David Madore's WebLog: Sur la magie du nombre six (l'automorphisme exceptionnel de 𝔖₆)

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(lundi)

Sur la magie du nombre six (l'automorphisme exceptionnel de 𝔖₆)

J'ai posté dans une entrée récente le dessin suivant, avec la devinette d'essayer de trouver ce qu'il représente et ce qu'il nous apprend :

Les réponses dans les commentaires ont été intéressantes (et j'ai bien fait de proposer cette devinette), parce que plusieurs personnes ont remarqué des aspects différents du dessin, et ont fait des observations justes et pertinentes. La réponse mathématique que je vais tenter d'expliquer tourne autour du fait que les matheux énoncent classiquement en disant que le groupe des permutations sur six objets (et uniquement sur six objets) possède un « automorphisme extérieur non-trivial » ; mais cette formulation n'a aucun sens pour les non matheux, et même pour les matheux je trouve qu'elle ne fait pas vraiment ressortir pourquoi ce fait est remarquable et exceptionnel. Donc le mieux est peut-être de formuler le fait remarquable sous la forme suivante (qui est certes un peu de l'agitage de mains, mais qu'on peut rendre rigoureux, et que je trouve en tout cas plus parlant), et c'est ça que je vais essayer d'expliquer :

À partir de six objets, il est possible de construire, de façon systématique, de nouvelles « choses », également au nombre de six, tout aussi interchangeables que les objets de départ, mais qui ne peuvent pas être mis en correspondance systématique avec eux.

De plus, ceci n'est possible pour aucun autre nombre que six.

Pour les mathématiciens qui aiment la théorie des catégories, ce qui précède est censé signifier la chose suivante : le groupoïde formé des ensembles de cardinal 6 avec les bijections pour morphismes admet un endofoncteur fidèle (donc automatiquement une autoéquivalence) mais qui n'est pas naturellement isomorphe à l'identité ; et ce n'est vrai pour aucun autre entier naturel que 6.

C'est un exemple d'un de ces phénomènes exceptionnels en mathématiques, comme on nomme des structures intéressantes qui apparaissent uniquement dans un petit nombre de cas : en l'occurrence, cet « automorphisme exceptionnel de 𝔖₆ » fait partie d'une sorte de chemin magique d'objets exceptionnels, qui le relie aussi aux groupes de Mathieu ou au système de racines de E₆ et aux vingt-sept droites sur la surface cubique. Mais celui-ci a l'intérêt d'être raisonnablement facile à expliquer, surtout avec mon (j'espère) zouli dessin (censé représenter ces six « choses » qui, plus bas, s'appellent des pentades).

Au passage : la notation 𝔖₆ (vous devriez voir une S gothique avec un 6 en indice) désigne le groupe des permutations sur 6 objets, c'est-à-dire l'ensemble des façons de leur faire changer de place (ou pas) ; voir aussi cette entrée antérieure et cette vidéo YouTube pour une description animée des différents sous-groupes transitifs de 𝔖₆ (c'est-à-dire, toutes les façons de permuter six objets qui sont capables de placer n'importe quel objet à n'importe quel endroit).

Après, je dois avertir que, si je suis parti pour expliquer ça, mon enthousiasme s'est un peu atténué en chemin, et la fin de cette entrée est sans doute un peu bâclée (j'avoue que j'ai passé tellement de temps à trouver le bon chemin pour expliquer proprement la combinatoire des synthèmes et pentades ci-dessous qu'à la fin j'en avais marre, et j'ai plutôt traîné des pieds pour la finir). Je la publie telle quelle en espérant qu'elle ait un certain intérêt, même si je me rends compte qu'elle est bancale et un peu décousue. (Par ailleurs, si on n'est pas intéressé par les détails, ne pas hésiter à sauter les démonstrations, qui ne sont pas franchement indispensables pour la compréhension de l'ensemble.)

Partons, donc de six objets. On pourra imaginer si on veut qu'ils sont placés aux six sommets d'un hexagone, comme dans chacun des hexagrammes ci-dessus ; ou bien qu'ils sont numérotés 0,1,2,3,4,5 : ça n'a aucune importance (et je vais tâcher de préciser cette absence d'importance plus loin). Je vais introduire quatre termes désignant des structures de complexité croissante fabriqués sur ces six objets : outre les 6 objets eux-mêmes, je vais définir les 15 doublets, les 15 synthèmes et les 6 pentades (ces dernières étant, essentiellement, ce que j'ai représenté ci-dessus). Précisément :

  • Les objets sont ces six choses dont je suis parti. Il y a donc 6 objets.
  • Les doublets sont les paires d'objets : par « paire » j'entends la donnée de deux objets (différents) sans qu'il y ait un ordre particulier entre les deux. Ainsi, si mes objets sont représentés comme les six sommets d'un hexagone, les doublets sont toutes les arêtes et diagonales de l'hexagone (tous les segments représentés sur l'un des dessins ci-dessus). Si les objets sont numérotés 0,1,2,3,4,5, alors les doublets peuvent être numérotés 01,02,03,04,05,12,13,14,15,23,24,25,34,35,45 : remarquez qu'il n'y a pas de 21, par exemple, dans ma liste, parce que c'est la même chose que 12 (c'est en ce sens que je dis qu'il s'agit de paires sans ordre ou non ordonnées).

    Il y a 15 doublets : ceci peut se voir soit en comptant l'énumération que je viens de faire (et en se convainquant qu'il n'y a ni omission ni répétition), soit en faisant le raisonnement que pour choisir un doublet, on choisit un premier objet parmi 6, puis un second parmi 5, et on doit ensuite diviser par deux parce qu'on a obtenu chaque doublet deux fois (selon que l'un ou l'autre objet a été choisi en premier) ; bref, il y a 6×5÷2=15 doublets.

    Je dirai par ailleurs que deux doublets distincts sont enlacés (c'est moi qui invente le mot, il n'est pas standard) lorsqu'ils ont un objet en commun : par exemple, si j'ai numéroté les objets, les doublets 02 et 23 sont enlacés (ils ont l'objet 2 en commun), tandis que 02 et 13 ne sont pas enlacés.

  • Maintenant, ça se complique. Un synthème est la donnée de trois doublets (distincts, sans ordre) dont aucun n'est enlacé avec un autre, c'est-à-dire, ne faisant intervenir aucun objet en commun ; autrement dit, il s'agit d'une façon de regrouper mes six objets en trois doublets, l'ordre n'ayant pas d'importance. Si on préfère, c'est une façon d'apparier (« marier ») les objets deux par deux. Par exemple, si je numérote mes objets, 01/23/45 est un synthème (formé des doublets 01, 23 et 45 : on apparie 0 avec 1, et 2 avec 3, et 4 avec 5) ; de même, 03/14/25 est un synthème. Sur les dessins ci-dessus, si vous regardez un quelconque des hexagones et une couleur particulière, il y trois segments de cette couleur, c'est-à-dire trois doublets, qui constituent un synthème (autrement dit, ils n'ont aucun objet/sommet en commun).

