David Madore's WebLog: 2018-09

S'il y a un nombre magique en mathématiques, c'est bien 24. (Je pense que Douglas Adams a juste inversé les chiffres.) Le nombre 8 vient presque à égalité, et 12, peut-être 6 et 16 ont aussi quelques propriétés magiques (qui, globalement, sont toujours liées à celles de 24), mais celui qui est vraiment farabuleux (pardonnez le néologisme), c'est 24.

Je voudrais dans cette entrée essayer de témoigner de la magie de 24 en définissant deux et en évoquant le troisième de trois objets exceptionnels qui font que 24 est si spécial. On pourrait aussi les appeler les trois générations de « magiciens » qui tirent leur pouvoir magique du nombre 24. Ces objets sont : le code de Golay binaire (première génération), le réseau de Leech (deuxième génération), et le module de Moonshine (troisième génération). Mon but est donc d'en parler un peu, en définissant proprement les deux premières générations, en essayant que ce que je dis sur la première soit accessible à un très large public, et en disant quelques mots de la troisième. Ou du moins, mon but était tout ça, parce que je me suis pas mal embourbé et je ne suis pas du tout content de ce que j'ai écrit : je donne certes une définition du code de Golay binaire et du réseau de Leech, mais je crois ne pas avoir du tout réussi à passer l'idée de pourquoi ils sont intéressants au fond. Et comme souvent, je crois que je me retrouve à présupposer de mon lecteur un niveau de connaissances mathématiques préalables qui varie de façon assez incohérente d'un endroit à l'autre (au début je m'efforce vraiment de ne rien supposer, et à la fin, il sera certainement nécessaire d'avoir au moins une intuition de ce qu'est un groupe). Néanmoins, maintenant que tout ça est écrit, je ne vais pas ne pas le publier, donc prenez-le pour ce que ça vaut.

Comme par ailleurs, le nombre 8 est aussi magique (quoiqu'un peu moins que 24), je peux aussi parler de deux des trois[#] générations de magiciens qui tirent leur pouvoir magique de celui-ci : le code de Hamming de longueur 8 et le réseau E₈, parce qu'ils sont utiles pour approcher leurs analogues du nombre 24.

[#] Je crois que le troisième qui complète la série serait l'algèbre d'opérateurs de sommets dont Griess parle dans son article A vertex operator algebra related to E₈ with automorphism group O⁺(10,2), mais je ne comprends décidément pas bien tout ça.

Bref, le tableau à garder en tête (juste pour le plan : je vais expliquer ce que tout ça veut dire) est quelque chose comme :

Nombre magique	1re génération	2e génération	3e génération
24	Code de Golay binaire	Réseau de Leech	Module de Moonshine
8	Code de Hamming de longueur 8	Réseau E₈	[Voir note #]

Le terme de génération évoque l'idée que les objets de la deuxième génération se définissent en termes de ceux de la première, et ceux de la troisième en termes de ceux de la deuxième, et qui plus est, il y a une certaine similarité entre la manière dont ces objets s'enfantent les uns les autres (je ne prétends pas que c'est rigoureusement la même, ni entre les colonnes, ni entre les lignes : notemment, il n'y a pas de « foncteur » dans l'affaire, juste une certaine analogie).

Je vais aussi évoquer, à chaque fois, les groupes de symétrie de ces différents objets, qui ressembleront à la numérologie suivante (là aussi, je dois expliquer ce que sont ces machins, mais à chaque fois, je donne le nom du groupe de symétrie et son ordre, c'est-à-dire le nombre de symétries) :

Nombre magique	1re génération	2e génération	3e génération
24	M24 244 823 040	Co₀ 8 315 553 613 086 720 000	Monstre (F₁) 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000
8	C₂³⋊PSL(3,2) 1 344	W(E₈) 696 729 600	O(10,2,+) [???] 46 998 591 897 600

Plan de la suite :

• Le code de Hamming de longueur 8
• Le code de Golay binaire
  • L'hexacode
  • Le MOG et le code de Golay
  • Le groupe de Mathieu M₂₄
• Le réseau E₈ et le réseau de Leech
  • Définitions
  • Quelques propriétés de ces réseaux
  • Symétries de ces réseaux
• Quelques mots sur le module de Moonshine

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Le mot éclectique vient du verbe grec ἐκλέγω (ἐκ+λέγω) dont le sens est quelque chose comme choisir parmi (extraire de, prendre en-dehors) : on remarquera que le mot élire vient du latin eligo (ex+lego) qui est le calque du mot grec en question. (J'ai toujours été fasciné de découvrir des parallèles comme ça, depuis que j'avais cru comprendre, quand j'étais petit, que atome et insecte, signifiaient tous les deux indécoupable : en fait, s'agissant du second, c'est une erreur, insecte signifie au contraire plutôt divisé en morceaux, segmenté, mais si ce n'était vrai, c'était au moins bien trouvé. Cf. aussi ce que je racontais ici au sujet du fait que composition, en grec, se dit synthèse. Zut, je veux parler d'éclectisme, et je suis déjà en train de digresser sur tout et n'importe quoi. )

En fait, je considère que l'éclectisme est une de mes principales caractéristiques, mais je ne sais pas si j'utilise ce mot correctement. Le TLF définit le mot comme suit (j'abrège un peu) :

A. (Philos.) Méthode intellectuelle consistant à emprunter à différents systèmes pour retenir ce qui paraît le plus vraisemblable et le plus positif dans chacun, et à fondre en un nouveau système cohérent les éléments ainsi empruntés.

