David Madore's WebLog: Polynômes plus ou moins symétriques en cinq variables

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(dimanche)

Polynômes plus ou moins symétriques en cinq variables

Suite à des réflexions autour de la théorie de Galois (notamment des équations de degré 5, dans le cadre de l'écriture d'un livre sur le sujet) et autour de la théorie des invariants, je me suis amusé à regarder un peu la façon dont « fonctionnent » les polynômes plus ou moins symétriques à cinq variables. Par plus ou moins symétrique je veux dire qu'il y a des permutations échangeant les cinq variables qui laissent le polynôme invariant, mais pas nécessairement que le groupe G de ces permutations doive être le groupe symétrique 𝔖5 de toutes les (120) permutations possibles. Par exemple, le polynôme Q = Z1·Z2 + Z2·Z3 + Z3·Z4 + Z4·Z5 + Z5·Z1 (dans les cinq variables Z1, Z2, Z3, Z4, Z5) est symétrique sous l'effet de 10 permutations des variables, à savoir les 10 symétries d'un pentagone régulier dont les sommets seraient étiquetés par les cinq variables (dans l'ordre donné), i.e., ce qu'on appelle le groupe diédral D5 du pentagone : concrètement, Q est invariant si on permute cycliquement les variables (Z1 devient Z2, Z2 devient Z3 et ainsi de suite) ou si on les inverse (Z1 devient Z5 et réciproquement, Z2 devient Z4 et réciproquement, et Z3 reste) ou par n'importe quelle composition de ces symétries.

Pourquoi précisément cinq variables ? Parce que c'est le plus petit nombre pour lequel il commence à y avoir des choses intéressantes à dire, parce qu'historiquement cela a eu de l'importance (pour montrer que l'équation algébrique générale du cinquième degré n'est pas résoluble par radicaux et pour savoir précisément détecter si une équation donnée l'est), parce que ça fait une situation sur laquelle faire des calculs explicites, et parce que la situation pour plus de variable commence à devenir franchement compliquée. Bref, c'est un cadre sympathique pour faire quelques observations élémentaires de théorie des invariants ou de Galois, et un peu de vulgarisation comme j'aime en faire.

Niveaux de symétrie et sous-groupes de 𝔖5

On va donc dire que je considère des polynômes ou fractions rationnelles (= rapports entre deux polynômes) en les variables Z1, Z2, Z3, Z4, Z5, et à coefficients, disons, rationnels. Le corps de toutes les fractions rationnelles en ces variables est noté ℚ(Z1,Z2,Z3,Z4,Z5), l'anneau des polynômes, lui, est noté ℚ[Z1,Z2,Z3,Z4,Z5].

Les polynômes ou fractions rationnelles totalement symétriques sont ceux ou celles qui sont préservé(e)s (invariant(e)s) par n'importe quelle permutation des variables, i.e., par le groupe 𝔖5 de toutes les (120) permutations possibles de Z1,Z2,Z3,Z4,Z5. Ces polynômes totalement symétriques sont bien compris, c'est un théorème très classique : ce sont exactement les polynômes en les (cinq) polynômes dits symétriques élémentaires, à savoir : e1 = ∑i(Zi) = Z1+Z2+Z3+Z4+Z5 (5 termes de degré 1), e2 = ∑i<j(Zi·Zj) = Z1·Z2+Z1·Z3+Z1·Z4+⋯+Z4·Z5 (10 termes de degré 2), e3 = ∑i<j<k(Zi·Zj·Zk) = Z1·Z2·Z3+⋯+Z3·Z4·Z5 (10 termes de degré 3), e4 = ∑i<j<k<(Zi·Zj·Zk·Z) = Z1·Z2·Z3·Z4+⋯+Z2·Z3·Z4·Z5 (5 termes de degré 4), et enfin e5 = ∏i(Zi) = Z1·Z2·Z3·Z4·Z5 (1 terme de degré 5). C'est-à-dire que chaque polynôme totalement symétrique en Z1,Z2,Z3,Z4,Z5 est, et de façon unique, un polynôme en e1,e2,e3,e4,e5 ; et réciproquement, il est clair que tout polynôme en les ei est un polynôme totalement symétrique en les Zi. Par exemple, le polynôme (Z1)²+(Z2)²+(Z3)²+(Z4)²+(Z5)² (la somme des carrés des indéterminées, qui est manifestement totalement symétrique) vaut e1²−2e2. Ceci étant dit pour les polynômes, les fractions rationnelles fonctionnent du coup de la même manière (une fois qu'on a vérifié qu'une fonction rationnelle symétrique peut s'exprimer comme quotient de deux polynômes symétriques, ce qui n'est pas complètement trivial mais est néanmoins vrai) : le corps noté ℚ(Z1,Z2,Z3,Z4,Z5)𝔖5 des fractions rationnelles totalement symétriques en cinq variables est simplement le corps ℚ(e1,e2,e3,e4,e5) des fractions rationnelles en les polynômes symétriques élémentaires. Je noterai E ce corps dans la suite.

Un autre fait bien connu est ce qui se passe si on considère les polynômes ou fractions rationnelles qui sont préservés par les 60 permutations paires des indéterminées, c'est-à-dire les permutations qui s'obtiennent comme composées d'un nombre pair de transpositions (une transposition consistant à échanger simplement deux objets, ici, deux indéterminées, sans toucher aux autres) ; on note 𝔄5 l'ensemble des permutations paires (le groupe alterné) sur cinq objets. Déjà, peut-on trouver un exemple de polynôme qui soit invariant par les permutations paires mais pas par toutes les permutations (par 𝔄5 mais pas 𝔖5) ? Oui : un tel polynôme est donné par δ = ∏i<j(ZiZj) = (Z1Z2)·(Z1Z3)·(Z1Z4)⋯(Z4Z5) (aussi appelé polynôme de Vandermonde ; il comporte 120 termes, qui sont tous les 120 produits des indéterminées avec des puissances 0,1,2,3,4, chacun précédé d'un coefficient +1 ou −1 ; il est de degré 10 et peut s'écrire comme le déterminant d'une matrice assez naturelle) ; il possède l'invariance souhaitée puisque toute transposition de deux variables change δ en −δ, donc toute transposition paire le laisse invariant. Le carré Δ=δ² de ce polynôme de Vandermonde s'appelle le polynôme discriminant, et il est, lui, totalement symétrique, c'est-à-dire qu'il appartient à E, et peut donc s'exprimer au moyen des fonctions symétriques élémentaires. Cette expression est malheureusement un petit peu longue :

