvé ce qu'ils ont choisi comme moins pire option, ce qui est faux. J'ai voté pour François Hollande en 2012 en pensant qu'il ne ferait pas grand-chose de bien et pas grand-chose de mal (et en me doutant qu'il deviendrait très vite impopulaire), je l'ai raconté ici, mon opinion sur lui n'a guère changé, mais je ne me sens pas du tout comptable de son bilan ni de l'avoir approuvé autrement que comme un meilleur (ou moins mauvais) choix parmi un ensemble de candidats donnés à un moment donné. J'ai voté pour Jacques Chirac au second tour en 2002, et je ne le regrette pas non plus, je savais exactement à quoi m'attendre. (En fait, c'est quelque chose que je ne comprends pas du tout, les gens qui se disent déçus par ce qu'un homme politique fait : jusqu'à présent, dans mon expérience, aucun homme politique n'a jamais fait autre chose qu'exactement ce à quoi je m'attendais de sa part, et je ne crois pourtant pas être extralucide.)

Mon propos n'est pas ici de faire la morale à ceux qui refusent de faire un choix, mais il est assurément de dénoncer ceux qui voudraient prétendre qu'accepter de faire un choix revient à cautionner celui qu'on choisit comme moindre mal. Je ne veux pas non plus rentrer dans le débat de savoir s'il est utile, en admettant qu'on a une idée précise et assumée de quel est le moindre mal, d'aller voter pour lui, surtout si on pense que l'élection est jouée d'avance. Je pourrais rappeler que « tout le monde » croyait l'élection de Clinton jouée d'avance, même s'il faut avouer que l'obstacle est plus haut pour Le Pen que pour Trump ; je pourrais ironiser sur le fait que ce sont souvent les mêmes qui critiquent la sondocratie qui les invoquent maintenant pour dire que ce n'est pas la peine de se déplacer puisque le résultat est certain : la vérité est que je crois moi-même l'élection de Macron extrêmement probable sauf événement imprévu, mais (1) extrêmement probable n'est pas synonyme de certain ni même de quasi-certain (disons que 80% n'est pas 99.9%, whatever that means), et (2) la précision sauf événement imprévu (attentat très meurtrier, scandale…) est très importante. Mais il y a une autre question qui survient (et je conclus là ma bien trop longue entrée en matière) : quel est, au juste, le pouvoir du président, ou quels sont ses pouvoirs de nuisance ? Et spécifiquement, si on imagine que Marine Le Pen soit élue présidente, dans quelle mesure est-ce catastrophique ?

*

Les élections vraiment importantes, en France, sont les élections législatives. C'est un point important à garder à l'esprit plutôt que se dire que tout est joué. Mais, outre l'« effet d'entraînement » (que j'avoue ne pas comprendre) qui voudrait que le président nouvellement élu obtienne automatiquement une majorité à l'Assemblée, le président de la République a réellement des pouvoirs, au moins des pouvoirs de nuisance, même si l'Assemblée est contre lui (i.e., lors d'une cohabitation).

La raison pour laquelle on imagine que le président en cohabitation n'a pas beaucoup de pouvoirs propres c'est que les cohabitations qui se sont effectivement produites étaient entre des gens intelligents et qui avaient (quoi qu'on puisse penser par ailleurs de Mitterrand, Chirac, Balladur et Jospin) un minimum de décence et d'entente commune sur le fait de ne pas nuire à la France (par exemple en jouant à une lutte frontale entre le président et le Premier ministre). Le pire qui s'est produit est que Mitterrand a refusé de signer des ordonnances que Chirac voulait faire passer (il a dû les faire voter par le parlement).