    Combien y a-t-il de synthèmes ? On peut faire le raisonnement suivant : pour construire un synthème, je choisis un parmi les 15 doublets ; puis je dois en choisir un autre qui ne fait intervenir aucun des objets du premier doublet, ce qui me laisse 4×3÷2=6 possibilités pour le second doublet ; puis je choisis le troisième, et là, je n'ai plus du tout de possibilité ; et en faisant tout ça, j'ai compté six fois chaque synthème puisque j'ai pu prendre ses trois doublets dans n'importe quel ordre, et il y a six ordres possibles : je me retrouve donc avec 15×6÷6=15 synthèmes. Voici un raisonnement peut-être plus simple : pour construire un synthème, je choisis l'objet que je vais apparier avec l'objet 0, j'ai donc 5 possibilités de choix (tous les objets sauf 0), puis je considère le premier objet non encore apparié et je choisis avec quel objet je vais l'apparier, ce qui me laisse 3 choix possibles (à savoir, n'importe quel objet autre que les 2 déjà appariés et l'objet que je cherche à apparier), et une fois ces choix faits, le synthème est complètement déterminé (car il ne reste que deux objets à apparier, et on ne peut donc que les mettre ensemble), donc j'ai 5×3=15 synthèmes.

    On peut aussi les énumérer exhaustivement : visuellement, cela se fait très bien, et voici les 15 synthèmes représentés graphiquement (faites défiler horizontalement) :

    Ou si on préfère numéroter les objets, ils sont (dans l'ordre utilisé ci-dessus si les objets sont numérotés de 0 à 5 dans le sens contraire des aiguilles d'une montre à partir de celui qui est à droite) : 03/14/25, 01/23/45, 05/12/34, 03/15/24, 02/14/35, 04/13/25, 03/12/45, 05/14/23, 01/25/34, 04/12/35, 04/15/23, 02/15/34, 02/13/45, 05/13/24, 01/24/35.

    Je dirai par ailleurs que deux synthèmes distincts sont enlacés lorsqu'ils n'ont pas de doublet en commun. (Je sais, ça peut sembler inversé : j'ai défini deux doublets comme enlacés lorsqu'ils ont un objet en commun ; mais on va voir que c'est logique.) Par exemple, 03/14/25 et 01/23/45 sont enlacés, tandis que 03/14/25 et 03/15/24 ne le sont pas (ils ont le doublet 03 en commun).

  • Quatrième et dernière définition : une pentade (également appelée pentade synthématique ou total synthématique) est formée de cinq synthèmes (distincts, sans ordre) qui sont tous enlacés les uns avec les autres : autrement dit, c'est une façon de répartir les quinze doublets trois par trois pour former cinq synthèmes.

    Pour dire les choses de façon un peu différente : une pentade est une manière de colorier les quinze doublets avec cinq couleurs de façon que deux doublets distincts enlacés (=ayant un objet commun) ne soient jamais de la même couleur (il est facile de se convaincre qu'il y aura alors forcément trois doublets, donc un synthème, de chaque couleur) ; je souligne que l'identité des couleurs n'a aucune importance (si on échange deux couleurs, la pentade reste la même), seul compte le fait que deux doublets aient ou n'aient pas la même couleur.

    Chacun des six hexagones de mon dessin initial représente une pentade, figurée par un coloriage des segments : si on se concentre sur un des hexagones, chacune des couleurs représente un synthème de la pentade, et la pentade est la répartition des doublets en ces cinq synthèmes. On peut se convaincre que les six pentades dessinées sont toutes distinctes (j'insiste : il ne s'agit pas simplement de voir que les couleurs sont différentes, mais que la répartition des doublets entre les synthèmes est différente).

    On pourrait s'imaginer qu'il y a beaucoup de pentades, mais en fait, il y en a a exactement six (i.e., je les ai toutes dessinées, chacune une seule fois, ci-dessus). Je démontrerai plus loin ce fait qui rend toute l'histoire intéressante.

Pour résumer tout ce qui précède, les 6 objets définissent 15 doublets (chacun formé de 2 objets distincts) ; on a aussi défini 15 synthèmes (chacun formé de 3 doublets distincts mutuellement non enlacés), et enfin des pentades (au nombre de 6 mais on ne le sait pas encore, chacune formée de 5 synthèmes distincts mutuellement enlacés). Mon but est d'expliquer qu'il y a une forme de « symétrie » qui échange objets et pentades en même temps qu'elle échange doublets et synthèmes.

Mais pour commencer, il faut que j'évoque ce qui, en termes savants, pourrait s'appeler la fonctorialité de ces différentes constructions, mais je vais juste parler de principe de correspondance. C'est quelque chose de très simple (tellement simple, même, qu'on risque facilement de ne pas comprendre qu'il y a quelque chose à dire) mais de fondamental. • J'ai défini les doublets, synthèmes et pentades sur un lot de six objets. Imaginons maintenant que j'aie un deuxième lot de six objets : je peux donc définir les doublets, les synthèmes et les pentades sur ce deuxième lot de six objets ; maintenant, si je choisis une correspondance entre les deux lots de six objets (de manière à ce que chaque objet d'un lot soit en correspondance avec un et un seul de l'autre : les mathématiciens appellent ça une bijection), j'obtiens aussi une correspondance entre doublets d'un lot et doublets de l'autre, entre synthèmes d'un lot et synthèmes de l'autre, et entre pentades d'un lot et pentades de l'autre. Je répète que c'est totalement évident, mais ça mérite d'être montré du doigt. • C'est ce principe « de correspondance » qui permet de dire que le nombre de doublets, de synthèmes ou de pentades sur six objets ne dépend pas des six objets considérés (oui, c'est évident !). C'est aussi ce principe qui permet de procéder à des numérotations des objets : en effet, si un lot d'objet est formé des nombres 0, 1, 2, 3, 4, 5, une correspondance entre ce lot et un deuxième est une façon de numéroter les objets du deuxième lot ; et une fois que c'est fait, le doublet 01, ou bien le synthème 01/23/45, qui sont un doublet et un synthème sur le lot {0,1,2,3,4,5}, donnent par correspondance un doublet ou un synthème sur le deuxième lot. Le même principe permet aussi, bien sûr, si on met les objets d'un lot en correspondance avec les sommets d'un hexagone régulier, d'obtenir une correspondance entre les dessins faits ci-dessus et les doublets/synthèmes/pentades sur le lot d'objets en question.

En fait, pour être tout à fait précis, le vrai principe de fonctorialité des correspondances, c'est surtout que si on a trois lots de chacun six objets, disons A, B, C, et qu'on met en correspondance (bijective) les objets de A avec ceux de B et ceux de B avec ceux de C, ce qui donne par composition une correspondance entre objets de A et objets de C, alors de même, la correspondance entre doublets de A et de C, ou entre synthèmes idem, ou entre pentades idem, sera la même que l'on passe par l'intermédiaire de B ou directement de A à C. C'est aussi totalement évident, et je ne veux pas m'étendre inutilement là-dessus. (Mais pour faire chic, on peut dire qu'on a affaire à un foncteur « doublet » qui va de la catégorie — catégorie qui est d'ailleurs un groupoïde — des ensembles à 6 éléments avec les bijections pour morphismes vers celle des ensembles à 15 éléments idem, un foncteur « synthème » pareil, et un foncteur « pentade » qui est un endofoncteur de la catégorie des ensembles à 6 éléments vers elle-même.)