Δ = e12·e22·e32·e42 − 4·e13·e33·e42 − 4·e12·e23·e43 + 18·e13·e2·e3·e43 − 27·e14·e44 − 4·e12·e22·e33·e5 + 16·e13·e34·e5 + 18·e12·e23·e3·e4·e5 − 80·e13·e2·e32·e4·e5 − 6·e13·e22·e42·e5 + 144·e14·e3·e42·e5 − 27·e12·e24·e52 + 144·e13·e22·e3·e52 − 128·e14·e32·e52 − 192·e14·e2·e4·e52 + 256·e15·e53 − 4·e23·e32·e42 + 18·e1·e2·e33·e42 + 16·e24·e43 − 80·e1·e22·e3·e43 − 6·e12·e32·e43 + 144·e12·e2·e44 + 16·e23·e33·e5 − 72·e1·e2·e34·e5 − 72·e24·e3·e4·e5 + 356·e1·e22·e32·e4·e5 + 24·e12·e33·e4·e5 + 24·e1·e23·e42·e5 − 746·e12·e2·e3·e42·e5 − 36·e13·e43·e5 + 108·e25·e52 − 630·e1·e23·e3·e52 + 560·e12·e2·e32·e52 + 1020·e12·e22·e4·e52 + 160·e13·e3·e4·e52 − 1600·e13·e2·e53 − 27·e34·e42 + 144·e2·e32·e43 − 128·e22·e44 − 192·e1·e3·e44 + 108·e35·e5 − 630·e2·e33·e4·e5 + 560·e22·e3·e42·e5 + 1020·e1·e32·e42·e5 + 160·e1·e2·e43·e5 + 825·e22·e32·e52 − 900·e1·e33·e52 − 900·e23·e4·e52 − 2050·e1·e2·e3·e4·e52 − 50·e12·e42·e52 + 2250·e1·e22·e53 + 2000·e12·e3·e53 + 256·e45 − 1600·e3·e43·e5 + 2250·e32·e4·e52 + 2000·e2·e42·e52 − 3750·e2·e3·e53 − 2500·e1·e4·e53 + 3125·e54

Le fait important est que : tout polynôme en Z1,…,Z5 invariant par les permutations paires s'exprime sous la forme u+v·δ avec u et v deux polynômes totalement symétriques, et la même affirmation vaut pour les fonctions rationnelles. En quelque sorte, donc, δ est le « seul » polynôme préservé par 𝔄5 mais pas 𝔖5, et par ailleurs la relation δ²=Δ (où Δ est l'expression assez lourde ci-dessus) « explique » complètement δ par rapport au corps E=ℚ(e1,e2,e3,e4,e5) des fonctions rationnelles en les ei. Bref, ce que je viens de dire s'écrit (pour les fractions rationnelles) ℚ(Z1,Z2,Z3,Z4,Z5)𝔄5 = E(δ) où δ vérifie l'équation δ²=Δ au-dessus de E.

Quelle autre famille de polynômes « un peu mais pas complètement » symétriques pourrais-je considérer ? Il faut chercher ce qu'on appelle les sous-groupes de 𝔖5, c'est-à-dire les ensembles G de permutations qui sont stables par composition (et qui sont donc susceptibles d'être l'ensemble des permutations laissant invariant un polynôme — et il n'est pas difficile de montrer qu'il y a effectivement toujours un polynôme invariant pour chaque G). Il existe 156 sous-groupes de 𝔖5, donc on va tâcher de simplifier un peu les choses. D'abord, si deux sous-groupes s'obtiennent l'un à partir de l'autre justement par une permutation des objets (ici, des variables) — on dit alors qu'ils sont conjugués dans 𝔖5 — alors l'étude sera exactement la même, donc je peux me contenter de chercher les sous-groupes à conjugaison près (les classes de conjugaison) : il n'y en a plus que 19. (Il se trouve que les deux exemples envisagés ci-dessus, i.e., le groupe 𝔖5 tout entier et le groupe 𝔄5 des permutations paires, ne sont chacun conjugué qu'à lui-même, c'est-à-dire que le fait qu'une permutation soit paire ne dépend pas de la numérotation choisie des variables — on dit qu'il s'agit de sous-groupes distingués de 𝔖5 — mais d'ailleurs, à part le groupe trivial qui ne contient que la permutation identité, ce sont les seuls tels sous-groupes.)

Par ailleurs, je vais demander qu'il existe au moins une permutation (laissant le polynôme considéré invariant, i.e., appartenant au groupe G) capable d'envoyer n'importe quelle variable sur n'importe quelle autre : autrement dit, j'exclus les cas où les variables se séparent en blocs (par exemple, le polynôme Z1·Z2·Z3+(Z4)³+(Z5)³, il est symétrique par les 12 permutations qui échangent Z1,Z2,Z3 n'importe comment d'une part et Z4,Z5 de l'autre : ce genre de choses ne m'intéresse pas), parce que ces cas relèvent en fait d'un nombre plus petit d'indéterminées. Lorsque c'est le cas (qu'il existe au moins une permutation dans G capable d'envoyer n'importe quelle variable sur n'importe quelle autre) on dit que le groupe G de symétries de mon polynôme est transitif sur les cinq indéterminées. Or les sous-groupes transitifs de 𝔖5 ne forment plus que cinq classes (20 sous-groupes au total, mais comme expliqué ci-dessus, quitte à renuméroter les variables je peux toujours choisir celui qui me plaît dans chaque classe), qui sont représentées par :