Mais il se trouve que le président peut réellement faire des choses, et je pense que ce sont justement des pouvoirs qui seraient particulièrement dangereux entre les mains de quelqu'un comme Marine Le Pen que je considère comme une populiste sans scrupules. Notamment :

Et c'est sans compter les pouvoirs de blocage :

Et les pouvoirs non formalisés :

J'ajoute, notamment en lien avec le tout premier point cité ci-dessus :

Un tout petit bémol à ce message d'inquiétude : la Constitution a quand même changé les règles de destitution du président, maintenant ce n'est plus seulement en cas de haute trahison, c'est en cas de manquement à ses devoirs manifestement incompatible avec l’exercice de son mandat, voilà au moins quelque chose d'un petit peu rassurant dans le cadre d'une lutte de pouvoir entre président et parlement. Mais ça me semble insuffisant compte tenu de tout ce qui précède.

[#] Comme je le faisais remarquer naguère, on voit que la Constitution française est vraiment épouvantablement mal écrite quand on compare l'article 15 (Le Président de la République est le chef des armées), l'article 21 (Le Premier ministre […] est responsable de la défense nationale) et l'article 20 (Le Gouvernement […] dispose […] de la force armée) : quelqu'un de très fort a réussi à trouver des termes dont on ne peut pas dire qu'ils sont explicitement contradictoires, mais dont il soit néanmoins impossible de savoir exactement comment ça se fait qu'ils ne se marchent pas sur les pieds. Dans des conditions pareilles il revient aux militaires de décider à qui ils obéissent, ce qui est véritablement problématique.

(vendredi)

Peut-on imaginer une musique mathématique intéressante ?

Je viens d'ajouter quelques vidéos à la fin de l'entrée précédente (je conseille de regarder, je les trouve visuellement beaucoup plus intéressantes que les précédentes). Je commence maintenant à en avoir une jolie collection sur YouTube (si Cédric Villani poursuit son idée de créer un musée des mathématiques, j'essaierai de voir si je peux lui en refourguer), certaines ont d'ailleurs un nombre de vues qui m'étonne vu que je n'en ai fait essentiellement aucune pub.

Mais à chaque fois que j'ajoute une vidéo, YouTube m'affiche un message d'avertissement comme quoi il n'y a pas de son (c'est-à-dire qu'il n'y a même pas de canal son : toutes mes vidéos sont produites en calculant les images une par une et en utilisant une ligne de commande ffmpeg — qui horrifierait certainement mon ami qui en est développeur — et je ne mets presque jamais de piste son puisque je n'ai rien à y mettre). Les seules exceptions doivent être mes zooms sur l'ensemble de Mandelbrot auxquels j'ai ajouté une musique dans le Domaine Public, celle-ci où j'ai fait un commentaire parlé, et celle-ci qui est justement là pour le son.

Cette dernière est intéressante, parce qu'elle n'est… pas franchement agréable à écouter. Certaines des vidéos que j'ai produites sont visuellement plaisantes, du moins à mes yeux ; mais je n'ai pas, moi-même, le moindre sens artistique en ce qui concerne le graphisme (seulement un sens de la symétrie) : la beauté vient entièrement des mathématiques, tout au plus ai-je facilité sa lecture par le choix des couleurs ou quelque chose comme ça.

Ce qui m'amène à me poser la question suivante : est-il possible de produire une musique, ou du moins un son, qui soit agréable à l'oreille, par une construction purement mathématique ? Je veux dire, quelque chose dont on puisse légitimement dire qu'il n'y a pas d'auteur, tout au plus un facilitateur, comme je considère que c'est le cas de mes vidéos (musiques d'accompagnement et commentaire audio parlé exclus, évidemment ; bon, à la limite, pour l'ensemble de Mandelbrot, il y a quelques douzaines de bits d'information dans le choix de l'endroit où zoomer, mais pour le reste, essentiellement rien).

J'exclus quand même des choses vraiment triviales comme un son au spectre décroissant en loi de puissance (j'ai calculé ça, ça fait un joli bruit de cascade, mais je ne vais pas faire une vidéo avec !). J'ai vaguement imaginé produire des choses avec des systèmes dynamiques chaotiques (imaginez des systèmes physiques comme celui-ci transformés en ondes sonores d'une manière ou d'une autre : par exemple, un bête double pendule chaotique, si on transforme sa position en onde sonore, c'est peut-être intéressant à écouter), mais je pense que ça sera vaguement intéressant mais certainement pas beau, encore moins musical. Quelqu'un m'avait parlé de transformer mes visualisations d'ordinaux en sons, pour voir l'effet rythmique qu'on peut ressentir en traversant des ordinaux de plus en plus grands, pareil, c'est sans doute intéressant mais je doute fortement de l'effet artistique.