Un cas important, et possiblement source de confusion, du principe de correspondance évident évoqué ci-dessus, est le cas où les deux lots de six objets considérés sont en fait le même. Ce cas signifie qu'on permute les six objets, c'est-à-dire qu'on « transforme » chacun d'entre eux en un autre (ou peut-être en lui-même), de façon que deux objets distincts se transforment en deux objets distincts : alors le principe de correspondance fait qu'on transforme de même les doublets en doublets, les synthèmes en synthèmes et les pentades en pentades. À titre d'exemple, si j'effectue la permutation {0↦0, 1↦3, 2↦1, 3↦4, 4↦2, 5↦5} sur les six objets {0,1,2,3,4,5} (lire : l'objet 0 reste 0, l'objet 1 devient 3, l'objet 2 devient 1, etc.), alors le doublet 23 devient 14 (ou 41, mais on l'écrit plutôt 14, je rappelle que c'est le même doublet), et le synthème 01/23/45 devient 03/14/25.

On peut par exemple s'exercer à regarder ce que deviennent les différentes pentades dessinées au début de cette entrée (et qui sont toutes les pentades possibles, mais on ne le « sait » pas encore) lorsqu'on effectue la permutation qui fait faire à l'hexagone une rotation de 60° dans le sens contraire des aiguilles d'une montre (=sens trigonométrique) : on devrait pouvoir vérifier que la pentade entourée de gris ne change pas, que la pentade entourée de noir devient celle entourée de blanc et vice versa, et que les trois pentades entourées de couleur se transforment dans le sens rouge ↦ vert ↦ bleu ↦ rouge. (Il faut se rappeler que l'identité des couleur utilisées pour représenter une pentade n'a aucune importance : une pentade est définie uniquement par le fait que certains segments aient ou n'aient pas la même couleur ; en l'occurrence, mon choix des couleurs a été fait de façon plus logique que ça, mais pour l'instant, ignorons-le.) • Si on est plus courageux, on peut aussi essayer de voir ce que deviennent les pentades dessinées lorsqu'on échange, disons, l'objet situé tout à droite et celui situé en haut à droite : on devrait trouver que cela échange les pentades grise et noire d'une part, blanche et rouge d'autre part, et verte et bleue enfin.

C'est cette opération, qui transforme une permutation des objets en une permutation des pentades, qui donne ce qu'on appelle l'automorphisme extérieur/exceptionnel de 𝔖₆, mais je vais y revenir. Pour l'instant, il n'est pas clair, par exemple, que n'importe quelle permutation des pentades est réalisable à partir d'une permutation des objets, ni que la permutation des pentades permet de retrouver la permutation des objets : on sait juste qu'une permutation des objets donne naissance à une permutation des pentades, pas encore qu'on peut aller dans le sens inverse (et le fait qu'on ne sache pas encore combien de pentades il y a n'aide pas, évidemment).

Je veux maintenant démontrer les faits suivants qui serviront à démêler la combinatoire des synthèmes et pentades :

Lemme A : Donné un synthème et un doublet n'appartenant pas à ce synthème, il existe exactement deux synthèmes contenant le doublet donné et qui soient enlacés (c'est-à-dire sans doublet en commun) avec le synthème donné.

Lemme B : Donnés deux synthèmes distincts enlacés (c'est-à-dire, n'ayant aucun doublet en commun), il existe toujours une et une seule pentade qui contient ces deux synthèmes.

Lemme C : Donnés trois synthèmes distincts mutuellement non enlacés (c'est-à-dire, ayant deux à deux un doublet commun), il existe un unique doublet commun aux trois.

Lemme D : Quatre (ou plus) doublets distincts mutuellement enlacés (c'est-à-dire, tels que deux quelconques aient un objet commun) ont collectivement un objet commun, évidemment unique.

Le lecteur qui veut me croire sur parole peut bien sûr sauter les démonstrations qui suivent, mais elle ont un certain intérêt en elles-mêmes. L'idée à chaque fois est de raisonner en donnant des noms aux objets pour raisonner dessus (je les prendrai toujours dans les entiers de 0 à 5), ce qui utilise implicitement, si on veut, ce que j'ai appelé ci-dessus le principe de correspondance évident. La remarque vraiment évidente mais qui sert tout le temps dans les démonstrations ci-dessous est que pour donner un nom à un objet il s'agit qu'il n'en ait pas déjà reçu un (ceci sert à chaque fois que je fais une phrase du genre l'objet <…> n'est ni 0 ni 1 ni 2 : je peux donc l'appeler 3).

❄ Démonstration du lemme A :

Appelons α le synthème, et ξ le doublet qu'on s'est donnés. Appelons 0 et 1 les deux objets reliés dans ξ. L'objet apparié à 0 par α ne peut pas être 1 puisque ξ n'est pas dans α : on peut donc l'appeler 2. De même, l'objet apparié à 1 par α ne peut pas être 0 puisque ξ n'est pas dans α, et il ne peut pas non plus être 0 ni 2 car ceux-ci sont déjà appariés l'un à l'autre : on peut donc l'appeler 3. Appelons enfin 4 et 5 les deux objets restants. À ce point-là, α est 02/13/45 (et ξ est 01). Pour construire un synthème β contenant ξ (c'est-à-dire, qui apparie 0 avec 1) mais enlacé avec α, il s'agit de décider avec quel objet apparier avec 2 (le dernier doublet sera alors uniquement déterminé comme appariant les deux objets restants) : on ne peut pas apparier 2 avec 0 ni 1 (ils sont déjà appariés ensemble par ξ donc dans β), ni avec 3 (car on serait alors obligé d'apparier dans β les deux derniers objets, 4 avec 5, or le doublet 45 est dans α donc n'a pas le droit d'être dans β) ; en revanche on peut apparier 2 avec 4 ou 5, ce qui donne pour β les synthèmes 01/24/35 et 01/25/34 respectivement, qui sont bien enlacés avec le synthème donné 02/13/45.

❄ Démonstration du lemme B :

Appelons α et β les deux synthèmes qu'on s'est donnés. Appelons 0 l'un quelconque des objets. Appelons 1 l'objet qui est apparié avec lui dans le synthème α. L'objet apparié avec 1 dans le synthème β ne peut pas être 0 puisque les synthèmes sont supposés sans doublet commun : on peut donc l'appeler 2. L'objet apparié avec 2 dans le synthème α n'est ni 1 (de nouveau puisque les synthèmes sont sans doublet commun), ni 0 (puisqu'on sait déjà que 0 est apparié avec 1 dans α) : on peut donc l'appeler 3. L'objet apparié avec 3 dans le synthème β n'est ni 2 (toujours puisque les synthèmes sont sans doublet commun), ni 1 (qui est déjà apparié avec 2) ; mais ce n'est pas non plus 0 (car si c'était 0, on aurait dans β les deux doublets 03 et 12, donc les deux derniers objets seraient forcément appariés ensemble, or pour la même raison ces deux objets restants sont aussi appariés dans α qui contient les deux doublets 01 et 23, et ceci contredit le fait que α et β sont sans doublet commun) ; bref, on peut appeler 4 l'objet apparié avec 3 dans le synthème β. L'objet apparié avec 4 dans le synthème α est forcément le dernier objet, qu'on va appeler 5, puisqu'on a déjà dans α les doublets 01 et 23 ; et l'objet apparié avec 5 dans le synthème β est forcément 0 puisqu'on a déjà dans β les doublets 12 et 34. Finalement, on a numéroté les objets de manière à pouvoir écrire α=01/23/45 et β=12/34/50.