  • le groupe symétrique 𝔖5 tout entier (qui a 120 éléments, toutes les permutations possibles des variables) ;
  • le groupe alterné 𝔄5 des permutations paires (60 éléments) ;
  • un groupe que j'appellerai Aff(5), qui a 20 éléments, et qui peut être décrit comme l'ensemble des permutations de la forme ia·i+b où les variables sont numérotées par un indice i vu modulo 5 et où a,b sont deux entiers avec a non multiple de 5 (i.e., inversible modulo 5), c'est-à-dire les permutations affines (d'où le nom) sur ℤ/5ℤ ; si on préfère, Aff(5) est engendré par les permutations cycliques et par la permutation qui double le numéro de chaque indéterminée modulo 5, i.e., transforme Z1 en Z2, Z2 en Z4, Z3 en Z1, Z4 en Z3 et fixe Z5 ;
  • le groupe D5 (groupe diédral) des 10 symétries d'un pentagone régulier dont les sommets sont étiquetés Z1,Z2,Z3,Z4,Z5 dans cet ordre ;
  • et enfin, le groupe C5=ℤ/5ℤ des 5 permutations cycliques des variables.
1 2 3 4 5

Les inclusions entre ces choses-là sont faciles : on a C5D5 ⊂ Aff(5) ⊂ 𝔖5, et D5 ⊂ 𝔄5 ⊂ 𝔖5, et en fait D5 = Aff(5) ∩ 𝔄5 (géométriquement, Aff(5) est formé des permutations qui transforment le pentagone régulier soit en lui-même soit en l'étoile à cinq branches obtenue en parcourant les sommets dans l'ordre 1,3,5,2,4, ou toute symétrie géométrique de l'un ou l'autre, et les permutations paires dans ceci sont bien celles qui gardent le pentagone comme un pentagone et pas comme une étoile).

Du coup, je définis aussi cinq niveaux de polynômes ou fractions rationnelles plus ou moins symétriques : ceux qui sont totalement symétriques c'est-à-dire invariants par toutes les permutations des variables, ceux qui sont invariants par les permutations paires, ceux qui sont invariants par les permutations « affines » (celles de Aff(5)), ceux qui sont invariants par les permutations « diédrales » (celles de D5), et ceux qui sont invariants par les permutations cycliques des variables.

Des exemples de polynômes réalisant ces différents niveaux de symétrie et pas plus sont :

  • pour 𝔄5 (les permutations paires) : δ = ∏i<j(ZiZj) = (Z1Z2)·(Z1Z3)·(Z1Z4)⋯(Z4Z5) comme détaillé ci-dessus ;
  • pour Aff(5) : P = (Z1)²·(Z2·Z5 + Z3·Z4) + (Z2)²·(Z1·Z3 + Z4·Z5) + (Z3)²·(Z1·Z5 + Z2·Z4) + (Z4)²·(Z1·Z2 + Z3·Z5) + (Z5)²·(Z1·Z4 + Z2·Z3) ;
  • pour D5 : Q = Z1·Z2 + Z2·Z3 + Z3·Z4 + Z4·Z5 + Z5·Z1 ;
  • pour C5 : F = (Z1)²·Z2 + (Z2)²·Z3 + (Z3)²·Z4 + (Z4)²·Z5 + (Z5)²·Z1.

On peut prendre ça pour définition de Aff(5), D5 et C5 si on veut : ce sont exactement les groupes de symétries de ces polynômes.

Fractions rationnelles plus ou moins symétriques

2 2 6 6 2

ℚ(Z1,…,Z5)𝔖5=E

ℚ(Z1,…,Z5)𝔄5=E(δ)

ℚ(Z1,…,Z5)Aff(5)=E(P)

ℚ(Z1,…,Z5)D5=E(Q)

ℚ(Z1,…,Z5)C5=E(F)

Ce qui est assez étonnant, c'est que la donnée d'une seule fraction rationnelle ayant précisément le bon groupe de symétries suffit, avec les polynômes symétriques élémentaires, à engendrer toutes les autres : par exemple, comme Q a pour groupe de symétries exactement D5, toute fonction rationnelle symétrique sous D5 s'exprime au moyen de Q et des fonctions symétriques élémentaires e1,…,e5 ; dans cette phrase, s'exprime au moyen, cela signifie s'exprime comme fraction rationnelle (i.e., pour parler très concrètement, s'exprime avec des sommes, différences, produits, et quotients), ce qui se note symboliquement ℚ(Z1,…,Z5)D5=E(Q). On peut être plus précis : les éléments δ, P, Q et F sont de degrés respectifs 2, 6, 12 et 24 (ce sont les indices des sous-groupes correspondants de 𝔖5) sur E, ce qui signifie par exemple que tout élément de ℚ(Z1,…,Z5)D5 (toute fraction rationnelle symétrique sous les permutations diédrales dans les variables) peut s'exprimer de façon unique sous la forme u0 + u1·Q + u2·Q2 + ⋯ + u11·Q11 avec u0,…,u11 des éléments de E uniquement déterminés, tandis que Q12, lui, s'exprime aussi sous une telle forme, autrement dit, Q vérifie une équation algébrique de degré 12 à coefficients dans E. Pour δ, qui est de degré 2 sur E, j'ai déjà expliqué que cette équation est δ²=Δ. De façon générale, ces équations (de degré 2, 6, 12 et 24) vérifiées par δ, P, Q et F respectivement, à coefficients dans E, s'appellent des résolvantes (générales) pour les groupes 𝔄5, Aff(5), D5 et C5 respectivement. Ces nombres 2, 6, 12 et 24 sont simplement le nombre de polynômes différents qu'on peut obtenir à partir de δ, P, Q et F en permutant ses variables (par une permutation qui ne soit justement pas dans le groupe de symétries du polynôme) ; et ces différents polynômes sont précisément les autres racines de l'équation résolvante vérifiée sur E (on peut les appeler les conjugués du polynôme partiellement symétrique considéré).