B. (P. anal.) Attitude, disposition d'esprit portant à choisir sans exclusive parmi des catégories de choses ou de personnes très diverses ; qualité d'un ensemble de choses révélant cette disposition.

Je l'utilise par extension dans un sens qui doit être quelque chose comme : Attitude, disposition d'esprit consistant à s'intéresser à tout et à n'importe quoi, sans souci particulier de cohérence. Mais du coup, qui prend tout et n'importe quoi, cela commence à devenir un auto-antonyme par rapport au sens étymologique qui était qui prend le meilleur : la célèbre phrase biblique il y a beaucoup d'appelés, mais peu d'élus (Matthieu 22:14) est, dans l'original, πολλοὶ γάρ εἰσιν κλητοὶ ὀλίγοι δὲ ἐκλεκτοί (littéralement quelque chose comme beaucoup en-effet sont appelés peu-nombreux cependant élus, ἐκλεκτός étant un pseudo-participe passé, je ne sais pas comment les grammairiens appellent ça, du verbe ἐκλέγω), le sens est clairement que Dieu prend les heureux élus, pas tout et n'importe qu(o)i. Dieu est éclectique dans le sens original, pas dans le mien.

Enfin bref.

Je m'intéresse à tout et n'importe quoi. Mais là aussi les mots sont trompeurs : tout et n'importe quoi, en français, ça veut vraiment dire un peu de tout, sans logique particulière, pas tout. Je ne m'intéresse pas à tout (personne ne s'intéresse à tout), il y a évidemment plein de choses qui ne m'intéressent pas spécialement (parmi les choses qui semblent motiver beaucoup de gens : les voyages, le sport professionnel, le dessin, les voitures/avions/bateaux, la cuisine quand il s'agit de la faire au lieu de la manger, le vin et les autres alcools… ; parmi les choses qui semblent motiver les geeks : les jeux vidéos, les séries télé, les romans de SF ou heroic fantasy en 42 volumes de 1729 pages, etc.). Après, les choses méritent une certaine nuance, parce que parfois, même si je ne m'intéresse pas à quelque chose, je peux m'intéresser au fait que des gens s'y intéressent (la religion, par exemple), et les limites ne sont pas toujours claires, et puis il y a des exceptions (il y a des jeux vidéos que j'ai aimés, des séries télé que j'ai aimés, etc.) ; il y a des choses qui m'intéressent mais pas pour en parler (le sexe ?), des choses qui m'intéressent pour en parler mais pas pour en faire (la politique ?) ; il y a évidemment plein de choses où il m'intéresse d'écouter quelqu'un parler mais où je n'ai personnellement rien d'intéressant à dire (la musique ?). Bref, le découpage du monde en zones d'intérêts et de non-intérêts est plus complexe qu'un découpage binaire. Mais ce qui est sûr, c'est qu'il n'est pas particulièrement cohérent, en ce qui me concerne, et je n'ai pas un petit nombre bien délimité de centres d'intérêts.

Je crois quand même avoir au moins une qualité, c'est que j'arrive à trouver un centre d'intérêt commun avec à peu près n'importe qui, et je suis prêt à faire des efforts pour m'intéresser à quelque chose qui ne me passionne pas a priori si ça promet une conversation fructueuse. Comme je le remarque ci-dessus, même si je ne m'intéresse pas à X, en fait, écouter quelqu'un parler de X et m'intéresser à son intérêt pour X est souvent possible : je peux souvent embrayer en lui demandant comment il en est venu à cet intérêt, combien il y passe de temps, ce genre de choses — les gens, en fait, sont toujours intéressants quand ils sont eux-mêmes intéressés.

Tout ça pour dire que je parle de beaucoup de choses sur ce blog, qu'il s'agisse de choses dont je suis « spécialiste »[#] (les maths, dans une certaine mesure l'informatique et peut-être la physique), de choses sur lesquelles j'ai acquis un petite expertise à force de m'y plonger (quelques aspects de la linguistique), des choses sur lesquelles je viens ponctuellement de me documenter assez précisément, de choses sur lesquelles je n'ai pas de connaissance particulière mais j'espère apporter un point de vue un petit peu nouveau ou différent (la philo, le droit, la politique), des points précis sur lesquels je veux émettre un avis, ou de choses sur lesquelles j'ai simplement envie de parler (ma vie, les films que je vois, les livres que je lis, les fragments littéraires que j'écris). Là aussi, les frontières entre ces domaines sont floues.