Pour visualiser cette situation, on peut placer les objets 0 à 5 cycliquement selon un hexagone (pour fixer les idées : en partant de la droite et en tournant dans le sens contraire des aiguilles d'une montre), tracer le sythème α en noir et β en blanc :

0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5

Maintenant, une pentade contenant les synthèmes α et β doit aussi contenir un synthème γ contenant le doublet 03 (car chaque doublet appartient à un synthème de la pentade). Comme γ apparie 0 avec 3, il doit faire l'un des appariements suivants de 1, 2, 4 et 5 : soit 12/45, mais ceci est exclu car 12 est déjà dans le synthème β, soit 14/25 (en gris sur la figure de gauche ci-dessus), soit 15/24 (en vert sur la figure de droite ci-dessus).

Mais le cas 14/25 est facile à exclure en remarquant qu'il n'y a pas moyen d'ajouter quoi que ce soit aux trois synthèmes déjà obtenus : en effet, si δ était un synthème enlacé à la fois avec α=01/23/45 et β=12/34/50 et γ=03/14/25, contenant disons le doublet 02, il devrait aussi contenir l'un de 13 ou 15 (car il doit apparier l'objet 1 avec l'un des objets avec lesquels il n'a pas encore été apparié dans un synthème), mais si c'est 13, le troisième doublet de δ est 45, qui appartient déjà à α, et de même si c'est 15, le troisème doublet de δ est 34, qui appartient déjà à β. Bref, la figure de gauche ci-dessus n'est pas complétable en une pentade (il n'existe aucun synthème enlacé simultanément avec les trois synthèmes tracés).

Il reste donc uniquement le cas où γ=03/15/24 : c'est-à-dire que toute pentade contenant α et β doit contenir le synthème qui vient d'être dit (en vert ci-dessus). Mais en effectuant la permutation {0↦2, 1↦3, 2↦4, 3↦5, 4↦0, 5↦1} (rotation de 120° de l'hexagone), qui ne change pas les synthèmes α ni β, ou bien en refaisant trois fois le même raisonnement, on arrive à la conclusion que la même pentade doit aussi contenir les synthèmes 25/31/40 (en rouge) et 41/53/02 (en bleu). Donc elle doit être la pentade représentée ci-dessus à droite (et qui est aussi la pentade entourée de gris dans mon dessin initial). Et comme celle-ci est bien une pentade, on a montré l'existence et l'unicité de la pentade contenant les deux synthèmes non enlacés α et β donnés.

(En fait, dans cette histoire, on a prouvé un peu plus : on a montré que n'importe quelle pentade peut être transformée en la pentade « grise » — et donc en n'importe quelle autre pentade — quitte à permuter ses objets. Mais de toute façon, ce fait découlera d'autres choses que je vais démontrer plus loin en utilisant ce lemme, donc ce n'est pas indispensable de le remarquer dès maintenant.)

❄ Démonstration du lemme C :

L'unicité est claire (si deux synthèmes ont deux doublets distincts en commun, ils sont forcément égaux puisqu'il ne reste que deux objets à apparier). C'est l'existence qu'on veut prouver, autrement dit, on veut voir que trois synthèmes ayant deux à deux un doublet commun ont forcément un doublet collectivement en commun.

Soient α, β et γ les trois synthèmes qu'on s'est donnés : deux quelconques ont un doublet en commun par hypothèse. Appelons 0 et 1 les deux objets du doublet commun à α et β (on se réserve encore le droit de les échanger) : on va montrer qu'ils sont aussi appariés dans γ. Pour cela, on suppose par l'absurde que γ ne contient pas le doublet 01 : comme il contient néanmoins un doublet commun avec α, on peut appeler 2 et 3 les objets de ce doublet (appariés dans α et γ, donc). L'objet auquel 2 est apparié dans β ne peut pas être 3 (sinon, α et β auraient en commun les deux doublets 01 et 23 et ne pourraient donc qu'apparier ensemble les deux objets restants, ce qui fait qu'ils seraient égaux) : on peut donc l'appeler 4. En appelant 5 le dernier objet, les synthèmes α et β sont donc 01/23/45 et 01/24/35, tandis que γ contient le doublet 23. L'objet auquel 4 est apparié dans γ ne peut pas être 5 (sinon, α et γ auraient en commun les deux doublets 23 et 45 et ne pourraient donc qu'apparier ensemble 0 et 1, ce qui fait qu'ils seraient égaux) : ce ne peut donc être que 0 ou 1, et quitte à échanger leurs noms (on n'a jamais eu besoin de décider lequel était 0 et lequel était 1), on peut supposer que c'est 0. Alors γ est 04/15/23, et il n'a pas de doublet en commun avec β, une contradiction.

❄ Démonstration du lemme D :

Appelons 0 l'objet commun à deux des doublets (différents) donnés, disons ξ et η, et soit 1 l'objet que ξ relie à 0, et 2 l'objet que η relie à 0 (forcément différent puisque les doublets sont différents). Supposons maintenant par l'absurde qu'il y ait parmi les doublets donnés un doublet ζ qui ne contienne pas l'objet 0 : comme il a néanmoins un objet en commun avec chacun d'eux doit contenir l'un des objets 0 et 1 (donc 1), et l'un des objets 0 et 2 (donc 2) : c'est nécessairement le doublet 12. Mais il n'existe aucun doublet ayant un objet en commun simultanément avec ξ=01, η=02 et ζ=12 (car un doublet doit omettre au moins l'un des objets parmi {0,1,2}, et alors il n'est pas enlacé avec 12,02,01 respectivement), ce qui contredit l'hypothèse qu'on s'est donné au moins quatre doublets. Bref, par l'absurde, on a montré que tout doublet parmi ceux donné doit contenir l'objet 0, comme annoncé.

L'unicité est claire car deux doublets ne peuvent pas avoir deux objets en commun (sinon ils seraient égaux).

Ces faits étant acquis, je vais en montrer un certain nombre d'autres. Pour souligner le parallélisme dont j'ai parlé ci-dessus, les affirmations ci-dessous viennent par paires (je rappelle que deux doublets distincts sont dits enlacés quand ils ont un objet commun, tandis que deux synthèmes distincts sont dits enlacés quand ils n'ont pas de doublet commun) :

Chaque doublet est enlacé avec exactement huit autres.

En effet, un doublet enlacé avec le doublet donné s'obtient en choisissant l'un des 2 objets du doublet donné et l'un des 4 objets qui n'y sont pas, pour les relier ensemble : ceci fait 2×4=8 possibilités.