Le diagramme ci-dessus (qu'apparemment seul Firefox affiche de façon correcte) illustre comment se positionnent ces différents corps. Les nombres écrits en vert à côté des traits indiquent les degrés relatifs : par exemple, E(Q) est de degré 12 sur E mais 2 sur E(P), c'est-à-dire que Q vérifie une équation de degré 2 sur celui-ci, en l'occurrence elle est assez simple, c'est Q² − e2·QP + (e1·e3 − 3·e4) = 0 (selon la façon dont on lit ça, ça peut se voir comme l'équation de Q au-dessus de E(P) ou comme l'expression de P à l'intérieur de E(Q)). On peut appeler ça une résolvante relative (sur cet exemple : pour D5 à l'intérieur de Aff(5)).

Théorie de Galois des équations quintiques

Je digresse un peu pour expliquer le rapport avec la théorie de Galois des équations de degré 5. Si f(x)=0 est une équation de degré 5 sur les rationnels, c'est-à-dire que f est un polynôme, disons unitaire, de degré 5 à coefficients rationnels, je peux appeler ξ1,…,ξ5 ses cinq racines (complexes). Les polynômes symétriques élémentaires e1,…,e5 de ces cinq racines sont donnés, au signe près, par les coefficients de f, qui sont rationnels : par conséquent, si on considère un polynôme à cinq indéterminées, H, qui soit totalement symétrique et qu'on l'évalue en (ξ1,…,ξ5) (c'est-à-dire qu'on remplace dans l'expression de ce polynôme H chaque indéterminée Zi par la racine ξi correspondante), on obtient un nombre rationnel, dont la valeur peut se calculer en remplaçant, dans l'expression de H au moyen des fonctions symétriques élémentaires, chaque ei par le coefficient correspondant de f au signe près. (Voici un exemple concret : si H = (Z1)²+(Z2)²+(Z3)²+(Z4)²+(Z5)² = e1²−2e2, l'évaluation de H sur les cinq racines de l'équation x5 + x3 + 1 = 0 vaut −2 car la valeur de e1(ξ1,…,ξ5) est donnée par l'opposé du coefficient de x4 dans f, qui est 0, et la valeur de e2(ξ1,…,ξ5) est donnée par le coefficient de x3, qui est 1.)

À présent, si H est un polynôme qui n'est plus totalement symétrique mais seulement partiellement, la valeur de H(ξ1,…,ξ5) ne sera plus forcément un rationnel : le fait qu'elle le soit dépend en gros, justement, du fait que ce qu'on appelle le groupe de Galois de l'équation f soit ou non inclus dans le groupe des symétries de H. (Pour définir les choses de façon très succincte, le groupe de Galois de f est l'ensemble de toutes les permutations qu'on peut faire subir à ξ1,…,ξ5 et qui préserve toutes les relations à coefficients rationnels qu'on peut écrire entre celles-ci : dans le cas le plus général, les seules relations qu'on puisse écrire sont justement celles qui relient les fonctions totalement symétriques de ξ1,…,ξ5 aux coefficients de f, et le groupe de Galois est 𝔖5, mais pour certaines équations il y aura d'autres relations et le groupe de Galois est alors plus petit.)

Le cas de δ est clair : lorsque les cinq racines sont distinctes (c'est-à-dire justement que δ(ξ1,…,ξ5) ≠ 0), le nombre δ(ξ1,…,ξ5) est rationnel (ou, si on préfère, Δ(ξ1,…,ξ5) est un carré) si et seulement si le groupe de Galois de f est inclus dans 𝔄5 ; il n'y a pas de subtilité concernant la numérotation des racines, parce que changer la numérotation ne peut que transformer δ en −δ, et l'un est rationnel si et seulement si l'autre l'est (ceci est dû au fait que 𝔄5 est un sous-groupe distingué de 𝔖5).

Prenons maintenant l'exemple de P = (Z1)²·(Z2·Z5 + Z3·Z4) + (Z2)²·(Z1·Z3 + Z4·Z5) + (Z3)²·(Z1·Z5 + Z2·Z4) + (Z4)²·(Z1·Z2 + Z3·Z5) + (Z5)²·(Z1·Z4 + Z2·Z3), qui a pour groupe de symétries Aff(5). Il se peut que P(ξ1,…,ξ5) ne soit pas rationnel mais qu'une certaine renumérotation (i.e., permutation) de ξ1,…,ξ5 le rende rationnel. Or il y a 6 polynômes différents qu'on puisse obtenir à partir de P en en permutant les variables n'importe comment (puisque #Aff(5)=20 permutations ne changent rien, c'est qu'il y a 120/20=6 façons d'obtenir un polynôme différent) ; ces 6 polynômes conjugués à P sont les racines de ce que j'ai appelé la résolvante générale RP pour le groupe Aff(5) : du coup, les 6 nombres obtenus comme P(ξ1,…,ξ5) quitte à permuter les racines de l'équation sont racines d'un polynôme RP(f) obtenu en remplaçant dans RP les différentes fonctions symétriques élémentaires e1,…,e5 par leurs valeurs sur les racines ξ1,…,ξ5, données au signe près par les coefficients de f : on appelle ce polynôme RP(f) la résolvante de l'équation f=0 pour le groupe Aff(5), ou, dans ce contexte précis, résolvante sextique de l'équation quintique f=0. Cette résolvante sextique est elle-même à coefficients rationnels (si f l'est, ce que j'ai supposé). En supposant que ces 6 nombres de la forme P(ξ1,…,ξ5) (i.e., les 6 racines de RP(f)) sont tous distincts, si l'un d'entre eux est rationnel, on dira que le groupe de Galois de f est inclus dans Aff(5) (ou, pour être plus précis, dans un conjugué de Aff(5), le conjugué en question dépendant de la numérotation des racines), et réciproquement, si le groupe de Galois de f est inclus dans Aff(5), alors P(ξ1,…,ξ5) est rationnel pour une certaine numérotation des racines.