[#] Je n'aime pas ce terme, en fait, spécialiste, ou alors je ne me considère comme spécialiste de rien. (J'adore la phrase suivante de Heinlein : A human being should be able to change a diaper, plan an invasion, butcher a hog, conn a ship, design a building, write a sonnet, balance accounts, build a wall, set a bone, comfort the dying, take orders, give orders, cooperate, act alone, solve equations, analyze a new problem, pitch manure, program a computer, cook a tasty meal, fight efficiently, die gallantly. Specialization is for insects. Je ne suis probablement pas un être humain compétent selon cette liste d'exigences, mais j'espère au moins ne pas être un insecte.) Je ne sais plus où, j'avais lu André Weil expliquer qu'il s'était donné pour but, en mathématiques, d'en savoir sur tout domaine un peu moins que le spécialiste mais un peu plus que le non-spécialiste (et qu'il avait « évidemment » échoué), mais j'aime bien cet état d'esprit.

Et justement, il y a une chose que je veux souligner : mes centres d'intérêts sont peut-être nombreux et difficiles à cerner, mais ils sont connexes au sens où je pense qu'il est impossible de les séparer en deux domaines généraux sans qu'il y ait plein de sujets qui prennent un malin plaisir à se rattacher aux deux.

Et c'est notamment pour expliquer ça que j'écris cette entrée. « On » m'a plusieurs fois demandé : pourquoi ne sépares-tu pas ce blog entre un blog mathématique et un blog non-mathématique ? On, dans l'histoire, n'est pas du tout intéressé par les maths mais intéressé par le reste ; mais je conçois que pour d'autres valeurs de on, ce serait le contraire : j'imagine qu'il y a plein de mes lecteurs qui n'ont absolument rien à b****er des histoires des jardins que je visite en Île-de-France ou de quand je parle de linguistique ou de mes délires philosophiques, et ça ne me vexe pas du tout, c'est normal, j'ai moi-même plein d'amis aux goûts tout aussi éclectiques que les miens, et évidemment ils ne sont jamais identiques aux miens, donc certaines des choses qui les passionnent m'emmerdent plus ou moins.

Mais ce que je prétends, c'est qu'un tel découpage est impossible à faire. Je peux imaginer que chacun de mes lecteurs aurait envie que je fasse un découpage de ce blog en les bouts qui l'intéressent et les bouts qui ne l'intéressent pas, mais il y aurait autant de découpages que de lecteurs. Moi, je perçois une profonde unité entre toutes les choses que l'on peut savoir (et peut-être même quelques autres), et une profonde unité au sein de ce qui m'intéresse.

Concrètement, si je faisais un blog de maths et un blog de non-maths, où est-ce que ça laisserait la physique, par exemple ? Si je fais un blog scientifique et un blog non-scientifique, l'informatique serait coupée en deux entre sa partie science et sa partie technique (d'ailleurs, je pense que on ne s'intéresse pas trop à cette dernière). Quand je parle de la différence entre ‘A’, ‘Α’ et ‘А’ dans les systèmes d'écriture en général et dans Unicode en particulier est-ce que ça rentre dans la partie science et techniques ? Et la linguistique, est-ce que je range ça dans les sciences ? Et quand je parle de vulgarisation mathématique, est-ce que c'est encore des maths ? D'enseignement des mathématiques ? Quand j'écris des fragments littéraires qui s'appuient sur les maths ? Quand je décris mon propre ressenti personnel devant tel ou tel aspect des maths (la symétrie, les ordinaux…) ?

Je suppose que la plupart des mathématiciens sont, à différents degrés, comme moi, c'est-à-dire qu'ils tendent à voir l'ensemble du monde à travers le prisme des mathématiques (ne serait-ce que pour des choses idiotes : par exemple, dès que des types ou catégories — j'emploie ici ces mots au sens courant, pas au sens mathématique — s'intersectent, commencer à penser leur diagramme de Venn, se demander ce qu'il y a dans chaque case ou combinaison booléenne ; ou encore, veiller scrupuleusement à comprendre les modalités et l'ordre des quantifications dans n'importe quel énoncé). Donc à la limite, ma pensée est complètement impossible à séparer des mathématiques : je suis incapable de penser autrement que comme ça. S'il y a des gens pour s'imaginer que ça me rend incapable d'apprécier la poésie ou la musique, de faire preuve d'empathie ou de discernement psychologique, ou encore de comprendre que le monde n'est pas toujours logique, je ne sais pas bien quoi répondre à part que c'est idiot (par contre, m'intéresser aux mécanismes qui font que les gens pensent ça, c'est fascinant ). Mais c'est pour dire que tout ce que je raconte a toujours un certain lien, à un certain niveau, avec les maths, simplement parce que c'est comme ça que je pense : par exemple, quand je dis que mes centres d'intérêts sont connexes, je pense vraiment à la définition d'un espace topologique connexe en mathématiques (qu'on ne peut pas partitionner en deux ouverts).

J'ai essayé d'introduire des catégories pour les entrées dans ce blog, mais c'est un peu un échec (il y a plein de choses qui rentrent mal dans les catégories, et la catégorie maths est trop énorme, je devrais la subdiviser mais je ne sais pas bien comment m'y prendre concrètement). Cela fait partie, aussi, de ma façon de penser, que j'aime bien faire des typologies et des classifications, mais qu'en même temps j'ai du mal parce qu'à chaque fois que je le fais je me rends compte que toutes les frontières sont floues et que tout est à cheval sur tout (ce n'est pas de ma faute, évidemment, le monde est comme ça).