Je peux sans problème générer des sons bâtis sur la gamme à 12 demi-tons utilisée dans la musique occidentale (concrètement, en produisant un fichier MIDI et en le refilant à timidity), mais je ne crois vraiment pas qu'il soit possible de produire quelque chose de beau comme ça sans aller jusqu'à écrire essentiellement une petite intelligence artificielle pour composer de la musique selon les règles de l'harmonie et du contrepoint classiques. (Soit dit en passant, j'ai repéré le livre A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint de Dmitri Tymoczko comme « à lire », un livre de musique qui parle aux matheux ; je n'ai pas encore vraiment trouvé le temps de le regarder de plus près, mais la recommandation peut en intéresser d'autres.) Ne me parlez pas de Bach ou autre musicien censément très mathématique : j'aime beaucoup Bach, mais ce serait vraiment lui faire une insulte que de prétendre qu'il se contente d'appliquer les règles d'une construction mathématique pour écrire sa musique.

Bien des gens ont essayé des choses comme transformer les décimales de π (s'ils sont un minimum sophistiqués, les décimales de π en base 12) en musique : je trouve que ça n'a aucun intérêt, ni artistique ni intellectuel. (Il faut vraiment être un mathématicien amateur naïf pour s'imaginer qu'un motif intéressant puisse se trouver dans les décimales de π. D'ailleurs, même le fait de choisir π, et je ne parle pas ici seulement du fait que ce ne soit pas 2π, est le signe d'une certaine naïveté mathématique. Je pense que n'importe quel vrai mathématicien cherchera plutôt du côté de suites quasipériodiques, d'automates cellulaires, de nombres 12-adiques ou des choses de ce genre, s'il doit absolument produire une suite de ce style. Peut-être que cette suite que j'ai « découverte », et qui a amusée Neil Sloane, serait rigolote, par exemple : mais de nouveau, sans doute pas musicale. Ajout : je dois reconnaître qu'effectivement cette suite possède quand même une certaine qualité musicale outre son caractère « rigolo », mais bon, je n'écouterais pas ça pendant des heures.)

Je serais heureux d'être détrompé et qu'on me propose des moyens de produire des musiques, ou en tout cas des sons, agréables, des façons de traduire en musique des objets mathématiques comme en sons comme je le fais en images, qui soient plaisantes à l'oreille, mais franchement, je doute que ça soit possible.

Et ça nous apprend peut-être quelque chose sur le rapport entre la musique et les arts visuels. Peut-être que notre appréciation de la musique est plus dépendante d'un contexte culturel (le choix de la gamme à 12 demi-tons et tout le bagage qu'elle entraîne) que notre appréciation d'images. Sans doute aussi que notre capacité à détecter de la symétrie, et évidemment, la capacité du canal à en transmettre, n'est pas la même.

Parce que, oui, j'ai bien sûr envisagé l'idée de prendre une droite aléatoire dans l'espace à 8 dimensions, de la parcourir, et de convertir d'une manière ou d'une autre les points de E₈ à proximité en notes de musique : vous vous doutez bien que j'y ai pensé (de même que le fait que le réseau de Leech vit en 24 dimensions et que 24 c'est 2×12 ne m'a pas échappé, vous vous en doutez aussi) ; mais je ne crois vraiment pas à l'espoir de faire quelque chose d'intéressant par là.

Ajout : comme on me le fait remarquer à juste titre en commentaire (et de fait, ma maladresse d'expression a provoqué des remarques un peu hors sujet), je n'aurais pas du tout dû parler de musique, mais d'illustration sonore ou de son tout du long.