Ceci a eu énormément d'importance historiquement, parce que, lorsque f est irréductible (c'est-à-dire n'est pas factorisable de façon non-triviale comme produit de deux polynômes sur les rationnels), l'équation quintique f(x)=0 est résoluble par radicaux, c'est-à-dire exprimable à partir des rationnels avec des sommes, différences, produits, quotients et racines n-ièmes, si et seulement si son groupe de Galois est inclus dans (un conjugué de) Aff(5). Donc tester si un P(ξ1,…,ξ5) est rationnel, i.e. si RP(f) une racine rationnelle, permet de tester si l'équation f=0 est résoluble par radicaux. Le polynôme RP(f) a donc une importance historique assez grande, on l'appelle la résolvante sextique de l'équation.

Pour prendre un exemple dont j'ai déjà parlé, l'équation x5−5x+12=0 a pour résolvante sextique RP(f) le polynôme p6 − 40·p5 + 1000·p4 − 20000·p3 + 250000·p2 − 66400000·p + 976000000 = (p − 40) · (p5 + 1000·p3 + 20000·p2 + 1050000·p − 24400000) (dont j'ai appelé p l'indéterminée pour évoquer le fait qu'elle représente la valeur du polynôme P) : et de fait, si on numérote les racines comme ξ1≈−1.842086, ξ2≈1.272897+0.719799i, ξ3≈−0.351854+1.709561i, ξ4≈−0.351854−1.709561i et ξ5≈1.272897−0.719799i, on a P(ξ1,…,ξ5)=40. Son groupe de Galois est donc inclus dans Aff(5) (en fait, c'est D5), et cette équation est donc résoluble par radicaux ; et effectivement, une expression exacte de la racine réelle ξ1 est donnée (en MathML) par :

1 20 ( ( 1 5 + 10 + 2 5 ) 3125 + 1250 5 + 375 10 10 + 2 5 375 2 10 10 2 5 5 + ( 1 5 + 10 + 2 5 ) 3125 1250 5 375 10 10 2 5 375 2 10 10 + 2 5 5 + 4 3125 + 1250 5 375 10 10 + 2 5 + 375 2 10 10 2 5 5 + ( 1 5 + 10 + 2 5 ) 3125 1250 5 + 375 10 10 2 5 + 375 2 10 10 + 2 5 5 )

Mais mon propos n'était pas tellement de parler d'équations du cinquième degré, alors je clos cette parenthèse et je reviens aux polynômes plus ou moins symétriques.

S'agissant des fractions rationnelles, la situation est donc claire en théorie : il est possible en principe d'exprimer Q, P et δ en fonction de F (et de e1,…,e5), d'exprimer P et δ en fonction de Q (idem), mais aussi d'exprimer Q en fonction de P et δ (et, de nouveau, de e1,…,e5), et d'écrire des équations vérifiées par δ, P, Q et F de degré 2, 6, 12 et 24 au-dessus de E, ou différents degrés plus petits au-dessus des corps intermédiaires (i.e., au-dessus de E(δ), Q et F vérifient des équations de degrés 6 et 12, au-dessus de E(P), Q et F vérifient des équations de degrés 2 et 4, et au-dessus de E(Q), F vérifie une équation de degré 2).

Mais en pratique, les choses sont bien différentes. À part l'équation Q² − e2·QP + (e1·e3 − 3·e4) = 0 que j'ai déjà évoquée (qui exprime P en fonction de Q ou bien donne l'équation de degré 2 vérifiée par Q au-dessus de E(P)), et l'expression de δ comme racine de Δ donnée plus haut, la seule relation qui ne soit pas démesurément compliquée est l'équation sextique vérifiée par Q au-dessus de E(δ), à savoir :

Q6 − 3·e2·Q5 + (3·e22 + 2·e1·e3 − 5·e4Q4 + (−e23 − 4·e1·e2·e3 + 10·e2·e4Q3 + (2·e1·e22·e3 + e12·e32 + e12·e2·e4 − 4·e13·e5 + e2·e32 − 8·e22·e4 − 7·e1·e3·e4 + 15·e1·e2·e5 + 15·e42 − 25·e3·e5Q2 + (−e12·e2·e32e12·e22·e4 + 4·e13·e2·e5e22·e32 + 3·e23·e4 + 7·e1·e2·e3·e4 − 15·e1·e22·e5 − 15·e2·e42 + 25·e2·e3·e5δQ + e13·e2·e3·e4e14·e42e13·e22·e5 + e1·e2·e33 − (7/2)·e1·e22·e3·e4 − 2·e12·e32·e4 + (7/2)·e12·e2·e42 + (9/2)·e1·e23·e5 − 3·e12·e2·e3·e5 + 6·e13·e4·e5e34 + (7/2)·e2·e32·e4 + e22·e42e1·e3·e42 − (15/2)·e22·e3·e5 + 10·e1·e32·e5 − 10·e1·e2·e4·e5 − 25·e12·e52 + 5·e43 − 25·e3·e4·e5 + (125/2)·e2·e52 + (1/2)·e2·δ = 0