Bref, pour mes lecteurs qui s'intéressent à certaines des choses que je raconte mais pas à toutes, et de loin, je peux simplement dire que c'est normal, je conçois difficilement qu'il en soit autrement, je suis conscient du « problème », j'en suis navré, mais je pense qu'il est structuralement insoluble. (Par contre, ça ne sert vraiment à rien de poster un commentaire sur une entrée pour dire tout ça n'avait aucun intérêt comme il m'arrive — rarement — d'en recevoir.)

L'Internet des Objets, ou en anglais Internet of Things (IoT), désigne l'ensemble des objets parfois qualifiés d'intelligents (et qui, fort logiquement, brillent souvent par leur stupidité) ou de connectés : de la smartwatch à la voiture autonome en passant par l'assistant électronique et la maison dont on peut contrôler les alarmes à distance, c'est une nébuleuse d'objets censément intelligents et qui deviennent vite un champ de mines pour la sécurité informatique.

Il n'aura pas échappé aux lecteurs réguliers de ce blog que je me méfie — et c'est un euphémisme — de l'Internet des Objets. Je ne vais pas essayer de développer longuement tous les problèmes qu'il peut poser (pour une approche humoristique, voir l'excellent compte Twitter Internet of Shit (@internetofshit) ; voir aussi cette entrée passée et les commentaires dessus). Mais il est utile d'essayer de faire une petite typologie des problèmes qui se posent, parce qu'il ne faut pas tous les confondre. Je distingue trois grands domaines de problèmes, que je divise ensuite en sous-problèmes :

• La sécurité informatique épouvantablement pourrie.

  Ceci résulte d'une combinaison de facteurs. Les programmeurs sont généralement mauvais et mal formés, le public n'est pas conscient du problème et/ou ne juge pas les objets sur leur sécurité si bien que le constructeur n'a que très peu d'intérêt économique à améliorer la situation, et il est légalement difficile de le faire tenir pour responsable des problèmes qui peuvent survenir (quand un pont s'effondre, on peut au moins s'attendre à ce qu'un architecte ou un ingénieur, quelque part, perde son travail — en informatique, la culture de la responsabilité n'existe pas) ; et au niveau des mises à jour de sécurité : leur validation est problématique et peut être elle-même source de trous de sécurité, le public les voit comme un emmerdement (apportant parfois des bugs et rarement des fonctionnalités utiles à ses yeux), la pratique du logiciel propriétaire empêche qui que ce soit d'autre que le constructeur de faire des mises à jour (et donc qui que ce soit si le constructeur fait faillite), et les systèmes embarqués compliquent encore la chose.

  Bref, un terreau fertile pour les pires problèmes : on doit malheureusement considérer que quasiment tout objet connecté à Internet peut être contrôlé à distance par des personnes malveillantes. Je vois deux principales sortes de problèmes avec les objets ainsi piratables :

  • L'objet (contrôlé en masse, sous forme de botnet de millions d'objets identiques) peut servir comme point de relais pour monter d'autres attaques, pas spécialement liées à l'Internet des Objets : typiquement des attaques déni de service distribué (DDoS) sur des services Internet cruciaux, l'Internet des Objets fournissant la bande passante de l'attaque. (Explication pour Madame Michu : imaginez par exemple que votre frigo connecté, comme cent millions d'autres dans le monde, contrôlés par un même pirate, se mette à saturer un site Web en le submergeant de requêtes, et le rende ainsi inutilisable.)

    Pour moi, ce risque-là est le plus sérieux et le plus problématique ; je n'écarte pas la possibilité que, par ce mécanisme, l'Internet des Objets mette en péril la civilisation (par exemple en cas d'attaques contre le réseau électrique). Et c'est entre autres à cause du fait que le grand public n'a aucune conscience de cette catégorie de risques (ou, même s'il en a conscience, s'en moque ; c'est un peu comme la pollution : même si on est conscient que la voiture pollue et contribue à un changement climatique mettant possiblement en danger la survie même de l'humanité, on n'est pas prêt à renoncer au confort qu'elle apporte). Les pirates qui constituent des botnets sont assez malins pour faire en sorte que leur action soit aussi transparente que possible pour le propriétaire de l'objet qu'ils piratent.

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Il faut peut-être que je crée une nouvelle catégorie dans ce blog pour les visites de jardins et de châteaux et pour les entrées où je m'amuse avec la fonction « panorama » de mon Android : après Vaux-le-Vicomte, Champs-sur-Marne et Villarceaux, Chantilly et Provins, nos visites périfanciliennes ont été mises en pause parce que le poussinet est allé visiter la montagne magique du côté de Crans-Montana (dans le Valais, en Suisse), où je l'ai brièvement rejoint dans un chalet (appartenant à une amie de sa grand-tante) dont la vue depuis notre chambre sur la vallée du Rhône, il faut l'admettre, portait assez loin :

Nous avons aussi eu l'occasion de visiter Lausanne sur le chemin de mon retour à Paris :

(Décidément, je ne me lasse pas de la géométrie escherienne que crée cette fonction panorama.)