Chaque synthème est enlacé avec exactement huit autres.

Considérons le synthème α donné : il contient 3 doublets sur les 15 au total, ce qui laisse 12 doublets. Pour fabriquer un synthème enlacé avec α, on choisit un quelconque des 12 doublets en question, et à chaque fois le lemme A nous assure qu'il y a exactement 2 synthèmes qui complètent le doublet choisi et qui sont enlacés avec α. Mais chaque synthème enlacé avec α a été compté 3 fois dans cette opération, puisqu'il a pu être obtenu une fois en choisissant chacun de ses trois doublets. Il y a donc 12×2÷3=8 synthèmes enlacés avec α.

Chaque doublet contient exactement deux objets.

(Cela fait trivialement partie de la définition d'un doublet.)

Chaque synthème appartient à exactement deux pentades.

Le synthème α donné est enlacé avec 8 autres (cf. ci-dessus) ; d'après le lemme B, chacun détermine avec α une unique pentade : mais chaque pentade s'obtient ainsi de 4 façons différentes (une fois pour chaque synthème qu'elle contient en plus de α). Il y a donc finalement 8÷4=2 pentades contenant α.

Il y a six objets.

(Cela fait trivialement partie des données de départ.)

Il y a six pentades.

On sait qu'il y a 15 synthèmes, et que chacun est enlacé avec 8 autres (cf. ci-dessus), ce qui fait 15×8÷2=60 paires de synthèmes enlacés ; d'après le lemme B, chaque paire détermine une unique pentade : mais chaque pentade s'obtient ainsi de 5×4÷2=10 façons différentes (une fois pour chaque paire de synthèmes qu'elle contient). Il y a donc finalement 60÷10=6 pentades.

Deux doublets distincts non enlacés appartiennent à un unique synthème.

En effet, deux doublets non enlacés (c'est-à-dire sans objet commun) déterminent quatre objets appariés deux à deux, il en reste deux, forcément appariés entre eux dans un synthème comme recherché, et le fait de les apparier donne effectivement un synthème.

Deux synthèmes distincts non enlacés ont un unique doublet en commun.

Ils ont un doublet en commun par la définition même d'être non enlacés. Et ce doublet est unique car s'il y en avait deux en commun, ils seraient forcément non enlacés, or on a vu que deux doublets non enlacés appartiennent à un unique synthème.

N'importe quel synthème donné contient exactement trois doublets ; de plus, ils sont mutuellement non enlacés.

(Cela fait trivialement partie de la définition d'un synthème.)

N'importe quel doublet donné appartient à exactement trois synthèmes ; de plus, ils sont mutuellement non enlacés.

En effet, à part les deux objets du doublet ξ donné, il y en a quatre autres : n'importe lequel des 4×3÷2=6 doublets entre eux détermine un synthème contenant ξ (puisqu'on a vu ci-dessus que deux doublets non enlacés appartiennent à un unique synthème) ; mais chaque synthème ainsi obtenu a été compté deux fois, une fois pour chacun des deux doublet qu'il contient en plus de ξ. Il y a donc finalement 6÷2=3 synthèmes contenant ξ. Enfin, ces synthèmes sont trivialement non enlacés puisqu'ils ont justement le doublet ξ en commun.

N'importe quel objet donné appartient à exactement cinq doublets ; de plus, ils sont mutuellement enlacés.

Il y a cinq objets auxquels on peut relier l'objet donné, et chacun détermine précisément un doublet. Enfin, ces doublets sont trivialement enlacés puisqu'ils ont justement l'objet donné en commun.

N'importe quelle pentade donnée contient exactement cinq synthèmes ; de plus, ils sont mutuellement enlacés.

(Cela fait trivialement partie de la définition d'une pentade.)

Deux doublets distincts donnés ont exactement un objet en commun s'ils sont enlacés, zéro s'ils ne le sont pas.

(Cela fait trivialement partie de la définition d'un doublet et du mot enlacé.)

Deux synthèmes distincts donnés appartiennent à exactement une pentade en commun s'ils sont enlacés, zéro s'ils ne le sont pas.

La première partie est exactement le contenu du lemme B, la seconde est triviale (les synthèmes d'une pentade sont mutuellement enlacés par définition).

Deux objets distincts donnés appartiennent à un unique doublet.

(Cela fait trivialement partie de la définition d'un doublet.)

Deux pentades distinctes données ont un unique synthème en commun.

Une paire de pentades ne peut pas avoir deux synthèmes distincts en commun, car on a vu ci-dessus que deux synthèmes distincts appartiennent à zéro ou une pentade en commun.

On a aussi vu ci-dessus que chaque synthème appartient à exactement deux pentades, c'est-à-dire à une paire. Mais il y a 15 synthèmes et 6×5÷2=15 paires de pentades. Comme chaque paire de pentades a au plus un synthème en commun, chacune doit en avoir exactement un sinon on n'obtiendrait pas le compte de 15 au total.

[Sur ma figure de départ — je vais y revenir — le synthème commun à deux pentades est représenté, dans chacune de ces pentades, par la couleur associée à l'autre, ce qui permet facilement de la retrouver.]

Trois doublets mutuellement non enlacés appartiennent à un unique synthème.

(Cela fait trivialement partie de la définition d'un synthème.)

Trois synthèmes mutuellement non enlacés contiennent un unique doublet en commun.

C'est exactement l'énoncé du lemme C.

Méta : J'ai essayé d'être relativement efficace dans mes démonstrations, et notamment de ne pas redémontrer plusieurs fois le même fait ni même de répéter le même bout de raisonnement, mais je n'ai pas vraiment réussi (par exemple, je répète souvent l'argument que si on a défini deux des trois doublets d'un synthème, on a défini le troisième car il relie forcément les deux objets restants). J'ai aussi essayé (ce qui entrait parfois en conflit avec le but précédent) de regrouper sous le nom de lemmes ci-dessus les affirmations pour lesquelles j'avais besoin, dans la démonstration, de numéroter les objets, et dans les affirmations ci-dessous toutes celles où la démonstration était triviale ou bien essentiellement du dénombrement. Je ne suis pas totalement convaincu du résultat (au sens où l'esthétique de l'ensemble laisse un peu à désirer, j'aurais peut-être dû rassembler des résultats que j'ai éclatés ou vice versa), mais je pense, au moins, ne pas avoir commis d'arnaque. (Je suis surpris que le lemme D ne serve que ci-dessous, mais je ne crois pas en avoir eu besoin jusqu'à présent.)

Voici une tentative pour récapituler la combinatoire sous forme de tableau (la symétrie qui nous intéresse consiste à inverser à la fois l'ordre des lignes et celui des colonnes) :

ObjetsDoubletsSynthèmesPentades
Objets Il y a 6 objets Chaque objet appartient à 5 doublets (mutuellement enlacés)
Doublets Chaque doublet contient 2 objets Il y a 15 doublets Chaque doublet appartient à 3 synthèmes (mutuellement non enlacés)
Synthèmes Chaque synthème contient 3 doublets (mutuellement non enlacés) Il y a 15 synthèmes Chaque synthème appartient à 2 pentades
Pentades Chaque pentade contient 5 synthèmes (mutuellement enlacés) Il y a 6 pentades

Maintenant je veux pousser la symétrie jusqu'au bout. Pour cela, je vais provisoirement introduire des nouveaux concepts, et montrer qu'ils se ramènent, en fait, aux concepts déjà introduits, en les éclairant.