Les autres sont assez atroces : par exemple, l'équation sextique vérifiée par P sur E prend une bonne page à écrire, l'expression de δ dans E(Q) en prend deux, et l'équation quadratique de F sur E(Q) est longue d'au moins une dizaine de pages. La difficulté à faire ces calculs n'est d'ailleurs pas toujours où on le croit. Par exemple, si on veut exprimer δ dans E(Q), on commence par écrire les coordonnées de 1,Q,Q2,…,Q11 sur une E-base de ℚ(Z1,Z2,Z3,Z4,Z5) : ce dernier est de dimension 120 sur E, et une base est donnée par les monômes Z1i1·Z2i2·Z3i3·Z4i4·Z5i5 avec i1<1, i2<2, i3<3, i4<4 et i5<5 (cela fait bien 1×2×3×4×5=120 monômes au total). On obtient ainsi une matrice 12×120 pour les puissances de Q. Puis on exprime δ dans cette même base, ce qui donne un vecteur (ligne, disons) de taille 120. Il reste simplement à trouver quelle combinaison linéaire (sur E) des 12 lignes de la matrice 12×120 des puissances de Q donne le vecteur pour δ. Si on choisit bien les 12 colonnes parmi 120, ce calcul n'est pas si compliqué que ça : le déterminant de la matrice 12×12 extraite de la matrice 12×120 est un polynôme (en cinq variables e1,…,e5) assez gros (en choisissant bien mes colonnes, je trouve un déterminant à 8156 termes, qui se calcule en quelques secondes sous Sage. Ce qui est compliqué, c'est que ce déterminant n'est pas irréductible, or dès qu'on commence à l'avoir pour dénominateur, Sage essaye d'exprimer les fractions (les éléments de E, qui sont rapports de deux polynômes en e1,…,e5) sous forme irréductible, donc il faut calculer un PGCD de polynômes en cinq variables ayant plusieurs milliers de termes, et ça, apparemment, c'est trop difficile. Pour s'en tirer, il faut essayer de faire des calculs voisins qui ont simplement pour but de produire des polynômes qui divisent le déterminant, et quand on divise numérateur et dénominateur par ces polynômes, on s'en tire. Mais même comme ça, le résultat est plutôt atroce : et la morale, c'est que la faute en est aux fractions rationnelles et aux dénominateurs.

Écriture sans dénominateurs : décomposition de Hironaka

J'ai expliqué ci-dessus ce qui se produit pour les fractions rationnelles. J'insiste sur le fait que même si les objets qu'on cherche à exprimer sont, en fait, des polynômes, il peut y avoir lieu d'introduire des dénominateurs. Par exemple, δ peut s'exprimer comme un élément de E(Q), c'est-à-dire sous la forme u0 + u1·Q + u2·Q2 + ⋯ + u11·Q11u0,…,u11 sont des éléments de E, mais bien que δ soit un polynôme, ces éléments u0,…,u11 sont, eux, des fractions rationnelles : il y a un dénominateur dont on ne peut pas se passer.

Que faire si on veut exprimer les polynômes partiellement symétriques en restant complètement dans le cadre des polynômes ? Une réponse possible est fournie par ce qu'on appelle la décomposition de Hironaka (広中) de l'anneau des polynômes symétriques. L'idée est qu'au lieu d'utiliser, disons, 1,Q,Q2,…,Q11 comme base pour exprimer les objets symétriques sous D5, on utilise une base de polynômes qui ne sont pas tous des puissances d'un même polynôme : c'est-à-dire qu'on cherche des polynômes Q(0)=1, Q(1)=Q, Q(2), …, Q(11), symétriques sous D5 (pour continuer cet exemple) tels que n'importe quel autre polynôme symétrique sous D5 puisse s'écrire u0·Q(0) + u1·Q(1) + u2·Q(2) + ⋯ + u11·Q(11) avec cette fois u0,…,u11 des polynômes totalement symétriques (i.e., des polynômes en e1,…,e5), uniquement déterminés (symboliquement, et pour ceux qui comprennent : ℚ[Z1,…,Z5]D5 = ⨁0≤i≤11(ℚ[e1,…,e5Q(i))). Ce qu'on gagne dans l'histoire, c'est qu'on n'a plus de dénominateurs ; ce qu'on perd, c'est que les Q(i) ne sont plus produits comme les puissances d'un seul polynôme Q, il y a énormément de choix possibles. Dans ce contexte, les polynômes e1,…,e5 s'appellent les invariants primaires et Q(0),…,Q(11) les invariants secondaires de la décomposition de Hironaka de l'anneau ℚ[Z1,…,Z5]D5 des polynômes symétriques sous D5.

Il y a une chose au moins qui est fixée, ce sont les degrés des invariants Q(0),…,Q(11). Pour expliquer ça, il faut parler un peu de séries de Hilbert-Poincaré. Si on appelle dk la dimension (sur ℚ) de l'espace vectoriel des polynômes de degré total k qui sont symétriques sous D5 (pour continuer cet exemple-là), on peut aisément calculer les premiers termes de cette suite : 1, 1, 3, 5, 10, 16, 26, 38, 57, 79, 111, 147… (par exemple, d2=3 parce que tout polynôme de degré 2 symétrique sous D5 s'écrit de façon unique comme combinaison linéaire des trois polynômes e2, e1² et Q). Cette suite vérifie une relation de récurrence qui signifie précisément que sa fonction génératrice, c'est-à-dire la série formelle ∑k(dk·tk) (dans l'indéterminée formelle t) est en fait une fraction rationnelle ; on peut en fait être plus précis : si on considère la suite analogue pour les polynômes totalement symétriques (soit : 1, 1, 2, 3, 5, 7, 10, 13, 18, 23, 30, 37… d'après l'écriture des polynômes totalement symétriques au moyen de e1,…,e5, il s'agit du nombre de façons de partitionner k comme somme de nombres ≤5), sa fonction génératrice vaut exactement ((1−t)·(1−t2)·(1−t3)·(1−t4)·(1−t5))−1, et la fonction génératrice pour les polynômes symétriques par un sous-groupe de 𝔖5 est le produit de cette dernière par un polynôme en t (i.e., est une fraction rationnelle en t dont le dénominateur est — ou en tout cas divise — (1−t)·(1−t2)·(1−t3)·(1−t4)·(1−t5)). La série formelle en t que je viens de définir s'appelle la série de Hilbert-Poincaré de l'anneau des polynômes symétriques sous le sous-groupe considéré. (Pour éclaircir les choses si jamais elles devenaient brumeuses, je précise que l'indéterminée t ici introduite n'a rien à voir avec les Z1,…,Z5 : elle sert simplement à formaliser des calculs avec des suites à récurrence linéaire.) Il existe différents moyens de mener le calcul, qui n'est pas bien difficile, en tout cas les fonctions génératrices des polynômes invariants sous les différents sous-groupes considérés valent :