Ensuite, mon poussinet est rentré à son tour, et nous avons visité le parc du château de Breteuil (Yvelines, Île-de-France), qui contient un certain nombre de beaux arbres, tels ce magnifique Fraxinus excelsior dont la hauteur gigantesque (qui dépassait le champ vertical de mon appareil photo quelle que fût la manière dont je le tinsse) m'a fait comprendre pourquoi les anciens scandinaves pensaient qu'Yggdrasil reliait le ciel et la terre :

(Ça ne se voit pas sur la photo, mais il y a une belle pente entre le point d'où la photo est prise et la base de l'arbre.)

Puis mon poussinet a de nouveau fui dans les Alpes, cette fois-ci près du col du Mont-Cenis :

Il a essayé de me faire faire le tour du lac quand je suis venu le voir, mais j'ai eu le vertige alors nous avons abandonné (et sommes allés, à la place, prendre une glace en Italie en voiture). Il faut dire que je ne suis vraiment pas fait pour la montagne : quand ça monte, je fatigue, quand ça descend, mes articulations se plaignent, et quand on suit une ligne de niveau, j'ai le vertige. Mais on a quand même trouvé une promenade en forêt qui ne m'a pas trop déplu, celle que j'ai mentionnée ici, et dont les passages dégagés avaient une belle vue :

Puis le poussinet est de nouveau rentré sur Paris et nous avons pu reprendre nos explorations de parcs et jardins.

*

La semaine dernière, nous avons visité Fontainebleau. C'était un peu un échec : nous sommes arrivés à 17h15 pour nous entendre dire qu'il était trop tard pour visiter le château ; du coup nous nous sommes rabattus sur les jardins, dont mon poussinet a vérifié sur le site web qu'ils fermaient à 19h. Mais en fait, il y a trois jardins (le jardin anglais, le jardin de Diane et le grand parterre) sans compter le parc[#] et, bien sûr, la forêt autour ; nous avons gardé le jardin anglais pour la fin sans raison particulière, et nous sommes rendus compte trop tard qu'il y avait une petite note qui disait que les jardins fermaient à 19h mais que le jardin anglais fermait une heure plus tôt. (Je déteste les horaires qui écrivent quelque chose comme fermeture à 22h, dernière entrée 30min plus tôt au lieu d'être honnête et de dire fermeture 21h30, possibilité de rester encore 30min pour ceux qui sont déjà entrés ; en l'occurrence, ils auraient dû dire que les jardins fermaient à 18h et le grand parterre une heure plus tard.) Heureusement, le parc, lui, ne fermait pas, pas plus que la forêt :

[#] La distinction entre parc et jardin n'était pas claire pour moi, mais apparemment les gens utilisent parc pour quelque chose de moins soigné qu'un jardin et dont l'entrée est souvent moins contrôlée.

Hier, nous sommes allés au château de Maintenon (en Eure-et-Loire, un tout petit peu au-delà de l'Île-de-France). Les jardins sont petits mais c'est impressionnant à quel point ils sont manucurés :

Tout autour du parterre il y avait de la sauge bleue (Salvia farinacea) qui avait un succès incroyable auprès des bourdons en tous genres, et même quelques xylocopes violets (Xylocopa violacea — bon, je ne suis pas certain de l'espèce, ils ne restaient pas longtemps au même endroit, mais au moins des abeilles charpentières), une bestiole vraiment impressionnante par sa taille.

Au fond, il y a les ruines de l'aqueduc de Maintenon qui, si ce n'était le temps ensoleillé, auraient semblé tout droit sorties d'un tableau de Caspar David Friedrich.

Enfin, hier, nous nous sommes promenés dans la forêt de Meudon, en finissant par la terrasse juste en-dessous de l'observatoire, d'où on a une très jolie vue sur Paris :

(Cliquez sur n'importe laquelle des images précédentes pour zoomer un peu. Seulement un peu parce que, de toute façon, l'optique de mon téléphone n'est pas terrible, donc ça n'aurait pas beaucoup de sens de mettre une haute résolution. A priori j'avais l'intention de faire un peu de magie HTML/CSS/JavaScript qui charge initialement l'image en basse résolution en taille doublée puis, dès que l'image devient visible, charge l'image plus grande, mais j'ai reculé d'horreur devant la difficulté d'accomplir quelque chose d'aussi simple avec les technologies Web qui comme d'habitude ont l'air de permettre de faire tout et n'importe quoi sauf la chose évidente que tout le monde va vouloir faire — donc j'ai renoncé et il faut cliquer comme au bon vieux temps du Web 0.01.)