(dimanche)

Sections du diagramme de Voronoï du réseau E₈

Je ne savais pas bien à quoi m'attendre quand j'ai calculé cette image, mais probablement pas à ça :

[Section plane aléatoire du diagramme de Voronoï de E₈]

(Cliquez pour une vue plus large.)

De quoi s'agit-il ? C'est une section plane aléatoire du diagramme de Voronoï du réseau E₈ : il faut que j'explique ces termes (mais is ça ne vous intéresse pas, il y a d'autres images, et des liens vers des vidéos, plus bas).

Le réseau E₈ est un arrangement régulier de points en dimension 8, qui a toutes sortes de propriétés remarquables. En fait, il n'est pas difficile de le définir concrètement : il s'agit des octuplets (x₀,x₁,…,x₇) de nombres réels tels que :

À titre d'exemple, (0, 0, 0, −1, 2, −1, 1, −1) et (−1.5, 2.5, −0.5, 1.5, −1.5, −0.5, −2.5, 0.5) sont dans le réseau E₈ ; en revanche, (0, 0, 0, −1, 2, −1, 1.5, −1.5) n'y sont pas (les coordonnées ne sont ni toutes entières ni toutes entières-et-demi), et (−1.5, 2.5, −0.5, 1.5, −1.5, −0.5, −2.5, 0.5) non plus (la somme n'est pas paire).

La somme ou différence de deux points du réseau E₈ est encore dedans : c'est là la propriété essentielle d'être un réseau (et ce qu'un non-mathématicien qualifierait de points régulièrement espacés). Les points du réseau E₈ les plus proches de l'origine (0,0,0,0,0,0,0,0) sont d'une part ceux de la forme (±1,±1,0,0,0,0,0,0) (où exactement deux coordonnées, quelconques, valent soit 1 soit −1 : ceci fait 28×4=112 possibilités — 28 choix de deux coordonnées et 4 choix de leurs signes), et d'autre part ceux de la forme (±½,±½,±½,±½,±½,±½,±½,±½) (où chaque coordonnée vaut ½ ou −½, et où il y a un nombre pair de valeurs −½ : ceci fait 2⁸/2=128 possibilités) : au total, 112+128=240 points tous à distance √2 de l'origine ; ces 240 points sont ce qu'on appelle les racines du système E₈ et ils engendrent le réseau, mais ici c'est le réseau plus que ses racines qui m'intéresse. Entre autres propriétés remarquables, c'est le réseau E₈ qui réalise l'empilement optimal de boules identiques en dimension 8 (mettre une boule de rayon (√2)/2 autour de chaque point du réseau : elles se touchent sans se chevaucher et remplissent 25.367% de l'espace, ce qui ne paraît peut-être pas impressionnant, mais en dimension 8 on ne peut pas faire mieux).

Donné un ensemble (discret) de points dans l'espace euclidien, le diagramme de Voronoï associé est la division de l'espace en cellules de Voronoï, la cellule de Voronoï d'un point étant la région des points de l'espace qui sont plus proches de ce point-là que de tout autre point de l'ensemble. En général, un diagramme de Voronoï ressemble à ce que Google images vous montrera (il est formé de cellules qui sont des polytopes convexes dont les facettes sont hyperplans médiateurs entre le point définissant la cellule et un autre point). Lorsque l'ensemble des points est un réseau, toutes les cellules ont la même forme : la cellule de Voronoï de l'origine est l'ensemble des points plus proches de l'origine que de tout autre point du réseau, elle est d'ailleurs symétrique, et toutes les autres cellules sont identiques autour d'un autre point, elles sont translatées les unes des autres. S'agissant du réseau E₈ précisément, la cellule de Voronoï de l'origine est un polytope convexe ayant 240 facettes[#], une par racine du système de racines, chaque facette étant un morceau de l'hyperplan médiateur entre l'origine et la racine en question. (Il n'est pas vrai dans un réseau en général que les facettes de la cellule de Voronoï de l'origine soient ainsi définies uniquement par les points les plus proches de l'origine. Mais c'est vrai pour ce qu'on appelle un réseau de racines, et notamment E₈.)