  • pour ℚ[Z1,…,Z5]𝔖5 : 1/((1−t)·(1−t2)·(1−t3)·(1−t4)·(1−t5)) comme on vient de l'expliquer, (soit 1, 1, 2, 3, 5, 7, 10, 13, 18, 23, 30, 37…),
  • pour ℚ[Z1,…,Z5]𝔄5 : (1+t10)/((1−t)·(1−t2)·(1−t3)·(1−t4)·(1−t5)), (soit 1, 1, 2, 3, 5, 7, 10, 13, 18, 23, 31, 38…),
  • pour ℚ[Z1,…,Z5]Aff(5) : (1+t4+t5+t6+t7+t8)/((1−t)·(1−t2)·(1−t3)·(1−t4)·(1−t5)), (soit 1, 1, 2, 3, 6, 9, 14, 20, 30, 41, 57, 75…),
  • pour ℚ[Z1,…,Z5]D5 : (1+t2+t3+2t4+2t5+2t6+t7+t8+t10)/((1−t)·(1−t2)·(1−t3)·(1−t4)·(1−t5)), (soit 1, 1, 3, 5, 10, 16, 26, 38, 57, 79, 111, 147…),
  • pour ℚ[Z1,…,Z5]C5 : (1+t2+3t3+4t4+6t5+4t6+3t7+t8+t10)/((1−t)·(1−t2)·(1−t3)·(1−t4)·(1−t5)), (soit 1, 1, 3, 7, 14, 26, 42, 66, 99, 143, 201, 273…),
  • et pour ℚ[Z1,…,Z5] tout entier (aucune symétrie demandée) : 1/((1−t)5) = (1+4t+9t2+15t3+20t4+22t5+20t6+15t7+9t8+4t9+t10)/((1−t)·(1−t2)·(1−t3)·(1−t4)·(1−t5)), (soit 1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715, 1001, 1365…).

L'intérêt des séries de Hilbert-Poincaré, dans ce contexte, c'est que leur numérateur donne le degré des polynômes intervenant comme invariants secondaires dans la décomposition de Hironaka telle que je l'ai expliquée plus haut. Par exemple, pour le cas de D5, où le numérateur vaut 1+t2+t3+2t4+2t5+2t6+t7+t8+t10, les 12 invariants secondaires qu'on recherche devront se répartir en : un de degré 0, un de degré 2, un de degré 3, deux de degré 4, deux de degré 5, deux de degré 6, un de degré 7, un de degré 8 et un de degré 10. La raison est assez claire quand on compare les dimensions dans la décomposition de Hironaka (la dimension des polynômes de degré k dans ⨁0≤i≤11(ℚ[e1,…,e5Q(i)) est la somme des dimensions correspondantes pour chaque terme, qui est la dimension correspondante pour ℚ[e1,…,e5] décalé du degré de Q(i)).

Ceci étant dit, on a beaucoup de liberté pour choisir ces invariants secondaires. (Pour ceux qui comprennent : une condition nécessaire et suffisante pour que des candidats Q(i) — ayant les bonnes symétries — constituent un jeu d'invariants secondaires, est que leurs classes forment une base du ℚ-espace vectoriel des polynômes ayant les bonnes symétries modulo l'idéal engendré par (e1,…,e5).) Par exemple, si on a choisi les invariants pour un certain sous-groupe de symétries, on peut réutiliser ces invariants pour un sous-groupe plus petit (donc plus de polynômes symétriques).

À titre d'exemple, un système d'invariants secondaires possible pour D5 est (Q(0) à Q(11) si on veut) :

  • 1,
  • P = Z12Z2Z5 + Z12Z3Z4 + Z1Z22Z3 + Z1Z2Z42 + Z1Z32Z5 + Z1Z4Z52 + Z22Z4Z5 + Z2Z32Z4 + Z2Z3Z52 + Z3Z42Z5,
  • P5 = Z12Z22Z3 + Z12Z22Z5 + Z12Z2Z42 + Z12Z2Z52 + Z12Z32Z4 + Z12Z32Z5 + Z12Z3Z42 + Z12Z4Z52 + Z1Z22Z32 + Z1Z22Z42 + Z1Z32Z52 + Z1Z42Z52 + Z22Z32Z4 + Z22Z3Z52 + Z22Z42Z5 + Z22Z4Z52 + Z2Z32Z42 + Z2Z32Z52 + Z32Z42Z5 + Z3Z42Z52,
  • P6 = Z12Z22Z3Z4 + Z12Z22Z4Z5 + Z12Z2Z32Z4 + Z12Z2Z32Z5 + Z12Z2Z3Z52 + Z12Z2Z42Z5 + Z12Z3Z42Z5 + Z12Z3Z4Z52 + Z1Z22Z32Z5 + Z1Z22Z3Z42 + Z1Z22Z3Z52 + Z1Z22Z4Z52 + Z1Z2Z32Z42 + Z1Z2Z42Z52 + Z1Z32Z42Z5 + Z1Z32Z4Z52 + Z22Z32Z4Z5 + Z22Z3Z42Z5 + Z2Z32Z4Z52 + Z2Z3Z42Z52,
  • P7 = Z14Z22Z3 + Z14Z2Z42 + Z14Z32Z5 + Z14Z4Z52 + Z12Z24Z5 + Z12Z2Z54 + Z12Z34Z4 + Z12Z3Z44 + Z1Z24Z42 + Z1Z22Z34 + Z1Z32Z54 + Z1Z44Z52 + Z24Z32Z4 + Z24Z3Z52 + Z22Z44Z5 + Z22Z4Z54 + Z2Z34Z52 + Z2Z32Z44 + Z34Z42Z5 + Z3Z42Z54,
  • P8 = Z14Z23Z3 + Z14Z2Z43 + Z14Z33Z5 + Z14Z4Z53 + Z13Z24Z5 + Z13Z2Z54 + Z13Z34Z4 + Z13Z3Z44 + Z1Z24Z43 + Z1Z23Z34 + Z1Z33Z54 + Z1Z44Z53 + Z24Z33Z4 + Z24Z3Z53 + Z23Z44Z5 + Z23Z4Z54 + Z2Z34Z53 + Z2Z33Z44 + Z34Z43Z5 + Z3Z43Z54,
  • Q = Z1Z2 + Z1Z5 + Z2Z3 + Z3Z4 + Z4Z5,
  • Q3 = Z12Z2 + Z12Z5 + Z1Z22 + Z1Z52 + Z22Z3 + Z2Z32 + Z32Z4 + Z3Z42 + Z42Z5 + Z4Z52,
  • Q4 = Z12Z2Z3 + Z12Z4Z5 + Z1Z22Z5 + Z1Z2Z32 + Z1Z2Z52 + Z1Z42Z5 + Z22Z3Z4 + Z2Z3Z42 + Z32Z4Z5 + Z3Z4Z52,
  • Q5 = Z14Z2 + Z14Z5 + Z1Z24 + Z1Z54 + Z24Z3 + Z2Z34 + Z34Z4 + Z3Z44 + Z44Z5 + Z4Z54,
  • Q6 = Z14Z2Z3 + Z14Z4Z5 + Z1Z24Z5 + Z1Z2Z34 + Z1Z2Z54 + Z1Z44Z5 + Z24Z3Z4 + Z2Z3Z44 + Z34Z4Z5 + Z3Z4Z54,
  • δ.