Les chasseurs-prouveurs se rassemblaient comme chaque soir autour de l'équation de la chaleur et se racontaient les histoires de leurs aventures. Joueur-Atlas, qui était célèbre pour avoir autrefois attrapé un groupe parfait à 8 315 553 613 086 720 000 éléments évoqua le fils de « son » groupe, dont il avait aperçu la silhouette monstrueuse, à la lumière de la lune, en train de remuer près du nombre 196 883, et qu'il espérait voir un jour capturé. Mais ce soir, c'était au tour du vieux Bâtisseur-Alternatif de prendre la parole.

— Un jour, j'ai vu un corps comme je n'en avais jamais vu auparavant.

Il désigna une figure rupestre qu'il avait exécutée il y a longtemps, à la craie sur le tableau noir du Hilbertraum : un F pas tout à fait gras finissant par un 1 plutôt bas. Et il conclut théâtralement :

— Figurez-vous que ce corps n'avait qu'un seul élément.

Certains soupiraient d'entendre Bâtisseur-Atlernatif raconter toujours la même histoire à dormir debout, mais les jeunes chasseurs-prouveurs étaient fascinés :

— Un corps à un seul élément ? Mais ce n'est pas possible, grand-père !

— Pourtant je l'ai bien vu. Et attendez, ce n'est pas le plus incroyable… il était… sous l'anneau des entiers !

Cette révélation fit place à un silence choqué de la part de ceux qui n'avaient pas encore entendu cette légende. Un corps caché sous l'anneau des entiers ! Cela semblait si impossible — et en même temps si prometteur !

⁂

Bon, trêve d'humour à 1/1728 zorkmids.

Ce que j'appelle licorne mathématique, c'est un objet mathématique dont on aimerait croire à l'existence, un objet dont on a une certaine intuition et même des indices suggérant sa présence, qui, naïvement envisagé tel quel, n'existe pas, n'est pas possible, conduit à des paradoxes et des contradictions. On peut démontrer qu'il n'existe pas, que les propriétés qu'on lui attribue sont impossibles, et pourtant, on cherche quand même un moyen de le faire exister.

Ce qui fait que les licornes sont des licornes, c'est qu'on n'a pas trouvé la bonne définition ou la bonne théorie-cadre. Chasser la licorne, c'est donc chasser la définition ou la théorie qui lui permettra d'exister et de faire disparaître les paradoxes. Cela peut sembler bizarre : si on s'imagine qu'on donne naissance à un objet mathématique en le définissant, comment peut-il y avoir des objets qu'on poursuive sans parvenir à les définir ? Pourtant, cela se produit assez souvent (et je prends même ça pour un indice — certes pas terriblement concluant — dans le sens que les mathématiques existent indépendamment de l'homme).

*

L'exemple le plus simple est sans doute celui des nombres complexes. La manière dont je vais l'évoquer prend des libertés avec l'Histoire, qu'on m'en pardonne, mais mon but n'est past de raconter l'histoire des maths mais d'expliquer le concept d'une licorne. La racine carrée de −1, donc, était une licorne : un nombre qui, multiplié par lui-même, donne −1, c'est impossible a priori. Et on a une preuve de cette impossibilité : à savoir, que x soit positif ou négatif, son carré x² = x·x est forcément positif, donc ne peut jamais valoir −1. Bref, √(−1) est une licorne. Pourtant, quelqu'un prétend avoir vu des traces de la licorne : si on fait comme si elle existait, si on oublie cette impossibilité, si on mène les calculs comme si la racine carrée des nombres négatifs avait un sens, on arrive à résoudre des équations du troisième degré qu'on ne savait pas résoudre autrement (celles qui ont trois racines). Comment expliquer que quelque chose d'impossible conduise à une conclusion heureuse ? C'est cela qui fait soupçonner que la licorne existe vraiment, et qui donne envie de la capturer.

Maintenant on ne voit plus du tout que cette histoire a été une licorne : maintenant, √(−1) est un nombre complexe, quelque chose de tellement banal qu'on en oublie trop facilement que cela a pu représenter un paradoxe, une licorne. Pourtant, pour capturer cette licorne, il a fallu faire un saut conceptuel : abandonner l'idée que les nombres soient ordonnés, c'est un saut conceptuel gigantesque (les nombres ont été faits pour être ordonnés, pourrait-on dire ; les opérations algébriques sont une sophistication ajoutée sur le concept de comparaison). Mais une fois fait le saut conceptuel, une fois définie la notion de nombre complexe, la licorne est capturée, elle perd tout son mystère, on s'aperçoit que la définition antérieure de nombre était restrictive (ce qui ne signifie pas qu'elle n'ait pas de valeur !, il n'est pas question de remplacer systématiquement les nombres réels par des nombres complexes en mathématiques ou ailleurs).

Ce qui m'intéresse dans cette histoire, c'est la démarche où d'abord on aperçoit des traces de pas qui semblent paradoxales (cette bestiole marche comme un cheval, pourtant elle semble avoir une corne !), on traque le concept, et on finit par capturer la licorne, c'est-à-dire résoudre le paradoxe, rendre possible ce qu'on avait démontré impossible, en contournant l'impossibilité par une définition élargie. La licorne se capture par la définition. C'est inhabituel par rapport à la pratique générale des mathématiques qui consiste à chasser les preuves, pas les définitions (ni les licornes).