[#] Il a aussi 19440 sommets : 2160 sont les points à distance 1 de l'origine ainsi que de quinze autres points du réseau, on les appelle les trous profonds du réseau E₈ (un exemple d'un tel point est (1,0,0,0,0,0,0,0)), et 17280 sont les points à distance (2√2)/3≈0.943 de l'origine ainsi que de sept autres et ce sont les trous superficiels (un exemple d'un tel point est (−5/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6)).

Bref, le diagramme de Voronoï du réseau E₈ est un pavage de l'espace de dimension 8 par des copies (translatées) de ce polytope à 240 facettes, chacune étant centrée sur un point du réseau. Il y a un algorithme assez simple[#2] pour décider, quand on se donne un point de l'espace, à quelle cellule de Voronoï il appartient, c'est-à-dire, trouver le point du réseau le plus proche (on parle aussi d'algorithme de décodage pour ce réseau).

[#2] En voici une description. Commençons par expliquer comment trouver le point du réseau D₈ le plus proche d'un point donné, où le réseau D₈ est le réseau formé des points de coordonnées toutes entières de somme paire (c'est-à-dire les points du réseau E₈ dont toutes les coordonnées sont entièrs). Donné (z₀,z₁,…,z₇) un point à approcher, on appelle x₀ l'entier le plus proche de z₀ et de même pour les autres : ceci fournit le point (x₀,x₁,…,x₇) à coordonnées entières le plus proche de (z₀,z₁,…,z₇). Si la somme x₀+x₁+⋯+x₇ des coordonnées est paire, c'est le point de D₈ recherché. Sinon, l'astuce suivante permet de le trouver : parmi les coordonnées x, prendre celle qui est le plus loin du z correspondant, et la remplacer par l'arrondi de ce z dans l'autre sens. À titre d'exemple, si on part du point (0.3, −0.1, 0.1, −1.0, 2.0, −0.4, 0.9, −0.7), l'arrondi des coordonnées à l'entier le plus proche donne (0, 0, 0, −1, 2, 0, 1, −1), la somme est impaire, donc on corrige le plus mauvais arrondi, à savoir −0.4 transformé en 0, en prenant l'entier de l'autre côté, donc −1, ce qui donne le point (0, 0, 0, −1, 2, −1, 1, −1) qui est le point du réseau D₈ le plus proche du point initial. S'agissant du réseau E₈, maintenant, on peut faire ce calcul une fois pour trouver le point de D₈ le plus proche, puis soustraire ½ toutes les coordonnées, refaire le calcul pour trouver le point de D₈ le plus proche du point ainsi modifié et rajouter ½ à toutes les coordonnées : on obtient ainsi deux points de E₈ (l'un dans D₈ et l'autre dans D₈+(½,½,½,½,½,½,½,½)) ; il n'y a plus qu'à comparer la distance de ces deux points au point d'origine et choisir le plus proche (soit en comparant les distances soit en calculant l'équation de l'hyperplan médiateur, ce qui revient essentiellement au même). Il existe des algorithmes légèrement plus efficaces que ce que je viens de décrire, mais en contrepartie ils sont plus fastidieux à implémenter et je pense que ça n'en vaut pas la peine.

Maintenant, ce que j'ai fait pour calculer l'image ci-dessus est de prendre un plan aléatoire dans l'espace euclidien de dimension 8 (plus exactement, la direction du plan est définie par deux vecteurs unitaires orthogonaux, tirés uniformément pour cette propriété, et l'origine est tirée uniformément modulo le réseau), et tracer l'intersection de ce plan avec les cellules de Voronoï du réseau E₈. Bien que le diagramme de Voronoï de E₈ soit complètement régulier, le fait de l'intersecter avec un plan aléatoire fournit quelque chose d'assez irrégulier comme on le voit, mais où on peut discerner, si on regarde bien (et surtout sur la vue plus complète), une forme de quasipériodicité. Je ne suis pas sûr d'avoir une description ni une explication complète de tout ce qu'il y a à remarquer sur l'image.

