David Madore's WebLog: Différentes manières de permuter six objets

Index of all entries / Index de toutes les entréesXML (RSS 1.0) • Recent comments / Commentaires récents

Entry #1976 [older|newer] / Entrée #1976 [précédente|suivante]:

(samedi)

Différentes manières de permuter six objets

Voici un petit gadget qui pourrait servir de décoration de Noël (choisissez une entrée au hasard dans le menu déroulant puis cliquez sur Start, avant de lire les explications ci-dessous) :

Il s'agit d'une représentation sous forme animation de n'importe lequel des seize (classes de) sous-groupes transitifs sur six objets. J'avais évoqué des questions semblables à propos des symétries possibles sur cinq objets dans une entrée récente, mais la discussion pour six objets est évidemment plus compliquée. Un groupe de permutations sur six objets (=sous-groupe de 𝔖6), c'est un ensemble de façon de permuter (réordonner) ces six objets de façon que si on effectue deux permutations du groupe à la suite (=on les compose), on obtient encore une permutation du groupe ; le nombre de permutations s'appelle l'ordre du groupe. Un tel groupe de permutations est dit transitif lorsqu'il y a moyen d'envoyer n'importe quel objet à n'importe quel emplacement par (au moins) un élément du groupe. On dit que deux sous-groupe de 𝔖6 sont conjugués lorsqu'on peut transformer l'un en l'autre en permutant les objets. À conjugaison près, il existe exactement seize groupes de permutation transitifs sur six objets, et c'est ça que cette petite animation représente : on choisit un groupe dans la liste, et le script va choisir aléatoirement une permutation du groupe, puis une autre, puis une autre, et ainsi de suite indéfiniment, et anime à chaque fois le déplacement des six objets. À une extrême, 𝔖6 contient toutes les permutations possibles, à l'autre, C6 ne contient que les permutations cycliques. Entre les deux, chacun des sous-groupes proposés correspond à une petite danse que peuvent faire mes six cercles colorés, je trouve ça assez envoûtant à regarder.

Le cas de 𝔖6 est intéressant, parce que 𝔖6 est l'unique groupe symétrique qui possède des automorphismes extérieurs (c'est-à-dire des façons d'associer à toute permutation une autre de façon à préserver la composition). Pour reprendre la terminologie de Sylvester (qui aimait bien les mots commençant par sy), on appelle pentade synthématique une façon de partitionner en 5 classes les 15 arêtes du graphe complet sur les six objets de façon que deux arêtes ayant un sommet commun ne soient jamais dans la même classe : il existe exactement 6 pentades synthématiques, et 𝔖6 réalise toutes les permutations possibles sur les pentades, ce qui signifie qu'en même temps qu'il agit sur les six objets, il agit aussi sur les six pentades, la correspondance entre les deux définissant un automorphisme extérieur. Beaucoup des sous-groupes transitifs de 𝔖6 se voient assez naturellement à travers cette description. [Ajout : voir cette entrée ultérieure pour une description de l'automorphisme extérieur de 𝔖6.]

Par ailleurs, je dois signaler que j'ai dû faire des choix de représentants dans mes classes de conjugaisons de sous-groupes. (Il n'est malheureusement pas possible de les faire de façon parfaite, c'est-à-dire de façon que deux sous-groupes inclus à conjugaison près soient effectivement représentés par des sous-groupes inclus exactement.) J'ai fait ces choix de façon à respecter la structure de l'hexagone, c'est-à-dire, techniquement, que le groupe diédral de l'hexagone soit dans le normalisateur de tous les représentants ici choisis (ça doit rendre mes choix uniques ou quasiment uniques, et ça les rend en tout cas assez naturels).

↑Entry #1976 [older|newer] / ↑Entrée #1976 [précédente|suivante]

Recent entries / Entrées récentesIndex of all entries / Index de toutes les entrées