Méta : Dans la suite, je vais évoquer quelques autres licornes. Ne sachant pas à quel niveau de vulgarisation me placer, je n'ai pas vraiment pris de décision cohérente à ce sujet, et je suppose donc de la part de mon lecteur des connaissances variables de paragraphe en paragraphe : j'espère néanmoins avoir fait en sorte qu'on puisse comprendre un petit peu l'idée générale même si on ne comprend pas tel ou tel passage. D'autre part, comme mon but était de raconter une histoire plus que d'exposer des maths, il se peut que je dise des choses un peu abusées ici ou là (j'espère quand même avoir toujours été assez vague pour qu'on ne puisse pas m'accuser d'avoir écrit un énoncé indiscutablement faux, mais si c'est le cas, je mettrai la faute sur les licornes qui m'ont poussé).

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Il y a certainement une place dans le merveilleusement poétique Dictionary of Obscure Sorrows pour ce dont je veux parler — en fait, il est même possible qu'il y figure déjà, ou au moins que ses proches voisins dans la géographie compliquée des émotions humaines soient répertoriées.

Chaque rentrée qui arrive, chaque été qui se finit, est pour moi l'occasion d'une forme particulière d'anxiété — parfois légère, diffuse, éthérée, presque clémente, mais toujours palpable. L'incertitude quant aux changements que l'année va apporter. L'inquiétude de me voir rappeler par le cycle des saisons que la roue du temps tourne inexorablement. Or l'appréhension de l'avenir m'amène à contempler le passé.

De ces minutes de contemplation, des souvenirs émergent spontanément, et avec eux une sensation douce-amère : la nostalgie de certains instants du bonheur passé. Le désir de les revivre, de replonger dans la fraîcheur sucrée de ces moments trop vite vécus et pas assez appréciés. Comme si je voulais dire à mon moi d'hier : savoure cette seconde ! prends conscience que tu es heureux — comme si j'étais jaloux de ne plus être à sa place, de ne pas être plus jeune d'un jour, d'une semaine, d'un mois, d'un an, ou d'un quart de siècle. L'image que recrée ma mémoire m'apaise en même temps qu'elle me moque. À la manière d'une carte postale que je me serais envoyée : ici il fait très beau – dommage que tu ne sois pas là – bisous de jadis – signé : toi-même. Est-ce que je ne pourrais pas profiter de nouveau de ce nectar-là, ô dieux du temps ?

Les cartes postales se mélangent, elles ne sont même pas triées. Je regrette déjà l'après-midi ensoleillée que j'ai passée avant-hier à Fontainebleau avec mon poussinet, ou une balade en montagne il y a quelques semaines que, sur le moment, je n'ai pas vraiment aimée. Mais je me revois aussi petit, visitant le zoo de Toronto en suivant les grosses traces de pattes colorées qu'ils utilisaient pour baliser les parcours. Je repense à toutes ces promenades dans la vallée de Chevreuse avec mon père (qui maintenant ne peut presque plus marcher) pendant lesquelles il tâchait de m'intéresser à la physique. Je me remémore des heures passées à l'ENS à refaire le monde avec des copains (avec lesquels j'ai souvent perdu le contact). Il me revient aussi tout ce temps passé, quand j'étais ado, à jouer à des jeux d'aventure sur ordinateur[#] ou à programmer moi-même le jeu Légendes avec mes copains Laurent et Philippe (qui habitent tous les deux loin). Et il y a le jour où mon poussinet est devenu mon poussinet ; et cet autre jour, pas longtemps après, où nous avons déjeuné dans l'enceinte presque féérique du Petit Palais et je l'ai présenté à ma maman et à une amie de longue date de mes parents (maintenant décédée).

Les souvenirs qui me reviennent ainsi sont pour la plupart ceux d'un beau temps. Peut-être que la pluie délave la mémoire alors que le soleil la fige à la manière d'une plaque photographique. Peut-être n'envoie-t-on de cartes postales que d'un ciel serein.

L'utilisation du mot nostalgie est peut-être douteuse. Mais la limite des sentiments n'est pas claire entre le regret des temps que j'ai vécus et ceux de temps qui m'ont seulement été contés, peut-être faussement, ou que j'ai complètement inventés. Même les années que j'ai vécues sont en partie fausses, car j'ai sans doute écarté de ma mémoire les jours tristes — pluvieux — ennuyeux ; et parce que les souvenirs que je garde peuvent avoir été déformés. À force, tout se confond : j'étais heureux quand je sauvais des demoiselles en détresse.

Je suppose qu'il faut considérer les souvenirs non pas comme des cartes postales mais comme des sortes d'œuvres d'arts antiques — telle celle le poète écrit :

Le temps passe. Tout meurt. Le marbre même s'use.
Agrigente n'est plus qu'une ombre, et Syracuse
Dort sous le bleu liceul de son ciel indulgent ;

Et seul le dur métal que l'amour fit docile
Garde encore en sa fleur, aux médailles d'argent,
L'immortelle beauté des vierges de Sicile.