Pour information, l'échelle de l'image est de 10 pixels pour 1 unité (l'« unité » en question étant celle des coordonnées que j'ai exposées ci-dessus, c'est-à-dire que la distance entre deux points les plus proches du réseau vaut √2, ou encore que l'unité est le rayon de la sphère circonscrite à une cellule de Voronoï, ou encore que la cellule a un volume de 1 unité⁸), ce qui veut dire que l'image fait 136.6 unités en largeur et 76.8 en hauteur pour les images larges (la moitié pour les images plus étroites reproduites ci-dessus).

Pour ce qui est du coloriage des cellules de Voronoï, j'ai tiré aléatoirement trois directions orthogonales au plan et orthogonales entre elles, et les composantes rouge, verte et bleue donnent la distance au point du réseau (le centre de la cellule de Voronoï) selon ces trois directions, le gris étant le zéro.

J'ai aussi calculé des images selon des plans ayant des directions particulières : on appelle plan de Coxeter du réseau E₈ un plan tel que la projection (orthogonale) du système de racines sur ce plan présente une symétrie d'ordre maximal, en l'occurrence 30. (Le dessin le plus courant du système de racines de E₈ est généralement choisi projeté selon un tel plan : par exemple, cette image Wikimédia Commons est une projection sur un plan de Coxeter, aussi appelé dans ce contexte plan de Petrie.) Le résultat est le suivant :

[Section plane de Coxeter du diagramme de Voronoï de E₈]

(Cliquez pour une vue plus large.)

De nouveau, l'origine de projection est aléatoire modulo le réseau, et les directions choisies pour définir les couleurs des cellules sont aléatoires sujettes à la contrainte d'être perpendiculaires au plan de projection. Ce qui est intéressant est qu'on voit apparaître des symétries d'ordre 30 approximatives autour de différents points : ce sont ceux qui sont les plus proches d'un point du réseau. Si ça ne vous frappe pas, regardez attentivement la vue plus large, éventuellement depuis une certaine distance : on voit apparaître toutes sortes de figures en cercles concentriques, un peu comme des ondes de gravité circulaires à la surface de l'eau quand on y fait tomber quelque chose (des encyclies si on veut faire chic, des ronds dans l'eau si on veut faire moins chic) ; je suppose que le cortex visuel détecte quelque chose de cette symétrie localte approximative d'ordre 30, mais je ne sais pas exactement ce qu'il détecte.

J'ai aussi fait le calcul pour un plan la projection sur lequel présente une symétrie d'ordre 24 du système de racines :

[Section plane symétrique d'ordre 24 du diagramme de Voronoï de E₈]

L'effet est à peu près le même, peut-être encore plus fort.

J'ai aussi calculé et mis sur YouTube des vidéos de sections tridimensionnelles (ou (2+1)-dimensionnelles) du même diagramme de Voronoï : tridimensionnelles, c'est-à-dire que le temps est la troisième dimension, ou plus exactement, qu'il s'agit de sections planes se déplaçant dans une direction aléatoire orthogonale au plan (et orthogonale aux trois directions servant à définir les couleurs comme expliqué ci-dessus) : celle-ci montre une section aléatoire et celle-ci une section dont le plan 2D est un plan de Coxeter. Les deux sont assez envoutantes à regarder, mais la seconde l'est particulièrement à cause de la manière dont apparaissent puis disparaissent des symétries approximatives d'ordre 30. Les vidéos sont cadrées plus serré que les images fixes : l'image est large de 16 unités et haute de 9, et dans le temps le plan parcourt 40 unités en 48 secondes.

J'hésite à refaire des calculs analogues pour le réseau de Leech, qui est un réseau peut-être encore plus remarquable en dimension 24. Mais l'algorithme pour retrouver « décoder » le réseau de Leech (c'est-à-dire en trouver le point le plus proche d'un point donné, autrement dit, pour calculer les cellules de Voronoï) est un peu pénible à écrire, et j'ai peur que le résultat soit décevant parce que autant 2 dimensions (voire 2+3 en comptant les couleurs, voire 2+1+3 pour les vidéos) sur 8, ce n'est pas complètement négligeable, autant 2 dimensions, ou même 2+3 ou 2+1+3, sur 24, ça ne fait vraiment pas beaucoup, et j'ai peur qu'il ne subsiste absolument rien de la très extraordinaire symétrie du réseau de Leech.