Comme on sait maintenant qu'il y a six pentades, on peut les considérer comme de nouveaux objets, que je vais provisoirement appeler néo-objets : un néo-objet est donc exactement la même chose qu'une pentade (sur les objets de départ). Fort logiquement, un néo-doublet sera un doublet sur les néo-objets, c'est-à-dire une paire de pentades ; un néo-synthème sera un synthème sur les néo-objets, c'est-à-dire la donnée de trois néo-doublets mutuellement non enlacés ; et une néo-pentade sera une pentade sur les néo-objets (une pentade de pentades), c'est-à-dire un quintuplet de néo-synthèmes tous enlacés les uns avec les autres (i.e., sans néo-doublet commun).

Ces définitions peuvent paraître assez effrayantes de complexité (une néo-pentade est un ensemble d'ensembles d'ensembles d'ensembles d'ensembles d'ensembles d'objets) ; mais je vais maintenant expliquer pourquoi elles se ramènent tous à des concepts déjà définis : plus exactement, que les néo-doublets sont essentiellement les synthèmes, que les néo-synthèmes sont essentiellement les doublets, et que les néo-pentades sont essentiellement les objets de départ.

  • Les néo-objets sont par définition les pentades : rien de plus à ajouter.
  • Un néo-doublet peut s'identifier à un synthème : plus précisément, on identifie un doublet de pentades à l'unique synthème que ces deux pentades ont en commun (cf. ci-dessus) ; comme réciproquement, chaque synthème appartient à exactement deux pentades (vu ci-dessus), cette identification est bien possible. Notons qu'un néo-doublet contient un néo-objet exactement quand le synthème avec lequel on l'a identifié est contenu dans la pentade en question.
  • Deux néo-doublets sont enlacés (au sens d'avoir une pentade en commun) exactement lorsque les synthèmes avec lesquels on les a identifiés sont eux-mêmes enlacés (au sens de ne pas avoir de doublet commun) ; autrement dit, l'identification du point précédent ne modifie pas le sens du mot enlacé : cela résulte du fait que deux synthèmes sont enlacés si et seulement si ils appartiennent à une même pentade (vu ci-dessus).
  • Un néo-synthème peut s'identifier à un doublet : plus précisément, d'après les deux points précédents, un néo-synthème (qui est défini comme un triplet de néo-doublets mutuellement non enlacés) s'identifie à un triplet de synthèmes mutuellement non enlacés ; or chaque triplet de synthèmes mutuellement non enlacés a un unique doublet commun (vu ci-dessus) et réciproquement chaque doublet détermine un triplet de synthèmes mutuellement non enlacés (également vu ci-dessus) : on peut donc identifier le néo-synthème au doublet en question. Notons qu'un néo-synthème contient un néo-doublet exactement lorsque le doublet avec lequel on l'a identifié est contenu dans le synthème avec lequel on a identifié l'autre.
  • Deux néo-synthèmes sont enlacés (au sens de n'avoir aucun néo-doublet en commun) exactement lorsque les doublets avec lesquels on les a identifiés sont eux-mêmes enlacés (au sens d'avoir un objet commun) ; autrement dit, l'identification du point précédent ne modifie pas le sens du mot enlacé : en effet, cela revient à dire que deux doublets sont enlacés si et seulement si il n'existe pas de synthème contenant ces deux doublets, ce qu'on a également vu (ici, et bien sûr dans la définition d'un synthème).
  • Une néo-pentade peut s'identifier à un objet : plus précisément, d'après les points précédents, une néo-pentade (qui est définie comme un quintuplet de néo-synthèmes tous enlacés les uns avec les autres) s'identifie à un quintuplet de doublets tous enlacés les uns avec les autres, et d'après le lemme D, ces doublets ont un unique objet en commun, avec lequel on identifie la néo-pentade ; comme réciproquement, l'ensemble des doublets contenant un objet constitue bien un quintuplet de doublets mutuellement enlacés, donc une néo-pentade, l'identification est bien possible.

La symétrie est donc maintenant complètement réalisée et expliquée : elle est donnée par le préfixe néo dans les définitions ci-dessus : néo-objet=pentade, néo-doublet=synthème, néo-synthème=doublet, et néo-pentade=objet.

Et il résulte de ce que je viens d'expliquer que toute permutation des pentades est réalisable par une permutation des objets : en effet, la permutation des pentades=néo-objets donne une permutation des néo-pentades (par le principe de correspondance qui fait qu'une permutation des objets donne une permutation des pentades), c'est-à-dire une permutation des objets, et l'identification faite assure justement que cette permutation des objets donne la permutation des pentades qu'on s'est donnée ; et bien, sûr, pour la même raison, la permutation des pentades détermine complètement la permutation des objets.

C'est cette opération, qui à une permutation de six objets associe une autre permutation de six objets, qui s'appelle l'automorphisme extérieur/exceptionnel de 𝔖₆ (la notation 𝔖₆ désigne l'ensemble — en fait, le groupe — des permutations sur un ensemble à 6 éléments fixés). En fait, pour être tout à fait précis, il y a deux choses qu'on ne devrait pas mélanger : primo, toute permutation de six objets détermine une permutation de six choses différentes, à savoir les six pentades sur ces objets (=« néo-objets » ci-dessus) ; cette association-là est « canonique », c'est-à-dire qu'elle ne dépend d'aucun choix, mais ce n'est pas un automorphisme car on transforme une permutation de six objets en une permutation de six autres choses. En revanche, secundo, si on fixe (arbitrairement !) une correspondance entre les six objets et les six pentades, on obtient une façon de transformer une permutation de six objets en une permutation des six mêmes objets (en envoyant la permutation des pentades sur la permutation des objets donnée par la correspondance choisie) : cette fois, ce n'est plus canonique (on a dû choisir arbitrairement une façon de mettre les objets en correspondance avec les pentades), mais c'est bien un automorphisme des permutations : toute permutation détermine une autre permutation des mêmes objets, et cette opération est compatible avec la composition (c'est ce que signifie le terme morphisme).