(Les six premiers forment un système d'invariants secondaires pour Aff(5), et — comme on le sait déjà — le premier et le dernier ensemble forment un système d'invariants secondaires pour 𝔄5.) N'importe quel polynôme symétrique sous D5 est donc combinaison linéaire des douze polynômes ci-dessus avec des coefficients dans ℚ[e1,…,e5] ; et le polynôme est symétrique sous Aff(5) si et seulement si seuls les six premiers interviennent, sous 𝔄5 si et seulement si 1 et δ interviennent.

Une fois choisi un tel système d'invariants secondaires, l'information qu'il faut encore avoir, si on veut être complet, c'est savoir exprimer n'importe quel produit de deux de ces douze polynômes comme combinaison des douze. Par exemple :

  • P2 = (−e14·e4 + 6·e12·e32 − 5·e12·e2·e4 − 15·e13·e5 − 5·e2·e32 + 4·e22·e4 − 5·e1·e3·e4 + 40·e1·e2·e5 + 4·e42 − 15·e3·e5) + (e12·e2 + 5·e22 − 6·e1·e3 − 5·e4P + (−e13 − 4·e1·e2 + 9·e3P5 + (−5·e12 + 7·e2P6 + e1·P7 + 5·P8,
  • P·Q = (−8·e13·e3 + 9·e1·e2·e3 − 8·e12·e4 − 17·e32 − 6·e2·e4 − 20·e1·e5) − 8·e12·P + 5·e1·P5 + 5·P6 + (16·e14 − 30·e12·e2 + 39·e1·e3 − 12·e4Q + (−8·e13 + 6·e1·e2 − 18·e3Q3 + (−6·e12 − 11·e2Q4 − 8·e1·Q5 − 10·Q6,
  • Q2 = (−e1·e3 + 3·e4) + P + e2·Q (équation déjà plusieurs fois évoquée),
  • Q·Q3 = (−e12·e3 + e2·e3 + (5/2)·e1·e4 − (5/2)·e5) + e1·P − (1/2)·P5 + ((1/2)·e1·e2 − (3/2)·e3Q + (1/2)·e2·Q3,
  • δ² = Δ (où Δ est le polynôme en e1,…,e5 déjà écrit plus haut).

On appelle ça les relations quadratiques de l'algèbre des polynômes invariants, et les polynômes totalement symétriques ci,j,k tels que Q(i)·Q(j) = ∑k(ci,j,k·Q(k)) s'appellent les coefficients de structure : c'est cela qui joue, dans la présentation donnée par la décomposition de Hironaka, un rôle semblable à celui de l'équation minimale (=résolvante générale) dans l'écriture des corps de fractions rationnelles invariantes. Ces relations définissent la structure d'algèbre sur les polynômes partiellement symétriques (ici sous D5), c'est-à-dire permettent de calculer n'importe quel produit de tels polynômes lorsque ceux-ci sont exprimés sur la base des invariants secondaires choisis.

Je pense que je vais m'en tenir là : je n'ai évoqué — et encore, dans le cas particulier de cinq variables — que les polynômes symétriques par permutation des variables, mais on aurait pu parler aussi de ceux qui le sont par d'autres (groupes de) transformations linéaires du vecteur des variables (à commencer par des groupes de permutations signées, i.e., si on se permet non seulement de permuter les variables mais aussi de changer le signe de certaines, ce qui correspondrait du côté de la théorie de Galois à regarder des équations en X²), et éventuellement des groupes de transformations qui ne soient plus discrets mais continus (c'est plutôt là le sujet classique de la théorie des invariants. Pour ceux qui trouvent intéressant ce sujet, à mon avis très beau, je recommande la lecture de l'excellent livre de Bernd Sturmfels, Algorithms in Invariant Theory (Springer, Texts & Monographs in Symbolic Computation). Même s'il a le défaut de ne considérer que le cas d'un corps de base algébriquement clos de caractéristique 0 (i.e., ℂ), c'est une mine de jolis résultats, présentés à la fois du côté théorique et avec un souci de description algorithmique.

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