A contrario, je pourrais peut-être baisser la dimension et regarder ce qui se passe dans des réseaux comme A₄ à A₆, D₄ à D₆ et E₆. S'agissant de A₄, par exemple, si on le regarde selon un plan de Coxeter, cela fera apparaître une symétrie d'ordre 5 qui ne manque sans doute pas d'intérêt (je crois qu'il y a des liens avec les quasi-cristaux et les pavages de Penrose à symétrie pentagonale, mais je ne connais pas les détails). D'un autre côté, j'ai une certaine flemme, parce que calculer les plans de Coxeter est assez fastidieux, et je ne sais plus bien comment il faut faire (dans le cas de E₈ j'avais les résultats sous la main, mais je me souviens m'être battu contre Sage et Gap pour les obtenir). Quant au réseau An, il est pénible parce que son système de coordonnées le plus naturel utilise n+1 coordonnées entières à somme nulle, certes il rend le plan de Coxeter évident, mais il est plus délicat à manier (sinon, pour A₄, exactement la même définition que j'ai donnée de E₈ doit marcher avec 4 coordonnées, mais alors de nouveau le plan de Coxeter n'est pas évident).

Ajout () : Finalement, j'ai fait les calculs pour A₈ et D₈ (ainsi que ℤ⁸, qui n'est pas très intéressant). L'algorithme pour trouver le point de D₈ le plus proche d'un point de ℝ⁸ est expliqué au passage quand j'explique celui de E₈ ci-dessus ; s'agissant de A₈ (qui est l'ensemble des 9-uples d'entiers de somme nulle), l'algorithme pour décoder (z₀,z₁,…,z₈) consiste à considérer (x₀,x₁,…,x₈) les entiers les plus proches, puis, si la somme x₀+x₁+⋯+x₈ est strictement positive, soustraire 1 aux x qui tels que l'erreur xz correspondante est la plus grande pour l'amener à 0, tandis que si elle est strictement négative, ajouter 1 aux x qui tels que l'erreur xz correspondante est la plus négative. Le plan de Coxeter de D₈ présente une symétrie d'ordre 14 (correspondant à une rotation cyclique des 7 premières coordonnées en même temps qu'on change le signe des deux dernières), tandis que pour A₈ elle est d'ordre 9 (correspondant à une rotation cyclique des 9 coordonnées). Voici les images : section plane aléatoire de D₈, section plane de Coxeter de D₈, section plane aléatoire de A₈, section plane de Coxeter de A₈, section plane aléatoire de ℤ⁸. J'ai aussi calculé une section de E₈ selon le plan de Coxeter de D₈, pour mieux comparer les deux. (J'ai aussi rassemblé ces images ici sur imgur.) Je vais peut-être produire aussi quelques vidéos.

Ajout 2 () : Comme on m'y a incité en commentaire, j'ai aussi calculé des images où ce qui est représenté est la distance (au carré) au point du réseau le plus proche (avec 0=noir et 1=blanc). C'est effectivement beaucoup plus joli à voir, et peut-être encore plus parlant visuellement (même s'il y a, techniquement, plutôt moins d'information) ; et je dois dire qu'artistiquement je trouve ça absolument époustouflant (quoique légèrement déconseillé aux trypophobes), ça fait penser à quelque chose en train de bouillonner ou aux cellules de convexion dans le soleil. Bref, merci à Fab pour la suggestion. Voici donc une vidéo noir et blanc selon un plan aléatoire et selon un plan de Coxeter, et en bonus selon un plan présentant une symétrie d'ordre 24.

Code source : Il est ici pour la version originale, et ici pour la version mentionnée dans le deuxième ajout ci-dessus. Quelques explications (et les instructions sur comment compiler) sont en commentaire au début du code lui-même.

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