Une chose qui n'est pas évidente et pour laquelle je ne vois pas de raison conceptuelle est qu'il est possible de faire le choix de la correspondance objets↔pentades de sorte que si on applique deux fois tout le procédé (on part d'une permutation sur les objets, on obtient — canoniquement — une permutation des pentades, qu'on voit comme une permutation des objets par la correspondance choisie, et on recommence le tout avec cette nouvelle permutation) on retombe sur la permutation de départ. Autrement dit, en langage matheux, il existe un automorphisme extérieur de 𝔖₆ qui soit involutif. • En voici un explicite : 0 1 2 3 4 5 si je mets en correspondance les six objets de mon dessin, lus en partant de la droite et en tournant dans le sens contraire des aiguilles d'une montre (i.e., 0,1,2,3,4,5 dans la numérotation déjà utilisée), avec les pentades respectivement grise, noire, bleue, verte, rouge, blanche (cf. la figure ci-contre), alors on obtient bien un tel automorphisme involutif. Par exemple, la permutation cyclique {0↦1, 1↦2, 2↦3, 3↦4, 4↦5, 5↦0} donne la permutation des pentades {grise↦grise, noire↦blanche, blanche↦noire, rouge↦verte, verte↦bleue, bleue↦rouge}, que la correspondance choisie transforme en {0↦0, 1↦5, 2↦4, 3↦2, 4↦3, 5↦1}, et cette permutation- donne la permutation des pentades {grise↦noire, noire↦bleue, blanche↦grise, rouge↦blanche, verte↦rouge, bleue↦verte} que la correspondance choisie transforme en la permutation cyclique initiale.

Je peux maintenant expliciter les différentes considérations qui ont présidé à l'organisation de mon dessin initial. Je voulais figurer les six pentades sur six objets. J'ai arrangé mes six objets selon un hexagone régulier (notons que ce n'était pas un choix si évident que ça : peut-être que la figure aurait été finalement plus claire et plus symétrique si j'avais choisi un pentagone régulier plus son centre ; ajout : j'ai testé cette disposition dans une entrée ultérieure). Je leur ai donné mentalement des étiquettes de 0 à 5 (en partant de la droite et en tournant dans le sens contraire des aiguilles d'une montre : c'est la convention habituelle en trigonométrie). Ceci suggère que j'ai donné une importance particulière à la permutation cyclique qui envoie chaque objet sur le suivant, soit {0↦1, 1↦2, 2↦3, 3↦4, 4↦5, 5↦0}. Sur les pentades, cette permutation fixe une pentade, en échange deux autres, et en permute trois cycliquement. J'ai donc choisi les couleurs de la façon suivante : les trois pentades permutées cycliquement se sont vu attribuer les couleurs rouge, verte et bleue (j'ai déjà parlé de la mystique de ces trois couleurs), les deux qui sont échangées sont naturellement devenues la blanche et la noire, et enfin celle qui est laissée fixe a reçu la couleur grise. J'ai aussi choisi une disposition qui suggérait vaguement ces relations (je ne prétends pas qu'elle soit idéale, mais bon, on ne peut pas réaliser toutes les symétries dans une disposition, il faut accepter de faire quelques choix). Enfin, j'ai colorié chaque synthème, dont on a vu ci-dessus qu'il est toujours commun à exactement deux pentades (et peut s'appeler « néo-doublet ») dans chaque pentade selon la couleur de l'autre pentade qu'il partage avec elle : si bien que chaque pentade est décrite par les cinq couleurs autres que celle qui lui a été attribuée.

Enfin, pour aller jusqu'au bout des considérations de symétrie : je voulais placer la pentade verte de façon centrale par rapport à la rouge et la bleue (et imiter la disposition que j'aime pour les anneaux borroméens, cf. l'entrée liée ci-dessus) ; or la symétrie de l'hexagone autour d'un axe vertical, c'est-à-dire {0↦3, 1↦2, 2↦1, 3↦0, 4↦5, 5↦4}, échange deux des pentades auxquelles je devais attribuer les couleurs rouge, verte et bleue, donc j'ai pris la rouge et la bleue pour elles, ce qui détermine quelle est la pentade verte. Pour choisir laquelle serait la blanche et laquelle la noire et comment les disposer autour de la grise, en revanche, j'avoue ne pas avoir eu de système particulier, j'ai choisi au pif. • Remarquez au passage que les pentades rouge, verte et bleue sont placées cycliquement dans le sens des aiguilles d'une montre alors que ce cycle correspond au cycle de l'hexagone dans le sens contraire : ça peut sembler inversé, mais je pense au contraire que c'est ce qu'il y a de plus symétrique : par exemple, deux grandes diagonales de chacune de ces trois pentades colorées pointent vers la pentade de la couleur en question, ce qui n'aurait pas été le cas si j'avais inversé les pentades rouge et bleue sur mon dessin.

Cette entrée est déjà bien trop longue, donc je ne vais pas m'appesantir sur les différentes manières dont cette histoire est remarquable. Mais voici quelques indications (je vais faire moins d'efforts de vulgarisation parce que je commence à fatiguer, là, et ce qui suit est un peu un brouillon) :

Ce n'est possible que pour n=6. Je ne veux pas seulement dire que ce n'est que pour n=6 que la construction précise que j'ai utilisée fonctionne (quelque chose comme : définir les synthèmes comme des ensembles maximaux de doublets mutuellement sans objet commun, puis considérer les ensembles maximaux de synthèmes sans doublet commun). Ce que je veux dire est qu'il n'y a pas moyen, pour n≠6, à partir de n objets, de définir n nouveaux « trucs », qui soient interchangeables (histoire d'interdire que les « trucs » soient juste, disons, les entiers de 0 à n−1 en ignorant les objets initiaux, ou quelque chose comme ça), et qui ne soient pas en correspondance avec les objets de départ. Cette phrase est formulée de façon alambiquée et n'est pas très précise, j'en suis conscient, mais les affirmations mathématiques précises (qu'on parle du fait que tous les automorphismes de 𝔖n soient intérieurs pour n≠6 ou d'auto-équivalences de catégorie du groupoïde des ensembles de cardinal n avec les bijections pour morphismes) sont moins intuitives. On peut, bien sûr, fabriquer des ensembles à m objets plus ou moins permutables pour différentes valeurs de m (par exemple, les doublets sur un ensemble à n éléments sont au nombre de mn(n−1)), mais on ne peut pas retomber non-trivialement sur m=n sauf lorsque n=6.

Il y a des liens avec d'autres objets exceptionnels.

L'un de ces liens est avec le groupe de Mathieu sur douze objets : l'idée est que maintenant on rassemble les six objets « primitifs » et les six pentades et qu'on les voit comme 12 (nouveaux) objets. On dispose déjà de 720 permutations sur ces 12 objets, à savoir toutes celles qui proviennent d'une permutation des six objets primitifs et qui réalisent celle qui en découle sur les pentades. Le groupe de Mathieu est une façon d'élargir ces permutations à 95040 permutations sur les douze objets totaux, qui peuvent cette fois mélanger objets primitifs et pentades. Plus explicitement : j'appelle hexades les 132 ensembles de six objets (parmi douze au total) suivants : (A) les six objets primitifs (ceci fait une hexade), (A′) les six pentades (une autre hexade), (B) un choix quelconque de deux pentades plus les quatre objets primitifs qui ne font pas partie d'un des doublets [choisi] du synthème défini par ces deux pentades (ceci définit 45 hexades), (B′) un choix quelconque de deux objets primitifs plus les quatre pentades qui ne contiennent pas l'un des synthèmes [choisi] contenant le doublet défini par ces deux objets (encore 45 hexades), (C) trois objets primitifs plus trois pentades de sorte que la permutation cyclique de ces trois objets (dans un sens quelconque) échange permute cycliquement ces trois pentades ainsi que les trois autres (ceci définit 40 hexades) ; il y a au total 132 hexades, et il se trouve que 5 quelconques parmi les 12 objets (=les six objets primitifs + les six pentades dessus) appartiennent toujours à exactement une hexade ; les permutations des 12 objets en question qui envoient une hexade sur une hexade sont le groupe de Mathieu sur 12 objets. On peut aussi le voir comme fabriqué en composant de toutes les manières possibles des permutations de notre ensemble de 720 permutations initiales (celles définies par une permutation des six objets primitifs et de la permutation correspondante des pentades) et une permutation qui pourrait être, disons, {1↔rouge, 3↔vert, 5↔bleue, 2↔4} (fixant les objets 0, 2, 4 et les pentades grise, noire et blanche).