— José-Maria de Heredia, Les Trophées (Médaille antique)

Je retourne donc contempler ma collection de camées.

[#] Si vous avez mon âge plus ou moins quelques années, et si ce type de nostalgie peut vous atteindre, regardez les images de cette page et de celle-ci, c'est exactement le type d'art qui va bien avec le sentiment dont je parle dans cette entrée.

À l'approche de la rentrée, je me dis qu'il peut être utile que je publie quelques conseils pour les étudiants en maths. Ceux-ci sont inspirés à la fois de ce que j'ai écrit dans ce fil Twitter et de ce que j'ai expliqué de vive voix à un élève de prépa qui me demandait de tels conseils : ayant ainsi un peu réfléchi à ce que j'avais à dire, autant le mettre sur ce blog.

Il s'agit là de conseils généraux (et sans doute d'une bonne dose de proverbial enfonçage de portes ouvertes à ma fidèle hache bénie +2 trempée dans la potion de banalités), s'adressant plutôt à des étudiants entre approximativement ce qui correspond, dans le système éducatif français, aux niveaux bac à bac+5 (disons) : grosso modo, avant ça, on ne fait pas tellement de maths au sens « raisonnement déductif » (ayant la démonstration comme méthode essentielle) ; et après, si vous en êtes arrivé là, vous avez assez de familiarité avec les mathématiques pour ne pas avoir besoin de mes conseils. Certaines des choses que je vais dire s'appliquent à d'autres disciplines adjacentes, comme la physique ou l'informatique (pour ce qui est de l'informatique théorique, mon avis est qu'il s'agit de toute façon d'une branche des mathématiques, même si elle ne s'assume pas toujours comme telle) ; quelques uns s'appliquent sans doute à n'importe quelle discipline, mais je me focalise quand même sur les maths.

On doit pouvoir tirer de ces conseils aux étudiants quelques conseils pour les enseignants (en appliquant la dualité étudiant-enseignant et le foncteur de réduction des platitudes), mais comme je n'aime pas donner des leçons à ce sujet, je vais laisser ça en exercice au lecteur.

✱ Conseil nº1 : aimer ce que l'on fait. C'est peut-être un peu idiot de dire ça, mais je suis persuadé qu'on ne peut correctement faire des maths que si on les trouve un minimum belles et intéressantes. Si on les conçoit comme une corvée, elles le resteront. Si on les conçoit comme (la métaphore que j'aime bien utiliser) l'exploration d'un palais magnifique et incompréhensiblement gigantesque, à la structure à la fois labyrinthique et élégante, on peut arriver à comprendre que ce soit à la fois excitant et séduisant, et en tirer la motivation nécessaire à leur étude.

Je ne peux évidemment pas donner de recette magique pour comprendre que les maths sont belles. C'est quelque chose que j'essaie de communiquer, mais il est évident que je ne vais pas transformer tout le monde en matheux. Mais, même si on a un a priori négatif (et certaines formes d'enseignement des mathématiques laissent hélas place à bien peu d'autre que la corvée rébarbative), il est au moins essentiel de garder l'esprit ouvert à cette possibilité, que les maths puissent être fascinantes. Je pense qu'il est au moins utile, même si on est réfractaire, de chercher les sous-domaines sur lesquels on accroche un peu plus, et de peut-être chercher à se renseigner sur l'allure générale du paysage mathématique, méditer sur la question de pourquoi certaines personnes y trouvent goût (est-ce qu'on a reçu une image déformée par un enseignement rébarbatif ou est-ce qu'on est véritablement hostile aux mathématiques ? dans ce dernier cas, il vaut certainement mieux arrêter de les étudier le plus rapidement possible et ne pas céder aux sirènes qui promettent une meilleure carrière ou quelque chose de ce genre). L'histoire des sciences peut aussi être une passerelle vers un intérêt pour les mathématiques elles-mêmes.

✱ Conseil nº1b : faire preuve de curiosité intellectuelle, et questionner ce que l'on fait. Apprendre le cours pour le cours est la meilleure garantie d'en rester là. Pour comprendre un cours de maths, il faut plutôt le questionner[#], le décortiquer, essayer de prendre du recul. Pour ça, le mieux est de garder à l'esprit toutes sortes de questions (pourquoi fait-on ça ?, où veut-on en venir ?, comment fonctionne cet objet ?) ; je vais donner des exemples plus précis de telles questions (à se poser à soi-même ou à poser à l'enseignant) dans les conseils suivants, mais le message plus général est que tout questionnement est bienvenu (voir aussi les conseils nº6 et 6b ci-dessous).

[#] Dans un cours de langue, si un étudiant demande pourquoi 95 en français de France se dit-il quatre-vingt-quinze ?, on ne peut pas vraiment lui donner de réponse sauf des choses comme c'est comme ça ou c'est un accident historique, peut-être accompagnées d'une histoire du phénomène (mais c'est déjà empiéter des langues sur la linguistique, et ça n'aidera pas tellement à l'apprentissage du français). L'enseignant en maths, lui, doit être prêt à se justifier de plus près que ça.

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