On peut aller plus loin et fabriquer le groupe de Mathieu sur 24 objets, mais je ne vais pas pousser plus loin la description, ce serait trop pénible de la manière où je suis parti. Il est cependant intéressant de noter que c'est presque « la même chose » : le groupe de Mathieu sur 12 objets se construit à partir d'un automorphisme extérieur exceptionnel du groupe symétrique sur 6 objets, et le groupe de Mathieu sur 24 objets se construit à partir d'un automorphisme extérieur exceptionnel du groupe de Mathieu sur 12 objets (ça s'arrête là : le groupe de Mathieu sur 24 objets n'a pas d'automorphisme extérieur).

Un autre objet exceptionnel avec lequel on peut faire un lien est le système des racines de E₆ ou l'ensemble des 27 droites sur une surface cubique lisse. Je ne vais pas détailler ce lien, mais je vais signaler la configuration de Cremona Richmond de 15 points et 15 droits dans le plan de sorte que chaque droite contienne 3 points et chaque point passe par 3 droites : cette configuration se retrouve parmi les 27 droites sur la surface cubique (comme le complémentaire d'un « double six » de droites), et les 15 points et 15 droites peuvent naturellement s'étiqueter comme les doublets et synthèmes de mon histoire : un point est sur une droite lorsque le doublet qui étiquette le point appartient au synthème qui étiquette la droite. Il y a aussi un rapport avec la combinatoire de l'Hexagrammum Mysticum de Pascal — c'est-à-dire, donnés 6 points sur une conique, les 60 façons de les considérer comme un hexagone (qui sont naturellement en bijection avec les 60 façons de partitionner les pentades en 1+2+3) et qui déterminent autant de droites de Pascal qu'on peut regrouper en toutes sortes de figures d'incidence, et qu'on peut aussi considérer comme des projections de différentes figures tracées sur une surface cubique nodale.

Enfin, un troisième type de lien qu'on peut faire est le suivant : les six pentades sur six objets sont naturellement en correspondance avec les six manières de voir ces six objets comme une droite projective sur le corps 𝔽₅ à cinq éléments ; ceci permet de voir l'ensemble des permutations fixant une pentade comme le groupe PGL₂(𝔽₅) des transformations projectives de cette droite, et son action sur les cinq autres pentades montre que PGL₂(𝔽₅) opère (fidèlement et transitivement) sur cinq objets. Or il existe quatre valeurs de p pour lesquelles PSL₂(𝔽p) opère fidèlement et transitivement sur p objets (ou en fait, non-trivialement sur <p+1 objets : l'action évidente sur la droite projective sur 𝔽p se fait sur p+1 objets) : ce sont les valeurs 3,5,7,11 (le fait que ce soit impossible pour p>11 est une des remarques importantes de la dernière lettre écrite par Galois, la veille de son duel fatal). Ces valeurs sont toutes intéressantes : pour p=3, il s'agit de l'isomorphisme entre PGL₂(𝔽₃) et 𝔖₄ combiné à l'action de 𝔖₄ sur trois objets qu'on peut voir comme les trois façons de relier quatre points en un quadrilatère ; pour p=5, je viens d'expliquer que c'est l'isomorphisme entre PGL₂(𝔽₅) et le stabilisateur d'une pentade sur six objets ; pour p=7, il s'agit d'un isomorphisme entre le groupe PSL₂(𝔽₅) et PGL₃(𝔽₂) ; et enfin, le cas p=11 est de nouveau lié au groupe de Mathieu sur 11 et 12 objets. (Pour ceux qui veulent en savoir plus sur ce que je viens de raconter très mal, je renvoie à l'excellent article de Conway, Three Lectures on Exceptional Groups, in : John Conway & Neil Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups, Springer 1999.)

Je termine par du code pour Gap qui permet de vérifier certaines des affirmations que j'ai faites ou de jouer avec les différents objets introduits :

## Le groupe symétrique sur 6 objets:
g0 := SymmetricGroup(6);
## La permutation cyclique des 6 objets (pour fixer une pentade):
c6 := (1,2,3,4,5,6);
## Permutation définissant une permutation cyclique des pentades (pour numéroter celles-ci):
coc6 := (1,5)(2,4,3);
## Stabilisateur de la pentade contenant le cycle c6:
hPent := ListX(ConjugacyClassesMaximalSubgroups(g0),cl->Order(Representative(cl))=120 and IsTransitive(Representative(cl),[1..6]),cl->Filtered(cl,h->c6 in h))[1][1];
## Liste des stabilisateurs des différents objets:
tmpA := List([1..6], i->Stabilizer(g0,i,OnPoints));
## Liste des stabilisateurs des différentes pentades (dans l'ordre donné par coc6):
tmpB := List([1..6], i -> hPent ^ (coc6^i));
## Ensemble des objets plus pentades muni de l'action de g0:
ext := ExternalSet(g0, Concatenation(tmpA, tmpB));
## Morphisme d'action de g0 sur objets+pentades:
phi := ActionHomomorphism(ext);
## Le groupe S_6 opérant sur objets+pentades (donc 12 objets):
g := Image(phi);
## Le groupe S_6 plus ses automorphismes extérieurs:
gPlus := Normalizer(SymmetricGroup(12),g);
## Liste des automorphismes extérieurs involutifs:
ListX(Difference(gPlus, g), x->Order(x)=2, x->x);
## Un exemple d'automorphisme extérieur involutif (coc6 a été choisi pour avoir ça):
flip := (1,7)(2,8)(3,9)(4,10)(5,11)(6,12);

## Liste des hexades contenant trois pentades et trois objets (primitifs):
lst3 := Union(Orbit(gPlus,[1,3,5,7,11,12],OnSets),Orbit(gPlus,[1,3,5,8,9,10],OnSets));
## Liste des hexades contenant deux pentades et quatre objets ou vice versa:
lst2 := Set(Orbit(gPlus,[1,2,4,5,7,11],OnSets));
## Liste des hexades (doit être de cardinal 132):
stsyst := Union(lst2,lst3,[[1,2,3,4,5,6],[7,8,9,10,11,12]]);
## Le groupe de Mathieu sur 12 objets (doit être d'ordre 95040):
mgroup := Stabilizer(SymmetricGroup(12),stsyst,OnSetsSets);

Ajout : Voir une entrée ultérieure qui fait plus ou moins « suite » à celle-ci.

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